ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ
TRANSCRIPT
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Уральский государственный технический университет – УПИ
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Печатается по решению редакционно-издательского совета
УГТУ – УПИ от 18.01.2008 г.
Екатеринбург УГТУ – УПИ
2009
УДК 502.174.3 (075.8)
Составители: Г.С. Новикова
Научный редактор доцент, канд. физ.-мат. наук Дружинина Т.В.
Динамика материальной точки. Криволинейное движение : сборник зада-
ний для самостоятельной работы по курсу «Теоретическая механика»/ сост.
Г.С. Новикова. Екатеринбург: УГТУ – УПИ, 2009. 21 с.
Сборник предназначен для выдачи домашних заданий, расчетно-
графических и контрольных работ для студентов всех специальностей и
всех форм обучения.
Рис. 30
Подготовлено кафедрой теоретической механики
© Уральский государственный технический университет – УПИ, 2009
3
ВВЕДЕНИЕ
Сборник содержит 30 задач по теме «Динамика материальной точки.
Криволинейное движение». Предполагается, что он будет использоваться сту-
дентами при выполнении индивидуальных расчетных заданий, предусмотрен-
ных типовой программой курса «Теоретическая механика». В задачах заданные
силы предполагаются линейными функциями координат точки, её абсолютной
или относительной скорости. Поэтому дифференциальные уравнения будут ли-
нейными и имеют аналитическое решение. При решении возможно использо-
вание вычислительной техники как для численного интегрирования уравнений
движения, так и для построения графиков движения и траектории при аналити-
ческом решении систем уравнений.
Указания к выполнению заданий
При работе над задачей необходимо построить расчетную механическую
модель, заменив заданное тело материальной точкой, показать на рисунке для
произвольного положения )( y,xM действующие силы и записать в векторной
форме уравнение движения.
Действующие упругие силы и силы сопротивления выразить через ради-
ус-вектор )( y,xrr и абсолютную скорость точки )( y,xνr .
Затем составить дифференциальные уравнения движения в проекциях на
выбранные оси координат. Проинтегрировав уравнения аналитически или чис-
ленно, получаем решения )()( ty,tx . В большинстве задач решение имеет харак-
тер затухающих колебаний. Найти период Т и декремент D этих колебаний.
Построение графиков движения )()( ty,tx провести по точкам на участке
одного периода (если периоды для решений различные, то взять наибольший)
с шагом, например, 24/T . Для численного интегрирования принять шаг
240/Th = . Для продолжения построения на весь период переходного режима
на установившееся движение можно использовать Т и D. Время переходного
режима можно оценить примерно по формуле n/3=τ , где m/n 2μ= . При «ус-
4
ложнении» задач рекомендуется силы сопротивления считать пропорциональ-
ными квадрату скорости 02νμν−=R , где νν=ν /
0− единичный вектор, ν и
\ν − вектор и модуль скорости.
В вариантах 4, 5, 10, 14, 23, 25, 27 силу сопротивления принять в виде
jViVR yx2
22
1 μ−μ−= .
Пример решения задачи
Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна
m, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной
расстоянию до этого центра. Движение
происходит в пустоте; сила притяжения на
единице расстояния равна m2μ ; в момент
0=t : ,0;0;0; 00000 ===== yyxaxOM &&
причем ось y направлена по вертикали вниз
(см. рисунок).
Согласно второму закону Ньютона
,FPam += где .2 OMmF ⋅μ=
В проекциях на оси координат получим
α⋅μ−= sin2 OMmxm && ;
α⋅μ−= cos2 OMmmgym && ,
где .cos,sin α⋅=α⋅= OMyOMx
Тогда ,2mxxm μ−=&&
.2mymgym μ−=&&
Окончательно дифференциальные уравнения движения будут иметь вид
5
.
,2
2
ygy
xx
μ−=
μ−=
&&
&&
Решение первого линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка 02 =μ+ xx&& ищем в зависимости от вида корней характеристи-
ческого уравнения, для чего в уравнении подставляем tex λ= и получаем харак-
теристическое уравнение
,022 =μ+λ откуда .2,1 μ±=λ i .
