TRANSFORMASI ANGKATAN

Tranformasi angkatan merupakan cara bagaimana membentuk

angkatan menjadi “lebih baik” dalam arti memenuhi anggapan

yang diguanakan dalam satatistik inferensi atau statistik

konfirmasi yaitu suatu angkatan berdistribusi normal.

Angkatan yang memiliki puncak tunggal dan tidak simetris

dibuat menjadi simetris sehingga dapat mendekati distribusi

normal yang lebih baik daripada data asli.

1. MENGHITUNG LOGARITMA, AKAR PANGKAT DUA DAN KEBALIKAN SUATU

BILANGAN

Tabel Tukey merupakan Tabel yang digunakan untuk

mempermudah menghitung logaritma, akar pangkat dua dan

kebalikan negatif suatu bilangan.

1.1 Logaritma

Cara menggunakan Tabel :

i. Suatu bilangan yang akan dicari logaritmanya dilihat

dalam Tabel 4.1B (Kartiko, 1986 : 4.3), sehingga

diperoleh nilai b

ii. Desimal dari bilangan tersebut dihilangkan kemudian

bilangan yang telah tidak ada desimalnya tersebu

dilihat dalam Tabel 4.1A (Kartiko, 1986 : 4.2),

sehingga diperoleh nilai a. Logaritma bilangan

tersebut adalah a + b.

1

catatan : untuk angka pada perbatasan dapat diambil

nilai a yang genap.

contoh :

a. nilai log 137,2

bilangan ini terletak antara 100 an 1000, maka b = 2

lihat bilangan 1372 pada Tabel 1. a, bilangan ini

terletak antara 1365 dan 1396, maka a=0,14.

Jadi log 137,2 = 2 + 0,14 = 2,14

b. nilai log 0,03694

bilangan ini terletak antara 0,01 an 0,1, maka b = -2

lihat bilangan 3694 pada Tabel 1. a, bilangan ini

terletak antara 3673 dan 3758, maka a=0,57.

Jadi log 0,03694 = -2 + 0,57 = -1,43

1.2 Akar pangkat dua

Cara menggunakan Tabel :

i. suatu bilangan yang akan dicari akar pankat dua

dilihat dalam Tabel 4.2B (Kartiko, 1986 : 4.4),

sehingga diperoleh nilai b

ii. bilangan tersebut dibagi menjadi beberapa periode

masing-masing terdiri dari dua angka. Pembagian

dimulia dari tanda desimal, ke depan dan ke

belakang. Bilangan yang telah dibagi menjadi

beberapa periode dilihat dalam Tabel 4.2A (Kartiko,

1986 : 4.4), sehingga diperoleh nilai a. Akar

2

pangkat dua bilangan tersebut adalah nilai a dengan

disesuaikan dengan b.

contoh :

a. √12421242 terletak antara 100 dan 1000 didapat b = ab

1242 ditulis 12 42 terletak antara 11 90 dan 12 60

dari Tabel 2. a diperoleh a = 35

Jadi √1242 = 35b. √0,00654

0,00654 terletak antara 0.0001 dan 0,01 didapat b=

0,0x

0,00654 ditulis 00 65 4 yang sama dengan 65 4

terletak antara 62 41 dan 65 61 dari Tabel 2. a

diperoleh a=80

Jadi √0,00654 = 0,080c. √12,72

12,72 terletak antara 1 dan 100 didapat b = a

12,72 ditulis 12 72 terletak antara 12 60 dan 13 35

dari Tabel 2. a diperoleh a = 36

Jadi √1242 = 3,61.3 Kebalikan negatif (−1000/x)

Cara menggunakan Tabel :

Disini tidak dihitung 1/bilangan tetapi -1000/bilangan

3

i. bilangan dilihat dalam Tabel 4.3B (Kartiko, 1986 :

4.6), sehingga diperoleh nilai b

ii. bilangan tersebut bila terdapat desimalnya maka

desimalnya dihilangkan. Bilangan tanpa desimal itu

dilihat dalam Tabel 4.3A (Kartiko, 1986 : 4.7),

sehingga diperoleh nilai a. Kebalikan negatif -

1000/bilangan tersebut adalah nilai a dengan

disesuaikan dengan b.

