Table des matièresIntroduction....................................................2

Théorie et présentation du problème.............................31. Solution théorique avec Re =500..............................3

2. Comparaison de trois maillages...............................43. Variation du nombre de Reynolds..............................6

4. Variation de pression........................................75. Évolution du profil de vitesse...............................7

6. Évolution de la longueur d’entrée au centre d’axe...........117. Comparaison de la longueur d’entrée numérique et théorique..12

8. Comparaison avec le modèle Durst............................13Conclusion.....................................................14

Figure 1 - Schéma du domaine de calcul..........................4

Figure 2 - Comparaison des paramètres pour les différents

maillages.......................................................4

Figure 3 - Profils des vitesses en région pleinement développée. 5

Figure 4 - Résultats 50,100,200,400,500 Re......................6

Figure 5 – Variation de pression expérimentale..................7

Figure 6 - Profil de vitesse à x/D=2.5.........................8

Figure 7 - Profils des vitesses à x/D=5........................8

Figure 8 - Profils des vitesses à x/D=10.......................9

Figure 9 - Profils des vitesses à x/D=20.......................9

Figure 10 - Profils des vitesses à x/D=40.....................10

Figure 11 – Évolution des vitesses au centre de la conduite pour

les différents nombres de Reynolds.............................11

Figure 12 - Modèle Durst.......................................13

Introduction

Dans le cadre du cours MEC335 – Mécanique des fluides, un projetnous à été soumis. Il s’agit de faire l’analyse d’une conduite ensimulation numérique. L’outil que nous utiliserons pour ce projetest le logiciel ‘’Fluent’’. Ce projet à pour but principale defamiliariser les étudiants aux logiciel disponible pour lasimulation d’écoulement en conduite. Le projet demande decaractérisé la couche limite tout au long d’une conduitecirculaire avec l’étude de la longueur d’entré et ce avec unécoulement laminaire

Pour compléter le projet, il faudra procéder en deuxétapes. La première consiste à modéliser le tuyau et lesconditions décrites, il faudra ensuite comparer les résultatsavec trois différents maillages. Il faudra aussi trouver laréponse la plus réaliste d’entre elle afin de savoir quelmaillage est le meilleur. La deuxième étape est assez simple, ilsuffira d’étudier l’impact du changement du nombre de Reynoldstrouvé dans la conduite.

Théorie et présentation du problème

Pour pouvoir mené ce projet à terme, nous devons poserplusieurs hypotèse. Les voici;

Hypotèse soumise pour un écoulement laminaire.

La longueur d’entrée se détermine comme suit :Lh=0.05ℜ∗D.

Le coefficient de Darcy : f=64ℜ

La perte de charge : hL=

f∗LD

∗Vmoy2

2g

La vitesse moyenne : Vmoy=ℜ∗υD

La vitesse maximale : umax=2∗Vmoy

La viscosité cinématique : υ=μρ

La variation de pression : ∆P=HL∗ρ∗g∗Lh

Une condition de non-glissement est présente aux parois de la conduite.

1.Solution théorique avec Re =500Pour toutes les équations ci-dessous, on considère que l’écoulement est laminaire.

Figure 1 - Schéma du domaine de calcul

2.Comparaison de trois maillages

Trois maillages différents ont été proposés pour faire

l’analyse numérique du problème proposé. : un maillage

grossier de 40x8, un maillage moyen de 160x32 et un maillage

fin de 320x64. Les paramètres de référence utilisée pour

comparer les trois maillages sont les paramètres utilisés au

point précédent. En comparant les résultats des trois

grandeurs de maillage, plus précisément la différence entre

les pertes et les vitesses, on conclue que chaque maillage

pourraient être valable avec un marge d’erreur de 5%. Comme

le montre le tableau 1, les différences entres les résultats

sont très faible. Par contre le maillage le plus fin est

bien évidemment le plus précis, si on le compare à la valeur

théorique calculé. Cependant, comme l’indique le tableau 1,

il n’y a pas de différence marquée entre les résultats des

trois maillages et ceux des calculs théoriques. Néanmoins,

le maillage le plus fin s’avère évidemment le plus précis et

le plus près des valeurs théoriques.

