TECNOLOGÍA DEL CALOR

CONVECCIÓN

ANALISIS DIMENSIONAL

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

DIFERENCIA EFECTIVA DE TEMPERATURAS

INTRODUCCION

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA CALORICA

La energía en tránsito puede manifestarse en dos formas, trabajo o calor.

Ambas solo existen cuando hay un intercambio de energía (cinética, potencial o

interna), entre dos sistemas o entre un sistema y sus alrededores. Cuando tal intercambio se

produce sin transferencia de masa y sin que exista una diferencia de temperatura, se dice que

la energía ha sido transferida por medio de trabajo.

Si en cambio la transferencia de energética se debe a una diferencia de temperatura, se

dice que la energía ha sido transferida por medio de flujo calórico o calor.

El termino transferencia de calor resulta conceptualmente inadecuado, por cuanto no

es el calor lo que se transfiere sino la energía y el flujo calórico o calor, es el mecanismo por

el cual dicha energía se transfiere. Estos mecanismos se dividen comúnmente en dos tipos

básicos: conducción y radiación.

La convección no involucra flujo calórico sino un transporte de la energía interna

acumulada en la masa en movimiento (transferencia de energía interna por el movimiento de

los elementos de volumen continuos). En la conducción si bien se acepta el movimiento

molecular el movimiento de los elementos de volumen continuos ha de ser nulo, así el

mecanismo de transferencia por conducción queda circunscripto a una interacción energética

al nivel de estructura de la materia (molecular, atómico, etc.).

TRANSFERENCIA DE ENERGÍA POR CONVECCIÓN

Existen dos formas de transporte convectivo de energía de acuerdo a la fuerza

impulsora que origina el movimiento del fluido:

a) CONVECCIÓN FORZADA.

b) CONVECCIÓN NATURAL.

En la convección forzada el movimiento del fluido es debido a fuerzas impuestas

externamente (aplicación de gradientes de presión al sistema mediante ventiladores, bombas,

- 1 -

etc.), por ejemplo el precalentamiento de los gases de un horno impulsados por la diferencia

de presión impuesta por un soplador.

En la convección natural el movimiento de fluido se debe a variaciones de densidad,

que son a su vez originadas por gradientes de temperatura o concentración en el fluido. Un

ejemplo típico es el movimiento del aire (viento) originado por la calefacción solar desigual

de la tierra y el mar. Como la tierra se calienta más rápidamente que el mar, origina corrientes

convectivas ascendentes con la presencia de vientos superficiales desde el mar hacia la tierra,

situación que se revierte durante la noche.

Como se observa la transferencia de calor por convección natural depende del

movimiento del fluido y este a su vez, depende de los gradientes de temperatura controlados

por la transferencia calórica, esto origina un acoplamiento de las ecuaciones gobernantes del

fenómeno, que requieren su resolución simultanea.

ECUACION DE TRANSFERENCIA.

Este tipo de transferencia de calor puede ser descrito en una ecuación que imita la

forma de la ecuación de conducción

(1)

En donde la constante de proporcionalidad h, se denomina coeficiente pelicular de

transferencia de calor, siendo este un termino sobre el cual tendrá influencia, la naturaleza del

fluido y las características de circulación del fluido o forma de agitación. Cuando la ecuación

anterior se escribe en forma integrada se la conoce como ley de enfriamiento de Newton.

(2)

Para determinar el valor de h (coeficiente de transferencia convectivo), o encontrar su

funcionalidad con las variables independientes asociadas, se recurre al método empírico o

experimental el cual se fundamenta en el "Análisis dimensional".

- 2 -

COEFICIENTES PELICULARES

ANALISIS DIMENSIONAL

Cuando se desea interpretar un fenómeno en el que la información es insuficiente; ya

sea para plantear algunas de las ecuaciones que lo representan, o bien para interpretar

físicamente un fenómeno (y aplicar las leyes fundamentales), aparece la necesidad del estudio

experimental, donde la correlación de las observaciones ha de confluir a un acercamiento

empírico de la ecuación buscada. El análisis dimensional funda las bases del estudio empírico

y tiene como función “correlacionar un cierto numero de variables en una sola ecuación,

expresando un efecto”. Debido a que opera con las dimensiones de las variables, no produce

resultados numéricos directos, sino que genera módulos a través de los cuales pueden

combinarse datos experimentales observados y establecerse así una influencia relativa de cada

variable para obtener un efecto final. El fundamento del análisis dimensional es el siguiente: SI SE DESEA CONOCER SI UNA VARIABLE DEPENDIENTE ESTA RELACIONADA CON UNA

SERIE DE OTRAS VARIABLES (EXISTE O NO FUNCIONALIDAD), LAS VARIABLES

INDEPENDIENTES DEBEN PODER RELACIONARSE DE TAL MODO QUE LAS DIMENSIONES

FUNDAMENTALES DE LA AGRUPACIÓN RESULTANTE SEAN IDENTICAS A LAS DE LA

VARIABLE DEPENDIENTE.

