modelagem na matemagicalândia - unesp

ISBN 978-85-89082-23-5

Bolema, Rio Claro – SP, v. 7, n. 8, 1992

Modelagem na Matemagicalândia1 Maria Salett Biembengut2

Rodney Carlos Bassanezi3

Modelagem Matemática, arte utilizada por grandes matemáticos na resolução ou

compreensão de situações problemas do mundo real, pode ser utilizada como uma

estratégia no Ensino-Aprendizagem de conteúdo matemático.

A escolha de problemas ou situações concretas funciona inicialmente como

elemento motivador, levando o aluno a incorporar uma gama de conhecimentos,

essenciais em sua atuação futura no meio social.

Como um exemplo desta proposta, mostramos aqui alguns modelos simples a

partir da leitura de uma revista infantil, "Donald na Matemagicalândia".

A estória começa com o famoso Tio Patinhas procurando explorar seu sobrinho

Donald. Este, desesperado pela dívida impagável oriunda de um empréstimo, é levado

pelo "Espírito da Matemática" a conhecer o Mundo da Matemática. Donald, após tal

viagem, convence-se da importância desta ciência como instrumento que rege o

Universo e acaba descobrindo uma maneira de safar-se da tão "pesada" dívida.

Acompanhando as peripécias do desastrado personagem, selecionamos alguns

temas para abordar neste trabalho.

Nosso objetivo é mostrar que é possível tornar o ensino de Matemática mais

suave e até por que não dizer mais gostoso quando o aluno aprende brincando e

motivado pelo interesse de resolver os problemas que ele próprio cria.

1 Digitalizado por Carolina Augusta Assumpção Gouveia e Thiago Pedro Pinto, alunos do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Estadual Paulista, campus de Rio Claro. 2 Profa. do Departamento de Matemática da Universidade Regional de Blumenau. Mestre pelo programa de Mestrado em Educação Matemática - UNESP - Rio Claro. 3 Prof. do Programa de Mestrado em Educação Matemática - UNESP - Rio Claro.

Bolem

ISBN

ma, Rio Claro

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

82-23-5

8, 1992

ainda

supo

0. En

Vamos d

Dados: a

b) Donal

a está deven

Os juros

Vamos c

ndo que ate

Seja t =

ntão

dar uma ajud

a) emprestou

ld devia est

ndo $ 140.0

"exorbitant

calcular inic

e agora o Do

0 o instante

da ao Dona

u $30.000

ta semana (

73.

tes" do Tio

cialmente há

onald não ti

e (em mês)

ald:

considere h

Patinhas sã

á quanto tem

ivesse pago

do emprést

Bolem

hoje) $ 160.

ão de 30% a

mpo estes $

nada:

timo e Co =

ISBN

ma, Rio Claro

.073, pois p

ao mês.

30.000 for

30.000 a d

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

pagou $ 20.

am emprest

dívida quand

82-23-5

8, 1992

000 e

tados,

do t =

ISBN 978-85-89082-23-5


C1 = Co + 0,30 Co = 1,3 Co = dívida no lo mês.

C2 = 0,3C1 + C1 = 1,3 C1 = 1,32 Co

Cn = (l,3)n Co = dívida depois de n meses

Se Donald deve $ 160.073, temos 160:073 = (1,3)t x 30.000 ou

(1,3)t = 5,336 logo t x Log 1,3 = 5,336 ,,

6,382 = 6 meses, 11 dias, 11 horas e 2,4 minutos.

Este é o tempo que passou depois do empréstimo.

Vamos supor agora que, a partir de hoje, Donald pague $ 20.000 ao mês. Se em

seu aniversário ainda estiver devendo $ 370.092, quando será seu aniversário?

