lagrange y conjuntos de enlace

Universidade Federal de Minas GeraisInstituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Multiplicadores de Lagrangee conjuntos enlaçados

Mario Daniel Huaman Bolaños

Belo Horizonte - Novembro de 2013

Sumário

Introdução geral 1

1 Multiplicadores de Lagrange 3

2 Conjuntos Enlaçados 11

A Teorema da função implícita 21

Referências bibliográficas 25

iii

Introdução

Na primeira parte do presente trabalho, desenvolvemos o metodo de multiplicadoresde Lagrange para espaços de dimensão infinita.

No caso de dimensão finita temos que se consideramos M ⊂ Rn+1 uma hiperfíciede classe Ck. Dizemos que p é um ponto crítico da restrição f |M se e somente se(∇f(p), v) = 0 para todo v ∈ TpM , isto é que o vetor ∇f(p) seja normal á hiperficieM no ponto p. Agora se M = φ−1(c) é a imagem a inversa de um valor regular c poruma função φ : U → R de classe Ck. Então como M é superficie de nivel de φ temosque

∇φ(p)⊥TpM

Por outro lado, de acima temos que que p é ponto crítico de f |M se e somente se∇f(p)⊥TpM . Como TpM ⊂ Rn+1 é um espaço vetorial de dimensão n, segue-se quep é um ponto crítico de f |M se e somente se, ∇f(p) é um multiplo de ∇φ(p). Assimobtemos o seguinte resultado:

Seja f : U → R uma função de classe Ck (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rn+1 eM = φ−1(c) uma hiperficie contida em U , imagem inversa do valor regular c ∈ Rpor uma função φ : U → R de classe Ck. Um ponto p ∈ M é ponto crítico de f |M se,e somente se, existe um número real λ tal que ∇f(p) = λ∇φ(p).

Na segunda parte do trabalho, desenvolveremos a teoria de conjuntos enlaçãdos,aqui veremos que outras geometrias diferentes ao passo da montanha geram teoremasminimax, apresentando algumas especializações importantes do teorema 2.4 como osteoremas do passo da montanha, o ponto sela e das esferas enlaçãdas. Para o nossoobjetivo precisaremos conhecer de alguns fatos provados em aulas como o lema dadeformação.

1

CAPÍTULO 1

Multiplicadores de Lagrange

Estabeleceremos o conceito de multiplicador de Lagrange, aqui usaremos o teo-rema da função implicita e chegaremos a uma generalização das ideas no apendice,finalmente faremos umas aplicações.

Definição 1.1. Seja E um espaço de Banach, ω ∈ E um aberto e J ∈ C1(ω,R).Dizemos que u ∈ ω é um ponto crítico de J , se J ′(u) = 0. Se u não é ponto críticodizemos que u é um ponto regular de J . Se c ∈ R, dizemos que c ∈ R é um valorcritico de J , se existe u ∈ ω tal que J(u) = c e J ′(u) = 0. Se c não é um valorcritico de c, dizemos que c é um valor regular de J .

O exemplo mais simples de um ponto crítico de uma função J ∈ C1(ω,R) é umponto extremal, ou seja, um ponto em que J atinge um máximo ou mínimo local ouglobal.

Agora, veamos o que significa um valor crítico ou um ponto crítico para um fun-cional definido sobre um conjunto de restrições e introduzimos o conceito:

Definição 1.2. Seja E um espaco de Banach, F ∈ C1(E,R) e um conjunto de re-strições

S = v ∈ E : F (v) = 0

Suponha que para todo u ∈ S, temos F ′(u) = 0. Se J ∈ C1(E,R) ( ou de classe C1

sobre uma vizinhança de S), dizemos que u é um ponto crítico de J em S, seexiste λ ∈ R tal que J ′(u) = λF ′(u). O real c tal que J(u) = c é valor crítico de J

sobre S e o real λ é chamado multilpicador de Lagrange para o valor crítico c ouponto crítico u.

3

4 Multiplicadores de Lagrange

No caso em que E é um espaço funcional e a equação J ′(u) = λF ′(u) correspondea uma e.d.p., tal equação é chamada equação de Euler-Lagrange satisfeita pelo pontocrítico u sobre a restrição S.

