GRAFOS MAXIMALMENTE NÃO REGULARES

Paulo Oswaldo Boaventura Netto Programa de Engenharia de Produção, COPPE/UFRJ, CP 68.507, 21.945-970 Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

E-mail: boaventu@pep.ufrj.br

Resumo

Uma classe de grafos é definida, para dado valor da conectividade, como contendo os grafos que possuam um conjunto de valores de graus de cardinalidade máxima. A construção da classe é discutida e se procura, ainda, determinar características de estrutura e algumas propriedades. Palavras-chave: Grafos, grau, conectividade.

Abstract

A class of graphs is defined, for a given conectivity, as containing the graphs having a degree value set with maximum cardinality. We discuss the construction of the class, looking also for structural characteristics and some properties. Keywords: Graphs, degree, connectivity. 1. Introdução

O tema da não regularidade extrema em grafos (não orientados) tem sido pouco explorado pela literatura. O único conceito que parece ter merecido atenção é o de grafo altamente irregular (grafo HI). Um grafo é altamente irregular quando cada um de seus vértices possui vizinhos com graus diferentes dois a dois. Esta idéia aparece em [ACCEGO87] e, mais tarde, em [MM99a], [MM99b], apresentando-se diversos resultados para os grafos da classe.

Neste trabalho se procura olhar a não regularidade através da seqüência de graus do grafo, ou seja, de uma seqüência de n valores inteiros, considerada ordenada de forma não crescente e cujos valores correspondam aos valores dos graus do grafo. Uma seqüência com esta propriedade é chamada uma seqüência gráfica. Há diversos teoremas, equivalentes [SH91], que determinam condições necessárias e suficientes para que uma seqüência seja gráfica. Antes de mais nada, pode-se observar que a soma dos valores de uma seqüência gráfica deve ser par, visto que a soma dos graus de um grafo é igual ao dobro do número de suas arestas.

Estaremos considerando aqui grafos não orientados G = (X,U), a nomenclatura e a notação, salvo exceções aqui definidas, sendo a de [Ha72] e [Bo03]. Adiantaremos, apenas, que | X | = n.

De modo geral, a todo grafo pode ser associado um conjunto de valores de graus, cuja cardinalidade estará entre 1 (para grafos regulares) e um dado valor máximo ξ(G). Definição 1: Um grafo G = (X,U) não orientado é maximalmente não regular (MNR) se possuir um conjunto D = { di1, . . . , diξ } de valores de graus, de cardinalidade ξ(G) = | D | máxima. Por extensão, chamaremos também MNR a uma seqüência gráfica que gere um grafo MNR.

2219

2. A influência da conectividade

Seja G um grafo não conexo, com duas componentes conexas das quais uma seja um vértice isolado. Sendo o grau máximo possível ∆ = n – 1, teríamos n valores disponíveis para figurar em D; logo, max ξ(G) = n e isso ocorreria quando D = { n – 1, n – 2, . . . , 1, 0 }. (2.1)

Este conjunto, no entanto, não corresponde a seqüências gráficas porque, ao se tentar associá-lo a um grafo, o primeiro vértice (de grau n – 1) não teria n – 1 vértices para partilhar arestas, dado que existe um vértice isolado. Portanto o maior elemento de D deve ser n – 2 e teremos ξ(G) ≤ n – 1.

Por outro lado, um grafo MNR não conexo poderá ter apenas duas componentes conexas, sendo uma delas um vértice isolado; de fato, a presença de uma segunda componente com mais de um vértice reduzirá o grau máximo admissível, conduzindo portanto a repetições de valores na seqüência. Poderemos então descartar este vértice isolado e considerar apenas grafos conexos, sem que se deixe de seguir a condição dada pela Definição 1. 2. Grafos 1-conexos

2.1 Construção

Ao se exigir que o grafo seja conexo, o grau n – 1 passa a ser admissível e, por outro lado, o grau nulo deixa de existir. Continuaremos portanto a ter ξ(G) ≤ n – 1.

