00000 problema de los depositos
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Cálculo hidráulico de una red de distribución abierta abastecida por un sistema
de depósito.
En la figura se muestra una red de tuberías abiertas que transportan agua desde el
reservorio de almacenamiento A hasta los reservorios de servicios B, C y D, con un
caudal de salida en el nodo j.
Fig. Red de tuberías abierta. Problema de los depósitos
HIDRAULICA DE TUBERIAS
RED DE TUBERIAS ABIERTA. PROBLEMA DE LOS DEPOSITOS
Si es la carga piezometrica en el nodo j, la perdida de carga a lo largo de cada
tubería puede expresarse en términos de la diferencia entre y la altura piezometrica
en el otro extremo.
| | (Darcy Weisbach)
| |
(Hazen Williams)
(
) (
)
(
)
Donde I es igual al número de tuberías acopladas al sistema y signo indica que la
diferencia de altura piezométrica puede ser positiva o negativa donde es necesario
adoptar un criterio para definir el sentido del caudal o sea si el flujo es hacia el nodo, el
caudal es positivo y en caso contrario será negativo. El valor de debe incluir tanto
perdidas por fricción como perdidas locales.
La ecuación de continuidad en el nodo j establece que:
∑
Al determinar los caudales en cada tramo por las ecuaciones anteriores en
dependencia del valor correcto, estos dependerá cumplir la ecuación de continuidad,
si no es así se tendrá que corregir o proponerle un nuevo Z, para volver a calcular lo
que induce a un proceso iterativo.
Determinemos el valor de corrección de la altura piezométrica del nodo , que
aumentara a disminuirá las pérdidas de carga en un , o sea (por Darcy Weisbach).
(
)
HIDRAULICA DE TUBERIAS
(
)
[( )
(
)
]
Despreciando los términos , resulta.
(
)
[( )
(
)
]
Tomando la sumatoria de los caudales de los tramos introduciéndolo en la
ecuación de continuidad.
∑(
)
[( )
]
∑(
)
∑(
( )(
))
Multiplicando por ( )
, obtenemos.
∑(
)
∑(
( )(
))
∑
∑(
)
(
)
∑
∑ (
)
De la figura anterior se observa que para un aumento de perdidas correspondientes
a una disminución de o sea .
Según Darcy Weisbach:
(∑ )
∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Según Hazen Williams:
(∑
)
∑
Las ecuaciones anteriores dan las correcciones que deben aplicarse a cuando
no satisface la ecuación de continuidad en el nodo j.
Procedimientos de cálculo según Darcy Weisbach
1- Se supone un valor inicial de
2- Se calculan las pérdidas de cargas de cada tubería, según.
El signo determina el sentido de la circulación.
3- Utilizando el valor absoluto de las pérdidas para cada tubería se calculan los
valores siguientes.
√ √
Con este valor, nos introducimos en la ecuación de Coolebrook y determinamos el
valor del coeficiente de fricción.
√ (
√ )
4- Se calcula los caudales de cada tubería y considerando los signos se introducen
en la ecuación de continuidad en el nodo.
5- El no se satisface la ecuación de continuidad, se calcula la corrección de la atura
piezométrica del nodo j, o sea y se determina un nuevo Z, mediante la
expresión.
( ) ( )
Regresando al paso dos y repitiendo la secuencia de los pasos de ahí en adelante.
HIDRAULICA DE TUBERIAS
En la práctica no es necesaria una gran exactitud en el cumplimiento de la
ecuación de continuidad, pudiendo admitirse un error del orden del 5%.
Ejemplo:
Determínese el caudal en las tuberías de la figura anterior, despreciando las
perdidas locales. La viscosidad cinemática del agua es en el nodo j no se
hace entrega de agua . La rugosidad absoluta para todas las tuberías
Tubería L(m) D(cm) Nodo Z(m)
10000 45 A 200
2000 35 B 120
3000 30 C 100
300 25 D 75
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Para facilitar el proceso iterativo, nos auxiliaremos de la siguiente tabla de formulas
√
√ (
)
√ ( (
)
)
√ (
√ )
√ (
)
Tabla de Formulas
Tubería Hp Reyn.
