doç. dr. berk ayvazgenişletilmiş(extended) modelleme döngüsü (siller ve greefrad, 2010)...

Doç. Dr. Berk [email protected]

Doç. Dr. Berk AYVAZ ENM667 Tedarik Zinciri Optimizasyonu

Modelleme-Optimizasyon Kavramlarıve Optimizasyon Teknikleri

Matematiksel Modelleme ?

Optimizasyon ?

Stokastik ?

Olasılıksal?

Deterministik?

Robust?

Kavramsal?

Optimizasyon Kavramı ve Optimizasyon Teknikleri


Giriş

21. yüzyılda bilim ve teknolojideki baş döndürücü gelişmeler toplumuneğitim dünyasından beklentilerini de değiştirmiştir.

Günümüz dünyası “düşünmeyi öğrenen” ve “yeni şeyler geliştirmeyiöğrenen” bireylerin yetiştirilmesini eğitim camiasından beklemektedir.

Bu bireylerin yetiştirilmesinde matematiğin önemi oldukça büyüktür.



Model ve Modelleme Kavramlarının Tanımı

Türk Dil Kurumu Güncel Türkçe Sözlüğünde model “Tasarlananürünün tanıtım veya deneme amacıyla üretilen ilk örneği,prototip” şeklinde açıklanmıştır.




Lesh ve Doerr’a (2003) göre model, karmaşık sistemleri veyapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olankavramsal yapılar ile bu yapıların dış temsillerinin bütünüdür.




Modelleme ise olayları ve problemleri tanımlama, açıklamaveya oluşturma sürecinde problem durumlarını zihindedüzenleme, koordine etme, sistemleştirme ve organize edipbir örüntü bulma, zihinde farklı şemalar ve modeller kullanmave oluşturma sürecidir.



Matematiksel Modelleme

• Soyut bir bilim olan matematiği somutlaştırmak için kullanılan enönemli yöntemlerden biri modelleme yöntemidir.

• Matematiksel modelleme, bir gerçek yaşam durumunun fiziksel,sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecidir (Lesh ve Doerr,2003; Sriraman, 2005).

• Aslında matematik; gerçek dünya olaylarına, problemlerinemodelleme yoluyla çözümler üreten sistematik bir düşünme yoludur.



Matematiksel Modellemenin Tanımı

Lingefjard’a (2002) göre matematiksel modelleme;

«bir fenomenin gözlemlenmesi, ilişkilerin ortaya çıkarılması,matematiksel analizlerin yapılması, sonuçların elde edilmesi ve modelintekrar yorumlanması» süreçlerini içerir.



• Bir model, bütünü oluşturan parçaları ve bu parçalar arası etkileşimin nasılolduğunu gösterir.

• Bir model temsil ettiği sisteme benzer olmasına karşın gerçek sistemden çok dahabasittir.

• Bir model gerçek sisteme mümkün olduğunca yakın olmalı ve onun çoğu özelliğinitaşımalıdır.

• Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler degerçeğin bir eksik anlatımıdırlar.



Matematiksel Modellemenin Basit Bir Görünümü (Berry ve Houston, 1995)

• Berry ve Houston’a (1995) göre modellemede gerçek yaşamdan bir problem elealınmakta ve matematiksel bir problem gibi düşünülerek bazı varsayımlarla birliktebu problemin matematiksel modeli oluşturulmaktadır. Daha sonra matematikselproblem çözülmekte ve elde edilen sonuçlar yorumlanarak ve gerçek problemiçözmek için kullanılmaktadır.



Modelleme Sürecinin Yapısı (Müller ve Wittmann, 1984’den akt. Peter-Koop, 2004)



Modellemedeki Temel Basamaklar (Mason, 1988)



Matematiksel Modelleme Sürecindeki Temel Basamaklar (Berry ve Houston, 1995)



Modelleme Döngüsü (Berry ve Davies, 1996)



Matematiksel Modelleme Döngüsü (Abrams, 2001)



Matematiksel Modelleme Süreci (Cheng, 2010)



Matematiksel Modelleme Sürecinin Akış Diyagramı (Voskoglou, 2006)

Voskoglou (2006) çalışmasında diğer araştırmacılardan farklı olarak, modellemesürecinde modelin doğrulanmasının sonuçların yorumlanması temel basamağından öncegerçekleştiğini ifade etmektedir.



Genişletilmiş (Extended) Modelleme Döngüsü(Siller ve Greefrad, 2010)



Siller ve Greefrad (2010), Blum veLeiß (2007)’in teknoloji etkisiolmadan ele aldığı sürecin temelbileşenlerini (Gerçek yaşam durumu,matematiksel model, matematikselsonuçlar, gerçek sonuçlar) dikkatealarak bunlara bilgisayar modeli vebilgisayar sonuçlarını eklemektedir.Ayrıca teknoloji destekli modellemesürecinde gerçek dünya,matematiksel dünya ve teknolojidünyası olarak üç temel geçişinbulunduğunu ifade etmektedirler.

Modelleme Süreci (Stillman, Galbraith, Brown ve Edward, 2007)



Matematiksel Modelleme Sürecinin Temel Yapısı (Hıdıroğlu, 2012)



Matematiksel Model Geliştirme Adımları

1• Problemin Tanımlanması

2• Sistemin Gözlenmesi

3 • Problemin Matematiksel Modelinin Geliştirilmesi

4• Modelin Çözülmesi

5• Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi

6• Çözümün Uygulanması ve Yorumlanması



• Model Geliştirmek

• Yöneylem araştırmasının karar vermeye en önemli katkısımatematiksel modellerdir.

• Bir sistemin davranışlarıyla ilgili kuralların matematiksel olarak ifadeedilmesiyle matematiksel modeller kurulur.

• Yöneylem araştırmasında karşılaşılabilecek matematiksel modeltürleri, ilgilenilen karar probleminin yapısına göre şekillenir.



Matematiksel Model Türleri

• Eğer karar değişkenleri üzerinde hiçbir sınırlama yoksa kısıtsız modeller ortaya çıkar, en azından birsınırlama olması kısıtlı modelleri ortaya çıkarır. Gerçek hayatta genellikle kısıtlı problemler karşımızaçıkar.

• Eğer problem tek bir dönem için çözülecekse statik model, birden fazla dönem göz önüne alınarakçözülecekse dinamik model ortaya çıkar.

• Eğer birden fazla amaç varsa çok amaçlı problemler ortaya çıkar.

• Eğer tüm karar değişkenleri pozitif reel (gerçel) değerler alıyorsa sürekli optimizasyon problemi sözkonusudur. Tüm karar değişkenlerinin tamsayı değerler alması gerekiyorsa kesikli optimizasyonproblemi ortaya çıkar. Bazı karar değişkenlerinin reel, bazılarının tamsayı değer alması durumunda isekarışık kesikli optimizasyon problemi ile karşılaşırız.