A ultima definição é justificada pelo seguinte resultado que estabelece a existênciado multiplicador de Lagrange. Assim usando o teorema da função implícita (A.7),obtemos:

Proposição 1.3. Sobre as hipóteses e notações da definição anterior, suponhamos queu0 ∈ S é tal que J(u0) = inf

v∈SJ(v). Então existe λ ∈ R tal que

J ′(u0) = λF ′(u0)

Demonstração. Como F ′(u0) = 0, existe w ∈ E tal que

F ′(u0)(w) = 1

e sendo F ′(u0) sobrejetiva, então E0 = KerF ′(u0) admite um complemento em E, naverdade temos E = E0 ⊕ spamw. Definamos a função ϕ : E0 × R → R definida por

ϕ(v, t) = F (u0 + v + tw)

então ϕ(0, 0) = F (u0) = 0 e como ϕt(v, t) = F ′(u0 + v + tw)(w) temos ϕt(0, 0) = 1,tambem sendo ϕv(v, t) : E0 → R, com ϕv(v, t)(h) = F ′(u0 +v + tw)(h), logo ϕv(0, 0) =F ′(u0)|E0 = 0.

Assim aplicamos o teorema da função implícita a ϕ no ponto (0, 0) ∈ E0 × R,temos que existe uma vizinhança ω de 0 ∈ E0, e uma aplicação T : ω → R tal queϕ(v, Tv), ∀ v ∈ ω e também T (0) = 0 e como

T ′(v) = −(ϕt(v, T (v)))−1 (ϕv(v, Tv))

temos para cada h ∈ E0,

T ′(0)(h) = −(ϕt(0, 0))−1 (ϕv(0, 0))(h) = −(ϕv(0, 0))(h) = 0

Portanto temos F (u0+v+T (v)w) = 0 para todo v ∈ ω, (i.e. temos uma vizinhançade u0 onde F (u) = 0). Se J : ω → R é definido por J(v) = J(u0 + v + T (v)w) vemos

5

que J atinge seu mínimo em 0 ∈ ω. Em consequência J ′(0)(v) = 0, para todo v ∈ E0.

No entanto da definição de J e a propiedade de T , sabemos que se v ∈ E0,temos que J ′(0)(v) = J ′(u0)(v) e assim J ′(u0)(v) = 0, para todo v ∈ E0, isto é,KerF ′(u0) ⊂ KerJ ′(u0), supondo que J ′(u0) = 0 e sabendo que KerF ′(u0) tem codi-mensão 1, então KerF ′(u0) = KerJ ′(u0), assim existe λ ∈ R tal que J ′(u0) = λF ′(u0).2

Para mostrar a existência de multiplicadores de Lagrange no caso em que S sejadefinido por un número finito de restrições , precisaremos do seguinte lema:

Lema 1.4. Seja X um espaço vetorial e as funcionales lineares f0, f1, ..., fm sobre X.Suponha que

∩1≤j≤m

ker(fj) ⊂ ker(f0)

Então existem reais λ1, λ2, ..., λm tais que f0 =m∑

j=1λjfj.

Demonstração.Ver proposição 15.9 de [2].

2

Proposição 1.5. Sejam F1, F2, ..., Fm ∈ C1(E,R) e

S = u ∈ E : 1 ≤ j ≤ m, Fj(u) = 0.

Seja J ∈ C1(E,R) e suponha que u0 ∈ S é tal que J(u0) = minv∈S

J(v) e que asfuncionais lineares F ′

1(u0), ..., F ′m(u0) são l.i. Então existem reais λ1, ..., λm tais que

J ′(u0) =m∑

j=1λjF

′j(u0)

Demonstração. Fazendo como na prova anterior, para cada Ei temos ker F ′i (u0) ⊂

ker J ′(u0), assim

∩1≤j≤m

ker(fj) ⊂ ker(f0)

e obtemos a conclusão do lema anterior.


