qué significa y cómo se usa en geología estructural

¿Qué significa y cómo se usa en Geología Estructural?

Proyecto PAPIME PE105211

La proyección estereográfica

• La proyección estereográfica es un artificio geométrico mediante el cual podemos expresar elementos que tienen tres dimensiones en un plano.

• Cuestión que favorece la comunicación y el cálculo gráfico en las disciplinas geológicas.

• En este diaporama conocerás las características de la Proyección estereográfica, base para la elaboración y uso de la Red de Wulff en Geología Estructural.

• Identificarás a la Red de Wulff como un transportador tridimensional, con el cual podrás valorar las relaciones angulares entre rectas y planos, cuestión que permite cuantificar elementos estructurales y caracterizar las anisotropías en las rocas.

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La proyección estereográfica como una proyección geométrica

Primero definamos las dos superficies involucradas en nuestro caso:

• 1. Una superficie esférica (la mitad de una esfera).

• 2. Una superficie plana (El plano

del horizonte que contiene al centro de la esfera, como se presenta al lado).

Una proyección establece la correspondencia entre dos puntos alojados respectivamente en sendas superficies mediante una relación geométrica o matemática. La proyección estereoscópica utiliza una relación geométrica.


La proyección estereográfica como una proyección geométrica

ENUNCIADO: El punto (A) tiene como la proyección estereográfica al punto (A’) si: 1. (A) es la intersección en el

hemisferio inferior de la esfera, de una recta que contiene al centro de la esfera.

2. (A’) es la intersección en el plano del horizonte de una recta proyectiva desde (A) y que contiene al cenit de la esfera (Punto de vista de la proyección)

(A)

(A’)

¡En los siguientes cuatro cuadros vamos a relacionar la proyección con la Red de Wulff!


Visualicemos la proyección estereográfica al generar la Red de Wulff (1/4)

Observa cuidadosamente el dispositivo de la Figura. Fíjate en los siguientes elementos del dispositivo: 1) Consta un soporte en forma de

cruceta. 2) Tiene de una superficie horizontal fija

(ahí se forma la proyección estereográfica)

3) Tiene una superficie semicircular móvil y articulada al soporte mediante un eje (Al rotar el contorno del semicírculo genera un cuarto de esfera)

4) Tiene unas cuerdas elásticas negras (Proyectivas ) que parten de la superficie móvil y convergen en el soporte en un punto fijo (Cenit de la esfera, punto de vista de la proyección)

¡La escuadra de 30o se soporta porque las cuerdas son elásticas!


1. Soporte


En esta vista de frente, la superficie semicircular tiene una posición vertical (Las cuerdas proyectivas están estiradas al máximo) Fíjate en los siguientes detalles: 1) El semicírculo abatible es portador

de 17 rectas (en color rojo) que pasan por el centro de la esfera implícita en la proyección.

2) La superficie proyectiva se observa de canto.

3) Las cuerdas proyectivas quedan alojadas en un plano vertical.

4) De tal forma la proyección estereográfica de las 17 rectas quedan contenidas en la intersección del plano vertical y el plano de proyección. ¡EN UNA RECTA!



Fíjate en los siguientes detalles: 1) En el plano del horizonte se ha

dibujado una Red de Wulff para fines de observar el comportamiento de las cuerdas (rectas) proyectivas durante el giro del semicírculo portador de las 17 rectas.

2) Al girar el semicírculo portador, las rectas definen sectores cónicos, en tanto que las cuerdas proyectivas se desplazan en una ranura circular que corresponde con la proyección estereoscópica del cono generado por cada recta al girar alrededor del eje horizontal del dispositivo. (Así las cuerdas proyectivas definen en el plano del horizonte LOS CÍRCULOS MENORES de la Red de Wulff).

Ahora analicemos una vista aérea del dispositivo, la superficie semicircular tiene una inclinación de 30o.



Fíjate en los siguientes detalles: 1) El semicírculo portador de las 17

rectas está inclinado 30o (inclinación definida por la escuadra)

2) En esa posición el conjunto de las 17 proyecciones estereográficas de las rectas queda alojado en un mismo arco de circunferencia; en el tercer arco con el trazo grueso desde el borde de la Red hacia el centro. (Así las cuerdas proyectivas definen un CÍRCULO MAYOR ó TRAZA CICLOGRÁFICA de la Red de Wulff).

En el cuadro anterior consideramos el comportamiento de cada una de las rectas contenidas en el semicírculo móvil, ahora analizaremos el comportamiento del conjunto de las 17 rectas.


Vamos a recapitular las relaciones geométricas bosquejadas en la Red de Wulff (1/2)

1) Cada cuerda proyectiva en particular se

desplaza conforme al trazo de uno de los círculos menores de la Red de Wulff. Si extrapolamos esta relación podemos decir que:

Cada círculo menor en la Red, representa el lugar geométrico de las proyecciones de todas las rectas contenidas en la mitad de un cono.

2) El conjunto de las 17 cuerdas proyectivas definen puntos en el plano del horizonte (proyecciones de las rectas) alojados en un mismo círculo mayor separados equidistantemente.. Si extrapolamos esta relación podemos decir que:

Cada círculo mayor es el lugar geométrico de todas las rectas contenidas en un plano.

Dado que el punto de vista está en el cenit de la esfera, cuando giramos el semicírculo portador de las rectas, las cuerdas proyectivas tienen le siguiente comportamiento:


Vamos a recapitular las relaciones geométricas bosquejadas en la Red de Wulff (2/2)

1) Entonces las rectas estarían separadas 2o entre

sí y al girar el semicírculo portador, las cuerdas proyectivas definirían CÍRCULOS MENORES cada 2o.