• Eğer karar değişkenlerinin kombinatoryal seçenekleri söz konusuysa kombinasyonel optimizasyonproblemleri ortaya çıkar.



Çözüm türleri

• Uygun Çözüm: Bir DP problemi için uygun çözüm, DP’nin tüm kısıtlarını sağlayantüm noktalardan oluşan settir.

• Optimal Çözüm: Bir DP modelinin karar değişkenlerinin, mevcut kısıtlar altında(uygun çözüm alanında) amaç fonksiyonunun en iyilenmesi (optimum kılınması)sonucunda aldığı değerler “optimal çözüm” olarak adlandırılır. Bir maksimizasyonproblemi için optimal çözüm uygun çözüm alanında en büyük amaç fonksiyonudeğerini veren noktadır. Bir minimizasyon problemi için optimal çözüm uygunçözüm alanında en küçük amaç fonksiyonu değerini veren noktadır.

• Optimal Değer: Optimal çözüme bağlı olarak amaç fonksiyonun aldığı değer“optimal değer” olarak adlandırılır.



Modelin Geçerliliğinin Gösterilmesi

• Modelden elde edilen çözümü uygulamaya koymadan önce gerçeğeuygunluğunun kanıtlanması gerekir.

• Eğer çözüm sistemin geçmiş dönem sonuçlarını aynen veya daha olumlu birşekilde sağlıyorsa, modelin geçerli olduğu kabul edilir.

• Eğer sistemin geçmiş dönem sonuçları yoksa simülasyondan yararlanılır.

• Model geçerliliğinin kanıtlanmasında bir başka yol olarak da sistemdeki deneyimlikişilerin görüşlerine başvurulabilir.



Yararlanılan Kaynaklar

• Çağlar Naci HIDIROĞLU ve Esra BUKOVA GÜZEL, 2013. Matematiksel ModellemeSürecini Açıklayan Farklı Yaklaşımlar, Bartın Üniversitesi Eğitim Fakültesi DergisiCilt 2, Sayı 1, s. 127 – 145, Yaz 2013 BARTIN – TÜRKİYE

• Tayfun TUTAK ve Yunus GÜDER, 2014.Matematiksel Modellemenin Tanımı,Kapsamı ve Önemi, Turkish Journal of Educational Studies, 1 (1) Ocak 2014 TURK-JES



Optimizasyon



Giriş

• Optimizasyon, en genel anlamıyla, bir sistemde, belirli kısıtlar altında,belirlenmiş bir amaç fonksiyonunun değerinin eniyilenmesi amacıylakarar değişkenlerinin alacağı değerleri belirleme işlemidir.

• Bir başka deyişle, istenen bir çıktıyı elde etmek gayesiyle, sistemgirdilerinin ve/veya bu girdilerin değerlerinin ne olacağını belirlemesürecidir.



Giriş

• Optimizasyonda modelleme ve çözümleme iki önemli bileşen olaraknitelendirilmektedir.

• Modelleme gerçek yaşamda karşılaşılan problemin matematikselolarak ifade edilmesi;

• Çözümleme ise bu modeli sağlayan en iyi çözümün elde edilmesinikapsamaktadır.



Giriş

• Optimizasyon teknolojisinin gelişiminde araştırmacılar öncelikli olarakmodellemeyle ilgilenmişlerdir.

• Bu alandaki ilk çalışmalar Leontief tarafından Amerika Birleşik Devletleri’nin dışticaretini ve ekonomik yapısını modellemek amacıyla yaptığı yayınlardır.

• Rus matematikçisi Kantorovich üretim planlamasında en sıklıkla karşılaşılanproblemlerin modellenmesine ve elde edilebilecek en iyi sonuçları bulmametodlarını anlattığı makalesiyle modern üretim sistemlerinde optimizasyonaolan ihtiyacı ortaya koymuştur (Kantorovich, 1939).

• Kantorovich, üretim sistemlerinin performansının artırımına yönelik dokuz farklıoptimizasyon problemi tanımlamış ve bu problemlerin çözümüne yönelik olarakher problem için farklı çözüm algoritması geliştirmiştir.



Giriş

• Optimizasyon problemlerinin çözümüne yönelik olarak ilkönemli çalışma Dantzig tarafından yapılmış ve simpleksalgoritması geliştirilmiştir (Dantzig, 1949a).

• Nobel Ekonomi ödülünü 1975 yılında alan Koopmans,Dantzig’in çalışmalarının önemine inanmış ve Dantzig’in buödüle ortak olması gerektiğini Nobel ödül komitesinebelirtmiştir. Fakat bu çağrısına cevap alamamış ve Nobelödülünün üçte birlik kısmını Uluslararası Uygulamalı SistemAnalizi Enstitüsü’nde (International Institute for AppliedSystems Analysis-ILASA) George Dantzig adına kurulan bursprogramına bağışlamıştır (Gass ve Assad, 2004).



George B. Dantzig

Giriş

Optimizasyon teknolojisi, karar verme süreçlerini hızlandırmakta vekarar kalitesini arttırmakta kullanılarak gerçek hayatta karşılaşılanproblemlerin etkin, doğru ve gerçek zamanlı çözümündeyararlanılmaktadır (Winston, 2003).



Simülasyon & Optimizasyon

Simülasyon, girdilerin bilindiği birsistemde, çıktının tahmin edilmesi,belirlenmesi, sürecidir.



Optimizasyon ise, istenen çıktıyı eldeedebilmek amacıyla, girdilerin veya bugirdilerin değerlerinin ne olacağınınbelirlenmesi sürecidir.

• Karar değişkeni, problem çözüldüğü zaman değeri belirlenecek olan sistem öğesidir.Yani aslında karar değişkenlerinin alacağı değerlerin belirlenme süreci, problem çözmesürecidir.

• Karar değişkenlerinin alacağı değerler, amaç fonksiyonunun değerinin ne olacağına etkieder. Fakat bu süreçte bazı kısıtların sağlanması gerekmektedir.



Uygun çözüm & Optimum çözüm

• Çözüm uzayındaki, problemin kısıtlarınısağlayan her hangi bir çözüm, uygun çözümolarak adlandırılır.

• Optimum çözüm ise, uygun çözümlerarasından, belirlenen amaca göre en iyiçözümü ifade etmektedir.



Tarihçesi

• Bir işin en iyi yolun seçilerek yapılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir.

• Yunan tarihçisi Herodotus’a göre, Mısırlılar Nil nehrinde her yıl taşkınlar sonucuarazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara göre vergilendirmenin eniyi yolla yapılabilmesi için çaba göstermişlerdir. Bu çabalar, ölçme ve karar vermearacı olarak düzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yolaçmıştır.

