Modelli di Programmazione Lineare Bilivello per una Rete di Trasporto Merci

di Lorenzo Castelli*, Giovanni Longo*, Raffaele Pesenti** e Walter Ukovich*

1. Introduzione

Il sistema di trasporto delle merci si presenta, in generale, molto articolato e complesso: in particolare l’esistenza di numerosi soggetti che, a diverso livello e con diversi obiettivi, sono tenuti ad operare decisioni rappresenta un elemento che influisce in maniera spesso importante sull’assetto del sistema stesso. In letteratura esistono numerosi approcci riferiti al comparto delle merci, con caratteristiche diverse e studiati per impieghi diversi (Castelli et al., 1998). Il presente lavoro si inserisce in uno dei filoni presenti ed, in particolare, in quello dei modelli che intendono rappresentare esplicitamente le dinamiche decisionali interattoriali, dalle quali fare discendere l’assetto del sistema domanda-offerta di trasporto.

Tra i contributi di maggiore rilievo in questo settore vale citare quello di (Friesz et al., 1986) che introduce due figure decisionali, spedizioniere (shipper) e vettore (carrier), gerarchicamente legate nel definire la configurazione finale dei flussi sulla rete di trasporto merci. Viene suggerito un approccio sequenziale secondo cui il primo soggetto determina l’input per la decisione del secondo. Un contributo concettuale è esposto in (Camus et al., 1998) il quale consente di introdurre un ciclo di retroazione ed anticipazione dal secondo decisore al primo, al fine di includere, in una certa misura, alcune informazioni in merito alle scelte del decisore di livello più basso tra gli elementi che il primo considera nella propria scelta. Non si raggiunge un punto di equilibrio ma si tratta comunque di un avanzamento metodologico rispetto alla pura sequenza di tipo “top-down”. In ogni caso, a prescindere dalle caratteristiche specifiche degli approcci modellistici appartenenti a questa classe, è opportuno rilevare che si fa riferimento a due soggetti, chiamati ad operare, con obiettivi diversi e a livelli diversi, decisioni tra loro connesse.

* Università di Trieste. ** Università di Palermo.

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Una seconda tipologia di approcci in questa classe è costituito da alcuni contributi, che utilizzano la teoria dei giochi per rappresentare tali dinamiche decisionali su reti. Tra i più significativi ai fini della presente nota, è opportuno ricordare il lavoro di (Bell, 2000), che, pur considerando due giocatori, attribuisce al secondo soggetto non più il comportamento del corriere, ma quello di una generica entità nemica che può, attraverso le proprie decisioni, condizionare le prestazione della rete percepita dall’altro giocatore. Si tratta in sostanza di un modello per l’affidabilità della rete o per l’analisi delle situazioni peggiori.

Infine una terza tipologia di approcci è costituita da modelli di programmazione lineare bilivello applicati al sistema di trasporto merci (Brotcorne et al., 2000). In questo caso la struttura del modello consente di rappresentare processi decisionali nuovamente puramente sequenziali, nell’ipotesi di una perfetta conoscenza tra i giocatori delle decisioni l’uno dell’altro. A fronte di ipotesi che per certi versi possono essere restrittive e distanti dalle caratteristiche del sistema reale, modelli di questa classe si presentano analiticamente semplici ed esistono algoritmi per la soluzione.

La breve carrellata, appena esposta, sulle principali tipologie di approcci proposti in letteratura nel filone dei modelli per il trasporto merci che includano espressamente le dinamiche decisionali interattoriali, non vuole essere esaustiva, ma consente di evidenziare in sintesi l’esistenza di tre categorie di modelli, che formano il quadro di riferimento in cui la presente nota si inserisce e precisamente: • modelli multiattoriali sequenziali; • giochi su rete; • programmazione lineare bilivello.

Il lavoro utilizza infatti una formulazione di tipo bilivello, per risolvere un gioco infinito statico non cooperativo con insiemi di vincoli accoppiati, riferito a un sistema di trasporto merci, che in parte riprende quanto detto in (Friesz et al., 1986) e (Camus et al., 1998) e in parte assume elementi di originalità. Pure originale può essere considerato il tentativo di condensare in un unico approccio alcuni elementi presenti singolarmente in filoni diversi.

