Slučajni procesi

doc. dr Dijana Karuović

Slučajni procesi

Često se sreću veličine koje se tokom vremena menjaju na slučajan način.

Neka je (, F, p) fiksiran prostor verovatnoće. Slučajnim (stohastičkim) procesom se naziva

familija slučajnih promenljivih zadatih na prostoru verovatnoća (, F, p) koje

zavise od realnog parametra tT. Slučajan proces, u oznaci je funkcija nad

prostorom R sa vrednostima u R (t – vreme; – trajektorija ili realizacija slučajnog

procesa ).

Primeri slučajnih procesa:

niz slučajnih promenljivih,

niz suma S1=X1, S2=X1+ X2, ... obraozovan od slučajnih promenljivih X1, X2, ...

Ako je T prebrojiv skup, obično celih brojeva, u pitanju je slučajni niz.

Ako je T realan interval, , ili deo realne prave, u pitanju je slučajni proces sa

neprekidnim vremenom.

Za svaku fiksiranu n-torku (t1, t2, ..., tn ) dobija se jedan slučajni vektor (X(t1), X(t2), ..., X(tn)).

Raspodele ovako dobijenih vektora su tzv. konačno- dimenzione raspodele slučajnog procesa

X(t).

,tXtX

TttX ,

0,tX

RttX ,

baT ,

Slučajni procesi

Slučajni proces je proces sa nezavisnim priraštajima ukoliko su za

ma koje slučajne promenljive

međusobno nezavisne.

Slučajni proces je stacionarni proces ukoliko ma koja kolekcija slučajnih

promenljivih ima istu raspodelu kao i kolekcija

za svako .

U pitanju je nepromenljivost režima verovatnoće tokom vremena.

],[, battX

bttta n ...10 )()(),...,()(),( 1010 nn tXtXtXtXtX

)(),..,(),( 21 ntXtXtX )(),..,(),( 21 htXhtXhtX n

Rh

Markovljevi slučajni procesi

Neka su: – ishodi nekog eksperimenta, ishod Aj koji se

realizuje u n-tom po redu ponovljenom eksperimentu n =1,2,...

Niz eksperimenta čini Markovljev lanac ako za proizvoljne r, n, ki N, n k1 k2

... kr i proizvoljne događaje iz skupa svih mogućih ishoda važi:

Tumačenje: samo "bliska prošlost" ima uticaja na realizovanje događaja u narednom

ponavljanju eksperimenta.

Verovatnoća

zove se verovatnoća prelaza sistema iz stanja xi u trenutku n u stanje xj u trenutku m.

Ako kao funkcija od m i n zavisi samo od razlike m – n, onda je to homogen

Markovljev lanac.

iAAA ;,..., 21

n

jA

r

r

k

i

k

i

n

j AAA ,...,, 1

1

iA

1

1

1

1/,...,/

k

i

n

j

k

i

k

i

n

j AApAAAp r

r

mnxXxXpmnp injmij 0,/,

mnpij ,

Markovljevi slučajni procesi

Ako se radi o homogenim Markovljevim lancima, onda verovatnoća ne

zavisi od k , već samo od veličine n. Radi se o verovatnoći prelaza sistema iz stanja

xi u stanje xj u n vremeskih jedinica, kažemo, n koraka.

Postavlja se pitanje da li je moguće za homogene Markovljeve lance, na osnovu

poznavanja verovatnoća prelaza u jednom koraku, pij, i,j=1,2,... odrediti verovatnoće

prelaza pij(n), n = 2,3,... u n koraka.

