UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE FISICA

TRABAJO EXPERIMENTAL Nº

Fis 1102

CAPITULO: Elasticidad

TEMA: Flexión

NOMBRE: Gonzales Rodríguez Álvaro Marcelo

DOCENTE DE TEORIA: Ing. Gonzalo Mendoza

DOCENTE DE LABORATORIO: Ing. Gustavo Loza

FECHA DE REALIZACION: 30/05/2008

FECHA DE ENTREGA: 13/06/2008

5

II

6

F

l

l

Oruro – Bolivia

TRABAJO EXPERIMENTAL Nº 6

FLEXIÓN

1. OBJETIVO

Calcular el espesor de una viga de hierro de modulo de elasticidadE=1.9×1011Pa.

2. TEORIA

Ley de Hooke; Deformación = Constante * Fuerza.

O lo que es lo mismo: Deformación = Coeficiente de elasticidad * Fuerza.

Donde: Coeficiente de elasticidad = 1/ Módulo de elasticidad; sólo depende del material.

TRACCIÓN

Incremento longitudinal.

ΔL=FLES; donde: E = módulo de Young (N/m2)

L = longitud (longitudinal) (m).

F = Esfuerzo al que está sometido (N).

S = sección (m2).

L = Incremento de la longitud (m).

Decremento transversal.

ΔL´=−σFL´ES donde: E = módulo de Young (N/m2)

= Coeficiente de Poisson ( > 0, sin unidades).

L’ = longitud (transversal) (m).

F = Esfuerzo al que está sometido (N).

S = sección (m2).

L’ = decremento del tamaño transversal (m).

COMPRESIÓN

Δ V=−VFBS ; donde:

v = volumen (m3).

B = módulo de compresibilidad (N/m2).

F = Esfuerzo al que está sometido (N).

S = sección (m2).

v = decremento del volumen (m3).

Relación entre los módulos de Young, Poisson y compresibilidad.

E = 3*B (1-2); donde: B = módulo de compresibilidad (N/m2).

E = módulo de Young (N/m2)

= Coeficiente de Poisson ( > 0, sin unidades

CIZALLADURA

φ=FGS;

donde: G = módulo de cizalladura o rigidez (N/m2).

= ángulo de cizalladura (radianes).

F = Esfuerzo al que está sometido (N).

S = sección (m2).

Relación entre los módulos de Young, Poisson y rigidez.

G = 1/2 *E/(1+); donde: G = módulo de rigidez (N/m2).

E = módulo de Young (N/m2)

= Coeficiente de Poisson ( > 0, sin unidades)

TORSIÓN

α=2MLGπr4

donde: G = módulo de rigidez (N/m2).

L = longitud (m).

M = Momento torsor (N*m).

r = radio (m).

= ángulo de torsión (radianes).

= cte. de valor 3,1415

FLEXIÓN

METODO DOBLE INTEGRACION

Flecha = Ymax

L Q=Mg

RY

Rx

EI d2y

dx2=M(x)

∴M(x)

=Qx

EId2y

dx2=Qx

∫EId(dydx )=∫Qxdx

EI(dydx )=Qx22

+C1……(1)

Pero si x=L la

pendiente dydx=0

C1=−QL22

……(a)

Reemplazamos (a )en(1)

EI(dydx )=Qx22

−QL2

2

EI∫dy=∫ [Qx2

2−QL2

2 ]dx

EIy=Qx3

6−QL2

2x+C2……(2)

Si x=L la deformacióny=0

C2=Ql32

−Ql36

C2=Ql33

……(b)

Reemplazamos (b )en(2)

EIy=Qx3

6−QL2

2x+

Ql3

3

Para x=0 entoncesy=ymax

EIymax=Ql3

3

Despejando se tiene:

ymax=Ql3

3EIVariables

Q=¿Variable independiente

ymax=¿Variable dependiente

Entonces:

ymax=f(Q)

La flexión máxima para una carga en voladizo esta dada por:

ymax=QL33EI

Siendo:

I=ba312

L33EI=ctte.=k

Entonces el modelo matemático es :

Donde:

ymax=y0−yi

3. DESARROLLO EXPERIMENTAL

3.1 EQUIPO

ymax=k∗Q

b

a

Nº MATERIAL1 Viga de Hierro2 Cuerpos de

diferentes masas3 Regla4 Balanza5 Accesorios (prensas)

3.2 ejecución del experimento

1)Sujetar la viga con las dos prensas a la mesa.

2)Se mide la longitud de la viga que esta en voladizo (L) y la altura que hay entre el suelo y la viga (yo).

3)Se registran las masas de los cuerpos usando la balanza.

4)Se pone un cuerpo de masa ya conocida en el extremo volado dela viga y se mide la nueva distancia que hay entre el suelo yla viga (yi¿.

1

2

3

5

4

5) Se repite el paso (4) aumentando 1 cuerpo en cada prueba.