La nota è organizzata come segue. Il paragrafo 2 contiene la descrizione del problema trasportistico che si intende affrontare con il modello oggetto del lavoro. Successivamente, nella sezione 3, vengono riportate la notazione e la formulazione analitica del modello, mentre nel paragrafo 4 sono discusse alcune proprietà teoriche del modello stesso che successivamente sono utilizzate nell’euristica risolutiva.

Infine, nel paragrafo 5, viene descritto un primo esempio di applicazione del modello proposto a un problema di dimensioni reali e nel 6 trovano spazio alcune note conclusive e altri indirizzi per la prosecuzione della ricerca.

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2. Descrizione del problema

In un sistema di trasporto merci esistono due attori, denominati P e Q, che attraverso le rispettive decisioni determinano l’assetto dei flussi sulla rete. Il soggetto P, in particolare, è incaricato di soddisfare una data domanda di trasporto (ad esempio espressa mediante una matrice O/D data) e può decidere come ripartire i flussi su una rete multimodale della quale percepisce i tratti fondamentali. Detta rete, quindi, è costituita da un insieme di archi che connettono tra loro nodi che rappresentano origini o destinazioni o punti di interscambio significativi. Al momento della sua decisione, P conosce il costo generalizzato degli archi della rete e cerca di minimizzare il costo totale del trasporto. A tale scopo, si osservi che una corretta determinazione dei valori ottimali delle quantità di flusso che attraversano ogni arco della rete viene eseguita tenendo in considerazione le caratteristiche della rete stessa, alcune delle quali sono riportate di seguito. Innanzitutto ad ogni arco viene associata una capacità intesa come la quantità massima di flusso che può passare attraverso detto ramo. Inoltre si assume sempre verificata la condizione di bilanciamento ai nodi, cioè per ogni nodo che non sia un nodo “sorgente” o un nodo “pozzo”, la quantità complessiva di flusso entrante nel nodo è sempre pari alla quantità complessiva di flusso uscente dal nodo stesso. Infine il giocatore P deve rispettare le decisioni del giocatore Q.

Il giocatore Q, che controlla una porzione della rete che connette le origini alle destinazioni di P, invece conosce il profitto unitario che deriva dal transito veicolare sui suoi archi e cerca di massimizzare il proprio profitto complessivo. Nel far questo può modificare la capacità degli archi della sua sottorete, ma anch’egli deve comunque soddisfare la condizione di bilanciamento ai nodi e deve rispettare le decisioni di P.

Un quadro attoriale così delineato non consente di rappresentare il processo decisionale gerarchico del trasporto merci di cui in (Friesz et al., 1986), ma offre l’opportunità di affrontare una serie di problemi diversi, nel campo dell’affidabilità della rete, a seconda dell’ordine con il quale i due giocatori decidono. Infatti il caso in cui la decisione di P preceda quella di Q può essere significativo, per P, al fine di valutare la peggiore situazione che potrebbe presentarsi per effetto di Q una volta stabilito l’assetto dei flussi sulla propria rete. E’ questo un tipico esempio della cosiddetta “worst case analysis”. Viceversa, se gioca prima Q, P riesce a determinare il migliore assetto dei propri flussi nel rispetto di vincoli imposti da Q su una parte della rete interposta tra la sua origine e la destinazione. Si pensi ad esempio alla problematica dell’attraversamento di Paesi, quali Austria e Svizzera, che impongono severe limitazioni per i veicoli pesanti.

Nel paragrafo relativo all’applicazione, viene descritto il problema, venutosi a creare per effetto della recente guerra nei Balcani, del collegamento tra l’Europa occidentale e la Turchia. Come si dirà più avanti, in questo caso P è costituito

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dall’associazione degli autotrasportatori turchi (UND) e Q è la guerra.

