ejercicios ecomat 2
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Ejemplos resueltos de economıa matematica 2
Daniel Ricardo Casas Hernandez*
Resumen
Este documento pretende acompanar el proceso de formacion de
los estudiantes de economıa matematica 2; a traves de ejemplos re-
sueltos y ejercicios propuestos, ellos y ellas pueden tener referencias
adicionales en la manipulacion de herramientas matematicas, necesa-
rias en el aprendizaje de economıa.
Palabras clave: metodos matematicos en economıa JEL: E22
Ecuaciones diferenciales
Ejemplos
Resolver el sistema:
x = 2x+ 3y + 7
y = 5− x− 2y
*Profesor del programa de economıa en la Universidad de La Salle y Escuela Colombiana
de Ingenierıa Julio Garavito.
1
Primero, puede ser representado matricialmente como:
x
y
=
2 3
−1 −2
x
y
+
7
5
.
Es decir,
X =
2 3
−1 −2
X +
7
5
.
La solucion particular se obtiene suponiendo que:
x
y
=
0
0
.
Luego
xp
yp
=
2 3
−1 −2
−1
−7
−5
.
Es decir,
xp
yp
= −1
−2 −3
1 2
−7
−5
=
−14− 15
7 + 10
=
−29
17
.
Para hallar la solucion general del sistema homogeneo, se halla los va-
lores y vectores propios de la matriz
2 3
−1 −2
. Ası,
∣∣∣∣∣∣
λ− 2 −3
1 λ+ 2
∣∣∣∣∣∣
= (λ− 2)(λ+ 2) + 3 = λ2 − 4 + 3 = 0;
Los valores propios de la matriz son: λ1 = 1 y λ2 = −1.
Para λ1 = 1, entonces
−1 −3
1 3
v1
v2
=
0
0
.
2
Luego, (−1)v1 − 3v2 = 0, es decir v2 = −13v1.
El vector propio de λ1 = 1 es
v1
v2
=
v1
−13v1
=
1
−13
v1.
Para λ2 = −1, entonces w2 = −w1; ası,
w1
w2
=
w1
−w1
=
1
−1
w1.
La solucion del sistema homogeneo es:
X = v1
1
−13
et + w1
1
−1
e−t.
La solucion del sistema de ecuaciones diferenciales es:
X = v1
1
−13
et + w1
1
−1
e−t +
−29
17
.
Hallar la funcion de demanda y(w) cuya elasticidad Elwy = ϑ+ bw.
dyy= dw(ϑ+bw)
w= ϑ
wdw + bdw.
Integrando se obtiene:∫
dyy= ϑ
∫dww
+ b∫dw = ϑLnw + bw
Lny = ϑLnw + bw = Lnwϑbw
y(w) = bwϑ+1
Ası, las funcion de demanda es y(w) = bwϑ+1.
Para el sistema de ecuaciones diferenciales:
X =
1 12
−1 −6
X +
−60
36
,
3
la solucion general del sistema homogeneo se obtiene:∣∣∣∣∣∣
λ− 1 −12
1 λ+ 6
∣∣∣∣∣∣
= λ2 + 5λ+ 6 = 0.
Es decir,λ = −3 y λ = −2.
Para λ = −3, el vector propio es:
−3
1
d1.
Para λ = −2, el vector propio es:
−4
1
d2.
Luego la solucion del sistema homogeneo es:
X = d1
−3
1
e−3t + d2
−4
1
e−2t.
La solucion particular se obtiene de hacer X = 0, luego
Xp =
−1 −12
1 6
−1
−60
36
=
12
4
La solucion del sistema es:
X = d1
−3
1
e−3t + d2
−4
1
e−2t +
12
4
.
Convertir el sistema de ecuaciones diferenciales
x = 2x+ 3y + 7
y = 5− x− 2y
en ecuacion diferencial lineal de segundo orden.
Derivando la segunda ecuacion del sistema se obtiene: y = −x − 2y.
