apostila de matemÁtica nono ano

CARO ALUNO(A)

Espero que esta apostila contribua em seu aprendizado

Objetivos de aprendizagem Resolver problemas envolvendo o teorema de Pitaacutegoras

Calcular e resolver situaccedilotildees diversas envolvendo porcentagem e juros

Interpretar e aplicar a foacutermula do juro simples

Consolidar conhecimentos obtidos na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1deg grau

Conceituar funccedilatildeo polinomial do 1deg grau

Construir ler e analisar os graacuteficos de funccedilotildees polinomiais do 1deg grau

Utilizar a funccedilatildeo polinomial do 1deg grau para resolver problemas

Consolidar conhecimentos obtidos na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 2deg grau

Conceituar funccedilatildeo polinomial do 2deg grau

Construir ler e analisar os graacuteficos de funccedilotildees polinomiais do 2deg grau

Identificar a concavidade e outros elementos da paraacutebola

Identificar o crescimento e decrescimento de uma funccedilatildeo polinomial do 2deg grau

Resolver problemas de maacuteximos e miacutenimos associados a funccedilatildeo polinomial do 2deg grau

Compreender os significados dos coeficientes da funccedilatildeo do 2deg grau

Utilizar a funccedilatildeo polinomial do 2deg grau para resolver problemas

Prof Rodrigues 2

CAPIacuteTULO 1

RELACcedilOtildeES MEacuteTRICAS NO TRIAcircNGULO RETAcircNGULO

Triacircngulo Retacircngulo eacute aquele que possui um acircngulo reto (90ordm) Dizemos que o triacircngulo

a seguir eacute retacircngulo em Aveja

ONDE

A hipotenusa a fica oposto ao acircngulo reto de 90ordm sempre Aqui representado pelo A

Catetos eacute o nome que dar aos outros dois lados no caso b e c

2 TEOREMA DE PITAacuteGORAS

TEOREMA DE PITAacuteGORAS ndash O quadrado da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados

dos catetos

222 cba

EXEMPLO

1 Aplicando o teorema de Pitaacutegoras determine os valores solicitados nos casos abaixo

3 a

c C

B

A

b a

c C

B

A

cateto hipotenusa

cateto C

B

A

4

Prof Rodrigues 3

EXERCIacuteCIOS

1 Quantos metros de fio satildeo necessaacuterios para puxar luz de um poste de 6 m de altura

ateacute a caixa de luz que estaacute ao lado da casa e a 8 m da base do poste

2 A que altura a escada estaacute do solo

CAPIacuteTULO 2

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

A matemaacutetica financeira eacute uma aacuterea da matemaacutetica que se dedica a problemas de

ordem financeira Esses problemas podem ser exemplificados como juros inflaccedilatildeo

invertimentos e outras questotildees que estatildeo presentes no dia a dia de empresaacuterios

banqueiros e outros profissionais A matemaacutetica financeira engloba procedimentos

matemaacuteticos para facilitar operaccedilotildees monetaacuterias

REGRA DE TRES SIMPLES (REVISAtildeO)

EXEMPLOS

1 Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais Quantos dias teraacute que trabalhar para

receber 20 000 reais

2 Um carro com velocidade constante de 100 kmh vai da cidade A ateacute a cidade B em 3

horas Quanto tempo levaria esse mesmo carro para ir de A ateacute B se sua velocidade

constante fosse 160 kmh

3 Se 15 operaacuterios levam 10 dias para completar certo trabalho quantos operaacuterios faratildeo

esse mesmo trabalho em 6 dias

PORCENTAGEM

Comumente ouvimos ou vemos pessoas falarem expressotildees como Promoccedilatildeo - ateacute 30

de desconto para pagamento agrave vista A inflaccedilatildeo foi de 54 Os advogados cobram

20 sobre o valor da causa etc

Prof Rodrigues 4

Estas expressotildees envolvem um conceito matemaacutetico denominado porcentagem ou seja

um caacutelculo de partes em 100

Quando se diz que uma loja oferece um desconto de 30 (trinta por cento) estaacute-se

afirmando que em cada R$10000 de compras seraacute concedido um desconto de R$ 3000