• Nil nehri yılın belirli zamanlarında taşdığı için o bölgelerde yaşayan halkın taşmaolmadan bölgeyi boşaltmaları gerekmekteydi. Uygun taşınma zamanınınbelirlenmesi için bir tür takvim geliştirilmişti. Bu takvim sayma ve geometrikonusundaki çalışmaların sonucunda oluşturulmuştu.



Tarihçesi• Newton ve Leibniz tarafından 17. yy da geliştirilen Calculus optimizasyon teorisinin

gelişmesinde önemli katkı sağlamıştır.

• Calculus matematiksel bir fonksiyonun ve fonksiyonu oluşturan değişkenlerin maxve min cinsinden optimal koşullarının elde edilmesini sağlamıştır. Ancak gerçekhayat problemlerini çözmekte yetersiz kalmıştır.

• 1788 yılında Lagrange, lagrange çarpanları yöntemini geliştirmiştir.

• 1939 da W. Karush kısıtlandırılmış problemler için optimallik koşullarını bulmuştur.

• 1942 de 2. Dünya savaşında yöneylem araştırmasının ortaya çıkması optimizasyondünyası için önemli bir adım olmuştur.

• 1947 de G.B. Dantzig tarafından Simpleks algoritması geliştirildi.



Tarihçesi

• 1950 Bellman dinamik programlama modeli ve çözümünü geliştirdi.

• 1951 H. Kush ve A. Tucker Karush tarafından daha önce önerilen optimallikkoşullarını geliştirip doğrusal olmayan modeller üzerine araştırmalar yaptılar.

• 1954 C. Lemke ve E. Beale dual simpleks yöntemini geliştirdiler.

• 1955 G.B. Dantzig tarafından stokastik programlama geliştirildi.

• 1956 J. Kelley vd. tarafından PERT/CPM modelleri geliştirildi.

• 1956 M. Frank ve P. Wolfe tarafından Kuadratik programlama geliştirildi.

• 1958 R. Gomory Tam Sayılı Programlamayı geliştirdi.

• 1959 A. Charnes ve W. Cooper Şans Kısıtlı Programlamayı geliştirdi.



Tarihçesi

• 1960 yapay zeka çalışmaları yapılmaya başladı.

• 1965 A. Charnes ve W. Cooper hedef programlamayı geliştirdi.

• 1970 çok amaçlı karar verme teorisinin temelleri M. Zeleny vd. tarafından atıldı.

• 1992 J.H. Holland tarafından Genetik algoritma geliştirildi.

• 1995 veri madenciliği ortaya çıktı…



Optimizasyon Modellerinin Oluşturulması

• Matematiksel ifadeler sistemin ölçülebilen özelliklerinibelirleyen parametreler, en iyi sonuçları verecek karardeğerlerini belirleyen değişkenlerden, sistemineniyilenecek performans ölçütünden ve sisteminözelliklerini ve sınırlarını belirleyen kısıtlardanoluşmaktadır:



Optimizasyon modelleri, sistemin işleyişini ve özellikleriniyansıtan, sistemin içindeki ve çevresindeki diğer sistemlerleolan etkileşimleri kapsayan matematiksel ifadelerdenoluşmaktadır (Williams, 1999).

Optimizasyon Modellerinin Oluşturulması

• Yukarıdaki optimizasyon probleminde sisteminperformans ölçütü (amaç fonksiyonu) z=f(x,y)ile ifade edilmiş ve karar değişkenleri x ve y’ninbu ölçütü ençoklayacak değerlerinin bulunmasıhedeflenmektedir.

• Sistemin özellikleri ise g(x,y) eşitliği ve h(x,y)eşitsizlikleri (kısıtlar) belirlemektedir.

• Ayrıca, karar değişkenleri iki türlü ifadeedilmiştir: n boyutlu uzayda herhangi bir reeldeğeri alabilen sürekli değişkenler (x) veherhangi bir tamsayı değeri alabilen tamsayılıdeğişkenler (y).



Optimizasyon Modellerinin Sınıflandırılması

• Optimizasyon modellerini içerdikleri karar değişkenlerinin, amaç fonksiyonunun ve sistemkısıtlarının özelliklerine göre sistem parametrelerinin bilinen sabit değerlere aldığı durumlardaaşağıdaki gibi sınıflandırılmaktadır (NEOS, 2006).

• Eğer bir optimizasyon probleminde y değişkenleri yer almıyorsa ve f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarıdoğrusalsa o problem bir doğrusal programlama problemi olarak tanımlanır.

• Bir optimizasyon probleminde y değişkenleri yer almıyorsa ve f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarınherhangi birisi doğrusal değilse o problem bir doğrusal olmayan programlama problemidir.

• Optimizasyon problemlerinde y değişkenleri yer alıyorsa f(x,y), g(x,y) ve h(x,y) fonksiyonlarınındoğrusal olması durumda problem tamsayı karışık doğrusal programlama problemi,

• Optimizasyon problemlerinde y değişkenleri yer alıyorsa ve f(x,y), g(x,y) ve h(x,y)fonksiyonlarından herhangi birisinin doğrusal olmaması durumunda ise tamsayı karışık doğrusalolmayan programlama elde edilir.



Optimizasyon Modellerinin Sınıflandırılması



Deterministik Modeller

-Doğrusal Programlama

- Tamsayılı Programlama

-Doğrusal Olmayan Programlama

-Oyun Kuramı

- Envanter Modelleri

-Dinamik Programlama

- Çok Amaçlı Karar Verme

Stokastik Modeller

- Belirsizlik Altında Karar Verme

- Oyun Kuramı

- Envanter Kuramında Yeni Gelişmeler

- Markov Zincirleri

- Dinamik Programlama

- Kuyruk Kuramı

- Benzetim

- Tahmin Modelleri

- Çok Amaçlı Karar Verme

[2] WINSTON, W. L. (2004), Operations Research: Applications and Algorithms , Fourth Edition, Thomson Learning Inc: Canada.



Doğrusal Programlama Modelleri



Doğrusal Programlama Modelleri

• Bu problemlerde sadece sürekli değişkenler ve doğrusalamaç fonksiyonuyla, doğrusal kısıtlar mevcuttur.

• Doğrusal programlama modelleri en yaygın olarakkullanılan optimizasyon modelleridir ve bilimsel,endüstriyel ve ekonomik problemlerin modellenmesindeyaygın olarak kullanılmıştır.

• Bu bağlamda, üretim yapan bir işletmede verimliliğinoptimizasyonuyla ilgili basit bir doğrusal programlamamodel aşağıda verilmiştir.



