Применение интегральных кривых разделения , независящих от

границы разделения, для оценки эффективности процессов в

обогатительных аппаратах.

Г. Косой, Mineral Processing Engineer, Ph.D., D.Sc.

(Kroosh Technologies Ltd, Israel)

Аннотация

На численных примерах выполнен графо-аналитический анализ

интегральных кривых разделения, независящих от границы разделения, для

оценки количественных показателей технологических процессов мокрого

грохочения кварцевой пульпы и обогащения угля в тяжелой среде в

гидроциклоне. Получены формулы расчета интегральной эффективности

разделения полидисперсных материалов, оценивающие разделительную

способность аппарата в целом, т.е. его коэффициент полезного действия .

Дифференциальные кривые фракционного разделения (parti tion curves)

широко применяются для оценки эффективности процессов обогащения ,

конечные продукты которых можно разделить на узкие фракции по

определенному физическому свойству, например, по крупности (в процессах

грохочения и классификации) или по плотности (в процессах гравитационного

обогащения).

В работе [1], по дифференциальным кривым разделения, построенным в

координатах ( , α), где – извлечение узкой фракции , αс-суммарное

содержание узких фракций в питании , технологическая эффективность

процесса грохочения численно оценена отношением суммарного приращения

количества мелких и крупных классов в подрешетный и надрешетный

продукты ( + ) к теоретически достижимому приращению:

E=

(1)

2

Однако в координатах можно изобразить только одно положение

кривых разделения, при котором Но это равенство не зависит от

границы разделения.

Для иллюстрации практического применения предлагаемого метода , в

таблице 1 приведены результаты мокрого грохочения кварцевой пульпы, по

которым построены интегральные кривые разделения и выполнен графо -

аналитический анализ технологических показателей с выводом формул

расчета интегральной эффективности разделения.

Ниже, на рис.1, показан совмещенный график зависимостей : (γosβ)с=f(αс),

(γosα)с=f(αс) и (γu s) с=f(αс), (γu sα)с=f(αс). Значения (γo sβ)с=f(αс),

(γosα)с=f(αс) отложены снизу вверх на левой оси ординат ; значения

(γu s)с=f(αс), (γu sα)с=f(αс) отложены сверху вниз на правой оси ординат.

Условные обозначения приведены в таблице 1.

Значения αc от 0 до 100 отложены слева направо на нижней оси абсцисс;

значения (100- αc) от 0 до 100 отложены справа налево на верхней оси

абсцисс и являются зеркальным отображением численных значений α c на

нижней оси абсцисс.

Кривые 1 , 2 представляют, соответственно, интегральную форму кривых

разделения надрешетного и подрешетного продуктов , поскольку их произ -

водные по α i и (100- α i) дают значения фракционного извлечения ε i :

d(γosβ)/dα=γo s(dβ/dα)= , = d(γu s )/d(100-α) = -γu s(d /dα)= и

равны , соответственно, тангенсам угла наклона касательных во всех точках

кривых 1, 2 относительно своих осей абсцисс . Отрезок прямой AL

соответствует интегральной кривой разделения надрешетного продукта

( γo sαc) = f ( αc) без изменения гранулометрического состава : вдоль него =

γu s=const. Отрезок прямой KC соответствует интегральной кривой разделения

подрешетного продукта γu s(100- )= f (100-αc) без изменения

гранулометрического состава . Вдоль него абсолютное значение =

γu s=const при всех значениях (100-αc) в интервале (0,100). Ординаты всех

точек на отрезке прямой АС равны αi .

3

Интегральной кривой идеального разделения надрешетного продукта OS

соответствует ломаная линия ATL, а интегральной кривой идеального

разделения подрешетного продукта US — ломаная линия KTC.

Таблица 1

Мокрое грохочение кварцевой пульпы

Гранулометрический Питание,% Надр. прод.% Подр. прод.%

состав, Feed OS US

μm αi βi i

+ 500 9.91 16.92 0.00

-500+300 26.41 44.79 0.40

-300+200 10.59 15.58 3.52

-200 + 150 7.63 6.86 8.73

-150+106 5.60 3.08 9.17

-100+75 5.71 2.42 10.36

-75+45 8.69 2.67 17.20

- 45 25.46 7.68 50.62

Всего, % 100.00 100.00 100.00

γos γus

Выход % 100 58.59 41.41

Экспериментальные показатели для построения графиков

интегральных кривых разделения, рис.1

(αi)c (γosβi)c (γosαi)c (γusi)c (γusαi)c

0 0.00 0 0 0

9.91 9.91 5.81 0 4.11

36.32 36.16 21.28 0.17 15.01

46.91 45.28 27.48 1.62 19.42

54.54 49.30 31.96 5.24 22.59

60.14 51.11 35.24 9.04 24.91

65.85 52.53 38.58 13.33 27.27

74.54 54.09 43.67 20.45 30.87

100.00 58.59 58.59 41.41 41.41

4

1. Интегральная кривая разделения надрешетного продукта: (γosβi)c= f (αc).

