bhn ajar statdas

1

STATISTIKA DASAR

ZUMROTUS SYA’DIYAH,S.Si, M.Si

I. PENGANTAR STATISTIKA

1.1 Jenis-jenis Statistik

Secara umum, ilmu statistika dapat terbagi menjadi dua jenis, yaitu:

1. Statistika Deskriptif

2. Statistika Inferensial

Dalam sub bab ini akan dijelaskan mengenai pengertian dari kedua jenis statistika

tersebut.

a. Statistika Deskriptif

Statistika deskriptif dapat disebut juga sebagai statistika deduktif atau statistika

sederhana. Staistika deskriptif adalah statistika yang tingkat pengerjaanya mencakup cara-

cara menghitung, menyusun atau mengatur, mengolah, menyajikan data agar dapat

memberikan gambaran yang ringkas mengenai suatu keadaan, seperti teknik umum mencari

rata-rata, median, modus, kuartil dan lain sebagainya.

b. Statistika Inferensial

Statistika inferensial adalah statistika yang berhubungan dengan analisis data untuk

penarikan kesimpulan dari data. Misalnya, teknik uji hipotesa, analisis varians, teknik

korelasi, regresi dan lain-lain.

1.2 Jenis-jenis Data

Secara garis besar, data-data olahan dibagi menjadi 3 jenis data, yaitu:

1. Data Kuantitatif, yaitu data yang berupa angka-angka. Informasi yang dikandung data

berupa data angka. Contoh: data jumlah penduduk, jumlah pendapatan nasional, dan lain

sebagainya. Data kuantitatif dapat berupa:

a. Data Kontinu adalah data yang angka-angkanya merupakan deretan angka yang

sambung-menyambung atau berkelanjutan.

Contoh: tinggi badan, berat badan, dan lain-lain.

b. Data diskrit adalah data statistik yang tidak berkelanjutan.

Contoh: Jumlah penduduk, Jumlah anak dan lain-lain.

2. Data Kualitatif, yaitu data non-angka. Informasi yang dikandung bukan berupa angka.

Contoh: data jenis kelamin penduduk, tingkat pendidikan dan sebagainya. Data jenis ini harus

diubah terlebih dahulu menjadi data kuantitatif sebelum diolah.

2

STATISTIKA DASAR


1.3 Jenis-jenis Skala Pengukuran

Skala pengukuran yang dapat digunakan dalam pengolahan data statistik adalah

sebagai berikut:

1. Data Nominal

Data nominal adalah data statistik yang cara menyusunnya atas golongan atau klasifikasi

tertentu.

Contoh: Jumlah mahasiswa dari segi tingkat kelas dan kelamin.

2. Data Ordinal

Data ordinal adalah data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada urutan,

kedudukan dan rangking/tingkatan data.

Contoh: Pandai, kurang pandai dan tidak pandai.

3. Data Interval

Data interval adalah data statistik dimana terdapat jarak yang sama. Dari satu data ke data

yang lain intervalnya sama.

Contoh: Mahasiswa yang mendapat nilai 1 sampai 10, petani yang mempunya hasil panen

antara 2 sampai 15 kwintal, dan sebagainya.

4. Data Rasio

Data rasio adalah data yang tergolong dalam data kontinum tapi mempunyai ciri (syarat)

tertentu.

Contoh: Berat badan Paman 60 Kg, Berat badan Sagung 15 Kg. Dengan demikian, berat

badan Ibu adalah 4 kali berat badan Ani.

1.4 Populasi dan Sampel

Populasi adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian

dengan ciri mempunyai karakteristik yang sama. Populasi selalu memiliki sifat-sifat yang

serupa. Beberapa macam populasi didasarkan pada jumlah anggotanya adalah sebagai

berikut:

a. Populasi berhingga

Populasi berhingga adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai kajian yang

jumlahnya tertentu.

Contoh: Populasi mahasiswa fakultas ekonomi, jumlah kendaraan bermotor dari merk

tertentu yang beredar di jalan, jumlah siswa kelas III dari suatu Sekolah Dasar, dan lain

sebagainya.

3

STATISTIKA DASAR


b. Populasi tak berihingga

Populasi tak berhingga adalah sekumpulan objek yang akan diteliti berjumlah tidak

terhingga banyak.

Contoh: Populasi amoeba dalam suatu parit, jumlah pelanggan supermarket, jumlah

partikel di udara, dan lain-lain.