Contoh :

a. −1000124,2

Tabel 3.b terlihat bahwa 124,2 terletak antara 100

dan 1000, sehingga diperoleh b=a. Tabel 3. a

menunjukan 1242 terletak antara 1235 dan 1266,

sehingga a = -80

Jadi −1000124,2 adalah -8,0

b. −10000,04739

Tabel 3.b terlihat bahwa 0,04739 terletak antara

0,01 dan 0,1, sehingga diperoleh b=abcde. Tabel 3. a

menunjukan 4739 terletak antara 4672 dan 4762,

sehingga a = -212

Jadi −1000124,2 adalah -21200,0

4

5

2. TRANSFORMASI LOGARITMA

Transformasi logaritma suatu angkatan didapat dengan

mengambil atau menghitung logaritma setiap observasi dalam

angkatan.

Tabel 1. Penduduk 1850-1961

Penduduk Kanada Penduduk AS

Tahun

Jumlah(jutaan)

Pertumbuhan

Tahun

Jumlah

(jutaan)

Pertumbuhan

1851 2,44 185

0 23,2

1861 3,23 0,79 186

0 31,4 8,2

1871 3,69 0,46 187

0 39,8 8,4

1881 4,32 0,63 188

0 50,2 10,4

1891 4,83 0,51 189

0 62,9 12,7

1901 5,37 0,54 190

0 76,0 13,1

1911 7,21 1,84 191

0 92,0 16

1921 8,79 1,58 192

0105,7 13,7

1931

10,38 1,59 193

0122,8 17,1

1941

11,51 1,13 194

0131,7 8,9

1951

14,01 2,50 195

0150,7 19

196 18,2 4,23 196 178, 27,8

6

1 4 0 5

Tabel 1 menunjukan jumlah penduduk Amerika Serikat (AS)

dan Kanada pada 12 sensus yang berturutan. Kolom

pertumbuhan yang berisi perbedaan antara setiap sensus

dengan sensus sebelumnya, terlihat besar pertumbuhan

penduduk. Tampak bahwa besarnya pertumbuhan penduduk pada

tahun terakhir lebih besar daripada tahun sebelumnya. Juga

terlihat bahwa penduduk AS mempunyai pusat dan sebaran yang

jauh lebih besar.

Diagram kotak dan titik pada Gambar 1 tampak bahwa

median lebih dekat dengan kuartil bawah atau nilai tinggi

lebih menyebar daripada nilai rendah. Keadaan angkatan yang

seperti ini disebut “menjurai ke atas”. Sebaliknya bila

median dekat dengan kuartil atas atau nilai rendah lebih

menyebar dibandingkan dengan nilai tinggi, maka angkatan

seperti ini disebut “menjurai ke bawah”. Diagram kotak dan

titik menunjukan bahwa pusat dan sebaran berubah pada arah

sama ( pusat lebih besar mempunyai sebaran yang lebih

besar), merupakan sifat angkatan yang sering dijumpai.

7

Gambar 1. Diagram Kotak dan Titik Jumlah Penduduk Kanada

dan AS

Tabel 2. Nisbah Menurut Tahun Sensus Berurutan Untuk

Kanada dan AS

Kanada AS1861/1851

1,32

1860/1850

1,35

1871/1861

1,14

1870/1860

1,27

1881/1871

1,17

1880/1870

1,26

1891/1881

1,12

1890/1880

1,25

1901/1891

1,11

1900/1890

1,21

1911/1901

1,34

1910/1900

1,21

1921/1911

1,22

1920/1910

1,15

1931/19 1, 1930/19 1,

8

21 18 20 161941/1931

1,11

1940/1930

1,07

1951/1941

1,22

1950/1940

1,14

1961/1951

1,30

1960/1950

1,18

Tabel 2 berisi nisbah (hasil bagi) jumlah penduduk pada

suatu sensus dengan sensus sebelumnya. Nisbah ini

menunjukkan semacam laju pertumbuhan. Dari tahun ke tahun

kedua negara mempunyai besar nisbah yang hampir sama. Hal

ini menunjukkan bahwa pertumbuhan penduduk di kedua negara

tetap.

