cálculo numérico ajuste de curvas pelo mÉtodo dos mÍnimos quadrados passos para utilizar o mmq

1

Cálculo Numérico

AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS PROF. ME.: TALITA DOS REIS LOPES BERBEL

Objetivo e Introdução ao Método

Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto

Passos para utilizar o MMQ

Exercício Prático Resolução da Lista de Exercícios

3

Método de Eliminação de Gauss

Objetivo

• Estudar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) como outra forma de aproximação de funções.

• Ao contrário do polinômio interpolador, agora não é necessário que o “ajuste” passe exatamente sobre os pontos ajustados.

• O MMQ permite encontra uma função φ(x) de um certo tipo estabelecido que melhor se ajusta a um conjunto de pontos ou uma função dada.

4

2

Introdução

• A interpolação pode não ser aconselhável quando:

É necessário obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo da tabela (extrapolação).

Os valores tabelados são resultado de experimentos físicos, pois estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis.

5

Introdução

• O Método dos Mínimos Quadrados permite aproximar uma função f(x) por uma função φ(x) escolhida de uma família de funções em duas situações distintas:

– Domínio discreto

– Domínio contínuo

6

Método dos Mínimos Quadrados

• Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores.

• Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica.

x 2 3 4 5

f(x) -1,85 0,25 4,10 9,75

7

Caso Discreto

• O ajuste de curvas a uma tabela de m pontos:

• Consiste em determinadas n funções contínuas g1(x), g2(x), g3(x),..., gn(x) obter n constantes a1, a2, a3,..., an tais que a função φ(x) = a1 g1(x) + a2 g2(x) + a3 g3(x) +...+ an gn(x) se aproxime ao máximo do f(x).

x1 x2 x3 ... xm

f(x1) f(x2) f(x3) ... f(xm)

8

3

Caso Discreto

• O desvio entre f(x) e φ(x) deve ser mínimo para todos os pontos m.

Seja dk=f(xk) – φ(xk) o desvio em xk.

• O MMQ consiste em escolher os coeficientes a1, a2, a3,..., an de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

9

Caso Discreto

• Para encontrar a1, a2, a3,..., an utiliza-se um sistema de n equações lineares com n incógnitas.

• As equações do sistema linear são chamadas de equações normais.

10


Após definir a função de ajuste para a tabela de pontos.

1. Construir os vetores para determinar os coeficientes do polinômio P(x).

P(x) = a0 +a1x+...+amxm, onde m é o grau máximo

2. Montar o sistema escalar utilizando o produto escalar. p= a0u0 +a1u1 + ... + amum

11


Caso reta: p= a0u0 +a1u1

Sistema com 2 equações:

Caso parábola: p= a0u0 +a1u1 +a2u2

Sistema com 3 equações:

12

4


3. Reescrever o sistema de equações do passo 2.

4. Resolver o sistema utilizando o Método de Eliminação de Gauss.

5. Substituir os valores de am para compor a curva de ajuste.

P(x) = a0 +a1x+...+amxm

13

Introdução a Sistemas Lineares

• A resolução de sistemas lineares é um problema que surge nas mais diversas áreas.

• O que é um sistema linear (n x n)?

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.

.

...

...

2211

22222121

11212111

É um sistema no qual têm-se n incógnitas e n equações

14

Resolução de Sistemas Lineares

• A resolução de sistemas lineares consiste em calcular os valores de xj (j=1,...,n) que satisfaçam as n equações simultaneamente.

• Na resolução de um sistema linear somente uma entre as

situações abaixo irá ocorrer: – O sistema linear tem solução única; S*=(1,0)

13

424

yx

yx

15


– O sistema linear não admite solução;

– O sistema linear admite infinitas soluções;

• Todos os pares na forma (x,x-5)

5

5

yx

yx

10

5

yx

yx

16

5


• Os métodos estudados no ensino médio, incluindo a Regra de Cramer, não são eficientes computacionalmente, pois geram um número grande de cálculos.

• Um método eficiente para solucionar sistemas lineares:

– Método de Eliminação de Gauss

17

Aplicações

• Cálculo de Métodos Numéricos

• Tomografia Computadorizada

• Criptografia

• Cálculo das componentes de força que atuam sobre uma estrutura. Ex.: Treliça.

Através de sistemas lineares é possível determinar as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça.

18

Sistemas Escalonados

• Os sistemas escalonados são mais fáceis de resolver ou para perceber que não tem solução.

0000

5000

2730

6524

zyx

zyx

zyx

zyx

Sistema escalonado que não admite nenhuma solução

33

825

642

3

32

321

x

xx

xxx

Sistema escalonado que possui uma solução

1 2

19

Eliminação de Gauss

• O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.

• Tendo uma matriz triangular, basta aplicar substituições sucessivas para chegarmos à solução pretendida.

• Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução.

20

6


• As operações elementares entre equações de um sistema linear são:

1. Trocar as equações de posição;

2. Multiplicar uma ou mais equações por constantes (chamamos múltiplos de equações);

3. Somar o múltiplo de uma equação por outra.

21


• Trocar as equações de posição

mnmnmm

qnqnqq

pnpnpp

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

2211

2211

11212111

mnmnmm

pnpnpp

qnqnqq

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

2211

2211

11212111

184

9

20232

zyx

zyx

zyx

20232

9

184

zyx

zyx

zyx

Sistema 1 = Sistema 2, logo a solução de ambos é x=3, y=2 e z=4.