4

STATISTIKA DASAR


II. STATISTIKA DESKRIPTIF

2.1 Daftar Distribusi Frekuensi

Dafatr distribusi frekuensi adalah penyusunan urutan data ke dalam kelas-kelas

interval, untuk kemudian ditentukan jumlah frekuensinya berdasarkan data yang sesuai

dengan batas-batas interval kelasnya. Tahap penyusunan data menjadi daftar distribusi

frekuensi antara lain adalah:

1. Menghitung jumlah data

2. Mencari data tertinggi dan terendah

3. Menetapkan range

minmax)( Range XXR

4. Merencanakan jumlah kelas

Jumlah kelas dihitung dengan menggunakan kaedah Sturges:

nb log3,31 , dimana n adalah jumlah data

5. Menentukan panjang kelas

Panjang kelas ditentukan dengan persamaan berikut:

b

R

b

xxp

minmax

6. Menentukan ujung bawah pada kelas interval

Ujung bawah kelas interval ditentukan dengan cara menjumlahkan data terkecil

yang ditetapkan sebagai ujung bawah kelas interval pertama dengan nilai panjang

kelas (p).

Contoh 2.1:

Jumlah kelas: 8

P=9

Data terkecil=22

Maka ujung bawah interval adalah:

22, 31, 40, ….dan seterusnya.

7. Menetapkan nilai ujung atas kelas interval

Ujung atas kelas interval dimulai dengan interval kelas pertama sampai dengan

kelas terakhir.

5

STATISTIKA DASAR


a. Jika ujung-ujung bawah adalah bilangan bulat, maka nilai-nilai dari ujung

atas pada interval kelas pertama, kedua dan seterusnya mempunyai selisih 1

dengan nilai ujung bawah berikutnya.

Contoh 2.2:

Perhatikan kembali Contoh 2.1, maka ujung atas intervalnya adalah:

30, 39, 48, …..dan seterusnya.

b. Jika ujung-ujung bawah adalah bilangan 1 desimal, maka nilai ujung-ujung

atas pada interval kelas pertama, kedua dan seterusnya mempunyai seliisih

0,1 dengan nilai ujung bawah berikutnya.

Contoh 2.3:

Misalkan ujung atas interval kelas data adalah:

25,0

31,5

38,0

44,5

dan seterusnya.

Sehingga diperoleh ujung atas intervalnya adalah:

31,4

37,9

44,4

dan seterusnya.

Begitu seterusnya untuk bilangan 2 desimal , 3 desimal dan selanjutnya.

8. Menetukan batas bawah dan batas atas kelas interval

Batas bawah interval dapat dihitung dengan persamaan berikut:

seterusnyadan

desimal) 2bilangan berupa yang ujung(untuk 0.005-bawah ujungintervalbawah Batas

desimal) 1bilangan berupa yang ujung(untuk 0.05-bawah ujungintervalbawah Batas

bulat)bilangan berupa yang ujung(untuk 0.5-bawah ujungintervalbawah Batas

sedangkan batas atas dapat dihitung dengan persamaan berikut:

6

STATISTIKA DASAR


seterusnyadan

desimal) 2bilangan berupa yang ujung(untuk 0.005atas ujunginterval atas Batas

desimal) 1bilangan berupa yang ujung(untuk 0.05atas ujunginterval atas Batas

bulat)bilangan berupa yang ujung(untuk 0.5atas ujunginterval atas Batas

9. Menentukan nilai tengah

Nilai tengah dapat ditentuan sebagai berikut:

2

atas ujung bawah ujung ix

10. Frekuensi

Banyak data dalam setiap interval kelas yang diperoleh dari himpunan data

disesuaikan dengan batas-batas interval kelas.

Adapun macam-macam distribusi frekuensi adalah:

a. Distribusi frekuensi relatif

Distribusi frekuensi relatif dapat dinyatakan dalam bentuk relatif (persentase).

Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk perbandingan ataupun desimal.

Contoh 2.4:

Misalkan jumlah seluruh data adalah 125, maka diperoleh:

21 – 30 12 %6,9%100125

12

31 – 40 10 %8%100125

10

dan seterusnya. Sehingga diperoleh tabel distribusi berikut ini:

Tabel 2.1 Distribusi frekuensi relatif dari Contoh 2.4

No. Interval Frekuensi Frekuensi relatif

1. 21 – 30 12 %6,9

2. 31 – 40 10 %8

dan seterusnya dan seterusnya

b. Distribusi frekuensi kumulatif

Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang berisikan frekuensi kumulatif.

Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan. Ada dua macam distribusi frekuensi

kumulatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.

7

STATISTIKA DASAR


a. Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari, adalah distribusi frekuensi yang memuat

jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu interval tertentu.

b. Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari, adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah

frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu interval tertentu.

Contoh 2.5:

Berikut ini adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistik pada Pendidikan

Matematika Universitas “T” semester II tahun 2010:

70 91 93 82 78 70 71 92 38 56

79 49 48 74 81 95 87 80 80 84

35 83 73 74 43 86 68 92 93 76

81 70 74 97 95 80 53 71 77 63

74 73 68 72 85 57 65 93 83 86

Nyatakan data-data tersebut ke dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kurang dari dan lebih

dari!

