detección de bordes tumorales mediante contornos activos (snake) y caracterización mediante...
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Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Fısica
Deteccion de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) yCaracterizacion Mediante Analisis de Series Temporales
Br. Aileen Dyanne Quintana Rodriguez
MSc. Demian Pereira, Tutor
Dr. Miguel Martın, Co Tutor
Caracas, Septiembre 2006
Deteccion de Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) yCaracterizacion Mediante Analisis de Series Temporales
Br. Aileen Dyanne Quintana Rodriguez
Trabajo especial de grado presentado
ante la ilustre Facultad de Ciencias de la
Universidad Central de Venezuela como
requisito parcial para optar al tıtulo de:
Licenciado.
MSc. Demian Pereira, Tutor Fecha
Dr. Miguel Martın, Co Tutor Fecha
Quienes suscriben, miembros de; Jurado que examino el trabajo
presentado por el Br. Aileen Dyanne Quintana Rodriguez titulado Deteccion de
Bordes Tumorales Mediante Contornos Activos (Snake) y Caracterizacion
Mediante Analisis de Series Temporales para optar al tıtulo de Licenciado,
consideramos que dicho trabajo cumple con los requisitos exigidos por los reglamentos
respectivos y por lo tanto lo declaramos APROBADO en nombre de la Universidad
Central de Venezuela.
3
MSc. Demian Pereira, Tutor Fecha
Dr. Miguel Martın, Co Tutor Fecha
Dr. Humberto Rojas Fecha
Dr. Salvador Somaza Fecha
Caracas 22 de Septiembre de 2006.
iii
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iv
Agradecimientos
ustedes saben quienes son.
v
Indice general
Indice de figuras VIII
1. PROBLEMATICA DE LAS CARACTERISTICAS DE LAS LE-SIONES DE LOS TUMORES DEL SISTEMA NERVIOSO 3
1.1. Importancia del problema, propuesta y hallazgos . . . . . . . . . . . . 7
2. PRINCIPIOS BASICOS DE IMAGENES POR RESONANCIA MAG-NETICA 9
2.1. Principios Fısicos de Resonancia Magnetica Nuclear . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Fenomeno de Resonancia Magnetica Nuclear . . . . . . . . . . 10
2.2. Transformacion de la Senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Formacion de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Seleccion del plano de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Diferentes Tejidos y Contraste de la Imagen de RMN . . . . . . . . . 26
vi
3. INTRODUCCION AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMAGE-NES 30
3.1. Imagen Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Procesamiento de imagenes Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Realce de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. Restauracion de la Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3. Segmentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4. Establecimiento de umbrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.5. Analisis de Textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.6. Modelos Deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. DIMENSION FRACTAL 43
4.1. Dimension Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1. Tipos de Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2. Formulacion de metodos y algoritmos para el calculo de Dimen-sion Fractal y Dimension de Correlacion . . . . . . . . . . . . 47
5. DESCRIPCION DEL METODO 50
5.1. Analisis de las Imagenes de RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Procesamiento de las Imagenes Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.1. Transformacion de niveles de gris . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.2. Segmentacion de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.3. Implementacion del modelo deformable . . . . . . . . . . . . . 55
vii
6. DISCUSION Y PRESENTACION DE LOS RESULTADOS 59
6.1. Analisis de las imagenes de RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Procesamiento de las imagenes Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3. Presentacion de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7. CONCLUSIONES 73
8. RECOMENDACIONES 75
Bibliografıa 111
viii
Indice de figuras
2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Representacion de una imagen digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. (a)Imagen con un rango de niveles de gris con valores comprendidosentre [0,255], (b)Histograma de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. Imagen del fractal conocido como conjunto de Mandelbrot . . . . . . 43
4.2. Cajas cerradas de tamano ( 12n ) con n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ix
5.1. (a) imagen sin tratamiento, (b) Ley de Potencia (c = 1 y γ =1.62) . . 52
5.2. Establecimiento del umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3. Detector de bordes Canny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4. Conectividad-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5. Extraccion y cerrado del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6. Snake en proceso sobre la imagen original . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.7. Snake final sobre contorno extraido de la lesion (contorno rojo) . . . . 57
6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
x
6.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1
Resumen
En la medicina actual, hacer diagnosticos utilizando imagenes es invaluable. El
procesamiento de imagenes de Resonancia Magnetica, tomografıa computarizada,
mamografıa digital y otras modalidades, proveen un medio no-invasivo y efectivo
que permite obtener una interpretacion tanto de los datos anatomicos de un sujeto
en particular suministrados por la imagen como de la patologıa que este presenta.
Provee la herramienta mas eficaz al momento de planear, implementar y/o realizar el
seguimiento de algun tratamiento.
Los metodos de segmentacion de imagenes basados en modelos teoricos, ya han
demostrado su utilidad en aplicaciones de investigacion y en este momento estan
ganando popularidad en el estudio de diagnostico por imagenes. Actualmente no
existe un metodo de segmentacion que alcance resultados aceptables para todo tipo de
imagenes medicas. No existen metodos que sean generales y que puedan ser aplicados
en todo tipo de datos. De cualquier forma, los metodos que son especializados para
aplicaciones particulares pueden obtener mejores resultados.
En este trabajo se presenta un estudio basado en aplicaciones de procesamiento de
imagenes medicas mediante la implementacion de modelos deformables (“Snakes”).
El objetivo especıfico de este trabajo de investigacion es, determinar y caracterizar
lesiones correspondientes a tumores del sistema nervioso central mediante el analisis
del grado de irregularidad en sus bordes, obtenidos mediante imagenes de resonan-
cia magnetica nuclear. Para ello se emplearan tecnicas de procesamiento digital de
imagenes, las cuales comprenden metodos de segmentacion de imagenes tales como:
realce de imagenes, establecimiento de umbrales e implementacion del metodo de
2
Snake como contorno activo. Este ultimo, conforma las fronteras de la lesion al min-
imizar un funcional de energıa, la cual ha sido representada en una serie temporal.
Estudiaremos tanto la serie generada del funcional de energıa, como el borde corre-
spondiente al Snake una vez que ha conformado el borde de la lesion, mediante el uso
de los conceptos de dimension de correlacion y de dimension fractal respectivamente,
los cuales, desde este punto de vista, representan la herramienta mas eficiente para
evaluar caracterısticas de irregularidad en los bordes de las lesiones.
Para la realizacion del estudio se conto con un universo de 289 imagenes de res-
onancia magnetica nuclear correspondientes a diversas lesiones del sistema nervioso
central las cuales fueron organizadas y clasificadas, encontrandose solo 19 imagenes
correspondientes a tumores del sistema nerviosos central. A estas 19 imagenes se les
practico el procedimiento descrito anteriormente usando el programa Matlab, ima-
genes que ademas presentan las caracteristicas particulares de ser estudios de corte
axial y pesadas en T2.
Se obtuvo como resultado, la separacion de las dos clases de tumores deseadas, por
lo que la implementacion de este metodo representa una buena aproximacion para
la evaluacion de la malignidad en lesiones del sistema nervioso central encontrandose
que las lesiones, tomando en cuenta la irregularidad presente en sus bordes, pueden
ser clasificadas por su valor de dimension como benignas o malignas. Se encontro que
solo para la dimension de correlacion es posible dicha clasificacion pues los valores
hallados para la dimension fractal que se obtuvieron directamente de la figura del
Snake no representan diferenciacion alguna en el aspecto deseado para esta clasifi-
cacion o al menos para el numero de imagenes empleadas en el estudio, no fue posible
apreciar diferencia alguna. Se pudo observar un aumento del valor de la dimension
de correlacion conforme aumenta la variabilidad de los valores de energıa en los grafi-
cos, lo cual significa un aumento del valor de la dimension de correlacion conforme
aumenta la irregularidad en los bordes de las lesiones.
3
Capıtulo 1
PROBLEMATICA DE LASCARACTERISTICAS DE LAS LESIONES DELOS TUMORES DEL SISTEMA NERVIOSO
El surgimiento del cancer se debe al crecimiento descontrolado de las celulas de
alguna parte del organismo. Aunque existen muchos tipos de cancer, todos comienzan
debido al crecimiento sin control de “celulas anormales” o como comunmente se les
denomina celulas cancerosas.
Durante los primeros anos de vida de un individuo, las celulas normales se dividen
con mas rapidez hasta que este, alcanza la edad adulta, posteriormente, las celulas nor-
males de la mayorıa de los tejidos solo se dividen para reemplazar las celulas danadas
y/o para reparar lesiones. Las celulas normales del cuerpo humano, se dividen, se
diferencian y mueren, mientras que las celulas cancerosas se encuentran en contınua
reproduccion, manteniendose siempre indiferenciadas y en lugar de morir, viven mas
tiempo que las celulas normales. Estas celulas cancerosas se producen como conse-
cuencia de danos en el ADN (acido desoxirribonucleico, ver Apendice A). En las
celulas normales cuando aparece un dano en el ADN, la celula esta preparada para
repararlo, de manera contraria, es decir, si no es capaz de reparar su propio ADN,
la celula muere; en el caso de las celulas cancerosas no es posible reparar el ADN y
la celula se multiplica con este defecto. Es posible que los individuos hereden parte
de este ADN danado, lo cual es responsable de los tipos de cancer hereditarios. Sin
embargo, como consecuencia de alguna exposicion ambiental, es posible que algunos
4
individuos tengan predisposicion a generar este tipo de dano en el ADN de las celulas
[1].
Las celulas cancerosas a menudo se desplazan y alojan en otras partes del cuerpo
donde originan un nuevo crecimiento de celulas cancerosas reemplazando al tejido
normal, este proceso es llamado metastasis y ocurre a medida que estas entran al
torrente sanguıneo o a los vasos linfaticos del huesped. El cancer usualmente asume
forma de tumor. Un tumor es una formacion o nuevo crecimiento de tejido en el
que la multiplicacion de las celulas no esta totalmente controlada por los sistemas
reguladores del organismo y tiene un caracter generalmente progresivo; en este caso
tambien se le llama neoplasia. No todos los tumores son cancerosos; existen tumores
de tipo benignos, es decir, no cancerosos, los cuales no se propagan y con muy raras
excepciones, constituyen una amenaza para la vida. Los tumores malignos, son aque-
llos que conducen a una serie de fenomenos adversos en el huesped, debido a su
crecimiento masivo, producen invasion de los tejidos vecinos y metastasis.
Dependiendo de la zona en la que se encuentren los tumores, los organos a riesgo
y/o afectados, la delimitacion de sus bordes, el tipo de celulas que lo componen,
tamano y la velocidad de su crecimiento entre otros factores; los tumores pueden
comportarse como benignos o malignos, por lo tanto responden, en general, a distintos
tratamientos, por esta razon los individuos que presentan esta enfermedad necesitaran
un tipo de procedimiento clınico dirigido a su tipo de tumor en especıfico.
Para el caso de los tumores del sistema nervioso central se ha encontrado que
representan alrededor del 1 % de las autopsias de hospitales generales, sin considerar
las metastasis, que del total de los tumores del sistema nervioso central representan
alrededor del 30 %. La Sociedad Americana del Cancer calculo que durante el ano 2005
se diagnosticaron 18.820 tumores malignos de cerebro o de medula espinal (10.730
en hombres y 8.090 en mujeres) en los Estados Unidos. Aproximadamente 12.820
personas (7.260 hombres y 5.560 mujeres) moriran debido a estos tumores malignos
de cerebro. Este tipo de cancer de cerebro representa aproximadamente un 1,3 % de
todos los canceres y un 2,2 % de todas las muertes relacionadas con cancer. Estas cifras
5
incluyen adultos y ninos [2]. Lamentablemente la Sociedad Venezolana de Cancer no
tiene a disposicion este tipo de estadisticas a nivel local.
Los organos del sistema nervioso (ver Apendice A) estan formados por el tejido
nervioso, el cual consta de dos tipos celulas. De ellas pueden originarse diferentes
tumores benignos y tumores malignos. El pronostico y los metodos de tratamiento
contra estos tumores varıan.
Con muy pocas excepciones, los tumores del sistema nervioso central se presentan
como tumores de tipo benignos. A menos que sea posible extirpar por completo es-
tos tumores seguiran creciendo y eventualmente causaran la muerte del huesped. La
mayorıa de los tumores del sistema nervioso central se originan a partir de las celulas
gliales que constituyen el tejido de sosten de las neuronas. A continuacion algunos de
los mas comunes e importantes tipos de tumores del sistema nervioso central:
Meningioma: se originan a partir de las meninges. Son bastante frecuentes y
representan la mayorıa de los tumores de la medula espinal. Los meningiomas ocurren
a partir de la mediana edad, aproximadamente entre los 50 a 69 anos y ocurren con
una frecuencia proporcional al doble en las mujeres con respecto a los hombres. La
mayorıa de los meningiomas son benignos y se pueden curar mediante cirugıa. Sin
embargo, algunos meningiomas estan situados peligrosamente cerca de estructuras
vitales dentro del cerebro y no pueden ser curados solamente mediante cirugıa. Solo
algunos son malignos y pueden reaparecer muchas veces despues de la cirugıa o, en
raras ocasiones, incluso propagarse a otras partes del cuerpo.
Astrocitoma: La mayorıa de los tumores que aparecen dentro del propio cere-
bro se originan de los astrocitos. La mayorıa no pueden ser curados, debido a que
se propagan ampliamente por todo el tejido normal circundante del cerebro. En oca-
siones, los astrocitomas se propagan a lo largo de las vıas del lıquido cefalorraquıdeo.
No obstante, en raras excepciones, no se propagan fuera del cerebro o de la medu-
la espinal. En general, los astrocitomas se clasifican como de bajo grado, de grado
intermedio o de alto grado, segun la rapidez de crecimiento que presenta el tumor.
6
Existen algunos tipos especiales de astrocitomas que tienden a tener un pronostico
particularmente bueno. Estos se llaman astrocitomas no infiltrantes.
Oligodendrogliomas: Estos tumores se originan en las celulas cerebrales lla-
madas oligodendrocitos. Se propagan o infiltran de manera similar a los astrocitomas
y en la mayorıa de los casos, no pueden extirparse por completo mediante cirugıa.
Pueden propagarse a lo largo de las vıas del lıquido cefalorraquıdeo, pero en contadas
ocasiones se propagan fuera del cerebro o de la medula espinal.
Ependimomas: se originan en las celulas ependimales que recubren los ventrıcu-
los cerebrales. Los ependimomas pueden obstaculizar la salida del lıquido cefalorraquı-
deo de los ventrıculos, dando lugar al agrandamiento de los mismos. A diferencia de los
astrocitomas y de los oligodendrogliomas, los ependimomas, de manera caracterısti-
ca, no se propagan ni se infiltran en el tejido normal del cerebro. Como resultado,
algunos ependimomas, aunque no todos, pueden ser extirpados por completo y cu-
rados mediante cirugıa. Los ependimomas de la medula espinal tienen las mayores
probabilidades de curarse mediante cirugıa. Pueden propagarse a lo largo de las vıas
del lıquido cefalorraquıdeo, pero no se propagan fuera del cerebro o de la medula
espinal.
Los astrocitomas, los oligodendrogliomas y los ependimomas estan incluidos den-
tro de una categorıa general denominada Glioma los cuales representan el tipo mas
frecuente de tumor cerebral.
Meduloblastomas: la celula que origina el meduloblastoma ha motivado una de
las discusiones mas interesantes de la patologıa moderna, pero sea cual sea su origen,
estos tumores son siempre cerebelosos [3]. Son tumores de rara aparicion, presen-
tan un crecimiento rapido, pero pueden ser tratados y a menudo curados, mediante
radioterapia. Los meduloblastomas se presentan mas comunmente en ninos y con
frecuencia se propagan por todas las vıas del lıquido cefalorraquıdeo.
7
Schwannoma (neurilemoma): Los schwannomas se originan en las celulas de
Schwann por lo general, son tumores benignos que a menudo se forman cerca del
cerebelo.
Linfoma: Los linfomas se originan en los linfocitos (el tipo principal de celula del
sistema inmunologico). Muchos de estos ocurren en personas infectadas con VIH, el
virus que causa el sida pero debido a los tratamientos nuevos, los linfomas cerebrales
se han vuelto menos comunes en estos pacientes. En el pasado, se consideraba que
los linfomas del cerebro eran altamente malignos y que solıan provocar la muerte del
paciente en un plazo aproximado de un ano. No obstante, los avances recientes en
la quimioterapia han cambiado de forma notable el pronostico de las personas que
padecen de estos tumores.