Exemplo:

1 2

22


• Multiplicar uma equação por constantes

mnmnmm

qnqnqq

pnpnpp

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

2211

2211

11212111

mnmnmm

qnqnqq

pnpnpp

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

2211

2211

11212111

184

9

20232

zyx

zyx

zyx

36228

9

20232

zyx

zyx

zyx

2)184( zyx

1 3

Exemplo:

Sistema 1 = Sistema 3, logo a solução de ambos é x=3, y=2 e z=4. 23

2)184( zyx


• Somar o múltiplo de uma equação por outra:

mnmnmm

qnqnqq

pnpnpp

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

2211

2211

11212111

mnmnmm

qpnqnpnqpqp

qnqnqq

nn

bxaxaxa

bbxaaxaaxaa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

)()(...)()(

...

...

2211

222111

2211

11212111

+

9

2)20232(

zyx

zyx

184

49575

20232

zyx

zyx

zyx

184

9

20232

zyx

zyx

zyxExemplo:

1

4

Sistema 1 = Sistema 4, logo a solução de ambos é x=3, y=2 e z=4.

24

7


• Dado um sistema de equações lineares:

• O método consiste em k passos, onde:

– k = 1, ... , n-1; – n = número_linhas

• Importante: det(A) 0;

• Considerar o sistema de equações lineares Ax=b, onde A é uma matriz quadrada n x n;

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

25


bvetor

m

Xvetor

n

AMatriz

mnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Sistema na forma matricial

AumentadaMatriz

MatricialForma

bAbAX

AumentadaMatriz

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Matriz aumentada

do sistema

26

Teorema

• O sistema de equações lineares pode ser representado também por:

1

3

1

33

1

32

1

31

1

2

1

23

1

22

1

21

1

1

1

13

1

12

1

11

11

kkkk

kkkk

kkkk

kk

baaa

baaa

baaa

bA

27

Passo k

• Obtenção do pivô: – Se , então é o meu pivô;

– Quando é necessário remanejar as equações para que a condição seja satisfeita e só então é possível aplicar o método da Eliminação de Gauss.

• A eliminação da variável xk das equações é feita da seguinte maneira:

– Encontrar , onde i é o número da linha e i >= 2

01 k

kka

01 k

kka 1k

kka

1

1

k

kk

k

ikik

a

am

01 k

kka

28

1

3

1

33

1

32

1

31

1

2

1

23

1

22

1

21

1

1

1

13

1

12

1

11

11

kkkk

kkkk

kkkk

kk

baaa

baaa

baaa

bA

8

Passo k

...

ijkjij amaa ik

29

• Esse procedimento é repetido enquanto

– k < número_linhas - 1

1

3

1

33

1

32

1

31

1

2

1

23

1

22

1

21

1

1

1

13

1

12

1

11

11

kkkk

kkkk

kkkk

kk

baaa

baaa

baaa

bA

Passo k

• No final dos n-1 passos obtemos o sistema triangular superior equivalente:

• Que pode ser facilmente resolvido por substituição ascendente.

30

Exemplo

• Seja o sistema linear:

• Etapa 1: eliminar x1 das equações 2 e 3;

• Etapa 2: eliminar x2 da equação 3.

3234

2211

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

31

Exemplo – Etapa 1 (1)

• Pivô:

3 2 3 4

2 2 1 1

1 4 2 3

0

3

0

33

0

32

0

31

0

2

0

23

0

22

0

21

0

1

0

13

0

12

0

11

00

baaa

baaa

baaa

bA

jjj

jjj

amaa

amaa

m

m

a

33113

22112

31

21

0

11

3/4

3/1

3

32

9


23

11

23

14

13

12

13

13

2

23

22

21

22112

b

a

a

a

amaa jjj

33

41

23

44

33

42

43

43

3

33

32

31

33113

b

a

a

a

amaa jjj

33

3 2 3 4

2 2 1 1

1 4 2 3

0

3

0

33

0

32

0

31

0

2

0

23

0

22

0

21

0

1

0

13

0

12

0

11

00

baaa

baaa

baaa

bA


• Resultando:

1

3

1

33

1

32

1

2

1

23

1

22

1

1

1

13

1

12

1

11

11

0

0

/35 22/3 /31 0

/35 /32 /31 0

1 4 2 3

baa

baa

baaa

bA

34

Exemplo – Etapa 2

• Pivô:

• Resultando:

jjj amaa

m

a

33223

32

1

22

13/1

3/1

3/1

0 8 0 0

/35 /32 /31 0

1 4 2 3

22 bA

35

/35 22/3 /31 0

/35 /32 /31 0

1 4 2 3

11 bA

Exemplo - Resposta

• Resolver Ax=b é equivalente a resolver A(2)x=b(2):

• Solução:

0 8

3/5 3/23/1

14 2 3

3

32

321

x

xx

xxx

0

5

3*x

Após resolver o sistema

linear, substituir a solução no

sistema original, verificando

assim se a solução

encontrada está correta.

36

10

Exercício Prático - MMQ

• Considere a função y = f(x), dada pela tabela abaixo ajustando um polinômio do 2º grau.

X -1 0 1 2

Y 0 -1 0 7

37

Exercício Prático

X -1 0 1 2

Y 0 -1 0 7

Polinômio de 2º grau

38

Exercícios Propostos

• Resolva a lista de exercícios de ajuste de curvas através do Método dos Mínimos Quadrados.

39

cálculo numérico ajuste de curvas pelo mÉtodo dos mÍnimos quadrados passos para utilizar o mmq

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