4
Reemplazando x de la primera ecuacion del sistema: y = −2x − 3y −
7− 2y. Ahora, reemplazando x de la segunda ecuacion se obtiene: y =
−2(5 − 2y − y) − 3y − 7 − 2y, es decir, y − y = −17. Trate de hallar
una ecuacion diferencial de segundo orden para x.
Resolver x− 4x− 3et 3√x = 0.
Es una ecuacion de Bernoulli, de la forma: x + p(t)x = Q(t)xn. Ası,
x−4x = 3et(x)1/3. La sustitucion z = x1−n, es decir, z = x1+1/3 = x2/3,
transforma la ecuacion diferencial de Bernoulli en ecuacion diferencial
lineal. De tal manera que, z = 23x−1/3x. Despejando para x se tiene:
x = 3z2x1/3 . La solucion de la ecuacion de Bernoulli es:
z(t) = e−∫(1−n)p(t)dt
[
c+
∫
(1− n)Q(t)e∫(1−n)p(t)dtdt
]
z(t) = e−∫
23(−4)dt
[
c+
∫2
33ete
∫23(−4)dtdt
]
z(t) = e−∫− 8
3dt[
c+
∫
2ete−83tdt
]
z(t) = e83t[
c+ 2
∫
e−5b3 dt
]
z(t) = e8t3
[
c+ 2(−3e
−5t3
5
)]
z(t) = c8t3 −
6
5e−
−5t3 − e
8t3
z(t) = ce8t3 −
6
5e(−
5t3+ 8t
3)
z(t) = ce8t3 −
6
5et .
Si la demanda y la oferta son respectivamente: QD = x − yp + zP ,
QO = −r + wP con x, y, z, r, wz > 0, hallar el precio de equilibrio.
5
El precio de equilibrio (P ∗) se obtiene igualando las cantidades de oferta
y demanda, ası: QD = QO. Es decir, QD−QO = 0. Luego x−yp+
zP = −r + wp. Donde P = dpdt.
x− yp+ zP + r − wp = 0
P −y + w
zp = −
x+ r
z
Solucion de ecuacion diferencial lineal de primer orden:
p(t) = e−∫− (y+w)
zdt[∫
−(x+ r)
ze∫− (y+w)
zdtdt+ c
]
.
p(t) = e(y+w)t
z
[
c+− (x+r)
z
− (y+w)z
e−(y+w)t
z
]
.
p(t) = ce(y+w)t
z +(x+ r)
(y + w).
Si Qd = 4p − 2p − 3p − 7 representa una funcion de demanda que
depende del precio (p(t)), los cambio del precio con respecto al tiempo
(p(t)) y expectativas del cambio del precio (p(t)). La oferta es Qo =
3p − 3p − 9p − 5, de tal manera que al igualar oferta y demanda se
obtiene:
p− 5p− 6p = 2.
Cuyo polinomio caracterıstico es b2− 5b+6 = 0. Ası, b = 3 y b = 2 son
las raıces. De tal manera que la solucion de la ecuacion diferencial es:
p(t) = c1e3t + c2e
2t +1
3.
Para las condiciones iniciales p(0) = 2, p(0) = 4 se tiene que:
p(t) =2
3e3t + e2t +
1
3.
6
Supongamos que los cambios en la produccion Q con respecto a la mano
de obra L estan expresados a traves de:
dQ
dL=
aL+ bQ
cL+mQ.
¿En que caso es una ecuacion diferencial exacta?¿Cual es la solucion?
dQ(cL+mQ) = (aL+ bQ)dL,
es decir, (cL+mQ)dQ+(−aL− bQ)dL = 0. La condicion para que sea
exacta es c = −b.