Так как корни характеристического уравнения мнимые и различные, ре-
шением уравнения будет
.sincos 21 ktcktcx +=
Для определения постоянных интегрирования 1c и 2c определим скорость
.cossin 21 ktkcktkcx +−=&
Решение второго неоднородного дифференциального уравнения с посто-
янной правой частью
gyy =μ+ 2&&
будет складываться из общего решения однородного уравнения 012
1 =μ+ yy&& и
частного решения неоднородного ,22
2 gyy =μ+&& то есть ,0, 22 == yAy && тогда
,2 gA =μ .2μ=
gA
Полное решение 21 yyy += :
.sincos 221μ
++=gktcktcy
Скорость
.cossin 21 ktkcktkcy +−=&
Согласно начальным условиям: 0,0 00 == yy & из этих уравнений получим
.0; 221 =μ
−= cgc
6
Тогда закон движения точки в проекции на ось у будет
).cos1(2 ktgy −μ
=
Окончательно закон движения материальной точки в проекциях на оси
координат будет
,cosktax =
).cos1(2 ktgy −μ
=
Исключив из этих уравнений время t, получим траекторию точки: отрезок
прямой
;12 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
μ=
axgy .20; 2μ
≤≤≤≤−gyaxa
7
Задача 1. Вагонетка подвесной дороги массы m поднимается заданной
силой Q. Трос − упругий, силу упругости его считать пропорциональной попе-
речной деформации AMcF ⋅−= .
Сопротивление среды пропорционально
скорости VR μ−= . Прямая 1OO определяет точ-
ки, где поперечная деформация троса равна нулю.
Движение вагонетки началось из точки O, началь-
ная скорость )(OVM указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки.
Построить графики движения и траекторию.
Дано: µ = 1,4 · 10³ Н·c/м; α = 30°; Q = 7 · 10³ Н; )(OVM = 1,8 м/c;
m = 1,3 · 10³ кг; c = 12 · 10³ Н/м.
Задача 2. Аэростат, имеющий массу m, буксируется с постоянной скоро-
стью AV . Разность архимедовой силы и веса его направлена вертикально вверх
и равна 0,1mg . Трос − упругий, силу упругости считать пропорциональной рас-
стоянию AM, AMcF ⋅−= . Сила сопротивления
среды пропорциональна скорости VR μ−= . В
начальный момент времени скорость аэростата
)(OVM вертикальна, точка А находилась в начале
координат. Принять 0=OAM . Найти уравнения
движения аэростата. Построить графики движения
и траекторию.
Дано: m = 0,8 · 10³ кг; AV = 5 м/с; с = 1,1 · 10³ Н/м; µ = 0,28 · 10³ Н·c/м;
)(OVM = 0,9 м/c.
8
Задача 3. Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через непод-
вижное гладкое кольцо О; к свободному концу её прикреплен шарик М, масса
которого m. Длина невытянутой нити l = АО. Ко-
эффициент жесткости нити с. Вытянув нить по
вертикали вдвое, сообщили шарику начальную
горизонтальную скорость )(OVM . При движении
на шарик действует сила сопротивления среды,
пропорциональная скорости VR μ−= . Найти
уравнения движения шарика. Построить графики
движения и траекторию.
Дано: m = 0,2 кг; с = 20 Н/м; µ = 0,8 Н·c/м; )(OVM = 20 м/c; l = 1м.
Задача 4. Платформа массы m на воздушной подушке разгоняется по-
стоянной силой Q. Упругие силы реализуется силами системы воздушной по-
душки. Считать эквивалентную упругую силу, пропорциональной вертикаль-
ному отклонении AMcF ⋅−= . Прямая OA соответствует уровню, где F = 0. Си-
лы вязкого сопротивления в горизонтальном и вертикальном направлениях
пропорциональны соответствующим со-
ставляющим скорости, коэффициенты
пропорциональности равны µ1 и µ2. На-
чальная скорость платформы )(OVM ука-
зана на рисунке. Найти уравнения дви-
жения платформы. Построить графики
движения и траекторию.
Дано: m = 12 · 103 кг; с = 1,4 · 106 Н/м; Q = 4,8 · 104 Н; µ1 = 0,9 · 104 Н·c/м;
µ2 = 1,7 · 105 Н·c/м; )(OVM = 0,7 м/c.
