chapter 4 - fuzzy logic

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

ANÁLISE MULTICRITERIAL AO PLANEJAMENTO DE RECURSOS

HÍDRICOS: UMA METODOLOGIA FUZZY PARA O ENFOQUE

AMBIENTAL

ANTONIO CARLOS ZUFFO

CAMPINAS

2010

CAPÍTULO 4 – LÓGICA NEBULOSA (Fuzzy Logic)

Tese de Livre Docência Prof. Dr. Antonio Carlos Zuffo Página 55

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

ANÁLISE MULTICRITERIAL AO PLANEJAMENTO DE RECURSOS

HÍDRICOS: UMA METODOLOGIA FUZZY PARA O ENFOQUE

AMBIENTAL

DR. ANTONIO CARLOS ZUFFO

Tese de Livre-Docência apresentada à Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, da Universidade Estadual de Campinas, como parte dos requisitos para obtenção do título de Livre Docente.

CAMPINAS

MARÇO 2010



Zuffo, Antonio Carlos

Análise Multicriterial ao Planejamento de Recursos Hídricos: Uma Metodologia Fuzzy para o Enfoque Ambiental / Antonio Carlos Zuffo – Campinas, SP: [s.n.] 2010.

Tese de Livre Docência – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

1. Métodos Multicriteriais Fuzzy. 2. Auxílio à Tomada de Decisão. 3. Gerenciamento de Recursos Hídricos. I. Zuffo, Antonio Carlos. II. Universidade Estadual de Campinas . Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. IV. Título.




4.1 – Introdução

Nos últimos 40 anos, pesquisadores das mais diferentes áreas têm trabalhado

com a teoria da lógica fuzzy, também chamada de lógica nebulosa, ou ainda lógica difusa.

Esta teoria foi inicialmente proposta pelo matemático Lofti Asker Zadeh (1965) para permitir

a consideração matemática de termos que representavam uma inexatidão, que por sua vez

resultavam em termos pobres ou imprecisamente definidos matematicamente, porém,

largamente utilizados por operadores humanos.

Muitas vezes o que é perfeitamente compreendido em linguagem comum, não

pode ser claramente expresso em termos matemáticos. A estratégia que nós humanos

utilizamos também é de natureza imprecisa e passível de ser expressa em termos

lingüísticos. Muitas das escalas lingüísticas não podem ser perfeitamente representadas

matematicamente, pois não são números, e sim palavras ou sentenças na linguagem natural

tais como: “excelente”, “muito bom”, “bom”, “satisfatório ou razoável”, “ruim”, “muito ruim”

ou “péssimo”. Como são definidos os valores para essas escalas? Quando termina um e



quando começa o outro? Qual o limite que separa o “muito bom” do “bom” ou o “muito

ruim” do “péssimo”, como representar esta escala de valores numericamente?

Esses problemas de valorações semânticas ou lingüísticas não são novos. O

filósofo grego da antiguidade, Aristóteles [384-322 AC] já afirmava: “É a marca de uma

mente instruída ficar satisfeita com aquele grau de precisão que a natureza do

assunto admite, e não buscar exatidão onde só uma aproximação da verdade é

possível”. A lógica de Aristóteles não admitia imprecisão na verdade! O filósofo grego a

quem é creditado o estabelecimento da lógica ocidental – a lógica binária, que somente

admite a oposição do verdadeiro ao falso, a lógica que não admite graus de verdade entre

esses dois extremos – não conseguia definir com exatidão a “verdade”, e teve que se

satisfazer apenas com a aproximação desta “verdade”, o que não deixa de ser irônico. A

lógica fuzzy tornou-se importante porque no mundo em que vivemos os fatos não são

apenas constituídos por verdadeiro ou falso, pois esta lógica suporta os raciocínios

aproximados, ao invés de exatos.

Segundo Malluta (2004) a distância em que existe entre a capacidade criativa do

Homem, representada pelo seu raciocínio as vezes de forma incerta, impreciso, difuso ou

nebuloso, e a capacidade de solução que os computadores proporcionam, de natureza

precisa e lógica, pode ser eliminada. Essa distância não mais existiria caso os computadores

passassem a incorporar o raciocínio difuso ou nebuloso em seu processamento, ou seja, os

tornariam inteligentes.

A lógica fuzzy, somente há poucos anos ganhou crescimento no número de

pesquisas, o que vem possibilitando o desenvolvimento da Inteligência Artificial (IA), que

permitiu uma revolução no desenvolvimento de máquinas com controladores fuzzy, que são

encontrados em eletrodomésticos que vai do aspirador de pó ao ar condicionado, dos robôs

autônomos e móvies até os ships fuzzy (KOSKO, 1992; WATANABE, 1992; TSOUKALAS,

1997, entre outros). A lógica nebulosa permite ainda a representação mais apropriada das

incertezas, muito utilizadas em problemas de IA. É ela que suporta os modos de raciocínio

que não são exatos, muito pelo contrário, ela suporta os aproximados. A lógica fuzzy é uma

técnica que incorpora a forma humana de pensar, ou melhor, o processo que o Homem

utiliza para inferir conclusão baseada em informações que ele já conhece.

As incertezas estão presentes em muitas áreas e na maioria dos projetos da

engenharia. Para Ross (2004), a maioria dos textos em engenharia não endereça as



incertezas nas informações, modelos, e soluções que são inerentes aos próprios problemas.

Quanto mais complexo for um sistema, mais imprecisas ou inexatas serão as informações

que temos para caracterizar aquele sistema. Isso leva a acreditar então, que a precisão,

informação e complexidade, infalivelmente relativas aos problemas possam nos levar a uma

eventual solução. Além do mais, para maioria dos problemas que enfrentamos, segundo a

sugestão do Professor Zadeh, o que melhor podemos fazer é aceitar algum nível de

imprecisão.

4.2 – Lógica nebulosa

Segundo Barros e Bassanezi (2006), a palavra Fuzzy não foi traduzida para

diferentes idiomas por não encontrar um paralelo direto com a palavra “fuzzy” e seu

significado, que o traduziria tão bem como no idioma inglês, que tem por significado

“incerto”, “vago”, “impreciso”, “subjetivo”, “nebuloso”, “difuso”, etc. Em português, mesmo

que a palavra fuzzy tenha sido traduzida por “nebuloso” ou ainda “difuso”, em inúmeros

trabalhos encontramos essa teoria representada pela palavra no original em inglês como

“lógica fuzzy”, “conjuntos fuzzy”, ou “matemática fuzzy”. Mas o que difere a lógica

tradicional da lógica difusa ou nebulosa? A lógica tradicional pode ser definida como a

“Ciência dos Princípios Formais Normativos da Racionalidade”, enquanto que a lógica

nebulosa pode ser definida como os “Princípios Formais da Racionalidade Aproximada”.

Neste contexto, a Figura 4.1 procura representar as diferentes formas de lógicas

estruturadas.

A lógica booleana define o verdadeiro ou o falso, não tolerando a indefinição ou a

incerteza (Lógica associada ao ocidente, a Aristóteles). Na matemática as álgebras boolenas

são estruturas que “capturam a essência” das operações lógicas E, OU e NÃO, bem como

das operações da teoria dos conjuntos Soma, Produto e Complemento.

A lógica multivalorada (ou multivalente) representa um valor indefinido, variando

em um intervalo compreendido entre o verdadeiro e o falso. Na lógica de Lukasiewicz

consideram-se três possíveis valores para as orações em lugar dos dois valores “verdadeiro



ou falso” da lógica booleana, para permitir um estado intermediário como o “possível”. Só

aparecem em lógicas avançadas, e foi esta lógica que Zadeh (1965) utilizou para criar sua

teoria da lógica fuzzy.

A lógica nebulosa quantifica o grau de precisão dessa incerteza, e é uma

generalização da lógica boolena que admite valores lógicos intermediários entre a falsidade e

a verdade (como o “talvez”). A lógica nebulosa pode então ser definida como sendo “um tipo

de imprecisão que está associada com...”, ou ainda como “a classe em que não há transição

de forma e entre um elemento que pertence ou não pertence a um conjunto”. A lógica

nebulosa pode ser aceita como aquela ferramenta que mais precisamente representa a

forma de pensar humana (MALLUTA, 2004).

Lógica Booleana Lógica multi-Valorada ou Multivalente

Não

Lógica Fuzzy

Não Não

Sim Sim Sim

Talvez

George Boole (1815-1864) Jan Lukasiewicz [1878-1956] Loft Asker Zadeh [1921-atual]

Figura 4.1- Representação do conhecimento especialista, segundo os sistemas de lógica.

Durante os dez anos após a proposta da lógica nebulosa pelo Prof. Zadeh,

décadas de 60 e 70, foram propostos os fundamentos matemáticos dessa nova teoria

nascente, mas resultaram em poucas aplicações práticas no período. Nas décadas de 80 e

90, a teoria fuzzy foi aplicada a diversas áreas, como reconhecimento de desenho em

processamento de imagem, lingüística, tomada de decisão, teoria do aprendizado,

algoritmos, sistemas de controle, etc (DHINGRA e MOSKOWITZ, 1991).



A primeira aplicação da teoria da lógica nebulosa no processo de tomada de

decisão foi apresentada por Bellman e Zahed em 1970. Um dos trabalhos que se destacam

nesta fase, por ser talvez o pioneiro na aplicação da lógica fuzzy, é atribuído a Mandami e

Assilian (1975), que a aplicaram em controle de processo utilizado em máquinas de lavar,

televisões, câmeras entre outros. A partir de então, um número maior de trabalhos foi

desenvolvido, mas a estrutura matemática ainda apresentava dificuldades de aplicação,

sendo necessárias ainda algumas simplificações.

Nessa linha de estruturação da matemática fuzzy aparecem os trabalhos de

Gaines (1976), Jain (1976), Dubois e Prade (1978, 1979), Prade (1979), Yager (1981),

Kaufmann e Gupta (1991), McNeill e Thro (1994). Esses trabalhos procuravam facilitar ou

simplificar os procedimentos matemáticos necessários à aplicação da teoria nascente, visto

que a complexidade das operações matemáticas e a falta de recursos computacionais na

época dificultavam a sua aplicação. Verificou-se um aumento da utilização da teoria fuzzy, a

partir do advento do computador e principalmente depois de sua popularização por meio dos

PCs (Personal Computers).