Seja Do = 160.073 - 20.000 = 140.073 a dívida atual

D1 = 1,3 D0 = dívida no mês que vem. Se pagar 20.000, fica devendo

D1 = 1,3 D0 - 20.000

D2 = 1,3 D1 = (1,3)2 D0 - 20.000 x 1,3 e

D2 = (1,3)2 - 1,3 x 20.000 - 20.000

D3 = 1,3 D2 = (l,3)3D0 - (1,3)2 x 20.000 - 1,3 x 20.000

= (1,3)3D0-20.000 (1,3)+ 1,32)

D3 = (l,3)3D0 - 20.000 (1 + 1,3 + 1,32) de uma maneira geral

Dn = (l,3)nD0 - 20.000 x 1,3 (1 + 1,3 + 1,32 + ... + l,3n-2)

soma de PG de razão 1,3

Dn l, 3 D 20.000 x 1,3 1,3 1

1,3 1

= l,3n (140.073 - 66.666,66) + 86.666,66 =

= l,3n x 73.406,34 + 86.666,66

Se D0 = 370.092 = calculamos n:

370.092 = (l,3)n x 73.406,34 + 86.866,66

(l,3)n = 3,861 n ,, ,

, 5,15 meses

Logo, o aniversário do Donald será daqui a 5 meses, 4 dias e 12 horas!

respo

suas

Mate

antes

estud

Donald:

ostas às sua

faculdade

emática um

AL-JAB

s de 850).

dantes dessa

não houv

as necessida

s criadoras

sabor de ci

R era o tít

Em seu l

a ciência (Á

e um inve

ades prática

s mesmo

ência e arte

tulo do livr

livro assina

Álgebra) era

entor da M

as ou às su

além da i

e...

Os

equa

Sabi

tipo

ro do matem

alava que

entender ra

Bolem

Matemática..

uas inquieta

imaginação

Egípcios

ações do 1º g

am que a s

ax + b = 0

mático hind

a primeira

aízes, quadr

ISBN

ma, Rio Claro

.. o homem

ações existe

e da int

encontrava

grau há mai

olução de u

0 é

du Al-Khow

a coisa nec

rados e núm

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

m, na busc

enciais, con

tuição, dan

am raízes

is de 4000 a

uma equaçã

warizmi (m

cessária par

meros.

82-23-5

8, 1992

ca de

duziu

ndo à

das

anos.

ão do

morreu

ra os

enqu

quan

radic

por 1

Somente

uanto as equ

ndo Ruffini

cais.

Os tanqu

10 m de com

e no século

uações do

e Abel m

ues que rece

mprimento e

XVI, os ita

5º grau res

ostraram qu

ebem os gir

e subdividid

Uma eq

Al-Kho

usando

alianos reso

sistiram bra

ue estas nã

Pois

Khow

equa

tanqu

sabe

hom

ranár

E, pa

colet

os at

eclos

dias.

rinos têm a

dos em vário

Bolem

quação algé

owarizmi

uma figura

olveram as

avamente at

ão podem s

é, Donald

warizmi u

ação se pare

ue onde cr

, as rãs são

em e, port

rios.

ara ter uma

ta os ovos

té a incuba

são, os girin

.

as seguintes

os comparti

ISBN

ma, Rio Claro

ébrica como

resolvia g

a:

equações d

té o início

ser resolvid

d, este des

sou para

ece com o

riam rãs. N

ótimas par

tanto, há n

boa produç

s fecundad

adora para e

nos ficam re

dimensões

imentos.

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

x2 + lOx =

geometricam

de 3º e 4º gr

do século

das por me

enho que

demonstrar

desenho de

Não sei se

ra o aliment

no Brasil v

ção, o ranic

dos e transp

eclosão. Ap

etidos de 8

s: 2 m de la

82-23-5

8, 1992

39

mente

raus -

XIX,

eio de

Al-

r tal

e um

você

to do

ários

ultor

orta-

pós a

a 10

argura

ISBN 978-85-89082-23-5


Tomando as dimensões internas da base do tanque (2m x 10m) e a espessura de

parede (15 cm), podemos calcular a área ocupada pelo tanque no ranário.

A área útil ocupada pelo

tanque é:

(i) área interna:

2m x 10m = 20 m2

(ii) área das paredes +

2 paredes de 10m x 0,15m => 2x(l,52) = 3m2

2 paredes de 2m x 0,15m => 2 x (0,30m2) = 0,60m2

4 cantos de 15cm x 0,15m => 4 x (0,0225m2) = 0,09m2

O espaço para construção do tanque deve levar em consideração a área ocupada

também pelas paredes:

Área total = área interna + 2 (área da parede maior) + 2 (área da parede menor) +

4 (área do canto).

At = 20 m2 + 3m2 + 0,60m2 + 0,09m2 = 23,69m2,

ou considerando a área do retângulo ABCD:

At = [2m + 2(0,15m)] x [10m + 2(0,15)] = 23,69m2.