3.3 REGISTRO DE DATOS

Nº M(gr)L1=532(mm) L2=417(mm)

b(mm)yo(mm) yi(mm) yo(mm) yi(mm)1 0

875875

880880

302 501.4 863 8723 1003.3 847 8644 1498.5 833 8575 1998.8 817 8496 2496.2 805 840

4. CALCULOS

NºL1=0.532(m) L2=0.417(m)

ymax(m) Q(N) ymax(m) Q(N)1 0 0 0 02 0,008 4,89 0,012 4,893 0,016 9,79 0,028 9,794 0,023 14,62 0,042 14,625 0,031 19,50 0,058 19,50

6 0,04 24,36 0,07 24,36

4.1 GRAFICO

Viga 1Dispersión de datos experimentales:

0 5 10 15 20 25 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Fuerza (Q) [N]

Fle

cha

Maxi

ma (

Ymax

) [m

]

Linearizacion de los datos experimentales:

0 5 10 15 20 25 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Fuerza (Q) [N]

Flec

ha M

axim

a (Y

max)

[m]

Ymax= 0.0029(Q)R² = 0.99

De la ecuación ajustada se tiene que la pendiente del modelo matemático:

k1=L1

3

3EI→I=

L13

3Ek1

I=ba312

ba312

=L1

3

3Ek1

a=L13√ 123bEk1

Reemplazando datos se tiene que el espesor es:

a=0.532 3√ 123∗(0.03)∗(1.9∗1011)∗(0.0029)

m3√ 1

mkg m

s2

m2s2

kg

a=0.00331(m)Obteniéndose el siguiente cuadro de resultados:

k ¿ a (mm )

0.0029

3.31

Viga 2Dispersión de datos experimentales:

0 5 10 15 20 25 300

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Fuerza (Q) [N]

Fle

cha

Maxi

ma (

Ymax

) [m

]

Linearizacion de los datos experimentales

:

0 5 10 15 20 25 300

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Fuerza (Q) [N]

Flecha Maxima (Ymax) [m]

Ymax= 0.0016(Q)R² = 0.99

De la ecuación ajustada se tiene que la pendiente del modelo matemático:

k2=L2

3

3EI→I=

L23

3Ek2

I=ba312

ba312

=L2

3

3Ek2

a=L23√ 123bEk2

Reemplazando datos se tiene que el espesor es:

a=0.417 3√ 123∗(0.03)∗(1.9∗1011)∗(0.0016)

m3√ 1

mkg m

s2

m2s2

kg

a=0.00317(m)Obteniéndose el siguiente cuadro de resultados:

k ¿ a (mm )

0.0016

3.17

5. CONCLUSIONES

Nº k(s2/kg) b(mm) E(N/m2) a(mm)

1 2.9×10−3 30 1.9×1011 3.312 1.6×10−3 30 3.17

El espesor (a) obtenido para la viga de longitud L1 estadentro el intervalo que se tiene como valor referencia, dado

esto se podría decir que la primera prueba tiene un resultadosatisfactorio.

LABORATORIO VALOR REFERENCIA3.31 (mm) 3≤a≤4 (mm)

El espesor (a) obtenido para la viga de longitud L2 estadentro del intervalo que se tiene como valor referencia, perose hace notar que el espesor de las vigas es constate ya quese uso la misma en ambas pruebas, analizando los datos de lasegunda prueba uno encuentra un error en la medición de laaltura (yo) que es la altura inicial que existía desde elsuelo a la viga, altura que no debería variar en relación ala primera, ya que lo único que se hizo fue modificar lalongitud de la viga y no así la altura desde el suelo a lamisma.

Ahora habiendo encontrado el error una explicación para estepodría ser que ,el compañero que hiso la medición de estaaltura la hizo desde el suelo hasta la parte superior de labarra y no así desde el suelo hasta la parte inferior de labarra, tomando este hecho como hipótesis podríamos tratar decorregir los datos experimentales, pero lamentablemente lasmediciones de altura inicial y alturas subsiguientes lohicieron dos diferentes compañeros, lo que deja dudas sobreel como se hicieron las mediciones de alturas, dejando altogrado de incertidumbre a la hora de corregir el error.

LABORATORIO VALOR REFERENCIA3.17 (mm) 3≤a≤4 (mm)

6. CUESTIONARIO

1. Explicar los módulos de elasticidad

Modulo de Young: El módulo de elasticidad o módulo de Young es unparámetro que caracteriza el comportamiento de un materialelástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Paraun material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tieneel mismo valor para una tracción que para una compresión, siendouna constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda deun valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor quecero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, nodisminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por elcientífico inglés Thomas Young.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintospara los diversos materiales. El módulo de elasticidad es unaconstante elástica que, al igual que el límite elástico, puedecalcularse empíricamente en base al ensayo de tracción delmaterial.

Modulo de corte: El módulo de elasticidad transversal (G), tambiénllamado módulo de elasticidad al cortante,  es un parámetrocaracterístico de cada material que indica la relación entre latensión cortante y la deformación angular en el material

Modulo de Rigidez: El módulo de rigidez mide la facilidad odificultad para  deformar por cizalladura (o esfuerzo cortante) un material determinado. Un material con un módulo de rigidezbajo, es un material fácil de deformar por cizalladura. 

Para la mayor parte de los materiales el módulo de rigidez varíaentre  la mitad y un tercio del módulo de Young. La tabla está entonalidades de azul, siendo el blanco correspondiente al elementode menor valor en su módulo de rigidez  y el azul intenso el demayor valor. Los de color gris tenue carecen de datos confiables,o simplemente no se les conoce el valor  de esta magnitud.

6. BIBLIOGRAFIA

FISICA GENERAL

Serie Schaum

2º edición en español

Páginas 114-115 (módulos de elasticidad)

FISICA UNIVERSITARIA

Sears – Zemanski-Young

6º edición en español

Pagina 255 (TABLA 10.1 CONSTANTES DE ELASTICIDAD)