`RANGKAIAN LISTRIK 1

TEOREMA NORTON

Disusun Oleh:

Ezekiel Fidel Ann ( 1303141036 )

PROGRAM STUDI ELEKTRO INDUSTRI

DEPARTEMEN ELEKTRO

POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA

I. PENDAHULUAN

Suatu rangkaian yang terhubung secara seri maupun paralel yang

telah kita pelajari sebelumnya merupakan contoh rangkaian yang

sederhana. Pada rangkaian sederhana yang mengkombinasikan tahanan-

tahanan atau sumber-sumber yang seri atau paralel dapat kita analisis

dengan menggunakan prinsip pembagian arus dan tegangan sesuai hukum

yang telah dipelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchoff.

Rangkaian-rangkaian sederhana tersebut merupakan suatu latihan

pemahaman dalam pemecahan masalah untuk menolong kita memahami hukum-

hukum dasar yang selanjutnya akan kita gunakan dalam rangkaian-

rangkaian yang lebih sukar atau lebih kompleks.

Dalam menyederhanakan analisis pada rangkaian yang lebih sukar

diperlukan suatu metode analisis yang lebih cocok dan mudah. Diantara

metode-metode ini adalah superposisi, loop, mesh, node voltage,

teorema Thevenin dan teorema Norton. Pada pembahasan kali ini akan

mengembangkan kemampuan menganalisa dengan teorema Norton.

II. TEOREMA NORTON

Dalam sembarang rangkaian dua terminal yang berisi impedansi, sumber tegangan, sumber arus dapat diganti dengan sebuah sumber arus beserta sebuah impedansi paralel. Sumber arus sama dengan arus rangkaianshort pada kedua terminalnya, dan impedansi paralelnya sama dengan impedansi yang mengarah ke rangkaian dilihat dari terminalnya, dimana semua sum ber diganti dengan impedansi dalam.

b

INZN

aIN

E1,E2,...,En

a

Jadi, pada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu jaringan dua terminal yang mengandung impedansi dan sumber tegangan dan atau sumber arus dapat diganti dengan sumber arus tunggal dan impedansi tunggal paralel

Sumber arus = arus short circuit pada dua terminalParalel impedansi = impedansi dilihat dari terminal dimana seluruh

sumber diganti dengan impedansi internalnya.

PembuktianKita menganggap arus I mengalir melalui impedansi ZL jika

dihubungkan ke terminal terbuka a-b, yang tegangannya sebesar Vo dan impedansi ZN seperti ditunjukkan pada gambar A. Dari teorema Thevenin,arus I dapat dihitung sebagai berikut.

Gambar A.

Thevenin

ZLZN

Vo

I

a

b

b

IN

ZN

I = VoZN+ZL

= ZNZN+ZL

VoZN

= ZNZN+ZL . IN

Dimana Is = Vo / ZsDari hasil ini kita bisa menggambar lagi rangkaian ekuivalennya seperti gambar B

Gambar B (Rangkaian Ekuivalen)

Dalam persamaan IN, jika ZL sama dengan 0 maka, I = IN

Hal ini berarti bahwa sumber arus IN sama dengan arus yang mengalir keterminal a-b jika dihubung singkat Is dan Impedansi dalam ZN pada terminal a seperti ditunjukkan dalam gambar C, dapat diganti dengan sumber arus IN beserta Impedansi ZN yang terpasang paralel seperti ditunjukkan dalam gambar D.

IN

ZNZL

a

b

I

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton :

1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.

2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuitkan pada terminal a-b

kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (Iab= Isc= IN).

3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur

pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti

dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short

circuitdan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit)

(Rab= RN= Rth).

b

INZN

a

b

IN

ZN

a

4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti

Nortonnya didapatkan dengan cara

RN = Voc¿

5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicaritegangan

pada titik tersebut (Vab= Voc).

6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan

kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.

Contoh analisa rangkaian berikut dengan Teorema Norton :

I3 = ?

