cap i adh (1.4.2 calculo redes cerradas n-r jfm)x

REDES DE DISTRIBUCIÓN

ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

1.4.2 Método de Newton - Raphson

Éste es un método de aproximaciones sucesivas donde la solución en cada etapa iterativa se calcula en términos de la solución anterior, del valor de la función y del valor de la derivada de la función.

Es útil para calcular sistemas no- lineales.

Sea f(x)=0, la función cuya solución (valor de x) se busca

f’(x n-1) = a/b , a = f(xn-1)

entonces:

f(xn-1)

f’(x n-1)

xn = xn-1 - b

xn= xn-1 - f(xn-1)

f’(x n-1)

b =

f(x)

f(xn-1)

xn-1xn

a

b

f(x)=0

X

f’(x n-1)

xn

José F. Muñoz Pardo


Método de Newton – RaphsonUso del método de corrección de caudales:

i. Suponer distribución de caudales inicial respetando la condición 1.

ii. Verificar condición 2. j: cañerías en circuito i

iii. Introducir una corrección de caudales única para cada circuito, de manera que se cumpla la condición 2.

01

=+∑ = i

n

j ji CQ

01

≠∆∑ =

n

j jiH

01

=∆∑ =

n

j jiH ( )p

ijijji QQKH ∆+⋅=∆

José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico


Luego se debe cumplir que en cada circuito:

El método de Newton-Raphson considera

Y que: y , luego:

( ) 01

=∆+⋅∑ =

n

j

p

ijij QQK

( ) ( ) 01

=∆+⋅=∑ =

n

j

p

ijij QQKxf

n ix Q= ∆

( )

( )0

0

1

0

1

i

i

n p

j ji ij Q

i in p

j ji iji Q

K Q Q

Q Q

K Q QQ

= ∆

= ∆

⋅ + ∆

∆ = ∆ − ∂ ⋅ + ∆ ∂∆

∑

∑


1 0n ix Q− = ∆


REDES DE DISTRIBUCIÓNLa primera asignación de caudales define una condición inicial en la cual para cada circuito i, luego la solución de Newton Raphson para la primera iteración queda:

Se tiene entonces que:

Por su parte el denominador queda:

( )

( )0

1 0

10

(Ec A)i

i

n p

j ji ij Q

in p

j ji iji Q

K Q Q

Q

K Q QQ

= ∆ =

= ∆ =

⋅ + ∆

∆ = − ∂ ⋅ + ∆ ∂∆

∑

∑

00 =∆ iQ

( ) ( )∑∑ ==∆=⋅=∆+⋅ n

j

pjij

Q

n

j

pijij QKQQK

i101

( ) ( )0

1

1 10i

n np p

j ji i j jij ji Q

K Q Q p K QQ

−

= ∈∆ =

∂ ⋅ + ∆ = ⋅ ⋅ ∂∆ ∑ ∑

Los términos correspondientes a cañerías que no pertenecen al circuito i son nulos.Existirán cañerías que pertenecen a dos circuitos, en cuyo caso las correcciones no se hacen cero.


REDES DE DISTRIBUCIÓNTambién se puede expresar cada ecuación (Ec A) que genera un circuito como:

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0

1 1 00

1

Expresando la ecuación en términos de la función:

;

la ecuación para cada circuito queda:

;

ii

i

n np p

j ji i i j ji ij ji QQ

p

ji ji i j ji i

n

ji ji ij i Q

K Q Q Q K Q QQ

H Q Q K Q Q

H Q QQ

= = ∆ =∆ =

= ∆

∂ ⋅ + ∆ ⋅ ∆ = − ⋅ + ∆ ∂∆

∆ ∆ = ⋅ + ∆

∂ ∆ ∆ ∂∆

∑ ∑

∑ ( )1 00

;i

n

i ji ji ij Q

Q H Q Q= ∆ ==

⋅ ∆ = − ∆ ∆∑



En forma matricial, el sistema de ecuaciones que hay que resolver para n circuitos es:

011 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 11 1

11 2 30 0 0

2 2 2 22

1 2 30 0 0

33 3 3

1 2 30 0 0

Q

nj j j

jj

Q Q Q

j j jj

jQ Q Q

j j j

Q Q Q

H H H Q HQ Q Q

H H H QH

Q Q Q

QH H H

Q Q Q

∆ ==∆ = ∆ = ∆ =

∆ = ∆ = ∆ =

∆ = ∆ = ∆ =

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∆ − ∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∆ = = − ∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∆∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆

∑

02

03

1

31

Q

Q

n

n

jj

H

∆ =

∆ =

=

=

− ∆

∑

∑

Resolviendo el sistema se obtiene una corrección ∆Q1 ,∆Q2 , ∆Q3 aplicable a cada circuito. Si esa corrección cumple con las condiciones de pérdida de energía, la red está resuelta. Si no, se vuelve a realizar la iteración.



Ejemplo: red de 3 circuitos.

1. Asignación de caudales Qi , i=1,10, que cumplen condición I

La convención de signos es positiva en el sentido de las manecillas del reloj y la corrección de caudales es ∆Q1, ∆Q2, ∆Q3.

Las cañerías 1, 2, 4 y 3 pertenecen al circuito 1Las cañerías 4, 6, 8 y 5 pertenecen al circuito 2Las cañerías 8, 9, 10 y 7 pertenecen al circuito 3

Q1

Q2 Q6 Q9

Q10

Q4 Q8

Q3 Q5 Q7

∆Q1 ∆Q2 ∆Q3



( ) ( ) ( ) ( )ppppj QQKQQQKQQKQQKH 13321441221111 ∆−⋅−∆+∆−⋅−∆+⋅+∆+⋅=∆

( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 2 1 6 6 2 8 8 2 3 5 5 2

p p p p

jH K Q Q Q K Q Q K Q Q Q K Q Q∆ = ⋅ + ∆ − ∆ + ⋅ + ∆ − ⋅ − ∆ + ∆ − ⋅ − ∆

( ) ( ) ( ) ( )ppppj QQKQQKQQKQQQKH 3773101039932883 ∆−⋅−∆−⋅−∆+⋅+∆+∆−⋅=∆

Para el circuito 1:

Para el circuito 2:

Para el circuito 3:

Dado que tanto ∆Hj como ∆Qj tienen un signo asociado a la convención elegida, éste se debe considerar al momento de evaluar ∆Hj , como al momento de corregir los caudales.Al evaluar ∆Hj se consideran todos los caudales positivos luego las correcciones ∆Qi se deben asignar con un signo positivo si tiene la misma dirección de Qj o un signo negativo si tienen una dirección contraria.


Q1

Q2 Q6 Q9

Q10

Q4 Q8

Q3 Q5 Q7

∆Q1 ∆Q2 ∆Q3


REDES DE DISTRIBUCIÓNlas derivadas resultantes evaluadas en ∆Q1= ∆Q2=∆Q3 =0

144

133

122

111

1

1 −−−− ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∆∂∆∂

∑ ppppj QKpQKpQKpQKpQ

H

1 114 4

2 3

0j jpH Hp K Q

Q Q−∂∆ ∂∆

= − ⋅ ⋅ =∂∆ ∂∆∑ ∑

2 21 14 4 8 8

1 3

j jp pH Hp K Q p K Q

Q Q− −∂∆ ∂∆

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅∂∆ ∂∆∑ ∑

188

166

155

144

2

2 −−−− ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∆∂∆∂

∑ ppppj QKpQKpQKpQKpQ

H


3 3 18 8

1 2

3 1 1 1 17 7 8 8 9 9 10 10

3

0 j j p

j p p p p

H Hp K Q

Q Q

Hp K Q p K Q p K Q p K Q

Q

−

− − − −

∂∆ ∂∆= = − ⋅ ⋅

∂∆ ∂∆∂∆

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∂∆

∑ ∑

∑ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico


Ejemplo de cálculo de red con método Newton-Raphson

Para la red de la figura, se tiene la asignación inicial siguiente:

A

F E D

CB

90 lt/s

60 lt/s30 lt/s

1 2

3

4

5

6

7

55 lt/s 35 lt/s

35 lt/s

25 lt/s

20 lt/s

5 lt/s

35 lt/s+1 +2



Datos:Ecuación de pérdida de energía

Coeficiente de cada cañería

Para 2 circuitos, el sistema es de 2x2

( )pjijji QKH ⋅=∆

85.1

87.485.1

67,10Q

DC

Lh

H

f ⋅⋅=∆

85,1=p

Cañería j Coeficiente K

1 1011

2 3012

3 2512

4 12324

5 18486

6 3012

7 18486

∆−

∆−=

∆∆

⋅

∆∂∆∂

∆∂∆∂

∆∂∆∂

∆∂∆∂

=∆

=∆

∑∑

∑∑

∑∑

02

01

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

Qj

Qj

jj

jj

H

H

Q

Q

Q

H

Q

HQ

H

Q

H


REDES DE DISTRIBUCIÓNLos términos de la ecuación matricial de 2x2 son:

1

1 11

11 0

nj p

j jjQ

Hp K Q

Q−

∈∆ =

∂∆= ⋅ ⋅

∂∆∑ ∑ ( )2

1 11,2

1,22 0

j pj j

jQ

Hp K Q

Q−

∈∆ =

∂∆= − ⋅ ⋅

∂∆∑ ∑

( )1

2 11,2

1,21 0

j pj j

jQ

Hp K Q

Q−

∈∆ =

∂∆= − ⋅ ⋅

∂∆∑ ∑2

2 12

22 0

nj p

j jjQ

Hp K Q

Q−

∈∆ =

∂∆= ⋅ ⋅

∂∆∑ ∑

( )

( )

1 11 11,2

1 1,2 11

1 122 21,2

1,2 2 2

p p pj j j j jj

j j j

p p pj j j j jj

j j j

p K Q p K Q K QQ

Qp K Q p K Q K Q

− −

∈ ∈ ∈

− −

∈ ∈ ∈

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅∆ ⋅ = ∆− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Finalmente, el sistema a evaluar queda:

1 21 1 2 20 0

1 2

n n

p pj j j j j jQ Q

j j

H K Q H K Q∆ = ∆ =

∈ ∈

− ∆ = − ⋅ − ∆ = − ⋅∑ ∑ ∑ ∑



j Tramo Kj Qj

2 BC 3011 0,035 174,29 322,44 6,1

3 CD 18485 0,035 1069,78 1979,09 37,44

4 ED 3011 -0,025 130,93 242,22 -3,27

5 EB 18485 -0,020 664,83 1229,94 -13,30

∑ 3773,69 26,97

Iteración N°1

Circuito 1

Circuito 2

j Tramo Kj Qj

1 AB 1011 0,055 85,92 158,94 4,73

5 BE 18485 0,020 664,83 1229,94 13,30

6 EF 12323 -0,005 136,41 252,36 -0,86

7 FA 2512 -0,035 145,37 268,93 -5,09

∑ 1910,18 12,26

85,0jijQK 85,085,1 jijQK⋅ 85.1

jijQK

85,0jijQK 85,085,1 jijQK⋅ 85.1

jijQK



La ecuación matricial a resolver en la primera iteración queda:

De donde se obtienen:

Y la corrección de caudales:

1

2

1910,18 1229,94 12,26

1229,94 3773,69 26,07

Q

Q

∆− − ⋅ = ∆− −

3

1 0,014mQ s∆ = −3

2 0,012mQ s∆ = −

A

F E D

CB90 lt/s

60 lt/s30 lt/s

1 2

3

4

5

6

7

41 lt/s 23 lt/s

23 lt/s

37 lt/s

18 lt/s

19 lt/s

49 lt/s

1 14Q∆ = − 2 12Q∆ = −



Al evaluar los nuevos caudales se debe considerar su signo:

Circuito 1:

Circuito 2

( )1 0,055 0,014 0,041AB ABQ Q Q= + ∆ = + − =

( ) ( )1 2 0,020 0,014 0,012 0,018BE BEQ Q Q Q= + ∆ − ∆ = + − − − =

( )1 0,005 0,014 0,019EF EFQ Q Q= + ∆ = − + − = −

( )1 0,035 0,014 0,049FA FAQ Q Q= + ∆ = − + − = −

( )2 0,035 0,012 0,023BC BCQ Q Q= + ∆ = + − =

( )2 0,035 0,014 0,023CD CDQ Q Q= + ∆ = + − =

( )2 0,025 0,014 0,037ED EDQ Q Q= + ∆ = − + − = −

( ) ( )2 1 0,020 0,012 0,014 0,018EB EBQ Q Q Q= + ∆ − ∆ = − + − − − = −



1.4.3 Extensión métodos de Hardy Cross y Newton Raphson a redes complejas ( varios estanques, bombas, válvulas).

Los métodos de H-C y N-R permiten resolver redes que contienen un sólo estanque (sólo el nivel energético del punto de alimentación de la red es fijo).

