ÐÑÐ¸Ð±Ð»Ð¸Ð¶ÐµÐ½Ð¸Ðµ ÐºÐ»Ð°ÑÑÐ¾Ð² b p, Î¸ Î© ,...

Analysis Mathematica, 39(2013), 217–233

DOI: 10.1007/s10476-013-0305-x

Pribli�enie klassov BΩp,θ periodiqeskih funkci�i

mnogih peremennyh line�inymi metodami

A. F. KONOGRA�I

Institut matematiki, Nacional�no�i Akademii Nauk Ukrainy,Ukraina, Kiev 01601, ul. Terewenkovska� 3, e-mail: [email protected]

Postupilo 2 marta, 2012; pererabotanno�i variant 12 i�n�, 2013.

Re z�me . V rabote izuqa�ts� voprosy pribli�eni� line�inymi metodamiklassov BΩ

p,θ , 1 ≤ p ≤ ∞, periodiqeskih funkci�i mnogih peremennyh v prost-ranstve L∞.

1. Vvedenie

V rabote issledu�ts� nekotorye voprosy, sv�zannye s pribli-�eniem klassov BΩ

p,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, periodiqeskih funkci�i mnogihperemennyh line�inymi metodami v prostranstve L∞. Bolee konk-retno ob �tom budet idti req� v sootvetstvu�wih qast�h raboty,a snaqala privedem neobhodimye oboznaqeni� i opredeleni�.

Pust� Rd, d ≥ 1, oboznaqaet d-mernoe prostranstvo s �lemen-

tami

x = (x1, . . . , xd), (x, y) = x1y1 + · · ·+ xdyd

i

Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, πd =d∏

j=1

[0; 2π],

0133–3852/$ 20.00c© 2013 Akademiai Kiado, Budapest

218 A. F. Konogra�i

— prostranstvo 2π-periodiqeskih po ka�do�i peremenno�i funkci�if(x) = f(x1, . . . , xd), dl� kotoryh

‖f‖p :=((2π)−d

∫

πd

|f(x)|p dx)1/p

< ∞, 1 ≤ p < ∞,

‖f‖∞ := ess supx∈πd

|f(x)| < ∞.

Dalee budem predpolagat�, qto dl� funkci�i f ∈ Lp(πd) vypol-neno dopolnitel�noe uslovie

∫ 2π

0f(x) dxj = 0, j = 1, d.

Dl� f ∈ Lp(πd) oboznaqim qerez Ωl(f, t)p smexanny�i modul�nepreryvnosti por�dka l

Ωl(f, t)p = sup|hj|≤tj

j=1,d

‖Δlhf‖p,

gde t = (t1, . . . , td), l ∈ N,

Δlhf(x) = Δl

hd· · ·Δl

h1f(x) = Δl

hd(· · · (Δl

h1f(x)))

— smexanna� raznost� por�dka l s xagom hj po peremenno�i xj i

Δlhjf(x) =

l∑

n=0

(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).

Pust� Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — zadanna� funkci� tipa sme-xannogo modul� nepreryvnosti por�dka l, kotora� udovletvor�etsledu�wim uslovi�m:

1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,d∏

j=1

tj = 0;

2) Ω(t) ne ubyvaet po ka�do�i peremenno�i;

3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤( d∏

j=1

mj

)lΩ(t), mj ∈ N, j = 1, d;

4) Ω(t) nepreryvna pri tj ≥ 0, j = 1, d.

Budem govorit�, qto Ω(t) udovletvor�et tak�e uslovi� (S) i(Sl), kotorye nazyva�t uslovi�mi Bari–Steqkina [1]. �to ozna-qaet sledu�wee.

Pribli�enie klassov BΩp,θ periodiqeskih funkci�i mnogih peremennyh 219

Funkci� odno�i peremenno�i ϕ(τ) ≥ 0 udovletvor�et uslovi�(S), esli ϕ(τ)/τα poqti vozrastaet pri nekotorom α > 0, t.e. su-westvuet nezavisima� ot τ1 i τ2 posto�nna� C1 > 0, taka�, qto

ϕ(τ1)

τα1≤ C1

ϕ(τ2)

τα2, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.

Funkci� ϕ(τ) ≥ 0 udovletvor�et uslovi� (Sl), esli pri neko-torom 0 < γ < l, ϕ(τ)/τγ poqti ubyvaet, t.e. suwestvuet nezavisi-ma� ot τ1 i τ2 posto�nna� C2 > 0, taka�, qto

ϕ(τ1)

τγ1≥ C2

ϕ(τ2)

τγ2, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.

Budem sqitat�, qto Ω(t) udovletvor�et uslovi�m (S) i (Sl),esli Ω(t) udovletvor�et �ti uslovi� po ka�do�i peremenno�i tj prifiksirovannyh ti, i �= j.

