programación y métodos numéricos (guía-ejercicios) instituto politÉcnico nacional

Programación y Métodos Numéricos (guía-ejercicios)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESIME UNIDAD AZCAPOTZALCO

http://www.sepi.esimeazc.ipn.mx/eim/Guia-Metodos-Numericos.pdf



INTERPOLACIÓN

INTERPOLACIÓN FORMULA DE NEWTON

PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE: PLANTEAMIENTO Y CASO DE PRIMER ORDEN

PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS: INTEGRACIÓN NUMÉRICA- FÓRMULAS DE TIPO INTERPOLATORIO

MÉTODO DE GAUSS – SEIDEL

RESOUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, METODO DE GRADIENTE CON PASO ÓPTIMO

PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES: MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

METODO DE SOBREITERACIONNEWTON – RAPHSON

PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

17Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

OBJETIVOSOBJETIVOS

1º. Conocer el problema general de interpolación polinomial

2º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange a través de laresolución de un sistema de ecuaciones

3º. Conocer y definir los polinomios de base de Lagrange del espacio de polinomios de grado menor o igual que n asociadosa un soporte de (n+1) puntos distintos.

4º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange utilizando lospolinomios de base de Lagrange.



Ejemplo 1ºEjemplo 1º

Determinar la RECTA que pase por los puntos (1, 5) y (3,2)

Gráficamente:

1

2

3

4

5

1 2 3

Analíticamente:

Ecuación General de una recta:y = a0+a1·x

x

Poliniomio de grado <1(problema: hallar a0 y a1)

En (1, 5): a0 + a1·1= 5En (3, 2): a0 + a1·3 =2

a1 = -3/2 ; a0 = 13/2

y = - ·x32

132



Ejemplo 1º (Generalización)Ejemplo 1º (Generalización)

Hallar el polinomio de grado < 1 que en los 2 puntos {x0 , x1} tomelos valores {f0 y f1} respectivamente.

Gráficamente:

f1

f0

x0 x1

Analíticamente:Ecuación General:

y = a0+a1·x

x

Poliniomio de grado < 1(problema: hallar a0 y a1)

En (x0,f0): a0+a1·x0 = f0En (x1, f1):a0+a1·x1 = f1

a1 = (f1 – f0)/(x1 – x0)a0 =(f0x1 – f1x0)/(x1-x0)



OBJETIVOSOBJETIVOS

1º. Conocer el concepto de diferencia dividida de orden k definidaen k puntos de un soporte.

2º. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange de una funciónutilizando la fórmula de Newton en diferencias divididas.

3º. Conocer las principales propiedades de las diferencias divididas.

4º. Particularizar la fórmula de Newton al caso de soportesequidistantes: Fórmulas en diferencias finitas.



NOTACIÓNNOTACIÓN

Soporte de interpolación formado por los (n+1) puntos distintos:{x0, x1, …, xn}

Valores de una función f(x) en los (n+1) puntos del soporte:{f0, f1, …, fn}

PROBLEMA

Calcular el polinomio p(x) que interpola en el sentido deLagrange a la función f(x) sobre el soporte {x0, …, xn}

1ª forma de resolverlo: Usando la fórmula de Lagrange



2ª forma de calcular el polinomio interpolador2ª forma de calcular el polinomio interpolador

Si se considera el polinomio escrito en la forma:

p(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + …… + an·xn

Pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:En (x0, f0): a0 + a1·(x0) + a2·(x0)2 + …… + an·(x0)n = f0

En (x1, f1): a0 + a1·(x1) + a2·(x1)2 + …… + an·(x1)n = f1

En (x2, f2): a0 + a1·(x2) + a2·(x2)2 + …… + an·(x2)n = f2

En (xn, fn): a0 + a1·(xn) + a2·(xn)2 + …… + an·(xn)n = fn

…………………………………………………………………………………………………….