DP Modellerinin Dayandığı Varsayımlar

1. Belirlilik (Certainity)

2. Doğrusallık (Linearity)

3. Bölünebilirlik (Divisibility)

4. Toplanabilirlik (Additivity)

5. Orantısallık (Proportionality)

6. Negatif olmama (Non-negativity)

Gerçek hayattaki problemlerin aslında küçük bir bölümü bu varsayımı sağlamaktadır.



Örnek

Bir işletmede iki yeni ürünü iki farklı fabrikada üretilebilmek imkanı vardır. Bu işletme içingeçerli olan veriler Tablo 1’de verilmiştir. Her iki fabrikada yeni ürünün üretimi içinkullanılabilecek zaman kısıtlıdır. Fabrikaların yapıları farklı olduğu için birim ürün içinfarklı üretim zamanları vardır. Ayrıca her ürünün kar marjı ve talebi de belirlidir.



Çözüm

Karar Değişkenleri:

x1 : Ürün 1’in üretim miktarı (adet)

x2 : Ürün 2’nin üretim miktarı (adet)

Parametreler:

c1: Ürün 1’den elde edilen kar miktarı (1.000 TL/adet)

c2: Ürün 2’den elde edilen kar miktarı (900 TL/adet)

bi: Fabrika 1’deki kullanılabilir toplam üretim zamanı (100 saat)

bii: Fabrika 1’deki kullanılabilir toplam üretim zamanı (170 saat)

ai1: Ürün 1’in Fabrika 1’deki üretim zamanı (1 saat/adet)

ai2: Ürün 2’nin Fabrika 1’deki üretim zamanı (1 saat/adet)

aiı1: Ürün 1’in Fabrika 2’deki üretim zamanı (2 saat/adet)

aiı2: Ürün 2’nin Fabrika 2’deki üretim zamanı (1.5 saat/adet)

d1 : Ürün 1 için belirlenmiş talep miktarı (100 adet)

d2 : Ürün 2 için belirlenmiş talep miktarı (100 adet)



• Amaç Fonksiyonu:

• Toplam karın ençoklanması (z=c1x1+c2x2)

• Kısıtlar:

• Fabrika 1’deki toplam üretim zamanı kısıtlıdır(ai1x1+ai2x2≤bi)

• Fabrika 2’deki toplam üretim zamanı kısıtlıdır(aii1x1+aii2x2≤bi)

• Ürün 1 için talep miktarı (x1≤d1)

• Ürün 2 için talep miktarı (x2≤d2)

• Her ürün için en düşük üretim miktarı (x1≥0 vex2≥0)



Doğrusal Programlama Çözüm Metodları

• Grafik yöntem

• Simpleks metodu



Tamsayı-Karışık Doğrusal Programlama Modelleri



Tamsayı-Karışık Doğrusal Programlama Modelleri

Bu modellerde doğrusal programlama özelliklerine ek olarak karar değişkenlerindebazıları sadece tamsayılı değerler alabilirler.



Tamsayılı programlama problemleri ve türleri



Örnek

Yukarıda verdiğimiz doğrusal programlama modelinde iki üründen sadece birisiniseçebileceğimizi düşünelim. Eğer birinci ürünü seçersek fabrikalarda gereklidüzenlemeleri yapabilmemiz için bir defaya mahsus olmak üzere 1.500 TL masrafyapmamız gerekmektedir ve ikinci ürün içinse 1.200 TL masraf gerekmektedir.Doğrusal programlama modeline aşağıdaki eklemeleri yapmamız gerekmektedir:

Karar Değişkenleri:

y1 = birinci ürün seçimi (=1 eğer birinci ürün seçildiyse, =0 eğer birinci ürünseçilmediyse)

y2 = ikinci ürün seçimi (=1 eğer ikinci ürün seçildiyse, =0 eğer ikinci ürünseçilmediyse)



Parametreler:

e1: birinci ürün seçildiğinde yapılacak masraf (1.500 TL)

e2: ikinci ürün seçildiğinde yapılacak masraf (1.200 TL)

Amaç Fonksiyonu:

Toplam karın ençoklanması (z=c1x1+c2x2-e1x1-e2x2)

Kısıtlar:

Sadece bir ürün seçilebilir (y1+y2=1)



Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemleri

• DP Gevşetmesi (LP Relaxation)

• Dolaylı Sayma (Implicit enumeration) Yöntemi

• Dal-Sınır (DS) (branch and bound) Yöntemi: Sorunu alt sorunlara bölen bir ağaç aramayaklaşımıdır.

• Kesme Düzlemi (cutting planes) Yöntemi: Tam sayılığı sağlamak için kısıtlar eklemeyedayanır.

• Lagrange Gevşetmesi Yöntemi



Doğrusal Olmayan Programlama Modelleri



Doğrusal Olmayan Programlama Modelleri

Bu modellerde amaç fonksiyonu ve/veya kısıtlardan bazıları doğrusal değildir.

Optimizasyon sonucunda amaç fonksiyonunu eniyileyecek karar değişkenleri, x, n boyutluuzayda herhangi bir gerçek değeri alabilirler.



Doğrusal programlama örnek modelimizde her dönüm için elde edeceğimiz kârın elastikolduğunu düşünelim: tarım arazimizi bir ürün için ne kadar fazla kullanırsak kâr herdönümden elde edeceğimiz kâr miktarı azalmaktadır.

Bu durumda birim kâr miktarları, c1 ve c2, aşağıdaki gibi ifade edilirler:



Örnek:

Bu ifadelerde E1 ve E2 kar elastikliğini temsil etmektedir. Örnek problemimizde birinciürün için bu değerin 15 ve ikinci ürün içinse 10 olduğu durumda doğrusal olmayaneniyileme problemi aşağıdaki şekilde oluşur:



Doğrusal Olmayan Optimizasyon Teknikleri

• Tek Değişkenli Optimizasyon Teknikleri

• Yarıya Bölme Yöntemi

• Lineer İnterpolasyon Yöntemi

• Basit iterasyon Yöntemi

• Newton-Raphson Yöntemi

• Secant Yöntemi

• Polinom Köklerinin Bulunması

• Doğrusal Olmayan Optimizasyon Teknikleri

• Genelleştirilmiş Newton-Raphson Yöntemi

• En Dik İniş(Steepest Descent) Yöntemi

• Kısıtsız Optimizasyon Teknikleri

• Doğrudan Arama Yöntemi

• Gradyan Yöntemi

• Kısıtlı Optimizasyon Teknikleri

• Ayrık Programlama

• Kuadratik Programlama

• Geometrik Programlama

• Stokastik Programlama

• Doğrusal Kombinasyonlar Yöntemi

• SUMT Algoritması



Doğrusal Olmayan Kısıtsız Arama Teknikleri

• Tek Boyutlu Arama Teknikleri

• İkiye Bölerek Arama (Yarılanma Yöntemi)