Itak, pust� 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, a Ω(t) — zadanna� funkci�tipa smexannogo modul� nepreryvnosti por�dka l, kotora� udo-vletvor�et uslovi�m 1–4. Togda, soglasno opredeleni� [9]

BΩp,θ :=

{f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ

p,θ=

( ∫

πd

(Ωl(f, t)pΩ(t)

)θ d∏

j=1

dtjtj

)1/θ ≤ 1},

pri 1 ≤ θ < ∞ i

BΩp,∞ :=


p,∞ = supt>0

Ωl(f, t)pΩ(t)

≤ 1}

(zapis� t > 0 dl� t = (t1, . . . , td) ravnosil�na tj > 0, j = 1, d).Zametim, qto pri θ = ∞ klassy BΩ

p,θ sovpada�t s klassamiHΩ

p , kotorye byli rassmotreny Pustovo�itovym v [5].V posledu�wih rassu�deni�h nam budet udobno pol�zovat�s�

�kvivalentnym (s toqnost�� do absol�tnyh posto�nnyh) oprede-leniem klassov BΩ

p,θ.Ka�domu vektoru s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, postavim v

sootvetstvie mno�estvo

ρ(s) ={k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z \ {0}, j = 1, d

}

i dl� f ∈ Lp(πd) oboznaqim

δs(f, x) =∑

k∈ρ(s)

f(k)ei(k,x),

gdef(k) = (2π)−d

∫

πd

f(t)e−i(k,t) dt

— ko�fficienty Fur�e funkcii f .


Itak, pust� 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) — zadanna� funkci�tipa smexannogo modul� nepreryvnosti por�dka l, kotora� udo-vletvor�et uslovi�m 1–4, (S) i (Sl), togda s toqnost�� do absol�t-nyh posto�nnyh klassy BΩ

p,θ mo�no opredelit� sledu�wim obrazom(sm. [9]):

(1) BΩp,θ :=


p,θ=

(∑

s

Ω−θ(2−s)‖δs(f)‖θp)1/θ ≤ 1

},

pri 1 ≤ θ < ∞ i

(2) BΩp,∞ :=


p,∞ = sups

‖δs(f)‖pΩ(2−s)

≤ 1},

zdes� i v dal�ne�ixem

Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.

Otmetim, qto pri

Ω(t) =d∏

j=1

trjj , 0 < rj < l,

klassy BΩp,θ est� analogi izvestnyh klassov Besova Br

p,θ (sm.,naprimer, [3]).

Privedennoe opredelenie klassov BΩp,θ mo�no rasprostranit�

i na kra�inie znaqeni� p = 1,∞, vidoizmeniv v (1) i (2) «bloki»δs(f, x). Pust� Vn(t), n ∈ N, oboznaqaet �dro Valle Pussena po-r�dka 2n − 1:

Vn(t) = 1 + 2n∑

k=1

cos kt+ 22n−1∑

k=n+1

(1− k − n

n

)cos kt.

Sopostavim ka�domu vektoru s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,polinom

As(x) =d∏

j=1

(V2sj (xj)− V2sj−1(xj)

)

i dl� f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, qerez As(f, x) oboznaqim svertku

As(f, x) = f ∗ As.

V prin�tyh oboznaqeni�h (s toqnost�� do absol�tnyh pos-to�nnyh) klassy BΩ

p,θ , 1 ≤ p ≤ ∞ opredel��ts� sledu�wim obrazom(sm., sootvetstvenno [8] i [5]):

(3) BΩp,θ :=


p,θ=

(∑

s

Ω−θ(2−s) ‖As(f)‖θp)1/θ ≤ 1

},


pri 1 ≤ θ < ∞ i

(4) BΩp,∞ :=


p,∞ = sups

‖As(f)‖pΩ(2−s)

≤ 1}.

Otmetim, qto pri 1 < p < ∞ opredeleni� norm funkci�i sklassov BΩ

p,θ (1) i (2) �kvivalentny opredeleni�m norm (3) i (4)sootvetstvenno.

Ni�e my budem rassmatrivat� klassy BΩp,θ, kotorye opre-

del��ts� funkcie�i Ω(t) vida:

(5) Ω(t) = ω( d∏

j=1

tj),

gde ω(τ) — zadanna� funkci� (odno�i peremenno�i) tipa modul�nepreryvnosti por�dka l, kotora� udovletvor�et uslovi�m (S) i(Sl). Pon�tno, qto v takom sluqae funkci� Ω(t), zadanna� formulo�i(5), budet udovletvor�t� sformulirovannym vyxe uslovi�m 1–4,(S) i (Sl).