Definição 2: Diremos que uma seqüência ordenada de forma não crescente ( di, 1 ≤ i ≤ n ) domina outra seqüência ordenada do mesmo modo ( ∂i, 1 ≤ i ≤ n ) se e somente se para todo i se tem di ≥ ∂i.

Teorema 1 (Berge, [Be73], [SH91]): Uma seqüência ordenada de forma não crescente é gráfica, se e somente se

∑ ∑= =

≤k

1i

k

1iiid δ , ∀k = 1, ..., n (2.2)

onde os di são os graus dos vértices e os δi correspondem às somas das colunas de uma matriz B(G) de ordem n, na qual a diagonal principal é nula e os primeiros di demais elementos de cada linha têm valor 1.

Prova: Berge [Be73].

Por considerações de simetria, podemos ver que uma seqüência gráfica construida com os elementos de (2.1) deverá ter δ1 = n – 1, δ2 = n – 2, . . . e portanto dn ≥ 1, dn – 1 ≥ 2, . . . . Logo, a seqüência d (de graus) deve ser dominada pela seqüência δ.

Como observado em [BC67], deverá existir alguma repetição de valor, porque teremos apenas n – 1 valores, para n vértices. Por exemplo, para n = 8 e n = 9 teremos, verificando sempre a igualdade no critério, as seqüências ( 7, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 1 ) e ( 8, 7, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 1 ), na qual o valor 4 é repetido e que originam as seguintes matrizes (Figura 1):

0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0

1

Figura 1: Critério de Berge

2220

Estas seqüências são gráficas visto que, por simetria, temos δ = d, o que satisfaz o critério de Berge pela igualdade estrita para todo k, ou seja, temos um grafo MNR minimal em relação ao número de arestas. Além disso, a soma dos valores em cada seqüência é par.

A existência de teoremas equivalentes [SH91] que indicam condições necessárias e suficientes para que uma seqüência seja gráfica, nos leva a utilizar aqui a denominação critério para a exigência do Teorema 1.

Um limite mínimo para o número de arestas em um grafo MNR pode ser obtido observando-se que, independentemente da paridade de n, os elementos não nulos da matriz do critério de Berge estarão distribuídos entre uma submatriz de ordem n/2 cuja diagonal principal corresponde aos primeiros n/2 elementos da matriz, e duas seqüências de 1, ..., n/2 elementos situadas à direita e abaixo da submatriz, limitadas pela diagonal oposta., Então,

+

+

−

= 1

2n

2n1

2n

2n

21mmin . (2.3)

A Tabela 1 mostra alguns valores de mmin:

n 5 6 7 8 9 10 11 12 13mmin 6 9 12 16 20 25 30 36 42

Tabela 1

Enfim, podem-se encontrar grafos MNR 1-conexos com n = 3 ( 2, 1, 1 ) e n = 4 ( 3, 2, 2, 1 ) que são os de ordem ímpar e par com menor número de vértices.

2.2 A unicidade das seqüências MNR para grafos 1-conexos

Podemos observar que, para procurar outras seqüências de grafos MNR, devemos repetir graus de modo que o número de valores ímpares da seqüência se mantenha par, de modo a evitar uma soma de graus ímpar. O elemento acima repetido (para n = 8) foi n/2 ; se ele for ímpar (por exemplo, com n = 10) teremos de repetir um elemento ímpar, obtendo então

d = ( 9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 1 ) e δ = ( 9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 1 ). Falta verificar o que ocorre ao se procurar repetir outro termo ao invés de n/2.