3. Formulazione del problema

Il problema precedentemente descritto viene formulato come un gioco su rete nel quale i due giocatori, P e Q, non cooperano tra loro. Viene definito un grafo G=(N, A) costituito da un insieme di nodi N e un insieme di archi A. I nodi considerati possono essere origine o destinazione di flussi di merci, così come semplici nodi di interscambio o di transito. Viene inoltre definito vettore divergenza il vettore la cui componente i-esima b||Nb ℜ∈ i rappresenta la quantità complessiva di flusso entrante o uscente dal nodo Ni∈ secondo la seguente convenzione: nel caso di nodi “sorgente” o “pozzo” il corrispondente elemento del vettore divergenza dei flussi b è diverso da 0 (bi>0 per i nodi origine e bj<0 per le destinazioni), pari a zero negli altri casi (bi=0 per nodi di transito o interscambio). L’insieme degli archi A può essere ripartito in due sottoinsiemi AP e AQ ( ). Ad essi vengono rispettivamente associate delle matrici di incidenza BP e BQ, cioè delle matrici che contengono una riga per ogni nodo della rete e una colonna per ogni arco. La colonna corrispondente all’arco uscente dal nodo i ed entrante nel nodo j ha solo due elementi non nulli: il valore +1 nella riga corrispondente al nodo i e –1 nella riga corrispondente al nodo j (Ahuja et al. 1993). La cardinalità dei sottinsiemi AP e AQ è definita come p e q rispettivamente. Ogni arco a (con ) è caratterizzato da un valore limite superiore

QP AAA U=

Aa∈ eu (capacità) e uno limite inferiore (pari a 0) per il flusso. In questa schematizzazione, il giocatore P può decidere il valore del flusso sugli archi della sottorete AP per soddisfare la domanda di mobilità data. Il giocatore Q invece decide il valore della capacità degli archi della sottorete AQ nell’intervallo compreso tra il valore massimo della stessa eu e 0. Possono quindi essere definiti due vettori e i quali rappresentano, rispettivamente, i flussi sugli archi dell’insieme AP e di quelli dell’insieme AQ. Nell’ipotesi semplificativa secondo la quale la rete di P, GP=(N, AP) è disconnessa e quella di Q è connessa, la scelta delle capacità da parte di Q equivale alla scelta dei flussi y sulla rete di Q, GQ=(N,AQ), con il vincolo di soddisfare il vettore dei flussi x. Nell’effettuare la propria scelta i due giocatori, che agiscono con obiettivi diversi, considerano due funzioni obiettivo che tengono conto dei rispettivi elementi di costo o utilità dati dalle seguenti formulazioni: e . Si ipotizza infine che tutte le componenti dei vettori cP e cQ siano costanti e non negative.

px ℜ∈ qy ℜ∈

ycxcc PQPPP += ycxcc QQQPQ +=

ycxcc PQPPP

x+=min (1a)

ycxcc QQQPQ

y+=max (1b)

4

PP bxB = (1c)

QQ byB = (1d)

0=+ yBxB QPPQ (1e)

cicliammessisononon (1f)

Pux ≤≤0 (1g)

Quy ≤≤0 (1h)

L’equazione 1a rappresenta la funzione obiettivo del giocatore P, mentre la 1b quella di Q. Le espressioni 1c, 1d, 1e sono le equazioni di bilanciamento dei flussi ai nodi rispettivamente per i nodi appartenenti alla sola rete AP, a quella AQ e per i nodi di connessione tra le due (denominati nodi “frontiera” nel prosieguo e inclusi in un sottoinsieme ). Nella formalizzazione che precede sono state introdotte anche le matrici BPQ e BQP di incidenza per i nodi frontiera corrispondenti rispettivamente agli archi in AP e in AQ. La condizione 1f si rende necessaria nel caso in cui la sottorete AQ contenga cicli; se si verificasse questa circostanza, in assenza della condizione 1f, il giocatore Q potrebbe forzare la creazione di circolazione sulla propria sottorete. Nel prosieguo si farà riferimento a una rete aciclica ovvero a una rete con un numero sufficiente di vincoli per impedire circolazioni artificiose. Infine le condizioni 1g e 1h impongono la non negatività dei flussi e stabiliscono che essi non possono superare la capacità dell’arco.

NN ⊂ˆ

Data la struttura analitica appena descritta, due problemi possono essere risolti e precisamente quello ottenuto nel caso in cui il giocatore P decida prima di Q e nel caso in cui l’ordine di azione sia invertito (cioè Q giochi prima di P), al fine di rappresentare le due possibili configurazioni del problema trasportistico di cui al paragrafo precedente.

La figura 1 riporta un esempio semplificato di rete dal quale si evince il significato dell’ipotesi che la rete AP (tratto leggero) sia sconnessa tra origine e destinazione e che quella di AQ (tratto in grassetto) invece sia connessa. I valori numerici riportati a lato degli archi rappresentano rispettivamente il costo per il giocatore P e il guadagno per Q.

