ALGORITMO DEL GRADIENTE

Para un mejor entendimiento de cómo se desarrolla el algoritmo del gradiente, para el análisis

de redes de distribución, utilizaremos la red de la figura 1.1 como ejemplo, para ver de dónde y

cómo salen los diferentes parámetros utilizados en el método del gradiente.

Figura 1.1: Sistema de Red de Distribución

Podemos esquematizar el sistema de la figura 1.1, identificando el número de nudos, tuberías y

suponiendo las direcciones de los flujos o caudales que fluyen a través de cada tubería, esta

esquematización se muestra en la figura 1.2.

Figura 1.2: Esquematización del Sistema de Red de Distribución

De la esquematización de la figura 1.2 podemos identificar que el sistema está conformado por:

Componentes del sistema:

- 7 Nudos. - 2 Reservorios. - 8 Tuberías.

De estos componentes podemos identificar que: 𝑛𝑛 = 5 nudos de cota piezométrica desconocida. 𝑛𝑜 = 2 nudos de cota piezométrica conocida. 𝑛𝑒 = 8 tuberías con caudales desconocidos.

Del análisis anterior, se concluye que el sistema de distribución tiene un número total de

incógnitas o variables igual a 13, de los cuales 5 son presiones en los nudos y 8 son caudales en

las tuberías, entonces para dar solución al sistema de distribución será necesario encontrar un

número equivalente de ecuaciones; estas ecuaciones las podemos plantear aplicando al sistema

de distribución los principios de la mecánica de fluidos, estos principios son:

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE MASA (Balance de masa en un nudo o continuidad)

Sea un nudo 𝑖 cualquiera como se muestra en la figura 1.3, para dicho nudo 𝑖 se debe cumplir

que:

Figura 1.3: Nudo 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 cualquiera.

𝑻𝒐𝒅𝒐 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝑬𝑵𝑻𝑹𝑨 𝑒𝑛 𝑖 = 𝑻𝒐𝒅𝒐 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝑺𝑨𝑳𝑬 𝑑𝑒 𝑖

Matemáticamente representando dicho principio, será:

𝑄𝑖𝑛1 + 𝑄𝑖𝑛2⏟ ∑𝑄𝑖𝑛𝑖

= 𝑞𝑖 + 𝑄𝑜𝑢𝑡1 + 𝑄𝑜𝑢𝑡2 + 𝑄𝑜𝑢𝑡3⏟ ∑𝑄𝑜𝑢𝑡𝑖

Por lo tanto, para un nudo 𝑖 cualquiera, se cumplirá que:

∑𝑄𝑖𝑛𝑖 −∑𝑄𝑜𝑢𝑡𝑖 = 𝑞𝑖

Aplicando este principio al sistema de distribución de la figura 1.2, obtenemos las siguientes

ecuaciones:

Nudo 𝑖

Conservación de masa nudo 𝑖

Coeficientes de las Variables en las Ecuaciones

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8

2 𝑄1 −𝑄2 − 𝑄4 = 𝑞2 1 −1 0 −1 0 0 0 0

3 𝑄2 −𝑄3 − 𝑄5 = 𝑞3 0 1 −1 0 −1 0 0 0

4 𝑄3 − 𝑄6 = 𝑞4 0 0 1 0 0 −1 0 0

5 𝑄4 +𝑄5 − 𝑄7 = 𝑞5 0 0 0 1 1 0 −1 0

6 𝑄6 +𝑄7 + 𝑄8 = 𝑞6 0 0 0 0 0 1 1 1

Entonces, al aplicar el principio de conservación de masa al sistema de distribución de la figura

1.2, obtuvimos 5 ecuaciones que relacionan los caudales desconocidos, pero para dar solución

al sistema de distribución será necesario encontrar 8 ecuaciones adicionales a las encontradas

para lo cual aplicaremos otro principio, que es el principio de conservación de energía.

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA (Balance de Energía en cada Tubería)

Sea un elemento 𝑇𝑖𝑗 (Tubería con extremos en los nudos 𝑖 y 𝑗) cualquiera como se muestra en

la figura 1.4, para dicho elemento 𝑇𝑖𝑗 se debe cumplir que:

Figura 1.4: Elemento 𝑇𝑖𝑗 𝑘 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 cualquiera.

𝑳𝒂 𝑬𝑵𝑬𝑹𝑮Í𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑒𝑛 𝑖 = 𝑳𝒂 𝑬𝑵𝑬𝑹𝑮Í𝑨 𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑒𝑛 𝑗

Matemáticamente representando dicho principio, será:

𝑧𝑖 +𝑝𝑖𝛾⏟

ℎ𝑖

= 𝑧𝑗 +𝑝𝑗

𝛾⏟ ℎ𝑗

+ hf𝑖𝑗

Por lo tanto, para un elemento 𝑇𝑖𝑗 𝑘 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 cualquiera, se cumplirá que:

ℎ𝑖 − ℎ𝑗 = hf𝑖𝑗

Donde hf𝑖𝑗, es la pérdida de energía debido a la fricción, para el cálculo de hf tenemos

principalmente 3 ecuaciones, las cuales son:

