d:libros textocálculo integralindicecálculo... · la diferencial concepto ... en la vida...

i

ÍNDICE GENERAL

1 1LA DIFERENCIAL

Concepto ................................................................. 1Ejercicio 19 .................................................... 5

2 6LA INTEGRACIÓN. FÓRMULAS FUNDAMENTALES

Concepto .................................................................. 6Ejercicio 20 .................................................... 14

3 15FÓRMULAS GENERALES

Cambio de variable .................................................. 15Fórmula de un ........................................................... 16

Ejercicio 21 .................................................... 28

4 29INTEGRALES DE LA FORMA ( ) 22 2 k /

u a dx± ±∫Fórmulas .................................................................. 30

Ejercicio 22 .................................................... 35

Índice general

ii

5 36INTEGRALES DE LA FORMA

( ) 22 k /ax bx c dx+ +∫

Trasformación del trinomio a la forma2ax bx c+ +

................................................ 36( )2mx n h+ +

Aplicación a las integrales ....................................... 46Ejercicio 23 .................................................... 56

6 58INTEGRALES DE LA FORMA

( ) ( ) 22 k /mx n ax bx c dx+ + +∫

Ejercicio 24 .................................................... 71

7 72INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Fórmulas .................................................................. 72Ejercicio 25 .................................................... 76

Técnicas y recursos de integración (área 2) ............. 77a) técnica de los cuadrados ................................ 80b) técnica de pasar a senos y/o cosenos ............. 90c) técnica de los binomios conjugados .............. 94

Ejercicio 26 .................................................... 97

Índice general

iii

8 98INTEGRACIÓN POR PARTES (área 2)

Fórmula de integración por partes ........................... 98Ejercicio 27 .................................................... 112

9 113INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Concepto de fracciones parciales ............................. 113Caso I ....................................................................... 115

Ejercicio 28 .................................................... 125Caso II ...................................................................... 126

Ejercicio 29 .................................................... 130Caso III ..................................................................... 131Caso IV .................................................................... 137

Ejercicio 30 .................................................... 139Integración por fracciones parciales ......................... 140

Ejercicio 31 .................................................... 148

10 149DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLE

TRIGONOMÉTRICOS

Procedimiento .......................................................... 149Ejercicio 32 .................................................... 164

Índice general

iv

11 165LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio 33 .................................................... 170

12 171APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Ejercicio 34 .................................................... 181

183SOLUCIONES

196APÉNDICE A: FORMULARIO

201APÉNDICE B: REGLAS DE ESCRITURA

v

INTRODUCCIÓN

Este libro de Cálculo Integral está pensado y estructurado para estudiantes de preparatoriatomando en cuenta, además de los programas oficiales, su nivel de madurez y de conocimientosalcanzados hasta el momento en que llegan al presente semestre.

El enfoque fuerte que se le ha dado al libro es a la parte operacional, lo que comúnmente sele suele llamar “a la talacha”, a pesar de que muchas tendencias didácticas actuales condenan laenseñanza del Cálculo basada en ella, aconsejando que se dé casi toda la importancia a la compren-sión del concepto de la derivada.

Según las teorías de la didáctica moderna de la enseñanza del Cálculo, los alumnos noaprenden el Cálculo o les cuesta tanto trabajo porque no entienden el concepto de lo que es la deri-vada. Y los teóricos de esta corriente han dedicado horas y horas a intentar descubrir procedimien-tos, técnicas y/o recursos aúlicos para facilitarle o evidenciarle al alumno dicho concepto de la deri-vada. Muchos creen haberlo encontrado o descubierto ya. O bien, consideran que es más importanteque el estudiante comprenda el concepto de la derivada a que adquiera la habilidad operacional parapoder derivar cualquier función que se le presente.

Sin embargo, en la vida profesional solamente a los licenciados en alguna carrera puramentematemática les resulta útil o necesario dominar el concepto mencionado. Para los ingenieros, econo-mistas, biólogos y profesionistas que en su quehacer requieren emplear el cálculo, lo que realmentenecesitan es saber y dominar la parte operacional. Por ejemplo, un ingeniero electricista podrá

Introducción

vi

encontrar, para cualquier tiempo t, el valor de la corriente eléctrica I del circuito de la siguientefigura

a partir de ciertas condiciones iniciales, resolviendo la ecuación diferencial

5 20di idt

+ =

para lo cual lo único que requiere es habilidad operacional; en nada le ayudará tener claro y frescoen la mente el concepto de la derivada. Un Biólogo que sepa que un cultivo de bacterias crece arazón proporcional a la cantidad presente, podrá hallar el número existente para cualquier tiempot resolviendo la ecuación diferencial

0dN kndx

− =

para lo cual, otra vez, lo único que requiere es habilidad operacional ya que en nada le ayudarátener claro y fresco en la mente el concepto de la derivada. Y así podrían ponerse un sinnúmero deejemplos de las diferentes profesiones en que se requiere la utilización del Cálculo para resolverproblemas de la vida real. Casos sencillos son los cálculos de áreas de ciertas figuras que se anali-zan en el capítulo 12 de este libro, página 171.

Desde esta perspectiva de los didactas actuales parecería que los estudiantes, una vez com-prendido el concepto de la derivada, casi automáticamente aprenderán a derivar cualquier función

L = 2 HR = 10

40S

I

Introducción

vii

y por inercia a integrar también. Y no es así. La realidad está muy lejana a esas románticas teorías.Si a un discente se le hace comprender perfectamente el significado de la derivada, ¿le ayudará en

algo para poder integrar . Claro que no. Sencillamente en nada.29 25x dx−∫

Por esta razón, el presente libro ha dado casi toda la importancia a las técnicas de integra-ción de cualquier función, explicando paso a paso en cada ejemplo lo que debe hacer el estudiantepara dominarlas.

LO REFERENTE A LAS ÁREAS

El lector encontrará al inicio de cada capítulo, lo mismo al final de ellos, que cada bloquede ejercicios propuestos especifican las áreas a las que se recomienda su estudio. Algunos temas yalgunos ejercicios se dejan de forma exclusiva para el área 2 por tratarse del área de Matemáticas.

Se refiere a la siguiente clasificación de áreas:

Área 1: Químico-Biológicas. Carreras como Ingeniería Química, licenciatura en Biología,Medicina, Veterinaria, etc.

Área 2: Físico-Matemáticas. Carreras como Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, IngenieríaEléctrica, Arquitectura, licenciaturas en Física y/o Matemáticas, etc.

Área 3: Económico-Administrativa. Carreras como Economía, Mercadotecnia, Administración,etc.

Área 4: Humanidades. Carreras como Derecho, Sociología, Historia, Filosofía, carreras de artes,etc.

La diferencial

1

I

LA DIFERENCIAL

Cuando se tiene una función cualquiera, por ejemplo, y = x2 - 5x - 9, conforme a lo visto enel semestre anterior, su derivada es

(I)2 5dy xdx

= −

cabría decir que del símbolo operador derivada, el numerador dy se llama diferencial de y, mien-tras que el denominador dx se llama diferencial de x. Si se despeja la diferencial de y se obtiene

(II)( )2 5dy x dx= −

Sin entrar en detalles rigurosos, la diferencial de x es igual al incremento de x, es decir que, mientras que la diferencial de y, según se ve en la igualdad (II), es igual a la derivada dedx x= Δ

la función por la diferencial de x. Ésta última es la que se tomará como regla para el cálculo de dife-renciales en los ejemplos siguientes.

Una diferencial es un elemento infinitesimal, es decir, un elemento que tiende a cero.

Ejemplo 1: Calcular la diferencial dy de la función y = x3 - 7x2 + 4.