A álgebra entre os conjuntos fuzzy não segue a teoria clássica usual, motivo este

que muitos matemáticos rejeitavam esta teoria. As principais críticas vinham de alguns

engenheiros de processos e a maioria dos estatísticos, que sustentavam que teoria da

probabilidade era a única que rigorosamente descrevia as incertezas, e desta forma, a

matemática tradicional tinha ferramentas suficientes para resolver quaisquer problemas que

envolviam essas incertezas. Porém, muitos problemas só puderam ser resolvidos a partir

deste novo ferramental matemático proporcionado pela lógica nebulosa. Muitas variáveis

utilizadas em nosso cotidiano, transmitidas e perfeitamente compreendidas lingüisticamente

puderam, com a matemática fuzzy serem representadas matematicamente. Essas variáveis

lingüísticas, oriundas da necessidade de distinção entre graduações de qualificações, que

sempre participaram de processos de decisão informal ou intuitivo, passam a ganhar espaço

também nos processos de decisão mais estruturados ou científicos.

A formulação matemática de um conjunto fuzzy proposto por Zadeh está baseada

no fato de que, para qualquer conjunto clássico, esse pode ser caracterizado por uma

função. Algumas vezes, esses conjuntos clássicos são chamados de conjuntos crisp.



4.2.1 - Conjuntos Crisp (ou Clássicos)

Para a organização de uma sociedade é necessário algum tipo de sistematização

das informações, agrupamentos de conjuntos, classes, categorias e assim por diante. Neste

contexto aparecem os diversos conjuntos para classificar ou arrumar uma peculiaridade

específica, tais como os diferentes ministérios, secretarias, escolas, times de futebol, selos,

agremiações, organização de livros em bibliotecas, mapotecas, videotecas, etc (NAVARES,

2007). Assim sendo, surge uma caracterização dicotômica para a informação que especifica

esta informação, da qual ela estará ou não contida em um determinado conjunto, coleção ou

categoria. Estes conjuntos definem um universo do discurso, X, como uma coleção de todos

os objetos que possuem a mesma característica (ROSS, 2004).

Essa necessidade de organização deu origem à noção dos conjuntos. Os

elementos individuais no universo X serão denotados por x. As características dos elementos

em X podem ser discretas, inteiros contáveis ou valores contínuos quantificáveis sobre uma

linha real (ROSS, 2004). Segundo Klir e Yuan (1995) existem três métodos básicos para a

definição dos conjuntos de um dado universo X. São eles:

Para elementos de um conjunto que podem ser enumerados, são representados

por conjuntos finitos:

{ }naaaaA ,,,, 321 L=

Para elementos de um conjunto em que possuam uma propriedade satisfeita:

( ){ }xPxA =

Para elementos de um conjunto A que são caracterizados por uma função

característica ( )Aϕ . A função característica mostra quais elementos de X são membros do

conjunto A, pois em um conjunto “crisp” um elemento x no universo X é ou não é um

membro do conjunto A:

( )

∉

∈=

Axsesomenteese

Axsesomenteese

xA

0

1

ϕ � ( ) { }1,0: →XxAϕ (4.1)



Em que o símbolo ( )xAϕ dá a indicação de uma característica não-ambígua do elemento x

no conjunto A, de pertencer ou não pertencer ao conjunto (SILVEIRA, 2002; ROSS, 2004).

Existe uma diferenciação entre números fuzzy, os ditos números fuzzy normais e os não-

normais. Os números fuzzy normais são aqueles em que a função característica varia de zero

a um ( ) { }1,0: →XxAϕ . Para os não normais a função característica varia de zero a um

menor que um.

A função característica representa um mapeamento do conjunto do universo no

conjunto {0,1}, para os números fuzzy normais, e que discrimina entre todos os elementos

de X aqueles que, de acordo com um critério definido, pertença ou não ao subconjunto A,

estabelecendo uma fronteira bem definida, dividindo o conjunto do universo em duas partes

(ORTEGA, 2001). O elemento x pertencerá ao conjunto A se ( )xAϕ =1 e não pertencerá no

caso de ( )xAϕ =0, conforme apresenta a Figura 4.2. No exemplo da Figura 4.2 se x<a ou

x>b a função característica assume o valor zero ( ( )xAϕ =0), mas se estive contida no

intervalo a<x<b, a função característica assumirá o valor igual a 1 ( ( )xAϕ =1).

1

0 x

ϕ

A

a b

(a) Número fuzzy normal

(b) Número fuzzy não-normal

Figura 4.2 – A função característica é um mapeamento para um conjunto clássico A.



4.2.1.1 - Propriedades dos conjuntos (clássicos)

Ross (2004) afirma que as propriedades apropriadas para definir os conjuntos

clássicos, em sua maioria, também podem, por similaridade, representar os conjuntos fuzzy

e apresenta como exemplo as seguintes propriedades dos conjuntos clássicos:

Comutatividade: ABBA

ABBA

∩=∩∪=∪

Associatividade: ( ) ( )( ) ( ) CBACBA

CBACBA

∩∩=∩∩∪∪=∪∪

Distributividade: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CABACBA

CABACBA

∩∪∩=∪∩∪∩∪=∩∪

Idempotência: AAA

AAA

=∩=∪

Identidade:

XXA

A

AXA

AA

=∪/=/∩

=∩=/∪

00

0

Transitividade: CAentãoCBeBAIf ⊆⊆⊆ ,

Involução: AA =

Segundo Ortega (2001) as operações básicas dos conjuntos clássicos são: união,

intersecção e o complemento. Podem ser expressos por meio da função característica. Desta

forma, podemos definir A e B como subconjuntos de X, e assim, teremos respectivamente:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )xxx

xxx

BABA

BABA

µµµ

µµµ

,min

,,max

=

=

∩

∪

e

( ) ( )xx AA µµ −= 1

(4.2) (4.3) (4.4)



A escolha dos operadores “união” e “intersecção” é arbitrária, e a única

propriedade que a operação intersecção deve satisfazer é retornar 1 (um) quando ambos os

argumentos forem 1 e 0 (zero), quando algum dos argumentos for 0 (ORTEGA, 2001).

4.2.2 – Conjuntos fuzzy

Nos conjuntos clássicos (ou crisp) a transição para um elemento em um universo

compreendido entre ser um elemento pertencer ou não pertencer a um dado conjunto é

abrupta e bem definida, ou melhor, não existe uma transição entre eles. Porém, para um

elemento em um universo que contém conjuntos fuzzy, que não possuem fronteiras bem

definidas, as transições de uma classe para a outra acontecem de forma suave a gradual

(ORTEGA, 2001; ROSS, 2004).

As transições, ao longo desta gradual transição entre elementos pertencentes ou

não a certos conjuntos, podem ser pensadas em conformidade com o fato de que os limites

de um conjunto fuzzy são vagos e ambíguos. Esta gradual transição de um elemento de um

universo neste conjunto é medida por uma função que procura descrever a sua ambigüidade

ou difusividade, que é representada por uma função de pertinência µ, geralmente definida

em um intervalo [0, 1] (ROSS, 2004).

Alguns exemplos clássicos de representação fuzzy consistem em representar

conjuntos de temperatura ambiente; períodos chuvosos; estatura média de pessoas ou

animais, produtividade agrícola, etc. Esses conjuntos não podem ter, rigorosamente, seus

limites definidos. Por exemplo, caso analisássemos a temperatura ambiente poderíamos

assumir os seguintes conjuntos:

Temperaturas inferiores ou iguais a 20oC seriam definidas como temperaturas

frias (T < 20oC). As temperaturas pertencentes a este conjunto possuem pertinência µ = 1,

as que não pertencem ao conjunto a pertinência µ = 0.

Temperaturas compreendidas entre 20oC e 24oC definiriam o conjunto das

temperaturas confortáveis (20oC < T < 24oC). As temperaturas contidas nesse intervalo,

para este conjunto, teriam a pertinência µ = 1, e µ = 0 fora dele.



O conjunto das temperaturas quentes seria definido como aquele cujas

temperaturas fossem iguais ou superiores a 24oC (T > 24oC). Mais uma vez a pertinência

µ=1 é para as temperaturas pertencentes ao conjunto e µ = 0 para as temperaturas fora

deste intervalo.

Nesse exemplo poderiam ser acrescentados outros intervalos como o conjunto

das temperaturas “muito frias” ou “muito quentes”. Observa-se que esta definição do

número de conjuntos depende da finalidade da qual ela irá ser utilizada.

Como pode ser observado na definição das faixas de temperatura é difícil

estabelecer valores que represente uma separação clara de uma faixa para a outra.

Matematicamente temperaturas iguais a 20oC seriam temperaturas “frias”, porém qual a

sensação térmica de uma temperatura de 20oC com uma outra de 20,1oC é muito pequena,

entretanto, essa última seria considerada, matematicamente, como uma temperatura

confortável.

São precisamente nesses casos que a metodologia fuzzy seria empregada. Voltando

ao exemplo das temperaturas: o conjunto das “frias” as temperaturas que fossem inferiores

ou iguais a 19oC poderiam ser representadas por uma função de pertinência igual a unidade

(µ=1) mas as que tivessem compreendidas entre os valores 19oC e 21oC essa função seria

variável, e os valores variariam de 1 a zero. Para temperaturas superiores a 21oC, a função

de pertinência seria nula.

O conjunto das temperaturas confortáveis também seria representado por

intervalos fuzzy em que as temperaturas superiores ou iguais a 25oC e inferiores e iguais a

19oC teriam a função de pertinência nula. As temperaturas correspondentes ao intervalo

19oC a 21oC e 25oC a 23oC, teriam a função de pertinência variando de zero a 1 e, por fim,

as temperaturas compreendidas no intervalo 21oC a 23oC possuiriam a pertinência igual à

unidade.