DARCY - WEISBACH HAZEN - WILLIAMS CHEZZY - MANNING

hf =8𝑓𝐿𝑄2

𝜋2𝑔𝐷5 hf =

B𝐿𝑄1.852

C1.852𝐷4.87 hf =

𝐴𝐿𝑛2𝑄2

𝐷5.33

Estas 3 ecuaciones pueden ser representadas en una sola, como una función de 𝑄 elevada a una

potencia 𝑛:

hf = 𝐾𝑄𝑛

Donde 𝐾 es un coeficiente que depende de las características del elemento y la ecuación

utilizada, y 𝑛 es el exponente de 𝑄 que depende de la ecuación utilizada, estas se pueden

mostrar en el siguiente cuadro:

DARCY - WEISBACH HAZEN - WILLIAMS CHEZZY - MANNING

𝐾 =8𝑓𝐿

𝜋2𝑔𝐷5

𝑛 = 2

𝐾 =B𝐿

C1.852𝐷4.87

𝑛 = 1.852

𝐾 =𝐴𝐿𝑛2

𝐷5.33

𝑛 = 2

En resumen para un elemento 𝑇𝑖𝑗 𝑘 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 cualquiera, se cumplirá que:

ℎ𝑖 − ℎ𝑗 = 𝐾𝑖𝑗𝑄𝑖𝑗𝑛

Aplicando este principio al sistema de distribución de la figura 1.2, obtenemos las siguientes

ecuaciones:

Elemento 𝑇𝑖𝑗

Conservación de la energía Tubería 𝑘

⇒ Las ecuaciones anteriores son un sistema de ecuaciones no lineales

1 ℎ1 − ℎ2 = 𝐾1𝑄1𝑛 ⇒ 𝐾1𝑄1

𝑛 + (ℎ2 − ℎ1) = 0

2 ℎ2 − ℎ3 = 𝐾2𝑄2𝑛 ⇒ 𝐾2𝑄2

𝑛 + (ℎ3 − ℎ2) = 0

3 ℎ3 − ℎ4 = 𝐾3𝑄3𝑛 ⇒ 𝐾3𝑄3

𝑛 + (ℎ4 − ℎ3) = 0

4 ℎ2 − ℎ5 = 𝐾4𝑄4𝑛 ⇒ 𝐾4𝑄4

𝑛 + (ℎ5 − ℎ4) = 0

5 ℎ3 − ℎ5 = 𝐾5𝑄5𝑛 ⇒ 𝐾5𝑄5

𝑛 + (ℎ5 − ℎ3) = 0

6 ℎ4 − ℎ6 = 𝐾6𝑄6𝑛 ⇒ 𝐾6𝑄6

𝑛 + (ℎ6 − ℎ4) = 0

7 ℎ5 − ℎ6 = 𝐾7𝑄7𝑛 ⇒ 𝐾7𝑄7

𝑛 + (ℎ6 − ℎ5) = 0

8 ℎ7 − ℎ6 = 𝐾8𝑄8𝑛 ⇒ 𝐾8𝑄8

𝑛 + (ℎ6 − ℎ7) = 0

Entonces, al aplicar el principio de conservación de energía al sistema de distribución de la figura

1.2, obtuvimos 8 ecuaciones adicionales a las ya encontradas al aplicar el principio de

conservación de masa, haciendo un total de 13 ecuaciones que es igual al número de variables.

El sistema de ecuaciones anterior podemos separarlo en dos bloques de ecuaciones, para

analizar mejor los coeficientes que tienen las diferentes variables, obteniendo así 2 bloques de

ecuaciones, que se muestran a continuación:

Ecuaciones del bloque 𝐁𝟏

Coeficientes de las cotas desconocidas o variables

Coeficientes de las

cotas conocidas ℎ2 ℎ3 ℎ4 ℎ5 ℎ6 ℎ1 ℎ7

(ℎ2 − ℎ1) 1 0 0 0 0 −1 0

(ℎ3 − ℎ2) −1 1 0 0 0 0 0

(ℎ4 − ℎ3) 0 −1 1 0 0 0 0

(ℎ5 − ℎ4) −1 0 0 1 0 0 0

(ℎ5 − ℎ3) 0 −1 0 1 0 0 0

(ℎ6 − ℎ4) 0 0 −1 0 1 0 0

(ℎ6 − ℎ5) 0 0 0 −1 1 0 0

(ℎ6 − ℎ7) 0 0 0 0 1 0 −1

Ecuaciones del bloque 𝐁𝟐

⟹ Linealizando

las ecuaciones

Coeficientes de las variables que participan en las ecuaciones

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8

𝐾1𝑄1𝑛 = 𝐾1𝑄1

𝑛−1𝑄1 𝐾1𝑄1𝑛−1 0 0 0 0 0 0 0

𝐾2𝑄2𝑛 = 𝐾2𝑄2

𝑛−1𝑄2 0 𝐾2𝑄2𝑛−1 0 0 0 0 0 0

𝐾3𝑄3𝑛 = 𝐾3𝑄3

𝑛−1𝑄3 0 0 𝐾3𝑄3𝑛−1 0 0 0 0 0

𝐾4𝑄4𝑛 = 𝐾4𝑄4

𝑛−1𝑄4 0 0 0 𝐾4𝑄4𝑛−1 0 0 0 0

𝐾5𝑄5𝑛 = 𝐾5𝑄5

𝑛−1𝑄5 0 0 0 0 𝐾5𝑄5𝑛−1 0 0 0

𝐾6𝑄6𝑛 = 𝐾6𝑄6

𝑛−1𝑄6 0 0 0 0 0 𝐾6𝑄6𝑛−1 0 0

𝐾7𝑄7𝑛 = 𝐾7𝑄7

𝑛−1𝑄7 0 0 0 0 0 0 𝐾7𝑄7𝑛−1 0

𝐾8𝑄8𝑛 = 𝐾8𝑄8

𝑛−1𝑄8 0 0 0 0 0 0 0 𝐾8𝑄8𝑛−1

Tatar de resolver estas ecuaciones tal como están sería un trabajo muy tedioso y más aún si se

incrementara la complejidad del sistema de distribución, pues se incrementaría también el

número de variables y en consecuencia también el número de ecuaciones a resolver, por lo que

será necesario implementar el uso de matrices, para lo cual recordaremos el producto de

matrices, la figura 1.5 muestra esquemáticamente el producto de 2 matrices:

[𝑚 x 𝑝] × [𝑝 x 𝑛] = [𝑚 x 𝑛]

Figura 1.5: Rectángulos que representan la multiplicación de 2 matrices

Del esquema de la figura 1.5 vemos que para poder multiplicar 2 matrices se debe cumplir, que

el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz,

esta condición será necesaria para efectuar la operación de multiplicación entre dos matrices.

Teniendo en cuanta esto pasemos a representar las ecuaciones halladas anteriormente en

forma matricial.

ARREGLO MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA Y ENERGÍA

Las ecuaciones de conservación de masa, se representaran en forma matricial teniendo en

cuanta la multiplicación de matrices, como se muestra a continuación:

Nudo 𝑖

Conservación de masa nudo 𝑖

Coeficientes de las Variables en las Ecuaciones

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8

2 𝑄1 −𝑄2 − 𝑄4 = 𝑞2 1 −1 0 −1 0 0 0 0

3 𝑄2 −𝑄3 − 𝑄5 = 𝑞3 0 1 −1 0 −1 0 0 0

4 𝑄3 − 𝑄6 = 𝑞4 0 0 1 0 0 −1 0 0

5 𝑄4 +𝑄5 − 𝑄7 = 𝑞5 0 0 0 1 1 0 −1 0

6 𝑄6 +𝑄7 + 𝑄8 = 𝑞6 0 0 0 0 0 1 1 1

Definamos una matriz de coeficientes 𝐴21, una matriz de variables 𝑄 y una matriz de constantes

𝑞, los cuales son:

𝐴21 =

[ 10000

−11000

0−1100

−10010

0−1010

00−101

000−11

00001]

, 𝑄 =

[ 𝑄1𝑄2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6𝑄7𝑄8]

y 𝑞 =

[ 𝑞2𝑞3𝑞4𝑞5𝑞6]

Entonces, el sistema de ecuaciones de la conservación de masa en cada nudo se puede

representar matricialmente como:

𝐴21 × 𝑄 = 𝑞

[5x8] × [8x1] = [5x1]

Si analizamos el planteamiento anterior podremos darnos cuenta que:

𝐴21 = [5x8] = [𝑛𝑛 = 5 x 𝑛𝑒 = 8] En general la matriz 𝐴21 será de orden [𝑛𝑛 x 𝑛𝑒], es decir:

𝑛𝑛 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑒 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠

𝑄 = [8x1] = [𝑛𝑒 = 8 x 1] En general la matriz 𝑄 será de orden [𝑛𝑒 x 1], es decir:

𝑛𝑒 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 1 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

𝑞 = [5x1] = [𝑛𝑛 = 5 x 1] En general la matriz 𝑞 será de orden [𝑛𝑛 x 1], es decir:

𝑛𝑛 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 1 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

Las ecuaciones de conservación de energía se separaron en dos bloques de análisis, entonces el

arreglo matricial para estos bloques son los siguientes:

Arreglo matricial para el boque 𝐁𝟏:

Ecuaciones del bloque 𝐁𝟏

Coeficientes de las cotas desconocidas o variables

Coeficientes de las

cotas conocidas ℎ2 ℎ3 ℎ4 ℎ5 ℎ6 ℎ1 ℎ7

(ℎ2 − ℎ1) 1 0 0 0 0 −1 0

(ℎ3 − ℎ2) −1 1 0 0 0 0 0

(ℎ4 − ℎ3) 0 −1 1 0 0 0 0

(ℎ5 − ℎ4) −1 0 0 1 0 0 0

(ℎ5 − ℎ3) 0 −1 0 1 0 0 0

(ℎ6 − ℎ4) 0 0 −1 0 1 0 0

(ℎ6 − ℎ5) 0 0 0 −1 1 0 0

(ℎ6 − ℎ7) 0 0 0 0 1 0 −1

Definamos una matriz de coeficientes 𝐴12, una matriz de variables 𝐻, una matriz de coeficientes