Dalee, pust� Qn oboznaqaet mno�estvo

Qn =⋃

‖s‖1≤n

ρ(s), ‖s‖1 = s1 + · · ·+ sd,

kotoroe nazyva�t stupenqatym giperboliqeskim krestom.Inogda nam budet udobno rassmatrivat� mno�estvo Γ(N),

sootvetstvu�wee mno�estvu Qn. Po opredeleni�

Γ(N) ={k : k = (k1, . . . , kd), 0 <

d∏

j=1

|kj | ≤ N}

i pri �tom Γ(N) nazyva�t giperboliqeskim krestom. Qerez T (N)oboznaqim mno�estvo polinomov vida

t(x) =∑

k∈Γ(N)

ckei(k,x),

a qerez T (Qn) — mno�estvo polinomov vida

t(x) =∑

k∈Qn

ckei(k,x).

Otmetim, qto v prin�tyh oboznaqeni�h ime�t mesto vkl�qe-ni�

T (Qn) ⊂ T (2n) ⊂ T (Qn+d).

Dl� f ∈ Lp(πd) opredelim veliqiny

EN (f)p = inft∈T (N)

‖f − t‖p, 1 ≤ p ≤ ∞,


EQn(f)p = inf

t∈T (Qn)‖f − t‖p, 1 ≤ p ≤ ∞,

kotorye nazyva�ts� nailuqximi pribli�eni�mi funkcii f tri-gonometriqeskimi polinomami s «nomerami» garmonik iz giper-boliqeskogo i stupenqatogo giperboliqeskogo krestov sootvetst-venno. Dl� funkcional�nogo klassa F polagaem

EN (F )p = supf∈F

EN (f)p, EQn(F )p = sup

f∈FEQn

(f)p.

Esli A — koneqnoe mno�estvo, to qerez |A| budem oboznaqat�koliqestvo ego �lementov.

Teper� ostanovims� kratko na istorii issledovani� rassmat-rivaemyh v rabote voprosov.

Izvestno [2], qto v odnomernom sluqae suwestvuet posledova-tel�nost� operatorov, kotorye realizu�t por�dki nailuqxih pri-bli�eni�i klassov periodiqeskih funkci�i W r

p v metrike prost-ranstva Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, i, krome togo, normy �tih operatorovravnomerno ograniqeny. Neskol�ko ina� situaci� imeet mestov mnogomernom sluqae pri pribli�enii klassov W r

p,α i Hrp v

metrikah prostranstv L1 i L∞.Tak, v rabotah [10–12] Teml�kovym bylo ustanovleno, qto

suwestvu�t line�inye operatory so znaqeni�mi v T (Qn), kotoryeobespeqiva�t tako�i �e por�dok pribli�eni� klassov W r

1,α i Hr1 v

metrike L1, kak i nailuqxie pribli�eni� EQn(W r

1,α)1 i EQn(Hr

1 )1sootvetstvenno. No pri �tom posledovatel�nost� takih operatorovimeet neograniqennye normy. Analogiqna� situaci� imeet mestoi pri pribli�enii klassov Hr

∞ v metrike prostranstva L∞. Zame-tim, qto analogiqny�i �ffekt na klassah Br

∞,θ i Br1,θ sootvetstvenno

v metrikah prostranstv L∞ i L1 byl obnaru�en Roman�kom v [6].V sv�zi s �tim obsto�tel�stvom, predstavl�ets� interesnym

issledovat� povedenie norm posledovatel�noste�i line�inyh ope-ratorov, kotorye obespeqiva�t tako�i �e por�dok pribli�eni�klassov BΩ

∞,θ v ravnomerno�i metrike, kak ih nailuqxie pribli-�eni�. Issledovani� �togo voprosa i posv�wena perva� qast�raboty.

Vo vtoro�i qasti raboty ustanavliva�ts� sootnoxeni� me�dunailuqximi pribli�eni�mi klassov BΩ

p,θ v metrike L∞ polino-mami iz T (Qn) i pribli�eni�mi �tih klassov line�inymi operato-rami so znaqeni�mi v T (Qn).

Otmetim, qto v processe dokazatel�stva poluqennyh rezul�ta-tov ispol�zu�ts� metody, kotorye primen�lis� pri issledovanii


sootvetstvu�wih voprosov na klassah Hrp i Br

p,θ v rabotah [12, 6].Bolee podrobno ob �tom budet govorit�s� v kommentari�h.

2. Ocenka norm operatorov pribli�eni�

Imeet mesto sledu�wee utver�denie.

Teorema 1. Pust� na L∞(πd) opredelena posledovatel�nost�ograniqennyh line�inyh operatorov LQn

, kotorye stav�t v soot-vetstvie ka�do�i funkcii iz L∞(πd) trigonometriqeski�i polinomiz T (Qn) takim obrazom, qto dl� funkci�i f iz klassa BΩ

∞,θ , 1 ≤θ ≤ ∞, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td), gde ω(τ) udovletvor�et uslovi�m (S) snekotorym α > 0 i (Sl), vypolneno por�dkovoe neravenstvo

‖f − LQn(f)‖∞ EQn

(BΩ∞,θ)∞.

Togda dl� l�bogo ε > 0 imeet mesto ocenka

‖LQn‖ � n(d−1)(1−ε).