Keuntungan menggunakan nisbah :

Mudah, sering digunakan dan jelas menggunakan ide laju

pertumbuhan penduduk.

Kerugian menggunakan nisbah :

Menghitung nisbah tanpa bantuan kalkulator akan membuang

waktu. Dari nisbah tidak dapat diperoleh bilangan semula.

Untuk itu dicari transformasi yang tidak

mengesampingkan keuntungan nisbah, sekaligus menghilangkan

kerugianya. Transformasi tersebut adalah transformasi

logaritma. Dihitung logaritma dari semua observasi dalam

angkatan. Logaritma mudah dihitung kembali besarnya

9

observasi asli dengan antilogaritma. Hasil transformasi

disajikan dalam Tabel 3

Tabel 3 Logaritma Besar Penduduk

TahunPenduduk Kanada

TahunPenduduk AS

Jumlah

Pertumbuhan Jumlah

Pertumbuhan

1851 6,39 1850 7,371861 6,51 0,12 1860 7,50 0,131871 6,57 0,06 1870 7,60 0,101881 6,64 0,07 1880 7,70 0,101891 6,68 0,04 1890 7,80 0,101901 6,73 0,05 1900 7,88 0,081911 6,86 0,13 1910 7,96 0,081921 6,94 0,08 1920 8,02 0,061931 7,02 0,08 1930 8,09 0,071941 7,06 0,04 1940 8,12 0,031951 7,15 0,09 1950 8,18 0,061961 7,26 0,11 1960 8,25 0,07

Pada kolom pertumbuhan dapat dilihat selisih logaritma

suatu sensus dengan sebelumnya (logaritma disingkat dengan

log). Mengingat sifat logaritma tampak bahwa selisih

tersebut merupakan logaritma nisbah karena log ab=loga−logb

. Jadi Logaritma masih mempunyai sifat laju pertumbuhan

seperti yang ditunjukan oleh nisbah. Untuk Kanada tampak

bahwa perumbuhan merata dari tahun ke tahun. Untuk AS,

pertumbuhan tahun-tahun terakhir lebih kecil dari tahun-

tahun permulaan.

10

Tabel 4 Diagram Batang dan Daun Logaritma Besar Penduduk

Log PendudukKanada

7,2 67,1 57 26

6,9 46,8 66,7 36,6 486,5 176,46,3 9

Batang : satuan dan

persepuluhan

Daun : Perseratuasan

Log pendudukAS

8,2 58,1 288,0 297,9 67,8 087,7 07,6 07,5 07,47,3 7

Batang : satuan dan

persepuluhan

Daun : Perseratuasan

Gambar 2. Diagram Kotak dan Titik Log Penduduk AS dan

Kanada

11

Apabila logaritma menangkap ide laju pertumbuhan yang

tetap, angkatan seharusnya tidak menjurai ke atas setelah

transformasi logaritma. Hal ini akan anda lihat dari Gambar

2 yang menyajikan diagram kotak dan titik angkatan baru.

Dari Tabel 6 tampak bahwa kedua negara juraian ke atas

telah hilang. Untuk Kanada kedua ekstrim dan kuartil

berimbang diseitar median sedang untuk AS angkatan agak

menjurai ke bawah. Tetapi secara keseluruhan harga yang

lebih tinggi dan lebih rendah daripada median tampak

menyebar merata.

