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Ensino Superior
Cálculo 1
1.2- Propriedades dos Limites
Amintas Paiva Afonso
Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo.
Propriedades dos limites
x c
x c
n n
x c
n n
x c
I) limb b
II) limx c
III)limx c
IV)lim x c
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g funções para as quais e Lxf
cx
)(lim .)(lim Mxg
cx
Operação com limites
x c
x c
x c
I) lim [b.f(x)] bL
II) lim [f(x) g(x)] L M
III) lim [f(x).g(x)] L.M
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
x c x c
n n
x c
nnx c
f(x) LIV) lim ; lim g(x) 0
g(x) M
V) lim f(x) L
VI) lim f(x) L
Propriedades
P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
a “a”, é igual a “a”.
3,0lim3,0
x
x3lim
3
x
x
axax
limExemplos:
3
55lim
3
x
x
x
xlim
exex
lim
Operação com limites
P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
tende a “a”, é igual a própria constante:
KKax
lim
Operação com limites
44lim3
x
Exemplos:
33 55lim x
2
limx
eex
2lim
P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
1552.325limlim3lim
5lim3limlim)53(lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2
xxx
xxxx
xx
xxxx
Exemplo:
Operação com limites
P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:
Operação com limites
P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax
93.3lim.lim.lim)(lim333
2
3
xxxxx
xxxx
Operação com limites
Exemplo:
P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
10
1
727
53
)7(lim
)5(lim
7
5lim
3
3
333
x
x
x
x
x
x
x
Operação com limites
Exemplo:
P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
função (caso exista):
n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
813))2(lim()2(lim 443
1
43
1
xxxx
xx
Operação com limites
Exemplo:
P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do
limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
a zero:
nax
n
axxfxf )(lim)(lim
n xf )(
51)2(4)2()14(lim14lim 44
2
4
2
xxxx
xx
Operação com limites
Exemplo:
Cálculo 1 - Limites
Resumindo:
Propriedades dos Limites
Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
eLxfax
)(lim ,)(lim Mxgax
Regra da soma(subtração):
Regra do Produto:
Regra da multiplicação por escalar:
Regra do quociente:
MLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
MLxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim)().(lim
Lcxfcxfcaxax
.)(lim.)(.lim
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
)(lim
)(lim
)(
)(lim
Regra da potência:
Regra da raíz
se é impar.
nn
ax
n
axLxfxf
))(lim()(lim
nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)(lim
nLxfax
,0)(lim
Regra do logaritmo:
Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
Regra da exponencial:
0)(limlog
))(lim(log))((loglim
xfseL
xfxf
axc
axcc
ax
Lxfxfaxax
sen))(limsen()(senlim
Lxfxf
axccc ax
)(lim)(lim
Cálculo 1 - Limites
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
)()(lim cPxPcx
Limite de uma função polinomial
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição:
Se 01
1 ...)( axaxaxP nn
nn
então 01
1 ...)()( lim acacacPxP nn
nn
cx
Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
243 lim
245
245
2 x
xxxx
Cálculo 1 - Limites
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero:
Se e são polinômios e ,
então
)(xP )(xQ 0)( cQ
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xPcx
Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
06
0
5)1(
3)1(4)1(
5
34lim
2
23
2
23
1
x
xxx
Cálculo 1 - Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
0
0
22
2
1lim
xx
xx
x
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1:
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(22
2
Se x 1
Cálculo 1 - Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:
)1(
)1)(2(2limlim
12
2
1
xx
xx
xx
xx
xx
31
212lim
1
x
x
x
Cálculo 1 - Limites
)22(
22lim
0 hh
h
h
22
1
202
1
h
h
h
22lim
0
22
22.22lim
0
hh
hh
h
)22(lim0
hh
h
h
22
1lim
0
hh
Calcule
Cálculo 1 - Limites
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13 x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ x + ∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12 x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5 x 4
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7 x 4
Cálculo 1 - Limites
3
6
R: -3
R: 0
R:
4
31
1
1x
xLim
x
i)
3
1
1
1x
xLim
x
j) R: 2/3
3
21
3 2
1x
x xLim
x
g)
0
3 3x
xLim
x
h)
R: 4/3
f) 1
452
1
x
xxLimx
Cálculo 1 - Limites
Teorema do Confronto (ou Sanduíche)
Se
e f(x) g(x) h(x)
então,
Exemplo:
Lxhxfaxax
)(lim)(lim
Lxgax
)(lim
xxxfsex
xfx
320
)(,)(
lim
Cálculo 1 - Limites
Sabemos que:
Se |f(x)| x3, então –x3 f(x) x3
Dividindo por x2 toda a inequação temos:
Pelo teorema do confronto:
xx
xfx
xxx 0200lim
)(lim)(lim
xx
xfx
2
)(
0)(
lim0)(
lim02020
x
xf
x
xfxx
Cálculo 1 - Limites
Se f, g e h são funções que estão definidas em algum
intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no
próprio x0, f(x) g(x) h(x), para todo x em I, tal que x x0
e
então
Lxhxfxxxx
)(lim)(lim00
Lxgxx
)(lim0
Teorema do confronto
Cálculo 1 - Limites
Ilustração do uso do teorema do confronto
2
x 0
1limx sen 0
x