Consideremos a partição da matriz B em quatro submatrizes de modo que a submatriz B11 sobre a diagonal principal de B seja quadrada e de ordem n/2 , conforme a marcação feita na Figura 1 acima. Teremos então (Figura 2):

B11 B12

B21 B22

Figura 2

Observamos que, para que o grafo satisfaça ao critério, devem existir ao menos tantos valores não nulos em B21 quanto em B12, visto que a soma dos graus (sobre as linhas) corresponde à soma sobre as colunas da transposta de B. Portanto o valor a ser repetido não poderá ser maior que n/2, o que resultaria em uma seqüência não gráfica. Por outro lado, se repetirmos um valor menor que n/2, isso deixará zeros sobre a diagonal secundária, o que resultará em uma seqüência não gráfica (p. ex., para n = 10 e repetindo 3 teríamos

d = (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 3, 2, 1) e δ = (9, 8, 7, 5, 4, 5, 4, 3, 2, 1) Σ di = (9, 17, 24, 30, 35, 39, 42, 45, 47, 48) e Σ δi = (9, 17, 24, 29, 33, 38, 42, 45, 47, 48)

2221

o que viola o critério de Berge. Portanto, só existe uma seqüência MNR geradora de grafos 1-conexos para cada ordem e o valor do grau a ser repetido é n/2. Pode-se notar ainda que apenas um grau poderá ser repetido sem que desapareça algum outro grau, o que reduziria o valor de ξ. Logo, todos os grafos MNR 1-conexos são minimais.

3. Grafos MNR 2-conexos

3.1 Construções possíveis

Nestes grafos, não sendo possível a existência de um vértice de grau 1, teremos ξ(G) ≤ n – 2. Logo, na seqüência de graus de um grafo MNR 2-conexo, haverá duas repetições, de valores iguais (3 graus iguais ímpares) ou diferentes (2 pares de graus iguais, de mesma paridade). Utilizamos como exemplo a matriz do critério de Berge para n = 10 e indicando, inicialmente, uma construção próxima à utilizada para grafos 1-conexos (Figura 3). Podemos então definir algumas seqüências de graus:

• d1 corresponderá aos valores não nulos não sublinhados; • d2 obtida de d1 pela adição dos valores sublinhados; • d3 obtida de d1 colocando-se valores não nulos na duas posições marcadas; • d4 obtida de d1 preenchendo-se as posições (7,4) e (8,3).

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 • 0 1 1 1 • 0 1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 0

Figura 3

Temos, para a primeira seqüência, d1 = ( 9 8 7 6 5 4 3 2 2 2 ) e δ1 = ( 9 9 6 5 4 5 4 3 2 1 ) e a seqüência não é gráfica (o sentido da desigualdade se inverte, ( 9 17 24 30 ...) contra ( 9 18 24 29 ...)) ao se chegar à quarta soma.

Já na segunda seqüência, o aumento de uma unidade de grau (em itálico sublinhado) em dois dos graus de valor 2, equilibra as duas posições vazias que existem nas linhas 6 e 7, marcadas com pontos (ou seja, o aumento do valor do somatório equilibra as perdas correspondentes a essas posições). Então d2 = ( 9 8 7 6 5 4 3 3 3 2 ) será gráfica, visto que δ2 = ( 9 9 8 5 4 5 4 3 2 1 ) não produz inversão da desigualdade.

A terceira seqüência é d3 = ( 9 8 7 6 5 5 4 2 2 2 ) e temos δ3 = ( 9 9 6 6 5 5 4 3 2 1 ).A seqüência é gráfica, mas não é MNR (aqui temos ξ = 7, enquando d2 possui ξ = 8). A quarta seqüência, d4 = ( 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 ) que corresponde a δ4 = ( 9 9 7 6 4 5 4 3 2 1 ), é gráfica e MNR.

As três seqüências gráficas obtidas produzem grafos associados com 25 arestas. Pode-se observar que o número de elementos não nulos na subseqüência da parte inferior da matriz é o mesmo dos grafos 1-conexos, logo (2.3) será também válida para grafos 2-conexos, desde que se disponha de espaço para abrir sobre a diagonal oposta da matriz uma casa vazia, que equilibre a casa à direita da diagonal, obrigatória em vista da conectividade do grafo. Isto ocorre a partir de n = 6.