Para o conjunto das temperaturas “quentes” a pertinência µ=1 será atribuída

para as temperaturas iguais ou superiores a 25oC. Para as temperaturas inferiores e iguais a

23oC a pertinência é nula (µ=0), e para as temperaturas compreendidas entre 23oC < T <

25oC, teriam suas pertinências variando entre 0 e 1. A Figura 4.3 representa graficamente os

conjuntos de temperaturas representados por intervalos fuzzy.



µ=1

18 19 20 21 22 23 24 25 26

Fria Confortável Quente

18 19 20 21 22 23 24 25 26

“De certo modo fria”: 0<µ<1

“Certamente fria”: µ=1

“não fria”: µ=0

Fria

18 19 20 21 22 23 24 25 26

Confortável

18 19 20 21 22 23 24 25 26

Quente

“Certamente confortável”:µ=1

“não confortável”: µ=0“não confortável”: µ=0

“De certo modo confortável: 0<µ<1”

“De certo modo confortável: 1<µ<0”

“não quente”: µ=0

“De certo modo quente: 0<µ<1”

“Certamente quente”: µ=1

Figura 4.3: Conjuntos reais e fuzzy para definir a temperatura ambiente. Fonte: Modificado de

Galvão (1999).

Para os conjuntos crisp da lógica clássica existe a função característica que tem

por finalidade mapear os elementos pertencentes ou não aos conjuntos. Para os conjuntos

fuzzy e suas operações é possível realizar uma generalização. Para isso, baseando-se nas

funções características, é possível representar as funções de pertinência que, ao invés de

mapear se o elemento pertence ou não ao conjunto [0,1], para números fuzzy normais, a

função representará o quanto ou em que grau o elemento x está inserido no conjunto.



Então, a função de pertinência assumirá um valor no intervalo compreendido

entre 0 e 1, ou seja, ( ) [ ]1,0: →XxAµ . O elemento x agora pertencerá a subconjunto A com

um grau de pertinência que está compreendido dentro do intervalo [0,1]. Um conjunto

fuzzy, portanto, pode ser representado formalmente da seguinte forma:

( )( ){ }XxxxA A ∈= µ,~ (4.5)

em que:

X = é o universo em que os elementos x estão definidos (Real);

µA(x) = função de pertinência que determina com que grau x está em Ã.

( )( )

( )

=<<

=

.0

;10

;1

Aconjuntoaopertencenãoxx

Aconjuntoaonteparcialemepertencexx

Aconjuntoaototalmentepertencexx

A

A

A

µµ

µ

Um número real fuzzy Ã é melhor representado por meio de qualquer

subconjunto real cuja função de pertinência µA é:

• contínua em R e fechada no intervalo [0, 1];

• constante sobre o intervalo (-∞, c]: µA(x)=0, ∀ x ∈(-∞, c);

• estritamente crescente em [c, a];

• constante em [c, b]: µA(x)=1, ∀ x ∈(a, b];

• constante sobre (d,+∞):µA(x)=0, ∀ x ∈(d, +∞];

em que “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.

Na representação de um conjunto fuzzy, se este conjunto for discreto, é possível

enumerar seus elementos juntamente com os respectivos graus de pertinência da seguinte

forma:

( ) ( ) ( )

=

++= ∑i i

iAAA

x

x

x

x

x

xA

µµµL

2

2

1

1



Nesta primeira notação o símbolo de somatório (Σ) não significa um somatório

algébrico, mas sim, denota a agregação de cada elemento; da mesma forma que o símbolo

de adição (+) não significa uma soma algébrica, mas sim um operador de agregação.

Quanto o universo, X, for contínuo e infinito, o conjunto Ã será representado pela expressão:

( )

= ∫ x

xA Aµ

Nesta segunda notação o sinal de integração ( ∫ ) também não significa uma

integração algébrica, mas sim, uma função teórica contínua de um operador de agregação

para variáveis contínuas. Em ambas notações a barra horizontal não é um quociente, mas

sim um delimitador.

4.2.2.1 - Propriedades dos conjuntos fuzzy

Sejam definidos três conjuntos fuzzy A, B e C pertencentes ao universo X. Para

um dado elemento x do universo, as funções de operações teóricas para as operações-de-

conjunto teóricas de união, intersecção e complemento, definidas para os conjuntos A, B e C

em X, são:

União ( ) ( ) ( )xxxBABA~~~~ µµµ ∨=∪

Intersecção ( ) ( ) ( )xxxBABA~~~~ µµµ ∧=∩

Complemento ( ) ( )xxAA~~ 1 µµ −=

(4.6)

(4.7)

(4.8)



Os conjuntos fuzzy seguem as mesmas propriedades que os conjuntos clássicos.

Em razão disto, aliado ao fato de que os valores de um elemento x, pertencente a um

conjunto clássico, mapeado pela função característica, ser um subconjunto do intervalo

[0,1], os conjuntos crisp podem ser pensados como sendo um caso especial dos conjuntos

fuzzy (ROSS, 2004).

Assim, analogamente ao apresentado no item 2.1.1, deste capítulo, seguem as

propriedades utilizadas freqüentemente dos conjuntos fuzzy:

Comutatividade: ABBA

ABBA~~~~

~~~~

∩=∩

∪=∪

Associatividade: ( ) ( )( ) ( ) CBACBA

CBACBA~~~~~~

~~~~~~

∩∩=∩∩

∪∪=∪∪

Distributividade: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CABACBA

CABACBA~~~~~~~

~~~~~~~

∩∪∩=∪∩

∪∩∪=∩∪

Idempotência: AAA

AAA~~~

~~~

=∩

=∪

Identidade:

XXA

A

AXA

AA

=∪

/=/∩

=∩

=/∪

~00

~

~~

~0

~

Transitividade: CAentãoCBeBAIf~~

,~~~~ ⊆⊆⊆

Involução: AA~~ =



4.2.2.2 – Função de pertinência (µµµµ)

Na teoria clássica um elemento do conjunto possui uma função característica ϕ ,

também conhecida como função característica, que pode assumir os valores 1 (um) ou 0

(zero), em que esses valores indicam se a pertinência é verdadeira ou falsa, respectivamente

(BARROS, 1997; GALVÃO, 1999, SILVEIRA, 2002; ROSS, 2004; BARROS e BASSANEZI,

2006; NAVARES, 2007).

Um número fuzzy é um subconjunto fuzzy dos números reais cujos valores

associados são agrupados ao redor de um dado número chamado valor “médio”; a função

de pertinência é monotônica sobre ambos os lados desse valor “médio” (DUBOIS e PRADE,

1978; BARROS, 1997; ROSS, 2004).

Quando os conjuntos fuzzy são contínuos sua representação é a própria função

de pertinência dos conjuntos. Estas funções de pertinência podem assumir diversas formas,

sendo consideradas até mesmo arbitrárias. No entanto, as funções mais utilizadas são do

tipo: linear por partes, que são representadas pelas funções triangulares ou trapezoidais;

quadráticas; gaussianas, ou; alguma outra função especial.

As funções lineares por partes são as mais utilizadas devido ao fato de sua

simplicidade auxilia na programação para a solução dos problemas, uma vez que a utilização

de outras funções mais complexas, requer um esforço maior em programação e os

resultados obtidos, não refletem em uma significância na melhoria da qualidade dos valores

de saída desses sistemas. A Figura 4.4 ilustra algumas formas da função de pertinência.

Em um processo de tomada de decisão em modelo do mundo real, um projetista

muitas vezes é forçado a definir o problema em termos matematicamente precisos para que

ele possa ser resolvido, mesmo que em termos reais, a natureza do problema seja imprecisa,

abstrata ou subjetiva. O problema da escolha da função de pertinência, teoricamente, ainda

não foi totalmente resolvido, sendo assim, permanecem sendo adotadas de acordo com a

aplicação e ao contexto do problema a ser resolvido. A teoria dos conjuntos fuzzy generaliza

a análise de tolerância, diferentemente da abordagem probabilística, menos complexa.



1

m

1

µ (x) µ (x)

(a)Funções de pertinência linear por partes- função triangular e função trapezoidal -

(b)Funções de pertinência tipo gaussiana

Figura 4.4: Formas de funções de pertinência µA, para números fuzzy normais.

4.3 – Variáveis lingüísticas

Em muitas áreas científicas, como sistemas e análise e, pesquisa operacional,

gestão de recursos hídricos, planejamento ambiental, um modelo tem que estabelecer um

dado valor que é apenas aproximadamente conhecido, ou ainda apenas qualitativamente.

Por exemplo, a qualidade de vida em projetos de gerenciamento ambiental de recursos

hídricos é sempre um critério a ser considerado, mas como considerá-lo?

As variáveis que geralmente permitem traduzir esta aproximação, mesmo que

apenas qualitativamente, são conhecidas como variáveis lingüísticas, e que conseguem

fornecer um conceito a esta variável. Para o critério em questão, “qualidade de vida”,

poderia ser representado por três variáveis lingüísticas: melhora, permanece igual ou piora.

Mesmo para estas variáveis lingüísticas a divisão em três classes ainda parece ser

insuficiente. Na etapa de seleção de cenários em planejamento de recursos hídricos é

necessário uma gama ainda maior de possibilidades para representar a variação potencial da

qualidade de vida: se melhora; quanto melhora ou qual o grau relativo desta melhoria?

Poderiam ser acrescentadas outras variáveis para subdividir ainda mais essas características

semânticas da variável lingüística, como por exemplo, “melhora pouco”, “melhora muito”, e

ainda, “piora pouco”, “piora muito”, etc.



Esta valoração qualitativa pode ser representada quantitativamente por uma

função de pertinência. Uma variável lingüística pode ser caracterizada por um número fuzzy,

que segundo Ortega (2001) pode ser descrita por {n, T, X, m(t)}, em que n é o nome da

variável {adotando o termo temperatura do exemplo do ítem 2.2, deste capítulo}, T é o

conjunto de termos lingüísticos de n {muito frio, frio, agradável, quente e muito quente}, X é

o universo de valores de temperatura ambiente de n sobre o qual o significado do termo

lingüístico será determinado (a temperatura ambiente pode estar compreendida entre 22 e

24oC) e m(t) é uma função semântica que correlaciona para cada termo lingüístico Tt ∈ o

seu significado nesta escala lingüística, que é representado pelo conjunto fuzzy em X,

representado por: ( )XTm →: , em que (X) é o espaço dos conjuntos fuzzy.