Sea h, la variable dependiente

Sean a, b, c, d, e, ..., las variables independientes

Si existe una función h = f (a, b, c, d, e, ...)

Entonces:

{dimensiones fundamentales de h} = {dimensiones fundamentales de f (a, b, c, d, e, ...)}

El análisis dimensional no se puede aplicar sino se tiene un conocimiento suficiente de

los aspectos físicos del problema, para poder decidir que variables son importantes en cada

caso y que leyes físicas básicas tendrían que intervenir en la solución matemática si esta fuese

posible.

- 3 -

ANALISIS DE LA FORMA DE LA ECUACIÓN PARA LA TRANSFERENCIA DE

CALOR POR CONVECCIÓN FORZADA

La velocidad de transferencia de calor por convección forzada, en un fluido

incompresible que circula con flujo turbulento, por una tubería de diámetro uniforme, a flujo

másico constante, se ha encontrado que esta influenciado por :

vf : Velocidad del fluido {L/}

: Densidad del fluido {M/L3}

ce : Calor especifico del fluido {H/M.T}

kf : Conductividad térmica del fluido {H/.L.T}

: Viscosidad del fluido {M/.L}

Di : Diámetro interior de la tubería {L}

vf, Di, y : afectan al grosor de la película estacionaria

y el grado de mezcla.

kf : se relaciona con la resistencia térmica de película

ce : refleja la variación de la temperatura media como

resultado de la absorción uniforme de calor.

donde L: expresa unidad de longitud {m}, {cm}, {ft}, etc.

: expresa unidad de tiempo {seg.}, {hora}, etc

M: expresa unidad de masa {Kgmasa}, {grmasa}, {lbmasa}, etc.

H: expresa unidad de energía térmica {Kcal}, {cal}, {BTU}, etc.

T: expresa unidad de temperatura {ºC}, {ºF}, etc.

Que relación existe entre hi {Kcal/h.m2.ºC} o {BTU/h.ft2.ºF} y las demás unidades:

Entonces, sí :

hi = f (vf, , ce , Di, kf, , J) (3)

siendo J = equivalente dimensional de energía

TRABAJO MECANICO: W = F . L F = M.L/2 W= M.L2/2

J = W/H J = ML / (H2)

La expresión de la función será de la forma

hi = . vfa . b . ce

d . Die . kf

f . g . Ji (4)

Reemplazando por sus dimensiones fundamentales

- 4 -

ce

kf

vfDi

H/L2T = . (L/)a . (M/L3)b . (H/MT)d . (L)e . (H/LT)f . (M/L)g . (ML2/H2)i

Las magnitudes fundamentales a ambos lados del signo igual deben ser las mismas,

esto determina que el exponente resultante de la sumatoria del lado derecho debe ser igual al

exponente de la dimensión fundamental del lado izquierdo y también que si una dimensión no

aparece en una de los lados, en el otro existe elevada a la potencia cero (0), así:

exponentes de H = 0 1= d + f - i

exponentes de L = 0 -2 = a -3b + e - f - g + 2i

exponentes de M = 0 0 = b - d + g + i

exponentes de T = 0 -1 = - d - f

exponentes de = 0 -1 = - a - f - g - 2i

5 ecuaciones con 7 incógnitas, solo pueden resolverse dando

valores a dos de las variables, por ejemplo a a y a f

a = a

f = f

d = 1- f

i = 0

g = 1 - f - a

b = a

e = a - 1

(deben reemplazarse en (4))

hi = . vfa . a . ce

1 - f . Dia - 1 . kf

f . 1 - f - a . J0 (5)

hi = . (vf . . Di / )a . ce1 - f . 1 - f . Di

- 1 . kff .kf/kf (6)

(hi . Di / kf ) = . (vf . . Di / )a . (ce . / kf )1 - f (7)

siendo: vf . = G

(hi . Di / kf ) = . (Di G/ )a . (ce . / kf )1 - f (8)

hi . Di

= Numero de Nusselt = NNu

kfAsí la ecuación (8), expresada en función de

- 5 -

1/kf1-f

Di G= Numero de Reynolds = NRe

ce . = Numero de Prandtl = NPr

kf

números adimensionales, quedaría:

NNu = NRep NPr

q

DETERMINACIÓN DE LA CORRELACIÓN DE CALCULO - EXPERIMENTACIÓN

En un equipo experimental (intercambiador doble tubo con vapor circulando por

coraza), las variables G {lb/h}; t1 {ºF} y t2 {ºF}, pueden medirse correctamente en cada

determinación. Las propiedades físicas ce, , kf, pueden estimarse de datos tabulados en

función de la temperatura y las características del tubo permiten calcular la superficie de

transferencia Ai, contando con los datos anteriores se pueden utilizar las siguientes

ecuaciones:

q = G . ce . (t2 - t1) = hi . Ai . Tefectivo

Por lo cual el coeficiente de transferencia puede ser calculado como:

hi = G . ce . (t2 - t1) / Ai . Tefectivo

Cada valor de hi, calculado de esta forma (hobservado o hreal), corresponde a un cierto

valor de G, t2, ce, y kf. Si los experimentos abarcan una gran gama de valores y de

temperaturas se tendrá el cuadro que se

muestra después del esquema

Nº de

Test

G t1 t2 tp q Tefect. hi hi Di / kf

NNu

G Di G /

NRe

ce / kf

NPr

1 A1 B1 C1

- 6 -

ce, , kfa

tcal = f(t1, t2, tp)

Gt1 t2

vapor a tsaturación

vapor a tsaturación

fluido calentándose de t1 a t2

2 A2 B2 C2

3 A3 B3 C3

... ... ... ...

Por lo cual se puede obtener:

hi Di / kf

NNu

Di G /

NRe

ce / kf

NPr

Si los ensayos corresponden al régimen turbulento

Di G / 2100, la correlación será:

A1 B1 C1 hi Di / kf = (Di G / )p . (ce / kf)q

A2 B2 C2 pero cuales serán los valores de:

A3 B3 C3 , p y q ?

Según la ecuación anterior y los valores encontrados se puede escribir

A1 = . B1p . C1

q aplicando logaritmos log A1 = log + p log B1 + q log C1

A2 = . B2p . C2

q log A2 = log + p log B2 + q log C2

A3 = . B3p . C3

q linealizamos a las ecuaciones log A3 = log + p log B3 + q log C3

se obtiene así un sistema del tipo

X = log siendo c1 = X + a1 Y + b1 Z

Y = p c2 = X + a2 Y + b2 Z

Z = q c3 = X + a3 Y + b3 Z

Los valores obtenidos originan una correlación experimental aplicable al rango de

experimentos realizados. Puede utilizarse un numero mayor de valores experimentales y

utilizar un método gráfico o numérico que origine los valores de , p y q, para el rango dado.

La correlación final, corregida por efectos no isotérmicos es:

para (9)

con un error de -15 a +10 %

Gráficamente se representa toda la gama de NRe ,a través de una sola gráfica donde se

reordena un nuevo grupo adimensional JH

para (10)

- 7 -

valores observados valores calculados a través de los observados

(11)

Para graficarla se linealizará tomando logaritmos

(12)

- 8 -

JH

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL O LIBRE FUERA

DE TUBOS Y TUBERÍAS

De acuerdo con algunas investigaciones experimentales como la observada

anteriormente el coeficiente para convección libre para gases desde cilindros horizontales se

puede presentar como:

(13)

Todas las propiedades se evalúan a la temperatura de película y se toma como el

promedio de la temperatura de la superficie de calefacción y la temperatura del fluido que se

va a calentar

Las correlaciones para convección libre de superficies externas de diferentes formas,

que son de valor directo en ingeniería, están catalogadas en dos clases: convección libre

respecto a tubos o tuberías y convección libre respecto a recipientes y paredes.

Mc Adams trabajo extensamente en este campo encontrando que las corrientes de

convección libre no solo se influencian por la posición de la superficie sino también por su

proximidad a otras superficies. Las superficies horizontales originan corrientes que difieren

grandemente de las originadas en superficies verticales, así se obtuvieron las siguientes

formas dimensiónales simplificadas para el calculo de convección natural “al aire”.