Zameqanie 1. Zdes� i v dal�ne�ixem dl� polo�itel�nyhfunkci�i μ1(N) i μ2(N) zapis� μ1 μ2 oznaqaet, qto suwestvuetposto�nna� C > 0 taka�, qto

∀N ∈ N , μ1(N) ≤ Cμ2(N).

Sootnoxenie μ1 μ2 ravnosil�no tomu, qto μ1 μ2 i μ1 � μ2.Otmetim tak�e, qto vse posto�nnye Ci, i = 1, 2, . . . , kotorye budutvstreqat�s� v rabote mogut zaviset� tol�ko ot teh parametrov, ko-torye soder�ats� v opredeleni�h klassov, metriki i razmernostiprostranstva R

d.

Dokazatel�stvo . Pust�

z = (z1, . . . , zd), zj ∈ R, j = 1, d,

i Iz oboznaqaet operator sdviga argumenta funkcii f(x) na vektorz, t.e.

Izf(x) = f(x+ z).

Kak i v rabote [4], rassmotrim ograniqenny�i line�iny�i operatorTQn

, de�istvu�wi�i na funkci� f(x) po pravilu

(TQnf)(x) = (2π)−d

∫

πd

(I−zLQnIzf)(x) dz.


Togda vsledstvie invariantnosti normy otnositel�no sdvigaargumenta, imeet mesto neravenstvo

(6) ‖TQn‖ ≤ ‖LQn

‖.Krome togo, legko proverit�, qto

TQn(ei(k,x)) =

{cn,k ei(k,x), k ∈ Qn,0, k /∈ Qn.

De�istvitel�no, esli k ∈ Qn, to

(7) TQn(ei(k,x)) = (2π)−d

∫

πd

I−zLQnei(k,x+z) dz =

= (2π)−d∫

πd

I−zLQnei(k,x)ei(k,z) dz.

V rezul�tate togo, qto LQn(ei(k,x)) est� �lement iz T (Qn), bu-

dem imet�

(8) LQn(ei(k,x)) =

∑

m∈Qn

cn,mei(m,x).

Takim obrazom, iz (7) i (8), poluqim

TQn(ei(k,x)) = (2π)−d

∫

πd

I−z

(ei(k,z)

∑

m∈Qn

cn,mei(m,x))dz =

= (2π)−d∫

πd

(ei(k,z)

∑

m∈Qn

cn,mei(m,x−z))dz = cn,ke

i(k,x).

Analogiqnym obrazom mo�no proverit�, qto esli k /∈ Qn,to TQn

(ei(k,x)) = 0. Sledovatel�no, operator TQnde�istvuet na f

sledu�wim obrazom:

(9) (TQnf)(x) = f(x) ∗

∑

k∈Qn

cn,kei(k,x).

Dalee, pust� f ∈ BΩ∞,θ. Togda Izf ∈ BΩ

∞,θ i soglasno uslovi�teoremy

(10) ‖Izf − LQn(Izf)‖∞ EQn

(BΩ∞,θ)∞.

Pust� I — ediniqny�i operator. Togda, vospol�zovavxis�(10), budem imet�

(11) ‖f − TQn(f)‖∞ = (2π)−d

∥∥∥∫

πd

I−z(I − LQn)(Izf) dz

∥∥∥∞ ≤

≤ (2π)−d∫

πd

∥∥∥I−z

(Iz(f)− LQn

(Iz(f)))∥∥∥∞ dz =


= (2π)−d∫

πd

‖Iz(f)− LQn(Iz(f))‖∞ dz EQn

(BΩ∞,θ)∞.

Takim obrazom, iz sootnoxeni�i (6) i (11) sleduet, qto dokaza-tel�stvo teoremy dostatoqno provesti dl� operatora, kotory�iopredel�ets� ravenstvom (9).

Pust�

LQn(f) = (2π)−d

∫

πd

f(x− y)LQn(y) dy,

gdeLQn

(y) =∑

k∈Qn

cn,kei(k,y).

Togda dl� normy operatora LQn, mo�em zapisat�

(12) ‖LQn‖ = ‖LQn

‖1.Dl� dal�ne�ixih rassu�deni�i nam ponadobits� vspomogatel�-

noe utver�denie, kotoroe sformuliruem v vide lemmy.

Lemma 1. Suwestvuet δ > 0 takoe, qto dl� vseh n imeetmesto neravenstvo ∑

k∈Qn

|cn,k| ≥ δ|Qn|.

Dokazatel�stvo . Budem vesti rassu�deni� ot protivnogo,t.e. predpolo�im, qto dl� l�bogo δ > 0 na�idets� takoe n, qto

(13)∑

k∈Qn

|cn,k| < δ|Qn|.

Pust�

V ={k : k = (k1, . . . , kd), |cn,k| > 1

2

}.