2

A condição de que F ′1(u0), ..., F ′

m(u0) sejam l.i substitui à condição de F ′(u) = 0,∀ u ∈ S, é uma generalização da idea de ponto regular, neste caso definindo F : E →Rm F (v) = (F1(v), ..., Fm(v)), temos que S = v ∈ E : F (v) = 0 e pedimos queF ′(u) : E → Rm seja sobrejetiva para todo u ∈ S, i.e., para cada (w1, ..., wm) ∈ Rm osistema

F ′j(u)v = wj, j = 1, ..., n

tenha uma solução v ∈ E. Na verdade temos uma generalização da proposição anterior:

Proposição 1.6. Seja Y um espaço de Banach, F ∈ C1(E, Y ), S = v ∈ E : F (v) =0. Suponha que J ∈ C1(E,R), u0 ∈ S e J(u0) = min

v∈SJ(v) tal que F ′(u0) : E → Y é

sobreyetiva.Então existe λ ∈ Y ∗ tal que

J ′(u0) + λ F ′(u0) = 0

Demonstração. Se usa o teorema da função implicita sobreyetiva (A.8).2

Exemplo: Seja H um espaço de Hilbert e B = B∗ um operador autoadjunto ecompacto em H tal que (Bu0, u0) > 0 para um u0 ∈ H. Sejam F, J : H → R por

F (u) = (u, u) − 1 J(u) = (Bu, u)

Então sendo

S = u ∈ H : F (u) = 0

a esfera unidade de H, pode-se demonstrar que existe u0 ∈ S tal que

J(u0) = µ1 := maxv∈S

J(v)

Com efeito, se (un)n é uma sequência de S tal que J(un) → µ1, então sendo (un) ⊂BM limitada num espaço reflexivo temos que possui uma subsequência fracamenteconvergente e denotamos

u0 =w

limn→∞

un

7

Então sendo B compacto, temos Bun → Bu0 em H, assim

J(un) = (Bun, un) → (Bu0, u0) = J(u0)

Em consequência, J(u0) = µ1 > 0 e assim u0 = 0. Por outra parte, sendo θ := ∥u0∥,temos que

0 < θ ≤ lim infn→∞

∥un∥ = 1

Agora, não podemos ter θ < 1, pois nesse caso, fazendo u := u0/θ, temos que u ∈ S

e

J(u) =(

Bu0

θ,u0

θ

)= θ−2µ1 > µ1,

uma contradição pela definição de µ1, então ∥u0∥ = 1. Concluimos que u0 ∈ S eque µ1 é atingido por u0.

Por consequência, existe λ ∈ R tal que

2(Bu0, v) = J ′(u0)(v) = λF ′(u0)(v) = 2λ(u0, v) ∀ v ∈ H

então se v = u0 :

µ1 = (Bu0, u0) = λ(u0, u0) = λ

o que significa que λ = µ1 é um autovalor de B.Exemplo: Seja Ω um aberto limitado regular de RN e p > 1 tal que (N − 2)p <

N + 2 (p < 2∗ − 1).Consideremos sobre o espaço H10 (Ω):

S = v ∈ H10 : F (v) = 0

onde

F (v) =∫

Ω|v(x)|p+1dx − 1

e

J(v) =∫

Ω|∇v(x)|2dx

Primeiro, mostremos que existe u0 ∈ S tal que

J(u0) = µ := minv∈S

J(v)


Com efeito, considere uma sequência minimizante (vn) em S tal que J(vn) → µ,assim (J(vn))n é limitada e usando a desigualdade de Poincare temos:

∥vn∥2H1

0= ∥∇vn∥2

2 = |J(vn)| ≤ c

assim (vn) é limitada em H10 (Ω) então possui uma subsequência fracamente con-

vergente, denotamos o limite:v0 :=

w

limn→∞

vn

Então temos que

∥v0∥H10

≤ lim inf ∥vn∥H10

e assimJ(v0) ≤ lim inf J(vn) = µ (1.1)

Além disso, como 2 < p + 1 < 2∗ pelo teorema de Rellich-Kondrachov a injeção deH1

0 (Ω) em Lp+1(Ω) é compacta então como vn v0 em H10 temos que vn → v0 em

Lp+1. Assim,

0 = F (vn) = ∥vn∥p+1p+1 −→ ∥v0∥p+1

p+1 = F (vn) = 0

isto é, v0 ∈ S e pela definição de µ temos que J(v0) ≥ µ, o que junto a (1.1) mostraque µ é atingido em v0 ∈ S.