A variável lingüística, segundo Ortega (2001), é expressa em termos de uma

variável básica que denota sua medida em uma determinada escala, que pode ser numérica,

caso seja possível a utilização de um determinado aparelho de medida (um termômetro para

o exemplo), e assim a variável ser do tipo quantitativa. No exemplo adotado, da temperatura

ambiente a medida é realizada em termos de graus Celsius.

As variáveis lingüísticas também podem ser expressas em termos qualitativos,

como no caso da qualidade de vida, em que se tem um “sentimento” ou uma “sensação” das

mudanças ocorridas, porém, não quantificáveis por quaisquer instrumentos. Mesmo assim,

as mudanças podem ser sentidas por meio de um conjunto de alterações do meio, porém de

difícil mensuração.

Essas variáveis são expressas dentro de um certo domínio de valores e

transmitem conceitos e conhecimentos utilizados e compreendidos na comunicação humana,

e muitas vezes relativos, como são os conceitos de claro e escuro, alto e baixo e assim por

diante.

Para a utilização dessas variáveis lingüísticas com partição fuzzy geralmente é

necessário à definição por parte de um especialista, que neste contexto tem um papel

fundamental na modelagem fuzzy.



4.4 – A teoria de conjuntos fuzzy e a teoria de probabilidades

A primeira impressão, geralmente quando alguém se depara com a teoria dos

conjuntos fuzzy é a sua imediata comparação com a teoria das probabilidades. Motivo este

das críticas dos estatísticos americanos à nascente teoria da lógica fuzzy proposta por Zadeh

(1975). Segundo Ortega (2001) esta confusão ocorre por haver uma estreita relação entre

essas duas teorias, sob determinados aspectos, e a teoria fuzzy pode ser bastante similar à

teoria de probabilidades. Klir e Yuan (1995), Barros (1992), Ortega (2001) e Ross (2004)

justificam essa confusão por constatarem que a teoria das medidas indica que a medida de

probabilidade é um caso especial de medida fuzzy, em que esta medida possui a propriedade

σ-aditividade.

Segundo a lógica clássica, a probabilidade é um valor numérico ou um intervalo,

perfeitamente estabelecido, baseados em observações de um determinado padrão ou

comportamento, está baseado na freqüência de um determinado evento. Na lógica nebulosa

existe a opção adicional de empregarem-se probabilidades lingüísticas que interpretadas e

manipuladas pela aritmética fuzzy permite o “ALGO A MAIS”, permitindo tratar mais

adequadamente as imperfeições da informação que a teoria da probabilidade sozinha não

permite tratar.

Segundo Pedrycz (1995), no entanto, a série fuzzy e probabilidade são

conceitualmente duas aproximações ortogonais utilizadas para descrever as incertezas,

conforme ilustra a Figura 4.5. A probabilidade é utilizada para descrever a ocorrência de

eventos bem-definidos, enquanto que as séries fuzzy são utilizadas nas classes de objetos

cujos limites não são claramente definidos. Por esta razão, não é rara a associação entre

grau de pertinência e a probabilidade de ocorrência de um determinado evento, ou mesmo

da comparação de função de pertinência com uma função de distribuição estatística. A

origem da probabilidade é distinta daquela que gerou as séries fuzzy, seus valores, antes e

depois de um experimento relevante, variam significantemente.

Para Pedrycz (1995) a ortogonalidade dessas duas noções: probabilidade e série

fuzzy não exclui a existência de muitas “misturas” em diferentes situações, e que na prática

podem aparecer muito freqüentemente.



É importante o conhecimento dessas diferenças entre as duas teorias para melhor

compreensão de como elas podem ser complementares, e resultando em uma ferramenta

com bastante potencial.

Probabilidade

Difu

sivi

dade

(fu

zzyn

ess)

Figura 4.5: Plano das incertezas. Fonte: Modificado de (PEDRYCZ, 1995).

Essas duas teorias, dos conjuntos fuzzy e de probabilidades, lidam com tipos de

incertezas distintos. A teoria da probabilidade é aplicada para um evento muito bem definido

quando se conhece a freqüência de realização ou repetição deste evento e a dúvida existe

apenas sobre a ocorrência deste evento. A probabilidade pode ser calculada seja ela em um

jogo de dados os em um jogo de mega-sena, ou na ocorrência de valores extremos de

chuvas, ou de vazões de enchentes.

Seja por exemplo, um experimento que consiste em retirar bolas de uma urna,

existindo um mesmo número de bolas brancas e bolas pretas, sendo que, a cada sorteio a

bola sorteada é logo reposta à urna de forma que não haja alteração no número de bolas

para um novo sorteio. Desta forma, antes de cada retirada a probabilidade de ocorrência, a

priori, do objeto “x” escolhido ser branco é P(x). Após o experimento envolvendo x (p.e.

escolhendo-se aleatoriamente uma bola de uma urna), a probabilidade tornará 1 ou 0 (x

tomará o resultado do experimento ou não), logo não pairará dúvida sobre o resultado do

sorteio e a incerteza já não existirá.



Vejamos agora um outro experimento envolvendo uma bola preta, uma bola

branca e mais dezenas de bolas em tons de cinza, de maneira a formar todas as matizes

desta cor, variando do branco ao preto. Para este novo experimento a determinação da

probabilidade da bola branca ser sorteada já não será uma tarefa muito fácil, uma vez que

existirão várias bolas com tons de cinza próximos ao branco, uma vez que a visão humana é

capaz de distinguir entre apenas sete tons de cinza. Este segundo experimento será melhor

representado pela teoria fuzzy.

Essas duas teorias podem ainda ocorrer simultaneamente, por exemplo,

considerando o seguinte problema:

P1: corresponde às temperaturas altas;

P2: corresponde à Probabilidade igual a 0,7 (temperatura é 40oC);

Como contendo uma forma simples de incertezas, elas são locadas ao longo das

coordenadas correspondentes ao plano de probabilidade-possibilidade mostrada na Figura

4.5. Todas as proposições que descrevem as situações não afetadas pelas incertezas estão

locadas na origem do plano. O restante dos pontos neste plano de incertezas pertencem às

situações “mixadas” chamadas de representações [série fuzzy]-[probabilidade] (PEDRYCZ,

1995).

Agora estabelecendo P3: correspondente à Probabilidade (temperatura alta) é

baixa envolve ambas incertezas. Mesmo que as notações de nebulosidade e probabilidade

sejam ortogonais, isso não implica que elas não interagem entre si. Esse último exemplo

ilustra uma simbiose entre as duas (PEDRYCZ, 1995). Esses fenômenos de simbiose foram

apreciados em trabalhos que trataram com probabilidades fuzzy, valores esperados fuzzy,

variáveis aleatórias fuzzy, e conjuntos probabilidades, etc, abordos nos trabalhos de Hirota

(1990) e Kwakernaak (1979 a,b) apud Pedrycz (1995).

Desta foram podemos afirmar que há problemas que envolvem incertezas que

podem ser resolvidos pelas probabilidades, há outros que podem ser resolvidos pela teoria

dos conjuntos fuzzy, e há muitos outros que há a necessidade da utilização conjunta

dessas duas teorias para solucioná-los.



4.5 – Aritmética fuzzy

Para a matemática fuzzy, as operações de união e de intersecção de um conjunto

e seu complemento são diferentes de 1 e 0, conforme representado pela Figura 4.4, que

estabelece as formas das funções de pertinência, que podem assumir diferentes valores

compreendidos entre 0 e 1. Esta diferença cria a necessidade de se estabelecerem novas e

específicas operações para representar essas propriedades.

Várias propostas de operações aritméticas e transformações escalar-fuzzy

(fuzzification) e fuzzy-escalar (defuzzification) foram apresentadas nesses últimos anos.

Destacando-se alguns trabalhos, como encontrados em: Gaines (1976), Jain (1976), Dubois

e Prade (1978, 1979), Prade (1979), Yager (1981), Kaufmann e Gupta (1991), McNeill e

Thro (1994).

Em geral, define-se uma série fuzzy convexa sobre a linha real para ser um

número fuzzy, denominado de I. Segundo Ross (2004), pode-se definir “I” e “J” como sendo

dois números fuzzy, com “I” definido sobre a linha real no universo X e J definido sobre a

linha real no universo Y. O símbolo * denota uma operação aritmética qualquer, isto é,

{ }÷×−+≡ ,,,* . Uma operação matemática entre esses dois números fuzzy “I” e “J”, será

definida no universo “Z”, sendo definida por:

( ) =zJI~

*~µ

zyx =∨

*( ) ( )( )yx

JI~~ µµ ∧ (4.9)

que resulta em outro número fuzzy resultante da operação aritmética dos

números fuzzy “I” e “J”.

Jain (1976) propôs algumas operações algébricas em conjuntos fuzzy. Porém,

segundo Dubois e Prade (1978), o método de Jain mostrou-se inexato e em algumas vezes

impraticável, visto que freqüentemente requeria pesados cálculos para o processamento.

Dubois e Prade (1978) apresentam números fuzzy na forma: x=(m, a, b)LR, em que

a variável x é o valor médio, cujo o valor da pertinência é igual a 1 (µx = 1); os parâmetros

“a” e “b” correspondem aos intervalos esquerdo e direito, representados pelas letras “LR”

(Left e Right), respectivamente. Para valores menores que (m-a) e maiores que (m+b) a

função de pertinência (µ será igual a zero, pois esta não está contida no subconjunto fuzzy



definido pelo intervalo (m-a, m+b). É assumido uma função linear para L e R , o número

fuzzy x=(1, 0.2, 0.2) conforme apresentado na Figura 4.6 como um triângulo. Esta

apresentação do número fuzzy facilita a compreensão das operações aritméticas propostas

pelos autores. Na Tabela 4.1 estão sumarizadas as operações algébricas com números fuzzy,

conforme apresentadas por Dubois e Prade (1978, 1979 e 1988).