2222

Podemos ainda criar uma seqüência d5 = ( 9 8 7 6 5 5 4 3 3 2 ) que é gráfica e MNR, preenchendo as posições marcadas a partir de d2. Teremos δ5 = ( 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ). O interesse de se examinar esta seqüência está em que ela gera grafos com 26 arestas. Poderemos portanto, ao contrário do caso 1-conexo, distinguir grafos MNR 2-conexos minimais e não minimais em relação ao número de arestas.

Enfim, os grafos MNR 2-conexos de menor ordem são ( 2, 2, 2 ) (ou seja, K3, que é regular !), e K4 – u ( 3, 3, 2, 2 ). De fato, para o primeiro se tem ξ = 3 – 2 = 1 e, para o segundo, ξ = 4 – 2 = 2.

4. Algumas propriedades dos grafos MNR

Definição 3: Um grafo “split” é um grafo cujo conjunto de vértices pode ser biparticionado de modo que uma parte seja um conjunto independente e a outra corresponda a um subgrafo induzido completo (uma clique).

Sobre grafos “split”, ver por exemplo, [KLM96] e [Go80].

Teorema 2: As seqüências geradoras de grafos MNR 0-, 1- e 2-conexos minimais em relação ao número de arestas geram grafos “split”.

Prova: Indexando-se os vértices de acordo com a ordem da seqüência gráfica, a submatriz de ordem n/2 sobre a diagonal principal da matriz do critério de Berge será isomorfa à submatriz correspondente da matriz de adjacência do grafo, visto ser ela a matriz de uma clique Kn/2.

Por outro lado, a não-regularidade maximal exige, em relação aos demais vértices de um grafo G:

• que todos estejam ligados ao vértice 1 em Kn/2, todos menos um ao vértice 2, ..., no máximo um ao vértice n/2, com o que todos os vértices de Kn/2 terão graus diferentes (à exceção, talvez, do último, quando n for ímpar);

• que não haja ligações entre os vértices externos a Kn/2, o que diminuiria o valor de ξ(G). O conjunto I de vértices externos à clique será portanto um conjunto independente.

A descrição de G, formado por uma clique Kn/2 e um conjunto independente de n/2 vértices, corresponde à de um grafo “split”.

Obs. 1: As duas condições acima são satisfeitas por todos os grafos MNR considerados, visto que não há qualquer condição envolvendo o grau mínimo.

Obs. 2: Para que a segunda condição se verifique, é preciso que o número de elementos não nulos nas submatrizes à direita e abaixo de Kn/2 seja o mesmo, o que ocorre nos grafos MNR minimais. Como estamos trabalhando com seqüências gráficas, este número poderá ser maior na submatriz inferior, mas neste caso a soma dos graus externos a Kn/2 será menor que a soma dos graus do conjunto independente, o que exigirá a adição de arestas entre vértices de I, que deixará de ser um conjunto independente.

Exemplo: Um grafo correspondente à seqüência d4 acima é, com uma indexação por valores não crescentes dos graus, (Figura 4):

Figura 4

Obs. 3: A seqüência d5, examinada acima, não gera grafos “split”. De fato, pode-se observar que a soma dos graus dos vértices de Kn/2, diminuída do dobro do número de arestas da clique (o que resulta na soma

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

2223

dos graus “externos” à clique) é menor do que a soma dos graus dos vértices de I. No caso, teremos 35 – 20 = 15 para a clique, enquanto em I teremos um total de 17 unidades; a diferença é de 2 unidades, o que implica na adição de uma aresta.

Conclui-se, portanto, que apenas as seqüências MNR minimais geram grafos “split” 2-conexos.