Ahora, por ser ecuacion diferencial exacta:
(1)∂F
∂L= −aL− bQ
(2)∂F
∂Q= (cL+mQ)
De (2),
F (L,Q) =
∫
(cL+mQ)dQ+G(L)
(3) F (L,Q) =mQ2
2+ cQL+G(L)
De (1) y (3),∂F
∂L= cQ+G′(L) = −(aL+ bQ),
entonces G′(L) = −aL; de donde G(L) = −aL2
2+K.
Ası, la funcion de produccion es F (L,Q) = −aL2
2+ cQL+ mQ2
2+K.
Resolver la ecuacion diferencial x = (b−ax)(x−c)x
.
Es de variables separables, por tanto dxdt
= (b−ax)(x−c)x
.
∫xdx
(b− ax)(x− c)=
∫
dt
7
Por fracciones parciales se resuelve la primera integral.
xdx(b−ax)(x−c)
= A(b−ax)
+ B(x−c)
= A(x−c)+B(b−ax)(b−ax)(x−c)
= (A−Ba)x−Ac+Bb(b−ax)(x−c)
.
Luego A−Ba = 1, −Ac+ Bb = 0.
De donde A = bb−ca
y B = cb−ac
.
Volviendo a la integral
∫xdx
(b− ax)(x− c)=
b
b− ac
∫dx
b− ax+
1
b− ac
∫dx
x− c=
=( −b
a(b− ac)
)
ln(b− ax) +( 1
b− ac
)
ln(x− c) = t+K
Ası, 1b−ac
[− baln(b− ax) + ln(x− c)] = t+K.
ln(b− ax)−b/a + ln(x− c) = t(b− ac) +K(b− ac).
ln[(b− ax)b/a(x− c)] = t(b− ac) +K1.
(b− ax)−b/a(x− c) = K2et(b−ac).
Hallar la funcion de demanda cuya elasticidad es Elty = ay + b.
Elty =dy
dt
t
y= ay + b
dy
y(ay + b)=
dt
t∫
dy
y(ay + b)=
∫dt
t
Por fracciones parciales:
1
y(ay + b)=
A
y+
B
(ay + b)=
A(ay + b) + By
y(ay + b)=
(Aa+B)y + Ab
y(ay + b).
(Aa+B)y + Ab = 1 de donde Aa+ B = 0 y Ab = 1.
A =1
by B = −
a
b.
8
Ası∫
dy
y(ay + b)=
∫ ( 1b
y−
ab
ay + b
)
dy =
∫ ( 1
by−
a
b(ay + b)
)
dy =
=1
bln(y)−
a
b
ln(ay + b)
a= ln(t) +K
ln y − ln(ay + b) = b ln(t) + bK
ln(y
ay + b) = b ln(t) + bK
y
ay + b= K1t
b
Entonces la funcion de demanda es y(t) = K1tbb1−aK1tb
.
Si Eltx = at+ b = dxdt
tx, hallar la funcion de demanda x(t).
xat+ bx
t=
dx
dt(at+ b
t
)
dt =dx
x
at+ bLnt = Lnx
x(t) = eat+bLnt = eatebLnt
x(t) = eattb.
En un modelo de crecimiento economico, la tasa de crecimiento de la
produccion yy= s
w, e decir, dy
ydt= s
w, dy
y= s
wdt.
Para hallar la funcion de produccion:∫
dy
y=
∫s
wdt
lny = swt+K. tal que y(t) = eke
swt.
Si y(0) = y0 es la produccion inicial, entonces: y(t) = y0eswt.
Es decir, que la produccion es creciente si sw> 0, o decreciente si s
w< 0.
9
Hallar y clasificar los puntos de equilibrio de
x = y − x,
y = y + 2− x2.
Si x = y = 0, entonces
y = x,
y = x2 − 2.
Los puntos de equilibrio estan cuando x2 − 2 = x.
Es decir x2 − x− 2 = 0 ; x = 2, x = −1.
Por lo tanto x = 2, y = 2 ; x = −1, y = −1.
El diagrama de fase correspondiente es:
y
x
y = 0
x = 0
+ −
−++−
− +
10
Ejercicios
Representar el diagrama de fase y clasificar los puntos de equilibrio en
los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales.