I

Z1

Z3

Z2

E2 E2

Z1 Z2

I

E2 E2

Dengan menerapkan hukum superposisi untuk menemukan arus hubung singkat IN

Untuk E1 : Untuk E2 :

IN’ = E1Z1 IN’’ =

E2Z2

Jadi, IN = IN’ + IN’’

Z1 Z2

a

b

Jadi kita mendapatkan rangkaian ekuivalen dari gambar A seperti ditunjukkan gambar D. Dengan menggunakan metode pembagi arus untuk gambar D.

I3 = ZN

Z3+ZN IN

Dengan mensubstitusikan untuk ZN

I3 =

Z1xZ2Z1+Z2

Z3+Z1Z2Z1+Z2

IN

I3 =Z1Z2

Z1Z2+Z2Z3+Z3Z1 IN

Dengan mensubstitusikan untuk IN

I3 =Z1Z2[ E1

Z1+E2Z2

]

Z1Z2+Z2Z3+Z3Z1

ZNab

Dari gambar C Impedansi dalamnya adalah

ZN = Z1 // Z2

= Z1Z2Z1+Z2

ZN Z3

I3

IN

I3 =Z1E1+Z2E2

Z1Z2+Z2Z3+Z3Z1

III. CONTOH SOAL

1. Tentukan arus yang mengalir pada Ix !

Pembahasan :

Ix = Znor

Znor+Z3Inor

IN’ = E2(off) , Z2 = 0

Ix

Diketahui :

Z1 = 2+j1 E1 = 10 ⦟ 0° V = 10V

Z2 = 1-j2 E2 = 5 ⦟ -90° V = -j5 V

IN’ = E1Z1

= 102+j1 =

102,236⦟26,262°

= 4,472 ⦟ 26,565°

= 4 – j2 A

V

IN’’ = E1(off) , Z1 = 0

ZNor

IN’02+j

1

IN’’

1 – j2

0 IN’’ = E2Z2

= −j51−j2 =

5⦟−90°2,236⦟−63,435°

= 2,236 ⦟ - 26,565°A

= 2 – j1 A

INor = IN’ + IN’’

= 4 – j2 + 2 – j1

= 6 – j3 A

= 6,708 ⦟ - 26,565° A

ZN

ZNor = Z1 // Z2

= (2+j1)(1−j2)2+j1+1−j2

=(2,236⦟26,262° )(2,236⦟−63,435°)

3−j1

= 5⦟−36,87°3,162⦟−18,435°

= 1,58 ⦟ -18,435 ° Ω

2. Tentukan nilai v dengan teorema Norton !

Pembahasan : Mencari I

Ix = Znor

Znor+Z3Inor

= 1,5–j0,51,5–j0,5+j1 6 – j3

= 1,5–j0,51,5+j0,5 6 – j3

= 1,58⦟−18,435°1,58⦟16,435° 6,708 ⦟ -

26,565°

= (1,01 ⦟ -35,103°) (6,708 ⦟- 26,565°)

= 6,708 ⦟ - 63,435 ° A

Ix

Diketahui :

V = 18V

Z1 = 5 Ω

Z2 =12 Ω

Z3 =20 Ω

Z4 = 40 Ω

V

Zp = Z2//Z3 = 12.2012+20 = 7,5 Ω

V1 = ZpZp+Z1 .V =

7,57,5+5 .18 = 10,8 V

Iab = V1Z3 =

10,820 = 0,54 A

Mencari ZN dititik a-b :

Zp = Z1 // Z2 = 5.125+12 = 3,53 Ω

ZN = Zp + Z3 = 3,53 + 20 = 23,53 Ω

Rangkaian pengganti Norton :

a

bI

a

b

V

Sehingga V :

V = Iab x ZT

V = Iab . ( ZN // Z4 )

= 0,54 . 23,53x4023,53+40

= 0,54 x 14,82

= 8,0028 V

3. Tentukan nilai arus yang mengalir pada R6!

Pembahasan :Lepaskan R6, lalu short cicuit titik a-b. Analisa rangkaian diatas dengan analisis mesh :

Diketahui :