Observa-se que as operações algébricas com os intervalos direto e esquerdo são

alteradas quando os números fuzzy possuem sinais diferentes ou ambos negativos em

relação às operações algébricas desses mesmos intervalos quando são realizados com

ambos números fuzzy positivos.

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 x

µx

1.0

0.5

x=(1.0, 0.2, 0.2)~

Figura 4.6: Representação gráfica para um número fuzzy normal (1.0, 0.2, 0.2)LR para

função linear L e R, segundo Dubois e Prade (1979).

Uma outra proposta para as operações aritméticas envolvendo números fuzzy,

que considera como operações de intervalos de confiança, apresentadas por Kaufmann e

Gupta (1991), também foi aceita, e considera dois números fuzzy triangulares, conforme

apresentado na Tabela 4.2. Observa-se que para esta proposta não há diferenciação entre

as operações algébricas dos intervalos direito ou esquerdo, conforme o sinal dos números

fuzzy, permanecem inalterados, diferentemente da proposta de Dubois e Prade (1978, 1979

e 1988).

McNeill e Thro (1994) também apresentam proposta para as operações

aritméticas envolvendo números fuzzy. Nesta abordagem, é considerado que para qualquer

das quatro operações, a base do número fuzzy (sombra) resultante tem sempre a mesma

dimensão e vale a soma das dimensões das bases dos dois números difusos envolvidos na



operação. O vértice superior do número é obtido da mesma forma que na abordagem

proposta por Kaufmann e Gupta (1991).

Para os números ( )LRbam ,, e ( )LRdcn ,, , definidos anteriormente, a base I do

conjunto resultante ( )LRfeo ,, é dada por:

)()( ndmbofI −+−=−= (4.10)

A base I do conjunto é sempre disposta simetricamente em relação ao vértice superior do

número fuzzy resultante.

Tabela 4.1: Operações aritméticas para números fuzzy (m, a, b)LR, segundo Dubois e Prade (1978, 1979 e 1988).

Adição ( ) ( ) ( )LRLRLR dbcanmdcnbam +++=⊕ ,,,,,,

Oposto negativo ( ) ( )RLLR abmbam ,,,, −=−

Subtração ( ) ( ) ( )LRRLLR cbdanmdcnbam ++−=− ,,,,,,

Multiplicação por escalar ( ) ( ) ( )bnanmnnxbam LR ,,0,0,,, =

Multiplicação por fuzzy

Para m>0 e n>0 ( ) ( ) ( )LRLRLR bndmancmmndcnbam ++≈⊗ ,,,,,,

Para m<0 e n>0 ( ) ( ) ( )RLLRRL cmbndmanmndcnbam −−≈⊗ ,,,,,,

Para m<0 e n<0 ( ) ( ) ( )RLLRLR cmandmbnmndcnbam −−−−≈⊗ ,,,,,,

Inverso para (m>0) ( ) ( )RLLR ambmmbam 2211 ,,,, −−−− ≈

Tabela 4.2: Operações aritméticas para números fuzzy (m, a, b)LR, segundo Kaufmann e Gupta (1991),

Adição ( ) ( ) ( )LRLRLR dcbanmdcnbam +++=⊕ ,,,,,,

Oposto negativo ( ) ( )RLLR abmbam ,,,, −=−

Subtração ( ) ( ) ( )LRLRLR dbcanmdcnbam −−−=− ,,,,,,

Multiplicação por fuzzy ( ) ( ) ( )LRLRLR bdacmndcnbam ,,,,,, ≈⊗

Divisão por fuzzy ( ) ( ) ( )LRLRLR nbcadmdcnbam ÷÷÷≈÷ ,,,,,,



4.6 – Transformações escalar-fuzzy (Fuzzification) e

fuzzy-escalar (Defuzzification)

4.6.1 – “Fuzzificação”

É assim chamado o processo pelo qual é possível transformar um conjunto

clássico quantitativo em um fuzzy. Isto é possível simplesmente pelo reconhecimento de que

muito do que consideramos como quantidades pertencentes ao conjunto clássico (crisp) e

determinístico, na realidade não o são definitivamente, pois trazem consideráveis incertezas.

As formas com que as incertezas aparecem têm seus fundamentos devidos à imprecisão,

ambigüidade, ou difusividade, então essas variáveis são provavelmente fuzzy e podem ser

representadas por uma função de pertinência (ROSS, 2004).

4.6.2 – “Defuzzificação” para escalar

“Defuzzificação” é o processo inverso ao da “fuzzificação”, ou melhor, é a

conversão de uma quantidade fuzzy para uma quantidade precisa (escalar). A saída de um

processo fuzzy pode ser a união lógica de duas variáveis de pertinência fuzzy ou mais

definidas pelo universo da variável de saída (ROSS, 2004). Também pode ser defino,

segundo Ortega (2001) como sendo o processo que permite a tradução de uma distribuição

de possibilidades definida pela saída de um modelo lingüístico fuzzy em uma linguagem

científica, ou melhor, quantitativa. O exemplo, anteriormente apresentado sobre os

conjuntos das temperaturas quentes, confortáveis e frias é um típico exemplo desta

transformação.

Existem várias propostas de transformação de “defuzzificação”. Nesses últimos 30

anos foram propostos pela literatura científica muitos métodos para a “defuzzificação”,

ilustraremos sete deles, conforme apresentado por Ross (2004):



1. Princípio da máxima pertinência – também conhecido como o método das alturas.

Consiste em adotar como valor escalar, representativo da “sobra” fuzzy o valor de “z”

correspondente ao valor máximo da função de pertinência, conforme ilustra a Figura

4.7;

zz*

µ

1

Figura 4.7: “Defuzzificação” pelo método da máxima altura. Fonte: Modificado de Ross (2004).

2. Método do centróide – também chamado de centro da área ou centro de gravidade.

Este método considera que o centro de gravidade dá a média das áreas de todas as

figuras que representam os graus de pertinência de um subconjunto fuzzy. É o mais

prevalecente e fisicamente apelativo que qualquer outro método de “defuzzificação”

[Yager (1981); Sugeno (1985); Lee (1990); Goumas e Lygerou (2000); BARROS e

BASSANESI (2006)]; A Figura 4.8 ilustra e a aplicação deste método;

zz*

µ

1

0,5

Figura 4.8: “Defuzzificação” pelo método do centro de gravidade. Fonte: Modificado de Ross (2004).



3. Método do peso médio – é o mais freqüentemente utilizado em aplicações fuzzy por

ser um dos métodos mais eficientes computacionalmente. É restrito às funções de

pertinência simétricas, o que é bastante limitante para a sua aplicação, conforme

apresentado pela equação (4.11), e ilustrado pela Figura 4.9. O método do peso médio

pode ser visto como a média ponderada dos máximos que foram determinados pelo

método do centro dos máximos:

( )( )

( ) ( )8,04,0

8,04,0.*

~

~

++==

∑∑ ba

z

zzz

C

C

µµ

(4.11)

Figura 4.9: “Defuzzificação” pelo método do peso médio, para números fuzzy normais e não-normais. Fonte: Modificado de Ross (2004).

4. Centro dos máximos – também conhecido como o meio-da-máxima é muito similar

ao método das alturas, o primeiro apresentado. A exceção é que neste caso o valor

máximo da função de pertinência pode ser um platô ou invés de um único ponto,

ilustrado pela Figura 4.10;

1,0

0,8

0,4

µ

0 a b z



za z* b

µ

1

0,5

Figura 4.10 – “Defuzzificação” pelo método da média das máximas. Fonte: Modificado de Ross (2004).

5. Centro da soma – Este método é de longe o método mais utilizado e não é restrito

às funções de pertinência simétricas. Este processo envolve a soma algébrica de

séries fuzzy individuais ao invés de sua união. A Figura 4-11 ilustra a aplicação deste

método e a expressão (4.12) sua determinação matemática:

( )

( )∫∑

∫ ∑

=

==

z

n

kk

z

n

kk

dzzc

dzzczz

1

1*

µ

µ (4.12)

0 2 4 6 8

1,0

0,5

µ

0 2 4 6 8 10

1,0

0,5

µ

0 2 4 6 8 10

1,0

0,5

µ

z*

Figura 4.11 - “Defuzzificação” pelo método do centro da soma, para números fuzzy normais e não-normais. Fonte: Modificado de Ross (2004).



6. Centro da maior área – se a saída do conjunto fuzzy possui pelo menos duas sub-

regiões convexas, então o centro de gravidade da maior sub-região é utilizado como o

valor escalar correspondente. A expressão (4.13) define o cálculo para este método, e

a Figura 4.12 ilustra sua aplicação;

( )( )∫

∫=dzz

zdzzz

C

C

~

~*

µ

µ (4.13)

z0 2 4 6 8 10 12 14

µ

1

0,5

z*

Figura 4.12 - “Defuzzificação” pelo método da maior área. Fonte: Modificado de Ross (2004).

7. Primeiro (ou último) da máxima – este método é utilizado sobre todas as saídas de

todas as séries fuzzy kC~

individuais para determinar o menor valor do domínio com

grau da pertinência maximizado em kC~

. A expressão que determina o valor de z* é

dada pela equação (4.14), e ilustrada pela Figura 4.13.

( ) ( )zChgtkC

Zzk ~sup

~ µ∈

= (4.14)

z0 2 4 6 8 10 12 14

µ

1

0,5

z*

Figura 4.13 - “Defuzzificação” pelo método do primeiro da máxima. Fonte: Modificado de Ross (2004).



A questão natural que emerge destes sete métodos é: qual deles é o melhor

método a ser aplicado? A resposta a esta pergunta é simples e depende do contexto do

problema, e muitas vezes também da forma da função de pertinência.

Dubois e Prade (1978) mostraram que uma representação conveniente para um

número fuzzy m~ seria do tipo “3” (m, α, β) representando um triângulo. Os parâmetros das

funções de pertinência µm(x) seriam definidas como:

( ) ( )[ ],/αµ xmLxm −= x < m (4.15)

α > 0 , β > 0

( ) ( )[ ],/ βµ mxRxm −= x > m (4.16)

em que L e R são funções simétricas tipo gaussiana para as quais L(0)=R(0)=1, m~ é dito

ser do tipo L-R, m é o valor médio (ou o valor característico) de βα em,~ sendo os

intervalos esquerdo e direito de m e simbolicamente: ( )LRmm βα ,,~ = . Prade (1979)

destacou três observações importantes a saber:

• quanto maior os valores de α e β, mais difuso é o número m~ : quando α=β=0, m~

será apenas mais um número real. Então, o resultado de uma adição é sempre mais

difuso que o número adicionado.