Portanto em R$ 40000 o desconto seraacute de R$ 12000

Nos valores citados temos 30 eacute a taxa R$ 40000 eacute o principal e R$12000 eacute a

porcentagem ou percentagem

A taxa pode ser expressa nas formas

- percentual como 30

- razatildeo como 30100

- decimal como 030

Para calcular a porcentagem de determinado valor usa-se uma regra de trecircs ou a

simples foacutermula matemaacutetica

100

iCP

Onde

P = porcentagem

C = Capital e

i = taxa

EXEMPLOS

1 Quanto representa 30 de R$ 40000

Temos 30 = 30100 = 03 logo

120100

30400

pp

2 40 de 800 vale

Temos 40 = 40100 = 04 logo

320100

40800

pp

Uma outra questatildeo eacute calcular o principal quando se conhece a porcentagem e a taxa

Para isso usamos uma regra de trecircs ou a foacutermula

i

PC

100

Por exemplo

1 Qual eacute o valor cujos 25 eacute 6000

0024025

10060

C

TAXA i

Encontram-se tambeacutem questotildees para caacutelculos da taxa como ocorre no exemplo abaixo

Para resolver problemas em que se quer conhecer qual a taxa pode-se recorrer a uma

regra de trecircs simples ou agrave foacutermula

C

di

100

Onde

d = desconto ou porcentagem

i = taxa

C = capital

Prof Rodrigues 5

Exemplos

1 Carlos ao comprar um automoacutevel cujo valor era R$ 2000000 obteve um desconto de

R$ 100000 Qual foi a taxa oferecida no desconto

520000

1001000

i ou seja 5

JUROS

JUROS Eacute uma taxa cobrada por um empreacutestimo Essa taca pode variar de acordo com

o tempo em que se demora a fazer o pagamento da quantia emprestada Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um

determinado periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida

da especificaccedilatildeo do periacuteodo de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual

dividida por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

Juros Simples o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o capital

inicial emprestado ou aplicado O regime de juros seraacute simples quando o percentual de

juros incidir apenas sobre o valor principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo

incidiratildeo novos juros Valor Principal ou simplesmente principal eacute o valor inicial

emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros Transformando em foacutermula

temos

tiCJ

Onde

J = juros

P = principal (capital)

i = taxa de juros

T = nuacutemero de periacuteodos

Prof Rodrigues 6

Exemplos Resolvidos

1 Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo

regime de juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

2 Uma empresa aplicou um capital de R$ 300000 a juros simples a uma taxa de 11

aa Apoacutes 3 anos quanto lhe rendeu de juros

J = 3000 x 011 x 3 = 99000

EXERCIacuteCIOS

Porcentagem

1 Determine

a) 3 de 420 b) 725 de 1200 c) 125 de 200 d) 6 de 18

2 A meacutedia de reprovaccedilatildeo em concursos puacuteblicos eacute de 82 Quantas pessoas seratildeo

aprovadas num concurso puacuteblico com 6500 inscritos

3 Numa cidade 45 da populaccedilatildeo eacute composta de homens Qual a populaccedilatildeo total

dessa cidade se nela residem 60500 mulheres

4 Um vendedor Ganha 3 de comissatildeo sobre as vendas que realiza Tendo vendido

1000000 no dia quanto ele receberaacute de comissatildeo

5 Um feirante comprou um pendrive por 2000 e em seguida o vendeu por 2500 Qual

foi sua porcentagem de lucro

6 Sabendo que certa mistura foi feita com 12 L de aacutegua e 8 L de aacutelcool determine a

porcentagem de aacutelcool contida na mistura

7 Poderei obter um abatimento de 15 para o pagamento agrave vista na compra de uma

geladeira que custa 90000 Quanto pagarei pela geladeira nessas condiccedilotildees

