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1 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR

LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (LPO)

Prof. Cesar Augusto Tacla UTFPR/Campus Curitiba

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR


LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

▪ Linguagem possui três elementos principais:

▪ Sintaxe: alfabeto e gramática

▪ define um conjunto de fórmulas bem formadas (well-formed formulas- wffs)

▪ Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de

modelo, contexto e avaliação de fórmulas

▪ Pragmática: uso (efeito no interlocutor)

▪ Ex. Tem alguém atrás de você!

▪ Pode ser um alerta ou um pedido para deixar o caminho livre para alguém que

quer passar


LPO: EXPRESSIVIDADE

Limite de expressividade da LÓGICA PROPOSICIONAL: proposições são atômicas, embora seja possível representar sentenças como a que está abaixo, falta refinamento para definir os quantificadores: Todo estudante é mais novo que pelo menos um professor. A frase diz respeito à: ser estudante; ser professor; ser mais jovem do que alguém


LPO: EXPRESSIVIDADE

Predicados são utilizados para representar as categorias dos objetos (estudante, professor) e também a relação de ser mais jovem que. Exemplos de predicados E(paulo) Paulo é estudante P(josé) José é professor J(paulo, josé) Paulo é mais jovem que José


LPO: EXPRESSIVIDADE

Objetos e constantes: paulo e josé são objetos do domínio. Constantes representam objetos do domínio. E(paulo) // paulo designa um objeto P(josé) // josé também é um objeto J(paulo, josé) Importante – em LPO: toda constante nomeia um objeto nenhuma constante pode nomear mais de um objeto um objeto pode ter mais de um nome ou não ter nome


LPO: EXPRESSIVIDADE

Podemos falar dos particulares utilizando constantes, mas podemos tratá-los de forma geral com variáveis. Caso contrário, ficaríamos muito perto da LP. Variáveis: ocupam os lugares dos objetos para que possamos construir fórmulas genéricas. Exemplos de predicados com variáveis: E(X) X é estudante P(Y) Y é professor J (X, Y) X é mais jovem que Y Esta formulação genérica, pode ter diferentes instanciações: X=joão, Y=pedro, …


LPO: EXPRESSIVIDADE

Quantificadores: ainda não conseguimos representar com o grau de refinamento nosso exemplo inicial. Para tanto, gostaríamos de representar a quais particulares uma sentença diz respeito: se a todos os particulares ou se um ou mais. Os quantificadores permitem expressar, ainda que de maneira grosseira, algo sobre a quantidade dos particulares que satisfazem alguma condição.


LPO: EXPRESSIVIDADE


SINTAXE



SINTAXE

▪ A sintaxe de uma linguagem é definida por:

▪ Alfabeto: São os símbolos lógicos e não lógicos

▪ Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação

▪ Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo

modelador.

▪ Gramática: regras para geração de fórmulas bem-formadas

alfabeto

Símbolos

lógicos

Símbolos

não-lógicos

pontuação

conectivos

variáveis

predicados

funções Constantes

(caso especial = aridade zero)

proposição

(caso especial = aridade zero)

( ) , . [ ]

=

x, y, z


SINTAXE: EXEMPLO

A

1

C

3

B

2

D

4

exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun

Mundo composto por peças.

Quais são os objetos?


SINTAXE: EXEMPLO

OBJETOS DO DOMÍNIO

A

1

2

B

2

C

3

D

4

São objetos: as próprias peças, mas também podem ser objetos os números e as

letras. Desta forma, as peças são objetos complexos formados por objetos menores.


SINTAXE: ALFABETO

▪ Símbolos de função (não-lógicos) ▪ Funções mapeiam objetos para objetos

▪ Constantes são funções de aridade-zero; duas constantes

diferentes podem corresponder ao mesmo objeto

▪ Uma função representa UM OBJETO.

A

1

C

3

B

2

D

4

Constantes

a

b

a1

dois

função

numDaPeça(X)

a 1

a1 1

b 2

1


SINTAXE: ALFABETO

▪ Símbolos de predicados

(não lógicos)

▪ Um predicado representa uma

RELAÇÃO entre objetos.