1.1. Importancia del problema, propuesta y hallazgos
El diagnostico actual de los tumores ya no depende solo de la estirpe [3] de los
tumores; en realidad, la concepcion clınica de la enfermedad y el estudio completo
de sus caracterısticas son muy orientadores para el diagnostico. La meta principal
del estudio de la malignidad de los tumores, es lograr el correcto diagnostico para el
posterior control de la enfermedad y cuando sea posible, su cura.
Las imagenes medicas de resonancia magnetica nuclear proporcionan la herramien-
ta de diagnostico mas eficaz en el caso de tumores del sistema nervioso central; estas
imagenes de resonancia magnetica son utilizadas cotidianamente en la rutina clınica
para establecer un diagnostico, escoger y/o controlar una accion terapeutica.
Uno de los puntos en los que coinciden tanto medicos especialistas como cientıficos
que estudian el tema de los tumores, es que la irregularidad de los bordes de los tu-
mores [4] presentes en imagenes diagnosticas constituyen un elemento importante en
la caracterizacion y determinacion del grado de malignidad del tumor. Esto general-
mente esta basado en la experiencia y conocimiento del medico que realiza la presun-
cion diagnostica, a traves del analisis de las caracterısticas visuales de las estructuras
8
mostradas en la imagen. Algunos autores han demostrado que existe auto-similitud
[5] en la irregularidad existente en los bordes de las celulas tıpicas que conforman un
tumor y la estructura tumoral. En particular y como se menciono anteriormente, las
lesiones malignas exhiben mayor grado de irregularidad en sus bordes con respecto a
una lesion de tipo benigna. comunmente solo es posible evaluar estas irregularidades
de manera cualitativa y es por esta razon que se hace necesario el planteamiento de
una metodologıa capaz de medir cuantitativamente las irregularidades de estos bordes
en la bosqueda de un mejor procedimiento que sirva de soporte al diagnostico de la
malignidad de la lesion.
En el presente estudio se propone un metodo de aproximacion para la deter-
minacion y caracterizacion de la malignidad de las lesiones en tumores del sistema
nervioso central mediante el analisis del grado de irregularidad en sus bordes en ima-
genes de resonancia magnetica nuclear, empleando para ello tecnicas de procesamien-
to digital de imagenes, las cuales comprenden metodos de segmentacion de imagenes
tales como: realce de imagenes, establecimiento de umbrales e implementacion de un
metodo de contorno activo (“Snake”). Este ultimo conforma las fronteras de la lesion
al minimizar un funcional de energıa. Tanto la serie temporal generada a partir del
funcional de energıa, como el borde correspondiente al Snake una vez que ha con-
formado el borde de la lesion, son estudiados mediante el uso de los conceptos de
dimension fractal y dimension de correlacion, siendo estas unas de las herramientas
mas eficientes para evaluar caracterısticas de irregularidad en los bordes de las le-
siones. En este trabajo, este analisis se hizo, por medio del calculo de la dimension de
correlacion en el caso de la serie temporal correspondiente al funcional de energıa y el
calculo de la dimension fractal o de capacidad, en el caso correspondiente a la forma
obtenida del “Snake” al finalizar la conformacion del contorno de la lesion objeto de
estudio.
9
Capıtulo 2
PRINCIPIOS BASICOS DE IMAGENES PORRESONANCIA MAGNETICA
2.1. Principios Fısicos de Resonancia Magnetica Nuclear
La Resonancia Magnetica Nuclear (RMN) se ocupa solamente de los nucleos
atomicos, sin embargo, es necesario detallar algunas caracterısticas de los consti-
tuyentes del atomo.
El atomo esta constituido por una especie de nube electronica distribuida alrededor
del nucleo, descrita usualmente a traves de una funcion de distribucion conocida como
funcion de onda, orbital, etc. Cada uno de los electrones posee una masa, una carga
fundamental negativa y viene dotado de un momento angular intrınseco, el espın, de
valor 12. El nucleo se halla a su vez compuesto de protones y neutrones, siendo estas
partıculas, las que determinan su estructura y propiedades. Cada proton se encuentra
dotado de una carga fundamental positiva, una masa y un momento angular intrınseco
de valor 12. Cada neutron, carece de carga neta, presenta una masa parecida a la del
proton y tambien presenta un momento angular intrınseco de valor 12.
Debido a la interaccion fuerte de corto alcance producida entre los protones y
neutrones la repulsion electrostatica es equilibrada, determinandose ademas, la for-
ma en que se acoplaran sus momentos angulares intrınsecos para ası determinar el
10
momento angular total del nucleo, conocido como momento angular intrınseco del
nucleo o espın nuclear.
2.1.1. Fenomeno de Resonancia Magnetica Nuclear
La Resonancia Magnetica (RM) es un fenomeno fısico mediante el cual cier-
tas partıculas como los electrones, protones y los nucleos atomicos con un numero
impar de protones y/o un numero impar de neutrones pueden absorber selectiva-
mente energıa de radiofrecuencia (RF) al ser colocados bajo la accion de un campo
magnetico.
La Resonancia Magnetica Nuclear (RMN) se refiere a la respuesta de los nucleos
atomicos a los campos magneticos. Muchos nucleos tienen un momento magnetico
neto y un momento angular o rotacional. Frente a un campo magnetico externo un
nucleo atomico hace precesion alrededor de la direccion de un campo externo. Cuando
estos nucleos magneticos interactuan con los campos magneticos externos, se pueden
producir senales medibles. [6]
Se pueden efectuar mediciones de cualquier nucleo que tenga un numero impar de
protones o neutrones o ambos, tales como el nucleo de hidrogeno (H1), carbono (C13)
y sodio (Na23); sin embargo, el hidrogeno consta de un proton, es el nucleo mas impor-
tante por su abundancia en los tejidos biologicos y su momento magnetico genera una
senal potente y es por esta razon que las imagenes de resonancia magneticas (IRM) de
rutina en clınica estan actualmente basadas en el nucleo de hidrogeno aunque existen
otros nucleos en proceso de estudio [5].
Al producirse la absorcion de radiofrecuencia caracterıstica, es decir, al producirse
el fenomeno de resonancia, los nucleos disipan el exceso energetico en el medio ambiente
en forma de calor, lo que denomina relajacion, y mediante una liberacion de ondas
de radiofrecuencia de la misma frecuencia que la onda original. De esta liberacion
energetica se induce una senal electrica en una antena receptora con la que final-
mente se puede obtener una imagen de resonancia magnetica (IRM). La senal que
11
genera el nucleo de hidrogeno depende del campo magnetico que percibe el hidrogeno
en el momento en que libera la energıa y de la oposicion en que este se encuentra para
liberarla. Ello permite discriminar diferentes elementos no tan solo por la cantidad
de nucleos de hidrogeno que contenga, sino tambien por multitud de factores que
modulan la senal y que suministran informacion sobre el tipo de molecula de la que
el hidrogeno forma parte, su movilidad, el entorno bioquımico que envuelve al nucleo
y cualquier variacion magnetica que pueda influir sobre el nucleo de hidrogeno.
2.1.1.1. Polarizacion
El primer paso para hacer una medicion en RMN es alinear nucleos magneticos
con un campo magnetico estatico, Bo. Cuando Bo se aplica a un nucleo magnetico,
Bo ejerce un momento torsional sobre el nucleo que actua para alinear el eje del
momento angular nuclear con Bo. Esto trae como consecuencia, dada la presencia
del momento angular en el nucleo; el movimiento del mismo de forma perpendicular
al momento torsional, en un movimiento llamado precesion. Entonces al aplicar un
campo magnetico estatico Bo a un nucleo magnetico, el nucleo precesara alrededor de
Bo. La frecuencia a la que precesa el nucleo es la frecuencia de resonancia, denominada
frecuencia de Larmor (fo) y esta dada por:
fo =γBo
2π(2.1)
siendo γ el cociente giromagnetico nuclear, que es una medida del magnetismo nuclear
propia de cada nucleo (para el hidrogeno γ
2π= 42,58 MHz
tesla). Los valores de la frecuencia
de Larmor sirven para identificar las diversas especies de nucleos.
En la obtencion de imagenes medicas de resonancia magnetica se aplican gradi-
entes de campos magneticos (gradientes lineales, en su mayor parte pulsantes). Como
la intensidad del campo magnetico depende de la posicion, la frecuencia de Larmor se
presentara en funcion de la posicion del nucleo lo que permite la localizacion completa
en un espacio tridimensional.
12
Segun la mecanica cuantica, cuando un proton esta en presencia de un campo
magnetico externo, el proton es forzado a uno de entre dos estados energeticos rela-
cionados con la alineacion del eje de precesion del nucleo con respecto a la direccion del
campo externo (ver figura 2.1). Cuando el eje precesional es paralelo a Bo, el proton
se encuentra en su estado fundamental, esto es, el estado de baja energıa. Cuando el
eje precesional esta en posicion antiparalela a Bo, el proton esta en un estado de alta
energıa. A la direccion de Bo se le designa como la direccion longitudinal.
Figura 2.1:
Cuando un gran numero de protones se encuentran precesando alrededor de un
campo externo Bo existira mayor cantidad de momentos angulares precesando de
manera paralela a Bo que antiparalelos. La diferencia entre el numero de protones
alineados paralela y antiparalelamente al campo Bo forman lo que se denomina co-
mo magnetizacion Mo que provee la senal medida por los dispositivos de resonancia
magnetica nuclear.
La magnetizacion Mo esta definida como el momento magnetico neto por unidad
de volumen. Para el caso de N nucleos por unidad de volumen, la magnetizacion
esta dada por la ley de Curie de la siguiente forma [6]:
Mo = Nγ2h2I(I + 1)
3(4π2)κTBo (2.2)
13
donde
κ = constante de Boltzman
T = temperatura absoluta (grados Kelvin)
h = constante de Planck
I = numero cuantico de momentos rotacionales del nucleo
Mo es observable y segun la ecuacion (2.2), es proporcional al numero de protones, a
la magnitud Bo del campo magnetico aplicado e inversamente proporcional a la tem-
peratura absoluta. Una vez que los protones estan alineados en el campo magnetico
estatico, se dice que estan polarizados. La polarizacion ocurre de manera creciente en
una constante de tiempo, a esto se le denomina tiempo de relajacion longitudinal, T1;
esto es:
MZ(t) = Mo
(
1 − e− t
T1
)
(2.3)
donde
t = tiempo de exposicion de los protones al campo a lo largo del eje Z
MZ(t) = magnitud de la magnetizacion en un tiempo t, cuando se toma la direccion
de Bo a lo largo del eje Z
Mo = magnetizacion final y maxima de un campo magnetico dado
T1 es el tiempo necesario para que la magnetizacion longitudinal se recupere en un
63 % de su magnetizacion, en la figura 2.2 se ilustran las variaciones para el vector
magnetizacion longitudinal MZ en funcion del tiempo t. De esta manera, la constante
de tiempo T1 esta asociada entonces con la velocidad de recuperacion de la magneti-
zacion longitudinal razon por la cual se tiene que para diferentes fluidos se obtendran
tiempos de relajacion diferentes, esta constante es entonces caracterıstica para un
tejido biologico dado. Los tiempos de relajacion T1 son del orden del segundo.
14
Figura 2.2:
2.1.1.2. Decaimiento de Induccion Libre (FID)
El segundo paso para realizar una medicion en RMN es el de inclinar la magne-
tizacion desde la direccion longitudinal hasta un plano transversal, de esta forma se
logra un intercambio de energıa entre B1 y los protones que permite la final medicion
de la senal. Esta inclinacion se logra aplicando un campo magnetico oscilatorio B1
perpendicular a Bo, el campo magnetico estatico. La frecuencia de B1 debe igualar la
frecuencia de Larmor de los protones en relacion a Bo.
Desde el punto de vista de la mecanica cuantica, los protones absorben energıa
provista por B1 y pasan a un estado de mayor energıa. La aplicacion de B1 hace
tambien que los protones hagan precesion en fase entre sı. A este cambio en el es-
tado energetico y en la precesion en fase causada por B1 se le denomina resonancia
magnetica nuclear.
Desde el punto de vista macroscopico, causa la inclinacion de la magnetizacion,
la cual hace precesion alrededor de Bo a la frecuencia de Larmor. El angulo al cual
se inclina la magnetizacion esta dado por:
θ = γB1τ (2.4)
15
siendo
θ = angulo de inclinacion (grados)
B1 = amplitud del campo oscilatorio
τ = tiempo durante el que se aplica el campo oscilatorio
La relacion entre la inclinacion y el angulo de la ecuacion (2.4) se observa en la figura
2.3
Figura 2.3:
En RMN el campo B1 que se utiliza es un campo magnetico oscilatorio pulsante;
el angulo al cual B1 inclina la magnetizacion esta dado en terminos de pulsaciones
angulares, tales como pulsacion de 180◦ o pulsacion π y pulsacion de 90◦ o pulsacion
π2. Al aplicarse en un instrumento de RMN una pulsacion B1 a 90◦ a la poblacion de
protones polarizadas por el instrumento, los protones precesaran en fase en planos
transversales a Bo, esto es, macroscopicamente, la magnetizacion estara inclinada 90◦
y haran precesion en el plano transversal. Cuando se detiene el campo B1, se produce
16
un desfase en la poblacion de protones, lo que significa que las precesiones de los
protones ya no estaran en fase entre sı. Al aumentar el desfasaje la magnetizacion
neta disminuye; en esta situacion, la bobina receptora que mide la magnetizacion en
la direccion transversal detectara una senal de decaimiento (ver figura 2.4), esta senal
es de forma exponencial y se le denomina decaimiento de induccion libre, conocido
por sus siglas en ingles, FID, “Free Induction Decay”, esta curva representa entonces,
la precesion libre de los protones al final del pulso.
Figura 2.4:
Cada uno de los componentes de la magnetizacion se caracterizan por una constante
de tiempo; T1, la cual representa la magnetizacion longitudinal y T2 la magnetizacion
transversal. T1 y T2 se obtienen matematicamente de las ecuaciones de Bloch [7]; el
constato que la recuperacion de una, durante la disminucion de la otra, eran indepen-
dientes y que a cada una se le podıa describir por una exponencial de constante de
tiempo (T1 y T2 respectivamente). El FID esta causado por heterogeneidades del cam-
po magnetico a nivel microscopico, que se deben al gradiente del campo magnetico
y a ciertos procesos moleculares que ocurren en el material que se esta midiendo.
Debido a las heterogeneidades en el campo de Bo, protones en ubicaciones diferentes
haran precesion con frecuencias de Larmor diferentes, produciendo ası este muy rapi-
do decaimiento. Por esta razon la senal observada, es decir, la constante del FID (T2∗)
representa T2 mas las heterogeneidades del medio (figura 2.5)
17
Figura 2.5:
2.1.1.3. Deteccion de Ecos de Momentos Angulares (Eco-Spın)
Para observar el verdadero valor de T2 es necesario revertir el desfasaje causado
por la heterogeneidad del campo magnetico estatico Bo. Esto se logra colocando nue-
vamente en fase los vectores de magnetizacion de protones en los planos transversales
al aplicar una pulsacion de B1 a 180◦. Si un vector de magnetizacion transversal tiene
un angulo de fase α, entonces la aplicacion de una pulsacion B1 a 180◦ cambiara el
angulo de fase a −α, el orden de fase de los vectores de magnetizacion transversal
se revierte, esto es, los vectores que se desfasan mas rapidos estan detras de los mas
lentos, siendo estos ultimos alcanzados por los mas rapidos, de esta manera se pro-
duce el refasaje y es generada una senal que es detectable en la bobina receptora;
a esta senal se le llama eco-spın. Este metodo fue propuesto por Hahn en 1995 [8].
Un eco-spın decae muy rapidamente, Carr y Purcell han introducido una variante
que consiste aplicar pulsaciones a 180◦ repetidamente para refasar los componentes
de magnetizacion y generar una serie de ecos-spın. Es posible entonces, registrar una
serie de ecos-spın, como se ilustra en la figura 2.6. Un eco-spın se forma a mitad del
camino entre cada par de pulsaciones a 180◦. El espaciamiento entre ecos (TE) es el
tiempo entre dos ecos adyacentes y el numero de pulsaciones en el total de la serie
de ecos es NE. Esta secuencia de pulsaciones; una pulsacion a 90◦ seguida por una
18
serie de pulsaciones de 180◦, es conocida como CPMG (Carr Purcell Meiboom Gill)
y representa la secuencia “clasica” y fundamental de la RMN, existen tambien, otros
tipos de secuencia [6,7] como lo son la secuencia de ecos de gradiente y las llamadas
secuencias rapidas, que representan el desarrollo de las secuencias modernas capaces
de lograr imagenes con resoluciones temporales del orden de los milisegundos pero
que, tan solo pueden lograr senales generando ecos mediante pulsos por emision de
radiofrecuencia (eco-spın) o generando ecos mediante gradientes magneticos (ecos de
gradiente). Todas las imagenes de RMN en medicina estan formadas por secuencias
de eco-spın.