Penyelesaian:

Tabel 3.2 Tabel distribusi frekuensi kurang dari dan lebih dari

No. Interval Frekuensi

Frekuensi kumulatif ( kf )

Nilai kf Kurang dari

<35 0

1. 35 – 43 3 < 44 3

2. 44 – 52 2 < 53 5

3. 53 – 61 3 < 62 8

4. 62 – 70 7 < 71 15

5. 71 – 79 13 < 80 28

6. 80 – 88 13 < 89 41

7. 89 – 97 9 < 98 50

(a) Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

No. Interval Frekuensi

Frekuensi kumulatif ( kf )

Nilai kf Kurang dari

> 35 50

1. 35 – 43 3 > 44 41

8

STATISTIKA DASAR


2. 44 – 52 2 > 53 28

3. 53 – 61 3 > 62 15

4. 62 – 70 7 > 71 8

5. 71 – 79 13 > 80 5

6. 80 – 88 13 > 89 3

7. 89 – 97 9 > 98 0

(b) Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari

Contoh Soal 2.1:

Misalkan terdapat sekelompok data berikut ini:

10 20 14 15 21 25 27 15 13 12

17 14 16 28 22 21 22 23 25 20

Kelompokkan data-data tersebut ke dalam suatu distribusi frekuensi!

Penyelesaian:

1. Jumlah data = 20

2. 10dan 28 minmax xx

3. 181028)( Range minmax xxR

4. Jumlah kelas:

29,5301,13,3120log3,31log3,31 nb

Pembulatan dilakukan ke bawah sehingga diperoleh:

529,5 b

5. Panjang interval

6667,35

18

b

Rp

Pembulatan dilakukan ke atas sehingga diperoleh:

46667,3 p

Dari informasi-informasi yang diperoleh tersebut, maka didapatkan daftar distribusi sebagai

berikut:

Tabel 2.3 Daftar distribusi frekuensi dari Contoh Soal 2.1

No. Interval Kelas Frekuensi

1. 10 – 13 3

2. 14 – 17 6

9

STATISTIKA DASAR


3. 18 – 21 4

4. 22 – 25 5

5. 26 – 29 2

20

Latihan Soal 2.1

1. Misalkan terdapat sekelompok data berikut ini:

20 22 25 32 18 24 15 30 29 28

30 26 31 23 30 34 27 20 32 34

Kelompokkan data-data tersebut ke dalam suatu distribusi frekuensi, distribusi frekuensi

relatif, distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari!

2. Misalkan terdapat sekelompok data berikut ini:

25 32 40 33 26 34 45 58 97 68

65 70 98 55 58 53 86 97 64 34

29 30 45 54 66 76 75 88 48 38

44 48 74 43 42 58 55 30 31 51

87 67 68 75 54 65 89 93 94 76

66 69 70 79 37 38 66 87 50 25

36 39 64 60 69 70 71 72 75 80

86 83 82 98 61 73 82 86 44 42

35 38 42 49 44 75 77 79 81 52

28 43 55 83 66 69 70 73 52 39

Kelompokkan data-data tersebut ke dalam suatu tabel distribusi frekuensi, distribusi

frekuensi relatif, distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari!

2.2 Ukuran Kepusatan

Ukuran kepusatan suatu kelompok data terdiri atas:

1. Bagaimana tingkat penyimpangan data terhadap rata-rata datanya

2. Bagaimana variasi data yang dimiliki

3. Seberapa besar kemiringan kurvanya terhadap nilai rata-rata

4. Bagaimana ukuran keruncingan kurva (menunjukkan kondisi penyebaran data terhadap

nilai rata-rata)

Terdapat beberapa ukuran kepusatan yang akan dibahas dalam sub bab ini, yaitu:

1. Rata-rata data baik yang belum maupun yang sudah dikelompokkan

10

STATISTIKA DASAR


2. Modus dari data baik yang belum maupun yang sudah dikelompokkan

3. Median dari data yang belum maupun yang sudah dikelompokkan

4. Kuartil dari data yang belum maupun yang sudah dikelompokkan

5. Desil dari data yang belum maupun yang sudah dikelompokkan

2.2.1 Rata-rata

Dalam sub bab ini terdapat beberapa macam rata-rata yang akan dijelaskan,

diantaranya adalah:

a. Rata-rata Hitung

Rata-rata hitung sesungguhnya merupakan hasil jumlah semua data dibagi dengan banyak

data. Rata-rata hitung biasa dilambangkan dengan x .

Misalkan suatu kelompok data dapat dinyatakan dalam barisan nxxx ,,, 21 . Maka rata-

rata hitung dari data yang belum dikelompokkan (data tunggal) tersebut dapat dinyatakan

dengan persamaan:

n

xxx

n

x

x n

n

i

i

211 .

