aulas de estatística e probabilidade - 1a parte
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ESTATIacuteSTICA amp ESTATIacuteSTICA amp PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Turma ndash Eng Mecacircnica 3ordm Turma ndash Eng Mecacircnica 3ordm Periacuteodo NoturnoPeriacuteodo Noturno
Faculdade Pitaacutegoras ndash Kroton Educacional
BEM VINDOS
ESTATIacuteSTICA E ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADEPROBABILIDADEENGENHARIA MECAcircNICAENGENHARIA MECAcircNICA
Prof Maacutercio Cordeiro
ApresentaccedilatildeoMAacuteRCIO CORDEIRO
bull Engenharia Mecacircnica ndash Universidade Federal de Uberlacircndia
bull MBA ndash Gestatildeo Empresarial ndash Fundaccedilatildeo Getuacutelio Vargas
bull Especializaccedilatildeo em Engenharia e Manutenccedilatildeo ndash PUC Minas
bull 15 anos de experiecircncia em Engenharia Industrial
Cursobull Fundamentos teoacutericos
bull Exemplos Praacuteticos
bull Exerciacutecios para fixaccedilatildeo dos conceitos
NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
BEM VINDOS
ESTATIacuteSTICA E ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADEPROBABILIDADEENGENHARIA MECAcircNICAENGENHARIA MECAcircNICA
Prof Maacutercio Cordeiro
ApresentaccedilatildeoMAacuteRCIO CORDEIRO
bull Engenharia Mecacircnica ndash Universidade Federal de Uberlacircndia
bull MBA ndash Gestatildeo Empresarial ndash Fundaccedilatildeo Getuacutelio Vargas
bull Especializaccedilatildeo em Engenharia e Manutenccedilatildeo ndash PUC Minas
bull 15 anos de experiecircncia em Engenharia Industrial
Cursobull Fundamentos teoacutericos
bull Exemplos Praacuteticos
bull Exerciacutecios para fixaccedilatildeo dos conceitos
NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
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- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ESTATIacuteSTICA E ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADEPROBABILIDADEENGENHARIA MECAcircNICAENGENHARIA MECAcircNICA
Prof Maacutercio Cordeiro
ApresentaccedilatildeoMAacuteRCIO CORDEIRO
bull Engenharia Mecacircnica ndash Universidade Federal de Uberlacircndia
bull MBA ndash Gestatildeo Empresarial ndash Fundaccedilatildeo Getuacutelio Vargas
bull Especializaccedilatildeo em Engenharia e Manutenccedilatildeo ndash PUC Minas
bull 15 anos de experiecircncia em Engenharia Industrial
Cursobull Fundamentos teoacutericos
bull Exemplos Praacuteticos
bull Exerciacutecios para fixaccedilatildeo dos conceitos
NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ApresentaccedilatildeoMAacuteRCIO CORDEIRO
bull Engenharia Mecacircnica ndash Universidade Federal de Uberlacircndia
bull MBA ndash Gestatildeo Empresarial ndash Fundaccedilatildeo Getuacutelio Vargas
bull Especializaccedilatildeo em Engenharia e Manutenccedilatildeo ndash PUC Minas
bull 15 anos de experiecircncia em Engenharia Industrial
Cursobull Fundamentos teoacutericos
bull Exemplos Praacuteticos
bull Exerciacutecios para fixaccedilatildeo dos conceitos
NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Cursobull Fundamentos teoacutericos
bull Exemplos Praacuteticos
bull Exerciacutecios para fixaccedilatildeo dos conceitos
NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
bull CONTROLE DE FREQUEcircNCIA e ABONO DE FALTAS
(presenccedila soacute para os nomes que estatildeo na lista)
bull NOTAS DE PROVAS E TRABALHOS- Qualidade dos trabalhos e relatoacuterios- Qualidade das provas- Nota final de semestre
bull HORAacuteRIOPARTICIPACcedilAtildeO NAS AULAS
bull BOLSAFINANCIAMENTO ESCOLAR - PROUNE
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
EMENTA
CALENDAacuteRIO
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Aplicaccedilotildees da EstatiacutesticaAacutereas de Aplicaccedilatildeo da Estatiacutestica
1048708Medicina (Diagnoacutestico Prognoacutestico Ensaios Cliacutenicos)
1048708Geneacutetica e Epidemiologia
1048708Agricultura (Experimentaccedilatildeo Agriacutecola testes de novas sementes)
1048708Induacutestria e Negoacutecio (Controle de Qualidade Previsatildeo de Demanda Gerenciamento Eficiente Mercado e Financcedilas)
1048708Economia (Teacutecnicas Economeacutetricas e Seacuteries Temporais)
1048708Pesquisa (Artes Arqueologia Ciecircncias Agraacuterias Ciecircncias Exatas Ciecircncias Sociais Literatura Meio Ambiente Mercado Petroacuteleo)
1048708Direito (Evidecircncia estatiacutestica teste de DNA investigaccedilatildeo criminal)
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Conceitosbull Dados eacute um conjunto do observaccedilotildees coletadas Dados quantitativos (peso medida tamanho
idadeetc) Dados qualitativos(sexo cor estado civiletc)
bull Populaccedilatildeo combinaccedilatildeo completa de todos os elementos (notas pessoasmedidasetc) a serem estudados
bull Espaccedilo Amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento
bull Amostra subconjunto ou parte da populaccedilatildeoexperimento retirado para anaacutelise
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Ω
a
Ω Conjunto universo ou populaccedilatildeoa Amostra
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Conceitosbull Senso eacute o conjunto de dados de toda uma populaccedilatildeo
bull Dados Discretos quando o nuacutemero de valores possiacuteveis eacute um nuacutemero finito ou uma quantidade mensuraacutevel (exQuantidade de acidentes de transito no uacuteltimo feriado de carnaval)
bull Dados contiacutenuos infinitos valores possiacuteveis que correspondem a uma escala contiacutenua que cobre um intervalo(ex quantidade de leite produzido por uma vaca em um intervalo de 0 a 20 litros pode assumir qualquer valor 01L 245L 123L 1457Letc)
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Conceitosbull ldquo Existem 3 tipos de mentiras mentira
mentiras horriacuteveis e estatiacutesticardquo Estadista Benjamin Dissaeli
bull Amostras tendenciosas natildeo representam fielmente a populaccedilatildeo
bull Amostra voluntaacuteria eacute aquela agrave qual os respondentes decidem por eles mesmos se seratildeo ou natildeo incluiacutedos
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Conceitos
EXPERIMENTOS
bull Estudo observacional observar medir ou coletar caracteriacutesticas especiacuteficas sem modificar o sujeito do objeto em estudo(ex pesquisa de opiniatildeo)
bull Estudo experimental eacute aplicado algum tratamento e observado um efeito sobre o sujeito (exteste de vacina contra AIDS)
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ConceitosAMOSTRAS
bull Replicaccedilatildeo repeticcedilatildeo de um experimento e grupos suficientemente grandes
bull Meacutetodos de Amostragem
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Seleccedilatildeo puramente aleatoacuteria sem nenhum criteacuterio de seletividade
Ex Separaccedilatildeo por sexo ndash Masculino ou Feminino
Ex seleccedilatildeo da amostra de acordo com uma ordem
Ex levantamento dos acidentes de transito na regiatildeo sudeste
O criteacuterio eacute simplesmente aquele para tornar a amostragem mais faacutecil raacutepida
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Fim Aula Conceitos de Estatiacutestica
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
CALENDAacuteRIO
BIBLIOGRAFIA1
BIBLIOGRAFIA2
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
2 ndash Introduccedilatildeo agrave 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaEstatiacutestica Descritiva
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Amostra
Medidas de Centro
Medidas de dispersatildeo