Tabel 5. Diagram Titik Pertumbuhan Log Penduduk

Kanada ASX 0,13 XX 0,12X 0,11

0,10 XXXX 0,09

XX 0,08 XXX 0,07 XXX 0,06 XXX 0,05

XX 0,040,03 X

Md= Md=0,0

0,08 8

Gambar 2 dan Tabel 5 menunjukan diagram pertumbuhan

log penduduk. Tampak bahwa untuk kedua negara mediannya

sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua negara mempunyai laju

12

pertumbuhan penduduk yang sama. Bila laju pertumbuhan

tetap, setelah pertumbuhan pusat (median) dikeluarkan

pertumbuhan log penduduk mempunyai sisa nol. Dari Tabel 6

tampak bahwa sisa tidak seluruhnya nol. Ada kalanya

penduduk bertambah lebih dari 0.09 (memberikan sisa

positif) atau kurang dari 0,08 (memberikan sisa negatif).

Dengan mendapatkan sisa, selain anda dapat melihat pola

pertumbuhan log pendududk yang hampir konstan perincian

yang kurang jelas dapat dilihat.

Perincian ini antara lain dapat dilihat dari data asli

tetapi amat sukar. Penggunaan utama transformasi adalah

untuk membuat angkatan berbentuk standar, yaitu bentuk yang

simetri. Mengapa simetri? Simetri merupakan bentuk yang

netral suatu angkatan biasanya menjurai ke atas atau ke

bawah. Bila angkatan simetri tidak dibutuhkan lagi

penjelasan ini.

Tabel 6. Log Pertumbuhan Penduduk Taraf (0,08) Dikeluarkan

Penduduk Kanada Penduduk AS

TahunPertumbuhan Tahun

Pertumbuhan

1861 0,04 1860 0,051871 -0,02 1870 0,021881 -0,01 1880 0,021891 -0,04 1890 0,021901 -0,03 1900 0,001911 0,05 1910 0,00

13

1921 0,00 1920 -0,021931 0,00 1930 -0,011941 -0,04 1940 -0,051951 0,01 1950 -0,021961 0,03 1960 -0,01

Md=0,08 Md=0,08

Hal ini ada hubungannya dengan statistika inferensi

(konfirmasi) yang sering membutuhkan pengandaian bahwa

angkatan berdistribusi normal. Suatu angkatan yang simetris

dan berpuncak tunggal mungkin tidak begitu normal, tetapi

biasa cukup mendekati normal (terutama bila jumlah

observasi angkatan besar), sehingga teknik konfirmasi yang

mengganggap berbentuk normal dapat digunakan dengan aman.

14

3. MEMILIH TRANSFORMASI YANG UNGGUL

Memilih transformasi yang unggul merupakan cara yang

digunakan untuk menemukan transformasi yang sesuai bagi

suatu angkatan agar bentuknya mendekati simetri. Berikut

ini merupakan data pembangunan perumahan swasta bukan

petani di negara Amerika Serikat pada tahun 1966-1968.

Tabel 7. Pembangunan Perumahan Swasta Bukan Petani, AS,

1966-1968

Bulan 1966Januari 78500Februari 74800

Maret11590

0

April13860

0

Mei12670

0

Juni11820

0Juli 97600Agustus 99600September 86900Oktober 74400November 71400Desember 58900Seluruh Tahun

1141500

Tabel 8. Diagram Batang dan Daun Pembangunan Perumahan

196613 9

15

12 711 6810 09 88 77 954165 9

Batang : puluhan Juta

Daun : dibulatkan ke ribuan terdekat

16

Gambar 3 Diagram Kotak dan Titik Pembangunan Tahun 1966

Tampak bahwa angkatan sedikit mengurai ke atas.

Transformasi yang cocok untuk angkatan yang menjurai ke

atas adalah akar pangkat dua, logaritma dan kebalikan

negatif (tanda negatif untuk menjamin supaya urutan

angkatan tetap).