𝐴10, una matriz de constantes 𝐻0 y una matriz de ecuaciones 𝑩𝟏, los cuales son:

𝐴12 =

[ 1−10−10000

01−10−1000

00100−100

000110−10

00000111]

, 𝐻 =

[ ℎ2ℎ3ℎ4ℎ5ℎ6]

, 𝐴10 =

[ −10000000

0000000−1]

, 𝐻0 = [ℎ1ℎ7] y 𝑩𝟏 =

[ ℎ2 − ℎ1ℎ3 − ℎ2ℎ4 − ℎ3ℎ5 − ℎ4ℎ5 − ℎ3ℎ6 − ℎ4ℎ6 − ℎ5ℎ6 − ℎ7]

Entonces el sistema de ecuaciones del bloque 𝐁𝟏 se puede representar como:

𝐴12 × 𝐻 + 𝐴10 × 𝐻0 = 𝑩𝟏

[8x5] × [5x1] + [8x2] × [2x1] = [8x1]

Si analizamos el planteamiento anterior podremos darnos cuenta que:

𝐴12 = [8x5] = [𝑛𝑒 = 8 x 𝑛𝑛 = 5]

En general la matriz 𝐴12 será de orden [𝑛𝑒 x 𝑛𝑛], es decir:

𝑛𝑒 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑛 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙. = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎

𝐴12 = 𝐴21T o 𝐴21 = 𝐴12

T

𝐻 = [5x1] = [𝑛𝑛 = 5 x 1] En general la matriz 𝐻 será de orden [𝑛𝑛 x 1], es decir:

𝑛𝑛 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 1 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

𝐴10 = [8x2] = [𝑛𝑒 = 8 x 𝑛𝑜 = 2] En general la matriz 𝐴10 será de orden [𝑛𝑒 x 𝑛𝑜], es decir:

𝑛𝑒 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙. = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎

𝐻0 = [2x1] = [𝑛𝑜 = 2 x 1] En general la matriz 𝐻0 será de orden [𝑛𝑜 x 1], es decir:

𝑛𝑜 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 1 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

Arreglo matricial para el bloque 𝐁𝟐:

Ecuaciones Del bloque

𝐁𝟐

Coeficientes de las variables que participan en las ecuaciones

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8

𝐾1𝑄1𝑛−1𝑄1 𝐾1𝑄1

𝑛−1 0 0 0 0 0 0 0

𝐾2𝑄2𝑛−1𝑄2 0 𝐾2𝑄2

𝑛−1 0 0 0 0 0 0

𝐾3𝑄3𝑛−1𝑄3 0 0 𝐾3𝑄3

𝑛−1 0 0 0 0 0

𝐾4𝑄4𝑛−1𝑄4 0 0 0 𝐾4𝑄4

𝑛−1 0 0 0 0

𝐾5𝑄5𝑛−1𝑄5 0 0 0 0 𝐾5𝑄5

𝑛−1 0 0 0

𝐾6𝑄6𝑛−1𝑄6 0 0 0 0 0 𝐾6𝑄6

𝑛−1 0 0

𝐾7𝑄7𝑛−1𝑄7 0 0 0 0 0 0 𝐾7𝑄7

𝑛−1 0

𝐾8𝑄8𝑛−1𝑄8 0 0 0 0 0 0 0 𝐾8𝑄8

𝑛−1

Definamos una matriz de coeficientes 𝐴11 y una matriz de ecuaciones 𝑩𝟐, la matriz de variables

𝑄 se definió ya en la representación matricial de las ecuaciones de conservación de masa, estas

son:

𝐴11 =

[ 𝐾1𝑄1

𝑛−1

0000000

0𝐾2𝑄2

𝑛−1

000000

00

𝐾3𝑄3𝑛−1

00000

000

𝐾4𝑄4𝑛−1

0000

0000

𝐾5𝑄5𝑛−1

000

00000

𝐾6𝑄6𝑛−1

00

000000

𝐾7𝑄7𝑛−1

0

0000000

𝐾8𝑄8𝑛−1]

𝑄 =

[ 𝑄1𝑄2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6𝑄7𝑄8]

y 𝑩𝟐 =

[ 𝐾1𝑄1

𝑛−1𝑄1

𝐾2𝑄2𝑛−1𝑄

2

𝐾3𝑄3𝑛−1𝑄

3

𝐾4𝑄4𝑛−1𝑄

4

𝐾5𝑄5𝑛−1𝑄

5

𝐾6𝑄6𝑛−1𝑄

6

𝐾7𝑄7𝑛−1𝑄

7

𝐾8𝑄8𝑛−1𝑄

8]