Sedangkan untuk data yang sudah dikelompokkan ke dalam suatu tabel distribusi

frekuensi, rata-rata hitungnya dapat dinyatakan ke dalam persamaan berikut:

i

ii

f

xfx ……………………….(2.1)

atau dapat juga digunakan persamaan:

i

ii

f

Cfpxx 0 ……………………….(2.2)

dimana:

dasardijadikan yangbukan dan tertentu -ke kelas tengah)(nilai

dasardijadikan yang kelas interval tengah)(nilai

data rata-Rata

0

iPoint Midx

Point Midx

x

i

p

xxCiC

p

if

iii

i

0 ,-ke kelas (coding) skala

dasar kelas pada interval kelas panjang

-ke kelas Frekuensi

11

STATISTIKA DASAR


Penentuan kelas dasar dalam mencari rata-rata hitung dapat dilakukan secara random.

Setiap orang dapat menentukan nilai 0x yang berbeda-beda.

Contoh soal 2.2

Perhatikan kembali Contoh 2.1. Carilah rata-rata hitung data tersebut baik sebelum

maupun sesudah dikelompokkan ke dalam tabel distribusi frekuensi seperti tampak pada

Tabel 2.3.

Penyelesaian:

Diketahui: 20n

1920

380

20

20252327252115142010

20

20

11

i

i

n

i

i x

n

x

x

Selanjutnya, perhatikan Tabel 2.3 data-data tersebut dinyatakan ke dalam suatu tabel

distribusi frekuensi. Dari Tabel 2.3 diperoleh beberapa informasi yang dapat disajikan dalam

Tabel 2.4.

Tabel 2.4. Informasi dari data berkelompok Contoh Soal 2.1 (a)


if ix

ii xf

1. 10 – 13 3 11,5 34,5

2. 14 – 17 6 15,5 93

3. 18 – 21 4 19,5 78

4. 22 – 25 5 23,5 117,5

5. 26 – 29 2 27,5 55

20 378

Sehingga jika rata-rata hitung ditentukan dengan menggunakan Persamaan 2.1, maka

diperoleh:

9,1820

380

i

ii

f

xfx

12

STATISTIKA DASAR


Kemudian, jika rata-rata hitung dicari dengan menggunakan Persmaan (2.2) dan jika

diambil nilai 5,150 x maka diperlukan pula beberapa informasi seperti yang tampak pada

Tabel 2.5 berikut:

Tabel 2.5. Informasi dari data berkelompok Contoh Soal 2.1(b)


if ix iC

ii Cf

1. 10 – 13 3 11,5 -1 -3

2. 14 – 17 6 15,5 0 0

3. 18 – 21 4 19,5 1 4

4. 22 – 25 5 23,5 2 10

5. 26 – 29 2 27,5 3 6

20 17

Sehingga diperoleh rata-rata hitung:

9,18

4,35,15

20

1745,15

0

i

ii

f

Cfpxx

b. Rata-rata Ukur

Rata-rata ukur biasa digunakan pada kumpulan data yang mempunyai sifat berurutan

tetap arau hampir tetap. Dengan kata lain, rata-rata ukur dapat digunakan untuk menghitung

rata-rata data yang bersifat kelipatan tetap (hampir tetap.

Misalkan terdapat sekumpulan data yang memenuhi sifat-sifat di atas, yaitu

nxxx ,,, 21 . Maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:

nnxxxU 21 ……………………..(2.3)

dengan n adalah jumlah data. Persamaan (2.3) dapat diturunkan sebagai berikut:

nn

nn

xxxU

xxxU

1

21

1

21

loglog

nxxxn

U 21log1

log …………………………………….(2.4)

13

STATISTIKA DASAR


Sehingga untuk data yang telah dikelompokkan dapat digunakan persamaan berikut:

i

ii

f

xfU

loglog ………………………….(2.5)

Contoh 2.3

Misalkan sekelompok data:

85 75 70 80 90 45 50 65 35 40

Data tersebut dapat dinyatakan ke dalam tabel distribusi frekuensi berikut:

Tabel 2.6 Tabel distribusi frekuensi Contoh 2.3

No. Interval Frekuensi ix log ix ii xf log

1 35 – 48 3 41,5 1,61805 4,85414

2 49 – 62 1 55,5 1,74429 1,74429

3 63 – 76 3 69,5 1,84199 5,52595

4 77 – 90 3 83,5 1,92165 5,76506

10 17,88945

Cari rata-rata ukurnya!