Neste ranário temos as dimensões fixadas, mas existem outros objetos ou

construções com esta mesma forma (paredes de uma casa, caixas de madeira.,.).

Nestes casos, embora com formas semelhantes, as dimensões variam. Então,

para facilitarmos, podemos tratar o problema da forma algébrica:

volum

espes

inicia

10 = b; 2

At = [2m

= ab + 2

Se a = b,

Esta exp

Existem

me interno

ssura da par

Para que

ar um estud

2= ae0,15=

m + 2(0,15)]

2bc + 2ac +

, obtemos: (

ressão e den

outros pr

de uma c

rede b, obte

e você poss

do: Tomemo

c e aí terem

] x [10m + 2

4c2

(a + 2c) x (a

nominada P

rodutos not

aixa d'água

emos um de

sa entender

os um segm

mos:

2(0,15m)] =

a + 2c) = (a

PRODUTO

táveis impo

a cúbica, d

les. (Verifiq

r melhor es

mento AB.

Bolem

= (a + 2c) x

+ 2c)2 = a2

NOTÁVEL

ortantes, po

dada a med

que!)

stas proporç

ISBN

ma, Rio Claro

(b + 2c)

2 + 4ac + c2

L.

or exemplo

dida externa

ções "matem

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

.

o: calculan

a do lado a

máticas", v

82-23-5

8, 1992

ndo o

a e a

vamos

ISBN 978-85-89082-23-5


Com um ponto C podemos dividir

este segmento em duas partes.

O ponto C pode ocupar infinitas

posições, mas existe uma única

posição - posição de ouro - onde este

ponto C divide o segmento de tal for-

ma que

, ou seja,

Vamos supor que: med (AB) = x; med (AC) = a; e med (CB) = x-a

Então podemos escrever .

Utilizando a propriedade fundamental da proporção, vem x2 - xa – a2 ;

resolvendo, obtemos √ o número √ ou 1,6180339... é chamado "número

de ouro" e é representado pela letra grega (f)

= 1,6180339..., que é um numero irracional.

O número é considerado um número especial por ter propriedades

interessantes: a) somando 1 ao numero obtemos o quadrado de :

1 + 1,618...= 1,168... x 1.618... = 2,618...

1 + Ø= Ø2 Ø2- Ø-1=0.

b) quando subtraímos 1 de Ø , obtemos o inverso de Ø:

11

1,618… 11

1,618… 0,618…

0,618… é chamado de “secção áurea”.

Por ser um número irracional (0,61803399...) e, portanto, difícil de ser medido,

os arquitetos fizeram uma aproximação dele, considerando 0,625.

b=5 c

... qu

DUR

BEL

áureo

Um retân

cm => a= 5

ue os gregos

RANTE SÉ

EZA NO M

Começan

os, formand

ngulo é de

5 x 0,618... =

s admiravam

ÉCULOS, O

MUNDO OC

ndo de um

do sucessiva

ouro, se seu

= 3,05... cm

m pela belez

O RETÂNG

CIDENTAL

m segmento

amente retân

us lados gu

m.

za de suas p

GULO DE

L! NA ARQ

b1 = 5, o

ngulos de o

Bolem

uardam a di

proporções e

OUTRO D

QUITETURA

btemos um

ouro:

ISBN

ma, Rio Claro

vina propor

e suas quali

DOMINOU

A...

ma seqüênci

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

rção

dades mági

O IDEAL

ia de segm

82-23-5

8, 1992

. Se

icas...

L DE

mentos

........

A seq

A

: 1;

com

5x x

5x

.......

5xb

qüência

seqüência

; ; ; … .

De uma

∑

o segmento

1

E como

Portanto

x

x1

x1

é um

áurea é

; ….

seqüência á

é a som

o de lado 1.

, como

1

, Donald, o

ma progressã

uma PG

áurea podem

ma de cada

∑

1 0

o homem, a

ão geométri

G de ra

mos formar u

lado dos re

é

1. Por

ao buscar re

Bolem

ica decresce

azão

uma serie á

etângulos áu

é e a redu

rtanto,

espostas ao

ISBN

ma, Rio Claro

ente de razã

áurea conver

ureos forma

uzida de o

, quando

s seus ques

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

ão .

rgente:

ados, começ

ordem n. E

n cresce.

stionamento

82-23-5

8, 1992

çando

Então

Logo

os em

ISBN 978-85-89082-23-5


relação à harmonia do Universo chegou à Lei de Ouro, ao número de ouro, a secção

áurea, ao segmento áureo, etc..., todos relacionados à "divina proporção".