1 2 4 52.4179E-05 2.4179E-05 2.4179E-05 2.4179E-050.0120895 0.024179 0.04835799 0.06044749

2.3838E-05 4.7676E-05 9.5351E-05 0.000119190.024179 0.04835799 0.09671599 0.12089498

Figure 2 - Comparaison des paramètres pour les différents maillages

Le graphique ci-dessous montre les profils de vitesse pour

les trois maillage. Les profils on été créée à partir de la

vitesse en fonction du rayon de la conduite pris à la toute

fin de la conduite, (L=8m), car en cet endroit, l’écoulement

est sans doute pleinement développés. La courbe associée au

maillage le plus fin (320x64) est très difficile à voir car

elle est quasiment la même que de celle du maillage moyen

(160x32), c’est pourquoi elle ne semble pas apparaître sur

le graphique. Par contre, le maillage le plus grossier

(40x8), se démarque des deux autres car il est moins

précis. Dans l’optique d’obtenir le meilleur résultat avec

le moin de temps de calcul possible, le maillage moyen

serais choisis. Car il procure très sensiblement les mêmes

résultats que le maillage le plus fin, mais en demandant un

travail moins long sur le plan de l’analyse et de la

modèlisation.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.10.20.30.40.50.6

Profils des vitesses des trois maillages

320x6440x8160x32

U(r)/ Uin

r/D

Figure 3 - Profils des vitesses en région pleinement développée

3.Variation du nombre de Reynolds

Le tableau suivant présente les résultats des calculs

montrés au point 1 pour chaque nombre de Reynolds dans le

but d’analyser la variation de ce nombre.

Re 50 100 200 400 500Lh 0,5 1 2 4 5hL par m 1,19189E-

052,38379E-05 4,76757E-05 9,53515E-05 0,000119189

u max 0,012089498

0,024178997 0,048357994 0,096715987 0,120894984

u max (u moy)

2 2 2 2 2

u(r) 0,012(1-(r^2/0,01))

0,024(1-(r^2/0,01))

0,048(1-(r^2/0,01))

0,097(1-(r^2/0,01))

0,120(1-(r^2/0,01))

Figure 4 - Résultats 50,100,200,400,500 Re

On voit très bien dans ce tableau les relations entre les

différents paramètres de l’écoulement en fonction du

nombre de Reynolds. Au premier coup d’œil, la longueur

d’entré augmente, et ce, de façon proportionnelle avec le

nombre de Reynolds. Le même phénomène se fait voir avec

la perte de charge et la vitesse maximale. Ce qui donne

un bon indice sur le comportement de fluides dans les

conduites.

4.Variation de pression

0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

0

10

20

30

40

50

60

Variation de pression expérimentale

ExpérimentalThéorique

Reynolds

P(x)

/(1/2

ρ U

in2)

Figure 5 – Variation de pression expérimentale

Du a une erreur expérimentale inconnue, les pressions

dynamiques semblent toutes erronées. Les pressions affichées

par Fluent ne sont qu’une fraction de ce qu’elles devraient

êtres. Cependant, le graphique permet de constater le

phénomène de la variation de pression. Plus le nombre de

Reynolds est grand, moins la variation de pression est

grande. Ceci s’explique par le fait que la longueur d’entrée

(phase laminaire) varie en fonction du nombre de Reynolds.

Moins la phase turbulente est grande, moins la variation de

pression sera grande.