3ª forma: El Método de Newton3ª forma: El Método de NewtonSi se considera el polinomio escrito en la forma:

p(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x – x0)·(x – x1) + …… +

pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:En (x0, f0): c0 + = f0

En (x1, f1): c0 + c1·(x1-x0) = f1

En (x2, f2): c0 + c1·(x2-x0) + c2·(x2 –x0)·(x2-x1) = f2

En (xn, fn): c0 + = fn

…………………………………………………………………………………………………….( 1)

01· ( )

in

i n jji

c x x−

==

−∏∑

+ cn·(x – x0)·(x – x1)·….·(x-xn-1)



Diferencias divididas: DefiniciónDiferencias divididas: DefiniciónDefiniciónSe denomina diferencia dividida de orden k de la función f(x)en los puntos {x0, x1, ..., xk} al valor:

[ ] −−

=

−=

−∏k

0k

k (k 1)

k jj 0

1k xfx ,...,x(x

p

)

(

xf )

donde fk = f(xk) y pk-1(x) es el polinomio interpolador deLagrange de f(x) sobre el soporte {x0, x1, ..., xk-1}.



Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: EjemploObtener el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los puntos: π π⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭0, ,

4 2Solución:

x0

x1

x2

f(x0)

f(x1)

f(x2)

f[x0, x1]

f[x1, x2]

f[x0, x1 , x2]0

π4

π2

0

12

1

f[x0, x1] =−−1

1

0

0

xf

xf −

=π−

1 0

4

2

0

π2· 2

f[x1, x2] =−−2

2

1

1

xf

xf −

=π π−

112

2 4

−π

2·(2 2)f[x0,x1 ,x2] =

[ ] [ ]−−

1 2 0 1

2 0

x ,x x ,xx

fxf

−π2

8·(1 2)



Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: Ejemplo

p2(x) = f(x0) + f [x0,x1]·(x - x0) + f [x0,x1, x2]·(x - x0)(x-x1)

0

π4

π2

0

12

1

π2· 2 −

π28·(1 2)

−π

2·(2 2)

=

= 0 +π

2· 2·( x – 0) + −

π28·(1 2) ·(x-0)·(x-π/4)

Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 121


OBJETIVOSOBJETIVOS

1º. Conocer el problema de interpolación de Hermite.

2º. Calcular el polinomio interpolador de Hermite que ajustesobre un soporte dado el valor de una función y el de susprimeras derivadas.



Dados (n+1) puntos distintos {xo, x1, ..., xn} y(n+1) números enteros no negativos {α0, α1, ..., αn}

denotando por m al valor: i

n

i 0m n

=

+ α= ∑y siendo f(x) una función de la que se conoce, en cada punto xi , su valor y el de sus αi primeras derivadas,

ENCONTRAR un polinomio pm(x) de grado menor o igual que m verificando las (m+1) igualdades siguientes:

(j jm

j(i ii

( f ((x x )p f) = = (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n)

Problema general de interpolación de HermiteProblema general de interpolación de Hermite



Determinar el polinomio interpolador de Hermite de la función f(x) = cos(x) en el soporte {0, π /2, p} para los enteros {2, 0, 1}

Solución

x0 x1 x2α0 α1 α2

Grado del polinomio interpolador: i

n

i 0m n

=

+ α= ∑ = 2 + 2 + 0 + 1 = 5

p5(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5

EjemploEjemplo



p5(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5

p5(0) = cos(0) a0 = 1

p5’(0) = -sen(0) a1 = 0

p5”(0) = -cos(0) 2·a2 = -1

{0, π /2, π} , {2, 0, 1}

p5(π/2) = cos(π/2) a0 +a1·(π/2) + a2·(π/2)2 + a3·(π/2)3 + a4·(π/2)4 + a5·(π/2)5= 0p5(π) = cos(π) a0 +a1·(π) + a2·(π)2 + a3·(π)3 + a4·(π)4 + a5·(π)5 =- 1p’5(π) =-sen(π) a1 +2·a2·(π) +3·a3·(π)2 + 4·a4·(π)3 +5·a5·(π)4 = 0

2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 2 0 0 0

12 2 2 2 2

10 1 2· 3· 4· 5·

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

π π π π π⎢ ⎥⎢ ⎥π π π π⎣ ⎦

0

1

2

3

4

5

aaaaaa

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

101

01

0

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪−

−

⎪= ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

EjemploEjemplo



p5

cos(x)

2

3

2

4

2

5

101/ 2

102·

5 12·2

12

−

π −π− ππ

π −π

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

p5(x) = 1 – (½)·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5

2

3102·π −

π

2

45 12·2

− ππ

2

512π −

π

a0a1a2

a3

a4

a5

EjemploEjemplo

Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM13

Definición y primeras propiedadesDefinición y primeras propiedades

Se denomina fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio(de Lagrange) para aproximar el valor de a cualquier fórmula obtenida integrando en (a, b) la expresión del polinomio interpolador de Lagrangeconstruido sobre un soporte de puntos distintos.