Agora volte ao pentagrama e descubra suas maravilhas áureas.

O triângulo de ouro ou sublime é o triângulo isósceles, cuja base tem o valor do

segmento áureo do lado.

(divisão áurea)

2

2 2 1

Tem-se a equação áurea quando

2 1 1 2 1 tomando

.

Retrato famoso de Isabelle d`Este, por Leonardo da

Vince. Convém notar que alinha dos olhos divide, em

média e extrema razão, a distância do alto da testa à

extremidade do queixo. O mesmo ocorre com a linha

da boca em relação à distância da base do nariz à

extremidade do queixo. Na mulher matemáticamente

bela verifica-se a predominância do número (1,618) Também a distância que vai do queixo até a testa em relação à distância dos

olhos até o mesmo ponto é igual a .

ISBN 978-85-89082-23-5


As relações áureas também estão presentes quando analisamos a configuração de

alguns animais e plantas.

A cabeça do zebu, quando vista de perfil, esta inscrita num retângulo de ouro.

Seqüência de Fibonacci - Leonardo de Pisa (1180-1250) - Fibonacci é

considerado o matemático mais original e criativo do mundo cristão medieval. Em seu

livro Liber Abaci (Livro de Ábaco), de 1202, encontra-se o problema que deu origem à

sua famosa seqüência:

"Quantos coelhos teremos num ano, começando com um só casal, se em cada

mês cada casal adulto gera um novo casal, o qual se torna produtivo em dois meses?"

ISBN 978-85-89082-23-5


- a razão de crescimento de termos sucessivos forma uma nova seqüência

que converge para 1,618… (número de ouro).

São 4 os tipos de simetria:

a) Translação - Dados dois pontos A e A', translação e a simetria que manda um

ponto genérico B do plano, no ponto B' = T(B) tal que

o quadrilátero ABB'A seja um paralelogramo.

Translação T: R →R

= amplitude de translação.

O Δ ABC é "paralelo" ao triângulo A’B’C’.

b) Rotação - A figura do piano gira em ponto fixo.

Rotação R: R - R, de centro O e ângulo a é um movimento rígido (transformação) tal

que, para todo ponto P do plano, R(P) é obtido sobre uma circunferência de centro O e

raio OP, deslocado de um angulo a.

c

d

G

G: R

G(A)

c) Reflexão

como nu

está sobr

r o mesm

d) Glissorre

translaçã

Glissorrefle

R R

) = R(T(A))

o - Quando

um espelho.

re a reta per

mo que A di

eflexão - Qu

ão T paralel

exão de eixo

)=T(R(A)).

uma figura

. Reflexão é

rpendicular

ista de r.

uando se co

la ao eixo r.

o r

a exibe suas

é um movim

a uma reta

ombinam 2

Bolem

partes opo

mento rígido

fixa r (eixo

movimento

ISBN

ma, Rio Claro

stas a um e

o S: R R t

o de simetri

os: reflexão

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

ixo r "reflet

tal que S(A

ia) e que dis

R, com eix

82-23-5

8, 1992

tidas"

) = A

sta de

xo r, e

flore

etc.

elem

edifi

a) Ro

b) Fa

c) M

As ab

Para

mel,

colôn

têm q

que 4

distâ

uma

Terra

que

hecta

1,5

colm

dessa

As simet

s, nas borbo

O equilíbri

mentos.

O homem

cações, etc.

oseta - São

aixas - São o

Mosaicos - Sã

belhas cons

fabricarem

as abelhas

nia de Ápis

que voar na

40 mil km,

ância aprox

volta ao

a, isso nu

não ultrap

ares – num

km ao r

méia. No

as viagen

trias são ver

oletas, nos

io da natur

m, combina

Existem 3

os ornamen

ornamentos

ão ornamen

stroem seus

m 1 kg de

s de uma

s Melífera

ada menos

ou seja, a

ximada de

redor da

uma área

passa 707

m raio de

redor da

vaivém

ns elas

rificadas no

cascos das

reza encont

ando estes "

tipos de orn

ntos limitado

s ilimitados,

ntos ilimitad

favos usand

os mais dive

tartarugas,

ra-se na ha

movimento

namentos:

os:

, contidos en

dos, cobrind

do a simetri

Bolem

ersos eleme

nas peles d

armonia e b

os", constrói

ntre duas re

do o plano to

ia do hexág

ISBN

ma, Rio Claro

ntos da natu

de cobras, n

beleza da s

i seus ornam

etas paralela

odo.

gono regular

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

ureza, como

nos favos de

simetria de

mentos: pin

as.

r e ...