Juros Simples

1 Qual eacute o juro simples que um capital de 3000000 produz quando aplicado durante

cinco meses a uma taxa de 35 am

2 Qual eacute o juro simples que um capital de 250000 rende quando aplicado durante um

ano agrave taxa mensal de 2

3 Um capital de 1000000 investido a juros simples de 13 aa foi sacado apoacutes trecircs e

dez dias a contar da data inicial do investimento Qual foi o juro

Prof Rodrigues 7

4 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

5 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

6 Qual foi a taxa mensal de juros simples que deveraacute incidir sobre um capital de

500000 para que este em quatro meses e meio renda 72000

7 Que capital inicial rende 200000 em cinquenta dias a uma taxa simples de 02

ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO

Definiccedilatildeo - Dados dois conjuntos A e B natildeo vazios Uma relaccedilatildeo f de A em B recebe o

nome de Funccedilatildeo ou Aplicaccedilatildeo de A em B se e somente se para todo Ax existe um soacute

By tal que fyx )( f eacute uma funccedilatildeo de A em B

10 IDENTIFICACcedilAtildeO DE UMA FUNCcedilAtildeO

101 DIAGRAMA DE FLECHAS

Para que se tenha uma funccedilatildeo eacute necessaacuterio que de cada elemento do conjunto A parta

uma uacutenica flecha aos elementos de B

Exemplo Verificar se os diagramas a seguir representam ou natildeo funccedilotildees da A em B

Prof Rodrigues 8

FUNCcedilAtildeO DO 1ordm GRAU

Definiccedilatildeo ndash Chama-se funccedilatildeo do primeiro grau toda sentenccedila da forma baxy em

que a e b satildeo nuacutemeros reais e 0a

Exemplos

a) 62 xy b) 2 xy c) xy

Na lei baxy o nuacutemero a eacute chamado de coeficiente e o nuacutemero b eacute chamado de

termo constante ou independente

Exemplos

Identificar o coeficiente a e termo independente b nos casos abaixo

a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy

111 Graacutefico de uma Funccedilatildeo do 1ordm grau

Exemplos

Vamos construir o graacutefico das funccedilotildees do 1ordm grau abaixo no plano cartesiano

a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3

12 RAIacuteZ OU ZERO DA FUNCcedilAtildeO DO 1ordm GRAU

O valor de x para o qual a funccedilatildeo baxxf )( se anula ou seja para o qual 0)( xf

ou 0y denomina-se Raiz ou Zero da funccedilatildeo do 1ordm grau

Para determinar a Raiz ou Zero de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta resolver a equaccedilatildeo

0bax

Exemplos

Determinar a Raiz ou Zero das funccedilotildees abaixo

a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS

1 Dados a e b escreva no caderno a lei de cada funccedilatildeo 1ordm grau

a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2

2 Dada a funccedilatildeo definida pela lei f(x) = 5x ndash 4 com x real determine em seu caderno

a) f(-1) b) (-35) c) o valor de x para que se tenha f(x) = 6

Prof Rodrigues 9

3 Determine a raiz ou zero das funccedilotildees nos casos abaixo e faccedila o graacutefico

a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf

4 A lei que fornece a temperatura T em grau Celsius de ebuliccedilatildeo da aacutegua de acordo

com a altitude h em metros eacute T = 100 ndash 0001h

a) Qual eacute a temperatura de ebuliccedilatildeo da aacutegua a 2400 m de altitude

b) Qual eacute a temperatura de ebuliccedilatildeo da aacutegua ao niacutevel do mar


Definiccedilatildeo ndash Uma funccedilatildeo do 2ordm grau toda funccedilatildeo do tipo cbxaxy 2 com a b c

nuacutemeros reais e 0a e eacute definida para todo x real

Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios

1 Dada a funccedilatildeo 652 xxy determine os valores de a b e c

2 Dada a funccedilatildeo definida por 652 xxy determine em seu caderno

a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)

Raiacutezes ou zero da funccedilatildeo do 2ordm grau

O zero ou raiacutezes de uma funccedilatildeo do 2ordm grau satildeo os valores reais de x obtidos quando

fazemos f(x) = 0

Tais valores satildeo encontrados a partir da foacutermula de Bhaskara

a

bx

2

Temos

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo do 2ordm grau depende do valor obtido para o

radicando cab 42 chamado discriminante a saber

Quando 0 (positivo) haacute duas raiacutezes reais e distintas

Quando 0 (igual a zero) haacute soacute uma raiz real

Quando 0 eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Rodrigues 10

Exemplos

1 Determine as raiacutezes se houver das funccedilotildees abaixo

a) 86)( 2 xxxf b) 282)( 2 xxxf c) 22)( 2 xxxf

CONCAVIDADE DA PARAacuteBOLA

Se agt0 (a positivo) a concavidade estaraacute voltado para cima

Se alt0 (a negativo) a concavidade da paraacutebola estaraacute voltada para baixo