Entonces el sistema de ecuaciones del bloque 𝐁𝟐 se puede representar como:

𝐴11 ×𝑄 = 𝑩𝟐

[8x8] × [8x1] = [8x1]

Si analizamos el planteamiento anterior podremos darnos cuenta que:

𝐴11 = [8x8] = [𝑛𝑒 = 8 x 𝑛𝑒 = 8]

En general la matriz 𝐴11 será de orden [𝑛𝑒 x 𝑛𝑒], es decir:

𝑛𝑒 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑒 = 𝑛𝑢𝑚. 𝑐𝑜𝑙. = 𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠

Al final vemos que todo el conjunto de ecuaciones encontradas para dar solución a un sistema

de red de distribución, se resume en un conjunto de matrices los cuales se formula en forma

matricial como:

𝑩𝟐+ 𝑩𝟏 = 0

𝐴21 × 𝑄 = 𝑞

Reemplazando:

𝐴11 × 𝑄+ 𝐴12 ×𝐻+ 𝐴10 ×𝐻0 = 0

𝐴21 × 𝑄 = 𝑞

Ordenando y agrupando adecuadamente, tenemos:

𝐴11 × 𝑄+ 𝐴12 ×𝐻

𝐴21 × 𝑄 + 𝐴12 × 𝐻

= −𝐴10 × 𝐻0

= 𝑞

Conservación de la Energía.

Conservación de Masa.

Los sistemas anteriores se pueden representar en forma equivalente de sistema de ecuaciones

lineales, como:

A𝑋 + B𝑌 = −C𝑌0 D𝑋 + E𝑌 = 𝑋0

Donde: A = 𝐴11 = [𝑛𝑒 x 𝑛𝑒]

B = 𝐴12 = [𝑛𝑒 x 𝑛𝑛]

C = 𝐴10 = [𝑛𝑒 x 𝑛𝑜]

D = 𝐴21 = [𝑛𝑛 x 𝑛𝑒]

E = 0 = [𝑛𝑛 x 𝑛𝑛]

𝑋 = 𝑄 = [𝑛𝑒 x 1]

𝑌 = 𝐻 = [𝑛𝑛 x 1]

𝑋0 = 𝑞 = [𝑛𝑛 x 1]

𝑌0 = 𝐻0 = [𝑛𝑜 x 1]

El sistema de ecuaciones anterior se puede representar en forma matricial:

[A BD E

] [𝑋𝑌] = [

−C𝑌0𝑋0

]

Reemplazando, tenemos la representación en forma compacta todas las ecuaciones que rigen

el sistema de red de distribución, así tenemos:

[𝐴11 𝐴12𝐴21 0

] [𝑄𝐻] = [

−𝐴10𝐻0𝑞

]

Al analizar el sistema anterior vemos que, aunque la ecuación de conservación de masa es lineal,

la ecuación de conservación de la energía es no lineal pues el término 𝐴11 por definición

depende de los caudales, entonces la solución directa del sistema compacto de ecuaciones no

será posible por lo que será necesario plantear un proceso iterativo al cual denominaremos

como el Algoritmo del Gradiente.

Para entender mejor las definiciones y procesos empleados en el algoritmo trabajaremos con la

forma equivalente de las ecuaciones compactas es decir con:

[A BD F

] [𝑋𝑌] = [

−C𝑌0𝑋0

] ⟹ A𝑋 + B𝑌 + C𝑌0 = 0 D𝑋 + F𝑌 − 𝑋0 = 0

Donde:

𝑋 = Los caudales desconocidos en los componentes (tuberías), es decir 𝑄.

𝑌 = Las presiones desconocidas en los nudos, es decir 𝐻.

𝑌0 = Las presiones conocidas, es decir 𝐻0.

𝑋0 = Los caudales de demanda conocidos, es decir 𝑞.

A = La matriz diagonal 𝐴11 que contiene los coeficientes de linealización, es decir:

𝐾𝑄𝑛−1 = 𝐾𝑋𝑛−1.

B = La matriz de incidencia topológica o conectividad 𝐴12 de ceros y unos que identifica la conexión entre nudos de un componente en particular.

C = La matriz 𝐴10 que identifica los nudos con presiones conocidas.

D = La matriz 𝐴21 = 𝐴12.

F = La matriz nula 0.

Con lo anterior definamos las funciones 𝐸 y 𝑞:

𝐸(𝑋, 𝑌) = 𝐾𝑋𝑛 + B𝑌 + C𝑌0

𝑞(𝑋, 𝑌) = D𝑋 + F𝑌 − 𝑋0

Sean 𝑋𝑠 y 𝑌𝑠, tales que 𝐸(𝑋𝑠, 𝑌𝑠) = 0 y 𝑞(𝑋𝑠, 𝑌𝑠) = 0, entonces 𝑋𝑠 y 𝑌𝑠 son las soluciones

buscadas las cuales no conocemos, pero si podemos conocer 𝑋𝑖 = 𝑋𝑠 + 𝑑𝑋 y 𝑌𝑖 = 𝑌𝑠 + 𝑑𝑌, al

analizar lo anterior vemos que las soluciones 𝑋𝑠 y 𝑌𝑠 han tenido un incremento 𝑑𝑋 y 𝑑𝑌

respectivamente por lo que también 𝐸(𝑋𝑠, 𝑌𝑠) y 𝑞(𝑋𝑠, 𝑌𝑠) tendrán un incremento 𝑑𝐸 y 𝑑𝑞

respectivamente, entonces:

𝐸(𝑋𝑠, 𝑌𝑠) + 𝑑𝐸 = 𝐾(𝑋𝑠 + 𝑑𝑋)𝑛 + B(𝑌𝑠 + 𝑑𝑌) + C𝑌0

𝑞(𝑋𝑠, 𝑌𝑠) + 𝑑𝑌 = D(𝑋𝑠 + 𝑑𝑋) + F(𝑌𝑠 + 𝑑𝑌) − 𝑋0

Reemplazando tenemos:

𝑑𝐸 = 𝐾𝑋𝑖𝑛 + B𝑌𝑖 + C𝑌0

𝑑𝑞 = D𝑋𝑖 + F𝑌𝑖 − 𝑋0

Ahora busquemos una relación entre estos incrementos:

𝑓1 = 𝐾𝑋𝑛

𝑓2 = B𝑌 + C𝑌0 𝑓3 = D𝑋 − 𝑋0 𝑓4 = F𝑌

⟹

𝑑𝑓1 = 𝑛𝐾𝑋𝑛−1𝑑𝑋 = 𝑛A𝑑𝑋

𝑑𝑓2 = B𝑑𝑌 𝑑𝑓3 = D𝑑𝑋 𝑑𝑓4 = F𝑑𝑌

Donde:

𝐸(𝑋, 𝑌) = 𝐸 = 𝑓1 + 𝑓2 𝑞(𝑋, 𝑌) = 𝑞 = 𝑓3 + 𝑓4

⟹ 𝑑𝐸 = 𝑑(𝑓1 + 𝑓2) 𝑑𝑞 = 𝑑(𝑓3 + 𝑓4)

⟹ 𝑑𝐸 = 𝑑𝑓1 + 𝑑𝑓2 𝑑𝑞 = 𝑑𝑓3 + 𝑑𝑓4

Entonces, reemplazando tenemos:

𝑑𝐸 𝑑𝑞

= 𝑛A𝑑𝑋 + B𝑑𝑌 = D𝑑𝑋 + F𝑑𝑌

En forma matricial el sistema anterior se resume en:

[𝑛A BD F

] [𝑑𝑋𝑑𝑌] = [

𝑑𝐸𝑑𝑞] ⟹ [

𝑑𝑋𝑑𝑌] = [

𝑛A BD F

]−1

[𝑑𝐸𝑑𝑞]

Analizando todo lo anterior nos damos cuenta que, puesto que no conocemos 𝑑𝑋 y 𝑑𝑌 y en

consecuencia tampoco conocemos 𝑑𝐸 y 𝑑𝑞 por lo que las soluciones 𝑋𝑠 y 𝑌𝑠 no podrán ser

calculadas, pero si conocemos 𝑋𝑖 y 𝑌𝑖 pues son valores arbitrarios que nosotros suponemos

Definamos lo siguiente:

𝑑𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋𝑖+1 ⟹ 𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 − 𝑑𝑋𝑖

Para tal caso:

𝑑𝑋𝑖 → 0 ⟹ 𝑋𝑖+1 → 𝑋𝑖

De la definición de 𝑋𝑖 tenemos:

𝑋𝑖 = 𝑋𝑠 + 𝑑𝑋

Para tal caso:

𝑑𝑋 → 0 ⟹ 𝑋𝑖 → 𝑋𝑠

Entonces de ambos casos concluimos que:

𝑑𝑋𝑖 → 0 ⟹ 𝑋𝑖+1 → 𝑋𝑠

𝑑𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖+1 ⟹ 𝑌𝑖+1 = 𝑌𝑖 − 𝑑𝑌𝑖

Para tal caso:

𝑑𝑌𝑖 → 0 ⟹ 𝑌𝑖+1 → 𝑌𝑖

De la definición de 𝑌𝑖 tenemos:

𝑌𝑖 = 𝑌𝑠 + 𝑑𝑌

Para tal caso:

𝑑𝑌 → 0 ⟹ 𝑌𝑖 → 𝑌𝑠

Entonces de ambos casos concluimos que:

𝑑𝑌𝑖 → 0 ⟹ 𝑌𝑖+1 → 𝑌𝑠

El análisis anterior nos dice que para dar solución a las ecuaciones debemos asegurar y

demostrar la convergencia de 𝑑𝑋𝑖 y 𝑑𝑌𝑖 , la demostración de dicha convergencia se le deja al

lector como reto para lo cual se le recomienda revisar métodos de optimización de funciones,

en este caso en especial el método del gradiente conjugado, además de demostrar que la

función de la energía es monótona y creciente y la definición adecuada de la función objetivo.