Uma possibilidade, como exemplo, da matriz de adjacência de um grafo com a seqüência de graus indicada é a seguinte (Figura 5):

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0

Figura 5 Obs. 4: A repetição do grau na posição n/2 da seqüência, para n par, permite uma segunda representação na qual se considera uma clique Kn/2+1. Como exemplo, temos a seqüência d3 acima (Figura 6):

Figura 6: Duas representações possíveis

As referências teóricas, salvo indicado em contrário, consideram no entanto a primeira representação. Cabe observar que, se n for ímpar, a representação baseada em Kn/2 terá 2 vértices da clique com o mesmo grau para o caso acima, tal como a segunda representação para os casos pares. A Figura 7 mostra um exemplo, para n = 9:

Figura 7: Um caso de grafo de ordem ímpar A estrutura “split”, associada às demais restrições estruturais dos grafos MNR, produz o seguinte resultado:

9 8 7 6 5

5 4 2 2 2

K5 9 8 7 6 5 5

4 2 2 2

K6

8 7 6 5 5

4 3 2 2

K5

2224

Teorema 3: Em um grafo G MNR minimal em relação ao número de arestas se tem, para δ(G) < n/2,

κ(G) = δ(G), (3.1)

onde κ(G) é a conectividade e δ(G) o grau mínimo de G.

Prova: O subgrafo Kn/2 é uma clique, portanto sua conectividade é n/2 - 1. Dois vértices de I são conectados através das arestas que eles partilham com Kn/2. O menor subconjunto de articulação minimal que separa dois vértices de I é, portanto, N(x) ⊆ Kn/2 (onde x é um vértice de grau mínimo), de cardinalidade igual a δ(G). Teorema 4: Os grafos G MNR 2-conexos minimais em relação ao número de arestas são não hamiltonianos.

Prova: Um vértice x de menor grau em Kn/2 terá no máximo uma aresta adjacente a um vértice de I. Portanto todo ciclo hamiltoniano em G teria de utilizar uma aresta interna a Kn/2 para retornar a x.

Se n for par, teremos n/2 vértices em Kn/2 e também em I; logo, todo possível ciclo hamiltoniano teria de ser formado, apenas, por arestas unindo vértices de Kn/2 a vértices de I, o que leva a uma contradição.

Se n for ímpar, teremos um vértice a mais em Kn/2 do que em I e haverá duas possibilidades:

Se existir um grau n/2 repetido, haverá 2 vértices de Kn/2 com este valor de grau, logo unidos a I por uma única aresta. Portanto todo ciclo hamiltoniano em G teria de usar duas arestas internas a Kn/2. Como temos n/2 vértices em I e apenas um vértice a mais em Kn/2, só poderíamos usar uma aresta interna a este último subgrafo, o que leva a uma contradição.

Se os graus repetidos forem menores que n/2, haverá um vértice de grau n/2 em Kn/2 , que não terá ligações com os vértices de I. Seja x este vértice.

Consideremos a construção de um ciclo hamiltoniano a partir de x. A primeira aresta terá de ser interna a Kn/2, visto que x não possui ligações com I; em seguida, teremos de utilizar 2 n/2 = n - 1 arestas entre Kn/2 e I. Como teremos usado um número par de arestas após a saída de Kn/2 , teremos chegado a um vértice de I; o retorno a x, porém, se torna impossível, porque a aresta para isso necessária não existe.

A Figura 8 apresenta alguns exemplos que ajudam a esclarecer a situação:

Figura 8: Hamiltonicidade em grafos MNR

Todos os grafos representados são MNR (ξ = 9). O primeiro, porém, não é “split”, não é minimal (possui 31 arestas) e é hamiltoniano: um ciclo nele existente, de acordo com a indexação em itálico, é ( 6, 5, 7, 1, 11, 10, 2, 9, 3, 8, 4, 6 ). O segundo é MNR e “split”, mas não é minimal (31 arestas). Já o terceiro é MNR, “split” e minimal (30 arestas). O segundo e o terceiro são não hamiltonianos.

5 4 3 3 2 7 8 9 10 11

K6

1 2 3 4 5 6

5 4 3 2 2

K6

4 4 3 2 2

K610 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 6 10 9 8 7 5 5

2225

5. Grafos MNR 3-conexos

Ao procurarmos um limite inferior para o número de aestas, que caracterizaria os grafos MNR 3-conexos, observamos que, em relação a um grafo MNR minimal de mesma ordem e 1-conexo, será necessário acrescentar 3 elementos não-nulos, um na penúltina linha e dois na última. Para que (2.3) seja válida, será então necessário abrir 3 casas nulas na diagonal oposta da matriz do critério de Berge e isto se torna possível, apenas, a partir de n = 12.