2. Интегральная кривая разделения подрешетного продукта (us𝜗i )c = f (100-αc ). 3. Интегральная линия деления надрешетного продукта на части: βi = αi.

4. Интегральная линия деления подрешетного продукта на части: 𝜗i = 100 - αi.

5. Δ ATL - Идеальная ломаная линия разделения надрешетного продукта.

6.Δ KTC - Идеальная ломаная линия разделения подрешетного продукта.

Рис. 1 Интегральные кривые разделения продуктов грохочения

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00 0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

0 20 40 60 80 100

Суммарный % крупных классов в питании, (100-αc)

Сум

мар

ны

й %

мас

сы м

елки

х к

лас

сов в

US

, (γ

us

i)c

Сум

мар

ны

й %

мас

сы м

елки

х к

лас

сов в

OS

, (γ

osβ

i)c

Суммарный % мелких классов в питании, αc

Интегральные кривые разделения продуктов

грохочения

(γosβi)c (γosαi)c (γusJi)c (γusαi)c (osαi)c (usi)c (usαi)c (osβi)c

D A

K

B C

L

T

γ us

γ os

ΔSos

Pos

Fos

Pus

ΔSus Fus

αc

1

2

3

4

Поскольку угол наклона отрезка прямой АT к оси абсцисс равен 45е, то на этом

отрезке = 100 , а на отрезке прямой TL = 0 . На отрезке прямой CT

=100 , а на отрезке прямой TK = 0. Реальные интегральные кривые

фракционного разделения 1,2 занимают промежуточное положение между =

const и ломаными линиями идеального разделения соответствующих

продуктов: ATL и KTC.

Используем графики функций интегральных кривых разделения для вывода

технологических критериев эффективности процессов грохочения пульпы

полидисперсного материала по крупности.

На рис.2 видно, что работу разделения во всем интервале изменения

численных значений αс и (100-αс) характеризуют площади ΔSos и ΔSu s ,

соответствующие приращению масс крупных и мелких классов в надрешетный

и подрешетный продукты. Площади Fos и Fu s соответствуют массам крупных и

мелких классов, засоряющих надрешетный и подрешетный продукты

соответственно. Площади Рo s и Рu s соответствуют начальным массам крупных и

мелких классов , переходящих в продукты разделения без изменения состава.

Так же как и при оценке эффективности по дифференциальным кривым

фракционного разделения [1] , физический смысл количественного критерия

оценки технологического процеcса по интегральным кривым разделения ,

инвариантным границе разделения, остается тем же и выражается формулой

(1) , которая , с учетом изложенного выше , принимает вид:

; (2),

где (ΔSos+Fos)+(ΔSu s+Fu s)= ΔST ; Fo s и Fu s- соответственно замельчение

надрешетного продукта OS и закрупнение подрешетного продукта US.

Критерий (2) безразмерный и нормирован т .е. изменяется от 0 до1.Он может

быть выражен также в процентах и тогда изменяется от 0 до 100%. При ΔSos=

ΔSu s=0, E=0, при отсутствии засорения продуктов разделения Fos= Fu s=0,

E=100%.

Определим значения величин, входящих в формулу (2) на графике рис.2.

Из треугольника ATL следует :

6

1. Интегральная кривая разделения надрешетного продукта: (γosβi)c= f (αc).

2. Интегральная кривая разделения подрешетного продукта (us𝜗i )c = f (100-αc ). 3. Интегральная линия деления надрешетного продукта на части: βi = αi.

4. Интегральная линия деления подрешетного продукта на части: 𝜗i = 100 - αi.

5. Δ ATL - Идеальная ломаная линия разделения надрешетного продукта.

6.Δ KTC - Идеальная ломаная линия разделения подрешетного продукта.

Рис. 2 Интегральные кривые разделения продуктов грохочения

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00 0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

0 20 40 60 80 100

Суммарный % крупных классов в питании, (100-αc)

Сум

мар

ны

й %

мас

сы м

елки

х к

лас

сов в

US

, (γ

us

i)c

Сум

мар

ны

й %

мас

сы м

елки

х к

лас

сов в

OS

, (γ

osβ

i)c

Суммарный % мелких классов в питании, αc

Интегральные кривые разделения продуктов

грохочения

(γosβi)c (γosαi)c (γusJi)c (γusαi)c

usα

i

αi

(osαi)c (usi)c (usαi)c (osβi)c

D A

K

B C

L

T

γ us

γ os

ΔSos

Pos

Fos

Pus

ΔSus

Fus αc

1

2

3

4

us

i

αi

osβ

i

αi

osα

i

αi

7

Из треугольника KTC:

). Таким образом, площадь треугольника ATL равна площади треугольника

KTC . На этом графике также видно, что площади ΔSos и ΔSu s равны:

Поскольку os(β-α)= u s(α-), то и и окончательно

получаем: Eos= Eu s . Следовательно:

(3),

(4).

