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Fatoração QR
Seja1:
a) 𝐴 ∈ ℂ!×!, 𝑚 ≥ 𝑛
b) rank 𝐴 = 𝑛
c) 𝑎! , 𝑗 = 1,… ,𝑛, são os vetores colunas de 𝐴 (linearmente independentes)
A Fatoração QR consiste na decomposição da matriz 𝐴 na forma do produto de uma matriz unitária por uma matriz triangular superior.
A Fatoração QR-‐Reduzida tem a forma:
𝐴 = 𝑄𝑅
ou seja:
𝑎! 𝑎! ⋯ 𝑎! = 𝑞! 𝑞! ⋯ 𝑞!
𝑟!! 𝑟!" ⋯ 𝑟!!𝑟!! ⋯ 𝑟!!
⋱ ⋮𝑟!!
onde
𝑄 = 𝑞! 𝑞! ⋯ 𝑞! e 𝑅 =
𝑟!! 𝑟!" ⋯ 𝑟!!𝑟!! ⋯ 𝑟!!
⋱ ⋮𝑟!!
Algoritmo Clássico de Gram-‐Schmidt
for 𝑗 = 1:𝑛 𝑣! = 𝑎! for 𝑖 = 1: 𝑗 − 1
𝑟!" = 𝑞!∗𝑎! 𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞!
end 𝑟!! = 𝑣! !
𝑞! = 𝑣! 𝑟!!
end
Algoritmo de Gram-‐Schmidt Modificado
for 𝑖 = 1:𝑛 𝑣! = 𝑎!
end for 𝑖 = 1:𝑛
𝑟!! = 𝑣! ! 𝑞! = 𝑣! 𝑟!! for 𝑗 = 𝑖 + 1:𝑛
𝑟!" = 𝑞!∗𝑣! 𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞!
end end
1 Referência: Trefethen & Bau, Capítulos 7 e 8.
Exercício 2 : Obter a fatoração QR-‐Reduzida da matriz 𝐴 empregando os dois algoritmos, Gram-‐Schimdt Clássico e modificado. Verifique se as colunas da matriz 𝑄 obtida pelos algoritmos são de fato ortogonais. Considere 𝜖 ≪ 1.
𝐴 =
1 1 1𝜖 0 00 𝜖 00 0 𝜖
(a) Algoritmo Clássico
𝑗 = 1
𝑣! = 𝑎! =
1𝜖00
𝑟!! = 𝑣! ! = 1+ 𝜖! ≈ 1
𝑞! =𝑣!𝑟!!
=
1𝜖00
𝑗 = 2
𝑣! = 𝑎! =
10𝜖0
𝑖 = 1
𝑟!" = 𝑞!∗𝑎! = 1 𝜖 0 0
10𝜖0
= 1
𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞! =
10𝜖0
− 1 ∙
1𝜖00
=
0−𝜖𝜖0
𝑟!! = 𝑣! ! = 2𝜖
𝑞! =𝑣!𝑟!!
=12
0−110
2 Exercício proposto por Per-‐Olof Persson, MIT (2006).
𝑗 = 3
𝑣! = 𝑎! =
100𝜖
𝑖 = 1
𝑟!" = 𝑞!∗𝑎! = 1 𝜖 0 0
100𝜖
= 1
𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞! =
100𝜖
− 1 ∙
1𝜖00
=
0−𝜖0𝜖
𝑖 = 2
𝑟!" = 𝑞!∗𝑎! =120 −1 1 0
100𝜖
= 0
𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞! =
0−𝜖0𝜖
− 0 ∙
0− 1 21 20
=
0−𝜖0𝜖
𝑟!! = 𝑣! ! = 2𝜖
𝑞! =𝑣!𝑟!!
=12
0−101
Resultado:
𝑄 =
1 0 0𝜖 − 1 2 − 1 20 1 2 00 0 1 2
e 𝑅 =1 1 1
2𝜖 02𝜖
Verificação:
𝑞!∗𝑞! = 1 𝜖 0 012
0−110
= −𝜖2≈ 0
𝑞!∗𝑞! = 1 𝜖 0 012
0−101
= −𝜖2≈ 0
𝑞!∗𝑞! = 0 −12
12
0
0− 1 2
01 2
=12
Portanto, apesar de 𝑄𝑅 = 𝐴 , a matriz 𝑄 obtida pelo algoritmo Clássico de Gram-‐Schimdt não é unitária.
(b) Algoritmo de Gram-‐Schimdt modificado
𝑖 = 1
𝑣! = 𝑎! =
1𝜖00
𝑖 = 2
𝑣! = 𝑎! =
10𝜖0
𝑖 = 3
𝑣! = 𝑎! =
100𝜖
𝑖 = 1
𝑟!! = 𝑣! ! = 1+ 𝜖! ≈ 1
𝑞! =𝑣!𝑟!!
=
1𝜖00
𝑗 = 2
𝑟!" = 𝑞!∗𝑣! = 1 𝜖 0 0
10𝜖0
= 1
𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞! =
10𝜖0
− 1 ∙
1𝜖00
=
0−𝜖𝜖0
𝑗 = 3
𝑟!" = 𝑞!∗𝑣! = 1 𝜖 0 0
100𝜖
= 1
𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞! =
100𝜖
− 1 ∙
1𝜖00
=
0−𝜖0𝜖
𝑖 = 2
𝑟!! = 𝑣! ! = 2𝜖
𝑞! =𝑣!𝑟!!
=12
0−110
𝑗 = 3
𝑟!" = 𝑞!∗𝑣! =120 −1 1 0
0−𝜖0𝜖
=𝜖2
𝑣! = 𝑣! − 𝑟!"𝑞! =
0−𝜖0𝜖
−𝜖2
0− 1 21 20
=
0− 𝜖 2− 𝜖 2𝜖
𝑖 = 3
𝑟!! = 𝑣! ! =6𝜖2
𝑞! =𝑣!𝑟!!
=16
0−1−12
Resultado:
𝑄 =
1 0 0𝜖 − 1 2 − 1 60 1 2 − 1 60 0 2 6
e 𝑅 =1 1 1
2𝜖 𝜖 26𝜖 2
Verificação:
𝑞!∗𝑞! = 1 𝜖 0 012
0−110
= −𝜖2≈ 0
𝑞!∗𝑞! = 1 𝜖 0 016
0−1−12
= −𝜖6≈ 0
𝑞!∗𝑞! = 0 −12
12
0
0− 1 6− 1 62 6
= 0
Portanto, utilizando-‐se o algoritmo de Gram-‐Schimdt modificado obtemos uma matriz 𝑄 unitária.