ESTRELLAS ANISÓTROPAS CARGADAS CON

UN POTENCIAL TIPO TOLMAN IV

Ponente: Dr. Manuel Malaver de la Fuente

Universidad Marítima del Caribe, Departamento de

Ciencias Básicas, Catia la Mar, Venezuela

OBJETOS COMPACTOS

Enana blanca

Estrella de neutrones

Pulsar

Magnetares

Agujeros negros

INTRODUCCION

El estudio de objetos estelares compactos en los que los

efectos de la gravitación son importantes, sólo puede ser

realizado en el marco de la relatividad general a través de

la búsqueda de soluciones analíticas de las ecuaciones de

campo de Einstein para distribuciones de materia con

simetría esférica.

En la elaboración de los primeros modelos teóricos para

estrellas relativistas destacan los trabajos de

Schwarzschild (1916), Tolman (1939) y Oppenheimer y

Volkoff (1939).

Schwarzschild (1916) encontró soluciones analíticas que

permitieron describir una estrella con densidad de energía

uniforme.

Tolman (1939) desarrollo un método para encontrar

soluciones para esferas de fluido estáticas resolviendo las

ecuaciones de campo de Einstein.

Oppenheimer y Volkoff (1939) usaron las ecuaciones de

Tolman para estudiar el equilibrio gravitacional de

estrellas de neutrones estableciendo los fundamentos de la

relatividad general para estructuras estelares.

Es importante mencionar las contribuciones de

Chandrasekhar (1931) en la elaboración de modelos de

enanas blancas donde se toman en cuenta los efectos

relativistas.

En décadas recientes, tales modelos han permitido explicar

el comportamiento de objetos masivos como estrellas de

neutrones, quásares, pulsares, enanas blancas y agujeros

negros

La física de objetos estelares a elevadas densidades no ha sido

bien comprendida y muchos de estos estudios se han realizado

dentro del contexto del MIT-Bag Model en el que la ecuación

de estado para estrellas de quarks tiene una forma lineal simple

dada

Bp 43

1

= densidad de energía p = presión isotrópica,

B = Constante

En trabajos teóricos de modelos estelares es importante incluir

la presencia de anisotropía en las presiones.

Ecuación generalizada de Tolman- Oppenheimer-Volkov para

el equilibrio en relatividad general en presencia de presión

tangencial

r

PP

rrmr

rmPP

dr

dP rtrr

r

2

/)(21

42

La anisotropía puede ser inducida por la presencia de

superfluidos, transiciones de fase o por la presencia de un

campo eléctrico (Usov, 2004).

Bowers y Liang (1974) discuten extensivamente el efecto de la

anisotropía y encuentran que la misma puede influir en el

equilibrio del modelo.

Thirukkanesh y Maharaj (2008) estudian el comportamiento de

objetos relativistas compactos con anisotropía en la presión y

en presencia de un campo eléctrico.

Maharaj et al. (2014) generaron nuevos modelos para estrellas

de quarks con materia anisótropa cargada considerando una

ecuación lineal de estado.

Thirukkanesh y Ragel (2014) obtienen nuevos modelos para

estrellas compactas con materia de quarks dentro del contexto

del MIT Bag Model.

Sunzu et al. (2014) generaron modelos para estrellas de quarks

con formas específicas para la medida de la anisotropía.

Feroze y Siddiqui (2011,2014) y Malaver (2014,2015)

consideraron una ecuación cuadrática de estado para la

distribución de materia y formas específicas para el potencial

gravitacional y el campo eléctrico.

Mafa Takisa y Maharaj (2013) obtuvieron nuevas soluciones

para el sistema de ecuaciones de Einstein con una ecuación

politrópica de estado y una forma particular para el campo

eléctrico.

Thirukkanesh y Ragel (2012) han obtenido diversos modelos

de estrellas anisótropas con una ecuación de estado politrópica

y escogiendo una forma específica para el potencial

gravitacional.

Malaver (2013) obtuvo nuevas soluciones analíticas para el

sistema de ecuaciones Einstein considerando una ecuación

modificada de estado de Van der Waals con y sin exponente

politrópico

Thirukkanesh y Ragel (2014) presentaron un modelo para

materia de quark anisótropa con una ecuación de estado lineal

y un potencial Tolman IV para el potencial gravitacional.

ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN

Se ha considerado un espacio-tiempo anisótropo, simétrico,

estático y homogéneo en coordenadas de Schwarzschild dado

por

)θdφ+(dθr+dre+dte=ds 2(r)2(r)2 22222λ2 sin

(1)

donde )(r y )(r son dos funciones arbitrarias

Usando las transformaciones

2cr=x,

(r)e=Z(x) 2λ

y

(r)e=(x)yA 2ν22

con constantes arbitrarias A y c>0 , sugeridas por Durgapal

y Bannerji (1983) , la métrica anterior toma la forma

)θdφ+(dθc

x+dx

cxz+dtxyA=ds 222 22222 sin

4

1)(

(2)

Las ecuaciones de Einstein se pueden escribir como

c

E

c

ρ=

x

Z

2Z2

1 2

(3)

c

E

c

p=

x

Z

y

y r

2

14Z

2

(4)

c

E

c

p=Z+

y

y)+(+

y

yxZ t

2Z2x4Z4

2

(5)