DEFINICIÓN

La condición necesaria y suficiente para que la fórmula de integración numérica sea de tipo interpolatorio es que sus

coeficientes satisfagan las siguientes igualdades:

(i = 0, 1, ..., n)

donde se ha denotado por Li(x) a los (n+1) polinomios de base de Lagrangesobre el soporte {x0, x1, ..., xn}.

b n

i ii 0a

f(x)·dx V c ·f(x )=

= ≈ ∑∫

PROPIEDAD (Caracterización de las fórmulas)

b

i ia

c L (x)·dx= ∫


Definición y primeras propiedadesDefinición y primeras propiedades

En toda fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio

se verifica que:

b n

i ii 0a

f(x)·dx V c ·f(x )=

= ≈ ∑∫

PROPIEDAD (Sumatorio de los pesos)

n

ii 0

c b a=

= −∑


EjemploEjemplo

b b1

0 00 1a a

x xc L (x)·dx dxx x−

= =−∫ ∫

b b0

1 11 0a a

x xc L (x)·dx dxx x−

= =−∫ ∫

b

0 0 1 1a

f(x)·dx c ·f(x ) c ·f(x )≈ +∫

Considérese el soporte {x0, x1} y sean:

La fórmula es, al menos, de

orden de exactitud 1 sea cual sea la elección de {x0, x1}.

Justificación: Es de tipo interpolatorio y basta aplicar el teorema 1


EjemploEjemplo

b

0 1a

(x x )·(x x )·dx 0− − =∫

Para que sea de orden 2 basta con que se verifique:


es decir

2 2 3 30 1 0 1 0 0

1 1(b x ) ·(b x ) (a x ) ·(a x ) · (b x ) (a x ) 02 6⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − − − − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Por ejemplo, si tomamos (decisión libre) x0 = a, se tiene que escogerx1 = (a + 2·b)/3 (posición dada por la relación anterior)


EjemploEjemplo

b

0 1a

(x x )·(x x )·dx 0− − =∫

( ) ( ) ( )3 3 2 24 40 1 0 1x x · b a x ·x · b ab a - + = 0

4 3 2+ − −−

( ) ( ) ( )2 20 13 3

0 1

x x · b a1 b -a - +x ·x ·(b-a) = 03 2

+ −

Para que sea de orden 3 basta con que se verifiquen las igualdades:


es decir

Lo que conduce a tomar:

0 1a b b a a b b ax ; x

2 22 3 2 3+ − + −

= − = +

Por el teorema 3 no existen fórmulas de 2 puntos y orden igual o mayor a 4

b

0 1a

x·(x x )·(x x )·dx 0− − =∫

�� /

� ��

��"��0�� ' � ��)( ��

&��123&��123

�� 4

� ��

��" 5�1236752,.,.,8888,.6

� ��19��:3"{{{{ }}}} {{{{ }}}}(1) (1) (1) (1) (1)1 2 3 nx x ,x ,x ,....,x====

� ��; ��<�� "

{{{{ }}}} {{{{ }}}}(1) (1) (1) (1) (1

1)1 2 3

)1 n

(1x x ,x ,x ,....,xd ρρρρ⋅ = +⋅ = +⋅ = +⋅ = +ρρρρ++++

(2)1x

&�� +�� 8

��"

��' � ��) ( �� 123��' � ��) ( �� 123

�� =.