82-23-5

8, 1992

o: nas

e mel,

e seus

nturas,

colet

adoc

dá or

cheg

flora

atrav

circu

uma

em li

parte

verti

30º à

tam o nécta

icado das f

rigem ao me

Para cole

ga a visitar

ada, a abelh

vés de uma c

Quando

ular, (fig. 1)

pequena di

inha reta e

e reta ela ag

cal (para ci

à direita da v

Flor

colm

(fig

As abelh

ar, o suco

flores que

el.

etar uma ún

entre 50 a

ha campeira

complexa d

as flores e

). Se o alim

stância, reto

volta descr

gita rapidam

ma) signific

vertical, sig

rada a men

méia.

.1)

Florada a

ângulo de

ao norte su

(fig.3)

has não usa

nica carga d

a 1000 flor

a retorna à

dança.

stão a men

mento está a

ornando ao

revendo um

mente a part

ca que o ali

gnifica que o

nos de 100m

a mais de

e inclinação

ul.

am coorden

de néctar, ca

res. Quando

colméia p

nos de 100

a mais de 1

ponto inicia

m outro semi

te que consi

imento está

o alimento e

m da

100m e n

o α em dire

nadas retan

Bolem

apaz de ench

o descobre

paia comuni

m de distâ

00 m, a abe

al por um se

icírculo na

iste do abdô

á na direção

esta a 30º à

Flor

dire

(fig

num

eção

ngulares par

ISBN

ma, Rio Claro

her o estôm

uma região

icar. A com

ância da col

elha corre p

emicírculo

direção opo

ômen à caud

do sol. Se

direita do s

rada a mai

eção leste ou

g.2)

ra comunic

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

mago, uma a

o com uma

municação

lméia, a da

para a frent

corre novam

osta, (fig. 2

da. Um cam

a dança e f

sol, (fig. 3).

is de 100m

u oeste.

car a posiçã

82-23-5

8, 1992

abelha

a boa

se da

nça é

te por

mente

2). Na

minho

feita a

m em

ão da

fonte

peixe

P: (x

=P(r,

uma

de al

horár

coord

Em c

m pa

e de aliment

es, as coord

x, y) – coord

(

(â

,θ)

A fonte

dança, que

limentos P

rio em rel

denadas pol

As relaç

coordenadas

ara o sul, em

tos. Em com

denadas pola

denadas reta

(distância po

ângulo pola

de alimento

toma como

estiver a 4

ação à dir

lares, sua po

ões trigono

s, podemos

m relação à c

mportament

ares têm um

angulares

olar) e

ar) => P:(

o é comunic

o referência

400 m da co

reção do s

osição exata

ométricas tr

afirmar que

colméia.

to animal, p

m papel imp

(x,y)

cada pela ab

a nascente

olméia e fo

ol nascente

a:

ansformam

e a fonte de

Bolem

principalme

ortante.

belha camp

do sol, o le

ormando um

e (leste), p

coordenad

e alimento e

ISBN

ma, Rio Claro

ente na orie

peira às dem

este. Por exe

m ângulo de

pode-se sab

das polares

esta a 200 m

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

ntação de a

mais abelhas

emplo: se a

e 60º no se

ber, através

em retangu

m para leste

82-23-5

8, 1992

aves e

s, por

fonte

entido

s das

ulares,

e 346

Se a

Volte

C(t)=

150.0

1

Veja

centa

agora a dívi

e ao início e

=(1,3)t x 140

000 = (1,3)

semana.

amos, se o

avos na 3ª c

ida é $ 150

e use

0.073 (temp

)t x 140.073

Tio Patinh

casa e assim

0.000, quan

po em mese

3 => t =

has colocar

m sucessivam

nto tempo D

es) ..,

=>

1 centavo

mente, ..., ou

Bolem

Donald pas

,,

na 1ª casa

u seja,

ISBN

ma, Rio Claro

ssou na Ma

0,261m

a, 2 centavo

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

atemagicalâ

mês 7,83

os na 2ª ca

82-23-5

8, 1992

ândia?

dias

asa, 4

O to

razão

Se c

tonel

otal de moe

o 2)

cada moeda

ladas = 1,8

1 2

2 2

4 2

8 2

.........