9
Задача 5. Груз М массы m букси-
руется с заданной постоянной скоростью
AV . Трос − упругий, силу упругости его
считать пропорциональной продольной
деформации AMcF ⋅−= 11 . Амортизаторы
создают упругую силу, пропорциональную вертикальному отклонению от неде-
формированного состояния BMcF ⋅−= 22 . Силы сопротивления среды в горизон-
тальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим со-
ставляющим скорости. Коэффициенты пропорциональности равны 1μ и 2μ , на-
чальная скорость )(OVM вертикальна. Найти уравнения движения. Построить
графики движения и траекторию.
Дано: m = 6 · 103 кг; VA = 4,2 м/c; с1 = 3,6 · 105 Н/м; с2 = 1,2 · 105 Н/м;
µ1 = 1,5 · 104 Н·c/м; µ2 = 6 ·104 Н·c/м; Vм(О) = 1,6 м/c; B0M0 = 1,5 м;
OB0 = 0; OA0 = 0,4 м.
Задача 6. К концу горизонтально натянутой упругой нити AM, закреп-
ленной в точке A и проходящей через неподвижное гладкое кольцо O, привязан
груз М массы m. В начальный момент
нить растянута на величину OM0 и груз
отпущен без начальной скорости. Сила уп-
ругости пропорциональна удлинению.
Коэффициент пропорциональности
равен с. Длина недеформированной нити
AOl = . Сила сопротивления среды пропорциональна скорости VR μ−= . Найти
уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию.
Дано: m = 0,6 кг; с = 15 Н/м; µ = 2,4 Н·c/м; l = 1 м; OM0 = 0,8 м.
10
Задача 7. Груз массы m подвешен на упругом тросе, сила упругости ко-
торого пропорциональна продольной деформации OMcF ⋅−= . На него дейст-
вует постоянная сила Q , направленная под уг-
лом α к горизонту. Сила вязкого сопротивления
движению пропорциональна скорости
VR μ−= . Найти уравнения движения груза, ес-
ли в начальный момент его скорость )(OVM го-
ризонтальна, трос был вертикальным, OM0 −
начальная деформация троса. Построить гра-
фики движения и траекторию.
Дано: m = 1,5 · 102 кг; с = 1,7 · 103 Н/м; µ = 2,6 · 102 Н·c/м; α = 30°;
Q = 2,8 · 102 Н; )(OVM = 2,2 м/c; OM0 = 0,8 м.
Задача 8. Понтон массы m, находящийся в потоке жидкости, удержива-
ется упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформа-
ции AMcF ⋅−= 11 . Скорость потока U указана на рисунке. Архимедова сила
пропорциональна величине погруже-
ния BMcF ⋅−= 22 , Сила вязкого со-
противления пропорциональна отно-
сительной скорости отнVR μ−= . Най-
ти уравнения движения понтона, если
начальная скорость его )(OVM верти-
кальна. Построить графики движения
и траекторию.
Дано: m = 20 · 103 кг; с1 = 16 · 105 Н/м; с2 = 4,3 ·105 Н/м;
µ = 4,1 · 104 Н·c/м; U = 2,6 м/c; )(OVM = 0,23 м/c; AM0 = 1 м; BM0 = 0.
11
Задача 9. Вагонетка подвесной дороги массы m свободно опускается по
тросу. Трос − упругий, силу упругости считать пропорциональной поперечной
деформации AMcF ⋅−= . Сопротивление
среды пропорционально скорости
VR μ−= . Прямая 1OO определяет точки,
где поперечная деформация троса равна
нулю. Движение вагонетки началось из
точки O, начальная скорость )(OVM указана на рисунке. Найти уравнения дви-
жения вагонетки. Построить графики движения и траекторию.
Дано: m = 5 · 102 кг; с = 6,1 · 103 Н/м; µ = 4,3 · 102 Н·c/м; α = 10°;
)(OVM = 1,8 м/c.
Задача 10. Дирижабль массы m находится в воздушном потоке, скорость
которого U. Трос, который удерживает дири-
жабль у причальной мачты, − упругий, сила
упругости пропорциональна продольной де-
формации OMcF ⋅−= . Разность архимедо-вой
силы и веса направлена вертикально вверх, и
равна 0,2mg. Силы вязкого сопротивления в
вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны соответст-
вующим составляющим относительной скорости. Коэффициенты пропорцио-
нальности равны 1μ и 2μ . В начальный момент скорость дирижабля )(OVM .
Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и
траекторию.
Дано: m = 65 · 103 кг; с = 1,3 · 105 Н/м; µ1 = 5,8 · 104 Н·c/м;
µ2 = 1,7 · 104 Н·c/м; U = 5 м/c; )(OVM = 1,7 м/c; 0OM = 0,5 м; UOM ⊥0 .
12
Задача 11. Катер массы m разгоняется горизонтальной постоянной си-
лой. При этом, имея начальную
скорость погружения в воду
)(OVM , он совершает колебания
под действием архимедовой силы,
пропорциональной глубине по-
гружаемой части катера
AMcF ⋅−= . На катер действует
сила сопротивления воды, пропорциональная скорости VR μ−= . Найти уравне-
ния движения катера. Построить графики движения и траекторию.
Дано: m = 1,5 · 103 кг; с = 4,5 · 103 Н/м; µ = 1,6 · 103 Н·c/м; Q = 3,1 · 103 Н;
)(OVM = 1,3 м/c; точка A − проекция центра масс катера на поверхность воды.
Задача 12. Подводный аппарат массы m буксируется с заданной скоро-
стью AV . Буксировочный трос − упругий, сила упругости AMcF ⋅−= , где
AM − продольная деформация. Раз-
ность архимедовой силы и веса ап-
парата равна 0,3mg и направлена
вертикально вниз. Сила сопротив-
ления среды VR μ−= . Найти урав-
нения движения аппарата, если его
начальная скорость )(OVM верти-
кальна. Построить графики движе-
ния и траекторию.
Дано: m = 5,5 · 103 кг; VA = 2 м/c; с = 8 · 104 Н/м; µ = 5,3 · 103 Н·c/м;
)(OVM = 0,6 м/c; при t = 0 аппарат находится под буксиром на глубине 0,5 м.
13
Задача 13. Висящий на тросе груз массы m с боковыми амортизаторами
совершает свободные колебания под действием силы упругости троса
OMcF ⋅−= 11 (OM − продольная деформация) и сил упругости амортизаторов,
равнодействующую которых можно считать горизонтальной и пропорциональ-
ной горизонтальному отклонению от недефор-
мированного состояния пружин: xcF x ⋅−= 22 . Сила
сопротивления среды пропорциональна скорости
VR μ−= . Найти уравнения движения груза, если
начальная скорость его )(OVM горизонтальна, трос
OM0 − вертикален. Построить графики движения и
траекторию.
Дано: m = 2,4 · 103 кг; с1 = 23 · 104 Н/м; с2 = 8 · 104 Н/м; BM0 = 0,02 м;
µ = 8,3 · 103 Н·c/м; )(OVM = 0,9 м/c; OM0 = 0,2 м.
Задача 14. Буер массы m разгоняется ветром, скорость которого U по-
стоянна. Ледовую поверхность, по которой скользит буер, считать упругой.
Сила упругости пропорциональна поперечной деформаций AMcF ⋅−= . Силы
вязкого трения в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорцио-
нальны составляющим относительной скоро-
сти буера по этим направлениям, коэффици-
енты пропорциональности равны 1μ и 2μ .
Прямая OO1 указывает положения буера, где
F = 0. Начальная скорость буера )(OVM на-
правлена вертикально вниз. Найти уравнения
движения буера. Построить графики движения и траекторию.
Дано: m = 3,5 · 102 кг; с = 7,1 · 103 Н/м; µ1 = 14 · 102 Н·c/м;
µ2 = 2,1 · 102 Н·c/м; )(OVM = 1,4 м/c; U = 5 м/c.
14
Задача 15. Висящий на упругом тросе груз массы m находится в потоке
жидкости, движущейся с постоянной скоростью U. Сила упругости троса про-
порциональна продольной деформации OMcF ⋅−= . Разность веса груза и ар-
химедовой силы направлена вертикально вниз и равна 80,Q = mg. Сила вязкого
трения пропорциональна относительной
скорости груза отнVR μ−= . В начальный
момент груз был в равновесном положении
и получил начальную скорость )(OVM , на-
правленную под углом α к горизонту. Найти
уравнения движения груза. Построить гра-
фики движения и траекторию.