22 4EEx

x

cZ

(6)

Con las transformaciones de Durgapal y Bannerji (1983)

la masa toma la forma

x

ρ(x)dxx=M(x)0

3/24c

1

(7)

Se ha considerado una ecuación de estado barotrópica

dentro del contexto de MIT-Bag model

ρ=pr

3

1

(8)

LOS MODELOS

Cualquier modelo de estrella debe cumplir con las

siguientes propiedades físicas:

1) Regularidad del potencial gravitacional y de las

funciones métricas en el origen

2) La presión radial debe ser finita en el centro

3) rP > 0 y > 0 en el origen

4) Decrecimiento de la densidad y de la presión radial

con el incremento del radio

De acuerdo a Tolman (1939) y Thirukkanesh y Ragel

(2014) se toma una forma modificada del potencial

gravitacional )(xZ

ax

bxaxxZ

n

21

11)(

(9)

a y b son constantes reales y n es un parámetro ajustable

Se ha considerado la forma del campo eléctrico propuesta

por Feroze y Siddiqui (2014)

x

ZcE

)1(22

(10)

Se estudiaron los casos particulares n=1,2

Para n=1, usando )(xZ y (10) en (3) , se obtiene

2

22

1

222

ax

bxaabxbac

(11)

Reemplazando (11) en (8), la presión radial se puede

escribir como

2

22

13

222

ax

bxaabxbacPr

(12)

Usando (11) en (7), la expresión para la función de masa

es

axaca

axarctagabaxbaaaxababxabxaxM

2148

2236612612816)(

2

2232223

(13)

Para el campo eléctrico

ax

abxbacE

21

22

(14)

y para la densidad de carga

abxbaaxx

baxbaabxabxaxc

4

22222

21

2524112

(15)

sustituyendo (12), (10) y (9) en (4)

bxaxaxc

bxaabxba

y

y

11216

22 22

(16)

resolviendo (16)

CBAaxbxaxcxy 2111)( 1

(17)

cBA

6

1

, cC

6

1

Las funciones métricas 2e y

2e se pueden

escribir como

bxax

axe

11

212

(18)

CBAaxbxaxcAe

2222

1

22 2111

(19)

La métrica para este modelo es

)θdφ+(dθc

x

dxbxaxxc

ax+dtaxbxaxcA=ds 22CBA2

222

2222

1

2

sin

114

212111

(20)

Con n=2 las expresiones para , rP )(xM , E , , 2e y

2e

2

223233

1

242742

ax

bxaabxababxac

(21)

2

223233

13

242742

ax

bxaabxababxacPr

(22)

axaca

axarctagababxaxa

axaabxabxaxaxabxa

xM21480

)3(215230230260

603080120160336192

)(2

223

232242334

(23)

ax

bxababxacE

21

22 222

(24)

bxababxaaxx

bxaabxababxabxaxc

221

238346112224

2223233222

(25)

bxax

axe

11

212

2

(26)

CBAaxbxaxcAe

2222

1

22 2111 (27)

La métrica para este modelo es

)θdφ+(dθc

x

dxbxaxxc

ax+dtaxbxaxcA=ds 22CBA2

222

2

2222

1

2

sin

114

212111

(28)

ab

baA

3

12

, abba

aabbabB

26

4321 2222

y

ab

baC

26

41 2

ANÁLISIS FÍSICO

Las figuras 1, 2,3, 4 representan los gráficos de rP ,

,

2 y )(xM respectivamente para el caso n=2, donde a=0.01715,

b=0.00329 con un radio de 3 km.

Fig.1. Presión radial vs radio

Fig.2. densidad vs radio

Fig.3. densidad de carga vs radio

Fig.4. Masa vs radio

Los modelos obtenidos constituyen otra nueva familia de

soluciones para una estrella de quark cargada con

anisotropía. Para las funciones métricas 2e y

2e con

n=1 y en r=0 102 e ,

ccAe 3

12

1

202 1

y

00)(2

0)(2

r

rr

r ee lo que demuestra que las

funciones métricas son regulares en el origen. En el centro

bac 2

,

bacPr 3

2

Para n=2 102 e ,

BcAe

22

1

202 1

y

00)(2

0)(2

r

rr

r ee

En el centro

cb2)0( y

bcPr3

2

CONCLUSIONES

Se han obtenido nuevas soluciones para el sistema de

ecuaciones de Einstein considerando un potencial de

Tolman IV modificado para el potencial gravitacional Z

que depende de un parámetro ajustable y una ecuación

lineal de estado que es relevante en la descripción de

materia cargada anisótropa.

En todos los modelos obtenidos la densidad de carga σ

admite una singularidad en el centro del objeto estelar y la

función de masa es una función continua, creciente y

finita.

Se muestra como una modificación del parámetro n del

potencial gravitacional afecta el campo eléctrico, la

densidad de carga, la presión radial, las funciones métricas

y la masa del objeto estelar.

Los modelos presentados pueden ser útiles en la

descripción de objetos relativistas compactos con carga,

estrellas de quarks y configuraciones con materia cargada

anisótropa.