Figura 2.6:
La constante de tiempo del decaimiento de magnetizacion transversal se llama
tiempo de relajacion transversal, o T2.
La amplitud de la secuencia de ecos-spın en un tiempo t, que es la amplitud de
magnetizacion transversal MX(t), esta dada por:
MX(t) = Moxe− t
T2 (2.5)
siendo Mox la magnetizacion transversal en t=0 (tiempo que cesa la pulsacion a 90◦).
En el tiempo T2, un 63 % de la magnetizacion estara perdida, quedando tan solo, un
19
37 % de la magnetizacion original, por lo tanto, T1 y T2 varıan en sentido inverso. La
recuperacion de la magnetizacion longitudinal T1 es lenta, del orden del segundo. La
disminucion de la magnetizacion transversal T2, es rapida, en los tejidos biologicos es
alrededor de 10 veces mas corta que su T1.
Esquematicamente, en un solido, el entrelazamiento entre moleculas es cerrado
y los intercambios de energıa muy rapidos, lo que trae como consecuencia que el
desfasaje de los nucleos ası como su relajacion sea extremadamente corto; tan cortos,
que dependiendo de su valor no se cuenta, materialmente el tiempo para mediar una
senal; es por esta razon que el hueso, por ejemplo no proporciona senal en RMN.
En un lıquido como el agua o el lıquido cefalorraquıdeo, el entrelazamiento de las
moleculas que los componen es menos cerrado, por lo tanto estas moleculas tendran
una senal mas intensa, lo que se traduce en un tiempo de relajacion T2 mas largo.
2.1.1.4. Sincronizacion del tiempo de las mediciones RMN
Durante la secuencia de CPMG, la pulsacion a 90◦ reorienta la polarizacion lon-
gitudinal de los protones y las pulsaciones a 180◦ suprimen la acumulacion de mas
polarizacion longitudinal. Por lo tanto, al final de la secuencia CPMG los protones
quedan orientados de manera aleatoria. Si se repite la secuencia de CPMG se ob-
tendra una senal con una condicion inicial diferente. Antes de la aplicacion de la
siguiente secuencia, se debera esperar un intervalo de tiempo que separe una secuen-
cia de la siguiente ya que los protones deben polarizarse nuevamente; al intervalo de
tiempo que separa una secuencia de CPMG de la siguiente se le denomina tiempo de
repeticion o TR.
Un diagrama de sincronizacion de tiempo tıpico para mediciones RMN esta ilustra-
do en la figura 2.7.
20
Figura 2.7:
La seccion superior del diagrama de la figura describe dos secuencias de CPMG,
cada una de las cuales consiste en unas pulsaciones B1 a 90◦, seguida por una serie de
pulsaciones a 180◦. La seccion inferior representa eventos de polarizacion (curvas de
relajacion T1), e ilustra las secuencias de eco-spın (curvas de relajacion T2) asociados
con las dos secuencias de CPMG.
El tiempo de polarizacion (TR), el espaciamiento entre ecos (TE), y el numero de
ecos (NE), se pueden controlar manualmente.
Cuando se cambia el valor de TR, la variacion de senal que resulta es depen-
diente del tiempo de relajacion T1 del tejido, para TR cortos (∼0,5seg) las senales
que presentan dos tejidos diferentes permiten distinguir diferencias entre ellas. Por
ello a estas imagenes se les dice “ ponderadas o pesadas en T1” lo que quiere de-
cir “influenciadas” pero no de forma exclusiva. Las imagenes obtenidas con un TR
largo (∼2seg) no estaran influenciadas por T1, puesto que los tejidos han recuperado
completamente su magnetizacion. Puede decirse que ellas seran mas dependientes de
T2 o “ponderadas en T2”. En otros terminos, la eleccion del TE va a influenciar la
diferencia de T2 de dos tejidos.
21
Para determinar la magnitud de Mo, se efectua una estimacion de la amplitud de
las secuencias de eco-spın a t = 0 a partir de las mediciones de secuencias de ecos de
momentos angulares.
Para evitar una subestimacion de Mo, se requiere polarizacion total o casi total
(95 %). Para lograr un 95 % de polarizacion, TR debe ser igual a 3T1.
A medida que disminuye TE los eco-spın seran generados y detectados mas tem-
pranamente y mas rapidamente, la relacion senal-ruido efectiva se incrementa debido
a una densidad alta de puntos de datos. A medida que aumenta NE, se generan y
detectaran eco-spın por mas tiempo, pero se requiere mas intensidad de B1.
2.2. Transformacion de la Senal
La senal recogida por la antena receptora sera amplificada, filtrada y enviada a un
computador. En esta senal se encuentra toda la informacion mezclada, se debe tener
en cuenta que la frecuencia de resonancia de los protones es especıfica del nucleo, pero
modificada por el medio y que la amplitud es funcion del numero de protones (y de
las propiedades T1 y T2 del tejido).
Usando la Transformada de Fourier como herramienta matematica para expresar
la senal en funcion de la frecuencia recibida por la antena receptora, se puede pasar,
de la senal inicial a una senal en funcion de la frecuencia conservando la intensidad. Se
obtendra una serie de picos, como funcion final, cada uno especıfico de una categorıa
de protones (ver figura 2.8).
2.3. Formacion de la imagen
Las senales que se obtienen, corresponden a una informacion sobre un punto, o
un volumen elemental unico. Del tamano de la escogencia de e’ste volumen elemental
o voxel dependera la finura de la imagen y la intensidad de la senal. Del compromiso
22
entre estos dos factores, que varıan en sentido opuesto, dependera el resultado final
de la imagen.
En la practica se busca llevar la imagen un cierto volumen. La primera etapa con-
siste en definir una matriz compuesta por el numero de voxels que se quiere estudiar.
Supongamos que se divide cada direccion X, Y, Z, en 256 intervalos con el fin de
lograr la seleccion del plano de corte.
2.3.1. Seleccion del plano de corte
La aplicacion de un primer gradiente de campo magnetico va a definir un cierto
numero de puntos a lo largo de un eje, tomando como ejemplo el eje Z. Cada punto
resuena a una frecuencia que le es propia y que es ligeramente diferente a aquellas del
punto vecino. Para cada punto en el eje se puede definir un plano, perpendicular a Z.
Cada plano de corte estara caracterizado por una frecuencia de resonancia particular
y todos los puntos del interior del plano resonaran a la misma frecuencia (ver figura
2.8).
Figura 2.8:
Se puede escoger la direccion Z de tal manera que se obtenga un plano sagital,
frontal o cualquier otra orientacion.
23
El gradiente de campo magnetico aplicado segun el eje Z se escribe GZ y es el apli-
cado al mismo tiempo que el pulso de RF inicial. El espesor del corte esta determinado
por el ancho de banda de frecuencia utilizado.
Existe una relacion lineal entre la frecuencia y la posicion del plano seleccionado.
Si la banda de frecuencia es estrecha el plano seleccionado sera fino. Actualmente el
espesor de los cortes varia de 2mm a 2 cm; tomando en cuenta que mientras mas fino
sea el corte la senal sera de menor intensidad.
Para reconocer la posicion de cada voxel de este plano es necesario aplicar dos
gradientes de campo magnetico, en la direccion X (GX) y en la direccion Y (GY )
respectivamente. Cada punto de un plano XY tendra valores caracterısticos que per-
mitiran su ubicacion precisa (ver figura 2.9)
Figura 2.9:
Se seleccionan una serie de planos perpendiculares en el eje Y. Los dos planos se-
leccionados Z y Y, perpendiculares entre ellos, tienen en comun una recta donde todos
los protones resuenan en la misma frecuencia. La aplicacion del tercer gradiente de
campo magnetico GX segun el eje de las X seleccionara el tercer plano perpendicular
a los dos planos precedentes (ver figura 2.10).
24
Figura 2.10:
Estos tres planos se cortan en un solo punto que resuena en una frecuencia carac-
terıstica de ese punto.
Esta es la base de la codificacion espacial. Para reconstruir una recta es necesario
hacer 256 medidas para identificar sus 256 voxels. El uso de una transformacion de
Fourier permite hacer la imagen de una lınea en un tiempo identico a aquel que es
necesario para obtener la imagen de un punto.
Este metodo es conocido como el metodo planar y permite adquirir suficiente
informacion para reconstruir un plano o un volumen.
Para llevar una imagen de 256 × 256 × 256 voxels, sera necesario 256 × 256
lecturas de senal. En cada lectura la senal viene del conjunto de los puntos del plano
o del volumen. La senal caracterıstica de cada punto viene entonces de n medidas.
Esta reconstruccion se efectua gracias a una codificacion espacial por variacion de
la fase. Este metodo es llamado comunmente 2DFT, su nombre se debe a que requiere
dos Transformaciones de Fourier. En este metodo se consideran tres etapas.
Se busca obtener una imagen de un plano; en la primera etapa, es para esto que
sirve el primer gradiente llamado gradiente de seleccion de corte. Teoricamente se
25
puede seleccionar cualquier plano de corte en el espacio, basta con aplicar el primer
gradiente en la direccion perpendicular al plano escogido.
Si el gradiente de seleccion es establecido en el eje Z que va desde los pies a la
cabeza del paciente y que en la mayorıa de los equipos coincide con el eje del campo
principal, se obtendran cortes transversales. Si el gradiente de seleccion es escogido
segun el eje Y se obtendran cortes frontales y si se hace segun el eje X, cortes sagitales.
A los protones excitados que se encuentran precesando en fase durante esta se-
gunda etapa, se le aplica un gradiente GY llamado gradiente de codificacion de fase.
Cuando se detiene el gradiente GY los protones van a volver de nuevo a precesar
todos a la misma frecuencia pero conservando todos sus desfases. El gradiente de
codificacion de fase es aplicado al mismo tiempo que el pulso de 180◦ destinado a
obtener el eco de momentos angulares.
En la tercera etapa se aplica un gradiente de campo magnetico segun el eje X lo que
significa que los voxels de cada lınea seran codificados por una frecuencia diferente.
Puede ser decodificado directamente usando la Transformada de Fourier, cualquiera
que sea el numero de puntos llevados a la imagen, solo se recoge una senal.
El gradiente de seleccion del plano de corte GZ es aplicado al mismo tiempo que
el pulso de 90◦. Es un gradiente positivo seguido de un gradiente de sentido inverso
y de intensidad mas debil que esta destinado a la precision en la seleccion del plano
de corte y a disminuir la influencia de los protones de los cortes vecinos (disminucion
del efecto de borde).
El gradiente de codificacion de fase GY varia continuamente sobre 360◦, cuando
la diferencia de fase entre dos nucleos alcanza 360◦, ellos estaran nuevamente en fase.
GX es el gradiente de lectura o gradiente de codificacion segun la frecuencia.
Los gradientes son de potencia variable. Ellos deben ser tanto mas fuertes con
el campo magnetico principal. La duracion de una frecuencia va a depender de, el
tiempo de repeticion, del numero de lıneas que componen el tamano escogido para la
26
matriz (corrientemente se utilizan matrices de 128 × 128 o 256 × 256) y del numero de
pulsos necesarios para obtener una imagen satisfactoria (esto generalmente depende
del equipo empleado).
2.4. Diferentes Tejidos y Contraste de la Imagen de RMN
La senal es la base de la imagen en RMN, las dependencias de T1 y T2 propor-
cionan propiedades de los tejidos; ademas de estos parametros, la senal en imagenes
medicas de RMN, tambien dependera de la concentracion de hidrogeno y la presen-
cia de un flujo, es decir del lıquido circundante a escala microscopica; este ultimo es
habitualmente considerado despreciable en condiciones ordinarias, pero pueden dar
lugar a un tipo de estudio en particular (angioresonancia [8]).
En los tejidos del cuerpo humano, la concentracion de hidrogeno no varıa mas
alla de un 20 %, mientras que las diferencias entre T1 y T2 pueden variar en un 500 %.
En la practica, la concentracion de hidrogeno es un elemento poco importante en el
contraste de la imagen con relacion a T1 y T2. Sin embargo, ciertos valores de TR
y TE disminuyen la influencia de T1 y T2 y pueden hacer aparecer como mayor la
concentracion de hidrogeno. En el caso de un TR mediano (∼1,5seg) y un tiempo de
eco corto (∼30mseg), estas imagenes son en general poco contrastadas y son llamadas
imagenes en densidad protonica (Dp).
Entonces, el tipo de imagen viene regulada por TE y TR. Por lo tanto toda imagen
obtenida a partir de deteccion de ecos de momentos angulares, tendra sus bases en,
la presencia de los tres factores D, T1 y T2, cuanto mayor es el TE, mayor es la
potenciacion en T2 y cuanto menor es el TR, mayor es la potenciacion en T1.
Como regla general se tiene:
TE corto TE largoTR corto Imagen en T1 Contraste mixtoTR largo Imagen en Dp Imagen en T2
27
En la figura 2.11 [9] se muestra sobre un mismo corte las tres potenciaciones
basicas obtenidas variando los parametros TE y TR en la secuencia de deteccion de
ecos de momentos angulares. El campo utilizado es de 1,5 Tesla.
Figura 2.11:
T1: Imagen potenciada en T1 (TE: 17ms, TR: 600 ms)
D: Imagen potenciada en D de nucleos de H ( TE: 20ms, TR 2200 ms)
T2: Imagen potenciada en T2 (TE: 80ms, TR: 2200 ms). Esta imagen se obtiene como
segundo eco dentro del mismo TR que la imagen en D La imagen T2 tiene menor
senal /ruido pero por lo general posee una mayor resolucion de contraste.
Como idea esquematica y en un campo de 0,15 Tesla, se indican en la Figura
2.12 [9] las variaciones relativas de intensidad de senal para diversos tejidos biologicos
utilizando secuencias que potencian en T1, D y T2.
28
Figura 2.12:
La estrategia en imagenes de resonancia magnetica consiste en programar las
potenciaciones optimas en las imagenes para obtener el mejor contraste entre las es-
tructuras a estudiar. Un estudio de resonancia Magnetica tiene que contener imagenes
de diferente potenciacion a fin de lograr una mayor aproximacion diagnostica.
La resonancia magnetica, una herramienta extraordinaria para obtener imagenes
de la anatomıa y la estructura del tejido vivo, proporciona, en la actualidad algunos de
los elementos de diagnostico mas eficaces en la practica de la medicina. Los sistemas
29
imagenologicos tienen la capacidad de generar conjuntos de datos, los cuales represen-
tan informacion detallada para aplicaciones tanto clınicas como de investigacion. Es-
tas imagenes medicas proporcionadas por esta tecnica son utilizadas cotidianamente
en la rutina clınica para establecer un diagnostico, escoger y/o controlar una accion
terapeutica. La importancia de estas imagenes radica en el suministro informacion
morfologica y fisiologicas de los organos razon por la cual fueron escogidas para el
presente estudio ademas de su calidad visual; sin ser estas, necesesariamente, el unico
tipo de imagenes a las que se les pueda aplicar el procesamiento de imagen planteado
en este trabajo de investigacion.
30
Capıtulo 3
INTRODUCCION AL PROCESAMIENTODIGITAL DE IMAGENES
3.1. Imagen Digital
Una imagen digital es una funcion f(x, y) de luminosidad de un objeto que ha
sido discretizada en valores de iluminacion y en coordenadas espaciales. Se considera
entonces la imagen digital como una matriz cuyos ındices de filas (i) y columnas (j)
identifican un punto en la imagen (P) y los correspondientes valores de los elementos
de la matriz identifican el nivel de gris (p) en el punto. Los elementos de un arreglo
digital son llamados elementos de imagen, pixel, entre otros, siendo este ultimo el
nombre mas comunmente usado (Figura 3.1).
Figura 3.1: Representacion de una imagen digital
31
3.2. Procesamiento de imagenes Digitales
El procesamiento de imagenes digitales consiste en realizar una interpretacion
cuantitativa o cualitativa de los datos presentes en las imagenes. valiendose para ello,
de herramientas matematicas que son empleadas en el mejoramiento y realce de la
calidad de los datos provistos por la imagen, restauracion de la imagen, identificacion
de las estructuras de interes mediante el uso de tecnicas de segmentacion, extraccion
de la informacion deseada para el posterior analisis de la imagen, entre otras. A con-
tinuacion se presenta una breve descripcion de algunas de las tecnicas de segmentacion
mas basicas y mas comunmente usadas en el procesamiento digital de imagenes:
3.2.1. Realce de imagenes
El principal objetivo de la tecnica de realce de imagenes es procesar una imagen
dada de forma tal que el resultado sea mas conveniente que la imagen original para
una aplicacion especıfica. La palabra “especıfica” es de suma importancia porque
dependiendo de la aplicacion que resuelva el problema planteado para la obtencion
final de informacion de la imagen, dependera del establecimiento de la tecnica de
realce a emplear.