• Altın Oran Araması

• Fibonacci Araması

• Newton Yöntemi

• Secant Yöntemi

• Çok boyutlu arama yöntemleri

• Direkt Arama Yöntemleri

• Rastgele Arama Yöntemi

• Tek Değişkenli Arama Yöntemi

• Model Arama Yöntemi

• -Powwel Yöntemi

• -Hooke ve Jeeves Yöntemi

• Simplex Yöntemi

• Rosebrock Yöntemi

• Gradyant Arama Yöntemleri

• En Dik İniş (Steepest Descent) Yöntemi

• Conjugate Gradyant Yöntemi

• Newton Yöntemi

• Değişken Metrik Yöntemi



DOP’ların çözüm yöntemleri

• Tek değişkenli DOP’ların çözümü• Uç noktaların analizi

• Altın kesit Araması

• Çok değişkenli DOP’ların çözümü• Uç noktaların analizi

• Grandyan araması

• Newton Yöntemi

• Kısıt içeren DOP’ların çözümü• Lagrange Çarpanları Yöntemi

• KKT Eniyilik Koşulları



Tamsayı-Karışık Doğrusal Olmayan Programlama Modelleri




Bu modeller amaç fonksiyonunda ve/veya kısıtlarda doğrusal olmayan ifadeleri ve tamsayılıdeğişkenleri kapsamaktadır. Bu modellerin genel hali bu bölümün başında verilmiştir. Örnekproblemimizde kar esnekliğinin olduğu ve iki üründen sadece birisini seçmemiz gerektiğidurumda optimizasyon modeli aşağıdaki gibidir:




• Tamsayı-karışık doğrusal olmayan programlama problemlerinde eniyi çözümünhem Karush-Kuhn-Tucker (KKT) şartlarına uyması hem de tamsayılı kısıtlarıyerine getirmesi gereklidir.

• Bu problemlerin çözümünde en yaygın olarak kullanılan çözüm metodlarındanbirisi dışsal yaklaşıklamadır (Duran ve Grossmann, 1986; Viswanathan veGrossmann, 1990).

• Dışsal yaklaşıklama metodu tamsayı-karışık doğrusal olmayan problemin ikiyeayrılması esasına dayanır.




Tamsayı-karışık doğrusal olmayan programlama problemlerinin çözümü için diğeryaklaşımlardan en yaygın olanları arasında mantık tabanlı metodlar (Türkay veGrossmann, 1996) dal-sınır algoritmaları (Gupta ve Ravindran, 1985; Leyffer, 2001),dal-ve-kes algoritmaları (Stubbs ve Mehrotra, 1999), genellendirilmiş Bendersayrıştırma metodu (Geoffrion, 1972) sayılabilir.



Hedef Programlama



Hedef Programlama

• Lineer programlama kapsamında tek bir amaç fonksiyonu duruma göre maksimize veya minimizeedilmektedir. Gerçek hayatta ise karşılaşılan problemlerin çoğu birden fazla ve genellikle birbiriyleçelişen amaçlara sahiptir.

• Örneğin, elektronik ürünler satan bir işletme yaz mevsiminde klima satışlarını enbüyüklemekisterken, elde tutulan klima stoku miktarının en yüksek düzeyde olmasını ve diğer bir yandan daenvanter taşıma maliyetlerinin en küçüklenmesini ister. Bu amaçların yanı sıra başka amaçlar daolabilir. Yönetimin amacı, tüm bu amaçları aynı anda gerçekleştirmektir.

• Ancak, birden fazla amacın aynı anda ele alındığı bu tür karar problemlerinin çözümünde, doğrusalprogramlama yöntemi yetersiz kalmaktadır.

• Doğrusal programlama modelleri ile yıllık sipariş verme maliyetlerinin en küçüklenmesi, yıllık kârınenbüyüklenmesi gibi sadece tek bir amacın eniyilenmeye çalışıldığı problemler ele alınabilmektedir.

• Birden fazla amacın eniyilenmeye çalışıldığı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar vermeyöntemlerine ihtiyaç duyulur. Bu yöntemlerden biri de Hedef Programlama yöntemidir.



Hedef Programlama

• Birden fazla amacı aynı anda gerçekleştirme esasına dayanan HedefProgramlama, üretim planlamadan iş gücü planlamasına,ulaştırmadan finansal planlamaya birçok alanda uygulanan biryöntemdir.

• Her bir amaç bir hedefi oluşturmaktadır.



Hedef Programlama

• Belirlenen hedeflerin tam olarak gerçekleşmemesi durumunda hedefdeğerlerinden istenmeyen yöndeki sapmalar en küçüklenir.

• Elde edilen çözümde bazı amaçlar en iyi değerine ulaşırken, diğeramaçlar en iyi çözüme ulaşamayabilir.

• Dolayısıyla, sonuç değer mümkün olduğunca karar vericileri tatmineden, en uzlaşık çözüm olacaktır. Bir başka ifadeyle, etkin bir çözümelde edilecektir.



Hedef Programlama• Lineer programlama (LP) formülasyonunda olduğu gibi, öncelikle Hedef

Programlamada (GP) genel lineer formülasyon yapısı kurulmaktadır.

• Bu modelin inşasını takiben de temel amaçlar haricinde kalan hedefleröncelik sırasına göre modele yerleştirilir.

• Modelin çözümü LP çözümlerine çok benzer sonuçlar verebilmektedir.

• GP, doğası gereğince LP’deki gibi amaç fonksiyonuna, karar değişkenlerineve kısıtlara sahiptir.

• Temel olarak iki tane karar değişkeni olan GP modellerinin çözümlerindegrafiksel çözümleme yapılması mümkündür.

• Literatürde, daha karmaşık modellerin yaygın olarak bilgisayar destekliyazılımlar kanalıyla çözümlenebildiği de ifade edilmektedir.



Hedef Programlama

• Birden fazla ve genellikle çelişen amaçları içermesinin yanı sıra, hedefprogramlamayı doğrusal programlamadan ayıran bir diğer özelliği deamaç fonksiyonunda yer alan sapma değişkenlerinin farklı ölçeklerleifade edilebilir olmasıdır.

• Bir depo ve envanter sisteminden örnek verecek olursak, envantermaliyetlerini en küçüklemek ve envanter seviyesini en uygunmiktarda tutmak öncelikli amaçlardandır.

• Burada belirlenen hedefler doğrultusunda en küçüklenecek olansapmalardan biri para birimi diğeri de envanter türüne göreenvanter sayısı / ağırlık vb. ölçeğinde olacaktır.



Hedef Programlama• Amaç: Karar vericinin isteğinin genel durumunu gösteren ifadedir.

Örneğin envanter sipariş verme maliyetlerini enküçüklemek, emniyetstoku miktarını enküçüklemek, yıllık karı enbüyüklemek, Pazar payınıkorumak vb.