� ��

( �� " 5�1-3675.,2,.,8888,.6

� ��" {{{{ }}}} {{{{ }}}}* (1) (1) (1)2 3 n

(2)1x ,x ,x ,....,xx====

� ��; ��<�� "

{{{{ }}}} {{{{ }}}}(*) (1) (1) (12 2

)2 3 n1

2) (2)(x ,x ,x ,... ,x xd .+ ⋅ = ++ ⋅ = ++ ⋅ = ++ ⋅ = +ρ ρρ ρρ ρρ ρ

(2)2x

&�� +�� 8

( �� "

��' � ��) ( �� 1-3��' � ��) ( �� 1-3

�� =2

� ��

0)�� "

5�103675.,.,888,.,2,.,8888,.6

� ��"{{{{ }}}} {{{{ }}}}(2) (2) (2)* (1)1 2 j 1

(1) (1)j j 1 nx , , , ,x ,x ,....,x x .... x x++++−−−−====

� ��; ��<�� "

{{{{ }}}} {{{{ }}}}(2) (2) (2)1 2 j 1

(*) (1) (1) (1)j j 1 n

jj

( )jx , , , ,x ,x ,....,x x ..d x. x −−−− ++++ρρρρ+ ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅ ρρρρ= += += += +

(2)jx

&��0)�� 1��0>�3�� +��0)�� 8

��0)�� 1��0>�3"

1��03

��' � ��) ( �� 1�3��' � ��) ( �� 1�3

�� =-

� ��

� ��<��?�<� <��"{{{{ }}}} {{{{ }}}}(2) (2) (2) (2) (2)

1 2 3 n, , ,x x x x .,... x====

�� +��"

5�1�@23675�1236752,.,.,888,.6

5�1�@-3675�1-3675.,2,.,888,.6

5�1-8�3675�1�3675.,.,.888,26

8888888

��<�� {{{{ }}}} {{{{ }}}}(3) (3) (3) (3) (3)1 2 3 n, , ,x x x x .,... x====

A�� 8

��' � ��) ( �� 1=3��' � ��) ( �� 1=3



Ejemplo:La sucesión:

0

i

ik 0i

1( !1)k

x∞

= =

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭+∑ verifica que:

k k

p q p

p qq1 1 k 1

1 1 1:( 1)! (

q p x x1)!k k k

n( 1)!= = = +

∀ < < − = − = ≤+ + +∑ ∑ ∑

qk k k1 0n 1

n1 1 1e( 1)! ( 1)! ( 1)k !k k

∞ ∞

= + = + =

≤ ≤ = −+ + +∑ ∑ ∑

Para cualquier ε dado basta con considerar n tan elevadocomo sea necesario para que la distancia entre dos elementos cualesquiera con subíndice superior a n seainferior a ε.Por tanto es una sucesión de Cauchy.

Método de aproximaciones sucesivas: fundamentos (7)

Método de aproximaciones sucesivas: fundamentos (7)

�� @

� ��

4�" g(x)xa==== 2x

'(xg )a= −= −= −= −

��$# �� "

2x*(x

g '*)

( 1a

a)

a= − = − = −= − = − = −= − = − = −= − = − = −

��5 �� #��"

i 1 i 1 i 1 i 1i i i 1

i 1

g( ) g'( ) g( )g'( )

x x* x x xx x x

x*.

2 x. 1

1 2a− − − −− − − −− − − −− − − −

−−−−−−−−

� �� − +− +− +− +==== �� = = += = += = += = +� �� −−−− � ��

5 ��A� ��B 2��$��:��.

/��#��"=?��,&-/��#��"=?��,&-

�� (

� ��

Caso concreto: a = 16 i i 1i 1

a1x2

x x −−−−−−−−

� �� = += += += +� ��

� ��

x0 = 1 1x 112

8.16

51

� �� = + == + == + == + =� ��

, 2x 8.5 5.19117...8.5161

2� �� = + == + == + == + =� ��

,

3x 5.19117 4.136664...5.19117

1 162� �� = + == + == + == + =� ��

4x 4.136664 4.002257...4.1366642

161 � �� = + == + == + == + =� ��

5x 4.002257 4.000000...4.0022572

161 � �� = + == + == + == + =� ��

/��#��"=?��,0-/��#��"=?��,0-

�� (

� ��

+ �� [[[[ ]]]](((( ))))2f( ) C bx a,∈∈∈∈ �� ,-./)