3.2.2. Restauracion de la Imagen
Como en la tecnica de realce de imagenes, con la tecnica de restauracion se busca
mejorar la imagen en algun sentido que sirva para el fin ultimo de la obtencion de
la informacion que permita un adecuado analisis de la imagen. Para el proposito
de diferenciacion, se considera la restauracion de la imagen como un proceso que
trata de reconstruir o recuperar una imagen que ha sido sometida a un fenomeno
de degradacion. Ası, la tecnica de restauracion esta orientada hacia el modelado de
procesos de degradacion y aplicacion de sus inversos para recobrar la imagen original.
32
3.2.3. Segmentacion
El objetivo fundamental de la segmentacion de una imagen es la division o sepa-
racion de la imagen en regiones de atributos similares que conforman la estructura de
interes. Los atributos basicos para la segmentacion son la amplitud de luminosidad
para el caso de imagenes monocromaticas y los colores que la componen en el caso
de imagenes a color. Representan tambien atributos muy usados en la segmentacion
de imagenes, los bordes de la misma y su textura [10].
Existen diversos metodos de segmentacion de imagenes y es posible que se im-
plementen, en conjunto, multiples metodos para resolver diferentes problemas de
segmentacion. Algunos de estos metodos comunmente usados y mas conocidos son:
establecimiento de umbrales, deteccion de bordes, analisis de texturas y modelos de-
formables, entre otros.
3.2.4. Establecimiento de umbrales
El establecimiento de umbrales es un metodo que busca segmentar imagenes crean-
do una particion binaria de las intensidades de las imagenes, tratando de determinar
un valor de intensidad, llamado umbral, que separa las clases deseadas [11]. La seg-
mentacion se logra agrupando todos los pixels con mayor intensidad al umbral en una
clase, y todos los pixels con menor intensidad al umbral en otra.
Si el nivel de intensidad o nivel de gris de un objeto difiere significativamente de
su entorno, origina en la imagen un conjunto de pixels con niveles de intensidad muy
diferentes de los niveles de intensidad de los pixels circundantes. Los subconjuntos
de la imagen que cumplan con esta caracterıstica pueden extraerse de la imagen
estableciendo un umbral para los niveles de intensidad, o bien sea clasificando cada
pixel como “claro” u “oscuro” dependiendo de si su nivel de intensidad es inferior o
superior al umbral predeterminado.
33
En general, sera necesario determinar el umbral optimo para cada imagen indi-
vidual. Si los objetos ocupan una fraccion significativa de la escena de la imagen, es
posible realizar la determinacion del umbral optimo analizando el histograma de la
imagen [12] (realizando una “ecualizacion del histograma” de la imagen es posible
realizar, realce y restauracion de una imagen por medio de una redistribucion de los
niveles de intensidad en una imagen). Generalmente se observan dos picos en un his-
tograma, uno de los cuales representa el nivel de intensidad predominante en el fondo
de la imagen y un segundo pico que representa el nivel de intensidad predominante en
el objeto. Los niveles de intensidad intermedios deben ser relativamente infrecuentes,
correspondiendo en el histograma a valles entre los picos. Figura 3.2
Figura 3.2: (a)Imagen con un rango de niveles de gris con valores comprendidos entre[0,255], (b)Histograma de la imagen
El nivel de intensidad mas conveniente para fijar como umbral es el mas infrecuente
entre los niveles de intensidad de los dos picos, de esta manera se logra que la mayorıa
de los pixels del objeto de estudio presentes en la imagen se encuentren incluidos en
el umbral y los pixels correspondientes al fondo sean desechados.
Esta es una tecnica efectiva para obtener la segmentacion de imagenes donde es-
tructuras diferentes tienen intensidades contrastantes u otras caracterısticas diferen-
ciables. La particion usualmente es generada interactivamente, pero tambien existen
metodos automaticos [13]. En caso del uso de los metodos interactivos es posible que
34
estos puedan estar basados en la apreciacion visual del usuario.
3.2.4.1. Deteccion de bordes
Usando solamente el metodo de deteccion de umbrales no es posible extraer objetos
pequenos facilmente del fondo de la imagen y esto es debido a que, los picos que estos
objetos producen en el histograma son demasiado pequenos para detectarlos con
confiabilidad. De igual forma sucede si dentro de la imagen a procesar no existe una
homogeneidad en la intensidad de los niveles de gris, en este caso se observa que los
picos respectivos del histograma se superponen. Esto significa que la variacion del
nivel de intensidad ocurre gradualmente dentro de cada objeto presente en la imagen
y subitamente en sus bordes. En tales casos los objetos de la imagen se pueden extraer
utilizando como metodo de segmentacion la deteccion de los bordes de la imagen; esto
es, detectando los pixels en los cuales se observa la mayor tasa de cambio del nivel de
intensidad, en la imagen.
Los metodos clasicos de deteccion de bordes en una imagen se basan en apli-
cacion del operador gradiente. La implementacion del gradiente como una tecnica de
segmentacion proporcionara la mayor variacion de los niveles de intensidad en los
bordes, sin tomar en cuenta las orientaciones del gradiente. Para este fin se han uti-
lizado muchas aproximaciones discretas al gradiente [14], como lo son el operador de
realce de bordes Laplaciano, el operador gradiente de Roberts, el operador detector de
bordes de Sobel, el detector de bordes Canny, entre otros. A continuacion se presenta
una breve descripcion del cada uno de estos metodos:
3.2.3.2.1 Operador de realce de bordes Laplaciano
El operador de realce de bordes Laplaciano usado para procesamiento de imagenes
esta basado en las segundas derivadas parciales de una funcion matematica contınua,
razon por la cual lleva este nombre. La expresion matematica para el Laplaciano en
dos dimensiones es la siguiente:
35
∇2f(x, y) =∂2f(x, y)
∂x2+
∂2f(x, y)
∂y2(3.1)
Esta expresion matematica del operador Laplaciano es aproximada de manera
discreta para la aplicacion de esta tecnica en el procesamiento de imagenes, este
actua detectando los cambios de intensidades entre pares de pixels en las direcciones
x e y. La discretizacion del operador Laplaciano es de la siguiente manera:
L(i, j) = ∇2p(i, j) = ∆x2p(i, j) + ∆y2p(i, j) (3.2)
donde
∆x2 = [p(i − 1, j) − p(i, j)] − [p(i, j) − p(i + 1, j)]
∆y2 = [p(i, j + 1) − p(i, j)] − [p(i, j) − p(i, j − 1)](3.3)
?
-i
j
(i − 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i − 1, j) (i, j) (i + 1, j)
(i − 1, j + 1) (i, j + 1) (i + 1, j + 1)
(i − 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i − 1, j) (i, j) (i + 1, j)
(i − 1, j + 1) (i, j + 1) (i + 1, j + 1)
36
El operador de realce de bordes Laplaciano calcula la diferencia entre el nivel de
intensidad del pixel central y el promedio de los niveles de intensidad de los cuatro
pixels adyacentes en la direccion horizontal y vertical. Este metodo de deteccion de
bordes trabaja implementando una mascara de tamano 3 × 3 pixels, es decir, una
matriz de nueve (9) pixels que “recorre” toda la imagen hasta cubrirla por completo,
en la cual, a medida que se traslada por ella se realizan los calculos correspondientes.
(Ver figura 3.1).
3.2.3.2.2 Operador gradiente de Roberts
Este operador trabaja con una mascara de 2 × 2 pixels y utiliza las derivadas
diagonales para estimar el gradiente de un punto. La magnitud del operador gradiente
de Roberts es igual a la raız cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias
diagonales. Se puede aproximar, para el caso discreto, utilizando la expresion de la
suma de los valores absolutos de cada diferencia de las diagonales, esto es:
Magnitud del operador = (∆12 + ∆22)1
2
V alor absoluto estimado = (| ∆1 | + | ∆2 |)(3.4)
donde
∆1 = p(i, j) − p(i + 1, j + 1)
∆2 = p(i + 1, j) − p(i, j + 1)(3.5)
?
-i
j
��
��PPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPP
@@
@@�����������
�����������
(i, j) (i + 1, j))��
��PPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPP
@@
@@�����������
�����������(i, j + 1)(i + 1, j + 1)
37
3.2.3.2.3 Operador detector de bordes de Sobel
El operador de bordes de Sobel trabaja con mascaras de 3 × 3 pixels, este operador
es un calculo no lineal de la magnitud del borde en un punto, pero no se usa el valor
del punto propiamente en su calculo. El valor del pixel viene dado por:
S = (∆x2 + ∆y2)1
2 (3.6)
donde
∆x = [p(i − 1, j − 1) + 2p(i − 1, j) + p(i − 1, j + 1)] − [p(i + 1, j − 1) + 2p(i + 1, j) + p(i + 1, j + 1)]
∆y = [p(i − 1, j + 1) + 2p(i, j+) + p(i + 1, j + 1)] − [p(i − 1, j − 1) + 2p(i, j − 1) + p(i + 1, j − 1)](3.7)
?
-i
j
(i − 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i − 1, j) (i, j) (i + 1, j)
(i − 1, j + 1) (i, j + 1) (i + 1, j + 1)
3.2.3.2.4 Detector de bordes Canny
Canny es uno de los metodos mas eficaces para la deteccion de bordes. Este metodo
difiere de los anteriores en la utilizacion de dos umbrales de niveles de intensidad
diferentes para la localizacion de los bordes; lo que le permite discriminar en dos
tipos los cambios de intensidad, un umbral inferior que corresponde con lo que se
denomina “bordes debiles” y un umbral superior que se relaciona directamente con lo
que se denomina “bordes fuertes”. Canny muestra los bordes fuertes y solo los bordes
debiles cuando estos estan conectados a un borde fuerte, lo que lo hace menos sensible
al ruido que otros detectores de bordes.
38
La debilidad de este metodo radica en la aproximacion de la informacion que
realiza referente a la imagen en los casos en los cuales la imagen presenta discon-
tinuidad en los bordes y/o aquellos en los que los bordes no aparecen, tomando en
cuenta la distancia entre los pixels del borde segun lo encontrado por el detector y
el borde real. Los metodos de deteccion de bordes basado en la implementacion del
operador gradiente estan fuertemente afectados por el ruido y esto es debido a los
casos en los cuales los bordes presentes en la imagen no poseen un alto grado de con-
traste, es decir, no existe una diferencia significativa de la intensidad entre los pixels
que componen el borde con respecto a los pixels circundantes. Estos problemas aun
no han sido solventados, sin embargo hasta ahora el metodo de Canny representa la
mejor aproximacion a los bordes reales.
3.2.5. Analisis de Textura
Si la imagen objeto de estudio no presenta una intensidad uniforme, sino que
muestra cierta “trama” no seran de utilidad ninguno de los metodos anteriormente
mencionados para extraer el objeto, ya que los niveles de intensidad que presentan
sus pixels no corresponden con un rango estrecho de niveles de intensidad y presentan
gran cantidad de bordes internos. No obstante, tal objeto puede ser distinguible de
su vecindad basandose en su trama o patron caracterıstico de niveles de intensidad
o lo que se denomina textura visual. Las texturas visuales se pueden caracterizar
por los conjuntos de propiedades locales de sus pixels, es decir, por el hecho de que
en una region con textura, tienden a presentarse ciertos patrones locales de niveles
de intensidad en la vecindad de cada pixel. Cada pixel puede caracterizarse por un
conjunto de numeros calculando para el, un conjunto de propiedades relacionadas con
la textura [15], para segmentar la imagen en regiones de texturas diferentes. Como las
propiedades asociadas a las texturas son muy variables, se debe primero obtener un
cierto promedio local para hacer mas compactos los cumulos correspondientes a cada
region. Luego y de forma similar, se calculan los valores promedios de las propiedades
locales y se toman sus diferencias de promedios con los que posteriormente se puede
39
calcular un “gradiente de textura” en cada pixel y usarlo para detectar bordes entre
regiones de diferentes texturas.
3.2.6. Modelos Deformables
Una de las tecnicas que mayor popularidad ha ganado en los ultimos anos en
la segmentacion de imagenes son los contornos deformables o modelos deformables.
Los modelos deformables tambien conocidos en la literatura como Snake propuestos
por primera vez con efectividad por Kass y Terzopoulos [16], han tenido un alto
ındice de aplicacion en el proceso digital de imagenes y ha captado la atencion de los
investigadores en diversas areas de las ciencias. Estos se han insertado en todas las
areas del proceso digital de imagenes, tales como procesamiento de imagenes medicas,
analisis de imagenes satelitales, etc; particularmente en la delimitacion de las fronteras
en los bordes de los objetos.
Los modelos deformables estan basados en motivaciones fısicas y son utilizados
para delinear bordes de regiones usando curvas o superficies parametricas cerradas
que se deforman bajo la influencia de fuerzas externas e internas. Para delinear el
borde de un objeto en una imagen, se debe colocar el modelo deformable cerca del
borde deseado, el cual experimentara un proceso iterativo de relajacion. Las fuerzas
internas se calculan en el interior de la curva o superficie para mantenerla suave a
lo largo de la deformacion. Las fuerzas externas son frecuentemente derivadas de la
imagen para llevar la curva o superficie hacia la caracterıstica de interes deseada.
Sin embargo este primer modelo propuesto posee como limitacion una pobre con-
vergencia en fronteras con caracterısticas concavas. Para mejorar la efectividad del
Snake en este aspecto, Xu [17] plantea una fuerza basada en la modificacion del cam-
po de fuerzas externas, como un campo Vectorial del Flujo del Gradiente (GVF) lo
que permite aumentar la zona de interaccion alrededor de los bordes de los objeto en
la imagen.
40
Un modelo deformable es una curva elastica o superficie definida en el dominio
de una imagen que se mueve bajo la influencia de fuerzas internas producto del
movimiento de la curva o superficie misma y fuerzas externas propias de la imagen. Las
fuerzas internas y las externas estan definidas de forma tal que el modelo deformable
conforme las fronteras de un objeto o figura deseada en la imagen.
3.2.3.4.1 Contorno Activo o Snake
El Snake o contorno activo, tambien llamado contorno deformable, es una curva
de la forma x(s) = [x(s), y(s)], s ∈ [0, 1], que se mueve a traves del dominio espacial
de una imagen hasta minimizar un funcional de energıa[18].
E =
∫ 1
0
1
2
(
α | x′(s) |2 +β | x′′(s) |2)
+ Eext
(
x(s))
ds (3.8)
donde α y β son parametros de peso que controlan la tension del contorno y su
rigidez respectivamente, x′(s) y x′′(s) denotan la primera y segunda derivada de x(s)
con respecto a s. La funcion Eext es derivada de la imagen y toma sus valores mas
pequenos en la zona de la figura de interes, tales como los bordes. Dada una imagen
de niveles de intensidad,I(x,y), vista como funcion de las variables posicion (x,y),
se tiene que la energıa externa varia conforme se aproxima a los bordes de la figura
objeto de estudio, de la siguiente manera:
E(1)ext = − | ∇I(x, y)2 |
E(2)ext = − | ∇(Gσ ∗ I(x, y)) |
(3.9)
donde Gσ es la funcion Gaussiana bidimensional con una desviacion estanda σ y ∇es el operador gradiente. Para el caso de imagenes binarias (delineado negro en fondo
blanco), entonces la energıa externa corresponde a:
E(1)ext = I(x, y)
E(2)ext = Gσ ∗ I(x, y)
(3.10)
41
De las definiciones anteriores se observa que conforme se aumenta el valor de σ las
fronteras del objeto se tornan difusas, sin embargo un alto valor de σ coincidira con
un incremento en el rango de captura del contorno deformable.
Encontrar la curva parametrizada x(s) que minimiza el valor de E es un problema
variacional. Por lo tanto la curva x(s) que minimiza el valor de E, debe satisfacer la
siguiente ecuacion de Euler:
αx′′(s) − βx′′′(s) −∇Eext = 0 (3.11)
Se usan condiciones de frontera periodicas, esto es, x(0) = x(1) de manera tal que
se asegure la obtencion de un contorno cerrado.