• Hedef: Belirlenen amaç için başarılmak istenilen kesin ifadedir. Birbaşka deyişle, istenilen seviye ile belirlenmiş bir amaçtır (Ignizio,1976).

• Örneğin, “toplam aylık envanter taşıma maliyetlerini enküçüklemek” bir amaç iken, bu maliyetlerin en fazla 10.000 TLolması bir hedeftir.

• “Yıllık kârı en büyüklemek” de bir amaç iken, yıllık kârın en az2.000.000 TL olması da bir başka hedeftir.



Kısıtlar: Hedef programlamada sistem kısıtları ve hedef kısıtları olmak üzere iki türkısıt bulunmaktadır.

1. Sistem Kısıtları: Tam olarak sağlanması gereken ve sapmaya izin verilmeyenkısıtlardır. Bu kısıtlar, eldeki kıt kaynakları ifade eder ve doğrusal programlamaproblemlerindeki kısıtlara karşı gelirler.

Doğrusal programlamadaki gibi formüle edilirler ve öncelikle bu kısıtlarıngerçekleştirilmesi gerekir (Cinemre, 2011; Öztürk, 2011).

2. Hedef Kısıtları: Karar vericinin ulaşmayı istediği veya gerekli gördüğü hedefler,hedef programlama modeline hedef kısıtları olarak aktarılır. Hedef kısıtları çok katıolmayıp hedeflenen değerlerden (sağ taraf değerleri) sapmaların açıklanmasıylaortaya çıkan esnek kısıt fonksiyonlarıdır. Hedef kısıtlarının sağlanması sistemkısıtlarının gerçekleştirilmesinden sonra gelir (Cinemre, 2011).



• Sapma değişkenleri: Sadece hedef kısıtları ve modelin amaçfonksiyonunda yer alan sapma değişkenleri, istenilen hedefin aşılmasıve altında kalınması durumlarını gösteren değişkenlerdir.

• Her bir hedef için birer negatif sapma ve pozitif sapma değişkenitanımlanır. Sapma değişkenleri negatif değer alamazlar.

• Ayrıca, belirlenen hedefin sadece ya altında ya da üstünde bir durumgerçekleşeceğinden, negatif ve pozitif sapma değişkenlerinden biridaima sıfır değerini alır.



Hedef kısıtlarının genel gösterimi aşağıdaki gibidir:

Karar değişkenleri

Pozitif sapma Negatif sapma Hedef Değeri



Örnek

Bir firma üç farklı ürün üretmektedir. Her ürün için gerekli işçilik saati, boya miktarı, plastik malzeme miktarı ve birim kâr aşağıdaki tabloda verilmiştir. İşletmenin kaynakları ise 900 işçilik saati, 1550 varil boya ve 1600 adet plastik malzeme ile sınırlıdır.

Ürün işçilik boya plastik kâr

A 1.5 3 2 16

B 4 2 3 22

C 3 2 4 24



1.HEDEF: Tam 10500 TL kâr elde etmek

2.HEDEF: Fazla mesai yapmamak

3.HEDEF: İlave boya almamak

4.HEDEF: ilave plastik malzeme kullanmamak



Amaç fonksiyonuMin z= 𝑑1

+ + 𝑑1− + 𝑑2

+ + 𝑑3+ + 𝑑4

+

Kısıtlar𝟏𝟔𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝟑 − 𝑑1

+ + 𝑑1− = 10500

𝟏. 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝑑2+ + 𝑑2

− = 900𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝑑3

+ + 𝑑3− = 1550

𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝑑4+ + 𝑑4

− = 1600

𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝑑1+, 𝑑1

−, 𝑑2+, 𝑑2

−, 𝑑3+, 𝑑3

−, 𝑑4+, 𝑑4

− ≥ 0



Kuadratik Programlama



Kuadratik Programlama

• Karesel programlama ile doğrusalprogramlama arasındaki tek fark kareselprogramlamanın amaç fonksiyonundabir değişkenin karesi ( 𝑥𝑖

2 ) veya ikideğişkenin çarpımının ( 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑗 )bulunmasıdır.

• Kısıtlar doğrusal programlamada olduğugibi doğrusaldır.

• Bir karesel programlama modeliaşağıdaki gibi tanımlanır



• XT DX fonksiyonu kuadratik bir form tanımlar. Burada D simetriktir. D matirisiproblem maksimizasyonsa negatif tanımlı, problem minimizasyonsa pozitiftanımlıdır. Bu da z’ nin X’te minimizasyon için kesinlikle konveks, maksimizasyoniçin de kesinlikle konkav olması anlamına gelir.

• Bu durumda konveks çözüm uzayını garanti eden kısıtların doğrusal olduğuvarsayılır. Bu problemin çözümü Kuhn-Tucker gerekli koşullarını temel alır. zkesinlikle konveks (veya konkav) ve çözüm uzayı konveks küme olduğu için bukoşullar global optimum için yeterlidir.

• Kuadratik programlama problemi maksimizasyon durumu için ele alınacaktır.Formülasyonu minimizasyona göre değiştirmek kolay bir iştir. Problem şöyleyazılabilir:



Örnek



Dinamik Programlama



Dinamik programlama

Richard Bellman tarafından 1954 yılında keşfedilmiş bir yöntemdir vebu konuda Bellman denklemi denilen algoritma da mevcuttur.

Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyleele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunlarınçözümleri "dinamik programlama" yöntemiyle incelenir.



Temel Prensibi

• Dinamik programlamanın altında yatan temel prensip “principle of optimality” adında, “karar verme aşamasında geçmişte izlenen karar verme süreçlerinden etkilenmeyerek, gelecek adına en optimum ve en düzgün kararı verebilmeyi şart koşan” prensiptir.



Genel çözüm yolları

• Bir problem, dinamik programlama ile iki yoldan çözülebilir. Bu yollar;

• Forward recursion (ileriye yineleme): Sorunun başındaki en küçük birimdenbaşlayarak sorunun tamamını çözmek

• Backward recursion (geriye yineleme): Sorunun çözümünün sonnoktasından başlayarak, başına doğru yol alarak çözmek

• Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler, gelecek dönem için önceden yapılanplanları geçersiz kılabilir.

• Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da önceki plangüncelleştirilmelidir.

• Koşullar bir zaman sürecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlaraetkisi önemli ise, dinamik programlama modellerine gereksinim vardır.



Dinamik programlama, n değişkenli bir problemin optimum çözümünü, problemi naşamaya ayrıştırarak ve her aşamada tek değişkenli bir alt problemi çözerek belirler.

Bunun hesaplama avantajı, n değişkenli alt problemler yerine tek değişkenli altproblemleri optimum kılacak olmamızdır.