Então sabemos que existe λ ∈ R tal que

J ′(v0)(h) = λF ′(v0)(h) ∀ h ∈ H10 (Ω)

isto é,

−2∫

Ω∆v0(x)h(x)dx = λ(p + 1)

∫Ω

v0(x)|v0(x)|p−1h(x)dx (1.2)

Se h = v0, temos

−2∫

Ω∆v0(x)v0(x)dx = λ(p + 1)

∫Ω

|v0(x)|p−1v0(x)2dx

Integrando por partes o lado esquerdo:

2∫

Ω∇v0(x)∇v0(x)dx = λ(p + 1)

∫Ω

|v0(x)|p−1|v0(x)|2dx

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2J(v0) = λ(p + 1)∫

Ω|v0(x)|p+1dx = λ(p + 1)(F (v0) + 1)

Assim temos 2µ = λ(p + 1), isto é λ = 2µp+1 .

Substituindo em (1.2) temos que para todo h ∈ H10 (Ω),

−∫

Ω∆v0(x)h(x)dx = µ

∫Ω

v0(x)|v0(x)|p−1h(x)dx

isto é, −∆v0 = µ|v0|p−1v0 no sentido fraco.Como µ > 0, estabelecendo

u := µ1

p−1 v0

obtemos uma solução não nula da equação

−∆u = |u|p−1u, Ωu = 0, ∂Ω

Note que a primeira parte do argumento acima é válido quando p = 1, neste casoobtemos µ = λ e −∆v0 = µv0, assim µ é o autovalor e v0 o autovetor do laplacianocom condição de Dirichlet sobre Ω.

CAPÍTULO 2

Conjuntos Enlaçados

Seja f ∈ C1(X,R), onde X é um aberto de um espaço de Banach E.

O METODO MINIMAX

Considere-se dois subconjuntos ∂Q ⊆ Q fechados em X. Definimos a classe Γ, por

Γ := γ ∈ C(Q, X) : γ|∂Q = Id

onde Id é a (restrição da) aplicação identidade, e o número

c = infγ∈Γ

supu∈Q

f(γ(u))

Quando não houver ambiguidade, escreve-se inf supΓ f . Observe-se que a classe Γnão é vazia, visto que Id ∈ γ. Suporemos que supQ f < ∞ (nos exemplos subsequentes,Q é compacto). Da definição de c resulta que

sup∂Q

f ≤ c ≤ supQ

f < ∞

Pois,

sup∂Q

f = sup∂Q

(f γ) ≤ supQ

(f γ) ∀ γ ∈ Γ

Então por definição de ínfimo temos: sup∂Q f ≤ c. Logo, como Id ∈ Γ temosc ≤ supu∈Q f(Id(u)).

Teorema 2.1. Se f satisfaz a condição (PS)c e sup∂Q

f < c então c é um valor crítico

de f .

11

12 Conjuntos Enlaçados

Demonstração. Por contradição, se c não é valor crítico de f , então pelo lema dadeformação temos que existe um homeomorfismo h : X → X que satisfaz

h(f c+ε) ⊆ f c−ε e h|fc−2ε = Id

Visto que ε pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, podemos supor que sup∂Q

<

c − 2ε, assim ∂Q ⊂ f c−2ε então temos que h|Q ∈ Γ.

Agora pela definição de c, dado ε > 0, existe γ ∈ Γ tal que

supu∈Q

f(γ(u)) ≤ c + ε.

Logo, temos que a função γ := h γ esta em Γ e como f(γ(u)) ≤ c + ε para todou ∈ Q, então temos f(h(γ(u))) ≤ c − ε para todo u ∈ Q, assim:

supu∈Q

f(γ(u)) ≤ c − ε

o que contradiz a definição de c.2

A condição (PS) pode ainda ser enfraquecida. Fixemos uma sequência minimizantepara c, ou seja, uma sequência (γn) ⊂ Γ tal que

sup(f γn) → c

Diz-se que f satisfaz a condição (PS) perto de (γn) se toda sequência (un) ⊂ X

tal que

f(un) → c, f ′(un) → 0 e lim infn→∞

d(un, γn(Q)) = 0

admite uma subsequência convergente para um ponto u ∈ X.

Teorema 2.2. Suponha-se que sup∂Q f < c e seja (γn) uma sequência minimizantepara c. Então, a menos de uma subsequência, existem un ∈ X tais que

f(un) → c, f ′(un) → 0 e d(un, γn(Q)) → 0

Consequentemente, se f satisfaz a condição (PS) perto de (γn) então f admite umponto crítico u tal que f(u) = c e lim inf d(u, γn(Q)) = 0.