• x = y − x+ 8
y = y + x− 5
• x = (x− 3)(x+ 3)x− y
y = y − x2 + 3
• x = y + x2 + 6
y = 3x− y + 1
• x = −x− xy
y = x2y − y
Si se ahorra $500 mensualmente y la tasa de interes de oportunidad es
r = 0,005 (es decir, 0.5%) mensual. Efectivo durante tres anos cuanto
lograr ahorrar?
Si la demanda de un bien es Qdt = a − bPt y la oferta es Q0
t = C +
dPt de tal manera que el precio cambia entre dos periodos de tiempo
consecutivos, proporcionalmente con los excedentes de demanda Qt −
Pt+1 − Pt = w(Qdt −Q0
t ).
Sea Yt el ingreso nacional, It la inversion total, St el ahorro total en
el perıodo t. El ahorro el proporcional al ingreso: St = aYta > 0. La
inversion es proporcional a la variacion del ingreso It = b(Yt−Yt−1)b >
0. Si el ahorro es igual a la inversion It = St, hallar el ingreso Yt en
cualquier momento t tal que Y0 es el ingreso inicial.
11
Supongamos que los cambios en la produccion Q con respecto a la mano
de obra L estan expresados a traves de dQdL(cL+mQ) = (aL+ bQ). ¿En
que caso es una ecuacion diferencial exacta? ¿y cual es la solucion?
Si m1 = 4, m2 = m3 = −5 son las raıces de la ecuacion caracterısti-
ca de una ecuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes.
¿Cual es la ecuacion diferencial y como es la solucion general?
La funcion de produccion Q = KaL1−a se puede expresar como Q =
Lka, de tal forma que k = (K/L). Definiendo Q/L = ϕ(k) la pro-
duccion per capita, obtenemos la ecuacion diferencial que representa
el equilibrio en el modelo Solow: k0 = ska − λk. S es la propension
a ahorrar y λ la tasa de crecimiento del trabajo. Hallar la solucion
de esta ecuacion y analizar cuando t → ∞. Si aumenta la tasa de
crecimiento del trabajo que pasa con el estado de equilibrio. Represen-
tar graficamente la curva de fase y el tipo de equilibrio e interpretar
economicamente.
Sea la demanda y la oferta de un bien: Qd = a − bP + sdPdt; Q0 =
−c+ dP ; (a, b, c, d > 0). Suponga que la tasa de crecimiento del precio
en funcion del tiempo es directamente proporcional al excedente de
demanda. Hallar la trayectoria temporal del precio P (t).Que restriccion
sobre el parametro s asegurarıa la estabilidad dinamica.
Sea la demanda y la oferta de un bien: Qdt = 21 − 2Pt; Q0t = −3 +
6Pt; Pt+1 = Pt − 0,3(Q0t − Qdt.) Hallar la trayectoria temporal Pt y
determinar si es convergente.
Sea p la tasa de inflacion
(
p = PP
)
; π la tasa de inflacion esperada.
12
Interpretar (1) dπdt
= j(p − π) cuando (0 < j ≤ 1). Sea U la tasa
de desempleo, m la tasa de crecimiento del nivel de dinero nominal(
m = MM
)
; interpretar (2) dUdt
= −k(m − p). Sea p = 16− 3U + 1
3π,
j = 3/4 y k = 1/2 en las ecuaciones (1) y (2) respectivamente, hallar
las trayectorias para p(t), π(t), U(t).
Suponga que las funciones de demanda y oferta de un bien son: qd =
a + bp; q0 = c + dp respectivamente, donde b < 0, d > 0, a > 0. Un
modelo continuo de ajuste de precio es representado por: dpdt
= z(qd−q0)
con z > 0. Las funciones de demanda qd, oferta q0 y precio p se asumen
continuas en el tiempo. Hallar la funcion de precio p(t) e interpretar
economicamente.