Algumas pessoas podem argumentar que talvez seja muito difícil ou até mesmo

impossível determinar, precisamente, as funções de pertinência. Apesar de verdadeiro o

argumento isto de fato não tem muita importância, uma vez que os parâmetros α e β e as

funções de referências L e R são apenas valores indicativos. Ou melhor: a forma indicativa

de L e R não é muito importante porque na modificação dos parâmetros α e β em α’ e β’ é

possível determinar L’ e R’ em que ( )[ ]'/' αxmL − e ( )[ ]'/' βmxR − são

aproximadamente iguais a ( )[ ]α/xmL − e ( )[ ]β/mxR − , respectivamente.

Dados estatísticos (se disponíveis) podem ser utilizados para construir as funções

de pertinência pelo seguinte procedimento: Um histograma é normalizado por meio da

transformação do valor mais freqüente (moda) para o valor 1 (no procedimento



probabilístico a área da função de densidade de probabilidade que é igual a unidade). Desta

forma é assumido um conhecimento aproximado dos elementos dessa população. A Figura

4.14 ilustra esta transformação para o número fuzzy.

1

a m bM éd ia

da d is tr ibu ição

D is t. P robab ilística (h istogram a)

N úm ero fu zzy(m , a , b )L R

z

µ

Figura 4.14: Transformação de uma variável probabilística para uma variável fuzzy.

Existem várias propostas de transformação de números fuzzy para números

escalares. O método mais utilizado é o método do centro de gravidade. O método do centro

de gravidade considera que o número fuzzy pode ser representado pelo valor real de seu

centro de gravidade. Uma proposta de transformação fuzzy-escalar foi feita por Yager

(1981).

Exemplificando: o método de “defuzzyficação”, proposto por Yager (1981),

considera um número fuzzy (1.00, 0.20, 0.10), conforme ilustra a Figura 4.14. O índice que

mede esta magnitude é o valor correspondente ao centro de gravidade “c” do triângulo,

também apresentado em forma matemática definida pela expressão (4.17).

( ) ( ) 3/3,, bambam +−=µ (4.17)

e ( ) 96667.01.0,2.0,0.1 =µ

O índice Yager para o número fuzzy (0.9, 0.0, 0.3) é igual a 1.00. Apesar do valor

médio do número fuzzy (1.0, 0.2, 0.1) ser maior que valor médio do número fuzzy (0.9,



0.0, 0.3), o valor transformado do primeiro (0.96667) é menor que o do segundo (1.000),

conforme pode ser visualizado na Figura 4.16.

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 z

µz

1.0

0.5

c

~Z=(1.0, 0.2, 0.1)

µz= 0.96667

z* Figura 4.15: Transformação fuzzy-escalar (Defuzzification) por método do centro de

gravidade proposto por YAGER (1981).

0.7 0 .8 0 .9 1 .0 1 .1 1 .2 z

µ z

1 .0

0 .5

c1 c2

~

z1=(1 .0 , 0 .2 , 0 .1 ) µ z= 0 .9 6 66 7

z2=(0 .9 , 0 .0 , 0 .3) µ z= 1 .0 00 0 0

~

z1 z2* * Figura 4.16: Transformação fuzzy-escalar (Defuzzification) pelo método do centro de

gravidade proposto por YAGER (1981), para os números fuzzy (1.0, 0.2, 0.1) e (0.9, 0.0, 0.3).



4.7 – Comparação entre números fuzzy

A teoria das séries fuzzy, e particularmente o conceito de números fuzzy, fornece

uma estrutura teórica apropriada para modelar quantias que são imprecisas por sua própria

natureza ou por falhas em sua medida. Os números fuzzy são aplicados em diferentes áreas

para suprir necessidades específicas para cada uma delas, como podemos citar algumas:

tomada de decisão, problemas de otimização, na arqueologia para mapear espaços com

diferentes sítios com datações pelo método do carbono, que são aproximadas, na

engenharia médica, e muitos outros. Nesses problemas, a necessidade de um procedimento

para hierarquizar os números fuzzy é obvio.

Os números fuzzy são uma importante ferramenta matemática em pesquisas que

envolvam a teoria das séries fuzzy, justamente por causa de sua adequabilidade em

representar valores incertos, e desta forma, são largamente utilizados. O uso prático da

hierarquização de números fuzzy é muito importante, Por exemplo, o conceito da escolha

ótima, ou da melhor escolha, para se tornar verdadeira deverá estar completamente

baseado na hierarquização ou comparação. Porém, não é fácil hierarquizá-los de acordo com

sua magnitude.

Em muitas situações de auxílio à tomada de decisão multicriterial, os valores para

os critérios qualitativos frequentemente são definidos imprecisamente pelos DMs e os

resultados finais das alternativas são apresentados em termos de números fuzzy, justamente

o que ocorre no presente trabalho. Para escolher a melhor alternativa, precisamos construir

um ordenamento global claro para os números fuzzy em que a defuzzificação, muitas vezes,

não satisfaz a necessidade dos DMs.

Para hierarquizar esses números incertos, um número fuzzy precisa ser avaliado e

comparado a outros, mas este caminho não é fácil. Os números fuzzy são representados por

distribuições de possibilidades, e têm por característica a sobreposição de uns sobre os

outros, tornando a determinação clara de qual número fuzzy é maior ou menor que outro é

difícil (LEE-KWANG e LEE, 1999).

O problema de ordenação de números fuzzy foi estudado por muitos

pesquisadores que propuseram diferentes métodos. Uma linha de pensamento principal é a



de transformar números fuzzy em números reais, com o propósito de induzir as séries que

envolvem números fuzzy em ordená-los em linha real. Os instrumentos desta transformação

são chamados de funções de hierarquização e geralmente elas aparecem da intuição de

diferentes naturezas (geométrica, possibilística, etc...).

Apenas para ilustração, pode-se citar alguns trabalhos em que apresentam

propostas metodológicas para a hierarquização e comparação de números fuzzy (CHENG,

1998; LEE-KWANG e LEE, 1999; CHEN e LU, 2001; WANG e KERRE, 2001a, 2001b;

MODARRES e SOHEIL, 2001; MATARAZZO e MUNDA, 2001; CHU e TSAO, 2002; TRAN e

DUCKSTEIN, 2002; TANG, 2003; CHEN e CHENG, 2004; LEE et al., 2004; FACCHINETTI et

al., 2004; NOJAVAN e GHAZANFARI, 2006; SEVASTIANOV, 2007, entre outros) e, de acordo

com Chen e Hwang (1992) os métodos podem ser classificados em quatro classes principais:

(i) relações de preferências, (ii) média fuzzy e extensão, (iii) pontuação fuzzy e (iv)

expressão lingüística, mas cada método parece ter vantagens assim como desvantagens

sobres os demais métodos.

Segundo Chang et al. (2006), alguns métodos de hierarquização assumem que a

função de pertinência é normal, mas em muitos casos, não é adequada a limitação à função

de pertinência normal. Apesar de alguns métodos serem contra-intuitivos, não

discriminatórios ou complexos, a maioria deles considera um único ponto de vista sobre a

comparação fuzzy quantitativa. Desta forma, muitos desses métodos produzem diferentes

hierarquizações para o mesmo problema. O índice x de Yager (YAGER, 1980), por exemplo,

mede a média geral do número fuzzy, mas o índice x sozinho provê pouca habilidade

discriminatória.

A maioria dos métodos propostos não considera as distribuições de possibilidades

totais de um número fuzzy ou utiliza um único ponto de vista fixo para avaliá-los. Os

números fuzzy representam valores incertos, então, as distribuições de possibilidades globais

são importantes e devem ser consideradas em suas avaliações (LEE-KWANG e LEE, 1999).

A avaliação de números fuzzy pode facilmente ser afetada pelo ponto de vista de

avaliação como a preferência e o interesse do usuário (KIM e PARK, 1990; LIOU e WANG,

1992; CAMPOS IBANES e GONZÁLES MUNOZ, 1989; PENEVA e POPCHEV, 1998; BALDWIN e

GUILD, 1979) apud Lee-Kwang e Lee (1999). Foram sugeridos alguns métodos que

possibilitam a mudança de pontos de vista, muitos dos quais apresentam propostas bastante

simples. A maioria das pesquisas desta área considerava apenas dois tipos de pontos de



vista (otimista e pessimista) e combinavam linearmente os resultados de ambos. A taxa de

combinação é representada por um valor real [0,1], usualmente fornecida pelos usuários.

Apesar de acrescentarem um ganho ao processo de comparação entre os números fuzzy,

ainda não o representam completamente.

4.7.1 - Os pontos de vista em processos de tomada de decisão.

Os pontos de vista representam o grau de expectativa que o DM possui em

relação a algum problema. Por exemplo: quase que diariamente ouvimos nos noticiários da

TV expectativas de consultores de diferentes bancos ou instituições com relação ao

crescimento econômico do País.

Esses “gurus” da economia sempre apontam um valor com tendência de

crescimento ou decrescimento, mas tudo depende do conhecimento intrínseco de cada

avaliador e das condições econômicas globais reinantes no momento, a curto e médio

prazos. Pois bem, há aqueles que sempre enxergam um ambiente propício a bons negócios,

e há aqueles que sempre enxergam no horizonte as nuvens escuras.

Para essas duas classes de avaliadores, um mesmo número fuzzy seria

interpretado de diferentes maneiras. O otimista acreditará que o valor esse número fuzzy,

representado por uma faixa de valores possíveis, ocorrerá mais próximo ao seu limite

superior, e o pessimista, que este valor se dará mais próximo do limite inferior deste

intervalo, e claro, considerando várias opiniões, aparecerão variações de graus entre os

extremos. Desta forma, podemos ilustrar esses pontos de vista por meio das Figuras 4.17.