*√
Rugosidad/D
K
√ 448230*Lanmda
√ 314960*Lanmda
√ 102113*Lanmda
√ 254069*Lanmda
HIDRAULICA DE TUBERIAS
(
)
√
√
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteraciones del problema de los depósitos según Darcy-Weisbach
Tabla de cálculos
Iteración II
∑
∑
Iteración I ZJ= 150m
Tubo Cota L(m) D(cm) NR K
AJ 200 50.00 10000 45 0.06 1.33* 1* 9.45* 0.01443 646.25 0.278 0.00556
BJ 120 -30.00 2000 35 0.06 1.71* 1* 1.12* 0.0147 462.95 -0.255 0.00849
CJ 100 -50.00 3000 30 0.06 2.00* 1* 9.40* 0.01522 1553.01 -0.179 0.00359
DJ 75 -75.00 300 25 0.06 2.40* 1* 8.75* 0.01571 3987.63 -0.137 0.00183
∑ ∑
Nota: Se realizan los mismos
procedimientos en las siguiente
iteraciones hasta lograr Q=0.00
un
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración III
Iteración II ZJ= 119.90m
Tubo Cota L(m) D(cm) NR K
AJ 200 80.10 10000 45 0.06 1.33* 1* 1.20* 0.01418 633.97 0.355 0.00444
BJ 120 0.10 2000 35 0.06 1.71* 1* 0.02248 707.38 0.012 0.11744
CJ 100 -19.90 3000 30 0.06 2.00* 1* 0.01581 1618.01 -0.111 0.00558
DJ 75 -44.90 300 25 0.06 2.40* 1* 0.01600 4062.48 -0.105 0.00234
∑ ∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración IV
Iteración III ZJ= 122.23
Tubo Cota L(m) D(cm) NR K
AJ 200 77.77 10000 45 0.06 1.33* 1* 1.18* 0.01417 634.66 0.350 0.00450
BJ 120 -2.23 2000 35 0.06 1.71* 1* 3.06 0.01884 529.78 -0.065 0.02910
CJ 100 -22.23 3000 30 0.06 2.00* 1* 0.01573 1604.68 -0.118 0.00529
DJ 75 -47.23 300 25 0.06 2.40* 1* 0.01597 4054.42 -0.108 0.00229
∑ ∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración V
Iteración IV ZJ= 125.12
Tubo Cota L(m) D(cm) NR K
AJ 200 74.88 10000 45 0.06 1.33* 1* 1.16* 0.01419 635.60 0.343 0.00458
BJ 120 -5.12 2000 35 0.06 1.71* 1* 4.64 0.0159 501.94 -0.101 0.01972
CJ 100 -25.12 3000 30 0.06 2.00* 1* 0.0564 1595.86 -0.125 0.00499
DJ 75 -50.12 300 25 0.06 2.40* 1* 0.01594 4045.15 -0.111 0.00222
∑ ∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración V ZJ=125.47
Tubo Cota L(m) D(cm) NR K
AJ 200 74.53 10000 45 0.06 1.33* 1* 1.15* 0.01420 635.71 0.342 0.00459
BJ 120 -5.47 2000 35 0.06 1.71* 1* 4.80 0.01589 500.04 -0.105 0.01913
CJ 100 -25.47 3000 30 0.06 2.00* 1* 0.01584 1594.90 -0.126 0.00496
DJ 75 -50.47 300 25 0.06 2.40* 1* 0.01593 4044.10 -0.112 0.00221
∑ ∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Procedimientos del cálculo según Hazen Williams
Para el caso de la red de la figura anterior el procedimiento no difiere mucho con
Hazen Williams.
1- Se supone un valor inicial de
2- Se calculan las pérdidas de carga de cada tubería, según el signo determine el
sentido de la circulación.
3- Utilizando el valor absoluto de las pérdidas para cada tubería se calculan los
valores siguientes.
(
)
4- Se calcula los caudales de cada tubería y considerando los signos se introducen
en la ecuación de continuidad en el nodo.
5- Si no se satisface la ecuación de continuidad, se calcula la corrección de la
altura piezométrica del nodo j o sea y se determina el nuevo mediante la
expresión.
( ) ( )
Regresando al paso (2) y repitiendo la secuencia de pasos de ahí en adelante.
La ventaja del uso de la fórmula de Hazen Williams estriba en el hecho que los
valores de K son constante en todo el problema.
HIDRAULICA DE TUBERIAS
EJEMPLO:
Resuelva el ejemplo anterior según Hazen Williams con C= 100 para todas las
tuberías
HIDRAULICA DE TUBERIAS
(
)
(
)
(
)
(
)
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteraciones del problema de los depósitos según Hazen Williams
Iteración I =150
TUBO Cota L(m) D(cm) C K /hp
AJ 200 50 10000 45 100 1030.43 0.1952 0.00390
BJ 120 -30 2000 35 100 700.78 -0.1824 0.00608
CJ 100 -50 3000 30 100 2226.92 -0.1287 0.00257
DJ 75 -75 3000 25 100 5411.50 -0.0992 0.00132
∑ ∑
Iteración II
(∑
)
∑
Nota: Se realizan los mismos procedimientos en las
siguiente iteraciones hasta lograr un
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración II =121.29
TUBO Cota L(m) D(cm) C K /hp
AJ 200 78.71 10000 45 100 1030.43 0.2494 0.00317
BJ 120 -1.29 2000 35 100 700.78 -0.0334 0.02584
CJ 100 -21.29 3000 30 100 2226.92 -0.0812 0.00381
DJ 75 -46.29 3000 25 100 5411.50 -0.0765 0.00165
∑ ∑
Iteración III
Iteración III =121.29
TUBO C
ota
L(m) D(cm) C K /hp
AJ 200 75.57 10000 45 100 1030.43 0.2439 0.00323
BJ 120 -4.43 2000 35 100 700.78 -0.0649 0.01466
CJ 100 -24.43 3000 30 100 2226.92 -0.0874 0.00358
DJ 75 -49.43 3000 25 100 5411.50 -0.0792 0.00160
HIDRAULICA DE TUBERIAS
∑ ∑
Iteración IV
Iteración IV
TUBO Cota L(m) D(cm) C K /hp
AJ 200 74.512 10000 45 100 1030.43 0.2422 0.00325
BJ 120 -5.42 2000 35 100 700.78 -0.0724 0.01336
CJ 100 -25.42 3000 30 100 2226.92 -0.0893 0.00351
DJ 75 -50.42 3000 25 100 5411.50 -0.0801 0.00159
∑ ∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración V
Iteración V
TUBO Cota L(m) D(cm) C K /hp
AJ 200 74.55 10000 45 100 1030.43 0.2421 0.00325
BJ 120 -5.45 2000 35 100 700.78 -0.0727 0.01332
CJ 100 -25.45 3000 30 100 2226.92 -0.0694 0.00351
DJ 75 -50.45 3000 25 100 5411.50 -0.0601 0.00159
∑ ∑
HIDRAULICA DE TUBERIAS
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Otros tipos de redes abiertas
El procedimiento anterior se aplico a un nodo de confluencia de tuberías, sin embargo hay casos que pueden
concurrir en varios de nodos de confluencia donde se puede llegar con solo suponer valores de las alturas piezométricas
en unos de estos nodos.