La diferencial

2

Solución: Se puede ver desde dos enfoques un poco distintos. El primero consiste en derivar y luegodespejar dy. Haciéndolo:

23 14dy x xdx

= −

de donde

( )23 14dy x x dx= −

El segundo enfoque consiste en aplicar directamente la regla, es decir, la diferencial de y esigual a la derivada de la función por la diferencial de x, que no es otra cosa que el resultadoanterior.

Ejemplo 2: Calcular dy si 5 4y x= −

Solución: La derivada es5

2 5 4dydx x

=−

de donde

52 5 4

dxdyx

=−

Ejemplo 3: Calcular dy si ( )84 7y x= −

Solución: La derivada es

( ) ( )78 4 7 4 7dy dx xdx dx

= − −

( ) ( )78 4 7 4dy xdx

= −

La diferencial

3

( )732 4 7dy xdx

= −

de donde

( )732 4 7dy x dx= −

Ejemplo 4: Calcular la diferencial dy si 1

4 1y

x=

−

Solución: Derivando, a partir de que ( ) 1 24 1 /y x −= −

( ) ( )3 21 4 1 4 12

/dy dx xdx dx

−= − − −

( ) ( )3 21 4 1 42

/dy xdx

−= − −

( )3 2

42 4 1 /

dydx x

= −−

( )3 2

24 1 /

dydx x

= −−

de donde

( )3 2

24 1 /

dxdyx

= −−

Ejemplo 5: Calcular la diferencial dy si 2y ln x=

Solución: Derivando:

La diferencial

4

2

2

d xdy dxdx x

=

22

dydx x

=

1dydx x

=

de donde1dy dxx

=

dxdyx

=

La diferencial

5

EJERCICIO 19

Calcular la diferencial dy de las siguientes funciones:

1) 2)5 7 8y x x= − + 3 25 5y x x x= + −

3) 4)2

64 63

yx

=−

79 5y x= −

5) 6)7 4 32 8y x x x= − +7

9 2y

x=

−

7) 8)( )43 2

5

3 9y

x x x=

− + ( )94

11

6 7y

x=

−

9) 10)

( )95 6

3

6y

x x=

−( )5 7y sen x= −

11) 12)( )73 4y cos x x= − 2 9y tan x= −

13) 14)3

1y secx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

7y ln x=

15) 16)4xy e= 3xy e=

La Integración. Fórmulas fundamentales

6

II

LA INTEGRACIÓN. FÓRMULAS FUNDAMENTALES

La integración es la operación inversa a la derivación. El símbolo de integración es ,∫aunque en realidad no puede considerarse separado de la diferencial, o sea que en la( )F x dx∫función F(x) es lo que se integra y de alguna manera puede considerarse enmedio del símbolo ∫y de la diferencial dx.

De tal manera que si y = f (x) es la función original, su derivada es ; entonces( )dy F xdx

=

la integral de esta última regresa a la función original, es decir

( ) ( )F x dx f x=∫

Por ejemplo, si la función original es y = x2 , su derivada es otra función de equis, en estecaso, 2x. Por lo tanto, si se integra 2x se regresa a la función original x2:

(a)22x dx x=∫


7

Sin embargo, si y = x2 + 2, su derivada es

(la misma que de la función y = x2)2dy xdx

=

y, por lo tanto, su integral es la función original, esto es que

(b)22 2x dx x= +∫

Pero obsérvese que tanto (a) como (b) son la misma integral y sin embargo2x dx∫tienen diferente resultado. Esto se debe a que cualquier función que termine en la suma de una cons-tante, al derivarse dicha función se obtiene cero al final como resultado de la derivada de laconstante final. Entonces al integrar debe agregarse siempre un término constante + C. Asíaparecerán todas las fórmulas de integración.

Una integral de una función F(x), visto de otra forma, es lo mismo que preguntarse: ¿La

derivada de qué otra función da F(x)? Así, en los ejemplos recientes, la integral equivale2x dx∫a preguntarse ¿la derivada de qué da 2x? Y la respuesta es la derivada de x2; pero también de, porejemplo, x2 + 2; o de x2 + 5; o de x2 + 23. En general, de x2 + C.

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

Son cinco las fórmulas fundamentales o más elementales de integración:

(1) dx x c= +∫

(2) , para n … - 11

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫


8

(3) c u dx c u dx=∫ ∫(4) ( )u v w ... dx u dx v dx w dx ...+ + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫

(5)dx ln x cx

= +∫

En donde: c = constante.u, v, w, ... = funciones o variables.

La fórmula (2) funciona para todos los valores de n, excepto para cuando n = - 1, porquevuelve cero el denominador. Cuando n = - 1 se tiene la fórmula (5).

Ejemplo 1: Integrar 6x dx∫Solución: Por la fórmula (2):

6 16

6 1xx dx c

+

= ++∫

76

7xx dx c= +∫

Ejemplo 2: Integrar 224x dx∫Solución: Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

2 224 24x dx x dx=∫ ∫


9

Ahora empleando la fórmula (2):

2 1

242 1x c

+⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

324

3x c= +

2 324 8x dx x c= +∫

Ejemplo 3: Integrar 97x dx∫Solución: Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

9 97 7x dx x dx=∫ ∫

Ahora empleando la fórmula (2):

9 197 7

9 1xx dx c

+⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫

109 77

10xx dx c= +∫

Ejemplo 4: Integrar ( )26 8 9x x dx+ −∫Solución Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

( )2 26 8 9 6 8 9x x dx x dx xdx dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫


10

Para cada una de las tres integrales pendientes se utiliza la fórmula (3), donde la constante seecha para afuera de la integral:

2 26 8 9 6 8 9x dx xdx dx x dx xdx dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ahora, para las dos primeras integrales debe usarse la fórmula (2) y para la tercera integral lafórmula (1):

[ ]2 1 1 1

26 8 9 6 8 92 1 1 1x xx dx xdx dx x c

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

3 26 8 9

3 2x x x c= + − +

( )2 3 26 8 9 2 4 9x x dx x x x c+ − = + − +∫

Ejemplo 5 Integrar 2 5 144

x x dxx

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Solución Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

2 25 1 5 14 44 4

x x dx x dx xdx dx dxx x

⎛ ⎞− + − = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 544

dxx dx xdx dxx

= − + −∫ ∫ ∫ ∫

Para la primera y segunda integral se emplea la fórmula (2) ; para la tercera integral la fórmula(1) y para la cuarta integral la fórmula (5) :


11

3 2 54

3 2 4x x x ln x c

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 22 5 1 4 54

4 3 2 4x x xx x dx ln x c

x⎛ ⎞− + − = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Ejemplo 6: Integrar 7x dx∫Solución: En estas integrales debe escribirse la función con exponente fraccionario para convertirla a la

forma un:

7 7 2/x dx x dx=∫ ∫

7 1 9 22

7 912 2

/x xc c+

= + = ++

9 27 2

9

/xx dx c= +∫

Ejemplo 7: Integrar 9

dxx∫

Solución: Escribiendo la función con exponente negativo:

99

dx x dxx

−=∫ ∫


12

9 1 8

9 1 8x xc c− + −

= + = +− + −

9 8

18

dx cx x

= +−∫

Ejemplo 8: Integrar 3 5

11

6

dx

x∫

Solución: Escribiendo afuera de la integral la constante y con exponente fraccionario y negativo lafunción, se tiene que:

5 33 5

11 1166

/dx x dxx

−=∫ ∫

5 1 2 3311 115 26 613 3

/x xc c− + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 3 2 3

11 3 336 2 12/ /c c

x x⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

2 33 5

11 1146

/

dx cxx

= +−∫

Ejemplo 9 2 49 6x x dxx

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠∫


13

Solución: Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

2 24 49 6 9 6x x dx x dx x dx dxx x

⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

Ahora con la fórmula (3) de la constante para cada una de ellas:

29 6 4 dxx dx x dxx

= − +∫ ∫ ∫

Para las dos primeras integrales debe utilizarse la fórmula (2) de la potencia y para la terceraintegral la fórmula (5):

[ ]2 1 1 1

9 6 42 1 1 1x x ln x c

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 29 6 43 2x x ln x c= − + +

2 3 249 6 3 3 4x x dx x x ln x cx

⎛ ⎞− + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫


14

EJERCICIO 20 (Áreas 1, 2 y 3)

1) 2)11x dx∫ 10x dx∫3) 4)6xdx∫ 69x dx∫5) 6)( )6 5x dx−∫ ( )3 211 9 5x x x dx− + −∫7) 8)( )27 8 2x x dx+ −∫ ( )23 10 11x x dx+ −∫

9) 10)4

dxx∫ 2

dxx∫

11) 12)32

4 2853

x dxxx

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

9

9

3 535

x dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠∫

13) 14)6 11

11 6x dx

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

5

5

9 292x dx

x⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠∫

15) 16)5 8

5 8

11 101110

x dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠∫

13 4

13 4

13 111311

x dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Fórmulas generales

15

De manera muy general, los pasos fundamentales en todo cambio de variableson:

a) Seleccionar u;b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la

diferencial de u, es decir, du.

III

FÓRMULAS GENERALES

Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de xelevada a cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevadoa la potencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similara lo que ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulas generales. Todas las fórmulas que se veránde aquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x.

Y algo muy importante: para cada fórmula general debe emplearse un procedimiento llamado cambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplos siguientes. Elestudiante que no sepa, o no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenado ano poder integrar nunca ninguna función.

Fórmulas generales

16

Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.

FÓRMULAS GENERALES:

(6) , para 1

1

nn uu du c

n

+

= ++∫ 1n ≠ −

(7)du lnu cu

= +∫

La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si valemenos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas nose vale dividir entre cero porque da infinito.

En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).

Ejemplo 1: Integrar ( )73 2x dx−∫Solución: Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio

3x - 2. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debeser 3x - 2.

Si u = 3x - 2, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 3dx

La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu du∫pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 3.

Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx; pero si se hace esto, para que

Fórmulas generales

17

siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 3. Haciéndolo:

( ) ( ) ( )7 7 13 2 3 2 33

x dx x dx⎛ ⎞− = − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo

Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:

( ) ( )7 713 2 3 2 33

x dx x dx− = −∫ ∫

u du

En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida enfórmula ya puede escribirse como

( )7 713 23

x dx u du− =∫ ∫

7 1 813 7 1 24

u uc c+⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥+⎣ ⎦

Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 3x - 2:

Fórmulas generales

18

( ) ( )87 3 2

3 224

xx dx c

−− = +∫

Ejemplo 2: Integrar 11 8x dx+∫Solución: Debe escribirse como ( )1 211 8 /x dx+∫

Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polinomio11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que udebe ser 11x + 8.

Si u = 11x + 8, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 11dx

La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu du∫pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 11dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 11.

Si la integral original se multiplica por 11 se consigue tener 11dx; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 11. Haciéndolo:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 111 8 11 8 1111

/ /x dx x dx⎛ ⎞+ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

se divide y se multiplica por once al mismo tiempo

Fórmulas generales

19

Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un onceavo se echa para afuera, quedando:

( ) ( )1 2 1 2111 8 11 8 1111

/ /x dx x dx+ = +∫ ∫

u du

En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida enfórmula ya puede escribirse como

( )1 2 1 2111 811

/ /x dx u du+ =∫ ∫

1 1 3 221 11 311 1112 2

/u uc c+⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2233

/u c= +

Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 11x + 8:

( )3 22 11 811 8

33

/xx dx c

++ = +∫

Fórmulas generales

20


dxx −∫

Solución: En este caso, la fórmula a emplear es la (7), para lo cual debe hacerse

u = 4x - 10 de dondedu = 4dx

La fórmula (7) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino queduu∫

pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 4dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (7) debe tenerse en la integral original 4dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 4.

Si la integral original se multiplica por 4 se consigue tener 4dx; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 4. Haciéndolo:

( )1 44

4 10 4 10

dxdx

x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

− −∫ ∫

Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un cuarto se echa para afuera, quedando:

1 44 10 4 4 10

dx dxx x

=− −∫ ∫

duu

1 14 4

du lnu cu

= +∫

Y regresando a la variable original, sustituyendo u por 4x - 10:

Fórmulas generales

21

( )1 4 104 10 4

dx ln x cx

= − +−∫

Ejemplo 4: Integrar ( )425 6x x dx−∫Solución: La integral se puede escribir como . Si se hace u = 5x2 - 6, entonces su( )425 6x x dx−∫

diferencial es du = 10x dx. En la integral original solamente se tiene x dx, por lo que le faltaun 10 multiplicando, pero para que no se altere, se debe dividir entre 10 también.

Por lo visto en los ejemplos anteriores, en estos momentos ya se sabe que el factor “no1

10sirve”, por lo que se tiene que sacar de la integral. Resulta:

( ) ( )4 42 215 6 5 6 1010

x x dx x x dx− = −∫ ∫

u du

4 1

41 110 10 4 1

uu du c+⎡ ⎤

= = +⎢ ⎥+⎣ ⎦∫

5 51

10 5 50u uc c

⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Y regresando a la variable original, sabiendo que u = 5x2 - 6, se llega a:

Fórmulas generales

22

( ) ( )5242

5 65 6

50

xx x dx c

−− = +∫

Ejemplo 5: Integrar

( )32

4

7 9

x dx

x −∫

Solución: Sea u = 7x 2 - 9 , de dondedu = 14x dx

Si en la integral original estuviera en el numerador 14x dx en vez de 4x dx , se tendría ladiferencial de u , o sea du, que es lo que pide la fórmula; pero no es así. Sin embargo, elproblema se arregla muy fácil: la constante 4 que “no sirve” se echa para fuera de la integral.Luego se multiplica y se divide simultáneamente por 14, lo que queda así:

( ) ( )( ) ( )1

143 32 2

14 4 144147 9 7 9

x dx x dx

x x=

− −∫ ∫

duu

33

4 214 7

du u duu

−= =∫ ∫

3 1 22 2

7 3 1 7 2u uc c− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

214

cu

= +−

Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a

Fórmulas generales

23

( ) ( )3 22 2

4 1

7 9 7 7 9

dx cx x

= − +− −

∫

COMPROBACIÓN: La comprobación consiste simplemente en derivar el resultado obtenido:

( ) ( )2 22 2

1 1

7 7 9 7 7 9

d d dc cdx dx dxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )22

1 1 07 7 9

ddx x

⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 221 7 97

d xdx

−= − −

( ) ( )2 12 21 2 7 9 7 97

dx xdx

− −⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )321 2 7 9 147

x x−⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )32

28

7 7 9

x

x= −

−

( ) ( )2 32 2

1 4

7 7 9 7 9

d xcdx x x

⎡ ⎤⎢ ⎥− + =⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Fórmulas generales

24

Que es lo que se integró.