Dinamik programlamanın asıl katkısı, problemleri aşamalara ayrıştırmasının çerçevesinioluşturan optimumluk ilkesidir.



Dinamik programlamada hesaplamalar yinelenerek yapılır, bu bakımdanbir alt problemin optimum çözümü bir sonraki alt problemin girdisidir.

Son alt problemi çözdüğümüzde, problemin tamamının optimumçözümüne ulaşmış oluruz.

Yinelenen hesaplamaların uygulanma biçimi orijinal problemi nasılayrıştırdığımıza bağlıdır.

Özellikle, alt problemler bazı ortak kısıtlarla normalde birbirleriyleilişkilendirilmişlerdir.

Bir alt problemden bir sonrakine ilerledikçe bu kısıtların uygunluğunadikkat etmek zorunludur.



Kargo Yükleme Modeli

Kargo yükleme problemi, sınırlı hacme veya ağırlık kapasitesine sahip bir gemiyekargoların yüklenmesiyle ilgilidir.

Her yükün bir gelir düzeyi vardır. Amaç, gemi kapasitesini en çok geliri sağlayacak yükledoldurmaktır.




Diğer taraftan, Kargo yükleme problemi, jet pilotunun uçağına alacağıen gerekli (acil) malzemeleri belirlemek zorunda olduğu uçuş çantasıveya bir askerin (ya da yürüyüşçünün) çantasında taşıyacağı en gereklieşyalara karar vermek zorunda olduğu sırt çantası problemi diye debilinir.




n farklı yük ve W kapasiteli (ton) gemi için, mi: kargoda i. yükten kaç birim olacağınıgöstersin ve her bir yükün getirisi ve hacmi sırasıyla ri ve wi olsun. Problemin genelformülasyonu aşağıdaki tam sayılı doğrusal programlama problemiyle gösterilir:

𝑎𝑚𝑎ç 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑧 = 𝑟1. 𝑚1 + 𝑟2. 𝑚2 +⋯+𝑟𝑛. 𝑚𝑛

𝑘𝚤𝑠𝚤𝑡𝑙𝑎𝑟𝑤1. 𝑚1 + 𝑤2. 𝑚2 +⋯+𝑤𝑛. 𝑚𝑛 ≤ 𝑊𝑚1, 𝑚2, … ,𝑚𝑛 ≥ 0 𝑣𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑠𝑎𝑦𝚤




Dinamik programlama açısından problemi incelediğimizde şu verilere ulaşırız.

Modelin üç bileşeni vardır:

1. i. aşama: i yüküyle gösterilir. i=1, 2, ... , n.

2. i. aşamadaki alternatifler: kargonun içinde bulunan i yükünün sayısı ile gösterilir.Bunun geliri rimi 'dir. [W/wi], W/wi 'den küçük veya ona eşit en büyük tamsayıolarak tanımlanır ve mi= 0,1 , ... , [W/wi] olur.

3. i. aşamadaki durum: i, i+ 1, ... , ve n. aşamalara (yüklere) tahsis edilecek toplamağırlık xi ile gösterilir. Bu tanım, ağırlık kısıtının bütün n aşamalarını birbirinebağlayan tek kısıt olması demektir.




fi(xi) = Verilen xi durumu ve i, i + 1, ... , n aşamaları için maksimumgelirler olsun. Geriye doğru yineleme denklemini belirlemek için enkolay yol iki adımlı prosedürdür.



Örnek

4 tonluk bir gemi üç farklı yükü taşıyabilmektedir. Aşağıdaki tablo, i. kalem için toncinsinden birim ağırlık wi' yi ve 1000 pb olarak birim gelir ri'yi vermektedir.Toplam geliri maksimum kılmak için gemi nasıl yüklenmelidir?



Örnek

Birim ağırlık wi ve maksimum ağırlık W tam sayılı değerler olarak varsayıldığından, xidurumunun da sadece tam sayılı değerler alacağı varsayılabilir.

• 3. aşama: 3. aşamaya (3. yüke) tahsis edilecek ağırlık şimdiden kesin olarakbilinemez, fakat 0, 1, 3 ve 4 değerlerinden biri olarak varsayılmak zorundadır(çünkü gemi kapasitesi W= 4 ton'dur).

• x3 =0 ve x3 = 4 durumları sırasıyla 3. yükü hiçbir şekilde gemiye almamak ve gemikapasitesinin tamamını 3. yüke tahsis etmek gibi uç durumları gösterir.

• x3 'ün kalan değerleri ( = 1, 2 ve 3) gemi kapasitesinin kısmen 3. yüke tahsisedildiğini gösterir.

• Gerçekte x3 için verilen değerler aralığı gemi kapasitesinin 3. yüke bütün olasıtahsislerini kapsamaktadır.



Birim başına w3 = 1 ton olduğundan, 3. yükün maksimum miktarı 4/1=4 olacaktır. m3 'ünolası değerleri 0, 1, 2, 3 ve 4'tür. Alternatif m3 sadece w3.m3 ≤ x3 olması durumundauygundur. Böylelikle (w3.m3 ≤ x3 gibi) bütün uygun olmayan alternatifler çıkarılır. 3.aşamanın alternatiflerini karşılaştırmak için aşağıdaki denklem esas alınır:

1 ton



Örnek

Aşağıdaki tablo x3 'ün her bir değeri için uygun alternatifleri karşılaştırmaktadır:

1 ton



Kapasite 4 ton olduğu için m2 yükünün de tanesi 3 ton geldiğinden gemiye ya 0 ya da 1 adet m2 yüklenebilir.

3 ton



Kapasite 4 ton olduğu için m1 yükünün de tanesi 2 ton geldiğinden gemiye ya 0, 1 ya da 2 adet m1 yüklenebilir.

2 ton



Sonuç• Optimum çözüm şu şekilde belirlenir:

• W= 4 olduğu bilindiğinden,

• 3. aşamada x1 = 4, optimum alternatifim1*= 2 olarak verir ve bu, 1. yüktengemiye 2 birim yüklenmesi gerektiğinibelirtir.

• Bu durumda x2 = x1 - 2m1* = 4-2x2= 0olur.

• 2. aşamada ise x2=0 olduğunda m2* =0'dır. Buna göre x3 = x2 – 3m2*= 0- 3x0= 0bulunur.

• Sıradaki aşama olan 1. aşamada x3 = 0olduğunda m3* = 0 olur.

• Böylece kesin optimum çözüm m1* = 2,m2*=0, m3* =0 olarak belirlenir, çözümüngeliri 62000 pb' dir.



Önemli Not

• 1. aşama için geliştirilen tabloda, bu aşamanın hesaba katılacak son aşama olmasınedeniyle sadece x1 = 4 için gerçekte optimumu bulmamız gerekmekteydi.