2

edas será da

2

a pesasse 1

x 1013 tonel

ado por 1

1 18.4

1 grama, D

ladas.

2 2

446.744.07

Donald, voc

Bolem

2

3.709.551.

cê deveria

ISBN

ma, Rio Claro

2 (soma

615 1,8

receber 1,8

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

a de uma P

x10 cent

8 x 1019 x

82-23-5

8, 1992

PG de

tavos.

x 10-6

Agor

exter

Poxa

Com

anali

prete

que

mode

ra, se cada

rna é 120 b

a!

mentário Fin

A Matem

isa sua geo

ende interpr

Neste tra

é sugerida

elagem efet

dólar vales

bilhões de

nal

mática pod

ometria) ou

retá-los).

abalho proc

a nas diver

tuada foi so

sse 5 cruzei

dólares, se

de ser "enc

nos mais c

curamos da

rsas situaçõ

omente um

iros, teria 3

erá equivale

contrada" n

complicado

ar exemplos

ões propost

exemplo d

Bolem

3,6 x 1015 d

ente a 30 d

nos mais si

os fenômeno

s simples d

tas na revis

o que se po

ISBN

ma, Rio Claro

dólares. Com

dívidas exte

imples obje

os da Natu

de utilização

stinha do P

ode fazer, c

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

mo nossa d

ernas brasil

etos (quand

ureza (quan

o da Matem

Pato Donal

como motiv

82-23-5

8, 1992

dívida

leiras.

do se

do se

mática

ld. A

vação,

ISBN 978-85-89082-23-5


para se ensinar Matemática em cursos regulares de 1º e 2º graus.

Cada um dos temas apresentados pode ser retomado numa análise mais

aprofundada (seria um bom exercício para os professores). Por exemplo, experimente

pesquisar mais sobre o comportamento das abelhas, sobre os segmentos áureos, sobre a

criação das rãs, sobre jogos, sobre a história da Matemática, etc.

O objetivo é mostrar que cada um é capaz de desenvolver seu próprio texto

usando a mesma revistinha - tente!

Não quisemos dar uma "receita" de modelagem, mas simplesmente despertar o

interesse em aplicar este método para ensinar e, mais que isto, ensinar - aprendendo.

"Haverá um dia - talvez este já seja uma realidade - em que as crianças aprenderão

muito mais, e muito mais rapidamente, em contato com o mundo exterior do que no

recinto da escola" (MCLUHAN).

Faça como o Pato Donald, vá em frente, a "Matemagicalândia" o espera, afinal

como dizia LOBACHEVSKY: "Não existe nenhum ramo da Matemática, por mais

abstrato que seja, que não possa um dia ser aplicado a algum fenômeno do mundo real".

Coragem!

Bibli BASSPaulo BASSPaulo BAT1978 MAL MAN TROT1979

iografia

SANEZI, Roo: UNICAMP

SANEZI, Roo: IMECC - U

SCHELAT, . Tradução: V

LBA, Tahan.

NUAIS PRÁT

TA, Fernand.

odney C. & BP, 1987. (Re

odney C. MoUNICAMP,

Edward. IntVera M. A. P

As maravil

TICOS DE V

do et alii. Ma

BIEMBENGelatório Técn

odelagem co1988

trodução à mP. da Silva e

has da mate

VIDA - Rãs.

atemática ap

GUT, Maria Snico)

mo metodol

matemática Junia M. P.

emática. Rio

São Paulo: T

plicada – 1ª

Bolem

Salett. A gram

logia de ensi

para biocienA. Quitete.

o de Janeiro:

Três, 1985.

série do 2º g

ISBN

ma, Rio Claro

mática dos o

ino de mate

ntistas. São

Bloch, 1985

grau. São Pau

N 978-85-8908

– SP, v. 7, n. 8

ornamentos

mática. São

Paulo: USP,

5.

ulo: Moderna

82-23-5

8, 1992

s. São

,

a,

modelagem na matemagicalândia - unesp

Documents