�� 0-1 ��2�'&34 + ��-) /,-1 $ %.' ��

��5 �� "

0 0

2

0 0h

h h0 f(x*) f( ) f( ) .f '( ) .f "x x x x( )2

h.= = + = + + + θ= = + = + + + θ= = + = + + + θ= = + = + + + θ [[[[ ]]]]0,1θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈

+ �� %"2

0 0 00 f( ) .f '( ) .f "(x x x .h )2h

h= + + + θ= + + + θ= + + + θ= + + + θ

��0��"-1 /-) 6%

[[[[ ]]]]0,1θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈

��# ��$!��%�� ,�.��# ��$!��%�� ,�.

�� 7

� ��

��'��'�� "2

0 0 00 f( ) .f '( ) .f "(x x x .h )2h

h= + + + θ= + + + θ= + + + θ= + + + θ [[[[ ]]]]0,1θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈

� �� 8 �� "

�9.��θθθθ

(9.:��

��# ��$!��%�� ,(.��# ��$!��%�� ,(.

�� ;

� ��

��<�" :��<�:�= �!:�<>� �>�?�

2

0 0 00 f( ) .f '( ) .f "(x x x .h )2h

h= + + + θ= + + + θ= + + + θ= + + + θ

0 0H0 f( ) . )x f '(x= += += += + (((( ))))H h:

0

0

f( )f '

H)

x(x

= −= −= −= − 01 0 0

0

f(xx

)f '

xx

Hx(

* x)

≈ = + = −≈ = + = −≈ = + = −≈ = + = −

��# ��$!��%�� ,7.��# ��$!��%�� ,7.

�� @

� ��

<�8 ��

-) ��

��/�'('44444i 1

i i 1i 1

f( )f '( )

xx x

x−−−−

−−−−−−−−

= −= −= −= −

A��& ��4

x0

f(x0)αααα

Htg(αααα) 0

Hf(x )====f’(x0) =

0

0

f( )xH

f '(x )====

x1x2

��

��# ��$!��%�� ,;.��# ��$!��%�� ,;.



f1(x1, x2, ..., xn) = 0f2(x1, x2, ..., xn) = 0

fn(x1, x2, ..., xn) = 0........ f(x) 0=

Sistema

NOTACIÓNABREVIADA

Sistemas no lineales (1)Sistemas no lineales (1)Sistemas no lineales (1)



fj(x1, x2, ..., xn)(Repaso de conceptos previos)

1 2 n1

1 2 n1 2 n 2

j

j

n

j

1 2

j

n

, ,...,

, ,...,,

x x xx

x x xx x x x

x

,...,

, ,.x x

f( )

f( )

f ( )

f(

x.., )

∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪∇ = ∂⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪

⎪ ⎪∂⎩ ⎭

VECTOR GRADIENTE DE fjEN EL PUNTO (x1,x2,...,xn)

Sistemas no lineales (2)Sistemas no lineales (2)Sistemas no lineales (2)



En el sistema de tuberías de la figura, los caudales de un cierto fluido en cada rama y las presiones en cada nodo de la red se relacionan mediante el sistema:

2

1

3

4p4

p2

p1

p3

Q

Q1

Q2p1 – p2 = K.Q1.75

p2 – p3 = K1.Q11.75

p2 – p4 = K2.Q21.75

Q = Q1 + Q2Para un determinado fluido se sabe que:p1 = 75 psi p3 = 20 psi p4 = 15 psiK = 2.35.e-3 K1 = 4.67.e-3 K2 = 3.72.e-2

Método de Newton-Raphson para sistemas no lineales: ejemplo (1)MMéétodo de Newtontodo de Newton--RaphsonRaphson para para sistemas no lineales: ejemplo (1)sistemas no lineales: ejemplo (1)



75 – p2 =(2.35.e-3).Q1.75

p2 – 20 = (4.67.e-3).Q11.75

p2 – 15 = (3.72.e-2).Q21.75

Q = Q1 + Q2

Determinar los caudalesen todas las ramas

y la presión en el nodo 2º

(2.35.e-3).(Q1 +Q2) 1.75 - 75 + p2 = 0

(4.67.e-3).Q11.75 + 20 – p2 = 0

(3.72.e-2).Q21.75 + 15 – p2 =0




(2.35.e-3).(Q1 +Q2) 1.75 - 75 + p2 = 0

(4.67.e-3).Q11.75 + 20 – p2 = 0

(3.72.e-2).Q21.75 + 15 – p2 =0

( )1 2 2

1 2 2 1 2

2

1.753

3 1.75

2 .2

1 75

2.35 e 75( , , ) 4.