Consideramos una forma continua del modelo de crecimiento de Harrod-
Domar. El ahorro S es proporcional al ingreso Y. S = sY. La inversion
I, es decir el cambio en el stock de capital K es proporcional al cambio
en el ingreso sobre el tiempo Y. I = K = vY.
En equilibrio la inversion es igual al ahorro. I = S.
Si s representa la propension marginal (promedio) a ahorrar y v el
coeficiente de inversion, entonces el modelo se sintetiza a traves de las
siguientes ecuaciones:
S = sY
I = K = vY
I = S
Obtenga una ecuacion diferencial con Y como variable dependiente del
tiempo t. Resolver la ecuacion diferencial, si I(t = 0) = I0, S(t = 0) =
S0, Y (t = 0) = Y0 son las condiciones iniciales. Cual es la tasa de creci-
13
miento del ingreso que tiene la economıa. Interpretar economicamente.
Mostrar que el diagrama de fase en dos variables puede ser usado, si el
modelo economico es una ecuacion diferencial de segundo orden y′′ =
f(y′, y). Es decir no solo sirve para representar sistemas de ecuaciones.
Suponga que y′′ = y′ + ln y. Representar el diagrama de fase.
Hallar la trayectoria temporal (solucion general) de π y u en el siguiente
sistema:
p = (1/6)− 2u+ (1/3)π
π′ = (1/4)(p− π)
u′ = −(1/2)(m− p)
Ecuaciones en diferencia
Ejemplos
Ejercicios
Para la ecuacion Xt+2 − (b + k)Xt+1 + kX1 = a(1 + c)1, donde a,b,c,k
son constantes, hallar la solucion particular Xt y la condicion para que
la ecuacion sea estable.
Probar y verificar que Xt = A2t+Bt2t+1 es la solucion de la ecuacion
Xt+2 − 4Xt+1 + 4Xt = 1
Ct consumo, Yt ingreso, Kt stock de capital, tal que Ct = αYt−1, Kt =
βYt−1, Yt = Ct + Kt − Kt−1. Si α, β son positivas, interpretar las
14
ecuaciones; solucionar la ecuacion en diferencia de 2◦ orden que conecta
al sistema.
Otro modelo Yt = Ct + It, Ct+1 = aYt + b It+1 = d(Ct+1 − Ct).
Hallar la ecuacion en diferencia que conecta a las anteriores ecuaciones
y resolverla. Interpretar cada una de las ecuaciones.
Hallar la solucion de 3yt−2+5yt−3+4−3(2)t = 0 que cumple la condicion
inicial Y0 = 2
3Xt−2 −Xt−1 = 2e−3t − 4t
El polinomio caracterıstico de a1Xt+2+a2Xt+1+a3Xt = 0 es a1b2+a2b+
a3 = 0. Hallar el polinomio caracterıstico de −4Xt+1−3Xt+8Xt−1 = 0
Suponga un modelo con dos industrias, representado matricialmente
por:
Xt+1 − AXt = Dt. En donde A es una matriz de 2x2. Si Dt =
at
at
=
1
1
at. Hallar la solucion particular del modelo dinamico input - out-
put.
Optimizacion dinamica
Ejemplos
∫ √2
0−x2 + 3xx− 2x2dt; x(0) = 1; x(
√2) = e
Fx = −x2 + 3xx− 2x2
15
F ′x = −2x+ 3x
F ′x = 3x− 4x
F ′x = F ′′
xt + F ′′xxx+ F ′′
xxx
F ′′xt = 0
F ′′xx = 3
F ′′xx = −4
−2x+ 3x = 3x− 4x; 4x+ 3x− 3x− 2x = 0; 4x− 2x = 0
4b2 − 2 = 0; 2(b2 − 1) = 0; (b− 1)(b+ 1) = 0; b1 = 1, b2 = −1
xt = C1et + C2e
−t
1 = C1 + C2
e = C1e√2 + C2e
−√2
C2 = 1− e−C2e−√
2
e√2
Max∫ T
0edt U
a︷ ︸︸ ︷(
F (kct)− k(t)− bk(t))
dt ko; k(T ) = kT
Fk = e−dtu(a)
F ′x = e−dtu′
x(a)
F ′k= e−dt (u′
k(a))
F ′′kt= −de−dtukt
F ′′xx = e−dt
(
u′′kk(a)
)
F ′′xx = e−dt
(
u′′kk(a)
)
.