Una vez asegurada la convergencia de los incrementos de las variables, entonces podemos

realizar un proceso iterativo como sigue:

1er Paso: Damos valores iniciales 𝑋𝑖 y 𝑌𝑖 .

2do Paso: Calculamos 𝑑𝐸𝑖 y 𝑑𝑞𝑖 con los valores iniciales.

3er Paso: Calculamos los incrementos 𝑑𝑋𝑖 y 𝑑𝑌𝑖.

4to Paso: Calculamos los nuevos valores 𝑋𝑖+1 y 𝑌𝑖+1.

5to Paso: Repetimos los cálculos para estos nuevos valores calculados es decir, hacemos que 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖+1 y 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖+1, hasta que los incrementos 𝑑𝑋𝑖 y 𝑑𝑌𝑖 converjan hasta cero.

El proceso anterior permitirá llegar a una solución siempre y cuando la convergencia de 𝑑𝑋𝑖 y

𝑑𝑌𝑖 se halla asegurado, ahora apliquemos hasta analogía al conjunto de ecuaciones que se

defino con la matriz compacta, así tenemos:

Matriz compacta de ecuaciones que representan al sistema estudiado:

[𝐴11 𝐴12𝐴21 0

] [𝑄𝐻] = [

−𝐴10𝐻0𝑞

]

Diferenciando el sistema anterior tenemos:

[𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

] [𝑑𝑄𝑑𝐻] = [

𝑑𝐸𝑑𝑞]

Donde 𝑁 representa en forma matricial a 𝑛, es decir 𝑁 es una matriz diagonal de orden [𝑛𝑒 x 𝑛𝑒]

puesto que 𝐴11 también es una matriz de orden [𝑛𝑒 x 𝑛𝑒] (esto debido al requisito de multiplicación

de matrices); los elementos de la matriz diagonal 𝑁 son iguales a 𝑛, ejemplo para el sistema de red

de distribución estudiado al principio tenemos que:

𝑁 =

[ 𝑛0000000

0𝑛000000

00𝑛00000

000𝑛0000

0000𝑛000

00000𝑛00

000000𝑛0

0000000𝑛]

Donde el valor de 𝑛 dependerá de la ecuación utilizada para el cálculo de perdidas debido a la

fricción.

DARCY - WEISBACH HAZEN - WILLIAMS CHEZZY - MANNING

𝑛 = 2 𝑛 = 1.852 𝑛 = 2

Resolviendo la matriz diferenciada tenemos que:

[𝑑𝑄𝑑𝐻] = [

𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

]−1

[𝑑𝐸𝑑𝑞]

El problema ahora es calcular la inversa de la matriz compacta para lo cual procedemos de la

siguiente manera:

[𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

]−1

= [B11 B12B21 B22

]

⟹

[𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

] [B11 B12B21 B22

] = [I 00 I

] o [B11 B12B21 B22

] [𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

] = [I 00 I

]

Donde I es una matriz identidad.

Para la primera igualdad tenemos:

[𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

] [B11 B12B21 B22

] = [𝑁𝐴11B11 + 𝐴12B21 𝑁𝐴11B12 + 𝐴12B22𝐴21B11 + 0 × B21 𝐴21B12 + 0 × B22

] = [I 00 I

]

Entonces si la igualdad es verdadera se debe cumplir que:

Igualdad con matrices 𝐁𝟏𝟏 y 𝐁𝟐𝟏 Igualdad con matrices 𝐁𝟏𝟐 y 𝐁𝟐𝟐

𝑁𝐴11B11 + 𝐴12B21 = I … (1) 𝑁𝐴11B12 + 𝐴12B22 = 0 … (3)

𝐴21B11 + 0 × B21 = 0 … (2) 𝐴21B12 + 0 × B22 = I … (4)

Para las igualdades en las que las matrices B11 y B21 son desconocidas, tenemos:

Multiplicando a (1) por (𝑁𝐴11)−1

(𝑁𝐴11)−1 × (𝑁𝐴11B11) + (𝑁𝐴11)

−1 × (𝐴12B21)

((𝑁𝐴11)−1 ×𝑁𝐴11) × B11 + (𝑁𝐴11)

−1 × (𝐴12B21)

I × B11 + (𝑁𝐴11)−1 × (𝐴12B21)

𝐁𝟏𝟏 + ((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × 𝐁𝟐𝟏

= (𝑁𝐴11)−1 × I

= (𝑁𝐴11)−1

= (𝑁𝐴11)−1

= (𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 … (𝟏. 𝟏)

Multiplicando a (2) por −(𝐴21)−1

(−(𝐴21)−1) × (𝐴21B11) + (−(𝐴21)

−1) × (0 × B21)

(−(𝐴21)−1 × 𝐴21) × B11 + (−(𝐴21)

−1 × 0) × B21

−I × B11 + 0 × B21

−𝐁𝟏𝟏 + 𝟎 × 𝐁𝟐𝟏

= (−(𝐴21)−1) × 0

= 0

= 0

= 𝟎 … (𝟐. 𝟏)