Togda iz (13), poluqim

δ|Qn| >∑

k∈Qn\V|cn,k|+

∑

k∈V

|cn,k| >∑

k∈Qn\V|cn,k|+ 1

2

∑

k∈V

1 =

=∑

k∈Qn\V|cn,k|+ 1

2|V | ≥ 1

2|V |,

t.e.

(14) |V | < 2δ|Qn|.Dalee, qerez S oboznaqim mno�estvo takih vektorov

s = (s1, . . . , sd), ‖s‖1 ≤ n, ρ(s) ⊂ Qn,


qto dl� nekotorogo vektora ks = (ks1, . . . , ksd) ∈ ρ(s) vypolneno ne-

ravenstvo |cn,ks| ≤ 12. Sootvetstvenno, S oboznaqaet mno�estvo os-

tal�nyh vektorov s = (s1, . . . , sd) takih, qto ρ(s) ⊂ Qn.Dl� dal�ne�ixih rassu�deni�i nam ponadobits� sledu�wee

sootnoxenie

(15)∑

‖s‖1≤n

2‖s‖1 =n∑

j=1

∑

‖s‖1=j

2‖s‖1 =

=n∑

j=1

2j∑

‖s‖1=j

1 n∑

j=1

2jjd−1 2nnd−1.

Takim obrazom, vospol�zovavxis� neravenstvom∑

s∈S

2‖s‖1 ≤ |V |

i sootnoxeni�mi (14) i (15), budem imet�∑

s∈S

2‖s‖1 < 2δ|Qn| δ2nnd−1 = 2n−log21δnd−1

2n−log21δ

(n− log2

1

δ

)d−1 ∑

‖s‖1≤n−log21δ

2‖s‖1 .

Sledovatel�no, dl� koliqestva �lementov mno�estva S dol�novypoln�t�s� sootnoxenie

(16) |S| (n− log2

1

δ

)d, δ > n−1.

Dalee, poskol�ku

(17) |S|+ |S| nd,

to soglasno (16) i (17), mo�em zapisat�

(18) |S| ≥ C(d)(nd −

(n− log2

1

δ

)d) � nd−1 log21

δ.

Rassmotrim funkcii

f1(x) = C3|S|−1/θ∑

s∈S

ω(2−‖s‖1)ei(ks,x), 1 ≤ θ < ∞, C3 > 0,

if2(x) = C4

∑

s∈S

ω(2−‖s‖1)ei(ks,x), C4 > 0,

gde vektory ks = (ks1, . . . , ksd) ∈ Qn takie, qto |cn,ks| ≤ 1

2.

Poka�em, qto

f1 ∈ BΩ∞,θ, 1 ≤ θ < ∞, i f2 ∈ BΩ

∞,∞pri nadle�awem vybore posto�nnyh C3 i C4.


De�istvitel�no,

‖f1‖BΩ∞,θ

(∑

s∈S

ω−θ(2−‖s‖1)‖As(f1)‖θ∞)1/θ

|S|−1/θ( ∑

s∈S

ω−θ(2−‖s‖1)ωθ(2−‖s‖1))1/θ |S|−1/θ|S|1/θ = 1,

‖f2‖BΩ∞,∞ sups∈S

‖As(f2)‖∞ω(2−‖s‖1)

sups∈S

ω(2−‖s‖1)

ω(2−‖s‖1)= 1.

Pust� f — proizvol�na� funkci� iz klassa BΩ∞,θ. Budem

rassmatrivat� pribli�enie funkcii f s pomow�� polinoma vida

tn(f, x) =∑

‖s‖1≤n

As(f, x).

Takim obrazom, budem imet�

‖f − tn(f)‖∞ =∥∥∥

∑

‖s‖1>n

As(f)∥∥∥∞ ≤

∑

‖s‖1>n

‖As(f)‖∞ =

=∑

‖s‖1>n

ω−1(2−‖s‖1) ‖As(f)‖∞ ω(2−‖s‖1) = I1.

Qtoby poluqit� ocenku I1 rassmotrim neskol�ko sluqaev.Pust� snaqala 1 < θ < ∞, togda vospol�zovavxis� neraven-

stvom Gel�dera i sootnoxeniem

(19)∑

‖s‖1≥n

2−σ‖s‖1 =∞∑

j=n

∑

‖s‖1=j

2−σ‖s‖1 =

=∞∑

j=n

2−σj∑

‖s‖1=j

1 ∞∑

j=n

2−σjjd−1 2−σnnd−1, σ > 0,

poluqim

(20) I1 ≤( ∑

‖s‖1>n

ω−θ(2−‖s‖1)‖As(f)‖θ∞)1/θ ×

×( ∑

‖s‖1>n

(ω(2−‖s‖1)

2−α‖s‖1

)θ′

2−α‖s‖1θ′)1/θ′

‖f‖BΩ∞,θ

ω(2−n)

2−αn

( ∑

‖s‖1>n

2−α‖s‖1θ′)1/θ′

ω(2−n)nd−1

θ′ , gde1

θ+

1

θ′= 1.