Penyelesaian:

51,60

105786,6

40.35.65.50.45.90.80.70.75.85

10 17

10

U

Atau dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (2.4) seperti tampak di bawah ini:

51,607818,1log

7818,1

818,1710

1

40.35.65.50.45.90.80.70.75.85log10

1log

1

U

U

Untuk data yang telah dikelompokkan dalam Tabel 2.3 dapat diperleh rata-rata ukur berikut:

5,6178895,1log

78895,110

88945,17loglog

1

U

f

xfU

i

ii

14

STATISTIKA DASAR


c. Rata-rata Untuk Suatu Data Yang Bersifat Tumbuh

Nilai rerata untuk suatu data yang bersifat tumbuh dapat diperoleh dengan menggunakan

persamaan:

t

t

xPP

10010

Keterangan:

waktuSelang

data rata-Rata

awal Data

akhir Data

0

t

x

P

Pt

Contoh data yang bersifat tumbuh adalah perkembangan modal usaha selama kurun

waktu tertentu atau perkembangan jumlah penduduk suatu daerah dalam kurun waktu

tertentu.

Contoh 2.4

Jumlah penduduk suatu daerah pada tahun 1998 adalah 3,2 juta dan pada tahun 2011

jumlahnya bertambah menjadi 132,5 juta. Berapakah pertambahan rata-rata penduduk setiap

tahunnya?

Penyelesaian:

t

t

xPP

10010

15

STATISTIKA DASAR


3416,33

331649,0100

331649,1100

1

6170659,150515,61222,8100

1log

1001log133200000log132500000log

1001loglog

1001loglog

1001loglog

0

0

0

x

x

x

x

x

xtP

xP

xPP

t

t

t

Jadi, rata-rata pertambahan penduduk per tahunnya adalah 34 jiwa.

2.2.2 Modus

Modus adalah besaran yang menyatakan keterpusatan data didasarkan pada frekuensi

paling sering munculnya data. Selanjutnya, data yang mempunyai lebih dari satu nilai modus

disebut data multimodal.

Untuk data yang telah dikelompokkan menjadi tabel distribusi frekuensi, modus dapat

dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:

21

1

bb

bpbM o

Keterangan:

sesudahnya frekuensidengan modus frekuensi antaraselisih

sebelumnya frekuensidengan modus frekuensi antaraselisih

interval panjang

terdapatmodus dimanabawah Batas

modus Nilai

2

1

b

b

p

b

M o

Contoh 2.5

1. Misalkan sekelompok data: 12, 24, 23, 12, 31, 42

Maka modus dari data tersebut adalah 12 (muncul 2 kali).

16

STATISTIKA DASAR


2. Lihat kembali data dalam Contoh 2.1. Tampak bahwa frekuensi tertinggi ada pada kelas

kedua. Sehingga diperoleh informasi sebagai berikut:

9,1523

35,13

2

3

5,13

2

1

oM

b

b

b

Hal ini mengandung arti bahwa nilai-nilai data terletak paling banyak di sekitar nilai 15,9.

2.2.3 Median

Median adalah nilai data tengah (sekelompok data dibagi menjadi 2 bagian yang

sama). Ingat bahwa median dicari setelah data diurutkan terlebih dahulu.

Untuk data yang belum dikelompokkan, penghitungan median dapat dilakukan

dengan 2 cara, yaitu:

a. Untuk data ganjil

Contoh 2.6

Misalkan sekelompok data: 8, 12, 5, 3, 16, 7, 2, 3, 8

Data setelah diurutkan: 2, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 12, 16

Sehingga diperoleh median data adalah: 7eM

b. Untuk data genap

Contoh 2.7

Misalkan sekelompok data: 8, 12, 5, 3, 16, 7, 2, 3, 8, 17

Data setelah diurutkan: 2, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 12, 16, 17

Sehingga diperoleh median data adalah: 5,72

87

eM .

Selanjutnya, untuk kumpulan data yang telah dikelompokkan ke dalam distribusi

frekuensi, median data tersebut dapat ditentukan dengan persamaan di bawah ini:

f

Fn

pbM e2

Keterangan:

17

STATISTIKA DASAR


median kelas frekuensi

median kelas sebelum kumulatif frekuensi

datajumlah

berada)median (dimanamedian kelas kelas panjang

berada)median (dimanamedian kelasbawah Batas

f

F

n

p

b

Contoh 2.8

Misalkan terdapat sekelompok data yang telah disajikan dalam tabel distribusi frekuensi

berikut ini:

Tabel 2.7. Tabel distribusi frekuensi data Contoh 2.8

No. Interval Frekuensi (f) frekuensi kumulatif

(F)

1 31 – 40 4 4

2 41 – 50 6 10

3 51 – 60 8 18

4 61 – 70 14 32

5 71 – 80 26 58

6 81 – 90 12 70

7 91 – 100 20 90

90

Median terletak pada data ke:

452

90

Karena data ke 45 terletak pada kelas ke-5, maka diperoleh informasi berikut:

26

32

10

5,705,071

f

F

p

b

5,7526

3245105,70

eM

2.2.4 Kuartil

Kuartil adalah nilai sekumpulan data yang dibagi 4 bagian yang sama. Oleh sebab itu,

terdapat 3 kuartil, yaitu: 321 ,, KKK .