Veamos como suponiendo dos nodos de confluencia son j y k donde . Las características de las elevaciones
de los depósitos serian como se muestra en la figura. En estos casos puede ocurrir que la
convergencia del proceso hacia la solución sea muy lenta, dándose así a una secuencia larga y tediosa de cálculos. Por
esta razón a veces es preferible eliminar el aspecto de las correcciones y dejar que el propio analista determine, a su
juicio, la secuencia de los valore de la cota piezométricas que van hacer ensayada. Después de tres iteraciones y con el
auxilio de un grafico es posible llegar a la solución.
Veamos el siguiente ejemplo.
Red ramificada con dos nodos de confluencia
Determine los caudales de cada ramal de la red mostrada en la figura, asiendo uso de la formula de Hazen Williams.
Los datos del problema son:
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Tubería L(m) D(cm) C Nodo Z(m)
AJ 8000 25 75 A 150
BJ 4000 25 75 B 100
JK 2000 35 30 C 75
KC 3000 20 100 D 50
KD 4000 20 100
Solución
Para las iteraciones se selecciona el nodo j para con su cota piezométricas y se calculan las perdidas y los
caudales en las tuberías que se obtienen la confluencia (en las tuberías ) y por continuidad se obtiene el caudal
entre los nodos de confluencia, ósea se calcula la perdida de la misma y se determina la cota piezometrica del nodo
de confluencia , con esta cota es posible establecer las perdidas en las tuberías KC y KD y sus caudales
correspondientes. Si relaciona un valor correcto de la cota piezométricas en el nodo J entonces el nodo F deberá
satisfacer la ecuación de continuidad, de lo contrario se elegirá otro valor de y repetir el proceso. Obteniendo valores de
que no cumplen la ecuación de continuidad en el nodo K creando así discrepancia podemos llegar a una solución con
la ayuda de un grafico que en las ordenadas se colocaran los valores de y en las abscisas las discrepancias y por
interpolación o extrapolación obtendremos un valor de que la discrepancia se aproxime a cero.
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteraciones del problema de los depósitos según Hazen Williams
Iteración I =90
TUBO Cota L(m) D(cm) C K V(m/s)
AJ 150 60 8000 25 75 24585.16 0.0388 0.79
BJ 100 10 4000 25 75 12292.58 0.0215 0.44
JK 85 4.89 2000 35 90 851.78 0.0603 0.63
KC 75 -10.31 3000 20 100 18042.41 -0.0189 0.60
KD 50 -35.31 4000 20 100 21389.88 -0.0314 1.00
HIDRAULICA DE TUBERIAS
Iteración II =95m
TUB COT
hp L(m) D(cm) C K Q V(m/s)
AJ 150 55 8000 25 75 24585.16 0.0371 0.75
BJ 100 5 4000 25 75 12292.58 0.0148 0.30
JK 91 3.54 2000 35 90 851.78 0.0518 0.54
KC 75 -16.48 3000 20 100 16042.41 -0.0243 0.77
KD 50 -41.46 4000 20 100 21389.88 -0.0343 1.09
Iteración III =93m
TUB COT hp L(m) D(cm) C K Q V(m/s)
AJ 150 57 8000 25 75 24585.16 0.0378 0.77
BJ 100 7 4000 25 75 12292.58 0.0177 0.36
JK 91 4.02 2000 35 90 851.78 0.0555 0.58
KC 75 -13.96 3000 20 100 16042.41 -0.0223 0.71
KD 50 -38.98 4000 20 100 21389.88 -0.0332 1.06
HIDRAULICA DE TUBERIAS
HIDRAULICA DE TUBERIAS