2) El conjunto de las 179 cuerdas proyectivas definirían 179 puntos en el plano del horizonte (proyecciones de las rectas) alojados en un mismo círculo mayor separados equidistantemente. Si detuviéramos el giro del semicírculo cada 2o; entonces tendríamos un CÍRCULO MAYOR o TRAZA CICLOGRÁFICA cada 2o.

Si imaginamos al plano portador semicircular como un transportador que gira cada dos grados y en esa posición obtenemos la proyección estereográfica de las rectas de su graduación cada 2o , el resultado será la proyección estereográfica de un transportador tridimensional : ¡ESO ES LA RED DE WULFF!

Ahora consideremos que el semicírculo portador contenga 179 en lugar de 17 rectas y que el giro del plano portador sea de 180o en lugar de 90o:


La Red de Wulff como un transportador tridimensional

En la Red podemos reconocer tres círculos mayores ortogonales entre sí: El Círculo Mayor Norte-Sur (CMN-S), el Círculo Mayor Este-Oeste (CME-W) y el Círculo Mayor Horizontal (CMH), los dos primeros verticales. Otro elemento singular es la Recta horizontal norte-sur.


La Red de Wulff como un transportador tridimensional

• Ahora que ya reconoces a la Red de Wulff como la proyección estereográfica de un transportador tridimensional , vamos a aprovechar este nomograma en el cálculo gráfico .

• Primero vamos a recordar algunos elementos básicos de Geología Estructural: La notación estructural de rectas y planos caracterizados por datos obtenidos mediante la brújula.


RECORDATORIO: Rectas y planos caracterizados con una Brújula (1/3)

Una RECTA en el espacio geográfico se caracteriza por dos parámetros obtenidos con una brújula, los datos de la recta de la Figura: Recta (A) 30o al SE00o

a) Su INCLINACIÓN con respecto a la horizontal, valor angular medido en un plano vertical.

b) La DIRECCIÓN DE INCLINACIÓN (del sentido descendente), valor angular medido en el plano del horizonte con respecto al norte (o al sur). Observa la figura presenta una recta en línea punteada, la cual

está contenida en el círculo mayor norte sur CMN-S. de acuerdo a la red tridimensional se reconoce que la recta se inclina 30o.



Como lo vimos en el diaporama La Brújula tipo Brunton, un PLANO en el espacio geográfico terrestre se puede caracterizar con una brújula mediante tres datos:

o RUMBO o ECHADO o CUADRANTE DE INCLINACIÓN Parámetros que se derivan de dos rectas ortogonales contenidas en el plano: 1. Recta horizontal 2. Recta de máxima pendiente El Rumbo es la dirección de la recta horizontal El Echado es la inclinación de la recta de máxima pendiente El Cuadrante de inclinación corresponde con el propio del sentido

descendente de la recta de máxima pendiente



Observa la traza ciclográfica del plano en la Red de Wulff (en color naranja) y las tres rectas características del plano: a) la recta de rumbo, como recta horizontal se encuentra en la periferia de la red e interseca dos puntos de la red , uno a 180o del otro. b) La recta de máxima pendiente, cuya dirección forma un ángulo de 90o con el rumbo. c) El polo del plano, recta ortogonal al plano, contenida en un plano vertical que contiene a la recta de máxima pendiente. Se presenta el círculo mayor (en rojo) en el hemisferio inferior de la esfera, que corresponde con el plano expresado en la Red.


Medición del ángulo entre dos rectas:

El valor angular se cuantifica con base de la graduación del círculo mayor que las contiene. En esta figura se aprecian dos rectas contenidas en una misma traza ciclográfica o círculo mayor.

La medición de los ángulo se realiza en la Red de Wulff con base en la subdivisión del círculo mayor. Cada círculo mayor representa un transportador de 180o.

Dados dos segmentos de recta que se cortan se definen cuatro ángulos, dos agudos y dos obtusos.

En la Red en tres dimensiones puedes contar un ángulo agudo de 30o y uno obtuso de 150o.


A manera de conclusiones

• Red de Wulff es un transportador tridimensional graduado cada 2° en todos sus círculos mayores, incluso los círculos mayores verticales Norte –Sur (CM-NS) y Este-Oeste (CM-EW) ortogonales entre sí .

• La Red tiene como dirección principal la recta horizontal de intersección de

todos los círculos mayores (excepto el CM-EW que es ortogonal a la dirección principal), dirección que para fines prácticos se reconoce como recta norte-sur .

• El círculo mayor del horizonte (CM-H) , se reconoce como un transportador de

360°con el cual se miden direcciones; si están expresadas en forma acimutal, el origen será el extremo N de la recta N-S y los valores tendrán un rango de 0 a 360°; en tanto que si se utilizan ángulos en cuadrantes, los valores tendrán un rango de 0 a 90° y como origen uno de los extremos de la recta horizontal N – S y tendrán sentido hacia el E o al W.

• Por otra parte la intersección entre los círculos mayores y los círculos menores

(puntos en la red) representan rectas contenidas en las trazas ciclográficas.

¡En la presentación “Cálculo gráfico con La Red de Wulff” encontrarás más información para procesar datos en la red! PAPIME-DGAPA-UNAM PE-105211

Créditos Diseño:

Gilberto Silva Romo

Red de Wulff en volumen: Adán Castro Flores

Fotografía:

Gilberto Silva Romo

Iluminación y escenografía: Adán Castro Flores


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