Fourier Para DummiesPratts Martínez Alvaro Yobaín

Contenido

1-¿Quién era Fourier?

2-Motivaciones de su trabajo.

3- La serie de Fourier.

4- La transformada de Fourier.

5- Principales Aplicaciones.

6- Bibliografía y algo más.

¿Quién era Fourier?

Jean-Baptiste Joseph Fourier

(1768-1830) (Mejor conocido

como Joseph Fourier, o sólo

Fourier) fue un matemático y

físico francés , el cual a

temprana edad renunció a la

vida eclesiástica para

dedicarse a la vida científica.

Estudió en la Escuela Superior de Auxerre con los Benedictinos, la cual

abandonó al estallar la Revolución Francesa y unirse a la causa

revolucionaria.

Se salvó de ser guillotinado y después se incorporó a la Escuela Normal

Superior de París, donde tuvo como profesores a los grandes matemáticos y

físicos de la época: Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace

Participó en la expedición de Napoleón a Egipto en 1798 donde es

nombrado secretario perpetuo del Alto Egipto.

A su regreso a Francia es nombrado por Napoleón prefecto de Isère en el

periodo de 1802 -1815

Logra entrar a la Academia de ciencias Francesa en 1817 y al cabo de 5

años es nombrado encargado del área de matemáticas y física.

Publica en 1822 su célebre Théorie analytique de la chaleur (Teoría

analítica del calor. La cual causó furor en la época y con la cual resultó

muy criticado por un sector bastante amplio.

Muere en París en 1830.

Su nombre se encuentra en la lista de los 72 científicos inscrita en la Torre

Eiffiel.

Motivaciones de su trabajo.

En el siglo XVII , Taylor introduce un problema a la física matemática

contemporánea que provoca la actuación de diversos personajes de la talla

de Lagrange, D’Alambert , Euler, Daniel Bernoulli y el mismo Taylor.

Dicho Problema e trata de determinar el movimiento de una cuerda elástica

así como el tiempo de vibración de la misma si ésta es tensada mediante la

aplicación de cierta fuerza externa y luego se deja libre.

Fourier utiliza como base este problema y los avances realizados en el

mismo para estudiar el comportamiento del calor. Del cual establece la

ecuación del calor, la cual describe la variación del calor a través del

tiempo.

Dicha ecuación es la siguiente:

La cual es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, del tipo de las

llamadas ecuaciones parabólicas. Y para la cual Fourier emplea por primera

vez el método de separación de variables que sería fundamental para

establecer posteriormente el concepto de serie y de transformada de Fourier.

Serie de Fourier

La serie de Fourier de una función, es una descomposición en forma de

serie infinita que en límite converge a dicha función

Definición:

Sea una función periódica de periodo . Entonces, su serie de

Fourier asociada es:

Donde an y bn son los coeficientes de Fourier y se calculan de la siguiente

forma:

Dicha serie, también admite una expresión en forma compleja, usando la identidad de Euler se llega a:

Donde Cn Ahora son los coeficientes de Fourier y se calculan:

Teorema de Dirichlet

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y

acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos

locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p.

Entonces en cada punto la serie de Fourier converge a

Transformada integralUna Transformada integral es una aplicación lineal que lleva una

función a un espacio isomorfo donde es “Más fácil “ resolver un

problema que en su formulación original.

Las transformadas integrales son de la forma

Transformada de Fourier

Definición:

Sea f una función Lebesgue integrable:

Y de cuadro integrable, es decir

Entonces la transformada de Fourier de f se define como

Siendo su transformada inversa

Propiedad de Escalado

Aplicaciones.

La serie y la transformada de Fourier forman parte del llamado Análisis

armónico, el cual sirve entre otras cosas para:

Resolver ecuaciones diferenciales

Análisis de Frecuencia

Teoría de Aproximación

En general, todo lo relacionado con ondas.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

http://tumblr.charlio.com/post/47242490697/la-transformada-de-fourier-for-

dummies