La ecuacion anterior puede ser vista como una ecuacion de balance de fuerzas de
la forma:
Fint + F Pext = 0 (3.12)
donde Fint = αx′′(s)−βx′′′(s) y F Pext = - ∇Eext. La fuerza interna Fint aplica resistencia
al estiramiento y a los “recodos”, mientras que la fuerza externa F Pext atrae el Snake
hacia los bordes de la imagen deseada. Para encontrar la solucion a la ecuacion de
Euler, es necesario que el Snake se tranforme en una curva dinamica, esto se logra,
tratando a x tanto como funcion del tiempo t como de s, esto es, x(s, t). Se tiene que
la derivada parcial de con respecto al tiempo es igual al lado izquierdo de la ecuacion
(3.12), entonces:
xt(s, t) = αx′′(s, t) − βx′′′(s, t) −∇Eext (3.13)
Cuando la solucion se estabiliza, el termino xt(s, t) desaparece y es entonces cuan-
do se alcanza la solucion de la Ecuacion de Euler.
42
3.2.3.4.2 Contorno Activo GVF
Usando la condicion de balance de fuerzas propuesta en la ecuacion (3.12), se define
un nuevo campo de fuerza estatico Fgext = ν(x,y), el cual recibe el nombre de campo
GVF. Para obtener la ecuacion correspondiente al contorno activo, se reemplaza la
fuerza potencial −∇Eext en (3.11) por ν(x,y) la siguiente manera: [17]
xt(s, t) = αx′′(s, t) − βx′′′(s, t) − ν (3.14)
Para definir el campo GVF, se comienza definiendo un mapa de borde F (x, y)
derivado de la imagen I(x, y) el cual tiene la propiedad de alcanzar un mayor valor
en las cercanıas de los bordes de la imagen. Es posible usar cualquier mapa de borde
binario o de nivel de gris definido anteriormente en la literatura del procesamiento de
imagenes, como por ejemplo:
F (x, y) = −E(i)ext(x, y) (3.15)
donde E(i)ext(x, y), i = 1, 2, 3 o 4, donde la energıa externa esta definida en las ecuaciones
(3.9) y (3.10).
Podemos definir el GVF siendo el vector campo ν(x,y) = [u(x,y),ν(x,y)].
Este metodo aparte de proporcionar informacion referente a la imagen es muy
empleado en la deteccion de bordes con el fin de superar las limitaciones presentes
en los otros operadores de busqueda de bordes como los basados en la aplicacion del
operador gradiente e incluso en el metodo de Canny. Sin embargo, para implementar
un modelo deformable es necesario proporcionarle un contorno inicial que ademas
debera ser cerrado para garantizar que el Snake conforme las fronteras reales de la
figura presente en la imagen objeto de estudio.
43
Capıtulo 4
DIMENSION FRACTAL
4.1. Dimension Fractal
Un fractal es un objeto geometrico cuya estructura basica se repite indefinidamente
en diferentes escalas. Este termino fue propuesto por el matematico polaco Benoıt
Mandelbrot en 1975 y lo denomino “fractal”, a partir del significado en latın de esta
palabra; Fractal significa “fracturado, fragmentado o quebrado”.
Figura 4.1: Imagen del fractal conocido como conjunto de Mandelbrot
En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o
iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala
especıfica. En la naturaleza tambien aparece la geometrıa fractal; los rayos, los deltas
44
de los rıos, los sistemas de raıces y las lıneas costeras, se presentan como algunos de
los muchos ejemplos de formas naturales que presentan estructuras de tipo fractal.
Se encontro que los fractales presentan como caracterısticas generales: detalles en
escalas arbitrariamente grandes o pequenas, irregularidad en sus formas que no pueden
ser descritas en terminos geometricos tradicionales; geometrıa recursiva, es decir, su
geometrıa no varia con los cambios de escalas, se observa siempre la misma geometrıa
inicial. A esta caracterıstica se le denomina auto-similitud (exacta o estadıstica) y
diferencia a los fractales de las formas tradicionales Euclideas.
La auto-similitud estadıstica es una cantidad esencial de los fractales en la natu-
raleza estos pueden ser cuantificados por su valor de dimension fractal; un numero que
esta conforme a nuestra nocion intuitiva de la dimension pero cuyo valor no es nece-
sariamente un entero y su valor de dimension proporciona el grado de auto-similitud
del fractal [19]. Un objeto que normalmente es considerado uni-dimensional, un seg-
mento de lınea, por ejemplo, puede ser dividido en N partes identicas de tamano car-
acterıstico ε = 1N
. Similarmente, un objeto bi-dimensional, tal como un area cuadrada
correspondiente a un plano, puede ser dividido en N partes auto-similares a el, cada
una de tamano ε = 1√N
. Un objeto tridimensional tal como un cubo solido, puede
ser dividido en N cubos cada uno de los cuales poseera un tamano ε = 13√
N. A un
objeto auto-similar D-dimensional, se le puede dividir en N copias de el mismo, cada
una reducida en un tamano ε = 1D√
No bien N = 1ε−D. De manera inversa; dada la
auto-similitud del objeto con N partes de tamano ε, la dimension fractal esta dada
por D = ln N
ln 1
ε
.
El problema con cualquier definicion de fractal es que existen objetos que no
satisfacen en su totalidad las propiedades anteriores. Por ejemplo, los fractales de la
naturaleza como nubes, montanas, los vasos sanguıneos y en el caso especial que se
presenta en este trabajo, los tumores; tienen lımites inferiores y superiores en detalle;
no existe un termino preciso para definir “demasiado irregular”; existen diferentes
maneras para definir “dimension” con valores racionales; y no todo fractal es definido
45
recursivamente. Es por esta razon que en el presente estudio, los calculos de dimen-
sion fractal propuestos representan valores de estimacion aproximados, sin embargo
otros estudios han demostrado la efectividad de la utilizacion de estos metodos en
la clasificacion de la malignidad en tumores, incluidos, especıficamente, tumores del
sistema nervioso central [4,5,20,21].
4.1.1. Tipos de Dimension
Existen varios tipos de dimension. A continuacion se presentaran algunos de los
tipos de dimension mas conocidos: dimension de capacidado o dimension fractal,
dimension de informacion y dimension de correlacion.
4.1.1.1. Dimension de Capacidad o Dimension Fractal
Consiste en cubrir un conjunto A con elementos de diametro ε. Sea N(ε) el numero
mınimo de elementos necesarios para cubrir A. Se define la dimension de capacidad
(Dcap) de la siguiente manera:
Dcap = lımε→0
ln N(ε)
ln 1ε
(4.1)
donde, la dimension de capacidad esta definida si el lımite existe. La Capacidad es
un concepto puramente metrico.
4.1.1.2. Dimension de Informacion
Esta definida en terminos de la frecuencia relativa de una trayectoria tıpica. Sea
N(ε) el numero mınimo de elementos necesarios para cubrir un conjunto A con ele-
mentos de diametro ε. La dimension de informacion esta definida por:
46
DI = lımε→0
H(ε)
ln 1ε
(4.2)
donde
H(ε) = −N(ε)∑
i=1
Pi ln Pi (4.3)
H(ε) es la entropıa del sistema, Pi es la frecuencia relativa con respecto a una trayec-
toria tıpica entre los i-esimos elementos.
Para ε suficientemente pequeno la ecuacion (4.3) se puede reescribir como:
H(ε) = κε−DI (4.4)
donde κ es una constante de proporcionalidad.
4.1.1.3. Dimension de Correlacion
La dimension de correlacion es un tipo de dimension probabilıstica que es carac-
terıstica de los sistemas dinamicos, donde al igual que la dimension de informacion y
de capacidad, se cubre un conjunto A con elementos N(ε) de diametro ε cada uno y
viene definida como:
Dc = lımε→0
ln
N(ε)∑
i=1
P 2i
ln ε(4.5)
donde Pi es la frecuencia relativa con respecto a una trayectoria tıpica entre los
i-esimos elementos. Para interpretar el numerador de la ecuacion (4.5) se ha definido
el termino de correlacion como:
C(ε) = lımε→0
1
N2
{
el numero de puntos pares (xi, xj) tales que ‖ xi − xj ‖}
< ε (4.6)
47
Si Ni es el numero de puntos que se encuentran el i-esimo elemento, entonces:
Pi = lımN→∞
ni
N(4.7)
Ademas, si el elemento tiene diametro ε , todos los puntos ni estan dentro de cada
ε y forman pares de puntos n2i − ni . Se tiene lo siguiente:
C(ε) = lımN→∞
1
N2
N(ε)∑
i=1
(n2i − ni)
C(ε) =
N(ε)∑
i=1
lımN→∞
n2i
N2− lım
N→∞
ni
N2
C(ε) =
N(ε)∑
i=1
P 2i − lım
N→∞
Pi
N2
C(ε) = lımN→∞
Pi
N2
(4.8)
Por lo que la dimension de correlacion se puede escribir de la forma:
Dc = lımε→0
ln C(ε)
ln ε(4.9)
4.1.2. Formulacion de metodos y algoritmos para el calculode Dimension Fractal y Dimension de Correlacion
4.1.2.1. Metodos de Box Counting o metodo de Conteo de Cajas
El algoritmo de Box Counting es una estimacion del valor de la dimension fractal,
el cual consiste en cubrir un conjunto A con cajas de cerradas de tamano ( 12n ), como
se muestra en la figura 4.2 para n = 2.
48
Figura 4.2: Cajas cerradas de tamano ( 1
2n) con n = 2
Entonces la dimension fractal de A vendra dada por:
Df = lımn→∞
ln Nn(A)
ln(2n)(4.10)
donde Nn(A) denota el numero de cajas con tamano ( 12n ) que cubren el conjunto
A. La ecuacion (4.10) proporciona el valor numerico de la dimension fractal pero
para efectos del calculo de la misma empleando este algoritmo se debera realizar un
grafico de lnNn(A, ε) (donde ε representa los diversos tamanos de las cajas empleadas)
en funcion de ln(1ε); la pendiente de este grafico corresponde a la estimacion de la
dimension fractal de A.
4.1.2.2. Metodos de estimacion de dimension de correlacion
Partiendo de la ecuacion (4.9), para los efectos del algoritmo, la estimacion de la
dimension de correlacion se obtiene de la pendiente correspondiente a la parte lineal
del grafico obtenido al calcular ln C(ε) versus ln(ε) . Para un ε dado la estimacion de
C(ε) se realiza calculando la distancia entre los puntos, ri,j =‖ xi − xj ‖ y contando
el numero Nr(ε) de ri,j < ε para i, j = 1, . . . , N . Ası, la ecuacion (4.6) se puede
reescribir de la forma C(ε) = Nr(ε)N2 . Donde N(ε) se calcula para valores de ε espaciados
geometricamente, esto es, para ε0, ε20, . . . , ε
κ0 para todo ε < 0 y todo entero κ < 0.
49
Finalmente se obtiene un arreglo entero κ- dimensional Nε[κ] que cuenta la distancia
entre los puntos que satisfacen εκ−10 < ri,j < εκ
0 . Entonces se tiene que N(εκ0) =
κ∑
i=1
Nε[i]
50
Capıtulo 5
DESCRIPCION DEL METODO
5.1. Analisis de las Imagenes de RMN
Se conto con un banco de imagenes de RMN, de corte axial y pesadas en T2.
Estas imagenes fueron adquiridas mediante los procedimientos descritos en el capıtu-
lo 2 y a las cuales, previo al procesamiento de la imagen, les fue eliminado los
datos correspondientes al paciente, metodo empleado, lugar de realizacion del estudio
(RMN), fecha, operador encargado, etc., pues estos datos representan una distorsion
(ruido) para el analisis y la calidad de la imagen objeto de nuestro estudio.
Para el analisis de las imagenes de RMN se utilizaron los programas: Osiris version
4.0 y Matlab version 7.0. El programa Osiris, permitio transformar todas las imagenes
de resonancia magnetica nuclear utilizadas para el presente estudio, 298 en total, del
antiguo formato Dicom, “Papyrus”, en el que se encontraban inicialmente, al nuevo
formato llamado Dicom,(DICOM,Digital Imaging and Communication in Medicine)
siendo este actualmente, el utilizado mundialmente para el intercambio de imagenes
medicas, lo cual nos permitirıa a su vez el procesamiento de las mismas mediante el
programa Matlab.
El programa Matlab 7.0 cuenta con una serie de Toolboxes, que ademas de permitir
el trabajo del procesamiento digital de imagenes medicas, acepta la creacion de nuevas
rutinas escritas. En nuestro caso en particular, se logro mediante la adaptacion y
51
generacion de cuatro (4) nuevos algoritmos, un mejor aprovechamiento del programa
en general en la busqueda del logro del objetivo central de la investigacion.
5.2. Procesamiento de las Imagenes Digitales
Los procedimientos aplicados para procesar la informacion de las imagenes mediante
el programa Matlab fueron los siguientes:
1. Transformacion de niveles de grises.
2. Segmentacion de la imagen mediante:
a. Establecimiento del umbral.b. Deteccion de bordes.c. Extraccion de la lesion y cerrado del contorno.
3. Implementacion del modelo deformable.
a. Snake.a.1. Calculo de la dimension fractal.
b. grafico de energıa vs “numero de pixel”.b.1. Calculo de la dimension de correlacion.
5.2.1. Transformacion de niveles de gris
Fue necesario realizar una rutina para Matlab que aplicara una transformacion
basica de niveles de gris [12], para poder observar las imagenes de estudio en el pro-
grama, pues al hacer el cambio de formato, las imagenes leıdas por Matlab presentaban
un corrimiento de la distribucion de intensidades hacia el negro. Se escogio para este
proposito, la Ley de Potencia. Esta transformacion es de la forma:
S = crγ (5.1)
donde c y γ son constantes positivas. De esta ecuacion se tiene que para valores de
γ > 1 se observa un corrimiento de los valores de intensidad hacia el blanco y para γ
52
< 1 se tiene exactamente el efecto contrario; si γ = 1 entonces se obtiene la imagen
original. Se escogio esta transformacion de niveles de gris ya que esta tecnica nos
permite acceder a todos los posibles valores de niveles de intensidad en la imagen.
Los valores de las constantes c y γ fueron escogidos por ensayo y error y permitieron
ajustar el valor optimo de nivel de intensidad para cada imagen en particular, hecho
que influye de manera directa y garantiza o no la correcta ubicacion de la lesion y
posterior aplicacion de los pasos de segmentacion de la imagen en estudio, tal y como
podemos observar en la figura 5.1
Figura 5.1: (a) imagen sin tratamiento, (b) Ley de Potencia (c = 1 y γ =1.62)
5.2.2. Segmentacion de la imagen
5.2.2.1. Establecimiento del umbral
Matlab representa las imagenes en terminos de matrices y vectores, lo cual nos
permite observar el rango de niveles de grises de toda la imagen e identificar una region
en particular de esta o el valor de intensidad en un punto dado. Siguiendo las pautas de
la tecnica de busqueda de umbral presentada en el capıtulo 3, se logra la segmentacion
de la imagen en estudio ubicando el nivel de gris apropiado, es decir, aquel que mejor
logra la separacion de la lesion del resto de las estructuras, este procedimiento se
53
realiza de manera interactiva. Este metodo de segmentacion de imagenes toma el
valor encontrado como valor umbral para la binarizacion de la imagen, tal como se
observa en la figura 5.2.
Figura 5.2: Establecimiento del umbral
5.2.2.2. Deteccion de Bordes
Para la busqueda de bordes de la imagen se preparo una rutina empleando los
siguientes metodos de deteccion de bordes: operador de Sobel, operador Laplaciano
y operador de Roberts (Apendice C). Aunque Matlab presenta como toolboxes para
el calculo de deteccion de bordes estos operadores anteriormente mencionados, se
deseaba hacer una comparacion con el fin de encontrar diferencias entre las rutinas
realizadas y los toolboxes de Matlab, tomando como premisa, la sospecha de que
Matlab podrıa hacer ciertos redondeos referentes a las imagenes. Luego de efectuado
el procedimiento discutido se llego a la conclusion de que no existen diferencias signi-
ficativas entre la rutina con diferentes metodos de deteccion de bordes y la efectuada
por el programa Matlab 7.0. Tomando en cuenta esto, se decidio usar los detectores
de bordes que Matlab proporciona como herramientas de extraccion de bordes, en-
contrandose el metodo de deteccion de bordes de Canny explicado en el capıtulo 3,
como el mas adecuado para este proposito por representar la mejor aproximacion a
54
los bordes verdaderos y ser el menos sensible al ruido (Figura 5.3).
Figura 5.3: Detector de bordes Canny
5.2.2.3. Extraccion de la lesion y cerrado del contorno
La escogencia del contorno se realiza de forma supervisada, seleccionandose un
pixel del contorno deseado con el “mouse”. Se extrae el contorno de la lesion, con el
fin de separar el contorno en estudio del resto de la imagen. Tambien se hace necesario
el cerrado del contorno para la posterior activacion del contorno deformable.