Sumando (1.1) y (2.1) tenemos

B11 + ((𝑁𝐴11)−1 × 𝐴12) × B21 = (𝑁𝐴11)

−1 +

−B11 + 0 × B21 = 0

((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × 𝐁𝟐𝟏 + 𝟎 × 𝐁𝟐𝟏 = (𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏 … (𝜶)

De 𝛼 tenemos:

((𝑁𝐴11)−1 × 𝐴12 + 0) × B21

((𝑁𝐴11)−1 × 𝐴12) × B21

= (𝑁𝐴11)−1

= (𝑁𝐴11)−1

∴ 𝐁𝟐𝟏 = ((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)

−𝟏× (𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏

De la igualdad (1) tenemos:

𝑁𝐴11B11 + 𝐴12B21

𝑁𝐴11B11

((𝑁𝐴11)−1 × 𝑁𝐴11) × B11

𝐁𝟏𝟏

= I

= I − 𝐴12B21

= (𝑁𝐴11)−1 × (I − 𝐴12B21)

= (𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × (𝐈 − 𝑨𝟏𝟐𝐁𝟐𝟏)… (𝜷)

Reemplazando B21 en (𝛽) tenemos:

∴ 𝐁𝟏𝟏 = (𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 − ((𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × (((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)

−𝟏× (𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏)

Para las igualdades en las que las matrices B12 y B22 son desconocidas, tenemos:

Multiplicando a (3) por (𝑁𝐴11)−1

(𝑁𝐴11)−1 × (𝑁𝐴11B12) + (𝑁𝐴11)

−1 × (𝐴12B22)

((𝑁𝐴11)−1 ×𝑁𝐴11) × B12 + (𝑁𝐴11)

−1 × (𝐴12B22)

I × B12 + (𝑁𝐴11)−1 × (𝐴12B22)

𝐁𝟏𝟐 + ((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × 𝐁𝟐𝟐

= (𝑁𝐴11)−1 × 0

= 0

= 0

= 𝟎 … (𝟑. 𝟏)

Multiplicando a (4) por −(𝐴21)−1

( −(𝐴21)−1) × (𝐴21B12) + ( −(𝐴21)

−1) × (0 × B22)

(−(𝐴21)−1 × 𝐴21) × B12 + (−(𝐴21)

−1 × 0) × B22

−I × B12 + 0 × B22

−𝐁𝟏𝟐 + 0 × B22

= ( −(𝐴21)−1) × I

= −(𝐴21)−1

= −(𝐴21)−1

= −(𝑨𝟐𝟏)−𝟏 … (𝟒. 𝟏)

Sumando (3.1) y (4.1) tenemos

B12 + ((𝑁𝐴11)−1 × 𝐴12) × B22 = 0

+ −B12 + 0 × B22 = −(𝐴21)

−1

((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × 𝐁𝟐𝟐 + 𝟎 × 𝐁𝟐𝟐 = −(𝑨𝟐𝟏)

−𝟏 … (𝜸)

De 𝛾 tenemos:

((𝑁𝐴11)−1 × 𝐴12 + 0) × B22

((𝑁𝐴11)−1 × 𝐴12) × B22

= −(𝐴21)−1

= −(𝐴21)−1

∴ 𝐁𝟐𝟐 = −((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)

−𝟏× (𝑨𝟐𝟏)

−𝟏

De la igualdad (3) tenemos:

𝑁𝐴11B12 + 𝐴12B22

𝑁𝐴11B12

((𝑁𝐴11)−1 × 𝑁𝐴11) × B12

𝐁𝟏𝟐

= 0

= 0 − 𝐴12B22

= (𝑁𝐴11)−1 × (0 − 𝐴12B22)

= −(𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × (𝑨𝟏𝟐𝐁𝟐𝟐)… (𝜽)

Reemplazando B22 en (𝜃) tenemos:

∴ 𝐁𝟏𝟐 = ((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × (((𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)−𝟏× (𝑨𝟐𝟏)

−𝟏)

Resumiendo:

𝐁𝟏𝟏 = (𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 − ((𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × (((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)

−𝟏× (𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏)

𝐁𝟏𝟐 = ((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐) × (((𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)−𝟏× (𝑨𝟐𝟏)

−𝟏)

𝐁𝟐𝟏 = ((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)

−𝟏× (𝑵𝑨𝟏𝟏)

−𝟏

𝐁𝟐𝟐 = −((𝑵𝑨𝟏𝟏)−𝟏 × 𝑨𝟏𝟐)

−𝟏× (𝑨𝟐𝟏)

−𝟏

Dando solución a:

[𝑑𝑄𝑑𝐻] = [

𝑁𝐴11 𝐴12𝐴21 0

]−1

[𝑑𝐸𝑑𝑞] = [

B11 B12B21 B22

] [𝑑𝐸𝑑𝑞]

Obtenemos:

𝑑𝑄 = B11𝑑𝐸 + B12𝑑𝑞

𝑑𝐻 = B21𝑑𝐸 + B22𝑑𝑞