genetic algorithms - ga)

Παναγιωτοπούλου Βασιλική (ΜΔΕ)

α) Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι, αποτελούν ένα σύστημα επίλυσης προβλημάτων που

βασίζονται στους μηχανισμούς της γενετικής και της εξέλιξης που παρατηρείται τόσο

σε φυσικά συστήματα, όσο και σε πληθυσμούς ζωντανών οργανισμών (Γεωργιλάκης,

Π.,Σ., 2004). Ουσιαστικά, πρόκειται για μια μέθοδο αναζήτησης βέλτιστων λύσεων

σε προβλήματα που περιέχουν πολλές διαστάσεις και δεν υπάρχει κάποια αναλυτική

μέθοδος για τον υπολογισμό της βέλτιστης αυτής λύσης (Βικιπαίδεια, 2014).

Βασίζονται στη μίμηση των μηχανισμών της βιολογικής εξέλιξης που συναντώνται

στη φύση, ενώ ο τρόπος λειτουργίας τους είναι εμπνευσμένος από τον κλάδο της

Βιολογίας, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα (Λυκοθανάσης, Σ., 2011).

Βιολογία Γενετικός Αλγόριθμος

Γονίδιο Παράμετρος

Χρωμόσωμα Πιθανή λύση

Πληθυσμός Σύνολο πιθανών λύσεων

Ουσιαστικά, ένας Γ.Α. αναφέρεται σε άτομα με ένα χρωμόσωμα. Το χρωμόσωμα, το

οποίο αποτελεί τη πιθανή λύση κάθε προβλήματος, αποτελείται από γονίδια τα οποία

με τη σειρά τους επηρεάζουν την κληρονομικότητα των ατόμων (Γεωργόπουλος, Ε.

& Λυκοθανάσης, Σ., 1999).

Βασική αρχή ενός Γ.Α., είναι να διατηρήσει τον πληθυσμό ενός προβλήματος με τη

μορφή κωδικοποιημένης πληροφορίας και στη συνέχεια να εξελίξει αυτόν τον

πληθυσμό, στηριζόμενος σε νόμους της φυσικής επιλογής και του ανασυνδυασμού

του γενετικού υλικού των μελών του πληθυσμού (Γεωργιλάκης, Π.,Σ., 2004).

Ειδικότερα, στόχος της εφαρμογής των Γ.Α. σε ένα πρόβλημα, είναι η εύρεση της

βέλτιστης λύσης του. Έτσι, πραγματοποιώντας μια αναζήτηση στον χώρο,

δημιουργούν και διατηρούν έναν πληθυσμό πιθανών λύσεων, στη συνέχεια

καταγράφουν και ανταλλάσουν πληροφορίες μέσα σε αυτόν τον χώρο και έτσι ο

πληθυσμός υφίσταται μια προσομοιωμένη γενετική εξέλιξη. Από τις λύσεις που θα

προκύψουν σε κάθε γενιά, οι σχετικά καλές αναπαράγονται, ενώ οι σχετικά κακές

αφαιρούνται (Γεωργόπουλος, Ε. & Λυκοθανάσης, Σ., 1999).

Οι λόγοι για τους οποίους χρησιμοποιούνται οι Γ.Α. για την επίλυση προβλημάτων,

είναι πολλοί και βασίζονται στα πλεονεκτήματα που προσφέρουν σε σχέση με άλλα

συστήματα επίλυσης προβλημάτων. Ειδικότερα, παρουσιάζουν μεγαλύτερη

αποδοτικότητα στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων με πολλές και δύσκολα

1


προσδιορισμένες λύσεις, μπορούν εύκολα να συνεργαστούν με άλλα μοντέλα και

συστήματα, παρουσιάζουν δυνατότητα επέκτασης και μετεξέλιξης, έχουν δυνατότητα

εφαρμογής σε πληθώρα πεδίων (π.χ. οικονομία, επίλυση μαθηματικών εξισώσεων,

σχεδιασμός μηχανών, κ.ά.) και το βασικότερο, μπορούν να εξερευνούν τον χώρο για

αναζήτηση πιθανών λύσεων, εκμεταλλεύοντας ταυτόχρονα τις ήδη επεξεργασμένες

πληροφορίες (Γεωργόπουλος, Ε. & Λυκοθανάσης, Σ., 1999).