Figura 4.17: Números fuzzy e pontos de vista. (a) Números fuzzy. (b) Ponto de vista V1. (c) Ponto de vista V2. (d) Ponto de vista V3.

4.7.2 – Métodos de comparação entre números fuzzy.

Como mencionado anteriormente há muitos métodos de comparação entre

números fuzzy, mas não é o escopo deste trabalho descriminá-los, apenas de apresentar o

que este pesquisador acredita ser o mais apropriado para a presente proposta.

Inicialmente será apresentado brevemente o método de Lee-Kwang e Lee (1999),

que introduz a discussão diferentes pontos de vista e na seqüência, e que auxiliará na

discussão da proposta de comparação mais abrangente identificada, que corresponde ao

método proposto por Chang et al. (2006).



4.7.2.1 – Método de Lee-Kwang e Lee (1999)

O método de Lee-Kwang e Lee (1999) considera a distribuição de possibilidades

total dos números fuzzy e permite aos usuários descrever pontos de vista. Os pontos de

vista dos usuários podem ser representados por uma série fuzzy. O método consiste em dois

passos: (i) avaliação e (ii) ordenação:

(i) No passo de avaliação, os números fuzzy são comparados com o ponto de vista

dado por um usuário; são avaliados os graus com os quais os números fuzzy são

considerados “maiores que”;

(ii) Na ordenação, os números fuzzy são colocados em uma seqüência de acordo

como grau avaliado no primeiro passo. Por comparações entre os números fuzzy e um ponto de vista, é utilizada uma função de satisfação discreta (FSD) proposta

pelo método, para a comparação de dois números fuzzy, conforme apresentado

por Lee et al. (1994) e Orlovsky (1978), apud Lee-Kwang e Lee (1999).

A função de satisfação (FSD) é uma medida de comparação entre dois números

fuzzy retornando como resultado um número real [0,1]. A FSD foi proposta sobre um

domínio discreto por Lee et al. (1994), e a definição da “Função de Satisfação Contínua”

(FSC) foi posteriormente estendida ao domínio continuo por Lee e Lee-Kwang (2001).

Segundo Lee-Kwang e Lee (1999) cada pessoa interpretará um número fuzzy de

acordo com seus pontos de vista que representam as necessidades de que precisa. O

exemplo da Figura 4.18 (a) ilustra bem esta situação: sejam dois números fuzzy

)4,4,5(~1 =µ e )2,2,5(~

2 =µ , pela visão otimista 21~~ µµ > , desde que 1

~µ pode ser maior

que 2~µ ; pela visão pessimista 21

~~ µµ < , desde que 1~µ pode ser menor que 2

~µ . Por esta

razão, cada DM possui seu “ponto de vista”, e esses pontos de vistas, para cada problema,

podem ser representados por distribuições do tipo “otimista”, “pessimista”, ou “uniforme”,

conforme apresentado anteriormente na Figura 4.17 (b), (c), e (d).

Para comparar um número fuzzy segundo um “ponto de vista”, deve-se utilizar

uma função de satisfação. Podemos imaginar que a função de satisfação representa a área

sobre o gráfico em que o valor de A é maior que o valor de B, dividido pela área total.



(a)

(b)

Figura 4.18: Comparação entre dois números fuzzy com a (FS).

A Função de Satisfação pode ser entendida como a área no gráfico, ilustrado na

Figura 4.18, em que o valor do número fuzzy “A” é maior que o valor do número fuzzy “B”,

dividido por toda a área. S(A>B) representa a possibilidade que o valor do número fuzzy “A”

ser maior que o valor do número fuzzy “B”, e S(B>A) a possibilidade de “B” ser maior que

“A”. As equações (4.18) e (4.19) utilizam um operador • T-normal, que representa a

intersecção fuzzy. As Funções de Satisfação de dois números fuzzy (A>B) e (A<B) são

definidas pelas expressões (4.18) e (4.19), a seguir:

( )( ) ( )

( ) ( )∫ ∫

∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− ∞−

•

•=<

dxdyyx

dxdyyx

BAS

BA

y

BA

µµ

µµ (4.18)

( )( ) ( )

( ) ( )∫ ∫

∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

•

•=>

dxdyyx

dxdyyx

BAS

BA

yBA

µµ

µµ (4.19)

A Figura 4.18 (b) mostra a idéia básica da FS. Para a comparação dos dois

números fuzzy “A” e “B”, “A” é posta sobre o eixo x e “B” sobre o eixo y. A parte em que “B”

é menor que “A” é definido como ( ){ }yxByAxyxPS >∈∈= ,,|, e a parte em que “B” é

maior que “A” é definido como ( ){ }yxByAxyxPL <∈∈= ,,|, .

A B

x A

B

y x=y

PS

A>B PL A<B



Então, ( )BAS < é a razão da integração de ( ) ( )yx BA µµ • que representa LP (a

área em que A<B é satisfeita) sobre SL PP ∪ (área total). A avaliação do valor de “A”

comparada com um ponto de vista V e denominada de ( )AEV , conforme definida pela

expressão (4.20). ( )BAS > é definida analogamente. Considerando que é utilizada a

integração, as funções de pertinência devem ser integráveis e terem áreas finitas não zero.

( ) ( )BASAEV >= (4.20)

A avaliação dos números fuzzy segundo um ponto de vista pode ser ordenada com

algoritmo de hierarquização padrão baseado nos valores das ( )AEV . O índice relativo para

um número fuzzy “A”, da série x, para um ponto de vista V, é definido como:

( ) ( )( ){ }FE

AEAR

VXF

VV

∈=

max (4.21)

( )ARV mostra quão perto “A” está do melhor número de x pelo ponto de vista V.

Desta forma, a comparação entre números fuzzy por este método é realizado segundo os

seguintes passo:

(i) Definir uma série fuzzy V para atuar como pontos de vista;

(ii) Avaliar ( )AEV para cada xA∈ ;

(iii) Hierarquizar os números fuzzy de acordo com os VE (utilizando um algoritmo

de ordenação padrão);

(iv) Avaliar ( )ARV para cada xA∈ .

Porém, este método é limitado à distribuição T-normal, o que reduz o universo de

aplicação deste método. Cheng (1998) propôs um método de distância para hierarquizar

números fuzzy baseados no cálculo dos valores x e y . Entretanto o método de Cheng

(1998) não pode hierarquizar números fuzzy negativos. Recentemente, Chen e Cheng (2004)

propuseram uma equação mais simples e baseada na distância métrica, na qual é possível

hierarquizar números fuzzy positivos e negativos, simétricos e assimétricos,

triangular/trapezoidal, geral e normal ao mesmo tempo.



O método de Lee e Li (1998) utiliza a média generalizada e o desvio padrão para

hierarquizar números fuzzy, baseado em dois tipos de distribuição de probabilidades

(distribuição uniforme e distribuição proporcional). Esse método hierarquiza números fuzzy

baseados em dois diferentes critérios, chamados fuzzy médio e “fuzzy espalhado”, que

representa a sobra do número fuzzy. Os maiores números fuzzy hierarquizados são aqueles

que possuem alto valor médio e ao mesmo tempo baixo espalhamento. Entretanto, quanto

maior o valor da média e maior o valor do espalhamento ou, menor o valor da média e ao

mesmo tempo com baixo espalhamento, a comparação e ordenação por esse método não

será tarefa fácil.

Apesar da existência de muitos métodos, os resultados podem não satisfazer aos

tomadores de decisão. Atualmente, não é algo incomum que as alternativas sejam

escolhidas de acordo com a opinião de algum especialista especialistas; entretanto,

diferentes pessoas atribuem diferentes pesos para as opiniões dos especialistas. Algumas

consideram que a confiança e o conhecimento dos especialistas são importantes para elas,

para outras não. Além da preocupação com o peso a que será dada à opinião dos

especialistas, e quem definirá esses pesos poderá ser uma pessoa(s) otimista(s) ou

pessimista(s), e esses pesos levarão a resultados completamente diferentes.

CHANG et al. (2006) propõem um método para a realizar a hierarquização de

números fuzzy, que permite considerar a confiança dos especialistas e ao mesmo tempo o

índice otimista do decisor. Para tanto, utiliza dois parâmetros (α e β) para manipular os

problemas e encontrar as melhores soluções. O método permite identificar e calcular

rapidamente os números fuzzy normais e não-normais. De acordo com os pesos atribuídos à

confiança dos especialistas e do índice otimista, o DM pode determinar qual alternativa a ser

adotada.

4.7.2.2 – Método de Chang, Cheng e Kuo (2006)

O método de Chen e Lu, para hierarquizar os números fuzzy devem considerar os

intervalos limites, esquerdo e direito dos números fuzzy. Porém, esse método não



hierarquiza números fuzzy não-normais1. Para contornar este problema, o método proposto

por Chang et al. (2006) leva em consideração o nível de confiança do DM (LH(i) e RH(i)) na

equação. (4.22). O conceito é consistente com o método de Murakami et al. (1983) [o valor

vertical (eixo–y)] foi utilizado como um índice importante para a hierarquização de números

fuzzy no método de Murakami et al.)

Pelos conceitos acima, introduziram um novo método, o qual é chamaram de

“novo método de hierarquização baseada na dominância bi-dimensional adaptativa”.

“Adaptativa” do título do método significa, segundo os autores, que o método pode ser

aplicado pela preferência e percepção do DM. O DM pode decidir por seus pensamentos

utilizando dois parâmetros, α e β.

Um número fuzzy trapezoidal iA~

pode ser definido com

),:,,,(~

HHi RLdcbaA = 2. Na hierarquização de números fuzzy triangulares assume-se que

b e c são coincidentes, e mesmo assim o método pode ser aplicado.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }iLiRiLiRD SSHHi ββαββα −+−+−+= 1112

1 (4.22)

Em que:

iD : é o índice o iésimo número fuzzy;

α : é o peso da opinião do especialista assinalado pelo DM;

β : é o índice otimista do DM;

)(iHR : é a “altura” direita do iésimo número fuzzy;

)(iHL : é a “altura” esquerda do iésimo número fuzzy;

)(iSR : é o valor superior do iésimo número fuzzy ( )( )dcARS +=~;

)(iSL : é o valor inferior do iésimo número fuzzy ( )( )bcALS +=~.