Sin embargo el sistema se puede acondicionar de tal forma que exista una solución para redes con más de un estanque, con singularidades y/o bombas interconectadas entre algunos nodos.

Veremos ahora el procedimiento para la resolución de problemas con presencia de varios estanques, bombas y singularidades.



En una red con dos estanques, la diferencia de energía entre A y F siempre será la misma al recorrer la red por cualquier camino y será igual a la diferencia de energía entre los estanques 1 y 2.

Z1

Z2A

D

B C

E F



Esta condición se puede representar por una pseudo-cañería que tenga una pérdida de energía igual a la diferencia entre los dos estanques y cuyo caudal represente el flujo de entrada y/o salida de ellos.

2121 zzEEH AF −=−=∆

Se reemplaza el estanque de menor energía por una pseudo cañería conectada al estanque de mayor energía y se asigna el signo positivo al nuevo circuito en la dirección del estanque de mayor energía hacia el de menor energía.



- j B

pj j j B

H Pérdida por friccion H

H K Q H

∆ =

∆ = ⋅ −

( )2jj

pjjj QCQBAQKH ⋅−⋅−−⋅=∆

2jjB QCQBAH ⋅−⋅−=

• ηmax

Redes que incluyen cañerías con bomba:

La pérdida de energía en la cañería j, que tiene una bomba se puede expresar como:

La energía que proporciona la bomba se obtiene de la curva característica de la bomba:

Luego, la pérdida y ganancia de energía en la cañería j es


HB

Q



Redes que incluyen cañerías con válvulas:

La pérdida de energía por fricción más por singularidades para la cañería j queda:

2jS

pjjj QKQKH ⋅+⋅=∆



Cálculo del caudal correctivo en un circuito con bombas y válvulas

De acuerdo al método de Hardy Cross:

- Suma algebraica de pérdidasDerivada de suma algebraica

Suma algebraica de pérdidas ( roce + bomba – pérdidas singulares):

Bomba:

Válvula:

[ ][ ] =

⋅⋅

⋅−=∆

∑∑

=−

=n

j

pjij

n

j

pjij

iQKp

QKQ

1

1

1

[ ] ( )[ ]∑∑ ==⋅−⋅−−⋅=−⋅ n

j jijipjij

n

j bpjij QCQBAQKHQK

1

2

1

[ ] [ ]∑∑ ==⋅+⋅=∆ n

j jiSpjij

n

j ji QKQKH1

2

1



Derivada de la suma algebraica de pérdidas + bomba + pérdidas singulares:

En pseudo-cañerías la pérdida de energía es constante luego :

En cañerías sin bombas:Aj, Bj, Cj = 0

En cañerías sin válvulas:KS = 0

1

12 2

pn

j ji j j ji S jijp K Q B C Q K Q

−

=⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑

01

=⋅⋅−p

jij QKp

2 2

1

1

1

( )

2 2

n pj ji j j ji j ji S jij

i pn

j j j j ji S jij

K Q A B Q C Q K QQ

p K Q B C Q K Q

=−

=

⋅ − − ⋅ − ⋅ + ⋅∆ = −

⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∑

∑



Ejemplo red compleja con Gasto en Camino

Se tiene un sistema industrial con la siguiente red y la distribución inicial de caudales que se muestra; cota estanque E1 105m, cota estanque E2 95m, cota de la bomba B1 200m.