Τα βασικά στοιχεία ενός Γ.Α., τα οποία αποτελούν και μέσο σύνδεσής του με το

πρόβλημα που επιλύει, είναι η κωδικοποίηση και η αντικειμενική συνάρτηση.

Η κωδικοποίηση, αφορά το σύνολο των πιθανών λύσεων και έχει ως βασικό στόχο

την αναπαράσταση των επιμέρους χαρακτηριστικών τους, προκειμένου να υπάρξουν

ομοιότητες ανάμεσα στα άτομα, οι οποίες θα διευκολύνουν τη φάση της αναζήτησης.

Αξίζει να αναφερθεί ότι δεν υπάρχει αποτελεσματική κωδικοποίηση για όλα τα

προβλήματα, ενώ ενδέχεται κάποιο πρόβλημα να επιδέχεται περισσότερες από μια

κωδικοποιήσεις (Λυκοθανάσης, Σ., 2001).

Η αντικειμενική συνάρτηση, από την άλλη πλευρά, διαδραματίζει τον ρόλο του

περιβάλλοντος του προβλήματος και αξιολογεί τα μέλη του πληθυσμού. Ουσιαστικά,

είναι η μόνη πληροφορία που δέχεται ο Γ.Α. προκειμένου να λύσει το πρόβλημα και

η τιμή που θα προκύψει από αυτήν αποτελεί καθοριστικό παράγοντα για την

επιβίωση και το πολλαπλασιασμό ή όχι του ατόμου (Λυκοθανάσης, Σ., 2001).

Αξίζει να σημειωθεί ότι οι παραπάνω δύο λειτουργίες υπάρχουν πάντα σε κάθε Γ.Α.,

ανεξαρτήτως του προβλήματος και αποτελούν το πρώτο στάδιο εφαρμογής του, το

οποίο μάλιστα, είναι ανεξάρτητο από τα επόμενα μέρη, τα οποία ουσιαστικά

καθορίζουν τη δομή του Γ.Α.

Ειδικότερα, όσον αφορά τη δομή ενός Γ.Α., αυτή αποτελείται από κάποια βασικά

στάδια. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο στάδιο, αυτό της αρχικοποίησης, ορίζεται ο

αρχικός πληθυσμός από πιθανές λύσεις πάνω στον οποίο θα πραγματοποιηθούν οι

λειτουργίες του Γ.Α. Ο πληθυσμός αυτός διαλέγεται με τυχαίο τρόπο, ενώ το μέγεθός

του παραμένει σταθερό καθ’ όλη τη λειτουργία του Γ.Α. Στο δεύτερο στάδιο,

αξιολογώντας κάθε μία από τις πιθανές λύσεις, γίνεται επιλογή των αποδοτικότερων

στοιχείων του πληθυσμού, δημιουργώντας έτσι μια νέα γενιά. Στη συνέχεια, από τον

καινούριο προσωρινό πληθυσμό που δημιουργείται, ορισμένα μέλη επιλέγονται να

υποστούν μετατροπές μέσω της διαδικασίας της διασταύρωσης. Ειδικότερα σε αυτό

το στάδιο, σχηματίζονται ζευγάρια από τα μέλη του πληθυσμού, τα οποία

διασταυρώνονται, δημιουργούν απογόνους και τη θέση τους μέσα σε αυτόν,

2


λαμβάνουν πλέον οι απόγονοι αυτοί. Στο τελικό στάδιο της δομής ενός Γ.Α., σε αυτό

δηλαδή της μετάλλαξης, επιλέγονται τυχαία γονίδια από τα χρωμοσώματα των μελών

του πληθυσμού και μεταβάλλεται η τιμή τους. Σκοπός του εν λόγω σταδίου είναι η

λύση που θα προκύψει, θα είναι εξ’ ολοκλήρου διαφορετική από την προηγούμενη

και συγκεκριμένα καλύτερη (Γεωργόπουλος, Ε. & Λυκοθανάσης, Σ., 1999).