Для вывода окончательного вида формул интегральной эффективности

процессов разделения для практического использования , выполним

аналитический анализ выражений (3) и (4). Вначале, для удобства

математических преобразований , запишем все величины в долях единицы .

На рис.2 видно, что площадь элементарной затемненной вертикальной

полоски под кривой разделения 1 равна S (o s ) i=α ios (β i+ β i -1)/2.Тогда

суммарная площадь под кривой разделения 1 будет равна :

Площадь треугольника ALD равна SA LD=0.5os , тогда ΔSos и (ΔSo s + ΔSos)

будут соответственно равны:

, или

,% (3.1)

8

Аналогичный анализ можно выполнить и для подрешетного продукта US.

В верхней части рис.2 (над отрезком прямой KL) видно, что площадь

элементарной затемненной вертикальной полоски под интегральной кривой

разделения 2 равна S (u s ) i=α iu s ( i+ i -1)/2. Учитывая, что площадь

треугольника KTC равна 0.5*CL*KL или 0.5u s , получим что

Из треугольника KTC находим, что тогда

, или

, % (4.1)

Ниже, в таблице 2 , выполнен расчет интегральной эффективности

разделения процесса мокрого грохочения пульпы кварцевого песка ,

показатели которого приведены в таблице 1. Численный расчет подтвердил

теоретический вывод о том, что абсолютные значения интегральной

эффективности по формулам (3.1) и (4.1) равны по абсолютной величине, т.е

не имеет значения по какому продукту производит ся расчет эффективности :

по надрешетному OS(β) или по подрешетному US().

Аналогичный анализ выполнен для процесса гравитационного

обогащения мелких классов угля крупностью (0.5 – 30) мм в тяжелой среде в

гидроциклоне. Результаты обогащения приведены в таблице 3. По этим

технологическим показателям построен ы графики интегральных кривых

разделения для легкой OF и тяжелой UF фракций, показанные на рис. 3.

Графики интегральных кривых разделения 1, 2 и кривые 3, 4 на рис. 3

аналогичны одноименным кривым на рис.1, 2. При замене условных

обозначений OS на OF и US на UF, получим расчетные формулы для

количественной оценки процесса гравитационного обог ащения:

и

(4.1)

Результаты расчетов эффективности приведены ниже , в таблице 4.

9

Таблица 2

Расчет эффективности грохочения по

интегральной кривой разделения OS (β),

αi βi (βi+βi-1) αi*(βi+βi-1) gos,%9.91 16.92 16.92 167.677 58.59

26.41 44.79 61.71 2076.618

10.59 15.58 77.29 1472.010

7.63 6.86 84.15 1231.787

5.60 3.08 87.23 959.728

5.71 2.42 89.65 1009.985

8.69 2.67 92.32 1581.319

25.46 7.68 100.00 4896.467

100.00 100.00 Всего = 13395.592

E= 82.00

Интегральная эффективность: E=82.0 %.

Расчет эффективности грохочения по

интегральной кривой разделения US (J),

αi Ji (Ji+Ji-1) αi*(Ji+Ji-1) gus,%9.91 0.00 0.00 0.000 41.41

26.41 0.40 0.40 10.564

10.59 3.52 3.92 45.749

7.63 8.73 12.65 126.429

5.60 9.17 21.82 193.032

5.71 10.36 32.18 308.340

8.69 17.20 49.38 708.756

25.46 50.62 100.00 3803.215

100.00 100.00 Total = 5196.085

E= 81.99

Интегральная эффективность: E=81.99 %.

10

Таблица 3

Фракционный анализ продуктоа обогащения угля крупностью (0.5 - 30) ммв тяжелосредном гидроциклоне

Плотность Питание Легкий продукт, OF Тяжелый продукт, UF

Продукт жидкости, Выход, % % золы Выход, % % золы Выход, % % золы

g/cm3 αi λ βi λof

ϑ

i λuf

Легкий 1.30 9.65 4.39 18.60 4.30 2.33 5.11

Легкий 1.35 31.02 7.44 53.05 7.40 13.00 7.60

Легкий 1.40 23.48 12.77 19.91 12.20 26.40 13.20

Легкий 1.45 10.75 17.59 5.31 16.70 15.20 17.90

Легкий 1.50 8.79 22.07 2.31 21.30 14.09 22.20

Легкий 1.60 5.74 27.67 0.71 25.80 9.85 27.80

Легкий 1.80 4.14 35.07 0.11 38.30 7.44 35.02

Тяжелый 1.80 6.43 64.96 0.00 0.00 11.69 64.96

Всего 100.00 16.78 100.00 8.76 100.00 23.38

Выход, % 100.00 45.00 55.00

Экспериментальные показатели для построения графиков интегральных кривых разделения, рис.3