Дано: m = 9 · 103 кг; U = 8 м/c; с = 1,1 · 105 Н/м; µ = 1,9 · 104 Н·c/м;
α = 30°; )(OVM = 1,2 м/c.
Задача 16. Баржа массы m буксируется с заданной горизонтальной ско-
ростью VA в потоке жидкости, имеющем скорость U . Выталкивающая сила со
стороны воды пропорциональна глубине по-
гружения, коэффициент пропорционально-
сти − 1c . Сила упругости троса пропорцио-
нальна его продольной деформации
AMcF ⋅−= 22 . Сила сопротив-ления воды
пропорциональна относительной скорости
отнVR μ−= . Начальная скорость )(OVM указана на рисунке. За начало коорди-
нат принять начальное положение точки А, считать 00 =AM . Найти уравнения
движения баржи. Построить графики движения и траекторию.
Дано: m = 50 · 103 кг; VA = 4 м/c; U = 3 м/c; с1 = 2,8 · 105 Н/м;
с2 = 6,2 · 105 Н/м; µ = 7 · 104 Н·c/м; α = 30°; )(OVM = 0,7 м/c.
А
15
Задача 17. Тело массы m, брошенное с начальной скоростью )(OVM под
углом α к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротив-
ления воздуха, пропорциональной скорости VR μ−= . Найти уравнения движе-
ния тела, наибольшую высоту подъема,
расстояние по горизонтали, когда эта
высота будет достигнута, дальность по-
лета. Построить графики движения и
траекторию тела.
Дано: m = 5 кг; )(OVM = 20 м/c;
α = 60°; µ = 0,3 Н·c/м.
Задача 18. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, поднимается
краном с постоянной скоростью AV . Сила уп-
ругости троса пропорциональна продоль-ной
деформации AMcF ⋅−= . Сила сопро-
тивления воздуха пропорциональна скорости
груза VR μ−= . Начальная скорость )(OVM
горизонтальна, трос был вертикален,
00MA − начальная деформация. Найти урав-
нения движения груза. Построить графики
движения и траекторию.
Дано: m = 3 · 103 кг; VA = 2 м/c; с = 6,2 · 104 Н/м; µ = 4,5 · 103 Н·c/м;
)(OVM = 1,3 м/c; 00MA = 0,5 м.
16
Задача 19. Альпинист массы m спускается по упругому канату, который
в ненагруженном состоянии совпадает с прямой OO1, составляющей угол α с
горизонтом. Силу упругости каната
считать пропорциональной попереч-
ной деформации AMcF ⋅−= . Сила
сопротивления воздуха пропорцио-
нальна скорости VR μ−= . Начальная
скорость )(OVM показана на рисунке.
Найти уравнения движения альпини-
ста. Построить графики движения и
траекторию.
Дано: m = 80 кг; α = 15°; с = 6,5 · 102 Н/м; AM0 = 0; µ = 75 Н·c/м;
)(OVM = 1,5 м/c.
Задача 20. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается
краном с постоянной горизонтальной скоростью AV . Сила упругости троса
пропорциональна продольной его деформации AMcF ⋅−= . Движение проис-
ходит в среде, движущейся с постоянной скоростью U. Сила сопротивления
среды пропорциональна относительной скорости груза отнVR μ−= . В началь-
ный момент времени скорость груза )(OVM была горизонтальна, трос − вертикален,
00MA =1 м. Начальное положение точки А
принять за начало координат. Найти уравне-
ния движения груза. Построить графики дви-
жения и траекторию.
Дано: m = 5 · 103 кг; VA = 2,5 м/c; с = 5,3 · 104 Н/м; U = 3,3 м/c;
µ = 6,1 · 103 Н·c/м; )(OVM = 1,4 м/c.
17
Задача 21. Буй массы m удерживается в жидкости упругим тросом. Сила
упругости пропорциональна продольной деформации OMcF ⋅−= . На буй дей-
ствует постоянная по модулю сила Q, направленная под углом α к горизонту.