Ejercicios
Sea p(t) = at∫
−∞[D(p(w))− S(p(w))]dw ; a > 0. (∗)
P(t) representa el ındice de precios en el instante t; D(p) y S(p) repre-
sentan la demanda y la oferta agregada respectivamente. Ası la ecua-
16
cion anterior significa que la tasa de aumento de precios es proporcio-
nal al total acumulado de todos los excesos de demanda pasados. Si
D(p) = d0+d1 p y S(p) = s0+ s1 p con d1 < 0 y s1 > 0, derivar (*) con
respecto a t para obtener una ecuacion diferencial de segundo orden
para p(t). Hallar la solucion general de esta ecuacion.
Hallar la trayectoria c(t) que maximiza
V =4∑
t=1
e−dtLn(c(t)) dt s.a st+1 − st = rst − ct; s1 = 1, s5 = 4
MaxT∫
0
(e−rt ln(c(t))) dt s.a. ps(t) = c(t) + s(t)s(0) = s0, s(T ) = ST .
Realizar un diagrama de fase para el sistema de ecuaciones obtenido.
Hallar las trayectorias que maxT∫
0
e−pt
((c(t)
)1−u)
1−udt s.a. K = bK − c,
K(0) = 0, K(T ) = KT .
Hallar la trayectoria que Max
√2∫
0
−x2+3xx−2x2 dt que satisface x(0) =
1, x(√2) = e.
MaximizarT∫
0
lnC(t)dt s.a. x = −L, K = AK1−aLa − C; tal que
K(0) = K0, K(T ) = 0. Plantear la funcion de Hamilton y las condicio-
nes del maximo.
Para el problema MaxT∫
0
e−dtU(F (K(t))) − K(t) − bK(t)dt tal que
K(0) = K0, K(T ) = KT , plantear la ecuacion de Euler.
Max v(t) =5∫
1
(3t+ x)1/2 dt s.a. x(1) = 3, x(5) = 7.
Considere el siguiente problema de crecimiento economico:
max
T∫
0
Ln(C(t))e−rt dt s.a. K(0) = K0, K = F (K(t))−C(t)−dK(t).
17
De tal manera que el producto F (K) se consume e invierte: F (K) =
C+ I. Suponga que el producto es proporcional al capital F (K) = aK.
Hallar la funcion de consumo y capital optima.
Hallar el valor extremo de J y determinar si es maximo o mınimo,
J =2∫
0
(ty + y2) dts.a. y(0) = 0, y(2) = 8.
Hallar la funcion que maximiza o minimizaT∫
0
√1+x2
xdt s.a. x(0) =
0, x(T ) = T − 5.
Hallar la funcion que maximiza o minimizaT∫
0
ln(c(t))dt s.a. k(t) =
rk(t)−c(t), k(0) = k0, k(t) = 0. Para el sistema de ecuaciones dife-
renciales que solo involucra la variable de estado y control representar
el diagrama de fase.
Encontrar la trayectoria de control, estado y el multiplicador en el
problema: max1∫
0
−12(y2 + u2)dt sujeto a y = u− y y y(0) = 1.
Hallar la funcion que maximiza o minimiza Λ =π/2∫
0
(y2 − y2)dt, tal que
y(0) = 0 y y(π/2) = 1. Determinar si es maximo o mınimo.