3 mallas, sistema 3x3



1° Iteración con Hardy Cross, cálculo de caudales correctivos:

Circuito 1:

* En la columna r del tramo E1-E2 corresponde a la diferencia de cota entre estos estanques.**El caudal en el tramo 3 corresponde al caudal de diseño: 111,5l/s

Tramo r Q(l/s)2 76,49 180 -3,21 32,943 458,9 111,5 -7,93 131,54

E1-E2 ----- ----- 10 -----∑ -1,133 164,49

)(mH∆ 85,0**85,1 Qr

1 0,850,0069

1,85* *

Hq

r Q

∆= − =∑∑









1° Iteración con Newton Raphson, cálculo de caudales correctivos:

Circuito 1:

* En la columna r del tramo E1-E2 corresponde a la diferencia de cota entre estos estanques.**El caudal en el tramo 3 corresponde al caudal de diseño: 111,5 l/s

Circuito 2:

)(mH∆Tramo r Q(l/s) dH/dq1 dH/dq2 dH/dq3

2 76,49 180 -3,21 32,94 -32,94

3 458,9 111,5 -7,93 131,54 -131,54

EA-EB ----- ----- 10

∑ -1,13 164,49 -32,94 -131,54



1° Iteración con Newton Raphson, cálculo de caudales correctivos:

Circuito 3:

La Matriz de Newton Raphson queda:Resolviendo, se tiene que los caudales correctivos de cada malla son:

q1= -0,0558 m3/sq2= -0,0161 m3/sq3= -0,0744 m3/s

)(mH∆Tramo r Q(l/s) dH/dq1 dH/dq2 dH/dq3

3 458,9 111,5 7,93 131,54 -131,54

6 382,41 55 -1,79 60,12 -60,12

7 133,85 5 0,01 2,74

∑ 6,15 194,40 -131,54 -60,12



1° Iteración con Newton Raphson, cálculo de caudales correctivos :



La red cerrada de la figura permite abastecer la demanda puntual dedos industrias, y además, permite abastecer la demanda de riego de un predioagrícola (80 l/s), mediante un sistema tipo gasto en camino.

La cañería que abastece de riego al predio agrícola tiene un largo de 80m. y undiámetro de 200mm.

Ejemplo Redes Cerradas- Hardy-Cross

Tramo r1-2 25002-3 20003-4 17001-5 15005-2 12004-2 2000A-1 500

José F Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico


Considerando que las demandas se mantienen constantes en el tiempo se pide:

a) Determinar el caudal total que aportan los estanques. ¿Es posible saber a “priori” cuántocaudal aporta cada estanque?

b) Realizar una iteración por el método Hardy-Cross y calcular los caudalescorregidos en cadatubería.

c) Determinar la perdida singular que se produce en la válvula y la potencia que consumelabomba, luego de realizada la primera iteración.

d) Determinar la altura de energía (carga hidráulica) en el punto F considerandoque en dichopunto el caudal saliente es nulo.

Considere:

- Pérdida por fricción:

- Pérdida singular:

- Curva característica de la bomba:

- Eficiencia de la bomba:

- 10.000kg / m2. s2

- Caudal saliente en el punto F igual a cero.

- Factor de fricción tramo 4-F:

85,1* QrH ijf =∆2*8000 QH s =∆

2*1200*40090 QQH B −−=%80=Bη

=γatm

F PP

=γ

02,0=f14,3

/8,9 2

==

πsmg



200 l/s

150 l/s

140 l/s

40 l/s

100 l/s

q1+

q2+q3+

Se realiza primero un balance de caudales iniciales, para determinar lascondiciones iniciales antes de iterar. De esta forma se sabe que el caudal que aportanambos estanques debe ser 100 l/seg, ya que las únicas salidas del sistema sonlos 80 l/s delgasto repartido y los 10 l/s puntuales en los nodos 2 y 5.

De forma preliminar no se puede determinar cuánto caudal aporta cada estanque,ya que aún no se conoce cómo funciona la red del sistema, sólo se sabe que entre los dosaportan 100 l/seg.



Método Hardy Cross. Se tienen 3 circuitos cerrados.

En el circuito 1, se tiene una pseudo-cañería que reemplaza al estanque de menorvalor. Se estima que la pérdida a través de la pseudo-cañería corresponde a la diferencia decotas de los dos estanques.