Pust� teper� θ = 1. My budem imet�

(21) I1 =∑

‖s‖1>n

ω−1(2−‖s‖1) ‖As(f)‖∞ω(2−‖s‖1)

2−α‖s‖12−α‖s‖1


ω(2−n)

2−αn2−αn

∑

‖s‖1>n

ω−1(2−‖s‖1) ‖As(f)‖∞

ω(2−n)‖f‖BΩ∞,1

≤ ω(2−n).

Nakonec, esli θ = ∞, to vospol�zovavxis� (4) i sootnoxeniem(19), nahodim

(22) I1 =∑

‖s‖1>n

‖As(f)‖∞ ∑

‖s‖1>n

ω(2−‖s‖1) =

=∑

‖s‖1>n

ω(2−‖s‖1)

2−α‖s‖12−α‖s‖1 ω(2−n)

2−αn

∑

‖s‖1>n

2−α‖s‖1

ω(2−n)

2−αn2−αnnd−1 = ω(2−n)nd−1.

Takim obrazom, sopostaviv (20)–(22), prihodim k ocenke

(23) EQn(BΩ

∞,θ)∞ ω(2−n)n(d−1)(1− 1θ ).

Soglasno uslovi� teoremy dl� f1 pri 1 ≤ θ < ∞, budem imet�

‖f1 − LQn(f1)‖∞ EQn

(BΩ∞,θ)∞.

Itak, prinima� vo vnimanie poluqennu� ocenku i sootnoxe-nie (23), poluqim

(24) ‖f1 − LQn(f1)‖∞ ω(2−n)n(d−1)(1− 1

θ ).

Analogiqnym obrazom, dl� funkcii f2 v sluqae θ = ∞, mo�nopoluqit� sledu�wee por�dkovoe neravenstvo

(25) ‖f2 − LQn(f2)‖∞ ω(2−n)nd−1.

Ocenim levye qasti (24) i (25) snizu. Budem imet�

(26) ‖f1 − LQn(f1)‖∞ ≥ |f1(0)− LQn

(f1(0))| �� |S|−1/θ

∣∣∣∑

s∈S

(1− cn,ks)ω(2−‖s‖1)∣∣∣ � |S|−1/θ

∑

s∈S

ω(2−‖s‖1) �

� ω(2−n)|S|−1/θ|S| = ω(2−n)|S|1−1/θ,

(27) ‖f2 − LQn(f2)‖∞ �

∣∣∣∑

s∈S

(1− cn,ks) ω(2−‖s‖1)∣∣∣ �

�∑

s∈S

ω(2−‖s‖1) � ω(2−n)|S|.

Takim obrazom iz (24), (26) i (25), (27), poluqaem, sootvet-stvenno, sledu�wie sootnoxeni�

ω(2−n)|S|1− 1θ ω(2−n)n(d−1)(1− 1

θ ),


ω(2−n)|S| ω(2−n)nd−1,

otkuda sleduet, qto

(28) |S| nd−1.

Dalee, sopostaviv (18) i (28), nahodim, qto

nd−1 log21

δ nd−1, t.e. log2

1

δ≤ C5,

gde C5 > 0 — nekotora� posto�nna�. Legko videt�, qto dl� nekoto-ryh δ > 0 �to neravenstvo ne vypoln�ets�. Lemma dokazana.

Dl� zaverxeni� dokazatel�stva teoremy, nam ponadobits� eweodno vspomogatel�noe utver�denie.

Lemma 2 (sm. [6]). Dl� proizvol�nogo η > 0 na�idets� posto�n-na� Cη > 0 taka�, qto dl� proizvol�nogo polinoma t ∈ T (Qn) vypol-n�ets� neravenstvo

(29)∑

k∈Qn

|t(k)| ≤ Cη nη 2n ‖t‖1.

Takim obrazom, zapisav (29) v vide

‖t‖1 ≥ Cδ n−δ 2−n

∑

k∈Qn

|t(k)|

i vospol�zovavxis� lemmo�i 1, gde qislo δ > 0 udovletvor�et eeuslovi�m, a tak�e ravenstvom (12), budem imet�

(30) ‖LQn‖ = ‖LQn

‖1 � n−δ2−nδ|Qn| n−δ2−n2nnd−1 n(d−1)(1− δd−1 ).

Dalee, polaga� ε = δd−1 , iz (30) poluqaem nu�noe sootnoxenie.

Teorema 1 dokazana.

3. Sootnoxenie me�du line�inymi metodamipribli�eni� i nailuqximi pribli�eni�mi

Ustanovim snaqala ocenku snizu pribli�eni� klassov BΩp,θ,

1 ≤ p ≤ ∞, line�inymi metodami v prostranstve L∞. �ta ocenkav soqetanii s rezul�tatom o nailuqxih pribli�eni�h (sm. [7])pozvolit zapisat� sootnoxenie me�du pribli�eni�mi line�inymimetodami i nailuqximi pribli�eni�mi klassov BΩ

p,θ , 1 ≤ p ≤ 2, vprostranstve L∞.


