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REPASO DE ESTADÍSTICA I

FORTINO VELA PEÓNAgosto, 2011

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Introducción

� La edad de la siguiente persona que entre por la puerta del laboratorio; el número de veces que su lap-top se averié; el genero de la siguiente persona que conocerás; todos son eventos que tienen como característica común el que de no se conoce cual será su resultado . En todos ellos existe incertidumbre.

� Una forma de medir la incertidumbre de la ocurrencia de un evento es mediante el uso de la probabilidad .

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� El calculo de probabilidades comprende los métodos de análisis que son comunes en el estudio de fenómenos aleatorios .

� En términos generales, existen diferentes enfoques para el estudio de la probabilidad.

a) Clásicob) Frecuentistac) Subjetivo

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Conceptos básicos

� Experimento . Proceso mediante el cual se genera u origina el resultado de un evento.

� Evento . Resultado de interés obtener (se designa con letras mayúsculas).

� Tipos de eventos : simples y compuestos.

� Espacio muestral : conjunto total de todos losposibles resultados de un experimento.

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a) Clásico : se aplica cuando se conocen todos los posibles resultados del evento en cuestión (aún sin realizar el experimento que les da origen).

En términos formales se puede establecer

eventos de Total

favorables eventos de Numero)()( == ApAprob

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b) Frecuentista : la probabilidad de ocurrencia de un evento particular se aproxima mediante la proporción de veces, que en el largo plazo, ocurre dicho suceso.

Así se tiene

oexperiment realiza se que vecesde Total favorables eventos de Numero

)( =Ap

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c) Subjetivo : el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de un evento se efctúa con base al conocimiento y la experiencia del fenómeno en estudio (i.e. método Delphi).

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Enfoque axiomatico

� Intenta ofrecer una forma coherente de calcular la probabilidad en la ocurrencia de eventos basado en axiomas matemáticos .

� Sea A un evento en S, y Ai el evento simple i-ésimo, entonces

a) 0)( ≥Ap

b) 1)( =Sp

c) ∑=

=k

iiAp

1

1)(

d) 1)(0 ≤≤ Ap

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Teoría de la probabilidad

� Regla de asignación de probabilidades.

� Métodos de calculo de probabilidades: puntos muestrales y composición de eventos.

� Técnicas de conteo.

� Probabilidad condicional� Independencia de eventos.

� Leyes de probabilidad (aditiva y multiplicativa)� Particiones y probabilidad

� Regla de Bayes.

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Variables aleatorias� Una variable aleatoria (v.a.) es aquella cuyo valor

es el resultado numérico de un experimento al azar.

� Pueden ser discretas o continuas .

� Una v.a. discreta es aquella que solo asume o toma números enteros .

� Por su parte, una v.a. continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores dado .

� La probabilidad de que la variable aleatoria Y tome el valor específico se denota por p(Y=y) .

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Distribución de probabilidad

� Es el reparto de probabilidades asociado a los diferentes valores que la v.a. puede tomar.

� Se puede representa r por una fórmula, tabla o gráfica que indique las probabilidades p(y) correspondientes a cada uno de los valores de la v.a.

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Propiedades de la distribución de probabilidad para una v.a. discreta

� Para cualquier distribución de probabilidad de una v.a. discreta debe cumplirse :

1. para toda y;

2. donde la sumatoria se toma sobre

todos los valores de y con probabilidad diferente de

cero.

1)(0 ≤≤ yp

∑ =y

1 p(y)

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El valor esperado de una variable aleatoria

� La distribución de probabilidad de una v.a. puede analizarse en términos de un modelo teórico y de la distribución empírica asociada a los datos de una población.

� Si el modelo es una representación exacta de la realidad, las distribuciones teórica y empírica son equivalentes .

� Resulta natural intentar encontrar medidas descriptivas para la v.a. (media y varianza ).

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� Para el caso de una v.a. discreta se tiene que la media y la varianza están dadas por:

µ=⋅=∑y

ypyyE )()(

( )[ ] 22)( σµ =−= yEyV

� Los operados esperanza y varianza tienen ciertas propiedades básicas.

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Distribuciones de probabilidad para v.a. discretas de uso frecuente

a) Uniformeb) Bernoulli

c) Binomiald) Poissone) Geométricaf) Hipergeométrica

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Distribución de probabilidad binomial

a) Características de los experimentos binomiales

1. El experimento consta de n pruebas idénticas .2. Cada prueba solo tiene dos posibles

resultados : “éxito” (E) y “fracaso” (F).3. La p(E)=p ; por lo tanto p(F)=1-p=q.4. Se cumple que p+q=1 (o sea q=1-p).5. Las pruebas son independientes (así como

sus resultados).6. La v.a. bajo estudio es Y= # de éxitos

obtenidos en las n pruebas .

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b) Modelo teórico

dondey = 0,1,2,...

y)-(ny q p Cp(y) ny=

y¡y)¡-(n

n¡ C

⋅=n

y

0≤ p(y) ≤1

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Ejemplo

La selección nacional de fútbol sub20 tiene 0.50 de probabilidad de ganar un partido cuando juega. Si participa en un torneo (en el cual no esta permitido el empate) que consta de 6 partidos, encuentre la probabilidad de que gane:

a) exactamente 2 partidos.

b) entre 3 y 5 partidos.c) más de la mitad de los partidos.

d) Su distribución de probabilidad.e) La media y varianza de la v.a.

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Solución

Sea Y= # partidos ganados por el tri.

p= 0.50q= 0.50n= 6y= 0,1,2,…,6

por lo tanto

a) p(y=2)= 2344.0)50.0()50.0( 4262 =C

b) p(3≤y≤5)=p(y=3)+p(y=4)+p(y=5)=0.6406

c) p(y>3)=p(y=4)+p(y=5)+p(y=6)=0.3438

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d) Solo falta calcular p(y=0) y p(y=1).

e) E(y)=3.0003V(y)=1.4991

Formas abreviadas: E(y)=np; V(y)= npq

y p(y)0 0.01561 0.09382 0.23443 0.31254 0.23445 0.09386 0.0156

1.0001

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Distribución de probabilidad acumulada (o acumulativa)

� La distribución de probabilidad acumulada es la probabilidad de que la v.a. adopte valores menores o iguales a un valor particular especificado .

� Una distribución de probabilidad acumulada también es denominada como f.d.a. (o en sus siglas en inglés, c.d.f. )

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Ejemplo

� Para el caso de la variable Y= # de partidos ganados por el tri, calcule la probabilidad acumulada de que México gane a lo más:

a) 1 partido.

b) 3 partidos.c) Todos los partidos.

d) Represente gráficamente a laf.d.a.

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Solución

a) p(y≤1)=p(y=0)+p(y=1)=0.1094b) p(y≤3) =p(y=0)+p(y=1)+…+p(y=3)=0.6563

c) p(y≤3) =p(y=0)+p(y=1)+…+p(y=6)=1.0000

El cuadro siguiente muestra a la función de probabilidad y la función de probabilidad acumulada.

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y p(y) p(Y<=y)0 0.0156 0.01561 0.0938 0.10942 0.2344 0.34383 0.3125 0.65634 0.2344 0.89075 0.0938 0.98456 0.0156 1.0001

1.0001

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d)