Ejemplo 6: Integrar ( )( )721 2 8x x x dx− − −∫Solución: Sea u = x2 - 2x - 8 de donde

du = (2x - 2) dx

Si se multiplica por 2 la integral original se obtiene la diferencial de u .Obviamente, debedividirse también entre 2:

( )( ) ( ) ( )7 72 21 12 1 2 8 2 8 2 22 2

x x x dx x x x dx− − − = − − −∫ ∫

u du

7 171 1

2 2 7 1uu du c

+⎡ ⎤= = +⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫

8 812 8 16

u uc c⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )8272

2 81 2 8

16

x xx x x dx c

− −− − − = +∫

Fórmulas generales

25

Ejemplo 7: Integrar ( )

2

5 10

3 12 1

x dx

x x

−

− +∫

Solución: Sea u = 3x2 - 12x + 1 de dondedu = (6x - 12)dx

Los ejemplos anteriores deben haber capacitado al alumno para que sea capaz en este ejemplode analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes que se va a hacer:

( ) ( )2 2

5 10 5 2

3 12 1 3 12 1

x dx x dx

x x x x

− −=

− + − +∫ ∫

( )

2

6 25

6 3 12 1

x dx

x x

−=

− +∫

( )2

6 1256 3 12 1

x dx

x x

−=

− +∫

( ) ( )1 2

25 3 12 1 6 126

/

x x x dx−

= − + −∫

1 256

/u du−= ∫

1 125

16 12

u c− +⎡ ⎤

⎢ ⎥= +⎢ ⎥

⎢ ⎥− +⎣ ⎦

Fórmulas generales

26

1 25162

/u c

⎡ ⎤⎢ ⎥

= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

25 2 3 12 16

x x c⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦

( ) 2

2

5 10 5 3 12 133 12 1

x dx x xc

x x

− − += +

− +∫


2

3 128 7

x dxx x

++ −∫

Solución: Sea u = x2 + 8x - 7 , de dondedu = (2x + 8)dx

Nuevamente se deja al estudiante analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes quese va a hacer:

( ) ( )2 2

3 12 3 48 7 8 7

x dx x dxx x x x

+ +=

+ − + −∫ ∫

( )( )( )12

2

2 43

8 7x dx

x x+

=+ −∫

( )2

2 832 8 7

x dxx x

+=

+ −∫duu

Fórmulas generales

27

3 32 2

du lnu cu

= = +∫

Y regresando a la variable original se llega a que

( ) ( )22

3 12 3 8 728 7

x dxln x x c

x x+

= + − ++ −∫


2 10

x

x

e dxe +∫

Solución: Sea u = e2x + 10 , de dondedu = 2e 2x dx

Entonces

2 2

2 2

1 2210 10

x x

x x

e dx e dxe e

=+ +∫ ∫

duu

1 12 2

du ln u cu

= = +∫

Y regresando a la variable original:

( )2

22

1 10210

xx

x

e dx ln e ce

= + ++∫

Fórmulas generales

28


Realizar las siguientes integrales por medio de un cambio de variable:

1) 2)( )713 12x dx−∫ ( )112 19x dx−∫

3) 4)7 15x dx−∫ 8 13dx

x −∫

5) 6)( )9

615 11

dxx +∫

29 4

dxx−∫

7) 8)( )823 11x x dx−∫ ( )42

3

3 1

x dx

x −∫

9) 10)( )( )328 5 80 22x x x dx+ + +∫( )( )62

1

4 8

x dx

x x

−

−∫

11) 12)( ) 24 1 6 3 11x x x dx+ + +∫( )

2

10 15

7 21 9

x dx

x x

+

+ −∫

13) 14)( )( )

2

23

4 12

9

x dx

x x

+

+∫ ( )53 3 8x xe e dx−∫

15) 16)( ) ( )25 23 3 5 10 9x x x dx− − +∫( )( )

2

34 3

4 2

8 12 1

x dx

x x

+

+ −∫

17) 18)( )3

4 2

8 8

2 9

x x dx

x x

+

+ −∫( )

( )

2

83 2

7 7

2 3 9

x x dx

x x

+

+ −∫

Integrales de la forma ( )2 2 2k

u a dx± ±∫

29

IV

INTEGRALES DE LA FORMA

, con k = ± 1, - 2( )∫ 2 2 2± ±k

u a dx

En este capítulo se verán nueve fórmulas más, las cuales pueden enunciarse de manera noformal con el siguiente texto: Son las fórmulas de todas las posibles combinaciones de u2 y a2,sumadas o restadas, con raíz cuadrada o sin ella, en el numerador o en el denominador.

a) Sumadas o restadas: Según se tome el signo positivo o negativo del ± que aparece enla forma delante de u y de a.

b) Con raíz cuadrada: Si k = ± 1, ya que el exponente toma el valor de ½ o de - ½, o sinraíz cuadrada si k = - 2.

c) En el numerador o en el denominador: Si k es positivo el exponente es positivo y laexpresión está en el numerador; si k es negativo el exponente es negativo y la expresiónestá en el denominador.

Las nueve fórmulas son:

I) Con raíz cuadrada en el numerador:


u a dx± ±∫

30

(8) ( )2

2 2 2 2 2 2

2 2u au a du u a ln u u a c+ = + + + + +∫

(9) ( )2

2 2 2 2 2 2

2 2u au a du u a ln u u a c− = − − + − +∫

(10)2

2 2 2 2

2 2u a ua u du a u arc sen c

a− = − + +∫

II) Sin raíz cuadrada en el denominador:

(11) 2 2

1du uarc tan cu a a a

= ++∫

(12) 2 2

12

du u aln cu a a u a

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟− +⎝ ⎠

∫

(13) 2 2

12

du a uln ca u a a u

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∫

III) Con raíz cuadrada en el denominador:

(14) ( )2 2

2 2

du ln u u a cu a

= + + ++

∫

(15) ( )2 2

2 2

du ln u u a cu a

= + − +−

∫


u a dx± ±∫

31

(16)2 2

du uarc sen caa u

= +−

∫

Ejemplo 1: Integrar 29 25x dx+∫Solución: Sean a2 = 25

u2 = 9x2 por lo que u = 3xdu = 3dx a = 5

No olvidar que en el uso de cualquier fórmula debe hacerse cambio de variable. En este caso,si se va a utilizar la fórmula (8) , ésta pide, además del radical, la diferencial du que en esteejemplo vale 3 dx. Por lo tanto, tiene que multiplicarse y dividirse la integral original por 3:

2 219 25 9 25 33

x dx x dx+ = +∫ ∫

du2 2u a+

( )2

2 2 2 213 2 2

u au a ln u u a c⎡ ⎤

= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Sustituyendo los valores de u y a que para este ejemplo corresponden:

( )2 21 3 259 25 3 9 253 2 2

x x ln x x c⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦


u a dx± ±∫

32

( )2 2 2259 25 9 25 3 9 252 6xx dx x ln x x c+ = + + + + +∫

Ejemplo 2: Integrar 236 49dx

x−∫

Solución: La integral tiene la forma de la fórmula (13) (sin raíz cuadrada y en el denominador):

Sean a2 = 36 u2 = 49x2 por lo que u = 7xdu = 7dx a = 6

Para tener la diferencial du que pide la fórmula (13) debe multiplicarse y dividirse la integraloriginal por 7:

2 2

1 7736 49 36 49

dx dxx x

=− −∫ ∫ 2 2

dua u−

2 2

17

dua u

=−∫

1 17 2

a uln ca a u

⎡ ⎤⎛ ⎞+= +⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎣ ⎦



u a dx± ±∫

33

( )1 1 6 77 2 6 6 7

xln cx

⎡ ⎤+⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2

1 6 784 6 736 49

dx xln cxx

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

∫


5

81 4

dx

x −∫

Solución: La integral tiene la forma de la fórmula (15) (con raíz cuadrada y en el denominador):

Sean a2 = 4 u2 = 81x2 por lo que u = 9xdu = 9dx a = 2

El 5 del numerador es una constante que puede echarse afuera de la integral. Además, para tenerla diferencial du que pide la fórmula (15) debe multiplicarse y dividirse la integral por 9:

2 2

5 1 95981 4 81 4

dx dx

x x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠− −

∫ ∫ 2 2

du

u a−

2 2

59

du

u a=

−∫

( )2 259

ln u u a c⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦


u a dx± ±∫

34


( )2

2

5 5 9 81 4981 4

dx ln x x cx

= + − +−

∫


u a dx± ±∫

35


Realizar las siguientes integrales:

1) 2)264 121x dx+∫ 281 144x dx−∫

3) 4)2

71 4

dxx−∫ 2

2

25 169

dx

x−∫

5) 6)2100 9x dx−∫ 29 1x dx−∫

7) 8)2

9100 81

dxx +∫ 2

616 49

dxx −∫

9) 10)2 25

dx

x −∫ 2

10

9 100

dx

x +∫

11) 12)2

12

400 121

dx

x −∫ 281 121x dx−∫

13) 14)2

81

dxx−∫ 2

11

1

dx

x +∫

Integrales de la forma ( )2 2k

ax bx c dx+ +∫

36

V


, con k = ± 1, - 2( )∫ 2 2k

ax + bx + c dx

Las nueve fórmulas estudiadas en el capítulo anterior son las que habrán de utilizarse en estetema. Simplemente habrá que agregar algunos pasos algebraicos que servirán para transformar untrinomio de la forma ax2 + bx + c a la forma (mx + n)2 + h, que, como se verá, se reduce a lasfórmulas anteriores. Para esto, como es indispensable que el estudiante tenga la habilidad algebraicasuficiente para realizar las transformaciones mencionadas, la primera parte de este capítulo se dedi-cará a ejercitar el paso de una forma algebraica a la otra requerida. Para deducir el procedimiento,se comenzará de atrás para adelante.

Supóngase que se tiene la suma de un binomio al cuadrado más cualquier constante, que entérminos genéricos se puede enunciar como (mx + n)2 + h, por ejemplo

( )22 7 9x + +

binomio al cuadrado

constante


ax bx c dx+ +∫

37

Si se desarrolla (recordando que el binomio cuadrado es igual al cuadrado del primer térmi-no, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo) se obtiene:

(2x + 7)2 + 9 = 4x2 + 28x + 49 + 9

cuadradodel 1º

doble produc-to del 1º por

el 2º

cuadradodel 2º

(A)( )2 22 7 9 4 28 58x x x+ + = + +

trinomio

No se pierda de vista que aquí del binomio al cuadrado más la constante se partió a obtenerun trinomio cuadrático. Como en matemáticas toda operación o proceso tiene su inverso o caminode retorno, la igualdad (A) puede pensarse en desarrollarse a la inversa, es decir, a partir del trino-mio obtener el binomio al cuadrado más la constante, al que equivale.

Inicialmente habría que observar que del trinomio cuadrático:


ax bx c dx+ +∫

38

a) 4x2 salió del cuadrado del primer término del binomio. Significa que su raíz cuadra-da es el primer término del binomio.

b) 28x salió del doble producto del primer término del binomio por el segundo. De aquíse puede calcular fácilmente el segundo término del binomio, pues el primero ya seconoce a partir del paso anterior.

Entonces lo único que faltaría por saber es el valor de la constante que suma al binomio. Unrazonamiento lógico conduce a su obtención, como se verá en los siguientes dos ejemplos.

Por ejemplo, para transformar 9x2 + 30x + 41 a la forma (mx + n)2 + h , en donde m, n yh son números o constantes, se deduce que 9x2 es el cuadrado del primer término del binomio, porlo tanto dicho primer término es 3x. También, por lo dicho líneas arriba, 30x es el doble productodel primer término por el segundo y sabiendo que el primero es 3x, por simples divisiones se obtieneque el segundo término del binomio es

30230 2 3

3

x

x xx

÷ ÷ =

30x ÷ 2 ÷ 3x = 5

El binomio al cuadrado buscado es (3x + 5)2 . Para deducir la constante que falta en el pro-ceso se desarrolla (de preferencia mentalmente) el binomio y se compara con el trinomio original.Por comparaciones se sumará y/o restará lo que haga falta para que sean iguales.


ax bx c dx+ +∫

39

(a)( )229 30 41 3 5x x x+ + = + + ?

(b)2 29 30 41 9 30 25x x x x+ + = + + + ?

no son iguales

En realidad, lo que está escrito del lado izquierdo del signo igual (=) en el renglón (b) noes igual a lo que aparece del lado derecho. Basta observar que en ambos lados está 9x2; también está 30x , pero en el lado izquierdo hay un + 41 que no está en el derecho y en el derecho hay un + 25que no está en el lado izquierdo. A veces es muy directo deducir lo que hace falta para que seaniguales, como en este ejemplo, con la simple pregunta ¿Cuánto le falta al 25 para llegar al 41?Sumarle 16.

Pero no siempre es tan directo, sobretodo cuando se tienen fracciones, como se verá en losejemplos 4 y 5. Entonces un razonamiento genérico es el siguiente: Para que realmente sean igualesbasta sumar en el renglón (a) en el lado derecho el + 41 que está en el lado izquierdo (para que asíya aparezca en ambos lados) y también restar en el lado derecho - 25 que es el equivalente a “borrar”el + 25 que está en el derecho y no en el izquierdo.

De lo anterior, resulta:

9x2 + 30x + 41 = (3x + 5)2 + 41 - 25

( )229 30 41 3 5 16x x x+ + = + +


ax bx c dx+ +∫

40

Ejemplo 2: Transformar el trinomio 4x2 - 28x + 45 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 4x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raízcuadrada: 2x.

Si 28x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 2x)por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo - 28x ÷ 2 ÷ 2x = - 7.

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es (2x - 7)2.

Pero (2x - 7)2 no es igual al trinomio original, es decir , ya que( )224 28 45 2 7x x x− + ≠ −

si se desarrolla el binomio al cuadrado se obtiene:

(2x - 7)2 = cuadrado del1er término;

menos el dobleproducto del 1ºpor el 2º;

más el cua-drado del 2º.

2 24 28 45 4 28 49x x x x− + ≠ − +

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 4x2 está en amboslados; - 28x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 45 que noestá en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un + 49 que no existe en el trino-mio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar - 49 y sumar + 45 simul-táneamente en el lado derecho, obteniendo:

( )224 28 45 2 7 49 45x x x− + = − − +


ax bx c dx+ +∫

41

( )224 28 45 2 7 4x x x− + = − −

Ejemplo 3: Transformar el trinomio 25x2 - 18x + 35 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 25x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es suraíz cuadrada: 5x.

Si 18x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 5x)por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo

.918 2 55

x x− ÷ ÷ = −

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es . Pero no es igual al trinomio295

5x⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

2955

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

original, es decir , ya que si se desarrolla el binomio al cuadra-2

2 925 18 35 55

x x x⎛ ⎞− + ≠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

do se obtiene:

(Ver gráfico de la siguiente página)


ax bx c dx+ +∫

42

2955

x⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

cuadrado del1er término;

menos el dobleproducto del 1ºpor el 2º;

más el cuadra-do del 2º.