Teorema 2. Pust� LN — line�iny�i ograniqenny�i operator,sopostavl��wi�i ka�do�i funkcii

f ∈ BΩp,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td),

gde ω(τ) udovletvor�et uslovi�m (S) s nekotorym α > 1pi (Sl), l >

[1p], trigonometriqeski�i polinom LN (f) ∈ T (N). Togda

(31) supf∈BΩ

p,θ

‖f − LN(f)‖∞ � ω(N−1)N1/p(logN)(d−1)(1− 1θ ),

gde [a] — cela� qast� qisla a.

Dokazatel�stvo . Soglasno rassu�deni�i analogiqnyh ktem, kotorye byli ispol�zovany pri dokazatel�stve teoremy 1,ocenku (31) dostatoqno poluqit� dl� operatora LN , kotory�i zada-ets� formulo�i

LN(f) = (2π)−d∫

πd

f(x− y)LN(y) dy,

gdeLN(y) =

∑

k∈Γ(N)

cN,kei(k,y).

Pust� Vm(t) oboznaqaet �dro Valle Pussena por�dka 2m − 1.Dl� vektora s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, polo�im

fs(x) =d∏

j=1

(V2sj+1(xj)− V2sj (xj)).

Izvestno (sm., naprimer, [12, s. 66]), qto

‖fs‖p 2‖s‖1(1− 1p ), 1 ≤ p ≤ ∞.

Po zadannomu N vyberem qislo n iz sootnoxeni� 2n−1 < N ≤2n i rassmotrim funkcii

f3(x) = C6ω(2−n)2−n(1− 1

p )n− d−1θ

∑

‖s‖1=n

fs(x), C6 > 0,

if4(x) = C7ω(2

−n)2−n(1− 1p )

∑

‖s‖1=n

fs(x), C7 > 0.

Doka�em prinadle�nost� �tih funkci�i k klassam BΩp,θ (1 ≤ θ <

∞ i θ = ∞) pri sootvetstvu�wih znaqeni�h posto�nnyh C6 i C7.De�istvitel�no, my imeem

‖f3‖BΩp,θ

( ∑

‖s‖1=n

ω−θ(2−‖s‖1)‖As(f3)‖θp)1/θ


ω(2−n)2−n(1− 1p )n− d−1

θ

( ∑

‖s‖1=n

ω−θ(2−‖s‖1)‖fs‖θp)1/θ

ω(2−n)ω−1(2−n)2−n(1− 1p )n− d−1

θ

( ∑

‖s‖1=n

2‖s‖1(1− 1p )θ

)1/θ

2−n(1− 1p )2n(1−

1p )n− d−1

θ nd−1θ = 1,

‖f4‖BΩp,∞ sup

‖s‖1=n

‖As(f4)‖pω(2−‖s‖1)

ω(2−n)2−n(1− 1p ) sup

‖s‖1=n

‖fs‖pω(2−‖s‖1)

2−n(1− 1p )2n(1−

1p ) = 1.

Otmetim, qto soglasno opredeleni� mno�estva polinomovT (N) i v silu vybora qisel n i N , ime�t mesto sledu�wie ra-venstva(32) f3(x) ∗ LN(x) = 0,

(33) f4(x) ∗ LN(x) = 0.

Takim obrazom, vospol�zovavxis� ravenstvom (32) i soot-noxeniem 2n−1 < N ≤ 2n, budem imet�

(34) ‖f3 − LN(f3)‖∞ = ‖f3‖∞ ω(2−n)2n/pn− d−1θ nd−1

ω(2−n)2n/pn(d−1)(1− 1θ ) ω(N−1)N1/p(logN)(d−1)(1−1/θ).

Analogiqno predyduwemu sluqa�, vospol�zovavxis� raven-stvom (33) i sootnoxeniem 2n−1 < N ≤ 2n, poluqim

(35) ‖f4 − LN(f4)‖∞ ω(N−1)N1p (logN)d−1.

Dalee, obedin�� (34) i (35), budem imet�sup

f∈BΩp,θ

‖f − LN(f)‖∞ � ω(N−1)N1/p(logN)(d−1)(1−1/θ).

Teorema 2 dokazana.

Dalee, nam ponadobits� rezul�tat S. A. Stas�ka [7], kotory�iv ispol�zuemyh nami oboznaqeni�h formuliruets� sledu�wim ob-razom.

Teorema 3. Pust�1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, d ≥ 2, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td),

gde ω(τ) udovletvor�et uslovi�m (S) s nekotorym α > 1p i (Sl), l >

[1p ]. Togda

(36) EN (BΩp,θ)∞ ω(N−1)N1/p(logN)(d−1)( 1

2− 1θ )+ ,

gde a+ = max{a, 0}.