Para valores mais baixos de n, temos então as seguintes alternativas:

• o grafo não é “split”; • o grafo não é MNR; • o grafo não verifica (2.3).

A Tabela 2 resume alguns resultados obtidos para n entre 10 e 13:

Ordem Seqüência Grau ext.clique

Grau conj. ind. “Split” ξ MNR mmin m (2.3)

10 (9,8,7,6,5,3,3,3,3,3) 15 15 sim 6 não 25 25 sim (9,8,7,6,5,4,4,3,3,3) 15 17 não 7 sim 25 26 não (9,9,8,7,6,5,4,4,3,3) 19 19 sim 7 sim 25 29 não

11 (10,9,8,7,6,5,4,4,3,3,3) 15 17 não 8 sim 30 31 não (10,10,9,8,7,6,5,5,4,3,3) 20 20 sim 8 sim 30 35 não

12 (11,10,9,8,7,6,5,4,3,3,3,3) 21 21 sim 9 sim 36 36 sim 13 (12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,3,3,3) 21 21 sim 10 sim 42 42 sim

Tabela 2: Grafos MNR 3-conexos

A coluna “grau externo da clique” corresponde ao número de arestas que seus vértices partilham com o conjunto independente I.

A coluna “grau do conjunto independente” corresponde ao número de extremidades de arestas em I.

A igualdade de valores entre estas colunas implica em que não existem arestas internas a I, ou seja, o grafo é “split”.

Convém lembrar que, para um grafo MNR 3-conexo, teremos ξ = n – 3.

Enfim, quando o número de arestas m(G) = mmin, o grafo verifica (2.3). Estes grafos são sempre “split” (a recíproca, porém, não é verdadeira).

Teorema 5: Os grafos 3-conexos que verificam (2.3) são não hamiltonianos.

Prova: As condições estruturais encontradas nos grafos da tese são as mesmas discutidas no Teorema 4.

6. Conclusões

Uma nova classe de grafos foi definida através de uma restrição de irregularidade máxima, o que aqui corresponde à maior cardinalidade possível do conjunto de graus do grafo. A partir de uma apresentação inicial envolvendo grafos não conexos, é discutida a estrutura desses grafos, para valores da conectividade (de vértices) de 1 a 3. Prova-se a igualdade estrita, para a classe, entre a conectividade e o grau mínimo. Para grafos 2- e 3-conexos se apresentam ainda resultados sobre a hamiltonicidade e, enfim, se constata que, a menos de alguns casos de ordem bem determinada, a classe de grafos maximalmente não regulares é uma subclasse da classe de grafos “split”.

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Referências [ACCEGO87] Alavi, Y., Chartrand, G., Erdös, P., Graham, R.L. e Oellermann, O.R., Highly irregular graphs, J. Graph Th. 11, 2, 235-249 (1987). [Be73] Berge, C., Graphes et hypergraphes, Bordas, Paris, 1973. [Bo03] Boaventura Netto, P.O., Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos (3a ed.), Edgard Blucher, São Paulo, 2003. [Go80] Golumbic, M.C., Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Acad. Press, New York, 1980. [Ha72] Harary, F., Graph Theory, Addison-Wesley, 1972. [KLM96] Kratsch, D., Lehel, J. e Müller, H., Toughness, hamiltonicity and split graphs, Discr. Maths. 150, 231-245 (1996). [MM99a] Majcher, Z. e Michael, J., Degree sequences of highly irregular graphs, Discr. Maths. 164, 225-236 (1997). [MM99b] Majcher, Z. e Michael, J., Highly irregular graphs with extreme number of edges, Discr. Maths. 164, 237-242 (1997). [SH91] Sierksma, G. e Hoogeven, H., Seven criteria for integer sequences being graphic, J. Graph Th. 15, 2, 223-231 (1991).