(αi)c (γofβi)c (γofαi)c (γufJi)c (γufαi)c

0 0 0 0 0

9.65 8.37 4.34 1.28 5.31

40.67 32.24 18.30 8.43 22.37

64.15 41.20 28.87 22.95 35.28

74.90 43.59 33.71 31.31 41.20

83.69 44.63 37.66 39.06 46.03

89.43 44.95 40.24 44.48 49.19

93.57 45.00 42.11 48.57 51.46

100.00 45.00 45.00 55.00 55.00

11

1. Интегральна кривая разделения легких фракций: γofβi = f (αc).

2. Интегральная кривая разделения тяжелых фракций uf𝜗i =f(100-αc ).

3. Интегральная линия деления легких фракций: βi= αc.

4. Интегральная линия деления тяжелых фракций 𝜗i= 100 - αc.

5. Δ ATL - Идеальная ломаная линия разделения легких фракций.

6.Δ KTC - Идеальная ломаная линия разделения тяжелых фракций.

Рис. 3 Интегральные кривые разделения продуктов

гравитационной сепарации в гидроциклоне.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

Суммарный % тяжелых фракций в питании, (100-αc)

Сум

мар

ная

мас

са т

яж

елы

х ф

рак

ци

й в

UF, γ u

fi

Сум

мар

ная

мас

са л

егки

х ф

рак

ци

й в

OF, γ o

fβi

Суммарный % легких фракций в питании, αc

Интегральные кривые эффективности разделения

продуктов гравитационной сепарации

(γofβi)c (γofαi)c (γufJi)c (γufαi)c (ofαi)c (ufi)c (ufαi)c (ofβi)c

D A

K

B C

L T

γ uγ o

f

ΔSof

Pof

Fof

Puf

ΔSuf

Fuf

αc

1 2

3

4

12

Таблица 4

Расчет эффективности обогащения по

интегральной кривой разделения OF (β), таблица 3

αi βi (βi+βi-1) αi*(βi+βi-1) gof,%9.65 18.60 18.60 179.49 45.00

31.02 53.05 71.65 2799.56

23.48 19.91 91.56 3832.17

10.75 5.31 96.87 2025.62

8.79 2.31 99.18 1723.28

5.74 0.71 99.89 1142.66

4.14 0.11 100.00 827.54

6.43 0.00 100.00 1286.00

100.00 100.00 Total = 13816.324

E= 69.39

Интегральная эффективность: Е=69.39%.

Расчет эффективности обогащения по

интегральной кривой разделения UF (J), таблица 3

αi Ji (Ji+Ji-1) αi*(Ji+Ji-1) guf,%9.65 2.33 2.33 22.485 55.00

31.02 13.00 15.33 547.813

23.48 26.40 41.73 1339.769

10.75 15.20 56.93 1060.595

8.79 14.09 71.02 1124.681

5.74 9.85 80.87 871.849

4.14 7.44 88.31 700.405

6.43 11.69 100.00 1210.833

100.00 100.00 Total = 6878.429

E= 69.37

Интегральная эффективность: Е=69.37%.

13

Слив (верхний продукт) гидроциклона в таблице 2 , содержащий 23.38%

золы получен при разделении угля в тяжелосредном гидроциклоне на 3

продукта . Нижний продукт гидроциклона представляет собой смесь

промежуточного продукта, содержащего 19.5% золы и отходов ,

содержащих71.8% золы, так как на плоском графике можно изобразить

только 2 оси абсцисс и 2 оси ординат. Однако это не влияет на оценку

эффективности получения конечного малозольного продукта с содержанием

золы 8.76%. Таким образом предлагаемый метод оценки разделительной

способности обогатительного оборудования применим также для

трехпродуктовых аппаратов. В этом случае оценку эффективности

необходимо производить по конечному полезному продукту, не подлежащему

дополнительной перечистке.

Таким образом формулы (3.1) и (4.1) характеризуют по сути

интегральную полноту разделения в обогатительных аппаратах. По этим

формулам можно выбрать не только оптимальный режим технологического

процесса, но и наиболее подходящий тип аппарата для выполнения

конкретной операции. Для этого нет необходимости строить интегральную

кривую разделения, а достаточно выполнить расчет интегральной

эффективности разделения только по гранулометрическому или

фракционному составу питания , одному из продуктов разделения и его

выходу от исходного питания .

Литература.

1. Г. Косой. Оценка эффективности процессов обогащения по кривым фракционного

разделения в обогатительных аппаратах. www. academia.edu, 2015