Με την ολοκλήρωση των γενετικών τελεστών της διασταύρωσης και της μετάλλαξης,

έχει δημιουργηθεί πλέον μία νέα γενιά στην οποία θα γίνει εκ νέου αξιολόγηση. Η

διαδικασία ολοκληρώνεται και ο Γ.Α. τερματίζεται, όταν έχει δημιουργηθεί κάποιος

αριθμός γενεών και πλέον δεν παρατηρείται καμία βελτίωση σε αυτές.

Τέλος, σχετικά με την εφαρμογή των Γ.Α., σήμερα υπάρχουν και λειτουργούν με

επιτυχία πολλά συστήματα, τα οποία βασίζονται σε αυτούς. Μερικά από αυτά είναι η

Επεξεργασία Εικόνας, η σχεδίαση με τη βοήθεια Η/Υ, η Οικονομία, οι

Τηλεπικοινωνίες, η Τεχνολογία Λογισμικού, ο Χρονοπρογραμματισμός, τα Γραφικά

υπολογιστών και τα Τεχνητά Νευρωτικά Δίκτυα (Λυκοθανάσης, Σ., 2001).

β) Το συγκεκριμένο επιστημονικό άρθρο [Γεωργιλάκης, Π.Σ.Α., (2004), «Εφαρμογή

Γενετικών Αλγορίθμων στην Παραγωγή Ηλεκτρικής Ενέργειας», Τεχνικά Χρόνια, ΙΙΙ,

τευχ.1-2], αναφέρεται στην εφαρμογή Γ.Α. στην παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας και

πιο συγκεκριμένα, στην επίλυση του προβλήματος της οικονομικής κατανομής του

φορτίου. Στόχος του είναι να αποδείξει πώς οι Γ.Α. συντελούν στην ελαχιστοποίηση

του κόστους λειτουργίας των μονάδων παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας, υπό τον

περιορισμό βέβαια του ισοζυγίου ισχύος και των τεχνικών ορίων των γεννητριών.

Το συγκεκριμένο πρόβλημα, μπορεί να επιλυθεί με διάφορες μεθόδους, αναλόγως

τους περιορισμούς που λαμβάνονται κάθε φορά υπόψη, όπως τη μέθοδο Lagrange, τη

μέθοδο επαναλήψεων λ, τον δυναμικό προγραμματισμό και τους Γ.Α., ωστόσο η

τελευταία προτιμάται για τους δύο βασικούς λόγους:

i. Γιατί οι Γ.Α. αντιμετωπίζουν τα προβλήματα που παρουσιάζουν στην

εφαρμογή τους οι μέθοδοι επαναλήψεων λ και δυναμικού προγραμματισμού.

Ειδικότερα, η μέθοδος επαναλήψεων λ περιορίζεται από τη μορφή των

συναρτήσεων εισόδου-εξόδου των μονάδων παραγωγής, ενώ η μέθοδος

δυναμικού προγραμματισμού παρουσιάζει μεγάλες απαιτήσεις σε

υπολογιστική μνήμη και χρόνο εκτέλεσης, όταν αυξηθεί ο αριθμός των

μονάδων.

3


ii. Γιατί οι Γ.Α. δεν δρουν πάνω στις τιμές εξόδου των γεννητριών, αλλά στην

κωδικοποιημένη συμβολοσειρά των εξόδων των μονάδων παραγωγής.

Το συγκεκριμένο πρόβλημα, αναφέρεται στην οικονομική κατανομή φορτίου

τεσσάρων γεννητριών, οι οποίες καλούνται να καλύψουν ζήτηση στην ισχύ 50 MW,

με το ελάχιστο δυνατό κόστος παραγωγής. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα

χαρακτηριστικά των γεννητριών καθώς και τα κόστη καυσίμου (cost) κάθε μιας

(max-min ισχύος, συντελεστές κατανάλωσης ai, bi, ci,).