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ProblemaAmostra de aacutegua contaminada com produto quiacutemico Calcular a meacutedia e o desvio padratildeo dos dados amostrais
1
3
24
65
789
10
1113
12 14
15
16 17
1819
20
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Medidas de Centrobull Meacutedia ou EsperanccedilaSe as n observaccedilotildees de uma amostra forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Ponto Meacutedio
2 miacutenmaacutex xxpm
n
x
nxxxx
n
ii
n
121
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Medidas de Centrobull Moda Representa o valor que aparece com maior frequecircncia na amostra
bull Mediana Representa o valor que ocupa a posiccedilatildeo central da amostra
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Medidas de Dispersatildeobull Variacircncia Se as n observaccedilotildees de uma amostra
forem denotadas por x1 x2xn entatildeo a meacutedia da amostra seraacute
bull Desvio Padratildeo eacute a raiz quadrada da variacircncia
1
)()( 1
2
2
n
xxxV
n
xi
i
1
)(1
2
n
xxn
xi
i
Medem a variabilidade dos dados em torno da meacutedia Quanto maior a vAriabilidade dos dados maior seraacute o valor dos desvios xxi
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
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- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Slide 43
- Slide 44
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- Slide 50
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- Slide 60
- Slide 61
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecio ResolvidoUm artigo no Journal of Structural Engineering (Vol151989) descreve um experimento para testar a resistecircncia resultante em tubos circulares em calotas soldadas nas extremidades Os primeiros resultados (em kN) foram
9696102102104108126126128128140156160164 e 170
Calculara)Meacutediab)Modac)Medianad)Desvio Padratildeo e Variacircncia
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecio Resolvido
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Fim Aula Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica DescritivaIntroduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
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- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
3 ndash Distribuiccedilotildees de 3 ndash Distribuiccedilotildees de FrequecircnciaFrequecircncia
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos
bull Uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia (ou tabela de frequecircncia) lista os valores dos dados (individualmente ou em grupos de intervalos) juntamente com suas frequecircncias correspondentes ou contagens
bull n Tamanho da amostra
bull Amplitude da amostra
bull Nuacutemero de classes K Varia de 5 a 20 ou
bull Amplitude da Classe kam
classesdenuacutemeromiacutenimovalormaacuteximovalorac
)()(
)( miacutenimovalormaacuteximovaloram
nk
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Ponto meacutedio de classe
bull Frequecircncia de classe Nuacutemero de amostras ou pontos da amostra contido dentrodo intervalo de classe ou seja nuacutemero de pontos amostrais contidos dentro da classe
2infsup classedeeriorLimiteclassedeeriorLimitepm
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
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- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
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- Slide 57
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Conceitos continuaccedilatildeo
bull Limites inferiores de classe satildeo os menores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
Limites superiores de classe satildeo os maiores valores que podem pertencer agraves diferentes classes
bull Fronteiras de Classes satildeo os valores usados para separar as classesbull Pontos meacutedios das classes Satildeo os pontos meacutedios dos intervalos que determinam cada classe
bull Amplitude de classe eacute diferenccedila entre os dois limites inferiores de classe consecutivos ou duas fronteiras inferiores de classe consecutivos
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
Exemplo
21 30
305
31 40
405
41 50
505
51 60
605
61 70
705
71 80
Limites de classe
Fronteiras de classe
Amplitute de classe 41- 31
Limite superior de classe
Limite inferior de classe
Fronteiras de classe
455
Ponto meacutedio de classe
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
835762718
fxf
x
4211
4211
5913076)2718(106999
1761
)(11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
EXERCIacuteCIO RESOLVIDO(Distribuiccedilatildeo de
Frequumlecircncias)Os seguintes dados satildeo medidas de intensidade solar direta (Wattsm2) em dias diferentes em uma localizaccedilatildeo no sul da espanha562869708775775704809856655806878809918558768870818940946661820898935952957693835905939955960498653730 e 753
Pede-sea)Calcular a amplitude da amostrab)Calcular o nuacutemero de classesc)Calcular a amplitude das classesd)Montar a distribuiccedilatildeo das frequumlecircnciase)Calcular a Meacutediaf)Calcular a variacircncia e desvio padratildeog)Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciash) Calcular a frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia absolutai) Graacutefico de frequumlecircncia relativa e frequumlecircncia acumuladaj) Graacutefico de Ramo e Folha
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
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- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Resoluccedilatildeoa) Caacutelculo da Amplitude da amostra
b) Caacutelculo do nuacutemero de classes (k)
c) Caacutelculo da amplitude das classes (ac)
d) Montagem da distribuiccedilatildeo das frequumlecircncias
462498960 valormaiorvalormaiorA
)int(069535 eirovalorproacuteximooparaarredondank
776462
kAac
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Resoluccedilatildeoe) Caacutelculo da Meacutedia
f) Caacutelculo da Variacircncia e Desvio Padratildeo
g) Graacutefico de Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias
780035
528024
i
ii
fxf
x
89122
641510235
)52824(22959707135
1)(
11 22
22
VariacircnciaPadratildeoDesvio
nxf
fxn
Variacircncia iiii
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Resoluccedilatildeoh) Caacutelculo Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada Frequumlecircncia Relativa Frequumlecircncia Acumulada
i) Graacutefico da Frequumlecircncia Relativa e Frequumlecircncia Acumulada
iFRFAc
iFRFAc
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Resoluccedilatildeoj) Graacutefico de Ramo e Folha
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1 ndash O tempo de igniccedilatildeo agrave frio de um motor de carro estaacute sendo
investigado por um fabricante de motores agrave gasolina Os seguintes tempos (em segundos) foram obtidos em um veiacuteculo de teste175 192 262 235 309 315 253 e 191 Pede-se
a) calcular a moda mediana meacutedia e o desvio padratildeo
2 ndash As nove medidas que seguem abaixo satildeo temperaturas de fornalha registradas em bateladas sucessivas de um processo de fabricaccedilatildeo de semicondutores (em graus degF) 953 950 948 955 951 949 957 954 e 955 Calcular
bull Meacutedia variacircncia e desvio padratildeobull Medianabull De quanto o valor da temperatura podeira aumentar sem mudar
o valor da mediana
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo3 ndash Um fabricante de molas estaacute interessado em
implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produccedilatildeo Como parte deste sistema de qualidade foi decidido registrar o nuacutemero de molas fora de conformidade em cada batelada de produccedilatildeo de tamanho igual a 50 Durante a produccedilatildeo 40 bateladas de dados foram coletadas sendo reportada aqui
Pede-sea) Montar a distribuiccedilatildeo de frequumlecircncias para esta
amostrab) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequumlecircnciasc) Montar o graacutefico de ramo e folhasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo4 ndash Os seguintes dados satildeo medidas de viscosidade para um
produto quiacutemico observado de hora em hora (leia entatildeo para baixo e da esquerda para a direita) Pede-se
a) Montar a distribuiccedilatildeo de frequecircncias passoa a passo para esta amostra
b) Montar o graacutefico de distribuiccedilatildeo de frequecircnciasc) Calcular a meacutedia a variacircncia e o desvio padratildeo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo5 ndash Considere as duas amostras abaixo
a) Calcule a amplitude para ambas as amostras Vocecirc concluiria que ambas as amostras exibem a mesma variabiliade
a) Calcule o desvio padratildeo para ambas as amostras Estas grandezas indicam que ambas as amostras tecircm a mesma variabilidadeExplique
b) Escreva um curto texto contrastando a amplitudeda amostra com o desvio padratildeo como uma medida de variabilidade
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Fim Aula Distribuiccedilotildees de Frequecircnciaistribuiccedilotildees de Frequecircncia
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
4- COEFICIENTE DE CORRELACcedilAtildeO E REGRESSAtildeO
LINEAR
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Problema Mapeamento de Mina
1 2 3456
7 8 9
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Problemabull Foi executado uma coleta de amostras de solo em uma regiatildeo
demarcada para verificar o percentual de mineacuterio contido no solo para fins de exploraccedilatildeo futura Durante a coleta observou-se que o percentual varia em funccedilatildeo da profundidade de furaccedilatildeo no solo Segue os dados amostrais conforme tabela abaixo
Qual o percentual de mineacuterio esperado para uma profundidade acima de 30mSeraacute viaacutevel extrair mineacuterio no ponto 3 considerando que o percentual meacutedio esperado deve ser pelo menos 39 mineacuterio disponiacutevel para se tornar viaacutevel a extraccedilatildeo
Como resolver este tipo de problema
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Modelos Empiacutericosbull Na engenharia eacute comum os engenheiros utilizar
de modelos empiacutericos para a formulaccedilatildeo de problemas
bull Eacute comum encontrar problemas ou situccedilotildees onde duas ou mais variaacuteveis de interesse natildeo possuem um modelo matemaacutetico conhecido Neste caso faz-se necessaacuterio construir um modelo relacionando as variaacuteveis entre si este tipo de modelo eacute chamado de modelo empiacuterico
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Diagrama de Dispersatildeo
BxAxYxYE )()( Observando o diagrama de dispersatildeo acima eacute razoaacutevel considerar que a meacutedia da variaacutevel aleatoacuteria Y esteja relacionada a x pela seguinte relaccedilatildeo linear
Mineacuterio x Profundidade - Ponto 3
0
10
20
30
40
50
05 08 10 12 15 20 23 25 30x - (Profundidade [m])
Y- (
)
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Modelo de Regressatildeo Linear
bull A variaacutevel dependente ou de resposta estaacute relacionada a uma variaacutevel independente ou regressor como
BxAY
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bullMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
Sendo a soma dos quadrados dos desvios das observaccedilotildees em relaccedilatildeo agrave linha de regressatildeo dada por
Os estimadores de miacutenimos quadradados A e B tecircm que satisfazer as equaccedilotildees abaixo
ii BxAy Sendo ni 21
2
11
2 )( i
n
ii
n
ii BxAyeL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
AL
0)(2
1
i
n
ii
BABxAy
BL
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Como Criar o Modelo de Regressatildeo Linear
bull Meacutetodo dos Miacutenimos QuadradosY
x
Valores observados
Linha estimada de regressatildeoY=A+Bx
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Em resumoMeacutetodo dos Miacutenimos Quadrados
bull Regressatildeo linear em x
bull Regressatildeo Linear em Y
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
yy
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
n
xx
n
yxyx
B
1
1
2
2
1
1 1
)(xBy
n
xB
n
yA
n
ii
n
ii
11
yBxn
yB
n
xA
n
ii
n
ii
11
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Coeficiente de Correlaccedilatildeo
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
1
2
12
1
2
12
1
1 1
Mede a associaccedilatildeo linear entre a curva de regressatildeo e os valores de x e yEsta variaacutevel verifica se a correlaccedilatildeo entre x e y eacute satisfatoria ou natildeoValores de ρ proacuteximos de 0 significa que os valores de x e y natildeo possuem boa correlaccedilatildeo enquanto que valores de ρ proacuteximos de 1 indicam que os valores dex e y estatildeo perfeitamente correlacionados
-1 le ρ le 1
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Voltando ao Problemabull Pede-se calcular os paracircmetros A e Bbull Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linearbull Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo
bull Como bull Tem-se
6783343A676671B
BxAy
xy 6766716783343
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Calculando o coeficiente de correlaccedilatildeo
923254411995
954025242
9232554081362
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
830 xyr
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecio ResolvidoEm um teste de eficiecircncia de um motor teacutermicos verificou-se que existe uma relaccedilatildeo entre a temperatura de queima e a eficiecircncia do motor conforme dados abaixo
a)Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo entre a eficiecircncia teacutermica e a temperatura de queima do motorb)Calcular o coeficiente de correlaccedilatildeo e verificar se existe uma associaccedilatildeo linear entre os dados e a curva equaccedilatildeo de correlaccedilatildeoc)Calcular o valor da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263deg C
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Resoluccedilatildeoa)Equaccedilatildeo de correlaccedilatildeo
000860
61427343205
6232142765533
)(2
1
1
2
2
1
1 1
x
n
xx
n
yxyx
B
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xyBxAy
comon
xB
n
yA
n
ii
n
ii
000860167180
1671806
1427000860623211
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Resoluccedilatildeob) Coeficiente de correlaccedilatildeo
c) Caacutelculo da eficiecircncia teacutermica para uma temperatura de 263degC
73070
623283410
61427343205
6232142765533
22
1
2
12
1
2
12
1
1 1
x
n
yy
n
xx
n
yxyx
r
n
i
n
ii
i
n
i
n
ii
i
n
i
n
i
n
iii
ii
xy
Quanto mais proacuteximo de 1 for o coeficiente de correlaccedilatildeo melhor eacute a associaccedilatildeo linear entre a curva e os valores (x e y) da amostra Neste caso especiacutefico como o coeficiente de correlaccedilatildeo eacute 073 isso indica que a curva natildeo estaacute perfeitamente ajustada para os dados
390390)263(000860167180
263000860167180
yy
setemxparaxycomo
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
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- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