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Demonstração. Se a conclusão fosse falsa.(Considere u ∈ X que satisfaça a primeirae terceira conclusão). Então existem constantes ε > 0 e k0 ∈ N tais que para k ≥k0 e u ∈ f−1([c − ε, c + ε]) e d(u, γk(Q)) ≤ ε temos ∥f ′(u)∥ ≥ ε. Como temoslim

k→∞sup

Q(f γk) = c, então para k suficientemente grande temos que

sup f(γk(Q)) ≤ c + ε

assim pelo lema da deformação temos que existe um homeomorfismo h : X → X

satisfazendo

h(f c+ε) ⊆ f c−ε e h|fc−2ε = Id

portanto como para todo u ∈ Q temos f(γk(u)) ≤ c + ε então f(h γk(u)) ≤ c − ε,y como h γk ∈ Γ então

supQ

(h γk) ≤ c − ε

o que contradiz a definição de c. 2

ENLACE

A hipótese feita no teorema anterior relativa a c pode ser verificada com a ajudado conceito seguinte.

Definição 2.3. Dados três subconjuntos fechados em X, ∂Q ⊆ Q e S, diz-se que S

e Q estão enlaçados através ∂Q se S ∩ ∂Q = ∅ e γ(Q)∩ = ∅ para todo γ ∈ Γ.Diz-se também que S e Q têm a propiedade de linking.

Observações 1. Na situação de enlace, se c é o número definido acima, temos queexiste u ∈ γ(Q) ∩ S assim inf

Sf ≤ f(u) ≤ sup

γ(Q)f para todo γ ∈ Γ. Portanto

infS

f ≤ c

2. Se h é um homeomorfismo em X e h|∂Q ≡ Id então também h(S) e Q estãoenlaçados através de ∂Q.

Com efeito, como h é bijetiva, então

∅ = h(S ∩ ∂Q) = h(S) ∩ h(∂Q) = h(S) ∩ ∂Q


∅ = h(γ(Q) ∩ S) = h(γ(Q)) ∩ h(S) = γ(Q) ∩ h(S) para todo γ ∈ Γ.

Retome-se a classe Γ e o número c do teorema anterior e denote K = u : f ′(u) = 0e Kc = u ∈ K : f(u) = 0.

Teorema 2.4. Suponha-se que S e Q estão enlaçãdos através de ∂Q e que

sup∂Q

f < infS

f

Se c ∈ R e f satisfaz a condição (PS)c então c é um valor crítico de f . Alémdisso,

i) Kc ∩ (X\∂Q) = ∅

ii) Se c = infS

f então Kc ∩ S = ∅

Demonstração. Pelo teorema 2.1 temos que c é um valor crítico de f . Provemos ii),se c = inf

Sf , suponha por absurdo que Kc ∩ S = ∅, assim temos que se u ∈ S então

u não é ponto crítico de f então usando o lema da deformação para (−f) temos queexiste um homeomorfismo h : X → X que satisfaz

h(−f−c+ε ∩ S) ⊆ −f−c−ε

h(u) = u, u /∈ −f−1(< −c − 2ε, −c + 2ε >) ∩ S2δ

onde S2δ = u ∈ E : dist(u, S) ≤ 2δ. Então se u ∈ S temos que f(u) > c − ε,assim

−f(u) < −c + ε ⇒ −f(h(u)) ≤ −c − ε ⇒ infh(S)

≥ c + ε

Como ε pode ser escolhido arbitrariamente pequeno , podemos supor sup∂Q

f < c−2ε,

assim −f(u) > −c + 2ε para u ∈ ∂Q e como ∂Q ∩ S = ∅ temos que u /∈ S2δ, portantoh|∂Q = Id.

Pela observação 2 acima, h(S) e Q estão enlaçados através de ∂Q, então pelaobservação 1 temos que

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infh(S)

f ≤ c

e isso contradiz a desigualdade anterior.Finalmente, visto que S ∩ ∂Q = ∅, fica também provada a afirmação em (i).

2

Um corolario útil do teorema 2.4 é o seguinte.