Разность архимедовой силы и веса буя равна 0,5mg и направлена вертикально
вверх (положительная плавучесть). При движении буя на него действует сила
сопротивления жидкости, пропор-
циональная скорости VR μ−= . Найти
уравнения движения буя, если в началь-
ный момент его скорость )(OVM верти-
кальна и направлена вверх, трос был вер-
тикальным и м,OM 100 = . Построить
графики движения и траекторию.
Дано: m = 1,2 · 102 кг; c = 6,2 · 103 Н/м; )(OVM = 0,7 м/c; Q = 4,2 · 102;
α = 40°; µ = 3,8 · 102 Н·c/м.
Задача 22. В лодку массы m1, привязанную к берегу упругим тросом,
запрыгивает человек массы m2, при этом лодка получает начальную ско-
рость )(OVM , направленную под углом α к горизонту. Начальная деформация
троса равна нулю. Коэффициент жесткости троса − 1с . Архимедова сила, дейст-
вующая на лодку при ее колебаниях, про-
порциональна глубине погружения. Коэф-
фициент пропорциональности − 2с . Сила
вязкого сопротивления зависит от скорости
по линейному закону VR μ−= . Найти урав-
нения движения лодки с человеком. По-
строить графики движения и траекторию.
Дано: m1 = 60 кг; m2 = 80 кг; )(OVM = 5 м/c; α = 15°; 1с = 500 Н/м;
2с = 8 · 103 Н/м; µ = 1,8 · 102 Н·c/м.
18
Задача 23. Судно массы m свободно дрейфует в потоке, скорость кото-
рого постоянна и равна U. Действующую на судно архимедову силу считать
пропорциональной глубине погружения с коэффициентом пропорциональности c.
Силы вязкого сопротивления движению в горизонтальном и вертикальном на-
правлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной
скорости, коэффициенты пропорциональ-
ности равны μ1 и μ2. В начальный момент
судно имело скорость )(OVM . Найти урав-
нения движения судна. Построить графики
движения и траекторию.
Дано: m = 150 · 103 кг; U = 2,5 м/c;
c = 6,3 · 105 Н/м; µ1 = 0,35 · 105 Н·c/м; µ2 = 1,2 · 105 Н·c/м; )(OVM = 2,3 м/c.
Задача 24. Груз массы m скользит по упругой ленте транспортера. В
ненагруженном состоянии лента занимает положение OO1, составляющее угол α
с горизонтом. В некоторый момент времени груз падает на ленту (в точке О) со
скоростью )(OVM , перпендикулярной ленте. Силу трения груза о ленту считать
пропорциональной его скорости VR μ−= . Сила поперечной упругости ленты
пропорциональна её прогибу AMcF ⋅−= .
На груз действует также постоянная
сила Q, параллельная OO1 и тормозящая
движение. Найти уравнения движения гру-
за. Построить графики движения и траек-
торию.
Дано: m = 60 кг; α = 15°; )(OVM =
1,5 м/c; µ = 80 Н·c/м;
c = 7,2 · 102 Н/м; Q = 45 Н.
19
Задача 25. Дирижабль массы m буксируется с заданной скоростью AV .
Буксировочный трос − упругий, силу упругости считать пропорциональной
продольной деформации AMcF ⋅−= , Разность архимедовой силы и веса ди-
рижабля равна 0,15 mg и направлена вертикально вверх. Силы сопротивления
воздуха в горизонтальном и вертикальном направлениях считать пропорцио-
нальными соответствующим составляющим скорости дирижабля. Коэффициен-
ты пропорциональности равны 1μ и 2μ . В начале
буксировки дирижабль получил начальную ско-
рость )(OVM и 00 =AM . Начальное положение
точки A принять за начало координат. Найти
уравнения движения дирижабля. Построить гра-
фики движения и траекторию.
Дано: m = 70 · 103 кг; VA = 3 м/c; c = 9 · 104 Н/м; µ1 = 1,5 · 104 Н·c/м;
µ2 = 8,2 · 104 Н·c/м; )(OVM = 0,9 м/c.