Untuk data yang belum dikelompokkan ke dalam tabel distribusi frekuensi, maka

kuartil data dapat dihitung sesuai dengan langkah-langkah berikut:

18

STATISTIKA DASAR


1. Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar

2. Tentukan letak kuartil dengan persamaan:

databanyak ,4

)1(

n

niK i

3. Tentukan nilai kuartil yang diminta tersebut

Contoh 2.9

1. Misalkan diketahui data ganjil sebagai berikut: 12,8, 10, 22, 18, 4, 9

Sehingga diperoleh data setelah diurutkan: 4, 8, 9, 10, 12, 18, 22

Letak kuartil:

24

)17(11

K maka, kuartil pertama (

1K ) terletak pada data ke-2, yaitu: 8

44

)17(22



64

)17(33



2. Misalkan diketahui data genap: 8, 12, 5, 3, 7, 2, 3, 8

Sehingga data terurut: 2, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 12

Letak kuartil:

25,24

)18(11

K

Nilai 1K Data ke-2+(0,25(data ke-3 – data ke-2))

3+(0,25(3-3))

3

5,44

)18(22

K


5+(0,5(7-5))

6

25,64

)18(33

K


8+(0,25(8-8))

8

19

STATISTIKA DASAR


Sedangkan untuk data yang telah dikelompokkan ke dalam tabel distribusi frekuensi,

kuartil data dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

1. Tentukan letak kuartil dengan persamaan:

databanyak ,4

nin

K i

2. Menentukan nilai kuartil dengan persamaan berikut:

f

Fin

pbK i4 Nilai

Keterangan:

kuartil kelas frekuensi

kuartil kelas sebelum kumulatif frekuensi

datajumlah

interval panjang

kuartil kelasbawah batas

f

F

n

p

b

Contoh 2.10

Perhatikan Tabel 2.7. Tentukan nilai kuartil ketiganya ( 3K )!

Letak kuartil kedua ( 3K ):

5,674

9033

K , maka kuartil ketiga terletak pada kelas ke-6

Sehingga diperoleh informasi berikut:

12

58

10

5,805,081

f

F

p

b

42,8812

584

903

105,80 Nilai 3

K

Latihan Soal

Misalkan terdapat sekumpulan data berikut:

10 20 14 15 21 25 27 15 13 12

20

STATISTIKA DASAR


17 14 16 28 22 21 22 23 25 20

Carilah modus, median dan ketiga kuartil dari data tersebut baik sebelum maupun sesudah

dikelompokkan ke dalam tabel distribusi frekuensi!

21

STATISTIKA DASAR


III. ANALISA KORELASI LINEAR SEDERHANA

Analisis korelasi adalah metode statistik yang digunakan untuk menentukan kuat

tidaknya (derajat) hubungan linier antara 2 variabel atau lebih. Analisa korelasi sederhana,

meneliti hubungan dan bagaimana eratnya itu, tanpa melihat bentuk hubungan. Jika kenaikan

didalam suatu variabel diikuti dengan kenaikan variabel yang lain, maka dapat dikatakan

bahwa kedua variabel tersebut mempunyai “korelasi”yang positif. Tetapi jika kenaikan

didalam suatu variabel diikuti penurunan variabel yang lain maka kedua variabel tersebut

mempunyai korelasi negatif. Jika tidak ada perubahan pada suatu variabel ,meskipun variabel

yang lain mengalami perubahan, maka kedua variabel tersebut, tidak mempunyai hubungan

(uncorrelated).

Ilmu ekonomi dan pendidikan banyak mempelajari hubungan antar berbagai variabel.

Dari adanya hubungan tersebut digunakan untuk memprediksi pengaruh satu variabel

terhadap variabel lainnya. Misalnya, hubungan antara jumlah permintaan suatu barang

terhadap besarnya harga yang dapat dinyatakan dengan (f(p)). Fungsi tersebut menunjukkan

fakta yang muncul sebagai akibat atau disebabkan munculnya suatu yang lain. Hal ini

menghadapkan kita pada fakta kausalitas. Dari contoh tersebut dapat dijelaskan bahwa

jumlah barang yang diminta akan berubah sebagai akibat adanya perubahan harga.