Teorema 2.5. Suponha-se que S e Q estão enlaçãdos através de ∂Q e que existemdois homeomorfismos h e φ em X tais que

h(u) = u ∀ u ∈ ∂Q φ(u) = u ∀ u ∈ h(S)

Denotem a := infh(S) f e b := supφ(Q) f . Então se f satisfaz a condição (PS) emtodo ponto do intervalo [a, b] e

supφ(∂Q)

f < infh(S)

f

o intervalo [a, b] contém um valor crítico de f .

Demonstração.Considere-se a classe

Γ := γ ∈ C(φ(Q), X) : γ|φ(∂Q) = Id

Provamos a seguir que os conjuntos h(S) e φ(Q) estão enlaçãdos através de φ(∂Q).Agora dado γ ∈ Γ, como φ|h(S) = Id, a condição γ(φ(Q)) ∩ h(S) = ∅ é equivalente apedir que a aplicação composta α := h−1φ−1γφ satisfaça α(Q) ∩ S = ∅. Com efeito,sendo h e φ homeomorfismos, temos

φ h(α(Q) ∩ S) = γ(φ(Q)) ∩ φ(h(S)) = γ(φ(Q)) ∩ h(S)

Agora se u ∈ ∂Q temos que γ(φ(u)) = φ(u) assim φ−1 γ(φ(u)) = u, portantoα ∈ Γ então como S e Q estão enlaçados temos α(Q) ∩ S = ∅.

Por outro lado, se S ∩ ∂Q = ∅ então


∅ = φ h(S ∩ ∂Q) = φ(h(S) ∩ ∂Q) = h(S) ∩ φ(∂Q)

Seja c = infΓ

supφ(Q)

f(γ(u)) então temos que

a = infh(S)

f ≤ c ≤ supφ(Q)

f = b

logo como f satisfaz a condição (PS)c e também supφ(∂Q)

f < infh(S)

f então pelo teorema

2.4, c é um ponto crítico de f .2

Na ordem de ideias do teorema anterior, temos que os resultados anteriores valemnum contexto ligeramente mais geral. Podiamos ter considerado um espaço métricocompacto Q, um subespaço ∂Q e uma aplicação continua ρ : ∂Q → X. E a correspon-dente classe Γ é definida por

Γ = γ ∈ C(Q, X) : γ|∂Q ≡ ρ

Exemplos: Apresentamos algumas especializações particularmente importantesdo teorema 2.4.

Teorema 2.6 (Passo da montanha). Considere-se um subconjunto S fechado em X

e dois pontos u0 e u1 pertencentes a duas componentes conexas por arcos distintos deX − S. Defina-se

Γ1 := α ∈ C([0, 1]; X) : α(0) = u0, u1 = α(1)

ec := inf

Γ1sup f

Suponha-se que f satisfaz a condição (PS)c e

maxf(u0), f(u1) < infS

f

Então c ≥ infS f e c é um valor crítico de f .

Demonstração. Considerando Q = [0, 1] e ∂Q = u0, u1, sabendo também que todocaminho α ∈ Γ1 intersecta S temos α(Q) ∩ S = ∅ e S ∩ ∂ = Q, logo

sup∂Q

f = maxf(u0, u1) < infS

f

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Agora, existe u ∈ α(Q) ∩ S para todo α ∈ Γ então

infS

f ≤ f(u) ≤ supα(Q)

f

Assim, infS

f ≤ inf supΓ1 f = c e pelo teorema 2.4, c é um valor crítico de f .2

Nas condições anteriores, tem-se além disso que Kc ∩ (X − u0, u1) = ∅ e queKc ∩ S = ∅ caso c = infS f .

Suponha agora que X é um espaço de Banach.

Teorema 2.7 (Ponto sela). Suponha-se que vale a soma X = X1⊕

X2 e que X1 temdimensão finita. Seja B1 uma bola de X1 centrada na origem e denote ∂B1 a suafronteira em X1. Defina-se

Γ2 := γ ∈ C(B1; X) : γ|∂B1 = Id e c := infΓ2

supB1

f(γ)


sup∂B1

f < infX2

f.

Então c ≥ infX2

f e c é um valor crítico de f .

Demonstração. Para usar o teorema 2.4, bastará mostrar que B1 e X2 estão enlaça-dos através de ∂B1, i.e.