Αρχικά, θεωρείται ως γεννήτρια αναφοράς η γεννήτρια 4. Στη συνέχεια, γίνεται

κωδικοποίηση της ισχύος των υπόλοιπων μηχανών σε διάδικο σύστημα (0,1),

χρησιμοποιώντας συμβολοσειρά 4 δυαδικών ψηφίων. Επιλέγεται αρχικός πληθυσμός

8 χρωμοσωμάτων και υπολογίζεται το ωριαίο κόστος παραγωγής και η ισχύς της

κάθε γεννήτριας, καθώς και της γεννήτριας αναφοράς για καθένα από αυτά. Στον

παρακάτω πίνακα, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των γεννητριών τους ενός

χρωμοσώματος.

Ωστόσο, επειδή προκύπτει παραβίαση του μέγιστου ορίου στην ισχύ εξόδου της

γεννήτριας αναφοράς (P4=34,8067>25), προστίθενται ένας παράγοντας ποινής και

στη συνέχεια υπολογίζεται η συνάρτηση καταλληλότητας του χρωμοσώματος.

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, υπολογίζεται η συνάρτηση καταλληλότητας των

υπόλοιπων 7 χρωμοσωμάτων και στη συνέχεια η συνάρτηση καταλληλότητας του

αρχικού πληθυσμού. Ακολουθεί η διαδικασία αναπαραγωγής και διασταύρωσης

εκτελώντας τον αλγόριθμο για 20 και 100 γενιές. Στους παρακάτω πίνακες φαίνεται η

4


οικονομική κατανομή του φορτίου μετά από 20 και 100 γενιές αντίστοιχα.

Από τους παραπάνω πίνακες προκύπτει ότι αυξάνοντας τον αριθμό των γενεών

μειώνεται το συνολικό κόστος, επομένως δεν έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση. Για να

βρεθεί, κρίνεται απαραίτητο να προσδιοριστούν οι κατάλληλες τιμές για τις

παραμέτρους διαμόρφωσης του αλγορίθμου, οι οποίες φαίνονται στον παρακάτω

πίνακα.

Μέσω των παραμέτρων αυτών, υπολογίζεται τελικά η βέλτιστη οικονομική κατανομή

του φορτίου μεταξύ των 4 γεννητριών, προκειμένου να καλυφθεί η ζήτηση των 50

MW, με το ελάχιστο δυνατό κόστος παραγωγής. Η βέλτιστη λύση, παρουσιάζεται

στον παρακάτω πίνακα (Table 8), ενώ στο διάγραμμα παρουσιάζεται σχηματικά η

σχέση μεταξύ βέλτιστης λύσης και αριθμού γενεών, κρατώντας σταθερές τις

υπόλοιπες παραμέτρους. Από στο σχήμα, παρατηρείται ότι καθώς αυξάνει ο αριθμός

των γενών, ο αλγόριθμος πλησιάζει περισσότερο στην βέλτιστη λύση.

5


γ.1) Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να εκτιμηθεί ο μέγιστος αριθμός των

προϊόντων που μπορούν να αγοραστούν από φοιτητές, εάν διατίθεται το συνολικό

ποσό των 250 € και αγοράζεται ένα προϊόν από κάθε είδος. Αρχικά επιλέχθηκαν 10

προϊόντα και οι τιμές του κόστους τους επιλέχθηκαν τυχαία και πήραν τιμές από 1

έως 100. Το αν κάποιο προϊόν θα αγοραστεί ή όχι επιλέχθηκε τυχαία και στον πίνακα

εμφανίζεται με τον αριθμό 1 εάν αγοράζεται και τον αριθμό 0, στην αντίθετη

περίπτωση. Στη συνέχεια, με βάση τον περιορισμό του συνολικού κόστους των 250 €,

δημιουργήθηκε η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος, σύμφωνα με την

οποία, εάν το συνολικό κόστος των προϊόντων που αγοράζει ο κάθε φοιτητής ξεπερνά

τα 250 €, η τιμή της να μηδενίζεται (IF Σ > 250;0;Κ). Στον παρακάτω πίνακα,

παρουσιάζεται ο αρχικός πληθυσμός του προβλήματος.