Odgovor je u jednačinama Čepmen-Kolmogorova:

npij

,...2,1,,1, jinmmnpmpnpk

kjikij

Markovljevi slučajni procesi

Ove jednačine se mogu kondenzovano zapisati u matričnoj formi:

gde je:

Pn – matrica verovatnoća prelaza iz stanja xi u stanje xj u n koraka, čiji su elementi

brojevi iz interval [0, 1]. Zbir elemenata ma koje vrste u Pn je 1. Pn se dobija

stepenovanjem iz P.

nmPPP mnmn 1,

,...3,2...,2,1,,, 1 njipPnpP ijijn

Ergodična teorema – vezana za Markovljeve lance sa konačno mnogo stanja, a

govori o ponašanju verovatnoća prelaza pij(n) kada se broj koraka n neograničeno

povećava:

ako je za neko n=n0 svaki elemenat matrice strogo pozitivan

tada za svako j=1,2,..., s važi:

– finalne verovatnoće, ne zavise od (verovatnoća prelaza u

velikom broju koraka ne zavisi od početnog stanja). Brojevi se dobijaju iz uslova:

i sistema homogenih jednačina:

0nP sjinpij ,...,2,1,,00

*lim jijn

pnp

*

jp si ,...,2,1

1... **

2

*

1 sppp

*

jp

sjpppk

kjkj ,...,2,1**

Statistička metoda

doc. dr Dijana Karuović

O matematičkoj statistici

Statistika svuda oko nas (izbori, kladionice, naučna istraživanja)

Skup metoda za kvantitativno istraživanje pojava

Statističke jedinice imaju svoja obeležja (numeričkog i opisnog-atributivnog

karaktera)

U statistiku spada sve što je vezano za stvaranje i korišćenje metoda za

prikupljanje i obradu pojedinih podataka u cilju dolaženja do određenih

saznanja odnosno do izvođenja određenih naučnih i praktičnih

zaključaka.

Populacija, uzorak

Generalni skup (populaciju) obeležavamo sa Ω, a njegove elemente sa ω.

Pod statističkim eksperimentom se podrazumeva registrovanje vrednosti obeležja X

kod nekog podskupa iz populacije.

Uzorak – podskup populacije (ko bi ispitao sve mrave?)

Reprezentativnost uzorka – slučajan i nezavisan od obeležja koje se posmatra.

Prema načinu formiranja, 3 tipa uzorka:

Slučajni

Sistematski i

Stratifikovani

Vrste uzoraka

Slučajan uzorak – izbor jedinica koji treba da uđe u uzorak je prepušten

slučaju

Sistematski uzorak – zavisno od veličine ispitivane mase, odredi se

odgovarajuća reprezentativna veličina uzorka, ali se izbor jedinica koje

ulaze u uzorak vrši drugačije

Stratifikovani uzorak – ceo osnovni skup se podeli na više skupina

(stratuma), pa se onda posebno za svaku takvu skupinu slučajnim izborom

bira uzorak – cilj je da svaka skupina bude proporcionalno predstavljena

Eksperimenti

Najčešće se koriste tri vrste eksperimenta:

Laboratorijski

Eksperiment u prirodnim uslovima

Prirodni eksperiment

Metode prikupljanja podataka

Posmatranje i samoposmatranje (introspekcija)

Vrste instrumenata procene:

Intervju, opservacija

Testovi,

Skale,

Upitnici,

Tehnike

Instrumenti procene

Upitnici i inventari - serije pitanja tematski vezane za sadržaj ispitivanja, ponuđeni

odgovori (tačno-netačno) ili procena na skali (5 - stepenoj). Ocene na osnovu

standardizovanih normi; profili ličnosti na multidimenzionalnim upitnicima-

interpretativni potencijal

Skale procene- kombinuju naturalistički pristup opservacije ponašanja sa

kvantifikacijom na određenoj skali procene

Testovi - standardizovane procedure za rešavanje zadataka sa normama za njihovo

ocenjivanje i klasifikaciju rezultata

Tehnike - postupci kojima se dobijaju pretežno kvalitativni, subjektivni odgovori na

postavljene zadatke. Najčešće se ne ocenjuju odgovori kao tačni ili pogrešni, već se

procenjuje njihov kvalitet od strane procenjivača, (projektivne tehnike)

Hvala na pažnji