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- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 54
- Slide 55
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- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) A quantidade de fibras de vapor usadas por mecircs em uma planta
quiacutemica estaacute relacionada agrave temperatura (degF) meacutedia ambiente para aquele mecircs O consumo do ano passado e a temperatura satildeo mostrados na tabela seguinte
Pede-sea) Considerando que um modelo de regressatildeo linear simples seja
apropriado ajuste o modelo de regressatildeo relacionando o consumo de vapor (y) com a temperatura meacutedia (x) ou seja y=A+Bx
b) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo linearc) Qual seraacute a estimativa de consumo esperado de vapor quando a
temperatura meacutedia for 55 degF
Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
- Slide 12
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- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
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- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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- Teorema de Bayes
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Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo1) O estabelecimento de propriedade de materiais eacute um importante
problema na identificaccedilatildeo de um substituto adequado para materiais biodegradaacuteveis na induacutestria de embalagens para refeiccedilotildees raacutepidas (fast food) Considere os seguintes dados sobre densidade de um produto (gcm3) e a condutividade teacutermica k (Wmk) publicados na revista Materials Research and Innovation (1999pp2-8)
Pede-sea) Montar a equaccedilatildeo de regressatildeo linear relacionando a densidade do
produto (x) agrave condutividade teacutermica (y) ou seja y=A+Bxb) Calcule o coeficiente de correlaccedilatildeo ρ e responda se a curva possui
uma boa associaccedilatildeo linear com os dados x e yc) Encontre a condutividade teacutermica meacutedia dado que a densidade do
produto eacute 02350
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
e) Calcule o valor ajustado de y correspondente a x=02260f) Calcule o valor ajustado de y para cada valor de x usado para
ajustar o modelo
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Fim Aula Coeficiente de Correlaccedilatildeo
e Regressatildeo Linear
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 54
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- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
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BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
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Conceitos baacutesicosbull Experimento aleatoacuterio eacute todo
experimento que mesmo quando repetido vaacuterias vezes da mesma maneira apresenta resultados diferentes
bull Espaccedilo amostral eacute o conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exemplo de espaccedilo amostral
Considere um experimento em que uma peccedila plaacutestica seja selecionada para mediccedilatildeo de sua espessura Os valores possiacuteveis da espessura dependem da resoluccedilatildeo do instrumento de mediccedilatildeo e tambeacutem dos limites inferior e superior da espessura Entretanto eacute conveniente representar o espasso amostral com a linha dos nuacutemeros reais positivos
Se satildeo conhecidos os limites inferior e superior 10 e 11 mm respectivamente entatildeo
Se o objetivo da anaacutelise for apenas onsiderar o fato de a peccedila ter espessura alte meacutedia ou baixa entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
Se o objetivo da anaacutelise for apenas considerar o fato da peccedila obedecer ou natildeo agraves especificaccedilatildeoes de fabricaccedilatildeo entatildeo o espaccedilo amostral seraacute
0 xxRS
1110 xRS
baixameacutediaaltaS
natildeosimS
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exemplo de espaccedilo amostral
bull Lanccedilamento de uma moeda 2 possibilidades possiacuteveisc(cara ndash c ou coroa ndash k)
bull Lancamento de 2 moedas simultaneamente 4 possibilidades possiacuteveis
bull Lanccedilamento de um dado 6 resultados possiacuteveis
Lanccedilamento de 2 dados simultaneamente36 resultados possiacuteveis
ckS
kkcckcckS
654321S
112212332313443424146555453525156656463626166454635343625242326151413121
S
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
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- Slide 15
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- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
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- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
Lanccedilamento de uma moeda
1o Lanccedilamento
k
c k
k
k k kkc c
c c
cc
2o Lanccedilamento
3o Lanccedilamento
kkkkkckckkccckkckccckcccS
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Eventosbull Evento eacute um subconjunto do espaccedilo
amostral de um experimento aleatoacuterio
bull Eventos mutuamente excludentes dados dois eventos E1 e E2 tal que
satildeo chamados de mutuamente excludentes
21 EE
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Definiccedilotildees
Evento eacute qualquer conjunto de resultados ou consequecircncia de um experimento
Evento simples eacute um resultado ou um evento que natildeo pode ser mais decomposto em componentes mais simples
Espaccedilo amostral satildeo todos os eventos simples possiacuteveis
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
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- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
bull Exemplo ndash No lanccedilamento simultacircneo de 2 moedas tem-se
Espaccedilo amostral (cc)(ck)(kc)(kk)
Evento e evento simples (ck)
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Relaccedilatildeo entre eventosbull Uniatildeo eacute o evento que consiste em todos os
resultados que estatildeo contidos em cada um dos dois eventos Denotamos por
bull Intersecccedilatildeo eacute o evento que consiste em todos os resultados que estatildeo contidos nos dois eventos simultaneamente Denotamos por
bull Complemento eacute o conjunto de todos os resultados no espaccedilo amostral que natildeo estatildeo no evento Denotamos por complemeno de E eacute Eacute ou Ec
21 EE
21 EE
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Diagramas de Vennb)
A B
a)
c)
BA
BA
A B
BA
d)
A B
CBA C
Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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- Teorema de Bayes
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Diagramas de Vennf)
A
cA
d)
A B
cCBA )(
C
e)
BA
C
CBA
A B
g)
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Diagramas de Venni)
BAcBA )(
j)
BA
cBA )(
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
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nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecio 1Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
BA
C
cAcCB )(
BACBA )(CBA c )(
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
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- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
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- Slide 57
- Slide 58
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecio 2Trecircs eventos satildeo mostrados no diagrama de Venn abaixo
Reproduza a figura e sombreie a regiatildeo que corresponde a cada um dos eventos abaixo a) b) c) d) e)
cAcCB )(