Πίνακας 1: Αρχικός πληθυσμός

Στη συνέχεια ακολουθεί η ταξινόμηση του αρχικού πληθυσμού.

Πίνακας 2: Ταξινομημένος αρχικός πληθυσμός

6


Μετά την ταξινόμηση ακολουθεί η διαδικασία της Διασταύρωσης των γονέων, όπου

με την μέθοδο Τουρνουά και πιθανότητα διασταύρωσης κάθε μέλους 20%,

επιλέχθηκαν τυχαία από το 1 μέχρι το 10, τα μέλη του πληθυσμού που θα

διασταυρωθούν. Κατά την πρώτη επανάληψη τυχαία επιλέχθηκαν τα χρωμοσώματα

Χ8 και Χ3, από τα οποία επιλέχθηκε το μεγαλύτερο δηλαδή το Χ8 και Χ4 και Χ9,

από τα οποία επιλέχθηκε το Χ9. Τα χρωμοσώματα Χ8 και Χ9 διασταυρώθηκαν και

τα νέα χρωμοσώματα που προέκυψαν (Χ8’ και Χ9’) έδωσαν αντικειμενικές

συναρτήσεις με τιμές (3,75 και 2,92 αντίστοιχα) καλύτερες από αυτές των δύο

πρώτων χρωμοσωμάτων του αρχικού πληθυσμού (Χ1 με αντικειμενική 0,00 και Χ2

με αντικειμενική 0,00), οπότε και τα αντικατέστησαν. Στη συνέχεια, ακολούθησε η

διαδικασία της Μετάλλαξης, όπου με πιθανότητα επιλογής κάθε χρωμοσώματος 5%,

επιλέχθηκε τυχαία από τα χρωμοσώματα Χ3 έως Χ9, το χρωμόσωμα Χ5 και έγινε

αντιμετάθεση στις τιμές των προϊόντων χ5 και χ8 (τα δύο αυτά προϊόντα επιλέχθηκαν

τυχαία).

Πίνακας 3: Μετάλλαξη 1ης γενιάς

Έτσι, δημιουργήθηκε η 1η γενιά, η οποία ταξινομήθηκε και προέκυψε ο παρακάτω

πίνακας:

7


Πίνακας 4: 1η γενιά

Ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία για 9 ακόμα επαναλήψεις και προέκυψαν οι

ακόλουθες γενιές (οι παρακάτω πίνακες είναι ταξινομημένοι):



8





9





10



Από τους παραπάνω πίνακες, παρατηρείται ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των

επαναλήψεων, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αυξάνεται ενώ αυξάνεται

επίσης και ο αριθμός των προϊόντων που μπορούν να αγοραστούν με συνολικό

κόστος μικρότερο των 250 €. Ακόμα, παρατηρείται ήδη από την πρώτη επανάληψη,

ότι η αντικειμενική συνάρτηση έχει πάρει τη μέγιστη τιμή της (5,79), η οποία και

παραμένει σταθερή για όλες τις επαναλήψεις και η οποία εκφράζει τον καλύτερο

συνδυασμό συνολικού κόστους και αριθμού προϊόντων, σύμφωνα με τον οποίο

μπορούν να αγοραστούν 6 προϊόντα με 213 €. Η σύγκλιση της πορείας του

αλγορίθμου και με τον αριθμό των γενεών, φαίνεται και από το Διάγραμμα 1, όπου

καθώς αυξάνεται ο αριθμός των γενεών, παρατηρείται όλο και μεγαλύτερη σύγκλιση

στις τιμές της συνάρτησης.