Tanto la extraccion como el cerrado del contorno objeto de estudio se realizaron
aplicando el algoritmo del “bug following” [22]. Este algoritmo procede a una busque-
da de contorno recorriendo la imagen en sentido de las agujas del reloj, comenzando
en el pixel correspondiente a la esquina inferior izquierda del contorno seleccionado;
el algoritmo trabaja revisando los valores de los cuatro (4) pixels inmediatos a el, lo
que se denomina conectividad-cuatro, como se observa en la figura 5.4.
Los movimientos se realizan alrededor del pixel central (P) hacia la derecha si
existe una transicion de un pixel blanco a un pixel negro o hacia al izquierda si la
transicion es de un pixel negro a un pixel blanco. Los ejes correspondientes a las
direcciones de conectividad-4 estaran alineados segun los ejes del movimiento del
55
Figura 5.4: Conectividad-4
pixel principal, es en esta forma en la que los movimientos de izquierda o derecha
seran definidos. La traza del contorno termina cuando el pixel central es igual al pixel
inicial, entonces el contorno sera cerrado. Figura 5.5
Figura 5.5: Extraccion y cerrado del contorno
5.2.3. Implementacion del modelo deformable
Atendiendo a las caracterısticas del grado de irregularidad en los bordes de las
lesiones en las imagenes de resonancia magnetica nuclear del sistema nervioso central
y los objetivos trazados en este estudio, se decidio emplear para la segmentacion de
nuestra region de interes un Snake al cual se le anadio como fuerza externa el Vector
de Flujo del Gradiente (GVF), propuesta por los autores Xu y Prince [18].
56
Para la implementacion del Snake como contorno deformable se agrego a Matlab
la librerıa del Snake desarrollada por el autor Chenyang Xu [23].
Se implemento el contorno deformable o Snake sobre la imagen obtenida de la ex-
traccion de la lesion, con el proposito de hacer el calculo de minimizacion del funcional
de energıa pixel a pixel.
A modo de comparacion tambien se realizaron las variaciones de energıa (numero
de iteraciones) del Snake en proceso sobre la imagen en estudio a fin de corroborar
que el contorno extraıdo de la lesion es equivalente con el contorno de la lesion real
(figura 5.6).
Figura 5.6: Snake en proceso sobre la imagen original
Se obtuvieron y guardaron, por cada pixel, como archivos de texto, para los cal-
culos de dimension fractal que se realizaran a continuacion, los valores de la energıa
del Snake final (figura 5.7), es decir, el que corresponde a la curva de mınima energıa
o bien, al Snake una vez que se encuentra sobre el borde extraıdo de la lesion; y se
graficaron vs la etiqueta o numero correspondiente al pixel o par (x,y).
Se calculo la dimension de correlacion de esta grafica empleando el metodo descrito
en el capıtulo 4. Mientras que para la figura final del Snake (ver figura 5.7) se cal-
57
Figura 5.7: Snake final sobre contorno extraido de la lesion (contorno rojo)
culo su dimension fractal utilizando el algoritmo de “Box Counting” (capıtulo 4).
En ambos casos el valor de la dimension esta representado por la pendiente de una
grafica resultante de la aplicacion del algoritmo correspondiente para el calculo de
la dimension respectiva, ambos algoritmos se encuentran explicados en el capıtulo
4, en la seccion 4.1.2 y plasmados en el Apendice B, el metodo utilizado en ambos
algoritmos para el calculo final de la dimension (pendiente), fue el ajuste de puntos
mediante el metodo de “Mınimos Cuadrados” descrito a continuacion:
El objetivo del algoritmo de ajuste por “Mınimos Cuadrados” es encontrar el
valor, de los puntos ajustados en una lınea, para los factores “a” y “b” en la siguiente
ecuacion:
y(x) = (ax) + b
58
∆ = (n∑
x2) − ((∑
x)2)
a =(∑
x∑
y) − (n∑
xy)
∆
b =(∑
x2∑
y) − (∑
x∑
xy)
∆
donde
∆ = literal auxiliar para calcular “a” y “b”.
a = valor de la pendiente en la ecuacion de la recta.
b = punto de corte en la ecuacion de la recta.
x= componentes en el eje “x” de los puntos a ajustar.
y= componentes en el eje “y” de los puntos a ajustar.
n= numero de puntos a ajustar.
59
Capıtulo 6
DISCUSION Y PRESENTACION DE LOSRESULTADOS
6.1. Analisis de las imagenes de RMN
El objetivo de este trabajo de investigacion es determinar y caracterizar lesiones
correspondientes a tumores del sistema nervioso central mediante el analisis del grado
de irregularidad en sus bordes en imagenes de resonancia magnetica nuclear.
Del total de las 298 imagenes inicialmente estudiadas, se escogieron y analizaron,
dadas sus caracterısticas particulares diecinueve (19) imagenes de RMN, a las cuales se
les practico el procedimiento descrito en el capıtulo 5. Todas las imagenes fueron eval-
uadas previamente por un medico especialista radiologo quien presento su diagnostico
( Dx) de la lesion en cada caso. Este diagnostico medico, sera la referencia para su
posterior comparacion con los resultados obtenidos como producto de la aplicacion
del metodo descrito en el capıtulo anterior.
6.2. Procesamiento de las imagenes Digitales
Mediante la aplicacion del procesamiento digital de imagenes descrito en el capıtu-
lo 5 se encontraron como resultados significativos los siguientes:
60
En las lesiones benignas se observa un rango estrecho de los niveles de intensi-
dad lo cual facilita su separacion del resto de las estructuras presentes en la imagen
con respecto a la segmentacion de las lesiones malignas ya que estas presentan poca
uniformidad en los niveles de grises que la componen. Sin embargo, se realizaron
pruebas a una misma imagen de resonancia magnetica nuclear empleando diversos
umbrales, (vease Apendice D), con el fin de descartar que la apreciacion visual del
usuario pueda afectar la confiabilidad del estudio, de esta prueba se encontraron re-
sultados positivos que afirman la fidelidad del metodo empleado en la investigacion;
estas pruebas no mostraron cambios significativos en el calculo de la dimension fractal
ni de la dimension de correlacion.
Mediante la extraccion de los bordes de las lesiones objeto de estudio se observo,
una diferencia evidente en las irregularidades presentes en los contornos de las lesiones
tanto malignas como benignas; presentando mayor grado de irregularidad las lesiones
malignas.
De la aplicacion del Snake como modelo deformable, se aprecio que, representa
una buena aproximacion en cuanto a la conformacion de las fronteras o bordes reales
de las lesiones. Una vez que el Snake se encuentra sobre el borde extraıdo de la
lesion, se obtuvieron como resultados los valores de la dimension fractal ( Df) y de
los resultados obtenidos del calculo de la dimension de correlacion ( Dc) obtenidos
de los graficos correspondientes a los valores de energıa del Snake en cada pixel, los
cuales se presentan en el cuadro 6.1. Se encontro un comportamiento desigual de
estos graficos, referentes al contorno de la lesion, en cuanto a la irregularidad de los
patrones presentes en las estructuras malignas, estos ademas, presentan mayor “grado
de complejidad”, mientras que en las lesiones benignas se observa un comportamiento
muy similar en los patrones de sus graficos de energıa, lo que confirma la importancia
de la forma geometrica en los bordes de las lesiones para su posterior diagnostico. De
estas graficas se obtuvieron los valores de la dimension de correlacion ( Dc) en cada
caso mostrandose los valores encontrados de manera creciente en el cuadro 6.1.
La aplicacion de este metodo permite separar las clases de tumores deseadas,
61
por lo que representa una buena aproximacion para la evaluacion de la malignidad
en lesiones del sistema nervioso central, encontrandose que las lesiones, tomando en
cuenta las irregularidades presente en sus bordes, pueden ser clasificados por su valor
de dimension como benignas o malignas. Se encontro que solo con la dimension de
correlacion es posible dicha clasificacion, pues los valores hallados para la dimension
fractal que se obtuvieron directamente de la figura del Snake no representan difer-
enciacion alguna en el aspecto deseado para esta clasificacion o al menos para este
reducido numero de imagenes no fue posible apreciar diferencia alguna. Se puede
observar un aumento del valor de la dimension de correlacion conforme aumenta el
“grado de complejidad” de los patrones en los graficos provistos por el funcional de
energıa, lo cual significa un aumento del valor de la dimension de correlacion conforme
aumenta la irregularidad en los bordes de las lesiones.
Se realizo el calculo de la dimension fractal o de capacidad y el el calculo de
dimension de correlacion para varias figuras geometricas (ver Apendice F); ası como,
una comparacion entre el valor de la dimension fractal realizado sobre el primer
borde segmentado de la lesion, es decir, el borde correspondiente a la seccion 5.2.2.3
descrita en el capıtulo 5 y el borde correspondiente a la curva de mınima energıa
o bien, provista por el Snake una vez que se encuentra sobre el borde extraıdo de
la lesion. Con estas pruebas se confirmo la efectividad del algoritmo programado en
cuanto al calculo de la dimension quedando de esta forma corroborada la presencia
de caracterısticas fractales en los tumores pues sus valores de dimension fractal y de
dimension de correlacion corresponden a valores no enteros.
En el Apendice E se muestran los graficos correspondientes a los valores de la
fuerza normalizada que actua en los bordes de una lesion como muestra de la po-
tencialidad que este metodo provee en cuanto al tipo de informacion que es posible
extraer de la digitalizacion de imagenes de resonancia magnetica nuclear emplean-
do como metodo de segmentacion los contornos deformables (“Snakes”). Es posible
variar estas fuerzas con el fin lograr que Snake logre adaptarse mejor a las cavidades
mas irregulares, sin embargo este tema atrae la atencion de numerosos investigadores
62
quienes aun continuan trabajando en el problema, como es el caso del autor Xu quien
publico la librerıa para Matlab usada en este trabajo de investigacion, donde se en-
cuentran todos los comandos correspondientes al ultimo avance de este tipo que se
ha realizado; conocido como el modelo de GVF.
6.3. Presentacion de los resultados
A continuacion se presentan las diecinueve (19) imagenes de RMN clasificadas
por el experto radiologo, acompanada cada una por el correspondiente Snake final
encontrado para la lesion, el grafico del funcional de energıa correspondiente a este
Snake y los valores respectivos encontrados para cada caso de dimension de capacidad
y dimension de correlacion.
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,0512 Dc = 1,0031
Figura 6.1:
63
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 1,0826 Dc = 1,0235
Figura 6.2:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 1,2708 Dc = 1,0362
Figura 6.3:
64
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 0,9859 Dc = 1,0452
Figura 6.4:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,1230 Dc = 1,1145
Figura 6.5:
65
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 1,0218 Dc = 1,1190
Figura 6.6:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 0,9941 Dc = 1,1197
Figura 6.7:
66
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 1,1055 Dc = 1,1209
Figura 6.8:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,0718 Dc = 1,1566
Figura 6.9:
67
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,1094 Dc = 1,1859
Figura 6.10:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Benigna Df = 1,0641 Dc = 1,2090
Figura 6.11:
68
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,0989 Dc = 1,2415
Figura 6.12:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,1270 Dc = 1.2466
Figura 6.13:
69
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1,1229 Dc = 1.2723
Figura 6.14:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1.0863 Dc = 1,2784
Figura 6.15:
70
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1.0895 Dc = 1,2887
Figura 6.16:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1.1295 Dc = 1,2921
Figura 6.17:
71
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1.1051 Dc = 1,3077
Figura 6.18:
Imagen OriginalSnake asociado a la
lesion
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Dx: Maligna Df = 1.617 Dc = 1,3103
Figura 6.19:
72
En el cuadro 6.1 presentado a continuacion se muestran los valores obtenidos
en cada caso, de los calculos de dimension fractal o de capacidad y de dimension de
correlacion, ordenados en forma creciente segun el valor de la dimension de correlacion.
Se encuentra que para las lesiones malignas el valor de la dimension de correlacion
tiende a ser mayor, excepto en algunos casos donde su valor se encuentra por debajo de
los valores en las lesiones benignas; sin embargo se expone una cercanıa en los valores
obtenidos para las lesiones de tipo benignas donde se hace evidente la separacion de
los dos tipos de lesiones estudiadas.
Dx Dimension fractal Dimension de correlacionFigura 6.1 Maligna 1,0512 1,0031Figura 6.2 Benigna 1,0826 1,0235Figura 6.3 Benigna 1,2708 1,0362Figura 6.4 Benigna 0,9859 1,0452Figura 6.5 Maligna 1,1230 1,1145Figura 6.6 Benigna 1,0218 1,1190Figura 6.7 Benigna 0,9941 1,1197Figura 6.8 Benigna 1,1055 1,1209Figura 6.9 Maligna 1,0718 1,1566Figura 6.10 Maligna 1,1094 1,1859Figura 6.11 Benigna 1,0641 1,2090Figura 6.12 Maligna 1,0889 1,2415Figura 6.13 Maligna 1,1270 1,2466Figura 6.14 Maligna 1,1229 1,2723Figura 6.15 Maligna 1,0863 1,2784Figura 6.16 Maligna 1,0895 1,2887Figura 6.17 Maligna 1,1295 1,2921Figura 6.18 Maligna 1,1051 1.3077Figura 6.19 Maligna 1,0617 1,3103
Cuadro 6.1:
73
Capıtulo 7
CONCLUSIONES
√Las lesiones en general pueden ser clasificadas por su valor de dimension fractal
y de correlacion como benignas o malignas. Siendo la dimension de correlacion mas
confiable de los metodos planteados en este trabajo para esta clasificacion de la lesion.
√La implementacion del Snake permite obtener informacion importante como energıa
del modelo deformable, en los bordes de las lesiones presentes en la imagen lo cual nos
abre un campo de posibilidades en cuanto a la exploracion de nuevas areas referentes a
procesamiento de imagenes medicas de RMN; sin embargo se encontro que a pesar del
alcance de las fuerzas externas propuestas en el modelo de Snake, este aun presenta
problemas para adherirse en las fronteras que presentan concavidades muy irregulares
aunque sigue representando la mejor opcion a una aproximacion de los bordes en una
imagen.
√Los valores de energıa del Snake calculados en los contornos de las lesiones se pueden
representar como series temporales, las cuales facilitan el calculo de la dimension de
correlacion.
√Dimension de correlacion aumenta en valor conforme aumenta el “grado de compleji-
dad” en los patrones de los graficos provistos por el funcional de energıa, este a su vez,
se ve acrecentado conforme incrementan las irregularidades de sus contornos; esto es,
la dimension de correlacion aumenta en valor conforme aumenta la irregularidad de
los bordes de las lesiones.
74
√El detector de bordes Canny representa una mejor aproximacion a los bordes reales por
ser menos sensible al ruido que los detectores de bordes Sobel, Roberts y Laplaciano
para los fines de este estudio.
√La apreciacion visual del usuario en la aplicacion del metodo de establecimiento de
umbrales no presenta cambios significativos en el calculo de la dimension fractal ni la
dimension de correlacion.
75
Capıtulo 8
RECOMENDACIONES
√Se recomienda hacer estudios de las lesiones sobre imagenes de RMN en T1 y Dp dado
que cada una podrıa presentar umbrales de segmentacion diferentes.
√Hacer estudios en 3D.
√Utilizar este metodo para analizar diferentes tipos de estudios imagenologicos.
√Realizar este estudio en otras partes anatomicas.
√Utilizar el Snake directamente sobre las imagenes Dicom y estudiar los patrones de
fuerzas externas.
√Hacer estudios de seguimiento de crecimiento de tumores en el tiempo, con distintos
tipos de terapia con el fin de obtener una base de datos que quizas sea capaz de
predecir la velocidad de crecimiento tumoral en distintas patologıas y con distintos
tratamiento.
76
APENDICE A
BREVE DESCRIPCION DEL SISTEMA NERVIOSO CEN-TRAL
SISTEMA NERVIOSO
El Sistema Nervioso, es el mas completo y desconocido de todos los sistemas que
conforman el cuerpo humano, asegura junto con el Sistema Endocrino, las funciones
de control del organismo.
Es capaz de recibir informacion de las alteraciones que ocurren en su ambiente
externo e interno, e integrar innumerables datos procedentes de los distintos organos
sensoriales que le permiten reaccionar a la informacion de forma adecuada y de esta
manera lograr una respuesta del cuerpo; ası la totalidad de las funciones vitales del
organismo, se llevan a cabo bajo la coordinada y perfecta supervision del Sistema
Nervioso, formado por una cantidad varias veces millonaria en celulas y filamentos
altamente especializados para desarrollar su trabajo.
Segun Rouviere [24] la fisiologıa permite reconocer en el sistema nervioso del
hombre dos sistemas nerviosos distintos.