VEacuteRTICE DA PARAacuteBOLA

0a concavidade voltada para cima 0a concavidade voltada para baixo

Coordenadas do Veacutertice

As coordenadas do veacutertice YvXvV da paraacutebola satildeo calculadas com as seguintes

expressotildees

Abscissa do Veacutertice a

bXv

2 e Ordenada do Veacutertice

aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo

Determinar as coordenadas do veacutertice a funccedilatildeo 86)( 2 xxxf

3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4

Yv logo as coordenadas satildeo 13V

VALOR MAacuteXIMO E VALOR MIacuteNIMO

Quando a funccedilatildeo eacute crescente ela tem seu valor maacuteximo e se decrescente tem seu

valor miacutenimo Para determina-los basta calcular o Yv para valor maacuteximo

GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO DO 2ordm GRAU

Exemplos

Construccedilatildeo do graacutefico da funccedilatildeo do 2ordm grau

Para esboccedilar o graacutefico de maneira raacutepida e faacutecil precisamos determinar as raiacutezes e as

coordenadas do veacutertice da funccedilatildeo dada

Exemplos

1 Determine o graacutefico das funccedilotildees a seguir

a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios

1 Determine os zeros ou raiacutezes das funccedilotildees

a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf

2 Calcule as ordenadas do veacutertice verifique se eacute ponto de maacuteximo ou de miacutenimo das seguintes funccedilotildees

a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf

3 Dada a funccedilatildeo 86)( 2 xxxf Determine

a) os valores de a e b e c

b) as suas raiacutezes se houver

c) as coordenadas do veacutertice

d) o graacutefico

4 Dada a funccedilatildeo 9)( 2 xxf Determine

a) os valores de a b e c



d) o graacutefico

5 (PUC-MG) O valor maacuteximo da funccedilatildeo 22)( 2 xxxf eacute

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo

Para construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica sem montar a tabela de pares ordenados (xy)

basta levar em consideraccedilatildeo as cinco informaccedilotildees a seguir

1 Os zeros definem os pontos em que a paraacutebola intercepta o eixo dos x

2 O veacutertice

aa

bV

4

2 indica o ponto de miacutenimo (se a gt 0) ou maacuteximo (a lt 0)

3 A reta que passa por V e eacute paralela ao eixo dos y eacute o eixo de simetria da paraacutebola

4 (0c) eacute o ponto em que a paraacutebola corta o eixo dos y

5 O valor do coeficiente a define a concavidade da paraacutebola

Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4

RELACcedilOtildeES MEacuteTRIacuteCAS NA CIRCUNFEREcircNCIA

CONCEITOS BAacuteSICOS

A) Uma CORDA eacute todo segmento de reta cujas

extremidades pertencem agrave circunferecircncia

B) Uma reta que tenha um uacutenico ponto em comum com

uma circunferecircncia eacute uma reta TANGENTE a essa

circunferecircncia

C) Uma reta que tenha dois pontos em comum com

uma circunferecircncia eacute uma SECANTE a essa circunferecircncia

RELACcedilAtildeO ENTRE CORDAS Considerando os triacircngulos PAD e PCB (ao lado)

Logo Entatildeo temos a seguinte relaccedilatildeo

Exemplos

EX1 Calcule o valor de x

RELACcedilAtildeO ENTRE SECANTES Considerando os triacircngulos PAD e PCB ao lado

Logo Entatildeo temos a seguinte

relaccedilatildeo

arcomesmodeinscritosacircngulos

veacuterticepeloopostos

CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo

EX1 Calcular a medida x

EXERCIacuteCIOS SELECIONADOS

1 Calcule o valor de x em cada caso

a) b) c)