Задача 26. На дне резервуара находится груз массы m, привязанный
эластичным шнуром, коэффициент жесткости которого c. В некоторый момент
времени груз подцепили и стали вытаскивать с постоянной силой Q под углом
α к горизонту. Отрицательная плавучесть (разница между весом и архимедовой
силой) направлена вниз и равна G,N 50= , где G − вес груза. Вязкое трение во-
ды пропорционально скорости груза и определяется по формуле VR μ−= .
В момент зацепления груз касался блока О,
шнур был не деформирован, а груз полу-
чил начальную горизонтальную скорость
)(OVM . Найти уравнения движения груза.
Построить графики движения и траекто-
рию.
Дано: m = 50 кг; c = 200 Н/м; µ = 100 Н·c/м; Q = 1200 Н; α = 30°;
)(OVM = 8 м/c.
20
Задача 27. Судно массы m буксируется с постоянной горизонтальной
скоростью AV . Буксировочный трос − упругий, силу упругости считать пропор-
циональной продольной деформации AMcF ⋅−= 1 . В начальный момент судно
касалось буксира, трос не имел деформации, и начальная скорость )(OVM была
направлена вертикально вниз. Архимедову силу считать пропорциональной
глубине погружения судна, коэффициент пропорциональности равен с2. Силы
сопротивления воды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропор-
циональны соответствующим составляющим
скорости, 1μ и 2μ − коэффициенты пропор-
циональности. Найти уравнения движения суд-
на. Построить графики движения и траекто-
рию.
Дано: m = 270 · 103 кг; VA = 4,5 м/c; c1 = 0,45 · 106 Н/м; c2 = 1,3 · 106 Н/м;
µ1 = 0,4 · 105 Н·c/м; µ2 = 1,8 ·105 Н·c/м; )(OVM = 2,3 м/c.
Задача 28. Катер массы m движется против течения при отключенных
двигателях, имея начальную скорость )(OVM , направленную под углом α к го-
ризонту. Скорость течения U − постоянна. Архимедова сила пропорциональна
высоте погружения, коэффициент пропор-
циональности равен c. Со стороны воды ка-
тер испытывает сопротивление, пропор-
циональное относительной скорости
отнVR μ−= . Найти уравнения движения ка-
тера. Построить графики движения и траекторию.
Дано: m = 250 кг; α = 10°; )(OVM = 3 м/c; µ = 1,7 · 102 Н·c/м;
c = 2,9 · 103 Н/м; U = 5 м/c.
21
Задача 29. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается
подъемным краном с постоянной скоростью AV направленной под углом α к го-
ризонту. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации
AMcF ⋅−= . Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости
VR μ−= . В начальный момент времени ско-
рость груза )(OVM горизонтальна, трос был
вертикален, 00MA − начальная деформация
троса. Начало координат взять в начальном по-
ложении точки A. Найти уравнения движения
груза. Построить графики движения и траекто-
рию.
Дано: m = 500 кг; VA = 3 м/c; α = 30°; с = 8,5 · 103 Н/м; )(OVM = 1,8 м/c;
µ = 9 · 102 Н·c/м; A0M0 = 0,2 м.
Задача 30. Понтон массы m удерживается в потоке, скорость которого
U, упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации
OMcF ⋅−= 11 . Архимедова сила пропорциональна глубине погружения понто-
на, коэффициент пропорциональности − с2. Cо стороны жидкости на понтон
действует сила вязкого сопротивления, пропорциональная относительной ско-
рости .отнVR μ−=
В начальный момент времени понтон ка-
сался блока ( 00 =OM ) и имел скорость )(OVM ,
направленную по вертикали. Найти уравнения
движения понтона. Построить графики движе-
ния и траекторию.
Дано: m = 8 · 103 кг; U = 2 м/c; c1 = 8,4 · 104 Н/м; c2 = 9,2 · 104 Н/м;
µ = 3,1 · 104 Н·c/м; )(OVM = 2,1 м/c.
Динамика материальной точки. Криволинейное движение
Редактор О.С. Смирнова
Компьютерная верстка И.И. Иванов
Подписано в печать 24.10.08 Формат 60х84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ ____________________________________________________________________
Редакционно-издательский отдел УГТУ − УПИ 620062, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ризография НИЧ УГТУ − УПИ 620062, Екатеринбург, ул. Мира, 19