Tabel 9. Transformasi Pembangunan Perumahan 1966

BulanPembangunan

Dibulatkan

Akar

Log −1 /√x

Januari 78500 79 280

4,89

-1,27E-

05

Februari 74800 75 273

4,87

-1,34E-

05

Maret 115900 116 3405,06

-8,63E-

06

17

April 138600 139 3725,14

-7,22E-

06

Mei 126700 127 3565,1

-7,89E-

06

Juni 118200 118 3445,07

-8,46E-

06

Juli 97600 98 3124,99

-1,02E-

05Agustus 99600 100 316 5 -1E-05

September 86900 87 295

4,94

-1,15E-

05

Oktober 74400 74 273

4,87

-1,34E-

05November 71400 71 267

4,85

-1,4E-05

Desember 58900 59 243

4,77

-1,7E-05

18

Tabel 10. Diagram Batang dan Daun

akar dua Log X −1 /x3 70,60 5,1 40 -7 82

340,40,20,10 5,0 760 -8 64

294,82,76,70,64 4,9 940 -9

2 46 4,8 875-10 20

batang :Ratusan 4,7 7

-11 6

batang :satuan danPersepuluha

n

-12 8-13 26-14 0-15-16 8

batang :Persepuluhan

JutaqA 340 qA 5,07 qA -86Md 320 Md 4,97 Md -109qb 276 qb 4,88 qb -134

Tampak bahwa untuk angkatan ini akar pangkat dua bukan

transformasi yang cukup kuat, karena tampak bahwa angkatan

tetap menjurai ke atas. Logaritma tampak baik karena

juraian telah hilang. Sedang kebalikan negatif tampak

terlalu kuat karena menjadi menjurai ke bawah.

19

Secara umum transformasi mempunyai pengaruh yang

berbeda untuk angkatan yang berbeda. Diatas telah disebut

bahwa untuk angkatan yang menjurai ke atas transformasi

yang cocok adalah akar pangkat dua (2√x), logaritma (logx)

dan kebalikan negatif (−1x ). Untuk angkatan yang menjuari kebawah x2,x3,x4, atau pangkat yang lain merupakan

transformasi yang mungkin sesuai.

Transformasi antilogaritma juga dapat mengoreksi

juaraian ke bawah, tetapi apabila bilngan besar maka

antilog menjadi sangat besar. Akibatnya transformasi ini

jarang dipakai untuk mengembalikan transformasi log ke

angkatan semula. Untuk angkatan yang menjurai ke bawah

pangkat dua atau tiga biasanya sudah memadai. Sebaliknya

anda biasakan membuat lebih dari satu transformasi untuk

dipilh mana yang lebih baik. Telah diterangkan bahwa

transformasi yang berbeda memberikan pengaruh yang berbeda.

Berturut-turut akan dibicarakan pemilihan transformasi

untuk satu angkatan, kemudian untuk beberapa angkatan yang

berkaitan.

Transformasi Untuk Satu Angkatan

Tujuan transformasi jelas yaitu membuat sedekat mungkin

dengan bentuk standar yaitu puncak tunggal, simetris,

20

mengecil dengan mulus di kedua sisinya. Anda harus ingat

bahwa tengah dari data lebih penting dari yang lain.

Jadi kalau ada dua transformasi, pertama-tama

diperhatikan bagian tengahnya. Bila bagian tengah sama-sama

simetris, diperhatikan bagian di luar kuartil. Seperti

contoh di muka logaritma dan −1x sama-sama mempunyai bagian

tengah simetris. Apabila diperhatikan bagian luar,

logaritma tampak lebih baik (karena ekstrim atas dan bawah

terletak simetris terhadap median), sehingga logaritma

terpilih menjadi transformasi yang paling cocok. Apabila

transformasi yang dipilih tidak cocok maka cara coba-coba

ini akan sangat memakan waktu. Beruntungkah Tukey

memberikan suatu informasi yang merupakan petunjuk

pemilihan transformasi yang unggul yang disebut “Tangga

Transformasi”, disajikan dalam Tabel 11.