5.Évolution du profil de vitesse

Les graphiques ci-dessous représentent les profils de

vitesse selon le rayon de la conduite pour chacun des nombre

de Reynolds donnée. Les profils de vitesse donnent beaucoup

d’informations sur l’écoulement dans une conduite.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Profils de vitesses à x/D=2.5

50100200400500

Vitesse (U(r)/Uin)

Position (r/D)

Figure 6 - Profil de vitesse à x/D=2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Profils des vitesses à x/D=5

50100200400500

Vitesse (U(r)/Uin)

Position (r/D)

Figure 7 - Profils des vitesses à x/D=5

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Profils des vitesses à x/D=10

50100200400500

Vitesse (U(r)/Uin)

Position (r/D)

Figure 8 - Profils des vitesses à x/D=10

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Profils des vitesses à x/D=20

50100200400500

Vitesse (U(r)/Uin)

Position (r/D)

Figure 9 - Profils des vitesses à x/D=20

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Profils des vitesses à x/D=40

50100200400500Théorique

Vitesse (U(r)/Uin)

Position (r/D)

Figure 10 - Profils des vitesses à x/D=40

En analysant ces graphiques, on constate que la

longueur d’entré augmente de façon proportionnelle avec le

nombre de Reynolds. Le premier graph qui est le plus proche

de l’entré laisse un important écart de données entre 50 et

500 Reynolds. La dernière valeur enregistré semble vouloir

se tenir constante à 1.5 fois la vitesse d’entrée ce qui

laisse entre voir un comportement particulier près de

l’entrée. De plus, quand la position de l’écoulement

s’éloigne, plus sa vitesse à tendance à diminuer. Ceci peut

être expliqué par le cisaillement pariétal qui est à son

maximum. Il est aussi évident que si l’écoulement est

presque totalement développé plus les courbes se

ressemblent. Les nombres de Reynolds atteignent une valeur

près du double de la vitesse d’entrée. Ces résultats sont

aussi trouver théoriquement. En somme, la région développée

expérimentalement et celle calculée théoriquement sont très

similaires et ce, malgré le nombre de Reynolds.

6.Évolution de la longueur d’entrée au centre d’axe

L’évolution de la vitesse au centre de la conduite (Umax) a

été comparée pour chaque Reynolds proposé, en fonction x/D. Sur

le graph suivant, Il est très clair que la longueur d’entrée est

directement affectée par le nombre de Reynolds. Plus l’écoulement

est turbulent, plus la stabilisation de l’écoulement se fait loin

de l’entrée ce qui fait augmenter la longueur d’entrée. Au niveau

théorique, en region pleinement développer, le rapport entre la

vitesse max et la vitesse d’entrée (U(x)/Uin) est 2. La valeur

calculé est atteinte en pratique mais la distance pour y parvenir

varie lors de chaque expérience

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.5

1

1.5

2

2.5

Vitesses pour les différents Re

50 Re100 Re200 Re400 Re500 Re

x/D

Vite

sse U(

X)/U

Figure 11 – Évolution des vitesses au centre de la conduite pour les différents nombres de Reynolds

7.Comparaison de la longueur d’entrée numérique et théorique

En prenant les résultats théoriques comme référence, les

longueurs d’entrée devraient être de 25, 20, 10, 5 et 2.5 pour

500, 400, 200,100 et 50 Reynolds.

Un ratio a été vu entre la vitesse moyenne et la vitesse max

(Umoy/Umax). Ce ratio à servi de critère pour comparer les

valeurs théorique aux valeurs obtenues durant la simulation. Plus

les mesures étaient prises loin dans la conduite, avec un ratio

x/d plus grand, plus le pourcentage d’augmentation de la vitesse

moyenne par rapport à la vitesse au centre diminuait.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4530.00%

35.00%

40.00%

45.00%

50.00%Ratio des vitesses selon x/D

500Re

400Re

200Re

100Re

50Re

x/D

Ratio des vitesses

Figure 12 – Ratios des vitesses

Avec la longueur d’entrée attendue de 25 pour un nombre de

Reynolds de 500, le critère a été construit pour respecter le

plus fidèlement cette valeur. En effet, tel que démontre la

figure 13, en interpolant entre 20 et 40 pour les valeurs de x/D

pour arriver à 25, le pourcentage d’augmentation équivalent est

d’environ 1.7%. Afin de trouver un critère satisfaisant pour

l’ensemble des nombres de Reynolds considéré, il a été fixé à

1.5%.