Tubos horizontales (14)

Tubos verticales (15)

Placas verticales de menos de 2 ft de altura

de más de 2 ft de altura

(16)

(17)

Placas horizontales hacia abajo

hacia arriba

(18)

(19)

donde: : diferencia de temperaturas entre la superficie caliente y el fluido frío en [°F]

d0 : diámetro exterior de la tubería [pulg]

z :altura de la placa [ft]

Para tuberías horizontales la expresión adimensional será:

- 9 -

tubos pequeños

(20)

tubos grandes

(21)

Chilton, Coulburn, Generaux y Vernon, han desarrollado un diagrama que da

coeficientes observados para tuberías simples que ha sido utilizado sin errores notables para el

calculo de convección libre en la parte exterior de bancos de tubos. La ecuación dimensional

graficada en la Figura 10.4 de la página 260 (Kern), es:

(22)

donde: hc :coeficiente de transferencia de calor para convección libre [BTU/h.ft2°F]

D0 : diámetro exterior en [ft]

d0 : diámetro exterior en [pulg]

kf : conductividad térmica en la película a Tf [BTU/hft2(°F/ft)]

f : densidad [lb/ft3]

: coeficiente de expansión térmica [1/°F]

g : aceleración de la gravedad [ft/h2] = 4,18.108ft/h2

f : viscosidad en centipoise

Cf : capacidad calorífica [BTU/lb°F]

De los cuatro ejes con que cuenta el diagrama uno es la línea de referencia para los

valores , que permite usarlo para otros fluidos no incluidos en la tabla. El

uso del diagrama requiere que la tubería o tubos no se localicen cerca del fondo del recipiente

y que se encuentren espaciados por lo menos un diámetro entre tubos.

- 10 -

Luego de ver los mecanismos de transferencia de calor por convección forzada y

natural, y la determinación de sus coeficientes podemos definir el denominado coeficiente

total de trasferencia y obtener su expresión para paredes planas "hornos, pantallas, etc." y

cilíndricas “tubos, envueltas, etc.”.

- 11 -

COEFICIENTE TOTAL DE TRASFERENCIA DE CALOR “U”Si tenemos una pared plana entre dos fluidos a distintas temperaturas y la misma se

encuentra en régimen estacionario de transferencia de calor

Las ecuaciones serán:

q = h1. At . (t1 - t2) (1)

q = kp/ep At . (t2 - t3) (2)

q = h2. At . (t3 - t4) (3)

siendo:

q: flujo de calor (Kcal/h)

h1, h2: coeficientes individuales de trasferencia

de calor “coeficientes de película” (Kcal/hm2ºC)

kp : conductividad térmica de pared (Kcal /hmºC)

ep : espesor de pared (m)

At : area de transferencia (m2)

SUPERFICIE DE TRANSFERENCIA x FUERZA IMPULSORAFLUJO CALORICO =

RESISTENCIA

q = 1/R. At . t (4)

De todas las ecuaciones:

R1 = 1/h1

R2 = 1/(kp/ep)

R3 = 1/h2

La resistencia total del sistema a la transferencia de calor será la suma

de las resistencias individuales

Rt = R1 + R2 + R3 (5)

(6)

Si se despejan h1, kp/ep y h2, de las ecuaciones (1), (2) y (3), y se introducen en la

ecuación (6), tendremos:

- 12 -

q

kp h2h1

t4

t1

t2

t3

ep

pared fluido 2fluido 1

At

Rt = { (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4) } (7)q

Quedando: At

Rt = { (t1 - t4) } (8) q

O: At 1

q = (t1 - t4) = . At (t1 - t4) (9) Rt Rt

Se define el coeficiente total de transferencia del sistema a la inversa de la resistencia total

q = U . At . (t1 - t4) (10)

Por lo cual1

U = (11)1 1 1

+ + h1 kp / ep h2

Esta ultima es la expresión del coeficiente total de transferencia para un sistema correspondiente al analizado

Para una pared cilíndrica

Siendo:

- 13 -

qt4t3

t2t1

L

dL eDi

De

Ai

A0

hi : Coeficiente pelicular del fluido que circula por el interior del tubo y Ai: Area interior del tubo por unidad de longitudhe : Coeficiente pelicular del fluido que circula por el exterior del tubo y Ae: Area exterior del tubo por unidad de longitud.Ai Ae

En los cálculos se tomara el área externa del tubo como superficie de transferencia ya que para trasformarla en longitud de tubo (a efectos del calculo), debe hablarse de una sola área de referencia.