▪ Predicados binários (diádicos)

acima(X, Y)

▪ Predicados unários (monádicos)

vogal(X) = {A}

peça(X) = { , , , }

A

1

2

B

2

C

3

D

4

peça vogal

acima


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ TERMOS

▪ Toda variável é um termo

▪ Toda constante é um termo

▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0,

então f(t1, ..., tn) é um termo

▪ Nada mais é um termo.

Termos designam objetos do domínio.

Termos não tem valor-verdade


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ Exemplos de termos

▪ X é uma variável e, portanto, um termo ▪ Ex. no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro

▪ a é uma constante e, portanto, um termo ▪ Ex. no domíno das vogais, o símbolo ‘a’ pode denotar a vogal a

▪ éPaiDe(X) é uma função e, portanto, um termo ▪ é uma função de aridade 1

▪ Ex. denota o pai de X que pode ser qualquer objeto no domínio família

▪ éPaiDe(éMãeDe(X)) “avô materno de x” ▪ termos aninhados

▪ éMãeDe(X) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1

▪ éPaiDe(o1) denota o objeto que é pai de o1


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ FÓRMULAS

1. F é o conjunto de símbolos funcionais e P, de predicados

2. Se t1, ..., tn são termos sobre F e P P é um símbolo de predicado de

aridade n > 0, então P(t1, ..., tn) é uma fórmula

3. Se α é uma fórmula então (α) também é.

4. Se α e β são fórmulas, então (α β), (α β) e (α β) também são.

5. Se α é uma fórmula e x é uma variável então (xα) e (xα) são

fórmulas

6. Nada mais é uma fórmula.


SINTAXE: GRAMÁTICA

EXEMPLOS E CONTRA-EXEMPLOS DE FÓRMULAS

paiDe(Y) é um termo (é uma função sobre F) – portanto, não é fórmula.

inteligente(paiDe(x)) é uma fórmula pela regra 2: P(t1)

(x inteligente(paiDe(x))) é uma fórmula pela regra (xα)

α é uma fórmula pela regra P(t1(t2))


SINTAXE: GRAMÁTICA

GRAMÁTICA em Backus-Naur Form (BNF) t:= x | c | f(t, …, t)

t é um termo

x qualquer símbolo de variável permitido pela linguagem

c qualquer símbolo do conjunto de símbolos funcionais 0-ário (constantes)

f qualquer símbolo do conjunto F de símbolos funcionais n-ário(s) com n > 0

α ::= P(t1, …, tn) | (α) | (α α) | (α α) | (α α) |(xα) | (xα)

α é uma fórmula

P é qualquer símbolo de predicado n-ário com n >= 0 de P

ti são termos sobre de F

x é uma variável


BNF: Árvore de análise dos quantificadores e conectivos lógicos

x((P(x) Q(x)) S(x, y))

x

P Q

S

x x

y x


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ ESCOPO DOS QUANTIFICADORES

▪ Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores

▪ Variáveis aparentes (bounded): estão no escopo dos quantificadores

(P(x) (y (x(P(y) Q(x)))))


ESCOPO DOS QUANTIFICADORES

IMPORTANTE: embora uma variável possa ser livre e presa ao mesmo tempo, suas

ocorrências ou são livres ou são presas (exclusivamente).

(x (P(x) Q(x)) (P(x) Q(y))

x

P Q

x x

y

P

x

Q

Em azul, ocorrências livres das variáveis x e y


SINTAXE: GRAMÁTICA

SENTENÇA OU FÓRMULA FECHADA

É uma fórmula bem formada sem variáveis livres.

Possui valor-verdade.

Variáveis livres representam qualquer objeto do domínio (de forma arbitrária). Deste modo, o valor-

verdade de uma fórmula com variável livre pode variar de acordo com o objeto que a variável livre

designar.


TIPOS DE FÓRMULAS EM LPO

▪ Fórmula-bem-formada (FBF) atômica ▪ É um predicado com somente com variáveis livres.

▪ Ex.: Par(x)

▪ FBF predicativa ▪ Fórmula onde há variáveis que ocorrem livres.

