guÍa para el examen a tÍtulo de suficiencia de ecuaciones diferenciales ie, ica, isisa i....
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GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
IE, ICA, ISISA
I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
VARIABLES SEPARABLES
Para esta sección se proporciona la solución completa de las ecuaciones para que puedas repasar las
técnicas de integración, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las
integrales que resultan:
3
12
ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el método de sustitución:
1. 0)( xdydxyx
cxxxy ln
2. 0)2( dyxyxdx
)(ln)( yxcxyxyx
3. dyyxydx )(2
cy
xy
2
2
4. 0)( xdydxyx
xcxy 1
2
1
5. 0)( 22 dyxdxyxy
cx
xy
ln
6. 0)( 22 dyxdxyxy
2)(2
cxy
yx
7. xy
xy
dx
dy
cy
xyx 122 tan2)ln(
8. 0)( dyxyxydx
cy
xy 2ln
ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resuélvala:
1. 0)73()12( dyydxx
cyyxx 72
3 22
2. 0)6()2( dyyxdxyx
No es exacta
3. 0)84()45( 3 dyyxdxyx
cyxyx 42 242
5
4. 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny
cyxyxseny 2
2
1cos
5. 0)42()32( 22 dyyxdxxy
cyxyx 4322
6. 0334)3cos1
2( 3
2 xysenx
x
y
dx
dyx
xy
No es exacta
7. 0)12()( 22 dyxxydxyx ,
1)1( y
4333 223 yxyyxx
8. 0)2()( dyyexdxye yx. 1)0( y
22 yyx eyeyxye
13
ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el método de factor integrante.
xx cexy 32
9
1
3
1
xx ceexy 223
3
1
xx ceexy 12
1 2
xcexxxseny 2cos4
32
2
3 1
xx cexey 2
221 cos cxsenxxxxy
222 xx ceexy
22
1
)1(
tan
x
cxy
ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitución apropiada:
1. 32 52´ yxyyx
5
2
2 cx
xy
2. xxyyy 62´ 32
233 3 xcey
3. 3´ yyy
12
2
xce
xy
4. 42 52´ yxyyx
715
7
cx
xy
5. 02´ 33 yxyyx 0x
552
5
cx
xy
6. 34
36´ xyyxy
32 )( cxxy
MISCELÁNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el método que le sea posible:
cxxy 22
2)ln(cxy
14
13 3 cxy
12 2 xy
5. )1()1( 2 yxdx
dyx
cxxy )1ln(1tan
6. )50( TKdt
dT K Constante, T(0)=200
ktetT 15050)(
II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el método de coeficientes indeterminados.
1. 62´3´´ yyy
32
21 xx ececy
2. 33025´10´´ xyyy
5
3
5
65
2
5
1 xxececy xx
3. xxyyy 2´´´4
1 2
2
7422
2
2
1 xxxececy xx
4. xexyy 32483´´
xexxxsencxcy 32
21 )3
444(33cos
5. 234
1´´´
x
eyyy
2/22/
2
2/
12
112 xxx exxececy
6. xsenyy 234´´
xxxsencxcy 2cos4
322cos 21
7. xeyyy x 2cos5´2´´
xsenxexsenecxecy xxx 24
122cos 21
8. xsenxyyy 2cos3´2´´
xxsenxxececy xx 2cos25
92
25
12cos
2
121
15
VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el método de variación de parámetros.
1. xyy sec´´
xxxsenxsenxcxcy coslncoscos 21 ; )2/,2/(
2. xyy 2cos´´
xsenxcxcy 2cos6
1
2
1cos 21
3. xe
yyy
1
12´3´´
)1ln()( 22
21
xxxxx eeeececy
4. xseneyyy 2´3´´
xxxx seneeececy 2
2
2
1
5. 21
´2´´x
eyyy
x
xxexexececy xxxx 12
21 tan)1ln(2
1
6. xeyyy x ln´2´´
xexxececy xxx ln2
1 2
21
7. xeyyy x 3tan30´6´´3
xxxexsenecxecy xxx 3tan3secln3cos27
133cos 21
8. xyy tan´´´´
xxsenxxsenxcxccy tanseclncoslncos 321
ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no
homogéneas aplique variación de parámetros.