X2 ∩ ∂B1 = ∅ e γ(B1) ∩ X2 = ∅ ∀ γ ∈ Γ2

Fixemos uma projeção P : X → X1, P (x1, x2) = x1. Dado γ ∈ Γ2, a aplicaçãoP γ : B1 → X1 satisfaz P (γ(y)) = P (y, 0) = y, para y ∈ ∂B1 então P γ|∂B1 = Id,logo identificando X1 como Rn é definido o grau de Brouwer, assim

deg(P γ, B1, 0) = deg(Id, B1, 0) = 1

Em particular, existe y ∈ B1 tal que P (γ(y)) = 0 i.e. existe γ(y) ∈ γ(B1) eγ(y) ∈ ker(P ) = X2, portanto γ(B1) ∩ X2 = ∅. Como claramente temos X2 ∩ ∂B1

então B1 e X2 estão enlaçãdos e temos a conclusão do teorema 2.4 fazendo Q = B1 eS = X2.


2

O exemplo seguinte pode ser visto como uma generalização do teorema da pas-sagem de montanha.

Suponha-se que o espaço X admite uma soma directa

X = X1 ⊕ Re ⊕ X2

onde ∥e∥ = 1. Dado R1 > 0, defina-se

B1 := u ∈ X1 : ∥u∥ ≤ R1

e seja ∂B1 sua fronteira em X1. Dado R > 0, considere-se

Q0 := B1 ⊕ [0, R]e e ∂Q0 = (B1 ⊕ 0,Re) ∪ (∂B1 ⊕ [0, R]e)

Teorema 2.8 (das esferas enlaçãdas). Suponha que X1 tem dimensão finita e, dadoum número ρ ∈ (0, R), seja S0 := u ∈ Re ⊕ X2 : ∥u∥ = ρ. Defina-se

Γ3 := γ ∈ C(Q0, X) : γ|∂Q0 = Id e c = infΓ3

supQ0

f γ


sup∂Q0

f < infS0

f

Então c ≥ infS0

f e c é um valor crítico de f .

Demonstração. Como nos teoremas anteriores, bastará provar que S0 e Q0 estãoenlaçados através de ∂Q0. Isso é provar que:

S0 ∩ ∂Q0 = ∅ e γ(Q0) ∩ S0 = ∅ ∀ γ ∈ Γ3

Com efeito, fixemos a projeção P : X → X1, P (x1 + λe + x2) = x1. Para cadau ∈ Q0 escrevemos u = u1 + λe onde u1 = Pu. Dado γ ∈ Γ3, consideremos a aplicaçãoα : Q0 → X1 ⊕ Re definida por α(u1 + λe) = (P (γ(u)), ∥(I − P )γ(u)∥ − ρ).

Se u = u1 + λe ∈ ∂Q0 então P (γ(u1 + λe) = P (u1 + λe) = u1 e

∥(I − P )γ(u)∥ = ∥γ(u) − u1∥ = ∥u − u1∥ = λ

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Assim α(u1 + λe) = (u1, λ − ρ), consequentemente

deg(α, Q0, 0) = deg(Pγ, B1, 0) deg(·−ρ, [0, R], 0) = deg(Id, B1, 0) deg(·−ρ, [0, R], 0) = 1

Portanto, existe u ∈ Q0 tal que α(u) = 0 i.e. P (γ(u)) = 0 e ∥(I − P )γ(u)∥ = ρ,desta maneira γ(u) ∈ ker(P ) = Re ⊕ X2 e ρ = ∥(I − P )γ(u)∥ = ∥γ(u)∥.

Então para todo γ ∈ Γ3 temos S0 ∩ γ(Q) = ∅ e claramente S0 ∩ ∂Q0 = ∅, assimS0 e Q0 estão enlaçãdos e daí temos a conclusão do teorema 2.4.

2

Pelo teoema 2.4 tambem concluímos que Kc ∩ (X − ∂Q0) = ∅ e no caso quec = inf

S0f temos Kc ∩ S0 = ∅.

APÊNDICE A

Teorema da função implícita

Neste apêndice incluímos alguns resultados básicos do calculo diferencial de oper-adores, cuja demonstrações serão omitidas aqui, mas podem ser encontradas em [4].Consideremos o espaços de Banach X, Y e Z.

Definição A.1. Dizemos que ϕ ∈ C1(X,R), se é Frechet diferenciável em todo u ∈ X

e a aplicação ϕ′ : X → X∗ é continua, i.e. se un → u em X então ϕ′(un)(v) → ϕ′(u)(v)em R, para todo v ∈ X.