T E S T E S

1 O valor de x na figura eacute a) 1 b) 4

c) x 3

d) 2 10

2 (FRANCO) O Valor de x na figura eacute

a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4

16 SOLUCcedilAtildeO

8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

CAPIacuteTULO 1

RELACcedilOtildeES MEacuteTRICAS NO TRIAcircNGULO RETAcircNGULO

Triacircngulo Retacircngulo eacute aquele que possui um acircngulo reto (90ordm) Dizemos que o triacircngulo

a seguir eacute retacircngulo em Aveja

ONDE

A hipotenusa a fica oposto ao acircngulo reto de 90ordm sempre Aqui representado pelo A

Catetos eacute o nome que dar aos outros dois lados no caso b e c

2 TEOREMA DE PITAacuteGORAS

TEOREMA DE PITAacuteGORAS ndash O quadrado da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados

dos catetos

222 cba

EXEMPLO

1 Aplicando o teorema de Pitaacutegoras determine os valores solicitados nos casos abaixo

3 a

c C

B

A

b a

c C

B

A

cateto hipotenusa

cateto C

B

A

4

Prof Rodrigues 3

EXERCIacuteCIOS




CAPIacuteTULO 2








EXEMPLOS








PORCENTAGEM




Prof Rodrigues 4











- decimal como 030



100

iCP

Onde

P = porcentagem

C = Capital e

i = taxa

EXEMPLOS


Temos 30 = 30100 = 03 logo

120100

30400

pp

2 40 de 800 vale

Temos 40 = 40100 = 04 logo

320100

40800

pp



i

PC

100

Por exemplo


0024025

10060

C

TAXA i




C

di

100

Onde


i = taxa

C = capital

Prof Rodrigues 5

Exemplos



520000

1001000

i ou seja 5

JUROS




Taxa de juros










JUROS SIMPLES






temos

tiCJ

Onde

J = juros


i = taxa de juros


Prof Rodrigues 6

Exemplos Resolvidos



J = 1000 x 008 x 2 = 160



J = 3000 x 011 x 3 = 99000

EXERCIacuteCIOS

Porcentagem

1 Determine

a) 3 de 420 b) 725 de 1200 c) 125 de 200 d) 6 de 18













Juros Simples







Prof Rodrigues 7


em 75 dias


durante 125 dias




ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO









Prof Rodrigues 8




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

EXERCIacuteCIOS




CAPIacuteTULO 2








EXEMPLOS








PORCENTAGEM




Prof Rodrigues 4











- decimal como 030



100

iCP

Onde

P = porcentagem

C = Capital e

i = taxa

EXEMPLOS


Temos 30 = 30100 = 03 logo

120100

30400

pp

2 40 de 800 vale

Temos 40 = 40100 = 04 logo

320100

40800

pp



i

PC

100

Por exemplo


0024025

10060

C

TAXA i




C

di

100

Onde


i = taxa

C = capital

Prof Rodrigues 5

Exemplos



520000

1001000

i ou seja 5

JUROS




Taxa de juros










JUROS SIMPLES






temos

tiCJ

Onde

J = juros


i = taxa de juros


Prof Rodrigues 6

Exemplos Resolvidos



J = 1000 x 008 x 2 = 160



J = 3000 x 011 x 3 = 99000

EXERCIacuteCIOS

Porcentagem

1 Determine

a) 3 de 420 b) 725 de 1200 c) 125 de 200 d) 6 de 18













Juros Simples







Prof Rodrigues 7


em 75 dias


durante 125 dias




ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO









Prof Rodrigues 8




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15











- decimal como 030



100

iCP

Onde

P = porcentagem

C = Capital e

i = taxa

EXEMPLOS


Temos 30 = 30100 = 03 logo

120100

30400

pp

2 40 de 800 vale

Temos 40 = 40100 = 04 logo

320100

40800

pp



i

PC

100

Por exemplo


0024025

10060

C

TAXA i




C

di

100

Onde


i = taxa

C = capital

Prof Rodrigues 5

Exemplos



520000

1001000

i ou seja 5

JUROS




Taxa de juros










JUROS SIMPLES






temos

tiCJ

Onde

J = juros


i = taxa de juros


Prof Rodrigues 6

Exemplos Resolvidos



J = 1000 x 008 x 2 = 160



J = 3000 x 011 x 3 = 99000

EXERCIacuteCIOS

Porcentagem

1 Determine

a) 3 de 420 b) 725 de 1200 c) 125 de 200 d) 6 de 18













Juros Simples







Prof Rodrigues 7


em 75 dias


durante 125 dias




ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO









Prof Rodrigues 8




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

Exemplos



520000

1001000

i ou seja 5

JUROS




Taxa de juros










JUROS SIMPLES






temos

tiCJ

Onde

J = juros


i = taxa de juros


Prof Rodrigues 6