1 Um número fuzzy é dito normal se o valor máximo de sua função de pertinência for igual a 1, caso contrário é dito não-

normal. 2 Observar que a forma de apresentação dos números fuzzy diferem um pouco daquela apresentada no item 5 (Aritmética

fuzzy), deste capítulo e proposto por Dubois e Prade (1978). A Figura (4.19) mostrará as diferenças entre as duas formas de

apresentação dos números fuzzy.



O maior valor de iD é a melhor hierarquia de iA~

. α é definido como sendo o peso

da opinião do especialista assinalado pelo DM, o que significa que quanto maior o valor de

α, maior será o peso da opinião do especialista. Em outras palavras, quanto menor o valor

de α menor será a influência do valor vertical (eixo y) nos resultados. β é o índice otimista

do DM, que determina o peso dos limites superiores e inferiores do número fuzzy no eixo x.

Em outras palavras, maior o valor de β, maior será a influencia do limite superior direito no

resultado; quanto menor for o valor de β, maior será a influência do limite inferior esquerdo

nos resultados.

A Figura 4.19 ilustra a forma de apresentação do número fuzzy, para melhor

compreensão dos parâmetros da equação (4.22), a figura também ilustra a forma de

apresentação do número fuzzy utilizado no item 5, deste capítulo (Aritmética fuzzy),

conforme proposto por Dubois e Prade (1978) para números fuzzy triangulares.

( ) ( )( ) ( )9.0,7.0:5,4,3,2,:,,,

~1,1:4,3,2,1,:,,,

~

≡=

≡=

HHi

HHi

RLdcbaB

RLdcbaA ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1,1,3,,

~1,1,2,,,

~7.0,7.0:4,3,3,2,:,,,

~1,1:3,2,2,1,:,,,

~

≡=

≡=

≡=

≡=

LRi

LRi

HHi

HHi

bamB

bamA

RLdcbaB

RLdcbaA

Figura 4.19 – Formas de apresentação de números fuzzy trapezoidais (a) e triangulares (b).

A seguir, apresenta-se o algoritmo proposto por Chang et al. (2006) para a

aplicação do método:

Passo 1: Para os números fuzzy dados, obtêm-se os valores das variáveis HR ,

HL , SR e SL desses números, e identificar se os números são normais ou não-

normais;

Dubois e Prade (1978)

? [ Não normal (y<1)]

Conforme apresentado em Chang et al. (2006)

Ai LH RH

LH RH Bi

Ai LH = RH

LH = RH

Bi

~ ~

~

~



Passo 2: Se um número fuzzy é normal, o DM considera somente o índice de

otimização (i.e. α=0); de outro modo, o DM deve considerar a adição do peso do

nível de confiança do especialista (i.e., α≠0 e valores de β);

Passo 3: Substituir α e β na equação (4.22), então, calcular o valor iD para cada

número fuzzy. Consequentemente, a hierarquização dos números fuzzy pode ser

obtida pela ordenação de seus (siD ).

Neste trabalho, todos os números fuzzy adotados são normais e triangulares,

desta forma, os valores de α serão iguais a zero, na aplicação do método de hierarquização

de números fuzzy proposto por Chang et al. (2006).

4.8 – Incorporação de metodologia fuzzy em método multicriterial

Muitos dos tradicionais métodos multicriterias, nesses últimos anos, apareceram

com sugestões de incorporação da lógica fuzzy em seus arcabouços. Outros métodos já

nasceram fuzzy. Nesta linha de pesquisa encontramos os trabalhos de Mandic e Mamdami

(1984), Efstathiou (1984), Dubois e Prade (1984), Dhingra e Moskowitz (1991), Grabisch

(1996), Chang e Wang (1997), Chang et al. (1997), Becall et al. (1998), Raja e Kumar

(1998), Sakawa e Kubota (2000), Goumas e Lygerou (2000), Kim et al. (2000), Leung e Cao

(2000), Hong e Choi (2000), Yeh et al. (2000), Choi e Oh (2000), Greco et al. (2001),

Buckley et al. (2001), Chiang (2001), Yu e Li (2001), Wang e Fang (2001), Chen e Tsai

(2001), Mohan e Nguyen (2001), Chiang (2001), Parra et al. (2001), Badra (2002), Ramík e

Vlach (2002), Wang e Lin (2003), Pal e Maitra (2003), Aouam et al. (2003), Borges e

Antunes (2003), Wang e Li (2003), Sakawa et al. (2003), Stanciulescu et al. (2003), Wang e

Chuu (2004), Zaras (2004), San Pedro et al. (2005), Omero et al. (2005), Ölçer e Odabasi

(2005), Olson e Wu (2005), Islam e Roy (2006), Sharif e Irani (2006), Chou et al. (2006),



Chen e Weng (2006), Fang et al. (2006), Savsek et al. (2006), Fan et al. (2006),

Rommelfanger (2007), e incontáveis outros trabalhos.

Somente para se ter uma idéia da quantidade de trabalhos publicados ou ainda a

serem publicados no ano de 2007, que utilizam as técnicas fuzzy associados aos problemas

de tomada de decisão, há de se constatar a grande necessidade de tais ferramentas para a

solução de problemas. Citando apenas artigos do European Journal of Operational Research

(EJOR) podemos destacar os seguintes trabalhos: Hop (2007), Pramanik e Roy (2007),

Kreng e Wu (2007), Espin et al. (2007), Hu et al. (2007), Jiménez et al. (2007), Yaghoobi e

Tamiz (2007), Fortemps et al. (2007), Katagiri et al. (2007), Chou et al. (2007), Liu e Wang

(2007), Li et al. (2007), Chang (2007), Drummond et al. (2007), Yang et al. (2007), Matos

(2007), Amor et al. (2007), Aköz e Petrovic (2007), Chiclana et al. (2007), Fan et al. (2007),

Wu (2007), Yaghoobi e Tamiz (2007). Neste ano de 2008 ainda encontramos ainda Ma e Li

(2008), Chou et al. (2008), Xu e Chen (2008), Katagiri et al. (2008), Butnariu e Kroupa

(2008), Wang et al. (2008), Inúmeros trabalhos foram escritos, mas foge do escopo deste

trabalho elencar todos eles.

A maioria dos trabalhos, anteriormente citados, utilizam ou o método da

programação por compromisso, AHP, ou ainda os métodos baseados na teoria multiatributo.

Um exemplo de incorporação de metodologia fuzzy em métodos multicriteriais,

diferentes daqueles citados anteriormente e, que pode ser destacado é o trabalho de

Goumas e Lygerou (2000). Esses autores, incorporaram a metodologia fuzzy no método

hierárquico conhecido como PROMETHEE II, método consagrado em processo de tomada de

decisão em recursos hídricos.

A proposta de Goumas e Lygerou (2000) prevê a utilização da aritmética fuzzy

proposta por Dubois e Prade (1978, 1979) e Prade (1979) além de utilizarem a proposta de

transformação fuzzy-escalar sugerida por Yager (1981). Esta proposta prevê uma alteração

na definição da escolha dos valores definidos a partir das funções de preferência.

Para a proposta de incorporação de metodologia fuzzy no método PROMETHEE II

Goumas e Lygerou (2000) definiram algumas modificações no arcabouço do método. No

método PROMETHEE II há dois tipos de parâmetros de decisão:

a) A função relativa às diferenças na performance entre duas alternativas (“d”) com

relação a um determinado critério, representado pelo índice de preferência “P”;



b) A importância relativa dada pelo DM para cada critério (fatores de peso).

A seleção de um dos tipos de critérios generalizados é mais ou menos ditado

pelas características particulares de cada aplicação. Goumas e Lygerou (2000) ilustraram sua

proposta por meio da apresentação da função de preferência “tipo 5” , expressa como:

( ) 0, =βαP para d < 0 (4.23)

( )qp

qdP

−−=βα , para q < d < p (4.24)

( ) 1, =βαP para d > p (4.25)

Quando se assume que d é um número fuzzy (n, α, β) o critério linear é expresso

como:

( ) 0, =βαP para n-α < q

( ) ( )qp

qnP

−−= βαβα ,,

, para q < n-α e n+β < p

( ) 1, =βαP para n+β > p

Goumas e Lygerou (2000) observaram que existe uma perda relevante de

informação no processo de definição do índice de preferência “P”, uma vez que o número,

representado pela “sombra fuzzy” {intervalo compreendido entre (n-α) e (n+β)}, abrange

uma faixa compreendendo diferentes níveis de definição de “P”, muitas vezes abrangendo as

faixas de definição de “P”. Desta forma, adotaram como critério de definição do índice de

preferência o seguinte:

• Quando o número fuzzy abrange duas faixas de definição, ou melhor, quando o

intervalo direito (n+β) for maior que “p” e o intervalo esquerdo definido por (n-α)



estiver compreendido entre “q” e “p” então o índice de preferência adotado será

P=1, conforme ilustra a Figura 4.20 (a).

• Se, no entanto, o intervalo esquerdo (n-α) for menor que “q” e o intervalo direito

(n+β) estiver compreendido entre os valores de “q” e “p” então o índice P será igual a

zero, conforme ilustra a Figura 4.20 (b), Caso a “sombra fuzzy” encontrar-se

completamente compreendida no intervalo entre “q” e “p”, então o índice “P” será

definido pelo valor de ñ, que representa o número fuzzy transformado em escalar

pelo índice de Yager (1981), conforme ilustrado na Figura 4.20 (c).

0 q p (d)

Função de Preferência

(P)

1

n+β>pFunção de Preferência

(P)

1

n-α<q

0 q p (d)

Função de Preferência

(P)

1

0 q p (d)

n-α>q e n+β < p

ñ

x x

x

~~

~

(a) (b)

(c)

Figura 4.20: Definição do índice de preferência segundo critério proposto por Goumas e

Lygerou (2000) para a incorporação de metodologia fuzzy no método PROMETHEE II.



1. Bibliografia cap 4

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chapter 4 - fuzzy logic

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