▪ Ex.: x (Par(x)) Ímpar(x)

▪ Sentença ▪ é uma FBF predicativa se todas as ocorrências de variáveis não forem livres.

▪ Possui valor-verdade.

▪ Ex. x (Par(x) Ímpar(x))


FÓRMULAS EM LPO

Prioridade dos quantificadores e conectivos lógicos

1.

2.

3.

4. (associativa à esquerda)

5. (associativa à esquerda)

6. que é associativa à direita


SEMÂNTICA



SEMÂNTICA

▪ Semântica

▪ Define o significado no mundo (real ou artificial) das fórmulas bem-

formadas

▪ O significados de uma fórmula derivam do SIGNIFICADO atribuído aos

símbolos não-lógicos por meio de um MODELO

▪ os símbolos lógicos tem significados fixos (dados pela própria lógica)

▪ são neutros em relação ao domínio modelado


SEMÂNTICA

▪ EXEMPLOS

vamos supor que

▪ feliz(joão) é uma fórmula bem formada;

▪ O símbolo joão denota um indivíduo;

▪ O símbolo feliz é um predicado.

▪ João, o indivíduo denotado, está feliz.

▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joão

e feliz) pode variar de uma pessoa a outra!


SEMÂNTICA

▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças

de interpretação ainda que

▪ a noção de feliz seja diferente de pessoa para pessoa

▪ e que joão possa denotar diferentes indivíduos no mundo

▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos

pela dificuldade de precisar seus significados ou pela

simples dificuldade de entender o ponto de vista do

modelador

▪ PaísDemocrático

▪ MelhorComidaDoMundo

▪ éBoaPessoa

▪ txN27


SEMÂNTICA

▪ Na LPO não é preciso dar definições precisas (como a de

um dicionário) para os símbolos não-lógicos, por exemplo,

que um país democrático é um pais que possui eleições,

liberdade de expressão, etc.

▪ É preciso somente declarar quais são países os

democráticos e quais não são.

▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos,

fala-se em diferentes MODELOS


MODELOS

SEMÂNTICA


MODELOS: DEFINIÇÃO

▪ Um modelo M do par (F, P) consiste de:

▪ um conjunto não vazio A de valores concretos

▪ a A é um objeto do domínio (ou um referente)

representado (ou não) por um símbolo

▪ Para cada símbolo funcional f F

▪ se f é 0-ário (constante): fm : a A

▪ se f é n-ário (n > 0): fm : An A

Na lógica clássica não há indeterminação, logo as funções

devem ser totais

f é total se para todos objetos do domínio, existe um objeto no

contradomínio tal que y = f (x).

▪ Para cada símbolo de predicado P P

▪ a aridade do predicado é n

▪ Pm An

▪ o conjunto de tuplas de An é a extensão do predicado Pm

An é o produto cartesiano de n x A fm

é uma função no modelo M

Pm é um relação no modelo M f é um símbolo de função P é um símbolo de predicado

fonte: (HUTH e RYAN, 2008, pg. 93)


EXEMPLO 1

▪ Modelo M para um par (F, P) ▪ F = {suc, um, dois, três, quatro}

▪ P = {par}

▪ Descrição dos símbolos em F e P

▪ par(x) é um predicado representando que x é par

▪ suc(x) é uma função que retorna o sucessor de x

▪ um é o símbolo de constante que denota o número 1

▪ dois é o símbolo de constante que denota o número 2

▪ três é o símbolo de constante que denota o número 3

▪ quatro é o símbolo de constante que denota o número 4

▪ Construção do modelo M ▪ A = {1, 2, 3, 4}

▪ Interpretação dos predicados ▪ parm = {2, 4}

▪ Interpretação das funções ▪ 0-árias (constantes)

▪ umm = 1

▪ doism = 2

▪ trêsm = 3

▪ quatrom = 4

▪ Funções

▪ sucm = {(12), (23), (3 4), (41)}

▪ Avaliação de fórmulas no

modelo M

M ⊯ par(um) M ⊫ par(suc(três)) M ⊫ par(suc(suc(dois)))


CONTEXTO

Pode ser entendido como as atribuições de valores às variáveis de um modelo, sendo que os valores possíveis são os objetos do domínio Um contexto l é definido por l: var A tal que var é o conjunto de variáveis e A o conjunto de objetos l[x a] representa o mapeamento da variável x para o valor a - pode ser escrito como l(x) = a


SEMÂNTICA

Com as definições de modelo e de contexto, é possível definir uma

semântica para as fórmulas de LPO.