Uno se denomina sistema nervioso de la vida de relacion porque pone en relacion
al organismo con el mundo exterior. Gracias a el los movimientos se ejecutan y las
sensaciones se perciben.
77
El otro es el sistema nervioso de la vida vegetativa, u organovegetativo, que con-
trola la mayor parte de la actividad involuntaria de los organos y glandulas, como
por ejemplo las funciones de nutricion, las secreciones, el ritmo cardıaco, etc.
Durante mucho tiempo se creyo que los dos sistemas nerviosos, el de la vida
vegetativa y el de la vida de relacion estan en gran parte estrechamente involucrados.
El conjunto formado por ambos sistemas comunmente se divide en dos partes:1)una
parte central, masiva, contenida en la cavidad craneorraquıdea, que es el sistema
nervioso central, denominado tambien eje-di encefalo-espinal o bien neuroeje; y 2)el
sistema nervioso periferico, constituido por los nervios que conectan el sistema nervioso
central con todas las partes del organismo. Sobre el trayecto de los nervios, en puntos
determinados, se encuentran los ganglios nerviosos.
SISTEMA NERVIOSO CENTRAL
El sistema nervioso central (SNC) se divide en dos segmentos principales (ver
figura A.1): un segmento superior, el encefalo, contenido en la cavidad craneal; un
segmento inferior, la medula espinal, situada en el conducto raquıdeo. La configu-
racion exterior e interior del sistema nervioso central en el adulto derivan de una sola
formacion inicial: el tubo nervioso o medular.
DIVISION DEL SISTEMA NERVIOSO CENTRAL
El sistema nervioso central de manera general se compone de dos partes:
1◦. El encefalo, situado en el interior del craneo. Se compone del cerebro, el
cerebelo, y el bulbo raquıdeo.
2◦. La medula espinal, procedente de todo el resto del tubo medular.
78
Figura A.1-Sistema Nervioso Central
1.2.1.2 ENCEFALO
En el encefalo, se distinguen tres segmentos principales.
1. El rombencefalo, o cerebro posterior, se encuentra localizado en la parte inmedi-
atamente superior de la medula espinal y esta formado por tres estructuras:
El bulbo, sigue a la medula espinal. Su longitud es de 3 centımetros aprox-
imadamente.
La protuberancia anular o puente de Varolio que esta colocada arriba del
bulbo, abajo del encefalo.
El cerebelo, esta situado en el piso inferior del craneo por detras del bulbo
y de la protuberancia y por debajo de los hemisferios cerebrales.
79
2. El mensencenfalo, o cerebro medio, conecta el puente de Varolio y el cerebelo
con el diencefalo.
3. El prosencefalo, o cerebro anterior, comprende los hemisferios cerebrales y las
formaciones interhemisfericas.
MEDULA ESPINAL
La medula espinal es primordialmente, un conductor nervioso y su principal fun-
cion es la transmision de los impulsos sensibles, esta comprobado que tambien actua
como centro nervioso para algunos actos de reflejo ajenos a la sensibilidad consciente
del individuo.
La medula espinal es la parte del sistema nervioso central contenida en el con-
ducto raquıdeo. Tiene la forma de un tallo cilındrico de color blanquecino; mide, en
promedio, 45cm de longitud en el hombre, 42cm en la mujer y 1cm de ancho.
La medula espinal no es, sin embargo, regularmente cilındrica. Presenta dos ensan-
chamientos, uno superior o cervical y otro inferior o lumbar. Estos ensanchamientos
corresponden a los segmentos de la medula que dan nacimiento a los nervios raquıdeos
destinados a los miembros inferiores y superiores
La medula espinal, como todas las partes del sistema nervioso central, esta com-
puesta por sustancia blanca, formada principalmente por fibras nerviosas y sustancia
gris, constituida por cuerpos neuronales.
La sustancia gris del neuroeje debe su coloracion particular a que esta constituida
esencialmente por los cuerpos celulares de celulas nerviosas y por fibras nerviosas
amielınicas.
Los cuerpos celulares existen en toda la sustancia gris, pero estan desigualmente
repartidos. Se agrupan en ciertos puntos en masas claramente circunscritas llamadas
80
nucleos. Los nucleos se extienden en columnas mas o menos contınuas en toda la
longitud de la medula.
En la superficie exterior de cada mitad de la medula aparecen tres cordones de
sustancia blanca que se extienden en profundidad hasta la sustancia gris. Los nervios
raquıdeos se desprenden de la medula espinal por dos raıces, una anterior, motora,
y la otra posterior, sensitiva. Se cuentan treinta y un pares de nervios raquıdeos los
cuales se suelen dividir en: 1)ocho pares cervicales entre la septima vertebra cervical
y la primera dorsal; 2)doce dorsales; 3)cinco lumbares; 4)cinco sacros; 5)un coccıgeo.
Los pares dorsales, lumbares y sacros toman el numero de la vertebra situada por
encima de ellos.
MENINGES
El eje cerebro espinal esta enteramente envuelto por tres membranas concentricas,
las meninges, que son, de afuera hacia adentro: la duramadre, la aracnoides y la
piamadre. Las tres meninges presentan caracteres diferentes en la cavidad raquıdea y
en la cavidad craneal.
La duramadre es una membrana fibrosa, gruesa y resistente. La duramadre
raquıdea o espinal es un tubo fibroso que contiene la medula espinal y las raıces
raquıdeas. Se conoce con el nombre de duramadre craneal a la membrana fibrosa for-
mada por la fusion del periostio con la duramadre propiamente dicha. La duramadre
craneal recubre regularmente la cara interna del craneo emitiendo prolongaciones que
mantienen en su lugar a las distintas partes del encefalo y contiene los senos venosos,
donde se recoge la sangre venosa del cerebro.
La aracnoides es una delgada tela conjuntiva, comprendida entre la duramadre y
la piamadre. Esta adherida en toda su extension a la cara interna de la duramadre, por
esta razon presenta, la misma configuracion que la duramadre; de la que esta separada
por el espacio subdural o supraaracnoideo.
81
La piamadre es una lamina delgada, transparente, de tejido conjuntivo laxo, que
recubre fielmente toda la superficie externa del neuroeje. Tambien se llama membrana
nutricia, porque contiene un su espesor muy numerosas ramificaciones vasculares. La
superficie interna de la piamadre esta unida a los centros nerviosos y la superficie
externa esta separado de la aracnoides por el tejido subaracnoideo.
La piamadre raquıdea tapiza toda la superficie de la medula y se le adhiere ınti-
mamente. La piamadre se prolonga por debajo de la medula, hasta el fondo del saco
de la duramadre. De la superficie externa nacen prolongaciones que unen la piamadre
con la duramadre a traves de los espacios subaracnoideos, la aracnoides y la cavi-
dad supraaracnoidea. A cada lado de la medula existe una lamina fibrosa, vertical
y transversal, extendida en toda la altura de la medula, entre su cara lateral y la
superficie interna de la duramadre. Se denomina ligamento dentado.
La piamadre craneal sigue a la piamadre raquıdea. Esta mucho mas vascularizada
y es menos adherente que esta. Reviste directamente la superficie exterior del encefalo.
LIQUIDO CEFALORRAQUIDEO
El lıquido cefalorraquıdeo, es incoloro y lımpido. Se encuentra localizado dentro los
ventrıculos cerebrales y tambien rodea la superficie del encefalo y la medula espinal
en el espacio subaracnoideo. Se produce en los plexos coroideos de los ventrıculos
(laterales, tercero y cuarto), estos son como ovillos capilares cubiertos por celulas
epiteliales. Estas celulas absorben el LCR de la corriente sanguınea y lo segregan al
interior de los ventrıculos.
El lıquido cefalorraquıdeo circula desde los ventrıculos laterales, a traves del agu-
jero interventricular, el agujero de Monro, hacia el tercer ventrıculo para luego por
medio del acueducto cerebral (acueducto de Silvio) pasar al cuarto ventrıculo, desde
aquı pasa al espacio subaracnoideo tanto encefalico como medular. Finalmente se re-
absorbe, a nivel del raquis a nivel del craneo posiblemente por las granulaciones de
82
Pacchioni, se denominan ası, a pequenas masas en forma de botones vellosos de tejido
subaracnoideo y unidas a la aracnoides por un pedıculo.
TEJIDO NERVIOSO
Los organos del sistema nervioso estan formados por el tejido nervioso, que a su
vez esta constituido por los cuerpos de las celulas nerviosas y sus prolongaciones, y
por la neuroglıa.
COMPOSICION DEL TEJIDO NERVIOSO
El tejido nervioso esta formado por dos tipos de celulas:
1. Celulas nerviosas o neuronas: son las unidades elementales del sistema
nervioso. Son celulas de forma estrellada y con prolongaciones. No se repro-
ducen.
Las neuronas, estan formadas fundamentalmente por un cuerpo y por las pro-
longaciones de las neuronas que salen del cuerpo de la celula formando las
dendritas y el axon ( ver figura A.2).
El cuerpo o soma, contiene la membrana citoplasmatica, un medio lıqui-
do que cuya funcion es permitir que la celula respire, utilice los nutrientes
que recibe para obtener energıa y produzca nuevas sustancias, y el nucleo,
que encierra el acido desoxirribonucleico (ADN) el cual constituye el ma-
terial genetico de los organismos.
Las dendritas son ramificaciones que se encuentran cerca del cuerpo de la
celula y que se conectan con otras celulas. Las extremidades de cada una
de las ramas de cada dendrita puede conectarse con otras celulas.
83
El axon es una larga prolongacion del cuerpo de la celula que termina
igualmente en ramificaciones a traves de las cuales las neuronas son ca-
paces de comunicarse con otras celulas por medio de senales de naturaleza
electrica, impulsos nerviosos. Los axones contienen una envoltura aislante
que lo rodea completamente; este aislante esta formado por celulas lla-
madas celulas de Schwann, que se enrollan alrededor del axon, formando
varias capas. Las celulas de Schwann contienen mielina (sustancia grasa
muy aislante) que impide que las senales electricas pierdan fuerza, dada la
longitud del axon; esta mielina suele presentar constricciones a intervalos
regulares a lo largo del axon, estas constricciones se denominan nodulos de
Ranvier. Los axones de las neuronas se agrupan en manojos formando las
fibras nerviosas. A su vez, las fibras nerviosas forman los nervios que desde
la periferia envıan informacion hasta el cerebro y/o la medula espinal o
viceversa.
Figura A.2-Neurona
84
Las neuronas estan vinculadas entre sı para formar vıas de conduccion fun-
cionales. Se llama sinapsis al lugar donde dos neuronas entran en proximidad
y ocurre una comunicacion interneuronal funcional. El tipo mas frecuente de
sinapsis es el que se establece entre el axon de una neurona y la dendrita de
otra, sinapsis axodendrıtica. La sinapsis, se produce mediante senales quımi-
cas y electricas, y se lleva a cabo en los botones sinapticos o boton terminal,
situados en cada extremo de las ramificaciones del axon.
Las neuronas son las celulas funcionales del tejido nervioso. Son celulas espe-
cializadas en conduccion, transmision, recepcion de impulsos nerviosos. Suelen
ser clasificadas de acuerdo al numero de prolongaciones que posean en, unipo-
lares, bipolares o multipolares. Si se considera la funcion que desempenan se
pueden clasificar en, sensitivas o aferentes, motoras o eferentes e intercalares o
de asociacion.
Se interconectan formando redes de comunicacion que transmiten senales co-
mo impulsos nerviosos por zonas definidas del sistema nervioso. Las funciones
complejas del sistema nervioso son consecuencia de la interaccion entre redes
de neuronas, y no el resultado de las caracterısticas especıficas de cada neurona
individual.
2. Celulas de neuroglia o glia: son celulas auxiliares cuyas funciones son dar
soporte, proteccion y nutricion a las neuronas. Por cada neurona hay entre 10
y 50 celulas de neuroglia y a diferencia de las neuronas retienen su capacidad
de proliferar.
Existen diferentes tipos de celulas gliales:
Astrocitos o astroglia: son muy abundantes en el cerebro y en la medu-
la espinal. Tiene cuerpos celulares pequenos y gran cantidad de prolonga-
ciones que se irradian del soma. Se entrelazan alrededor de la neurona para
formar una red de sosten. Suelen dividirse en Astrocitos protoplasmaticos,
que se concentran de preferencia asociados a el soma, dendritas, termina-
ciones axonicas en la sustancia gris, en sus prolongaciones se observa el
85
citoplasma del soma y Astrocitos fibrosos, llamados de esta manera por
contener gran cantidad de fibrillas (gliofibrillas) en sus prolongaciones. Es-
tos ultimos se asocian de preferencia a las fibras nerviosas de la sustancia
blanca.
Microglias: Son las celulas mas pequenas y se hallan dispersas en todo
el SNC. En sus cuerpos celulares se originan prolongaciones ondulantes
ramificadas que tienen numerosas proyecciones. Son inactivas en el SNC
normal, proliferan en la enfermedad y son activamente fagocıticas (su cito-
plasma se llena con lıpidos y restos celulares).
Oligodendrocitos o Oligodendroglia: son mas pequenas que los as-
trositos y con pocas prolongaciones, no hay filamentos en su citoplasma.
Ademas de la funcion de sosten y union; junto con las celulas de Schwann
producen la Vaina de Mielina que tiene una importante funcion en la ve-
locidad de propagacion del impulso nervioso. Una oligodendroglia puede
formar mielina en cada una de sus prolongaciones que se adhieren inicial-
mente a un axon, de modo que internodos mielinizados de varios axones de-
penden un oligodendrocito. Se encuentran localizados en hileras a lo largo
de los nervios mielınicos, rodeando los cuerpos de las celulas nerviosas. Se
han identificado dos tipos de oligondendrocitos en la neuroglia del SNC, los
oligodendrocitos interfaciculares, se encargan de la produccion de mielina
y aislamiento del axon; y los oligodendrocitos satelitales o capsulares, los
cuales se creen que sostienen, protegen y nutren a las celulas ganglionares
de los ganglios raquıdeos.
Ependimo: revisten las cavidades del encefalo y el conducto central de la
medula espinal. Las celulas ependimales contribuyen al flujo de lıquido ce-
falorraquıdeo ya que a traves de ellas el LCR se comunica con los espacios
intercelulares existentes entre las celulas nerviosas y las glıas. Presentan
ademas largas prolongaciones en su zona basal que se asocian a las prolon-
gaciones de la astroglia y en su superficie apical presenta microvellocidades
y cilios.