Ainsi, c’est avec 1.5% qu’ont été calculées les longueurs

d’entrée des simulations numériques, toujours par le biais

d’interpolation entre les valeurs connues de la figure 14. Les

erreurs relatives sont dans l’ensemble correctes, sauf pour la

valeur qui concerne 50Re. Bien entendu, ces valeurs auraient pu

être différentes si le critère de comparaison avait été choisi

autrement ou qu’il avait eu une autre valeur arbitraire. Dans ce

cas, 1.5% semblait une valeur acceptable, car même si une des

valeurs du Tableau 3 constitue une erreur non-négligeable,

puisque l’analyse ne permettait pas une grande précision pour ce

qui est du domaine de la région d’entrée. L’interpolation est

une méthode utile lorsque des valeurs sont manquantes, mais qui

peut faire perdre beaucoup de précision dans de tels cas.

Re x/D

x

simulatio

n

Lh

théorique % erreur500 27,33 5,466 5 -9,32%400 20,9 4,18 4 -4,50%

Figure 13 – Convergence pour 500Re

x/D v moy v max

ratio des

vitesses

%

d'augmentati

on0 0,0604 0,1205 49,83% N/A2,5 0,0725 0,1205 39,82% 10,00%5 0,0758 0,1205 37,05% 2,77%10 0,0792 0,1205 34,23% 2,82%20 0,0816 0,1205 32,25% 1,98%40 0,0824 0,1205 31,58% 0,67%

200 10,77 2,154 2 -7,70%100 5,72 1,144 1 -14,40%50 4,86 0,972 0,5 -94,40%

Figure 14 – Longueurs d’entrée interpolées

Comparaison avec le modèle Durst

Longueur d'entrée

(en m)

Reynolds Théorique Numérique Durst et al. Pourcentage d'écart théorique/Durst

50 0,5 0.972 0,597560869 19,51%100 1 1.144 1,154376796 15,44%200 2 2.154 2,281491911 14,07%400 4 4.18 4,544911963 13,62%500 5 5.466 5,67779658 13,56%

Figure 15 - Modèle Durst

Le tableau ci-haut montre les valeurs théoriques,

numériques et celles calculées avec la formule du modèle de

Durst et al. Le pourcentage d’écart entre les valeurs est

aussi montrer. En analysant c’est résultat, on peut voir que

la méthode de Durst semble un peu imprécise. En effet le

pourcentage d’écart de ces valeur varie de 13 a 19%. Cette

écart diminue plus le nombre de Reynolds augmente. Il serait

donc plausible de dire que la méthode de Durst serait valide

dans un écoulement à haute vitesse ou turbulent.

Conclusion

Ce projet a pour but de nous familiariser avec le logiciel

Fluent qui permet l’analyse d’écoulement dans des conduites

quelconque. Malgré quelques difficultés et problème lors de

l’analyse, les résultats obtenus ont permis de chiffrer l’effet

du cisaillement pariétal et du nombre de Reynolds sur

l’écoulement en conduite. Les graphs avec des échelles

adimensionnels des profils de vitesse on pu être tracé et en les

analysant il est alors possible de savoir si l’écoulement

converge ou diverge vers la région pleinement développer. Les

facteurs affectant la longueur d’entrée on aussi été étudier. Le

nombre de Reynolds en est un qui joue beaucoup sur la longueur de

celle-ci car quand le nombre de Reynolds augmente, la longueur

d’entrée augmente de façon proportionnelle. Le logiciel Fluent

est un outil très efficace pour estimer des résultats. Car il ne

prend pas en compte l’état du système, les changements de

température et plein d’autres facteurs qui on une influencent

directe sur l’écoulement dans une conduite. Il serait intéressant

de faire un laboratoire avec le même montage que nous avons

étudier dans ce rapport et ainsi faire le lien entre la théorie,

la simulation et la réalité.

Références

Y. A. ÇENGEL & J. M. CIMBALA 2006 Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications,McGraw-Hill, New-York.

F. DURST, S. RAY, B. ÜNSAL & O.A. BAYOUMI 2005 The development lengths of laminar pipeand channel flows, J. Fluids Engng, 127, 1154-1160.