In questo esempio banale, si ipotizza inoltre che tutti gli archi abbiano capacità 1 ad eccezione di quelli DF e EF per i quali essa valga 2; inoltre sia pari a 2 la

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domanda tra l’origine A e la destinazione F.

1; 3 B D

1; 0 1; 0

F A 10; 5 10; 7

1; 0 1; 0

E C

Figura 1 – Esempio semplificato di rete.

Le figure 2a, 2b e 2c mostrano rispdi cui sopra nelle diverse ipotesi reladecidere. La figura propone l’assetto dNel primo caso gioca prima P e nel seccaso si riferisce ad una ipotetica confidel secondo giocatore. La tabella 1 ripfunzione obiettivo.

Figura 2 – Assetto dei flussi sulla rete dell’esemp

2; 4

ettivamente le soluzioni della formulazione tive all’ordine con cui i giocatori possono ei flussi finali mediante archi a tratto pieno. ondo invece gioca prima Q, mentre il terzo gurazione nella quale si trascuri l’esistenza orta i valori assunti nei tre casi citati dalla

a

io.

6

c

b

Tabella 1 – Risultati per l’esempio

Ordine di gioco Funzione Obiettivo

Prima P 15 (P) – 8 (Q)

Prima Q 24 (P) – 12 (Q)

Gioca solo P 7 (P) – 7 (Q)

Per poter ulteriormente spiegare il significato della formalizzazione 1a - 1g si

osservi il risultato ottenuto nel caso il giocatore P decida per primo. Egli, nell’esempio proposto, può effettuare solo tre diverse ripartizioni del flusso sulla porzione di rete che controlla, cioè su AP. A ciascuna di queste scelte, il giocatore Q reagisce cercando di massimizzare i propri guadagni indirizzando il flusso in maniera opportuna sulla propria porzione di rete, cioè su AQ. Tenendo conto di questo comportamento, il giocatore P sceglierà, quindi, l’alternativa che gli permette di minimizzare il costo del trasporto, cioè, nel caso in esame, deciderà di far passare entrambe le unità di flusso attraverso il ramo DF. Nella tabella 2 vengono riassunte le diverse possibilità che si presentano ai due giocatori.

Tabella 2 – Alternative possibili quando decide prima P Scelta Giocatore P Conseguente scelta giocatore Q

AB AC DF EF BD BE CD CE Max cQ cP

1 1 0 2 0 1 0 1 11 16 1 1 1 1 0 1 1 0 12 24 1 1 2 0 1 0 1 0 8 15 Si può notare già da questo primo esempio, molto semplificato, che nell’ultimo

caso della figura 2, cioè nell’ipotesi che si consideri solamente un giocatore, la funzione obiettivo assume valori migliori se confrontati con quelli ottenuti nelle configurazioni in cui il secondo invece cerca di raggiungere un obiettivo contrastante.

4. Algoritmi per la soluzione del problema

Il presente paragrafo presenta alcune proprietà teoriche della formulazione precedente. Le proprietà descritte sono poi sfruttate per determinare, in una ricerca locale, un limite superiore alla soluzione ottima.

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4.1. Esistenza di un punto di equilibrio

Esiste per la formulazione proposta un punto di equilibrio di Nash (Osborne e Rubinstein, 1997). Infatti è sufficiente osservare che le funzioni obiettivo dei due giocatori sono continue e lineari, e che la regione ammissibile è convessa, chiusa e limitata; in queste condizioni può essere applicato direttamente il teorema di (Rosen, 1965) per dimostrare l’esistenza di un punto di equilibrio di Nash. Un punto di equilibrio (xk, yk) può essere determinato come segue.

Se esiste un vettore k con Nk

ˆℜ∈ , tale che esista un vettore x tale che

, , e un vettore y tale che ,

, allora il punto (xk, yk) è un punto di equilibrio con

PP bxB = kxB PQ = Pux ≤≤0 QQ byB =

kyBQP = Quy ≤≤0

{ }PPQPPPPx

k uxkxBbxBvincoliaisoggettoxcx ≤≤=== 0,,minarg

{ }QQPQQQQy

k uykyBbyBvincoliaisoggettoycy ≤≤=== 0,,maxarg E’ immediato infatti verificare che si tratta di un punto di equilibrio alla Nash. Inoltre si può dimostrare (Castelli et al., 2000) che un punto (x, y) è punto di

equilibrio se e solo se le sottoreti residue di P e Q non contengono cicli negativi e positivi rispettivamente, dove per sottorete residua (Ahuja et al. 1993) si intende la rete delle capacità residue una volta assegnati i vettori x e y dei flussi.