86
APENDICE B
ALGORITMOS CENTRALES
Implementacion del Snake
%SNAKE
imagen=dicomread(’test177.dcm’);
figure(1),imshow (imagen)
c = input(’de el valor de la ctte "c"’);
%c=1;
pixel = input(’de la longitud de una linea la imagen’);
%pixel=256;
gamma =input(’de el valor de gamma’);
%gamma=1.62;
for i = 1:pixel
for j = 1:pixel
r = imagen(i,j);
r = double(r);
s = power(r,gamma);
s = double(s);
imagen(i,j) = uint16(s);
end;
end;
figure(2),imshow (imagen)
%imagen=imcrop;
imagen
[x1,y1,p1] = impixel
87
umbral=p1;
%umbral =input(’introduzca el valor del umbral’);
%[xmax,ymax] = size(imagen);
%for i = 1:xmax
for i = 1:256
%for j = 1:ymax
for j = 1:256
gradiente = imagen(i,j);
if gradiente >= umbral
imagen2(i,j) = 1;
else
imagen2(i,j) = 0;
end;
end;
end;
figure(3), imshow(imagen2)
figure (4), imshow(imagen3)
se = strel(’disk’,1);
for i = 1:4
closeBW = imclose(imagen2,se);
end
figure (5), imshow(closeBW)
%BUSQUEDA DEL BORDE
BWW=edge(closeBW,’canny’);
figure (6), imshow(BWW)
[xmax,ymax] = size(BWW);
[x1,y1,p1] = impixel;
ejex=y1; ejey=x1;
x=y1
y=x1
p1
%pixel=p1(1)
pixel=1;
for i = 1:256
for j = 1:256
bug(i,j)=0;
AUX(i,j)=closeBW(i,j);
88
end
end
while p1~=1,
for p1=0
figure(7) = imshow(BWW);
H = input( ’debe escojer un pixel del borde’);
[x1,y1,p1]=impixel;
end;
end;
%CERRADO DEL CONTORNO
flag=0;
posicion=0;
conta=1;
while(flag==0)
if(pixel==1)
flag1=0;
if(posicion==0 & flag1==0)
pixel=AUX(x,y-1);
if(pixel==1)
bug(x,y-1)=1;
end
x=x; y=y-1; flag1=1; posicion=3;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
if(posicion==1 & flag1==0)
pixel=AUX(x-1,y);
if(pixel==1)
bug(x-1,y)=1;
end
x=x-1; y=y; flag1=1; posicion=0;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
if(posicion==2 & flag1==0)
pixel=AUX(x,y+1);
if(pixel==1)
bug(x,y+1)=1;
end
x=x; y=y+1; flag1=1; posicion=1;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
89
end
if(posicion==3 & flag1==0)
pixel=AUX(x+1,y);
if(pixel==1)
bug(x+1,y)=1;
end
x=x+1; y=y; flag1=1; posicion=2;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
end
if(pixel==0)
flag1=0;
if(posicion==0 & flag1==0)
pixel=AUX(x,y+1);
if(pixel==1)
bug(x,y+1)=1;
end
x=x; y=y+1; flag1=1; posicion=1;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
if(posicion==1 & flag1==0)
pixel=AUX(x+1,y);
if(pixel==1)
bug(x+1,y)=1;
end
x=x+1; y=y; flag1=1; posicion=2;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
if(posicion==2 & flag1==0)
pixel=AUX(x,y-1);
if(pixel==1)
bug(x,y-1)=1;
end
x=x; y=y-1; flag1=1; posicion=3;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
if(posicion==3 & flag1==0)
pixel=AUX(x-1,y);
if(pixel==1)
bug(x-1,y)=1;
end
90
x=x-1; y=y; flag1=1; posicion=0;
posx(conta)=x; posy(conta)=y;
end
end
if((x==ejex) & (y==ejey))
flag=1;
end
conta=conta+1;
end
figure (8), imshow(bug)
[x2,y2] = ginput(1)
for i = 1:256
for j = 1:256
if(bug(i,j)==0)
I(i,j)=255;
else
I(i,j)=1;
end
end
end
for i = 1:256
for j =1:256
borde(i,j)=0;
end;
end
% IMPLEMENTACION DEL SNAKE
disp(’ calculando edge map ...’);
f = 1 - I/255;
disp(’ calculando GVF ...’);
[u,v] = GVF(f, 0.2, 80);
disp(’ normalinzando el GVF de la fuerza externa ...’);
mag = sqrt(u.*u+v.*v);
px = u./(mag+1e-10); py = v./(mag+1e-10);
91
figure(10);
subplot(1,2,1); imdisp(I); title(’imagen test’);
subplot(1,2,2); imdisp(f); title(’edge map’);
disp(’ Presiona cualquier tecla para comenzar GVF snake’);
pause;
subplot(1,2,1);
image(((1-f)+1)*40);
axis(’square’, ’off’);
colormap(gray(64));
t = 0:0.05:6.28;
x = x2 + 30*cos(t);
y = y2 + 40*sin(t);
[x,y] = snakeinterp(x,y,3,1);
snakedisp(x,y,’b’)
pause(1);
for i=1:25,
[x,y] = snakedeform(x,y,0.05,0,1,0.6,px,py,5);
[x,y] = snakeinterp(x,y,3,1);
snakedisp(x,y,’b’)
title([’Snake en proceso, iter = ’ num2str(i*5)])
pause(0.5);
dimx=size(x);
for j=1:dimx(1),
V(j) = sqrt(x(j)*x(j) + y(j)*y(j));
end
d = 0.0;
for j=1:(dimx(1)-1),
if(j < (dimx(1)-1) )
d = d + abs(V(j+1) - V(j));
end
end
dprom = d/(dimx(1)-1);
for j=1:dimx(1),
92
if(j > 1 )
Econt(j) = dprom - abs(V(j) - V(j-1));
end
end
for j=2:dimx(1),
if(j < dimx(1))
producto(j) = V(j-1) - 2*V(j) - V(j+1);
Ecurv(j) = abs(producto(j)*producto(j));
end
end
Eedge = -1*gradient(V);
dimE=size(Econt);
alfa = 0.6; beta = 0.0; gamma = 1;
for j=1:dimE(2),
if(j<dimE(2))
Esnake(j) = alfa*Econt(j) + beta*Ecurv(j) +
gamma*Eedge(j);
else
Esnake(j) = alfa*Econt(j) + gamma*Eedge(j);
end
end
end
ENE = fopen(’energia177PRUE.txt’,’w’);
for i = 1:dimE(2)
fprintf(ENE,’%g\n’,Esnake(i));
end
fclose(ENE);
j=1:dimE(2);
figure(11); plot(j,Esnake(j))
disp(’ Presione cualquier tecla para mostrar el resultado final’);
93
pause;
cla;
%colormap(gray(64)); image(((1-f)+1)*40); axis(’square’, ’off’);
figure(12)
imshow(borde);
snakedisp(x,y,’w’)
title([’resultado final, iter = ’ num2str(i*5)]);
disp(’ ’);
pause;
%grafico de fuerza no normalizada (J)
figure(13);
[fx,fy] = gradient(f);
subplot(111); quiver(fx,fy);
%grafico de fuerza normalizada (J)
figure(14);
subplot(111); quiver(px,py)
Calculo de la Dimension de Correlacion
fid=fopen(’Energia177.txt’);
ener=fscanf(fid,’%g’,[1 inf]);
fclose(fid);
dimener = size(ener)
for i = 1:dimener(2)
X(i) = ener(i);
Y(i) = ener(i);
end
94
M=5;
N=dimener(2)
epsilon=0.0;
incre=1;
while(epsilon <= 10)
contador1=0.0;
for i = 1:N-M;
contador=0;
for j = 1:N-M;
suma = 0.0;
for m = 0:M
if((i + m)~=(j + m))
resta = X(i+m) - Y(j+m);
suma = suma + resta*resta;
end
end
modulo = sqrt(suma);
if((epsilon - modulo) > 0.0);
contador = contador + 1;
end
end
contador1 = contador1 + contador;
end
CONTA(incre) = contador1;
EPSI(incre)=epsilon;
epsilon = epsilon + 0.001;
incre = incre+1;
end
k = 1:incre-2;
figure(1); plot(log10(EPSI(k+1)),log10((CONTA(k+1)/(N-M)*(N-M))))
for i = 30:5000;
VALORX(i-29)=log10(EPSI(i));
VALORY(i-29)=log10((CONTA(i)/(N-M)*(N-M)));
end
L=VALORX;
sumax=0;
sumay=0;
95
sumaxy=0;
sumaxx=0;
for m = 1:L
sumax = sumax + VALORX(m);
sumay = sumay + VALORY(m);
sumaxy = sumaxy + VALORX(m)*VALORY(m);
sumaxx = sumaxx + VALORX(m)*VALORX(m);
end
numerador = L*sumaxy + ((-1)*sumax*sumay);
numerador1 = sumaxx*sumay + ((-1)*sumax*sumaxy);
denominador = L*sumaxx + ((-1)*sumax*sumax);
pendiente = numerador/denominador
puntodcort = numerador1/denominador
Calculo de la Dimension Fractal
[IM,map] = imread(’figurita10.jpg’);
figure(1)
imshow(IM)
for i = 1:256
for j = 1:256
A(i,j)=IM(29+i,38+j);
end
end
uint16(A);
figure(2)
imshow(A)
for i = 1:256
for j = 1:256
if(A(i,j)>200)
A(i,j)=255;
Load(i,j)=1;
else
A(i,j)=0;
96
Load(i,j)=0;
end
end
end
uint16(Load);
figure(3)
imshow(A)
P=8;
N=0;
exp=0;
for m = 0:P
cont=0;
p=2^m;
for y = 1:p:256;
for x =1:p:256;
j=0;
while(j < p)
i=0;
while(i<p)
if(Load(j+y,i+x)==1)
cont=cont+1;
i=p;
j=p;
end
i=i+1;
end
j=j+1;
end
end
end
XX(m+1) = log(1.0/p);
YY(m+1) = log(cont);
N=N+1;
end
N=P+1;
sumax=0;
sumay=0;
sumaxy=0;
sumaxx=0;
97
for m = 1:N
sumax = sumax + XX(m);
sumay = sumay + YY(m);
sumaxy = sumaxy + XX(m)*YY(m);
sumaxx = sumaxx + XX(m)*XX(m);
end
numerador = N*sumaxy + ((-1)*sumax*sumay);
numerador1 = sumaxx*sumay + ((-1)*sumax*sumaxy);
denominador = N*sumaxx + ((-1)*sumax*sumax);
pendiente = numerador/denominador
puntodcort = numerador1/denominador
98
APENDICE C
Busqueda de Bordes por Metodos del Gradiente
magen=dicomread(’test10.dcm’);
figure(1),imshow (imagen)
c = input(’de el valor de la ctte "c"’);
pixel = input(’de la longitud de una linea la imagen’);
gamma =input(’de el valor de gamma’);
for i = 1:pixel
for j = 1:pixel
r = imagen(i,j);
r = double(r);
s = power(r,gamma);
s = double(s);
imagen(i,j) = uint16(s);
end
end
figure(2),imshow (imagen)
preg=input(’introduzca el numero correspondiente al metodo de busqueda
de bordes que desea emplear: Rogerts (1), Sobel (2), Laplaciano(3)’);
[xmax,ymax] = size(imagen);
if preg==1
99
%Gradiente de Roberts (1)
%BW=edge(imagen,’roberts’);
[xmax,ymax] = size(imagen);
for i = 2:xmax-1
for j=2:ymax-1
a = imagen(i,j);
b = imagen(i+1,j);
c = imagen(i,j+1);
d = imagen(i+1,j+1);
diag1 = abs(a-d);
diag2 = abs(b-c);
imagen1(i,j) = 3*(diag1+diag2);
end;
end;
figure(3), imshow(imagen1);
end;
if preg==2
%Gradiente de Sobel (2)
%BW=edge(imagen,’sobel’);
[xmax,ymax] = size(imagen);
for j = 2,i = 2:ymax-1,xmax-1,
a = imagen(i-1,j-1);
b = imagen(i-1,j);
c = imagen(i-1,j+1);
d = imagen(i,j-1);
f = imagen(i,j+1);
g = imagen(i+1,j-1);
100
h = imagen(i+1,j);
i = imagen(i+1,j+1);
deltay = abs((c+(2*f)+i)-(a+(2*d)+g));
deltax = abs((g+(2*h)+i)-(a+(2*b)+c));
imagen1(i,j)=deltay+deltax;
end;
%ImshowTruesize = size(imagen);
figure(3), imshow(imagen1);
%IPTSETPREF(ImshowTruesize,10)
%figure(4), truesize(imagen1,[256 256]);
end;
if preg==3
%Laplaciano (3)
%BW=edge(imagen,’log’);
[xmax,ymax] = size(imagen);
for i = 2:xmax-1
for j=2:ymax-1
b = imagen(i,j-1);
d = imagen(i-1,j);
e = imagen(i,j);
f = imagen(i+1,j);
h = imagen(i,j+1);
bordex = abs((d-e)-(e-f));
bordey = abs((h-e)-(e-b));
imagen1(i,j) = 5*(bordex+bordey);
end;
end;
figure(3), imshow(imagen1);
end;
101
%imagen1=BW;
%end;
102
APENDICE D
Prueba de Niveles de Intensidad
Con el fin de observar como se ve afectada, debido a las variaciones dentro de un
cierto rango de los niveles de intensidad (que permita separar la lesion del resto de las
estructuras), la conformacion final de la frontera de la lesion, se realizaron cuatro (04)
pruebas a la misma imagen de resonancia magnetica nuclear, variando los valores de
umbrales o niveles de intensidad (NI) en el procesamiento de la imagen correspondi-
ente a establecimiento del umbral (Capıtulo 5, seccion 5.2.2.1). De la misma manera
que se planteo el procesamiento de la imagen en el capitulo 5; se calcularon dimension
fractal o de capacidad y dimension de correlacion para cada caso. A continuacion se
presentan, para cada imagen obtenida de la segmentacion empleando como umbral el
valor de NI escogido, los valores obtenidos:
Imagen empleada para la prueba:
Dx: Maligna
103
1. Prueba N◦ 1
NI = 53.151
Imagen segmentadaMetodo de Umbrales
Snake asociado a laimagen
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Df = 1,1956 Dc = 1,3896
2. Prueba N◦ 2
NI = 54.407
Imagen segmentadaMetodo de Umbrales
Snake asociado a laimagen
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Df = 1,1951 Dc = 1,3252
104
3. Prueba N◦ 3
NI = 56.100
Imagen segmentadaMetodo de Umbrales
Snake asociado a laimagen
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Df = 1,1959 Dc = 1,3023
4. Prueba N◦ 4
NI = 57.275
105
Imagen segmentadaMetodo de Umbrales
Snake asociado a laimagen
Grafico de Energıa Vs.N◦ de pixel
Df = 1,1980 Dc = 1,3039
106
APENDICE E
Para validar los resultados obtenidos por los algoritmos programados para este
trabajo se realizaron dos pruebas. La primera de ellas consiste en aplicar los algoritmos
a cuatro (04) figuras geometricas, circulo, cuadrado, triangulo y rombo; a las cuales se
les practico el procedimiento descrito en el capıtulo 5 para las imagenes de resonancia
magnetica, sabiendo que para estas figuras geometricas sus valores de dimension,
tanto de capacidad como de correlacion, corresponden a valores enteros. La segunda
prueba consiste en calcular la dimension de capacidad tanto al borde de la lesion
encontrado por el algoritmo “bug following” como al borde correspondiente al Snake
final, ambos obtenidos de una misma imagen de resonancia magnetica nuclear. Los
resultados encontrados fueron los siguientes:
1. Prueba N◦ 1
Figura: CirculoSnake asociado a la
figuraGrafico de Energıa Vs.
N◦ de pixel
Df = 1,0259 Dc = 1,0719
107
Figura: CuadradoSnake asociado a la
figuraGrafico de Energıa Vs.
N◦ de pixel
Df = 1,0753 Dc = 1,0676
Figura: TriaguloSnake asociado a la
figuraGrafico de Energıa Vs.
N◦ de pixel
Df = 0,9967 Dc = 1,0318
108
Figura: RomboSnake asociado a la
figuraGrafico de Energıa Vs.
N◦ de pixel
Df = 1,0171 Dc = 1,0540
2. Prueba N◦ 2
Imagen Original“bug following”
asociado a la lesionSnake asociado a la
lesion
Dx: Maligna Df = 1,1590 Df = 1,1051
109
APENDICE F
Empleando como metodo de segmentacion los contornos deformables (“Snakes”)
es posible obtener otro tipo de informacion referente a la imagen, como por ejemplo,
el grafico de valores de fuerza normalizada que actua en los bordes de una lesion
que provee una imagen de resonancia magnetica nuclear al ser segmentada como se
describe en el capıtulo 5 (Figuras F.1 y F.2).
Figura F.1
110
Figura F.2
111
Bibliografıa
[1] DE VITA V., HELLMAN S., ROSEMBERG S., Cancer: Principles & Practice
of Oncology, Vol I, 6ta Edicion.
[2] http://www.cancer.org/docroot/esp/content/esp_5_1x_que_es
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[3] STANLEY L., Tratado de Patologıa, Tercera Edicion, Instituto Cubano del Li-
bro, Editorial Pueblo y Educacion, La Habana, 1975.
[4] BAISH J., and JAIN R., Fractals and Cancer, Cancer Research 60, 3683-3688,
Julio 15, 2000.
[5] BRU A., ALBERTOS S., SUBIZA J., GARCIA-ASENJO J. AND BRU I., The
Universal Dynamics of Tumor Growth, Biophysical Journal volumen 85, 2948-
2961, Noviembre 2003.
[6] COATES G., XIAO L., PRAMMER L. and MANFRED G., NMR Logging:
Principles & Application, Humar/Halliburton, USA, 1999.
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don Press-Oxford, 1.991.
[8] COUSSEMENT A., Le Chant des Protons (L′ I.R.M. sans peine?), Nouvelle
Imprimerie Duculot S.A., Gembloux (Belgique)
[9] COUSSEMENT A., Le Chant des Protons (L′ I.R.M. sans peine?), Nouvelle
Imprimerie Duculot S.A., Gembloux (Belgique)
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[10] PRATT W., Digital Image Processing, Tercera Edicion, Piks Inside, Pixel Soft,
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[11] COTO E., Metodos de Segmentacion de Imagenes Medicas, Lecturas en Ciencias
de la Computacion, ISSN 1316-6239, Caracas, Venezuela, Marzo 2003
[12] GONZALEZ R., WOODS R., Digital Image Processing, Second Edition, Pub-
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[13] SAHOO P., SOLTANI S., WONG A., A Survey of Thresholding Techniques,
Computer Vision, Graphicsand Image Processing: volumen. 41,
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