Hubungan-hubungan fungsional tersebut menjelaskan ketergantungan variabel terikat

(dependent variable) pada variabel-variabel bebas (independent variable) dalam bentuk yang

spesifik. Hubungan fungsional ini bisa jadi merupakan hubungan yang sederhana antar

variabel. Pada kenyataannya, lebih sering dijumpai hubungan fungsional yang rumit dan sulit

untuk dijelaskan. Alat yang sering digunakan untuk mendekati kejadian tersebut adalah

regresi, baik regresi linear sederhana maupun regresi berganda.

Langkah awal yang harus dilakukan (sebelum menganalisis regresi) adalah mengetahui

bahwa dua variabel yang akan dianalisis memiliki hubungan yang kuat. Hal ini dapat

dilakukan dengan melakukan analisis korelasi. Analisis korelasi adalah sekumpulan teknik

statistika yang dapat digunakan untuk mengukur keeratan hubungan (korelasi) antara dua

variabel. Misalkan suatu perusahaan berpendapat bahwa dengan mendemonstrasikan cara

pemakaian produk akan dapat meningkatkan angka penjualan. Dari contoh tersebut, maka

dapat dikatakan bahwa demonstrasi pemakaian produk disebut variabel bebas, sedangkan

angka penjualan disebut variabel terikat.

22

STATISTIKA DASAR


Hubungan antara dua variabel jika ditinjau dari segi arahnya dapat dibedakan menjadi 2

jenis, yaitu:

1. Hubungan searah (korelasi positif)

Dua variabel (atau lebih) dikatakan memunyai hubungan searah jika dua variabel (atau

lebih) berjalan secara paralel. Hal ini mengandung makna bahwa hubungan antara dua

variabel (atau lebih) menunjukkan arah yang sama.

Jadi apabila variabel X meningkat (bertambah) maka variabel Y juga mengalami

peningkatan. Sebaliknya, apabila variabel X menurun (berkurang) maka variabel Y juga

menurun.

Contoh 3.1

Berikut ini adalah beberapa contoh hubungan searah antara dua variabel:

1. Kenaikan harga BBM akan diikuti dengan kenaikan harga sembako

2. Naiknya frekuensi pemberian tugas akan menyebabkan naiknya hasil belajar

3. Naiknya kedisiplinan anak didik diikuti dengan meningkatnya hasil belajar anak didik

bersangkutan.

Gambaran umum mengenai korelasi positif di atas dapat dilihat dalam Gambar 3.1

berikut:

Gambar 3.1 Arah Korelasi positif

2. Hubungan berlawanan arah (korelasi negatif)

Dua variabel (atau lebih) dikatakan mempunyai hubungan yang berlawanan arah jika

kedua variabel (atau lebih) tersebut bergerak dengan arah yang berlawanan. Hal ini

mengandung makna bahwa hubungan antara dua variabel (atau lebih) menunjukkan arah

yang berkebalikan.

Jadi, apabila variabel X meningkat (bertambah) maka variabel Y juga mengalami

penurunan. Sebaliknya, apabila variabel X menurun (berkurang) maka variabel Y juga

menigkat.

X Y

(a)

X Y (b)

23

STATISTIKA DASAR


Contoh 3.2

Berikut ini adalah beberapa contoh hubungan antara dua variabel yang berlawanan arah:

1. Semakin meningkatnya kedisiplinan dalam berkendara akan diikuti dengan

berkurang/menurunnya angka kecelakaan lalu lintas.

2. Semakin menurunnya harga buku pelajaran akan meningkatkan tingkat pengetahuan

siswa.

Gambaran umum mengenai korelasi positif di atas dapat dilihat dalam Gambar 3.1

berikut:

Gambar 3.1 Arah Korelasi positif

Positif atau negatifnya korelasi antara dua variabel dapat juga dilihat dari angka

korelasinya. Angka korelasi (koefisien korelasi) adalah koefisien yang dapat digunakan untuk

melihat besar-kecilnya, tinggi-rendah atau kuat-lemahnya suatu korelasi. Jadi, koefisien

korelasi adalah sebuah angka yang dapat dijadikan petunjuk untuk mengetahui seberapa besar

kekuatan korelasi di antara variabel yang sedang diselidiki korelasinya.

Lambang koefisien korelasi berbeda-beda sesuai dengan teknik korelasi yang

digunakan, yaitu:

biserialpoint korelasikoefisien

phi korelasikoefisien

spearmann korelasikoefisien

momentproduct korelasikoefisien

pbi

xy

r

r

Besarnya nilai mutlak angka korelasi berada dalam interval 1,0 . “0” menandakan

tidak ada korelasi di antara variabel-variabel yang diselidiki dan angka “1” menunjukkan

adanya korelasi yang maksimal. Jika diperoleh angka korelasi yang lebih dari 1 atau kurang

dari -1, maka dalam perhitungan pasti terjadi kesalahan.