Con respecto a las pérdidas introducidas por la bomba, se consideran negativas,ya que en el sentido del caudal correctivo la energía del circuito va disminuyendo debido alas pérdidas, sin embargo la bomba inyecta energía. De esta forma la pérdida introducidapor la bomba sería negativa dentro del circuito.

Para evaluar las pérdidas se utilizan los caudales en valor absoluto, los signosseanteponen sólo por ser consistentes con la convención inicial para poder corregir loscaudales.

Circuito 1 r·Q1,85 600-400·Q-1200·Q2 8000·Q2 1,85·r·Q0,85 -400-2400·Q 16000·Q

r Q ∆Hf ∆HB ∆HK |∆Hf'| |∆HB'| |∆HK'|B-A - - 100 - - - - -1-2 2500 0,05 9,8 - - 362,44 - -2-3 2000 0,14 52,6 -10,48 - 695,68 736 -



Método Hardy Cross. Se tienen 3 circuitos cerrados.

En este circuito se incluye una válvula. De la misma forma que la bomba, eltratamiento que se le da al signo tiene relación con el sentido del flujo. Elcaudal correctivoindica que la energía disminuye del nodo 2 al nodo 5, sin embargo la posición de la válvulaindica que la pérdida se da en sentido contrario, por lo que la pérdida se considera negativa.


r Q ∆Hf ∆HB ∆HK |∆Hf'| |∆HB'| |∆HK'|

1-2 2500 0,05 9,8 - - 362,44 - -

2-5 1200 -0,14 -31,59 - -156,8 417,4 - 2240

5-1 1500 -0,15 -44,86 - - 553,27 - -


r Q ∆Hf ∆HB ∆HK |∆Hf'| |∆HB'| |∆HK'|

2-3 2000 0,14 52,65 -10,48 - 695,68 736 -

3-4 1700 0,04 4,41 - - 203,88 - -

4-2 2000 -0,04 -5,19 - - 239,86 - -



De esta manera los caudales correctivos tras la primera iteración son:

Finalmente los caudales corregidos quedan:

segm

H

Hq

3

1 0847,012,179492,151 −=−=

′∆∆

−=∑∑

segm

H

Hq

3

2 0625,0=′∆

∆−=∑∑

segm

H

Hq

3

3 022,0−=′∆

∆−=∑∑

0278,00625,0)0847,0(05,0212121 =+−+=++=′ −− qqQQ0333,0)022,0()0847,0(14,0313232 =−+−+=++=′ −− qqQQ

018,034343 =+=′ −− qQQ

062,032424 =−=′ −− qQQ0775,025252 =−=′ −− qQQ0875,025151 =−=′ −− qQQ



115,3 l/s

87,5 l/s

33,3 l/s

62 l/s

15,3 l/s

q1+

q2+ q3+

27,8 l/s

18 l/s

77,5 l/s



c) Determinar la pérdida singular que produce la válvula y la potencia que consume labomba, luego de realizada la primera iteración.

La pérdida singular que produce la válvula se evalúa de la expresión dada:

La potencia consumida por la bomba se determina mediante el cálculo de la alturadeelevación y luego la potencia:

05,488000 2 =⋅=∆ QH S

35,75120040090 2 =⋅−⋅−=∆ QQH B

WattQH

Pot B 4,364.31=⋅⋅=η

γ



d) Determinar la altura de energía en el punto F, considerando que en dicho punto elcaudalque sale es nulo.

Para determinar la carga hidráulica en el punto F se realiza Bernoulli entre el estanque A yel punto F.

El caudal de diseño o equivalente para determinar la pérdida de energía en la tubería 4-f sedetermina mediante:

Y la velocidad queda:

Reemplazando en el balance de energía:

g

V

D

Lf

g

VPZZ Dis

AFF

FA ⋅⋅⋅+Λ+Λ+Λ+

⋅++= −−− 22

24

42211

2

γ

segm

segltDQ D

3

4 044,044055,0 ==+⋅=

segm

A

QV D

D

3

4 4,1==

g

VQrQrQrZ Dis

F ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=

28100

242

322

21

04,758,019,967,113,3100 =−−−−=FZ

04,75=FH


cap i adh (1.4.2 calculo redes cerradas n-r jfm)x

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