)()( cBABA CBA )(
CBA c )(
BA
C
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Probabilidadebull A probabilidade eacute base para a construccedilatildeo dos meacutetodos de indeferecircncia estatiacutestica
bull A probabilidade eacute usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrecircncia de um resultado de um experimento aleatoacuterio
bull Os valores da probabilidade se expressam entre 0 e 1 inclusive
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
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- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Slide 61
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Notaccedilatildeo de Probabilidade
bull P representa a probabilidade
bull A B C etc representam os eventos especiacuteficos
bull P(A) representa a probabilidade de ocorrecircncia do evento A
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
bull Resultados igualmente provaacuteveis Toda vez que um espaccedilo amostral consistir em N resultados possiacuteveis que forem igualmente provaacuteveis a probabilidade de cada resultado eacute 1N
bull Probabilidade de um evento para um espaccedilo amostral discreto a probabilidade de um evento E denotada por P(E) eacute igual a soma das probabilidades dos resultados em E
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
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- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
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- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
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- Slide 44
- Slide 45
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- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
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- Slide 56
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- Slide 60
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- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ExemploUm experimento aleatoacuterio pode resultar em um dos resultados abcd com probabiliades 010305 e 01 respectivamente Seja A o evento ab B o evento bcd e C o evento d Entatildeo
P(A)=01+03=04P(B)=03+05+01=09P(C)=01P(Ac)=06P(Bc)=01P(Cc)=09
bBA 30)( BAP
dcbaBA 110503010)( BAP
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ExerciacutecioO espaccedilo amostral de um experimento aleatoacuterio eacute abcde com probabiliades 01010204 e 02 respectivamente Seja A o evento abc e B o evento cde Determinar
P(A)P(Ac)P(B)
)( BAP )( BAP
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
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nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
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Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
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- Slide 49
- Slide 50
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- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativaObserve um procedimento e conte o nuacutemero de vezes em que o evento A ocorreu Com base neses resultados P(A) eacute estimada como
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeSuponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e cada um deles tenha um chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras entatildeo
bullProbabilidades subjetivasP(A) a probabilidade do evento A eacute estimada com base no conhecimento de circusntacircncias relevantes
repetidofoientoproceoquevezesdenuacutemeroAocorreuquevezesdenuacutemeroAP
dim)(
ns
simpleseventosdiferentesdenuacutemeroocorrerpodeAquevezesdenuacutemeroAP )(
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
ExemplosAche a probabilidade de que quando um casal tem trecircs filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que o sexo de um natildeo seja influenciado pelo sexo de qualquer outro P(2 meninos em 3 nascimentos) = 38 = 0375
menino menino meninomenino menino meninamenino menina meninomenina menino meninomenina menina meninomenina menino meninamenino menina meninamenina menina menina
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
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A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
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A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
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APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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2211
21
nn
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
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2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
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- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
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- Slide 55
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- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Regras da Probabilidadebull Aproximaccedilatildeo da probabilidade pela frequecircncia relativa
Ao tentarmos determinar a probabilidade de um tachinha cair de ponta para cima devemos repetir o procedimento de jogar a tachinha para cima vaacuterias vezes de depois achar a razatildeo entre o nuacutemero de vezes que a tachinha caiu de ponta para cima em relaccedilatildeo ao nuacutemero total de jogadas
bullAbordagem claacutessica da probabilidadeTentamos determinar a probabiliadade de um dado cair com a face nro 2 para cima P(2) durante um lanccedilamento supondo que todas as seis faces tecircm chances iguais de ocorrecircncia
bull Probabilidades subjetivas
Ao tentar estimar a probabilidade de chuva amanhatilde os metereologistas usam seus conhecimentos especiacuteficos de previsatildeo do tempo calcular uma estimativa de probabilidade
61)2( P
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
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- Slide 15
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- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
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- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Slide 44
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- Slide 46
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- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
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- Slide 57
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
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-
Regras da Probabilidadebull A probabilidade de um evento impossivel eacute 0
bull A probabilidade de um evento cuja ocorrecircncia eacute certa eacute 1
bull Para qualquer evento E a probabilidade de E estaacute entre 0 e 1 inclusive Isto eacute 0 le P(E) le 1
bull O complementar de um evento E eacute Ec que consiste em todos os resultados em que A natildeo ocorre
bull
0)( P
)(1)( EPEP c
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
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BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
- Slide 12
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Probabilidade de uma Uniatildeobull2 Eventos A e B
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
A B
Eventos A e B mutuamente excludentes
BABABA
Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
)()()()( CPBPAPCBAP
A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
ji
EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
- Slide 52
- Slide 53
- Slide 54
- Slide 55
- Slide 56
- Slide 57
- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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- Teorema de Bayes
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Probabilidade de uma Uniatildeobull3 Eventos A B e C
bullSe A e B satildeo mutuamente excludentes entatildeo
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPBAP
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A
B
Eventos A e B mutuamente excludentes
CBACBACBA
C
Uma coleccedilatildeo de eventos E1 E2 E3 En
)()()()(( 321321 nn
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EPEPEPEPEEEEP
EE
Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
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APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
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Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
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BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
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E1
E2
095
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997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
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nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
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- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- Conceitos
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
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- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exerciacutecio
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- Exemplos
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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- Teorema de Bayes
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Exerciacutecios1 ndash Se P(A) =03 P(B)=02 e P(AcapB)=01 determine as seguintes probabilidades
a) P(Ac)b) P(AUB)
2 ndash No artigo ldquoACL Reconstruction Using Bone-Patellar Tendon-Bone Press-Fit Fixation 10-Year Clinical Resultsrdquo em Knee Surgery Sports Traumatology Arthroscopy (2005 Vol 13 p 248-255) foram consideradas as seguintes causas para lesotildees no joelho
Atividade de lesotildees no joelhoEsporte de contato 46Esporte sem contato 44Atividade da vida diaacuteria9Dirigir motocicleta 1
a) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)
b) Qual a probabilidade de uma lesatildeo no joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 55
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- Slide 57
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecios3 ndash Cabos de fio de cobre provenientes de um fabricante satildeo analisados em relaccedilatildeo agrave resistecircncia e agrave condutividade Os resultados de 100 cabos satildeo dados a seguir
a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser alta e sua resistecircncia ser altaP(AcapB)=74100a) Se um cabo for selecionado aleatoriamente qual eacute a probabilidade de sua condutividade ser baixa e sua resistecircncia ser baixaP(AcapB)=3100a) Considere o evento em que um cabo tenha baixa condutividade e o evento em que o cabo tenha baixa resistecircncia Estes dois eventos satildeo mutuamente excludentes
Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
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nn
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EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
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En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
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E1
E2
095
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997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
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EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
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Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
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- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
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- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
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- Teorema de Bayes
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Exerciacutecios4 ndash A anaacutelise de eixos para um compressor estaacute resumida de acordo com as especificaccedilotildees abaixo
a) Se o eixo for selecionado ao acaso qual seraacute a probabilidade do mesmo atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou aos requerimentos de aspecto arredondado
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie ou natildeo atender aos requerimentos de aspecto arredondado
d) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender tanto aos requerimentos de acabamento da superfiacutecie como aos requerimentos de aspecto arredondado
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
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- Slide 46
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- Slide 48
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- Slide 50
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- Slide 58
- Slide 59
- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional de um evento B dado um evento A denotada por P(BA)
0)(
)()()(
APpara
APBAPABP
Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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E1
E2
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997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
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BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
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- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
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- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Slide 52
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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- Teorema de Bayes
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Exemplo de aplicaccedilatildeoDada a amostra abaixo
Pede-sea) Qual a probabilidade de defeito em uma peccedila dada falha na superfiacutecie
b) Qual a probabilidade de falha na superfiacutecie dada uma peccedila defeituosa
4010)40040()40010()()()( FPFDPFDP
2810)40028()40010()()()( DPDFPDFP
Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
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Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
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P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
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0001
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Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
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BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
P(En)
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E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
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E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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- Teorema de Bayes
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Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
Falha na superfiacutecie NAtildeO 360400
Natildeo3040Sim1040Defeito
SIM 40400
Natildeo342360Sim18360
)40040()40010()( FDP
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
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APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