E’ possibile dimostrare inoltre che, dato un punto (x, y) di equilibrio esiste la possibilità di determinare un altro punto di equilibrio migliore. Nel seguito vengono presentati i passi principali che permettono di giungere a tale conclusione. Innanzitutto vengono introdotte le seguenti definizioni:

Definizione: Si definisce come la rete dei percorsi residui dove l’insieme degli archi

)ˆ,ˆ(ˆ ANGA è costituito da coppie di archi paralleli per ogni coppia di

nodi di . Più precisamente, ad ogni coppia di nodi viene associato un arco (i,j)P ed un arco (i,j)Q. All’arco (i,j)P vengono associati il costo

corrispondente al costo del percorso minimo da i a j sulla sottorete residua di P e il costo pari al costo di tale cammino minimo quando invece sono stati considerati i costi cQP. Considerazioni del tutto simili valgono per l’arco (i,j)Q. Per ogni arco di

N Nji ˆ, ∈

PP jic ),(ˆPQ jic ),(ˆ

A viene inoltre definita una capacità pari alla minima capacità degli archi che compongono il cammino associato.

Definizione: Data una rete dei percorsi residui , si definisce ciclo alternanate C un ciclo composto da un arco (i,j)P ed un arco (i,j)Q . Viene infine denominata con C

)ˆ,ˆ(ˆ ANG

δ la capacità di un ciclo alternante C ottenuta come la minima capacità degli archi che costituiscono C.

Basandosi sulle definizioni appena enunciate è possibile dimostrare la validità del seguente teorema:

Teorema: Dato un punto di equilibrio ammissibile (x,y) si assuma che l’associata rete dei percorsi residui abbia un ciclo alternante ammissibile con

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capacità .0>Cδ Allora ogni punto (x+xC, y+yC), dove (xC,yC) è un flusso ammissibile per C, è un nuovo punto di equilibrio ammissibile.

Per i dettagli formali sulla dimostrazione si rimanda a (Castelli et al., 2000).

4.2. Algoritmo per la ricerca dell’ottimo

Sulla base dei risultati teorici delineati in precedenza, è stato messo a punto un algoritmo in grado di determinare una soluzione localmente ottima. Tale procedura si compone delle seguenti fasi: • Determinazione di un punto di equilibrio mediante un qualunque

procedimento euristico quale, ad esempio, quello presentato in (Lozovanu e Trubin, 1994).

• Sulla base del teorema appena esposto nel paragrafo 4.1, individuazione, se esiste, del “ciclo alternante” dalla rete dei percorsi residui e calcolo del nuovo punto di equilibrio.

• Ritorno al passo precedente fino a quando non è più possibile determinare cicli alternanti.

5. Caso di studio

Il modello appena descritto è stato utilizzato per rappresentare, con riferimento al sistema del trasporto merci su gomma tra la Turchia e l’Europa Occidentale, la drammatica situazione che si è venuta a creare nella regione dei Balcani a causa dei recenti eventi bellici.

Tra le due regioni, annualmente, si registra un traffico dell’ordine delle centinaia di migliaia di veicoli commerciali. Per ragioni di semplicità, si è fatto riferimento alla sola componente verso l’Europa, fermo restando che la direzione opposta potrebbe essere analizzata in maniera del tutto analoga.

In questo primo esempio, la domanda di trasporto delle merci, che viene misurata in numero di veicoli all’anno, e che si sposta con origini diverse nel Sud-Est asiatico e destinazioni pure diverse nell’Europa Occidentale, è stata concentrata in due sole polarità (1 origine e 1 destinazione).