E1 = 20V R3 = 4 Ω

E2 = 8V R4 = 2 Ω

E3 = 4V R5 = 4 Ω

R1 = 2 Ω R6 = 8 Ω

R2 = 4 Ω

a

b

I6

a

b

1 2 3

I1 I2I3

I3

I3

Untuk mesh 1

2I1 + 4(I1 - I2) – 20= 0

6I1 - 4I2 = 20

3I1 –2 I2 = 10

Untuk mesh 2

4I2 + 2(I2 – I3) + 4(I2 – I1) + 8 = 0

-4I1 + 10I2 -2I3 = -8

-2I1 +5 I2 – I3 = -4 (persamaan 2)

Untuk mesh 3

4I3 – 4 + 2(I3 – I2)= 0

-2I2 + 6I3 = 4

- I2 + 3I3 = 2 (persamaan 3)

I2

I2

Untuk mencari tahanan penggantinya kita harus mematikan sumber tegangan dengan menshortsirkuitkannya.

a

bRN = ΣR

= [ { ( R1 // R2 ) + R3 } // R4 ] + R5

= 2.42+4 + 4 = 1,33 + 4 = 5,33

= 5,33.25,33+2 = 1,45

a

Subtitusi persamaan 2 dan 3 (persamaan 4)

-2I1 + 5I2 – I3 = -4 | 3 | -6I1 + 15I2 – 3I3 = -12

- I2 + 3I3 = 2 | 1 | - I 2 +3I3 = 2_ +

-6I1 + 14I2 = -10

Subtitusi persamaan 1 dan 4

-6I1 + 14I2 = -10 | 1 |-6I1 + 14I2 = -10

3I1 – 2 I2 = 10 | 2 | 6I1 – 4 I2 = 20 +

10I2 = 10

Jadi I2 = 1 A

Masukkan I2 ke persamaan 1 dan 3

Persamaan 1

3I1 – 2 ( 1 ) = 10

Persamaan 3

- ( 1 ) + 3I3

= 2

3I3 = 3

I3 = I3 = IN = 1 A

Pasang kembali R6, sehingga rangkaian ekuivalennya menjadi seperti dibawah ini

4. Cari i dengan menggunakan teorema Norton

RN = ΣR

= [ { ( R1 // R2 ) + R3 } // R4 ] + R5

= 2.42+4 + 4 = 1,33 + 4 = 5,33

= 5,33.25,33+2 = 1,45

Arus yang mengalir di R6 yaitu :

I6 = RN

RN+R6 .IN

= 5,455,45+8 . 1

= 0, 41 A

I

R2R1

R3

E I

Diketahui :

R1= 2kΩ E = 4 v

R2= 3kΩ I = 2mA

R3= 1kΩ

Pembahasan :

Untuk mencari arus Norton (iN) kita ganti rangkaian tahanan 1 kΩ dengan

rangkaian hubung singkat

dengan mempergunakan superposisi yaitu pertama jika sumber tegangan 4 Vbekerja maka sumber arus 2 mA diganti dengan rangkaian hubung terbuka,

dan kedua yaitu dengan mengganti sumber tegangan 4 V dengan rangkaian hubung singkat

Maka

Sehingga rangkaian ekivalen Norton

R2R1

E I

R2R1

E

R2R1

I

IN’ = E

R1+R2 = 4

2+3 =0,8 mA

IN’’ = I

R1+R2.I = 2

2+3 .2 = 0,8 mA

IN = IN’ + IN’’ = 0,8 + 0,8= 1,6 mA

i = R1+R2R1+R2+R3

.IN = 2+3

2+3+1.1,6 = 1,33 mA

Sumber :

- Rangkaian Listrik, Kazuo Tsutsumi ; Son Kuswadi ; Yoedy Moegiharto ; Ratna Adil. (JICA)

- Catatan Pribadi- Rangkaian Listrik, Mohamad Ramdhani, Sekolah Tinggi Teknologi

Telkom. (PDF)

- Norton's Theorem - by Dr. C. B. Bangal

https://www.youtube.com/watch?v=FqcHtww1QWs

IN

R3R1+R2

i