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Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
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Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
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BPAPBAPBPABPAPBAP
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
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P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
E2
095
095
E1
E2
095
095
997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
0)(
)()()()()()()()()(
2211
111
BPpara
EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP
nn
Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
- Slide 1
- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
- Slide 7
- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
- Slide 10
- Conceitos
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
- Slide 21
- Problema
- Medidas de Centro
- Slide 24
- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
- Slide 37
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- Slide 39
- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
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- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
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- Slide 60
- Slide 61
- Slide 62
- Slide 63
- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
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- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1Amostras de uma pele com descamaccedilatildeo satildeo analisadas em relaccedilatildeo ao teor de umidade e de melanina Os resultados de 100 amostras de pele satildeo dados a seguir
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que a amostra tem alto teor de umidade Determine as seguintes probabilidadesa)P(A)b)P(B)c)P(AB)d)P(BA)
Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
)()()()()()()()(
APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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nn
n
EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
)()()()()()()(
BPAPBAPBPABPAPBAP
)()()()( 2121 nn ExxExPEPEEEP
Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
)()()()( 2121 nn EPEPEPEEEP
P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
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P(E2)
P(E1)
E1
E2
En
P(En)
P(E2)
P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
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E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
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- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2Anaacutelise de resultados de um experimento de transmutaccedilatildeo de uma folha (tornando uma folha em uma peacutetala) eacute resumida pelo tipo de transformaccedilatildeo completada
a)Se a folha completa a transformaccedilatildeo da cor qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo de texturaP(tttc)=P(ttcaptc)P(tc)=[243300][269300]a)Se a folha natildeo completar a transformaccedilatildeo textual qual eacute a probabilidade de que ela completaraacute a transformaccedilatildeo da corP(tcttc) =P(tccapttc)P(ttc)=[26300][44300]
Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
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APABPABPBPBAPAPABPBAP
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BA
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
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BPBFPMPMFPHPHFPFP
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alta meacutedia baixa
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Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Eventos em paralelo
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P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
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E1 E2
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Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
- Slide 41
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- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
ou REGRA DA MULTIPLICACcedilAtildeO
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APABPABPBPBAPAPABPBAP
BA
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Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
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BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
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alta meacutedia baixa
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Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
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BPAPBAPBPABPAPBAP
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
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P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
E1 E2 E3 En
E1
E2
En
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P(E1)
E1
E2
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P(E1)
)(1()(1()(1(1)( 21 nEPxxEPxEPEP
ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
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- Slide 60
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- Slide 64
- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
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- Teorema de Bayes
- Slide 108
-
Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
Suponha que E1 E2 E3 En sejam n eventos mutuamente excludentes e exaustivos entatildeo
)()()()()()()()()()(
2211
21
nn
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EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
02350)500(0010)300(010)200(100)()()()()()()(
BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
de aacutervore)contaminaccedilatildeo
050
alta meacutedia baixa
030020
P(Falhar alta)=010
P(Natildeo falhar alta)=090
P(Natildeo falhar meacutedia)=099 P(Natildeo falhar baixa)=
0999P(Falhar meacutedia)=
001P(Falhar baixa)=
0001
010(020) 090(020) 001(030) 099(030) 0001(050) 0999(050)
02350)500(0010)300(010)200(100)( FP
Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
n eventos
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BPAPBAPBPABPAPBAP
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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E1
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997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
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- BEM VINDOS
- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
- Apresentaccedilatildeo
- Curso
- NORMAS E REGRAS DA FACULDADE
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
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- Medidas de Dispersatildeo
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- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
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- Probabilidade Condicional
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- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
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- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1Na fabricaccedilatildeo de semicondutores suponha as seguintes probabilidades para a falha no produto sujeito a niacuteveis de contaminaccedilatildeo na fabricaccedilatildeo