Sopostaviv ocenki (31) i (36), prihodim k sledu�wemu utver-�deni�.

Teorema 4. Pust�

1 ≤ p ≤ 2, 1 < θ ≤ ∞, d ≥ 2, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td),gde ω(τ) udovletvor�et uslovi�m (S) s nekotorym α > 1

p i (Sl), l >[1p ]. Togda dl� posledovatel�nosti line�inyh ograniqennyh operato-rov LN , de�istvu�wih iz BΩ

p,θ v T (N), vypolneno sootnoxenie

(37) EN (BΩp,θ)∞ = o

(sup

f∈BΩp,θ

‖f − LN(f)‖∞).

Sootnoxenie (37) svidetel�stvuet o tom, qto pribli�enieklassov BΩ

p,θ , 1 ≤ p ≤ 2, 1 < θ ≤ ∞, line�inymi metodami v ravno-merno�i metrike ne realizuet por�dkovyh ocenok sootvetstvu�wihnailuqxih pribli�eni�i.

Zameqanie 2. Pri ω(τ) = τ r i sootvetstvu�wih ograniqe-ni�h na parametr r rezul�taty teorem 1, 2 i 4 (dl� klassov Br

p,θ,1 ≤ θ < ∞ i Br

p,∞ = Hrp) poluqeny v [6] i [12] sootvetstvenno.

V zakl�qenie vyra�a� iskrenn�� priznatel�nost� recen-zentu za sdelannye im poleznye zameqani�, kotorye sposobstvo-vali uluqxeni� izlo�eni� materiala raboty.

Literatura

[1] N. K. Bari i S. B. Steqkin, Nailuqxie pribli�eni� i differencial�nyesvo�istva dvuh sopr��ennyh funkci�i, Tr. Mosk. mat. o-va , 5(1956), 483–522.

[2] W. Dahmen and E. Gorlich, A conjecture of M. Golomb on optimal and nearly-

optimal approximation, Bull. Amer. Math. Soc., 80(6)(1974), 1199–1202.

[3] P. I. Lizorkin i S. M. Nikol�ski�i, Prostranstva funkci�i smexanno�igladkosti s dekompozicionno�i toqki zreni�, Tr. Mat. in-ta Steklova ANSSSR, 187(1989), 143–161.

[4] J. Marcinkiewicz, Quelques remarques sur l’interpolation, Acta Sci. Math.

(Szeged), 8(1937), 127–130.

[5] N. N. Pustovo�itov, Predstavlenie i pribli�enie periodiqeskih funkci�imnogih peremennyh s zadannym smexannym modulem nepreryvnosti, AnalysisMath., 20(1994), 35–48.

[6] A. S. Roman�k, Pribli�enie klassov Brp,θ periodiqeskih funkci�i mnogih

peremennyh line�inymi metodami i nailuqxie pribli�eni�, Mat. sbornik.,195(2)(2004), 91–116.


[7] S. A. Stas�k, Nailuqxee pribli�enie pereodiqeskih funkci�i neskol�kihperemennyh iz klassov MBω

p,θ v ravnomerno�i metrike, Tr. Inst. Mat. Meh.UrO RAN , 18(4)(2012), 258–266.

[8] S. A. Stas�k i O. V. Fedunik, Aproksimativni harakteristiki klasiv BΩp,θ

periodiqnih funkci�i bagat�oh zminnih, Ukr. mat. �urn., 58(5)(2006), 692–

704.

[9] Sun Youngsheng and Wang Heping, Representation and approximation of mul-

tivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness, Tr. Mat.in-ta Steklova RAN , 219(1997), 356–377.

[10] V. N. Teml�kov,Pribli�enie funkci�i s ograniqenno�i smexanno�i raznost��trigonometriqeskimi polinomami i popereqniki nekotoryh klassov funk-ci�i, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 46(1)(1982), 171–186.

[11] V. N. Teml�kov, Pribli�enie periodiqeskih funkci�i neskol�kih pere-mennyh trigonometriqeskimi polinomami i popereqniki nekotoryh klassovfunkci�i, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 49(5)(1985), 986–1030.

[12] V. N. Teml�kov, Pribli�enie funkci�i s ograniqenno�i smexanno�i proiz-vodno�i, Tr. Mat. in-ta AN SSSR., 178(1986), 1–112.

Approximation of classes BΩp,θ of periodic

functions in several variables by linear methods

A. F. KONOGRAI

The author studies problems of the approximation of the classes BΩp,θ , 1 ≤ p ≤ ∞,

of periodic functions in several variables by linear methods in the metric of the space L∞ .

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Tereschenkivska

st. 3, Kiev-4, 01601 Ukraine, e-mail: [email protected]

ÐÑÐ¸Ð±Ð»Ð¸Ð¶ÐµÐ½Ð¸Ðµ ÐºÐ»Ð°ÑÑÐ¾Ð² b p, Î¸ Î© ,...

Documents