Dos factores: K(t) capital y R(t) un recurso de extraccion son usados
para producir un bien Q, utilizando la funcion de produccion Q =
AK1−aRa donde 0 < a < 1. El bien puede ser consumido generando
utilidad U(C) = LnC donde C(t). La cantidad total de recurso de
extraccion disponible es X0. Se quiere maximizar la utilidad sobre un
horizonte fijo T. MaxT∫
0
LnC(t)dt sujeto a X ′ = −R,X(0) = X0,
18
X(T ) = 0, K ′ = AK1−aRa − C, K(0) = K0, K(T ) = 0. Recuerde que
el stock del recurso extraible es X(T ).
Control optimo
Hallar la funcion que maximiza o minimizaT∫
0
ln(c(t))dt s.a. k(t) =
rk(t)−c(t), k(0) = k0, k(t) = 0. Para el sistema de ecuaciones dife-
renciales que solo involucra la variable de estado y control representar
el diagrama de fase.
Encontrar la trayectoria de control, estado y el multiplicador en el
problema: max1∫
0
−12(y2 + u2)dt sujeto a y = u− y y y(0) = 1.
Dos factores: K(t) capital y R(t) un recurso de extraccion son usados
para producir un bien Q, utilizando la funcion de produccion Q =
AK1−aRa donde 0 < a < 1. El bien puede ser consumido generando
utilidad U(C) = LnC donde C(t). La cantidad total de recurso de
extraccion disponible es X0. Se quiere maximizar la utilidad sobre un
horizonte fijo T. MaxT∫
0
LnC(t)dt sujeto a X ′ = −R,X(0) = X0,
X(T ) = 0, K ′ = AK1−aRa − C, K(0) = K0, K(T ) = 0. Recuerde que
el stock del recurso extraible es X(T ). Sugerencia: Es conveniente
definir y(t) = R/K, para simplificar el desarrollo del ejercicio.
MaximizarT∫
0
lnC(t)dt s.a. x = −L, K = AK1−aLa − C; tal que
K(0) = K0, K(T ) = 0. Plantear la funcion de Hamilton y las condicio-
nes del maximo.
Hallar las trayectorias que maxT∫
0
e−pt
((c(t)
)1−u)
1−udt s.a. K = bK − c,
K(0) = 0, K(T ) = KT .
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Calculo de Variaciones
Hallar la funcion que maximiza o minimizaT∫
0
√1+x2
xdt s.a. x(0) =
0, x(T ) = T − 5.
Hallar la funcion que maximiza o minimiza Λ =π/2∫
0
(y2 − y2)dt, tal que
y(0) = 0 y y(π/2) = 1. Determinar si es maximo o mınimo.
Para el problema MaxT∫
0
e−dtU(F (K(t))) − K(t) − bK(t)dt tal que
K(0) = K0, K(T ) = KT , plantear la ecuacion de Euler.
Max v(t) =5∫
1
(3t+ x)1/2 dt s.a. x(1) = 3, x(5) = 7.
Considere el siguiente problema de crecimiento economico:
max
T∫
0
Ln(C(t))e−rt dt s.a. K(0) = K0, K = F (K(t))−C(t)−dK(t).
De tal manera que el producto F (K) se consume e invierte: F (K) =
C+ I. Suponga que el producto es proporcional al capital F (K) = aK.
Hallar la funcion de consumo y capital optima.
Hallar el valor extremo de J y determinar si es maximo o mınimo,
J =2∫
0
(ty + y2) dts.a. y(0) = 0, y(2) = 8.
Hallar la trayectoria que Max
√2∫
0
−x2+3xx−2x2 dt que satisface x(0) =
1, x(√2) = e.
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Bibliografıa
• Casas D. (2012). Elementos de economıa matematica. Ed. Unisa-
lle. Bogota D.C.
• Casas D. (2012). Elementos de ecuaciones diferenciales y en dife-
rencia. Ed. Unisalle. Bogota D.C.
• Casas D. (2013). Elementos de optimizacion dinamica. Ed. Uni-
salle. Bogota D.C.
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