1. 04´´´2 yxyyx
)ln2()ln2cos( 21 xsencxcy
2. 02´3´´2 yxyyx
62
2
62
1
xcxcy
3. 04´5´´2 yxyyx
xxcxcy ln2
2
2
1
4. 0´6´´3 2 yxyyx
xsencxcxy ln
6
3ln
6
3cos 21
2/1
5. 06´´´3 yyx
)ln2()ln2cos( 32
3
1 xsencxcxcy
6. 08´2´´2´´´ 23 yxyyxyx
4
3
2
2
1
1 xcxcxcy
16
7. 0´3´´2 xyyx , 0)1( y , 4)1´( y
222 xy
8. xyxy ´´´
4ln
2
21
xxccy
9. xxyxyyx 22 ´5´´2
xxxcxcy6
1
15
1 21
2
2/1
1
III. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) L f t( ) para 1) f (t) = 0 0 2
4 2
t
t se
ssF 24)(
2) f (t) = 2 0 5
1 5
t t
t
2
5
2
5 229)(
se
se
ssF ss
b) L e t e e tt t t 4 2 2 3 2sen 4)1(
6
)2(
2
4
1)(
23
ssssF
c) L t e t tt4 23 4 2 cos senh 4
8
1)2(
324)(
225
ssssF
d) L e tt sen2
4)1(
1
1
1
2
1)(
2s
s
ssF
e) L t t2 sen 32
2
)1(
26)(
s
ssF
f) L t u t2 2( )
sssesF s 442
)(23
2
g) L ( )t 1 sesF )(
17
2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones:
a) L-1 3 12
82
s
s
tsenttf 8
8
128cos3)(
b) L-1 1
2 5s
t
etf 2
5
2
1)(
c) L-1 2 1
1
s
s s
( )
tt eetf 12)(
d) L-1 s
s( )
15
tt etettf 34
6
1
24
1)(
e) L-1 se
s s
S
2
2 3 2 )2(2)( )2()2(2 tueetf tt
f) L-1
122
3
ss
e s
)3()3()( 3 tuettf t
g) L-1 s s
s s
3
4 2
16 24
20 64
tsenttsentf 22cos4
2
1)(
h) L-1 s
s s
1
6 7 22 tt eetf )3/2()2/1(
3
1
2
1)(
i) L-1 s
s s s s
2
2
3
2 3 2 5
( )( )( ) tetseneeetf tttt 2cos
50
12
25
9
50
3
25
1)( 32
j) L -11 1
2
2
23 2s s s
tsenettf t 22
2
1)( 22
k) L -11
2
1
1 4
3
13 2 2( ) ( )s
s
s s
senhtteettf tt 32cos
2
1)( 22
18
3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas:
a)
s
s
es
esF
2
2
1
1)(
b)
s
ss
es
seesF
1
1)(
2
4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace
a) 0)0(' ,0)0( , cos''' yyteyy t
sentetety tt
2
1cos
2
1
2
1)(
b) 0)0(' ,0)0( , )2(5'4'' yytyyy
)2()2()( )2(2 tutsenety t
c) y y y et' ' ' 3 2 4 y(0) = 1, y’(0) = -1
ttt eeety3
2
3
4)( 2
0 1 2 3 4 t
-1
1
f(t)
0 1 2 3 t
1
f(t)
19
d) tetyyy 329'6''
y(0) =2, y’(0) =6
tt etety 343
12
12)(
e) teyyy 16'4''
y(0) =0, y’(0) =0
)2(3
2)2cos(
2
1
3
1
6
1)( 22 tseneteety ttt
f) tyy 4cos16'' y(0) =0, y’(0) =1
)4( 8
1)4(
6
1)( tsenttsenty
g) tyyy 9'6'' y(0) =0, y’(0) =1
tt teetty 33
9
10
27
2
27
2
9
1)(
h) tetyyy 234'4'' y(0) =0, y’(0) =0
tetty 25
20
1)(
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante eliminación o
determinantes:
a)
xdt
dy
yxdt
dx
2
tt
tt
tececcy
tececx
221
21
)(
b)
txdt
dy
tydt
dx
1cos
1cos
21
21
ttcsentcy
tsentctcx
20
c)
t
t
exdt
yd
eydt
xd
4
4
2
2
2
2
t
t
etcsentccy
esentctccx
3
321
3
321
15
4cos
15
17cos
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de
Laplace
a)
xdt
dy
yxdt
dx
2
1)0(
0)0(
y
x
tt
tt
eey
eex
3
2
3
1
3
1
3
1
2
2
b)
yxdt
dy
yxdt
dx
5
2
2)0(
1)0(
y
x
tsenty
tsentx
33
73cos2
33
53cos
c)
233
122
yxdt
dy
dt
dx
xdt
dy
dt
dx
0)0(
0)0(
y
x
6
1
2
5
13
8
2
1
2
52
23
23
tt
tt
eey
eex
d)
tteydt
xd
ydt
dy
dt
xd
3
033
2