Nel sistema appena descritto l’Associazione Industriali della nazione di origine (UND) svolge il ruolo di decisore centrale ed è stata assimilata al giocatore P di cui sopra. In breve, nota la domanda da trasportare, l’UND decide la distribuzione delle merci tra vari percorsi sulla rete che collega l’origine (Turchia) alla destinazione (Europa occidentale). Conosce pure il costo generalizzato degli archi di tale rete e opera le proprie decisioni con l’obiettivo di rendere minimo il costo del trasporto. L’evento bellico ha causato, come riflesso su detto sistema, una decisa modifica alla capacità degli archi di una porzione della rete stradale

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iniziale, che garantiva la connessione tra origine e destinazione. Alcuni archi sono stati eliminati (la rispettiva capacità posta pari a zero), altri hanno subito una netta riduzione della capacità, o un significativo aumento del costo generalizzato. Si è verificata quindi una condizione del tutto analoga a quella schematicamente rappresentata nella figura 1. La guerra quindi ha assunto un comportamento analogo a quello del giocatore Q. In questo caso però, non ha significato parlare di un’utilità che la guerra cerca di massimizzare secondo quanto esposto in precedenza, a meno che non si proceda ad assimilare l’utilità del giocatore Q con i costi di P: se Q gioca per massimizzare la propria utilità e quest’ultima corrisponde ai costi di P, automaticamente Q gioca per massimizzare i costi di P e il modello acquista proprio il significato di una analisi del caso peggiore per P.

La rete è semplificata in accordo con il livello di dettaglio delle informazioni di cui dispone P (Friesz et al., 1986) ed è formata da 91 nodi e 143 archi, di cui solamente 40 sotto il controllo di P. Gli altri 103 archi, concentrati nella regione dei Balcani, sono sotto il controllo di Q e costituiscono una sottorete connessa, che disconnette l’origine dalla destinazione. La capacità degli archi è stata determinata in accordo con il numero dei permessi di transito annui che ogni Stato concede ai veicoli turchi. Tale numero viene annualmente definito, mediante contrattazione tra le parti, in accordi bilaterali. In questa fase non si è tenuto conto delle differenti tipologie di permessi. L’insieme è formato da 10 elementi che rappresentano i nodi frontiera tra le regioni controllate dai due giocatori. In accordo con l’ipotesi semplificativa, già discussa nel corso dei paragrafi precedenti, la rete stessa è aciclica.

N

I valori del costo per veicolo percepito da parte di P, cPP e cPQ, per transitare sugli archi della sottorete propria od altrui rispettivamente, sono stati determinati come funzione del costo monetario, della lunghezza fisica dell’arco e del tempo di percorrenza, tenendo in considerazione le varie voci che concorrono alla formazione del costo unitario (per veicolo-chilometro) di produzione di un servizio di trasporto. Per quanto riguarda i termini che compaiono nella funzione obiettivo di Q, cQP è pari a 0 in quanto la guerra non trae beneficio alcuno dal transito dei flussi veicolari sulla rete di P, mentre cQQ è stato posto pari a cPQ cambiato di segno. Tutti questi dati sono stati ottenuti consultando (UND, 1999) e altro materiale tecnico e cartografico disponibile.

La figura 3 riporta uno schema dell’area oggetto delle analisi e consente di visualizzare l’estensione territoriale del problema e soprattutto la collocazione delle aree di influenza di P e Q.

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Figura 3 – L’area di studio.

Per il problema appena delineato, l’algorisequenza di passi di cui al paragrafo 4.2 nprima di Q. Questo caso appare infatti esserpratico (worst case analysis per P). Sono corrispondenza del primo punto di equilibfunzione obiettivo di P è stato pari a 4722 mciclo alternante, è stato determinato un nuoprimo mediante la procedura descritta in pfunzione obiettivo di P valeva 4614 miliaprestazioni dell’algoritmo proposto, il medecon un algoritmo esatto, cioè in grado di detedella seconda iterazione dell’algoritmo propodopo 500000 nodi di branch and bound.

L’esempio applicativo ha consentito dell’approccio proposto e di dimostrare che sono tali da compromettere la possibilità dil’ipotesi che la rete di Q disconnetta tra loporterebbe a una formulazione di valenzcomplessità maggiore sotto il profilo teoricoche realizzare un nuovo collegamento, tale dgenerale potrebbe non essere sempre fattiinvestimenti specialmente nelle fasi iniziali.