Exemplos Resolvidos



J = 1000 x 008 x 2 = 160



J = 3000 x 011 x 3 = 99000

EXERCIacuteCIOS

Porcentagem

1 Determine

a) 3 de 420 b) 725 de 1200 c) 125 de 200 d) 6 de 18













Juros Simples







Prof Rodrigues 7


em 75 dias


durante 125 dias




ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO









Prof Rodrigues 8




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

Exemplos Resolvidos



J = 1000 x 008 x 2 = 160



J = 3000 x 011 x 3 = 99000

EXERCIacuteCIOS

Porcentagem

1 Determine

a) 3 de 420 b) 725 de 1200 c) 125 de 200 d) 6 de 18













Juros Simples







Prof Rodrigues 7


em 75 dias


durante 125 dias




ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO









Prof Rodrigues 8




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15


em 75 dias


durante 125 dias




ad

CAPIacuteTULO 3

FUNCcedilAtildeO









Prof Rodrigues 8




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15




Exemplos




Exemplos


a) 55 xy b) 72)( xxf c) 3 xy d) xy


Exemplos


a) 12 xy b) 23 xy c) xy 3





0bax

Exemplos


a) 12 xy b) 42)( xxf c) 62 xy

EXERCIacuteCIOS


a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2



Prof Rodrigues 9


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15


a) 1 xy c) 23)( xxf e) 2 xy

b) 42)( xxf d) 2 xy f) 33)( xxf








Exemplos

1 452 xxy sendo a = 1 b = -5 e c = 4

2 252 2 xxy sendo a = 2 b = 5 e c = -2

3 xxy 23 2 sendo a = -3 b = 2 e c = 0

4 2xy sendo a = -1 b = 0 e c = 0

Exerciacutecios



a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4)



fazemos f(x) = 0


a

bx

2

Temos






Prof Rodrigues 10

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

Exemplos










expressotildees


bXv


aYv

4

a lt 0

Concavidade

Voltado para baixo

a gt 0

Concavidade

Voltado para cima

Prof Rodrigues 11

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

Exemplo


3)1(2

6

Xv e 1

4

4

)1(4

4






Exemplos




Exemplos


a) 23)( 2 xxxf

b) 53)( 2 xxxf

c) 34)( 2 xxxf

d) 44)( 2 xxxf

V Maacuteximo

V Miacutenimo

Prof Rodrigues 12

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

3

20

x

4


8

64

64

416

2

2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

Exerciacutecios


a) 54)( 2 xxxf

b) 62)( 2 xxxf

c) 12)( 2 xxxf


a) 32)( 2 xxxf

b) 4)( 2 xxf

c) 442)( 2 xxxf





d) o graacutefico





d) o graacutefico


a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Em resumo




2 O veacutertice

aa

bV

4





Prof Rodrigues 13

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

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x

4


8

64

64

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2

2

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x

x

x

x 18

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x-2 x+2

2x x x x

4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

CAPIacuteTULO 4







circunferecircncia





Exemplos




relaccedilatildeo



CA

PP

PCBPAD


comumacircngulo

CA

PP

PCBPAD

D C corda

Secant

e

A B

T Tangent

e

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

C

D

A

B

P

4 2

3

x

PDPCPBPAPB

PC

PD

PA

B

C

P

A

SOLUCcedilAtildeO

12

4

48

484

684

x

x

x

x

Prof Rodrigues 14

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

3

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x

4


8

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x

x

x 18

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x-2 x+2

2x x x x

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12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

Exemplo




a) b) c)

T E S T E S


c) x 3

d) 2 10


a) 3 b) 4 8 c) 7 5

d) 3

13

5

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x

4


8

64

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2

x

x

x

x

x 18

4 x2

x-2 x+2

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4

12

6 4

x 5

Prof Rodrigues 15

apostila de matemÁtica nono ano

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