Tabel 11.Tangga Transformasi

−1x2

lebihkuat

−1xlogx

sedang

xbentuktetap

x2x3sedang

antilogxlebihkuat

mengoreksi juaraian ke atas

mengoreksi juaraian ke bawah

21

Berdasarkan tangga transformasi tampak bahwa x3 lebih

kuat daripada x2. Semakin tinggi pangkat dari bilangan xyang lebih besar semakin disebarkan, sehingga jelas

transformasi ini cocok untuk mengoreksi juraian ke bawah.

Cobalah anda perhatikan transformasi yang terletak

disebelah kiri x pada tangga transformasi. Cocokan dengansuatu contoh, apakah betul transformasi tersebut dapat

mengoreksi juarian ke atas.

Bila nasib anda mujur transformasi yang cocok dapat

ditentukan dengan cepat. Bila nasib anda kurang mujur, maka

anda harus melakukan transformasi berkali-kali untuk

mendapatkan yang cocok. Mungkin meskipun sudah ada

pertolongan tangga transformasi anda masih merasa

keberatan, karena harus menghitung transformasi setiap

observasi dalam angkatan berkali-kali.

Hal ini dapat diatasi, bila anda mengingat kembali

diagram kotak dan titik yang hanya membutuhkan ringkasan

lima angka untuk mengkonstruksinya. Dari diagram kotak dan

titik, anda dapat melihat apakah simetri atau tidak. Jadi

yang akan anda kerjakan adalah transformasi untuk ringkasan

lima angka, kemudian mengamati diagram kotak dan titiknya.

Bila transformasi belum sesuai dicoba transformasi yang

lain untuk ringkasan lima angka, demikian seterusnya sampai

22

didapat transformasi yang unggul. Dengan demikian pekerjaan

jauh lebih sedikit terutama untuk angkatan yang besar.

Tabel 12. Transformasi Penduduk Kanada

Kanada

Akar

Log −1 /√x

2,441,56

0,39 -0,6

3,23 1,80,51 -0,6

3,691,92

0,57 -0,5

4,322,08

0,64 -0,5

4,83 2,20,68 -0,5

5,372,32

0,73 -0,4

7,212,69

0,86 -0,4

8,792,96

0,94 -0,3

10,383,22

1,02 -0,3

11,513,39

1,06 -0,3

14,013,74

1,15 -0,3

18,244,27

1,26 -0,2

Gambar 4 memperlihatkan diagram kotak dan titik untuk

beberapa transformasi dari angkatan dalam Tabel 12.

23

Terlihat bahwa angkatan asli menjurai ke atas. Akar pangkat

duanya (√x ) lebih simetris daripada angkatan semula tapi

masih menjurai ke atas. Kebalikan negarif akar pangkat

duanya (−1√x ) sedikit menjuarai ke bawah. Logaritma membuatangkatan menjadi simetris (lebih simetris dibandingakan √x

dan −1√x ). Jadi transformasi √x mengoreksi sedang, −1

√xmengoreksi berlebihan, sedang logaritma tepat mengoreksi

juraian ke atas.

Gambar 4. Diagram Kotak dan Titik Transformasi Perumahan

Jadi menggunakan ringkasan lima angka lewat diagram

kotak dan titik memberikan hasil yang sama. Dengan diagram

24

kotak dan titik beserta tangga transformasi, transformasi

mudah dilakukan. Baru setelah tranformasi yang unggul

diperoleh, semua observasi dihitung tranformasinya. Kadang-

kadang ditemui kasus-kasus antara. Misalnya x2 kurang

mengoreksi, sedang x3 mengoreksi berlebihan. Anda bisa saja

menggunakan x2,32 tetapi hal ini tidak begitu diperlukan,

karena terlalu banyak pekerjaan. Anda cukup memilih yang

sederhana atau masuk akal asal angkatan tidak terlalu jauh

dari simetri.

25