Em uma batelada particular da produccedilatildeo 20 dos chips estatildeo sujeitos a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo 30 a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo e 50 a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo Qual eacute a probabilidade de um produto falhar ao usar um destes chips
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
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BPBFPMPMFPHPHFPFP
Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
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050
alta meacutedia baixa
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
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E1 E2
08 0908 09
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Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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- Apresentaccedilatildeo
- Curso
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
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- Exerciacutecio
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- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo)
Seja H o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis altos de contaminaccedilatildeo M o evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis meacutedios de contaminaccedilatildeo B evento em que um chip esteja exposto a niacuteveis baixos de contaminaccedilatildeo e F o evento de falha de um chip entatildeo
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Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1(resoluccedilatildeo via diagrama
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
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E1 E2
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Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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- EMENTA
- Aplicaccedilotildees da Estatiacutestica
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- Conceitos
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- 2 ndash Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Descritiva
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- Problema
- Medidas de Centro
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- Medidas de Dispersatildeo
- Exerciacutecio Resolvido
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
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- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
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- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
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- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
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- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
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- Probabilidade de uma Uniatildeo
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- Exerciacutecios
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- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Independecircncia2 eventosDois eventos satildeo independentes se qualquer das seguintes afirmaccedilotildees for verdadeira
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Eventos em paralelo
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
08 0908 09
08 09
E1 E2
08 0908 09
E1 E2
720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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095
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E1
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997509501)(9501(1)(1)((1(1)( 21 EPEPEP
Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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Fim Aula INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADESDAS PROBABILIDADES
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- ESTATIacuteSTICA E PROBABILIDADE
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- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
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Associaccedilatildeo de eventos independentes
Eventos em Seacuterie
Eventos em paralelo
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P(E1) P(E2) P(E3) P(En)
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E1
E2
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P(E1)
E1
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P(En)
P(E2)
P(E1)
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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E1 E2
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E1 E2
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Exemplo 2- O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama Suponha que os eventos falhem independentemente Qual seraacute a probabilidade de o circuto operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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E1
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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ExemplosExemplo 1- O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita A probabilidade de cada dispositivo funcionar eacute mostrada no diagrama abaixo Suponha que os dispositivos falhem independentemente Qual eacute a probabilidade de o circuito operar
Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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E1 E2
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720)900(800)()()( 2121 EPEPEEP
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Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
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Resoluccedilatildeo O cirucito estaacute em seacuterie portantoSejam E1 e E2 os eventos em que os dispositivos operem
E1
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Teorema de BayesSe E1 E2 En forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e B for qualquer evento entatildeo
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- Distribuiccedilatildeo de Frequecircncias
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- Slide 32
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- Slide 34
- EXERCIacuteCIO RESOLVIDO (Distribuiccedilatildeo de Frequumlecircncias)
- Resoluccedilatildeo
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- Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo
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- Slide 60
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- 5 ndash INTRODUCcedilAtildeO Agrave TEORIA DAS PROBABILIDADES
- Conceitos baacutesicos
- Exemplo de espaccedilo amostral
- Slide 68
- Diagrama de aacutervore para representar o espaccedilo amostral
- Eventos
- Slide 71
- Slide 72
- Relaccedilatildeo entre eventos
- Diagramas de Venn
- Slide 75
- Slide 76
- Exerciacutecio 1
- Exerciacutecio 2
- Probabilidade
- Notaccedilatildeo de Probabilidade
- Slide 81
- Exemplo
- Exerciacutecio
- Regras da Probabilidade
- Exemplos
- Slide 86
- Slide 87
- Probabilidade de uma Uniatildeo
- Slide 89
- Exerciacutecios
- Slide 91
- Slide 92
- Probabilidade Condicional
- Exemplo de aplicaccedilatildeo
- Resoluccedilatildeo pelo diagrama de aacutervore
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de fixaccedilatildeo 2
- Probabilidade de uma intersecccedilatildeo
- Regra da probabilidade total muacuteltiplos eventos
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo)
- Exerciacutecio de Fixaccedilatildeo 1 (resoluccedilatildeo via diagrama de aacutervore)
- Independecircncia
- Associaccedilatildeo de eventos independentes
- Slide 105
- Slide 106
- Teorema de Bayes
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