(a)

X Y

(b)

X Y

24

STATISTIKA DASAR


Jika tanda koefisien korelasi adalah positif („plus‟) maka korelasi yang terjadi adalah

korelasi positif. Sedangkan jika tanda angka/koefisien korelasi adalah negatif („minus‟) maka

korelasi antara variabel-variabel yang diselidiki adalah korelasi negatif.

Terdapat beberapa teknik korelasi yang dapat digunakan untuk mencari angka/koefisien

korelasi antar variabel, diantaranya adalah:

1. Teknik korelasi product moment (pearson)

Teknik korelasi product moment digunakan untuk mencari koefisien korelasi untuk data

kontinu, populasinya bersifat homogen atau mendekati homogen dan regresinya adalah

regresi linear.

2. Teknik korelasi tata jenjang (rank spearman)

Teknik korelasi rank spearmann digunakan untuk mencari koefisien korelasi untuk data

ordinal (berjenjang).

3. Teknik korelasi phi

Teknik korelasi phi digunakan untuk mencari koefisien korelasi untuk data diskrit.

4. Teknik korelasi point biserial

Teknik korelasi point biserial digunakan untuk mencari koefisien korelasi untuk data

kontinu dan diskrit.

Dalam bab ini hanya akan dibahas mengenai teknik korelasi product moment. Seperti

yang telah disebutkan sebelumnya bahwa lambang untuk angka korelasi product moment

adalah xyr , yang dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

2222 YYnXXn

YXXYn

xyr ………..(3.1)

Keterangan:

momentproduct korelasikoefisien

dataJumlah

terikatVariabel

bebas Variabel

xyr

n

Y

X

Koefisien ini dapat diinterpretasi dengan 2 cara, yaitu:

1. Dengan cara kasar menggunakan tabel penentu

Jika koefisien yang diperoleh dari Persmaan (3.1) diinterpretasikan dengan menggunakan

cara kasar (tabel penentu) maka digunakan Tabel 3.1 berikut:

25

STATISTIKA DASAR


Tabel 3.1 Tabel interpretasi koefisien korelasi dengan cara kasar

Nilai koefisien

korelasi Interpretasi

0 – 0,2

Antara variabel X dan Y terdapat korelasi yang sangat lemah sehingga

korelasi tersebut dapat diabaikan (dianggap tidak ada korelasi antara

variabel X dan Y)

0,2 – 0,4 Antara variabel X dan Y terdapat korelasi yang lemah

0,4 – 0,7 Antara variabel X dan Y terdapat korelasi yang sedang

0,7 – 0,9 Antara variabel X dan Y terdapat korelasi yang kuat

0,9 – 1 Antara variabel X dan Y terdapat korelasi yang sangat kuat

Interpretasi dari koefisien korelasi dapat diambil dengan menggunakan Tabel 3.1 sesuai

dengan nilai yang diperoleh dan disesuaikan dengan interval yang ada di dalam tabel.

2. Dengan menggunakan uji-r

Jika interpretasi dilakukan dengan menggunakan uji-r, maka terdapat beberapa langkah

yang harus ditempuh, yakni:

a). Membuat hipotesa nol 0H dan hipotesa alternatif ( aH )

aH = Terdapat korelasi positif/negatif yang signifikan antara variabel X dan Y

0H = Tidak terdapat korelasi positif/negatif yang signifikan antara variabel X dan Y

b). Menguji kebenaran hipotesa

Dengan menggunakan tabel r product moment dengan menggunakan ketentuan sebagai

berikut:

1%atau 5%sisignifikan taraf

kandikorelasi yang variabelbanyaknya

datajumlah

kebebasanderajat

k

n

kndf

dimana kriteria ujinya adalah:

ditolak dan diterima maka Jika

diterima dan ditolak maka Jika

0

0

atxy

atxy

HHrr

HHrr

26

STATISTIKA DASAR


3. Dengan menggunakan uji-t

Seperti pada interpretasi dengan uji-r, dalam interpretasi uji-t juga diperlukan beberapa

langkah berikut:

a). Membuat hipotesa nol 0H dan hipotesa alternatif ( aH )

aH = Terdapat korelasi positif/negatif yang signifikan antara variabel X dan Y

0H = Tidak terdapat korelasi positif/negatif yang signifikan antara variabel X dan Y

b). Menguji kebenaran hipotesa

Dengan menggunakan tabel t dengan menggunakan ketentuan sebagai berikut:

1%atau 5%sisignifikan taraf

kandikorelasi yang variabelbanyaknya

datajumlah

kebebasanderajat

k

n

kndf

Dan t hitung ditentukan dengan persamaan berikut:

21

2

xy

xy

hit

r

nrt

dimana kriteria ujinya adalah:

ditolak dan diterima maka Jika

diterima dan ditolak maka Jika

0hit

0hit

at

at

HHtt

HHtt

bhn ajar statdas

Documents