Para la unidad de longitud de tubo

q = hi. Ai . (t1 - t2) (12)

q = 2l kp/2,3 log (De/Di) . (t2 - t3) kp/ep Aprom. (t2 - t3) (13)

q = he. Ae . (t3 - t4) (14)

Siendo entonces:

Aprom. = Superficie promedio de transferencia del tubo promedio por unidad de longitud:

(m2/m)

Ai = Superficie interior de transferencia del tubo por unidad de longitud: (m2/m)

Ae = Superficie externa de transferencia del tubo por unidad de longitud: (m2/m)

La resistencia individual o el h resultan ahora aplicables a la unidad de longitud de

tubo pero las superficies de transferencia son distintas Ai Aprom. Ae

recordando:

La resistencia total del sistema a la transferencia de calor será la suma de las resistencias individuales

Rt = R1 + R2 + R3 (15)

R1 = 1/hi

R2 = 1/kp/ep

R3 = 1/he

(16)

No es posible en (16), reemplazar el valor de los coeficientes despejados de (12), (13)

y (14), dado que las áreas son distintas, se define entonces un coeficiente h ie, que cumpla la

relación

- 14 -

q = hie. Ae . (t1 - t2) = he. Ae . (t3 - t4) (17)

donde: hie = hi . (Ai / Ae) (18)

para la pared: = Ae

q = kp/ep . (Aprom./Ae). Ae . (t2 - t3) o 2 . . l . kp .De / 2,3 . De log (De/Di) . (t2 - t3) (19)

q = 2 .Ae .kp / 2,3 . De log (De/Di) . (t2 - t3) (20)

Así:

Rt = 1 / hie + 1 / (kp Aprom /ep Ae) + 1 / he (21)

Rt = 1 / hi .( Ai / Ae) + 1 / (kp Aprom /ep Ae) + 1 / he (22)

o

Rt = 1 / hi .( Ai / Ae) + 1 / (2,3 De log (De/Di)/2 kp) + 1 / he (24)

Ae

Rt = { (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4) } (25)q

Ae

Rt = { (t1 - t4) } (26) q

o: Ae 1

q = (t1 - t4) = . Ae (t1 - t4) = Uo Ae (t1 - t4) (27) Rt Rt

Se define el coeficiente total de transferencia del sistema a la inversa de la resistencia total

1U0 = (28)

1/ hie + 1/ (kp Aprom. / ep Ae) + 1/ he

o:

- 15 -

1U0 = (29)

1/ hi . (De/Di) + 2,3 log (De/Di) / 2 kp + 1/ he

Para los cálculos se definen dos coeficientes totales de transferencia, según se tengan o no en

cuenta las resistencias por ensuciamiento:

1Uc = (30) (coeficiente limpio)

1/ hie + 1/ (kp Aprom. / ep Ae) + 1/ he

1Ud = (31) (coeficiente sucio)

1/ hie + ri (Aprom./Ae) + ep Ae/kp Aprom. + re + 1/ he

DIFERENCIA DE TEMPERATURAS EFECTIVA

CIRCULACIÓN EN CONTRACORRIENTE

- 16 -

Se desea obtener una expresión para la fuerza impulsora que puede emplearse en la

ecuación de transferencia , que se utilizara (conociendo el área de

transferencia), para determinar el coeficiente total de transferencia o a la inversa.

Se plantea entonces un sistema de fluidos que intercambian calor sensible circulando a

contracorriente (cc).

Se hacen los siguientes supuestos:

1. U es constante a lo largo de todo el equipo (la variación de la viscosidad con la

temperatura no influye sobre el valor de h, al igual que las demás propiedades físicas)

2. Los flujos násicos W y w, son constantes, el régimen resulta entonces estacionario o

permanente.

3. El calor especifico de ambos fluidos Cp y cp, son constantes esto implica perfiles de

temperatura rectos (línea llena en la figura).

4. No existen cambios de fases parciales (se relaciona con lo anterior).

5. Las pérdidas de calor son despreciables.

Así el calor transferido por unidad de área diferencial será, si

- 17 -

t1

T2

t2

T1

t1

t2

t

T1

T2

TT2

T1

x dx

L

(2)

(3)

Si determino por balance de calor la cantidad de energía transferida entre x = 0 y x = x

(4)

(5)

de (2), (3), (4) y (5)

(6)

Reagrupando

(7)

(8)

(9)

(10)

análisis del numerador

- 18 -

a1 b1

(11)

recordando las ecuaciones de balance, tendremos:

(12)

(13)

reemplazando (13) en (11)

Numerador

(14)

análisis del denominador

(15)

Denominador

(16)

Reemplazando lo encontrado en (10)

(17)

(18)

(19)

reordenando:

- 19 -

(20)

- 20 -

Media logarítmicade temperaturas

MLDT

Diferencia efectiva de temperaturas en

transferencia de calor a contracorriente pura

(CC)