Nel contesto specifico, dopo un certo perioproprio qust’ultima ipotesi: l’UND ha decisoalla propria rete precedente tale da aggirare un potente collegamento marittimo per il trase Trieste, con 12 navi Ro-Ro in linea e 11

11

GQ

tmo è statoell’ipotesi e il più sistati ottenrio trovatiliardi di

vo punto recedenzardi di Lisimo probrminare lsto non è

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le zone diporto dei vtoccate se

GP

GP

implementato secondo la che il giocatore P decida gnificativo sotto il profilo uti i seguenti risultati: in o, il valore assunto dalla Lire. Essendo presente un di equilibrio, ricavato dal

; in questo nuovo caso la re. Ai fini di valutare le lema è stato risolto anche ’ottimo globale. Il risultato stato migliorato nemmeno

prendere le potenzialità emplificative adottate non oncreto. Potere rimuovere ini dalle destinazioni di P nerale, ma anche a una tivo. Vale peraltro rilevare la rete controllata da Q, in munque richiede notevoli

sizione però si è verificata i introdurre un nuovo arco guerra. E’ stato realizzato eicoli tra i porti di Istanbul ttimanali fisse, mentre gli

autisti sono trasportati da Istanbul a Trieste con 2 voli giornalieri su Lubiana. Gli investimenti sono stati ingenti. Per tale ragione non ha avuto significato confrontare l’assetto dei flussi sulla rete considerata prodotto dal modello con la configurazione dei traffici osservata a regime durante la guerra. Questo tipo di soluzione scelta da UND travalica l’impostazione del modello attuale, ma ha suggerito agli autori uno dei possibili sviluppi futuri della ricerca.

6. Conclusioni

Il lavoro presenta un modello per la definizione dell’assetto del sistema di trasporto delle merci, con la trattazione esplicita delle dinamiche decisionali interattoriali. In particolare si prendono in considerazione due soggetti, che operano scelte in sequenza gerarchica, uno dei quali agisce per minimizzare i costi totali del trasporto e l’altro cerca invece di massimizzare il proprio profitto che dipende dal volume di traffico lungo gli archi sotto il suo controllo. Si propone una formulazione di programmazione lineare bilivello, per risolvere un gioco infinito statico non cooperativo con insiemi di vincoli accoppiati. Sono descritte le condizioni di esistenza e alcune proprietà dei punti di equilibrio alla Nash, dalle quali discende un algoritmo di ricerca di un ottimo locale. In conclusione è discussa un’applicazione del modello al caso del trasporto merci dalla Turchia all’Europa.

Alcuni futuri sviluppi sono possibili. Essi portano alla progressiva eliminazione delle assunzioni semplificative che sono state adottate allo stato attuale nella formulazione del modello. In particolare si tratta della configurazione della rete (aciclica, sconnessa, ecc.), della struttura e delle proprietà dell’algoritmo (oggi trova solamente un ottimo locale). Inoltre si intende procedere con il perfezionamento del caso di studio.

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Sommario

Il lavoro presenta un modello per la definizione dell’assetto del sistema di trasporto delle merci, con la trattazione esplicita delle dinamiche decisionali interattoriali. In particolare si prendono in considerazione due soggetti, che operano scelte in sequenza gerarchica, uno dei quali agisce per minimizzare i costi totali del trasporto e l’altro cerca invece di massimizzare il proprio profitto che dipende dal volume di traffico che utilizza gli archi sotto il suo controllo. Si propone una formulazione di programmazione lineare bilivello per risolvere un gioco infinito statico non cooperativo con insiemi di vincoli accoppiati. Sono descritte le condizioni di esistenza e alcune proprietà dei punti di equilibrio alla Nash, dalle quali discende un algoritmo di ricerca di un ottimo locale. In conclusione è discussa un’applicazione del modello al caso del trasporto merci dalla Turchia all’Europa.

Abstract

A game between two players acting on the same road transportation network is considered. The first player aims at minimizing the transportation costs, whereas the second player aims at maximizing her profit (or, in general, her utility) that is proportional to the flow passing through the arcs under her control. For this problem bilevel linear programming formulations are introduced. Conditions of existence and properties of the equilibrium points are derived and an algorithm finding a local optimal solution is described. Finally, an application of the model to a real system involving the flows of trucks belonging to a shipper of a Middle East country and travelling through the whole Europe is presented.

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