11


Διάγραμμα 1

αρχικός

1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η 9η 10η0

1

2

3

4

5

6

7

χρωμόσωμα 1χρωμόσωμα 2χρωμόσωμα 3χρωμόσωμα 4χρωμόσωμα 5χρωμόσωμα 6χρωμόσωμα 7χρωμόσωμα 8χρωμόσωμα 9χρωμόσωμα 10

Γενιές

Τιμή

συν

άρτη

σης

Το συγκεκριμένο πρόβλημα, εξετάστηκε και με πιθανότητα διασταύρωσης κάθε

μέλους 40%, όπου κατά την πρώτη επανάληψη, επιλέχθηκαν τυχαία συνολικά 4

χρωμοσώματα και διασταυρώθηκαν μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα από τα τυχαία

χρωμοσώματα Χ5, Χ4, Χ1 και Χ1, επιλέχθηκαν και διασταυρώθηκαν τα Χ5 και Χ1,

δίνοντας τα Χ5’ και Χ1’ με αντικειμενικές συναρτήσεις 0,00 και 3,80 αντίστοιχα. Στη

συνέχεια, επιλέχθηκαν πάλι τυχαία άλλα 4 χρωμοσώματα, τα Χ2, Χ4, Χ4 και Χ9, από

τα οποία επιλέχθηκαν και διασταυρώθηκαν τα Χ4 και Χ9, δίνοντας δύο νέα, τα Χ4’

και Χ9’ με αντικειμενικές συναρτήσεις 3,85 και 0,00 αντίστοιχα. Τα 4 αυτά νέα

χρωμοσώματα, αντικατέστησαν τα 4 πρώτα του αρχικού πληθυσμού. Στη συνέχεια

ακολουθήθηκε η διαδικασία της Μετάλλαξης, όπου με πιθανότητα επιλογής κάθε

χρωμοσώματος 5%, επιλέχθηκε τυχαία από τα χρωμοσώματα Χ5 έως Χ9, το Χ9 στο

οποίο έγινε αντιμετάθεση στις τιμές των προϊόντων 3 και 4 (τα προϊόντα επιλέχθηκαν

τυχαία). Έτσι προέκυψε η 1η γενιά, η οποία φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

12



Η ίδια διαδικασία ακολουθήθηκε για 9 ακόμα επαναλήψεις και προέκυψαν οι

ακόλουθες γενιές (οι πίνακες που ακολουθούν είναι ταξινομημένοι):



13





14





15



Και σε αυτή την περίπτωση παρατηρήθηκε αύξηση στις τιμές της αντικειμενικής

συνάρτησης καθώς αυξανόταν ο αριθμός των επαναλήψεων, ενώ και εδώ ήδη από

την πρώτη επανάληψη πήρε την μέγιστη τιμή της (5,79), η οποία και παρέμεινε πάλι

σταθερή μέχρι και την 10η επανάληψη. Η μόνη διαφορά που παρατηρείται σε σχέση

με την πρώτη περίπτωση, είναι όσον αφορά τον μέγιστο αριθμό των προϊόντων που

μπορούν να αγοραστούν με το ελάχιστο δυνατό συνολικό κόστος, όπου στην πρώτη

είναι 6 προϊόντα με 213 €, ενώ στη δεύτερη ο ίδιος αριθμός προϊόντων μπορεί να

αγοραστεί με 209 €, δηλαδή με κέρδος 4€. Η σύγκλιση της πορείας του αλγορίθμου

και με τον αριθμό των γενεών στην δεύτερη περίπτωση, φαίνεται από το Διάγραμμα

2, όπου καθώς αυξάνεται ο αριθμός των γενεών, παρατηρείται όλο και μεγαλύτερη

σύγκλιση στις τιμές της συνάρτησης.


αρχικός

1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η 9η 10η0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

χρωμόσωμα 1χρωμόσωμα 2χρωμόσωμα 3χρωμόσωμα 4χρωμόσωμα 5χρωμόσωμα 6χρωμόσωμα 7χρωμόσωμα 8χρωμόσωμα 9χρωμόσωμα 10

Γενιές

Τιμή

συν

άρτη

σης

16


γ.2) Ο Αριθμός Μητρώου μου (1050181) είναι περιττός, επομένως υπολογίστηκε η

μέγιστη τιμή της συνάρτησης f(x,y) = 100{sin(0,1x-10) + sin(0,075y-5)} +

100{sin(0,2x) + sin(0,2y+1)} + 200{sin(0,4x+2) + sin(0,4y)}, η οποία αποτελεί και

την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος, μέσω της μεθοδολογίας του ΓΑ, στο

Excel.