2
2
2
0)0(
2)0´(
,0)0(
y
x
x
tt
t
teey
ettx
3
1
3
1
3
1
12
1 2
b)
txdt
dy
tydt
dx
1cos
1cos
21
21
ttcsentcy
tsentctcx
c)
t
t
exdt
yd
eydt
xd
4
4
2
2
2
2
t
t
etcsentccy
esentctccx
3
321
3
321
15
4cos
15
17cos
21
EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS
1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de
una ecuación diferencial.
(b) Enuncie el principio de la superposición.
(c) Defina el conjunto fundamental de soluciones
(d) Demuestra que xey 3
1
y e xey 4
1 es un conjunto fundamental de la ecuación
012''' yyy
2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo
de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posición de equilibrio.
(a) encuentre la posición de la masa en los tiempos t = π/12, π/8, π/6, π/4, Y 9π/32s. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t = 3 π/16 s? ¿en que dirección se dirige la masa en este
instante? (c) ¿en que tiempo la masa pasa por la posición de equilibrio?
3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que
esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s
(a) encuentre la ecuación de movimiento (b) ¿Cuáles son amplitud y periodo del movimiento? (c) ¿Cuántos ciclos completos habrá completado la masa al final de 3π segundos? (d) ¿en que momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por
segunda vez? (e) ¿en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición
de equilibrio? (f) ¿cual es la posición de la masa en t = 3s? (g) ¿cual es la velocidad instantánea en t = 3 s? (h) ¿Cuál es la aceleración en t = 3s? (i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de
equilibrio? (j) ¿en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en
dirección hacia arriba?
4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = ¼ h, R = 20 Ω, C =
1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. ¿alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10Ω, C = 0.001 f y E (t)
= 100 sen 60t + 200 cos 40t V.
22
6. (a) Definir la Transformada de Laplace.
(b) Explique las condiciones que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada de Laplace
(c) Emplee la definición de transformada para demostrar que:
L sen5t 5/(s2 + 25)
L e-5t s/(s - 5 )
7. Dada
10 0
105
52
20 1
)(2
t
tt
tt
t
tf
(a) Grafique la función.
(b) Exprese la función en términos de la función del escalón unitario.
(c) Calcule la transformada de f aplicando la definición.
8. Usando convolución, demuestre que:
ttss
sen1
11L
22
1
9. Resuelva la ecuación integral dada usando la transformada de Laplace.
tsenetxsolución
sentdxttx
t
t
2
3
3
2:
cos)(
2
0
10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en
el cual L = 1h, R = 20 , C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, ¿cuál es la corriente de estado
estable?.