Dados um modelo M para o par (F, P),

um conjunto não vazio A de valores concretos (os objetos do domínio) e um contexto l

pode-se definir a relação de satisfação M ╞ no contexto l, ou seja,

avaliar se é verdadeira no modelo M com o contexto l

Escreve-se

M ╞ l


SEMÂNTICA DA LPO

extraído de (Huth e Ryan, 2008, pg. 97)


EXEMPLO 1 REVISITADO

▪ Modelo M para um par (F, P) ▪ F = {suc, um, dois, três, quatro}

▪ P = {Par}

▪ Par(x) é um predicado

▪ suc(x) é uma função que retorna o sucessor de x

▪ um é o símbolo de constante que denota o número 1

▪ dois é o símbolo de constante que denota o número 2

▪ três é o símbolo de constante que denota o número 3

▪ quatro é o símbolo de constante que denota o número 4

▪ Construção do modelo M ▪ A = {1, 2, 3, 4}

▪ Interpretação dos predicados ▪ Parm = {2, 4}

▪ Interpretação das funções ▪ 0-árias (constantes)

▪ umm = 1

▪ doism = 2

▪ trêsm = 3

▪ quatrom = 4

▪ Funções

▪ sucm = {(12), (23), (3 4), (41)}

▪ Avaliação de fórmulas no

modelo M =y(Par(y)→Par(suc(y))) M ⊫ no contexto l ? Contexto: l(y) = 1 V() = V l(y) = 2 V() = V l(y) = 3 V() = V l(y) = 4 V() = V


SATISFAÇÃO, VALIDADE E CONSISTÊNCIA

SEMÂNTICA


Consequência, Satisfabilidade e Validade

É uma teoria (conjunto de fórmulas)

Check = é verdadeira

Look-up tables = environment = contexto

(Huth e Ryan, 2004)

Teoria

consistente

Def. 2.20 Considere a teoria Γ (gama) como um conjunto (possivelmente infinito) de fórmulas

em lógica de predicados e uma fórmula (psi) da lógica de predicados.


SATISFABILIDADE DE FÓRMULA vs. CONSISTÊNCIA DE TEORIA

* Uma fórmula de uma teoria pode ser satisfeita por um modelo M ao

mesmo tempo em que a teoria não é consistente em relação ao

mesmo modelo M.

* Exemplo:

Teoria={f1, f2, f3}

f1: x (esquiador(X) → gostaNeve(X))

f2: x (gostaNeve(X) → ¬gostaChuva(X))

f3: x (esquiador(X) gostaChuva(X))

* Modelo

A = {tony}

esquiador = {tony}

gostaNeve = {tony}

gostaChuva = {tony}

* Sentenças f1 e f3 são satisfeitas pelo modelo M substituindo-se X por

tony. Porém, como f2 não é satisfeita , a teoria não é consistente com o

modelo M.

É possível encontrar um modelo que satisfaça a teoria?


CONSEQUÊNCIA LÓGICA

▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da

interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças

em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos

▪ Por exemplo, sendo γ (gama) definido por ( ), M um modelo

onde é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente

de como entendemos os símbolos e

▪ Sempre que for verdadeiro, γ o será!!! γ é uma consequência lógica

de ou a verdade de γ está implícita na verdade de


REFERÊNCIAS

HUTH, M.; RYAN, M. Logic in Computer Science: modelling and reasoning about systems,

2ND. Edition, 426 p., Cambridge Press, 2004.

HUTH, M.; RYAN, M. Lógica em ciência da computação: modelagem e argumentação sobre

sistemas . 2. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2008. x, 322 p. ISBN 9788521616108.

BRACHMAN, R.; LEVESQUE, H. Knowledge Representation and Reasoning, 2004, Ed.

Morgan Kaufmann.

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