• Duyarlılık analizi yapabilmemizi sağlaması açısından x1 =0, 1, 2 ve 3 de bu tabloyaeklenmiştir.

• Örneğin eğer gemi kapasitesi 4 ton değil de 3 ton olsaydı problem nasıl çözülecekti?

• Yeni optimum çözüme, 1. aşamada x1 = 4 yerine x1 = 3 alarak başlanacak veyukarıdaki aşamalar tekrar edilerek sonuca ulaşılacaktı.

• Kargo yükleme örneği sınırlı kaynakların sonlu sayıda (ekonomik) faaliyet arasındabölüştürülmesini sağlayan tipik bir kaynak tahsisi modelidir. Amaç, gelirfonksiyonunu maksimum kılmaktır.

• Bu gibi modellerde her aşamada durumun tanımı kargo yükleme modelinde verilentanıma benzer bir tanım olacaktır. i. aşamadaki durum i, i + 1, ... ve n aşamalarınatahsis edilen toplam kaynak miktarıdır.



BELİRSİZLİKLER ALTINDA OPTİMİZASYON



• Eniyileme problemlerinde karar ortamındaki belirsizlikler genellikle duyarlılıkanalizleri, stokastik programlama, bulanık mantık ve robust (gürbüz) optimizasyongibi tekniklerle ele alınmıştır.

• Duyarlılık analizinde parametrelerin sabit değerleri ile problem çözülmekte veküçük oynamalardan en iyi çözümün nasıl etkilendiği görülmektedir.

• Belirsizlik altında kullanılan yöntemlerinden biri olan bulanık programlama,veriler hakkında yeterli bilgi olmadığı durumlarda belirsizlik ile ilgili kişiselyargıların üyelik fonksiyonları sayesinde eniyileme modeline dahil edilebilmesineolanak sağlar. Belirsizliği çözüm sürecine dahil etmesi açısında proaktif olsa daelde edilen durulaştırılmış sonuçlar karar vericiye hareket alanı ile ilgili bilgivermemektedir.



• Olasılıksal (stokastik) programlama, belirsiz verilerin öncedentanımlanmış bir olasılık dağılımına uygun olduğu durumlardakullanılan bir yöntemdir. Olasılıksal programlama da proaktif birtekniktir, ancak verilerin olasılık dağılımının doğru bir şekilde tespitedilebilmesi için çok fazla veriye gereksinim duyulmaktadır. Ayrıcaolasılıklı eniyileme problemlerinin çözümü ile ilgi de zorluklaryaşanmaktadır.



• Robust eniyileme ise problem parametrelerinin olasılıklı olmaktan ziyadedeterministik ve küme tabanlı olduğu durumlarda kullanılır.

• Robust eniyileme modellerinin avantajlı yanlarından biri de eşdeğer modelleryazılarak, modelin çözülebilirliğinin kolaylaştırılabilmesidir.

• Robust model ile verilerdeki belirsizlik model içine dahil edilir ve sağlam (robust)sonuçlar elde edilir.

• “Sağlamlık (Robustness) Yaklaşımı”nın amacı, önceden belirlenmiş bir planlamadöneminde muhtemel tüm girdi verisi senaryolarında makul amaç değeriverebilecek kararlar üretmektir (Kouvelis ve Yu, 1997).



• Robust eniyileme modelleri belirsizliği ele alma yöntemlerine küme tabanlı vesenaryo tabanlı olmak üzere iki ana kategoride ele alınabilmektedir.

• Küme tabanlı modellerde belirsiz veriler spesifik bir belirsizlik kümesi içindekalmak şartıyla değişkenlik gösterir. Amaç, veri belirsizliğine karşı duyarsızlaşmış,verilerin belirsizlik kümesi çerçevesinde aldığı tüm değerlerde olurlu çözüm eldeetmektir (Li vd., 2011). Belirsizlik kümesi elemanları spesifik bir dağılımauygunluk göstermez. Belirsizlik kümesi genellikle kapalı konveks kümedir.



• Senaryo tabanlı modellerde gürültü faktörü içeren veya tamamlanmamış veri setiile hazırlanmış senaryoları kullanarak beklenen maliyeti ve en iyi maliyettensapmaları minimize etmeyi amaçlamaktadır.

• Bu açıdan bakıldığında olasılıklı eniyilemenin robust eniyilemenin özel bir türüolduğu söylenebilir.

• Senaryo tabanlı robust eniyilemede temel amaç sağlam bir sistem tasarımında sistemiçinde makul maliyetlerde ortaya çıkan belirsiz durumlara yeterli esnekliksağlayabilmektir. Senaryo eniyilemesi, belirsiz senaryolar kümesinden elde edilen eniyi çözümleri dengeleyen olurlu bir çözüm bulmaya çalışır.

• Veri setinin büyük ve parametrelerin sürekli olduğu durumlarda genellikle kümetabanlı modeller kullanılırken; veri setinin küçük, parametrelerin kesikli olduğudurumlarda genellikle senaryo tabanlı modeller kullanılmaktadır.



Okuma Tavsiyesi: Pembe GÜÇLÜ veAli ÖZDEMİR,2017.Belirsizlik Altında Üretim Planlaması Problemi için RobustEniyileme Modeli, Optimum Ekonomi ve Yönetim Bilimleri Dergisi, 2017, 4(1), 55-76

• Bulut tabanlı tasarım optimizasyonu (Cloud based designoptimization) • CBDO is a robust design-based optimization model which conserves experts against worst

case scenarios. Especially for multidisciplinary decisions which consist of several managerialfields, it transforms high amount of uncertainties to a simple form by the help of “cloud” thatis introduced by Ref. 39. Clouds stand for incomplete information explicitly. Robustness isgained by safeguarding the system against perturbations due to unconsidered and imprecisedata. Clouds intervene between dimensions of probability distributions and fuzzy set theoryand they have less information than stochasticity and more information than fuzziness.

Kaynak: Gül T. Temur , Seda Yanık,2017. A Novel Approach for Multi-Period Reverse Logistics Network Design under High Uncertainty, International Journal of Computational Intelligence Systems, Vol. 10 (2017) 1168–1185



STOKASTİK PROGRAMLAMA



Kaynaklar

• Doç.Dr. Metin Türkay, Optimizasyon Modelleri ve Çözüm metodları, KoçÜniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü.

• Doç. Dr. İbrahim Küçükkoç, EMM3208 Optimizasyon Teknikleri Ders Notları,Balıkesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği.

• E. Çetin, Stokastik programlama yöntemiyle bir portföy optimizasyonu modeliningeliştirilmesi, İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Ens. İşletme ABD SayısalYöntemler BD. Doktora tezi, 2004.



doç. dr. berk ayvazgenişletilmiş(extended) modelleme döngüsü (siller ve greefrad, 2010)...

Documents