Q67 e 20

3.72

Q pQ Q p Q

ep

Q 15 pf

−

−

−

⎧ ⎫⋅ ⋅ + − +⎪ ⎪

= ⋅ ⋅ + −⎨ ⎬⎪ ⎪⋅ ⋅ + −⎩ ⎭




( )1 2 2

1 2 2 1 2

2

1.753

3 1.75

2 .2

1 75

2.35 e 75( , , ) 4.

Q67 e 20

3.72

Q pQ Q p Q

ep

Q 15 pf

−

−

−

⎧ ⎫⋅ ⋅ + − +⎪ ⎪

= ⋅ ⋅ + −⎨ ⎬⎪ ⎪⋅ ⋅ + −⎩ ⎭

1 2 1 2

1 2 2 1f

0.75 0.75

0.75

0.752

0.205 ( ) 0.205 ( ) 1( , , ) 0.407 0 1

0 0.407

Q Q Q QQJ Q p

Q 1Q

⎡ ⎤⋅ + ⋅ +⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ −⎣ ⎦




Valores semilla:

2

1

3

415

p2

75

20

Q

Q1

Q2

(0)2p 5 i0 ps=

4.67.e-3.(Q1(0))1.75 + 20 – 50 =0

(0)1Q 16≈

3.72.e-2.(Q2(0))1.75 + 15 – 50 =0

(0)2Q 7≈




(0)1(0)2(0)2

Q 17Q 7p 50

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭(1)1(1)2(1)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(0)1(0)2(0)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1

(0) (0) (0)1 2 2

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 2 2 1 2 2

(0) (0) (0)1 2 2

1

2f

3

( , , )( , , ) (

f Q Q pQ Q p Q Q p

Q Q, , )

( , p )J f

f ,

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ • ⇒⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(1)1(1)2(1)2

Q 14.0506Q 10.4944p 43.4153

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭




(1)1(1)2(1)2

Q 14.0506Q 10.4944p 43.4153

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭(2)1(2)2(2)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(1)1(1)2(1)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1

(1) (1) (1)1 2 2

(1) (1) (1) (1) (1) (1)1 2 2 1 2 2

(1) (1) (1)1 2 2

1

2f

3

( , , )( , , ) (

f Q Q pQ Q p Q Q p

Q Q, , )

( , p )J f

f ,

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ • ⇒⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(2)1(2)2(2)2

Q 14.1344Q 10.1343p 43.9558

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭




(3)1(3)2(3)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2)1(2)2(2)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1

(2) (2) (2)1 2 2

(2) (2) (2) (2) (2) (2)1 2 2 1 2 2

(2) (2) (2)1 2 2

1

2f

3

( , , )( , , ) (

f Q Q pQ Q p Q Q p

Q Q, , )

( , p )J f

f ,

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ • ⇒⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(3)1(3)2(3)2

Q 14.1355Q 10.1303p 43.9597

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭

(2)1(2)2(2)2

Q 14.1344Q 10.1343p 43.9558

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭




(4)1(4)2(4)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(3)1(3)2(3)2

QQp

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1

(3) (3) (3)1 2 2

(3) (3) (3) (3) (3) (3)1 2 2 1 2 2

(3) (3) (3)1 2 2

1

2f

3

( , , )( , , ) (

f Q Q pQ Q p Q Q p

Q Q, , )

( , p )J f

f ,

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ • ⇒⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(4)1(4)2(4)2

Q 14.1355Q 10.1303p 43.9597

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭

(3)1(3)2(3)2

Q 14.1355Q 10.1303p 43.9597

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭

(Sol. aprox.)


programación y métodos numéricos (guía-ejercicios) instituto politÉcnico nacional

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