Teorema A.2. Seja ϕ : X → R Gâteaux diferenciável e a aplicação ϕ′ : X → X∗

continua. Então ϕ é Frechet diferenciável e ϕ ∈ C1(X,R)

Derivadas parciais são definidas de maneira analoga ao caso classico.

Definição A.3. Seja a aplicação f : U ⊂ X × Y → Z definida numa vizinhançado ponto (x, y). Para y fixo considere g : X → Z definido por g(w) = f(w, y). Seg tem derivada de Frechet no ponto x, definimos a derivada parcial segundo Frechetfx(x, y) : X → Z por fx(x, y)(v) = g′(x)(v), para v ∈ X.

A derivada parcial fy(x, y) é definido analogamente. Também, escrevemos ∂xf(x, y)e ∂yf(x, y).

Proposição A.4. Seja f como na definição anterior. Se f ′(x, y) existe, então asderivadas parciais fx(x, y), fy(x, y) também existem e

f ′(x, y)(u, v) = fx(x, y)(u) + fy(x, y)(v) ∀ u ∈ X, v ∈ Y

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22 Teorema da função implícita

Teorema A.5. (Regra da cadeia) Sejam as aplicações f : U ⊂ X → Y e g : V ⊂Y → Z onde U e V são vizinhanças de x e f(x) respectivamente. Se as derivadas deFrechet f ′(x) e g′(f(x)) existem, então a derivada de Frechet (g f)′(x) existe e

(g f)′(x) = g′(f(x)) f ′(x)

Corolário A.6. Para m=1,2,..., suponha que as aplicações f : U ⊂ X → Y e g :V ⊂ Y → Z são Cm, onde U e V são abertos e f(U) ⊂ V , então a aplicação g f étambém Cm em U .

Agora, se queremos resolver a equação sobre um espaço de Banach

f(x, y) = 0

numa vizinhança do ponto (x0, y0), onde assumimos que f(x0, y0) = 0 . Em particular,estamos interessados numa solução local única.

Teorema A.7 (Teorema da função implícita). Seja Ω um aberto de X × Y e f ∈C1(Ω, Z). Suponha que (x0, y0) ∈ Ω é tal que f(x0, y0) = 0 e que ∂yf(x0, y0) é umhomeomorfismo (linear) de Y sobre Z. Então existe uma vizinhança conexa ω ⊂ X

de x0 e uma única aplicação φ ∈ C1(ω, Y ) tal que φ(x0) = y0 e para todo x ∈ ω temosf(x, φ(x)) = 0.Além disso, se x ∈ ω e f(x, y) = 0 então y = φ(x). A derivada φ′ em x ∈ ω qualqueré dada por

φ′(x) = −(∂yf(x, φ(x)))−1 (∂xf(x, φ(x)))

Agora apresentamos outra versão do teorema da função implícita, que nos permitiráuma generalização de nosso teorema de multiplicadores de Lagrange.

Teorema A.8 (Teorema da função implícita sobrejetiva). Seja f : Ω ⊆ X × Y → Z

uma aplicação C1 sobre uma vizinhança do ponto (x0, y0) tal que f(x0, y0) = 0 efy(x0, y0) : Y → Z é sobrejetiva. Então:

Dado r > 0, existe ρ > 0 tal que, para cada x ∈ X com ∥x − x0∥ < ρ, a equação

f(x, y) = 0

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tem uma solução y, denotada por y(x) tal que ∥y−y0∥ < r. Em particular, o limitex → x0 em X implica que y(x) → y0. Além disso, existe um número d > 0 tal que

∥y(x)∥ ≤ d∥fy(x0, y0)y(x)∥

Referências Bibliográficas

[1] O. Kavian - Introduction à la théorie des points critiques, Springer-Verlag, 1993.

[2] C. Oliveira - Introdução à análise funcional, Projeto Euclides, IMPA, 2010.

[3] M. Ramos - Teoremas de enlace na teoria dos pontos críticos, Textos deMatemática, Universidade de Lisboa, 1993.

[4] E. Zeidler - Applied functional analysis: Main principles and their applications,Springer-Verlag, 1995.

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lagrange y conjuntos de enlace

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