Αρχικά, όπως φαίνεται και στον παραπάνω πίνακα, έγινε η επιλογή του πληθυσμού

του προβλήματος. Πρόκειται για 10 τυχαία ζεύγη (x,y) με τα x και y να λαμβάνουν

τιμές μεταξύ του διαστήματος [-30,30], ενώ υπολογίστηκε και η τιμή της συνάρτησης

για κάθε ζεύγος. Στη συνέχεια έγινε ταξινόμηση του πληθυσμού βάση της τιμής της

αντικειμενικής συνάρτησης και ο πίνακας πήρε την παρακάτω μορφή:

17


Μετά την ταξινόμηση, ακολούθησε η διαδικασία της Διασταύρωσης των γονέων,

όπου με την μέθοδο Τουρνουά και πιθανότητα διασταύρωσης κάθε μέλους 20%,

επιλέχθηκαν τυχαία από το 1 μέχρι το 10 τα μέλη του πληθυσμού που θα

διασταυρωθούν. Κατά την πρώτη επανάληψη επιλέχθηκαν τυχαία τα χρωμοσώματα

8 και 6 (σειρά κατάταξης από Πίνακα 2), οπότε κρατήθηκε το καλύτερο, δηλαδή το 8

και 3 και 1, από τα οποία κρατήθηκε το 3. Τα χρωμοσώματα 8 και 3 διασταυρώθηκαν

και τα νέα χρωμοσώματα που προέκυψαν, έδωσαν καλύτερες τιμές στην

αντικειμενική συνάρτηση (-170 και 317), οπότε και αντικατέστησαν τα δύο χειρότερα

χρωμοσώματα του αρχικού πληθυσμού (22,19) με αντικειμενική συνάρτηση -255 και

(17,-18) με αντικειμενική -216. Στη συνέχεια, ακολούθησε η διαδικασία της

Μετάλλαξης, όπου με πιθανότητα επιλογής κάθε χρωμοσώματος 5%, επιλέχθηκε

τυχαία το χρωμόσωμα 3 στο οποίο η τιμή του y μεταλλάχθηκε και πήρε τυχαία, από

το εύρος [-30,30], την τιμή 10 (το γονίδιο y επιλέχθηκε και αυτό τυχαία), οπότε από

(28,11) μεταλλάχθηκε σε (28,10). Έτσι, δημιουργήθηκε η 1η γενιά, η οποία

ταξινομήθηκε και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας:

Ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία για 4 ακόμα επαναλήψεις και προέκυψαν οι

ακόλουθες γενιές:

18


Από τους παραπάνω πίνακες παρατηρείται ότι η αντικειμενική συνάρτηση των

χρωμοσωμάτων αυξάνει την τιμή της καθώς αυξάνεται και ο αριθμός τον

επαναλήψεων υλοποίησης τους αλγορίθμου. Έτσι μετά από 5 επαναλήψεις η τιμή της

συνάρτησης του χρωμοσώματος 10 για παράδειγμα, από 372 που έχει στον αρχικό

πληθυσμό, φτάνει το 577. Η σύγκλιση της πορείας του αλγορίθμου και με τον αριθμό

των γενεών, φαίνεται και από το Διάγραμμα 3, όπου καθώς αυξάνεται ο αριθμός των

γενεών, παρατηρείται όλο και μεγαλύτερη σύγκλιση στις τιμές της συνάρτησης.

19



1 2 3 4 5 6

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

χρ/μα 1χρ/μα 2χρ/μα 3χρ/μα 4χρ/μα 5χρ/μα 6χρ/μα 7χρ/μα 8χρ/μα 9χρ/μα 10

Γενιές

Τιμή

Συν

άρτη

σης

20

genetic algorithms - ga)

Documents