2 2 8125 18 35 25 1825

x x x x− + ≠ − +

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 25x2 está en amboslados; - 18x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 35 que no

está en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un + que no existe en el8125

trinomio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar y sumar + 358125

simultáneamente en el lado derecho, obteniendo:

22 9 8125 18 35 5 35

5 25x x x⎛ ⎞− + = − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 9 79425 18 35 5

5 25x x x⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo 4: Transformar el trinomio 9x2 + 7x - 6 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 9x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raízcuadrada: 3x.


ax bx c dx+ +∫

43

Si 7x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 3x)

por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo .77 2 36

x x÷ ÷ =

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es . Pero no es igual al trinomio273

6x⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

2736

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

original, es decir , ya que si se desarrolla el binomio al cuadrado2

2 79 7 6 36

x x x⎛ ⎞+ − ≠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

se obtiene:

2736

x⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠


más el dobleproducto del 1ºpor el 2º;


2 2 499 7 6 9 736

x x x x+ − ≠ + +

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 9x2 está en amboslados; 7x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un - 6 que no está

en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un que no existe en el trinomio4936

−

original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar y sumar - 6 simultánea-4936

mente en el lado derecho, obteniendo:


ax bx c dx+ +∫

44

22 7 499 7 6 3 6

6 36x x x⎛ ⎞+ − = + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 7 2659 7 6 3

6 36x x x⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo 5: Transformar el trinomio 6x2 + 5x + 8 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 6x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raíz

cuadrada: .6 x

Si 5x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es

) por el segundo, éste se obtiene dividiendo .6 x55 2 6

2 6x x÷ ÷ =

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es . Pero no es igual2

562 6

x⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

256

2 6x⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

al trinomio original, es decir , ya que si se desarrolla el2

2 56 5 8 62 6

x x x⎛ ⎞+ + ≠ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

binomio al cuadrado se obtiene:


ax bx c dx+ +∫

45

256

2 6x⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠


más el dobleproducto del 1ºpor el 2º;


2 2 256 5 8 6 524

x x x x+ + ≠ + +

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 6x2 está en amboslados; + 5x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 8 que noestá en el lado derecho (hay que agregarlo allí para que se sean iguales); y además, en el lado

derecho aparece un + que no existe en el trinomio original. Entonces, para que realmente2524

sean iguales, se debe restar y sumar + 8 simultáneamente en el lado derecho, obteniendo:2524

2

2 5 256 5 8 6 8242 6

x x x⎛ ⎞+ + = + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 5 1676 5 8 6

242 6x x x⎛ ⎞

+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠


ax bx c dx+ +∫

46

Ejemplo 6: Transformar el trinomio 48 - 24x - 9x2 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Obsérvese que en este ejemplo, a diferencia de los anteriores, el término cuadrático es negativo.En casos así, debe encerrarse primero en un paréntesis negativo el trinomio para que se vuelvapositivo el término al cuadrado y a partir de allí repetir lo que se ha hecho en los ejemplosantecedentes. Se finaliza eliminando el paréntesis negativo cambiando de signo a todo lo quecontiene.

( )2 248 24 9 9 24 48x x x x− − = − + −

( )23 4 64x⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

( )2248 24 9 64 3 4x x x− − = − +

APLICACIÓN A LAS INTEGRALES

Lo anterior es la práctica y habilidad algebraica que se requiere para poder realizar las inte-grales de la forma que se estudian en este capítulo. Entonces el procedimiento general para integrarfunciones que contienen un polinomio cuadrático, ya sea con o sin raíz cuadrada, en el numeradoro en el denominador, consiste en transformar dicho trinomio a la forma (mx + n)2 + h, y por uncambio de variable reducirla a una de las fórmulas vistas en el capítulo anterior.


ax bx c dx+ +∫

47

Ejemplo 7: Integrar 24 36 85dx

x x+ +∫Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas

anteriores, se tiene que

( )2 24 36 85 2 9 4dx dx

x x x=

+ + + +∫ ∫

Haciendo los siguientes cambios:

u2 = (2x + 9)2 , de dondeu = 2x + 9du = 2dxa2 = 4 a = 2

Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por 2 para obtener la diferencial du y para queno se altere la integral original:

( )2 2 2

1 2 12 22 9 4

dx duu ax

=++ +∫ ∫

Se ha reducido a la fórmula (11) de la página 30. Aplicándola se obtiene:

2 2

1 1 12 2

du uarc tan ca au a

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral:

1 1 2 92 2 2

xarc tan c+⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


ax bx c dx+ +∫

48

2

1 2 94 24 36 85

dx xarc tan cx

+= +

+ +∫

COMPROBACIÓN:

Simplemente para abreviar, sea (el resultado de la integral).1 2 94 2

xI arc tan c+= +

Entonces derivando:

1 2 94 2

dI d x darc tan cdx dx dx

+⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 91 2 04 2 9 1

2

d xdx

x

⎡ ⎤+⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

2

1 14 4 36 81 1

4x x

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

2

1 14 4 36 81 4

4x x

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦


ax bx c dx+ +∫

49

2

1 44 4 36 85x x⎡ ⎤

= ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

2

14 36 85

dIdx x x

=+ +

Ejemplo 8: Integrar 29 6 2

dx

x x− +∫

Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginasanteriores, se tiene que

( )2 29 6 2 3 1 1

dx dx

x x x=

− + − +∫ ∫


u2 = (3x - 1)2 , de dondeu = 3x - 1du = 3dxa2 = 1a = 1


( )2 2 2

1 3 13 33 1 1

dx du

u ax=

+− +∫ ∫


ax bx c dx+ +∫

50


( )2 2

2 2

1 13 3

du ln u u a cu a

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦+∫

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral, en dondeconviene considerar que en este tipo de integrales, siempre que exista originalmente una raízcuadrada, al sustituir en la fórmula se obtiene la raíz cuadrada original, por lo que:

( ) 2

2

1 3 1 9 6 239 6 2

dx ln x x x cx x

⎡ ⎤= − + − + +⎣ ⎦− +∫

Ejemplo 9: Integrar 245 20 25x x dx− −∫Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas

anteriores, ver ejemplo 6 de la página 46, se tiene que

( )2245 20 25 49 5 2x x dx x dx− − = − +∫ ∫


u2 = (5x + 2)2 , de dondeu = 5x + 2du = 5dxa2 = 49a = 7


ax bx c dx+ +∫

51


( )2 2 21 149 5 2 55 5

x dx a u du− + = −∫ ∫


22 2 2 21 1

5 5 2 2u a ua u du a u arc sen c

a⎡ ⎤

− = − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral, en dondeconviene considerar que en este tipo de integrales, siempre que exista originalmente una raízcuadrada, al sustituir en la fórmula se obtiene la raíz cuadrada original, por lo que:

21 5 2 49 5 245 20 255 2 2 7

x xx x arc sen c+ +⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 25 2 49 5 245 20 25 45 20 2510 10 7x xx x dx x x arc sen c+ +

− − = − − + +∫

Ejemplo 10: Integrar 22 5 3dx

x x+ +∫Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en los ejem-

plos 1 a 6, se tiene que


ax bx c dx+ +∫

52

2 22 5 3 5 1282 2

dx dxx x

x=

+ + ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫


, de donde2

2 522 2

u x⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

522 2

u x= +

2du dx=

2 18

a =

( )1 1 1 18 4 2 2 24 2

a = = = =

Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por para obtener la diferencial du y2para que no se altere la integral original:

2 2 2

1 2 12 25 12

82 2

dx duu a

x=

−⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫



ax bx c dx+ +∫

53

2 2

1 1 122 2

du u aln ca u au a

⎡ ⎤⎛ ⎞−= +⎢ ⎥⎜ ⎟+− ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral:

5 121 1 2 2 2 2

5 112 222 2 2 22 2

xln c

x

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

422 2 2 2

62 2 22 2

xln c

x

+= +

+

222

322

xln c

x

+= +

+

Para eliminar los denominadores parciales que aparecen en el numerador y en el denomi-2nador del argumento del logaritmo natural, deben multiplicarse al mismo tiempo numerador y

denominador por :2

22 2232 22

xln c

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= +⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


ax bx c dx+ +∫

54

2

2 22 32 5 3

dx xln cxx x+

= +++ +∫

COMPROBACIÓN:

Simplemente para abreviar, sea (el resultado de la integral). Entonces2 22 3

xI ln cx+

= ++

derivando:

2 22 3

02 22 3

d xdx xdI

xdxx

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠= +

++

( ) ( )( )2

2 2 3 2 2 22 32 22 3

x xxxx

+ − +

+=

++

( )24 6 4 4

2 32 22 3

x xxxx

+ − −

+=

++

( )22

2 32 22 3

xxx

+=

++


ax bx c dx+ +∫

55

( )( ) ( )2

2 2 3

2 3 2 2

x

x x

+=

+ +

( )( ) ( )2

2 2 3

2 2 3 1

x

x x

+=

+ +

( )( )1

2 3 1x x=

+ +

2

12 5 3

dIdx x x

=+ +


ax bx c dx+ +∫

56



1) 2)225 10 10dx

x x+ +∫ 216 24 7dx

x x− −∫

3) 4)29 42 50

dx

x x− +∫ 24 20 50

dx

x x− +∫

5) 6)24 28 32x x dx− −∫ 236 12 10x x dx+ +∫

7) 8)236 60 11dx

x x+ −∫ 264 144 162dx

x x+ +∫

9) 10)272 6

dx

x x− −∫ 220 4 24x x− −∫

11) 12)2117 12 9dx

x x+ −∫ 2168 20 100

dx

x x− −∫

Área 2:

13) 14)225 18 8x x dx+ −∫ 24 14 1dx

x x− −∫


ax bx c dx+ +∫

57

15) 16)216 7 2

dx

x x− −∫ 249 9 6

dxx x+ −∫

17) 18)23 9x x dx+ +∫ 25 11 13dx

x x+ −∫

19) 20)27 11 22

dx

x x+ +∫ 28 19

dxx x−∫

21) 22)2 17x x dx−∫ 212 8dx

x x+ −∫

23) 24)215 11dx

x x+∫ 27 7x dx+∫

Integrales de la forma ( )( )2 2k

mx n ax bx c dx+ + +∫

58

VI


, con k = ± 1, - 2( )( )∫ 2 2k

mx + n ax + bx + c dx

Área 2

Estas integrales difieren de las vistas en el capítulo anterior solamente en el binomio mx n+que debe aparecer en el numerador con exponente 1. Ejemplos de integrales de esta forma son:

( ) 22 5 4 6x x x dx− − +∫( )

2

5 129 18 21

x dxx x

++ −∫

( )2

8 1

16 21 1

x dx

x x

−

+ −∫

La técnica para integrar estas funciones consiste en hacer primero el cambio de variable deltrinomio cuadrático u = ax2 + bx + c, a partir del cual se calcula la diferencial du = (2ax + b)dx.Como el polinomio 2ax + b de esta diferencial es de la misma forma que el binomio mx + n delnumerador de la integral original, a base de multiplicaciones y sumas, con sus respectivas operacio-



59

Para integrar funciones de la forma , con k = ± 1, - 2:( )( ) 22 k /mx n ax bx c dx+ + +∫

a) Hágase u = ax2 + bx + c.b) Obténgase la diferencial du = (2ax + b)dx.

c) Multiplíquese y divídase simultáneamente la integral original por :2am

( )( )

( )

22

22

22

222

k /

k /

m a mx n ax bx c dxa m

m anax ax bx c dxa m

+ + + =

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

d) Súmese y réstese b en el binomio:

( ) 22222

k /m anax b b ax bx c dxa m

⎛ ⎞+ − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

e) Pártase en dos integrales:

( )( )

( )

22

22

22

22

k /

k /

m ax b ax bx c dxa

m an b ax bx c dxa m

+ + + +

⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

nes inversas (divisiones y restas) para que no se altere, debe transformarse el binomio original en el polinomio 2ax + b de la diferencial de u. Una vez logrado, la integral resultante semx n+

parte en dos integrales, las cuales ya se pueden realizar por alguno de los métodos ya estudiadoshasta ahora.

En síntesis:



60


2

27 881 36 8

x dxx x

−+ +∫

Solución: Sea u = 81x 2 + 36x + 8 , de donde du = (162x + 36) dx

Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por 6, se obtienecomo primer término 162x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:

( ) ( )2 2

6 27 8 162 481 16 681 36 8 81 36 8

x dx x dxx x x x

− −=

+ + + +∫ ∫

Ahora debe sumarse (y restarse) + 36 al mismo binomio:

( )2

162 36 36 4816 81 36 8

x dxx x+ − −

=+ +∫

Y dividiéndola en dos integrales, resulta:

( ) ( )2 2

162 36 36 481 16 681 36 8 81 36 8

x dx dxx x x x

+ − −= +

+ + + +∫ ∫

En esta primera integral, el numerador es du y el denominador es u (ver el cambio de variablecon el que se inicio este procedimiento). En la segunda integral, se pueden sumar las constantesdel numerador y escribirse afuera de la integral:

2

1 846 6 81 36 8

du dxu x x

= −+ +∫ ∫

Como la 2ª integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior, se tiene que



61

( )2

1 146 9 2 4

dxlnux

= −+ +∫

v2 = (9x + 2)2 de donde:v = 9x + 2dv= 9 dxa2 = 4 a = 2

( )( )

22

1 14 981 36 86 9 9 2 4

dxln x xx

= + + −+ +∫

( )22 2

1 1481 36 86 9

duln x xu a

= + + −+∫

( )21 14 181 36 86 9

uln x x arc tan ca a

⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )21 14 1 9 281 36 86 9 2 2

xln x x arc tan c+⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2

2

27 8 1 7 9 281 36 86 9 281 36 8

x dx xln x x arc tan cx x

− += + + − +

+ +∫

COMPROBACIÓN:

Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la

integral, hágase .( )21 7 9 281 36 86 9 2

xI ln x x arc tan c+= + + − +



62

Entonces

( )2

2 2

9 281 36 81 7 2 0

6 981 36 8 9 2 12

d xd x xdI dxdxdx x x x

⎡ ⎤+⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ + ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎛ ⎞⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2

91 162 36 7 26 981 36 8 81 36 4 1

4

xx x x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤+

= − ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2 2

6 27 61 7 16 281 36 8 81 36 4 4

4

xx x x x

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎡ ⎤

= − ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

27 6 7 4281 36 8 81 36 8

xx x x x

⎡ ⎤+= − ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

2 2

27 6 1481 36 8 81 36 8

xx x x x

+= −

+ + + +

2

27 881 36 8

dI xdx x x

−=

+ +



63


2

5 116 40 21

x dxx x

−+ +∫

Solución: Sea u = 16x 2 + 40x + 21 , de donde du = (32x + 40)dx

Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por , se325

obtiene como primer término 32x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:

( )2 2

3232 325 15 5 5532 3216 40 21 16 40 21

x dxx dx

x x x x

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ + + +∫ ∫

Ahora debe sumarse y restarse + 40 (ver du) al mismo binomio para obtener du:

2

3232 40 405 5

32 16 40 21

x dx

x x

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ +∫


( )2 2

324032 405 5 532 3216 40 21 16 40 21

dxx dxx x x x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= ++ + + +∫ ∫




64

2

5 5 23232 32 5 16 40 21

du dxu x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

2

5 2932 4 16 40 21

du dxu x x

= −+ +∫ ∫

La segunda integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior; la primera ya es de fórmu-la, de modo que

( )2

5 2932 4 4 5 4

dxln ux

= −+ −∫


( )2

5 29 1 432 4 4 4 5 4

dxln ux

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠ + −∫

( )22 2

5 2916 40 2132 16

duln x xu a

= + + −−∫

( )25 29 116 40 2132 16 2

u aln x x ln ca u a

⎡ ⎤⎛ ⎞−= + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )25 29 1 4 5 216 40 21

32 16 2 2 4 5 2xln x x ln cx

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −= + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦



65

( ) ( )22

5 1 5 29 4 316 40 2132 64 4 716 40 21

x dx xln x x ln cxx x

− ⎛ ⎞+= + + − +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

∫


2

7 6

3 6 9

x dx

x x

−

− −∫

Solución: Sea u = 3 - 6x - 9x2 , de donde du = (- 18x - 6)dx

Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por , se187

−

obtiene como primer término - 18x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:

( )2 2

10818 187 67 7 7718 183 6 9 3 6 9

x dxx dx

x x x x

⎛ ⎞− +− − ⎜ ⎟⎝ ⎠− = −

− − − −∫ ∫

Ahora debe restarse (y sumarse) 6 al mismo binomio para obtener du:

2

10818 6 67 7

18 3 6 9

x dx

x x

⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟⎝ ⎠= −

− −∫




66

( )2 2

108618 67 7 718 183 6 9 3 6 9

dxx dx

x x x x

⎛ ⎞+⎜ ⎟− − ⎝ ⎠= − −− − − −

∫ ∫

En esta primera integral, el numerador es du y el denominador es (ver el cambio deuvariable con el que se inicio este procedimiento). En la segunda integral, se pueden sumar lasconstantes del numerador y escribirse afuera de la integral:

2

7 7 15018 18 7 3 6 9

du dxu x x

⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −

∫ ∫

La segunda integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior:

( )

12

2

7 2518 3 4 3 1

dxu dux

−= − −

− +∫ ∫


( )

1 12

2

7 25 1 3118 3 3 4 3 112

u dx

x

− +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ − +− +⎣ ⎦

∫



67

12

2 2

7 25118 92

u du

a u

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫

127 252

18 9uu arc sen ca

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) 2

2

7 6 7 25 3 13 6 99 9 23 6 9

x dx xx x arc sen cx x

− += − − − − +

− −∫

Ejemplo 4: Integrar ( )2

11 25 6 39

x dxx x

+

+ −∫Solución: Sea u = 5x2 + 6x - 39 , de donde

du = (10x + 6)dx

Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por , se1 01 1

obtiene como primer término 10x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:

( )2 2

2010 1011 211 11 111110 105 6 39 5 6 39

x dxx dx

x x x x

⎛ ⎞++ ⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ − + −∫ ∫

Ahora debe sumarse (y restarse) 6 al mismo binomio para obtener du:



68

2

2010 6 611 1110 5 6 39

x dx

x x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ −∫


( )2 2

20610 611 11 1110 105 6 39 5 6 39

dxx dxx x x x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= ++ − + −∫ ∫

( )2 2

4610 611 11 11

10 105 6 39 5 6 39

dxx dxx x x x

−+= +

+ − + −∫ ∫


2

11 2310 5 5 6 39

du dxu x x

= −+ −∫ ∫

La segunda integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior:

2

11 2310 5 3 2045

55

du dxu

x= −

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

de donde:2

2 355

v x⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠



69

355

v x= +

5dv dx=

2 2045

a =

2045

a =

2

11 23 1 510 5 5 3 2045

55

dxln u

x

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

( )22 2

11 235 6 3910 5 5

duln x xu a

= + − −−∫

( )211 23 15 6 3910 25 5

u aln x x ln ca u a

⎡ − ⎤⎛ ⎞= + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

3 204511 23 1 555 6 3910 5 5 204 3 2042 5

5 55

xln x x ln c

x

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎜ ⎟= + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

3 204511 23 5 5 55 6 3910 5 5 2 204 3 2045

5 5

xln x x ln c

x

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥= + − − +⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦



70

Para eliminar el denominador parcial que aparece en el numerador y denominador del5argumento del logaritmo natural de la segunda integral, basta multiplicar numerador y denomi-

nador por :5

( )2

3 2045 55 511 235 6 39

10 10 204 3 2045 55 5

xln x x ln c

x

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠= + − − +⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )22

11 2 11 23 5 3 2045 6 39105 6 39 10 204 5 3 204

x dx xln x x ln cx x x

⎛ ⎞+ + −= + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠

∫



71

EJERCICIO 24 (Área 2)


1) 2)( )

2

2 781 36 5

x dxx x

−+ +∫

( )2

4 1123 44 4

x dxx x

−+ −∫

3) 4)( )

2

2 174 28 33

x dxx x

+− +∫

( )2

7 29 60 125

x dxx x

−+ +∫

5) 6)( )

2

9 116 56 15

x dxx x

−− −∫

( )2

13 1145 12

x dxx x

+− −∫

7) 8)( )

2

17 13

25 10 2

x dx

x x

+

− +∫

( )2

6 13

36 60 75

x dx

x x

+

+ −∫

9) 10)( )

2

9 7

35 12 36

x dx

x x

−

+ −∫ ( ) 29 9 7x x x dx− −∫

11) 12)( )

2

6

25 11 5

x dx

x x

+

− +∫ 2

36 24 5

x dxx x− −∫

13) 14)( )

2

7 9

2 3 13

x dx

x x

+

+ −∫ 26 10 10 13x x x dx+ −∫

15) 16)( )

2

5 28 7 6

x dxx x−+ −∫

( )2

2 3

5

x dx

x x

−

− −∫

Integrales trigonométricas

72

VII

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Áreas 1, 2 y 3

Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangen-te, secante y cosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seisfunciones trigonométricas. Esto último se refiere a que si la derivada de la tangente es la secantecuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

(17) sen u du cosu c= − +∫

(18) cosu du sen u c= +∫

(19) tanu du ln secu ln cosu c= = − +∫

(20) cot u du ln sen u c= +∫

(21) ( )secu du ln tan u secu c= + +∫


73

(22) ( )cscu du ln cscu cot u c= − +∫

(23) 2sec u du tanu c= +∫

(24) 2csc u du cot u c= − +∫

(25) tanu secu du secu c= +∫

(26) cot u cscu du cscu c= − +∫

Como en todos los casos de fórmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerseun cambio de variable, en donde u es el argumento de la función trigonométrica.

Ejemplo 1: Integrar 9sen x dx∫Solución: En este caso el argumento es 9x, o sea que

u = 9x , de dondedu = 9dx

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integraloriginal también debe dividirse entre 9, de modo que:

[ ]19 9 99

sen x dx sen x dx=∫ ∫

sen u du


74

[ ]1 19 9

sen u du cos u c= = − +∫

19 99

sen x dx cos x c= − +∫

Ejemplo 2: Integrar ( ) ( )23 2 3 4 11x tan x x dx− − +∫Solución: En este caso el argumento es 3x 2 - 4x + 11 , o sea que

u = 3x 2 - 4x + 11 , de dondedu = (6x - 4)dx

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integraloriginal también debe dividirse entre 2, de modo que:

( ) ( ) ( ) ( )2 213 2 3 4 11 3 4 11 2 3 22

x tan x x tan x x x dx− − + = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )21 3 4 11 6 42

tan x x x dx= − + −∫

tan u du

12

ln sec u c= +


75

( ) ( ) ( )2 213 2 3 4 11 3 4 112

x tan x x dx ln sec x x c− − + = − + +∫

COMPROBACIÓN:


integral, hágase .( )21 3 4 112

I ln sec x x c= − + +

Entonces

( )

( )

2

2

3 4 111 02 3 4 11

d sec x xdI dxdx sec x x

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= +⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2

3 4 11 3 4 11 3 4 1112 3 4 11

dtan x x sec x x x xdx

sec x x

⎡ ⎤− + − + − +⎢ ⎥= ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

3 4 11 3 4 11 6 412 3 4 11

tan x x sec x x x

sec x x

⎡ ⎤− + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥=− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

2 3 2 3 4 11 3 4 1112 3 4 11

x tan x x sec x x

sec x x

⎡ ⎤− − + − +⎢ ⎥=

− +⎢ ⎥⎣ ⎦


76

( ) ( )23 2 3 4 11dI x tan x xdx

= − − +



1) 2)13sen x dx∫ 4cos x dx∫

3) 4)( )4 9tan x dx−∫ ( )17 6cot x dx+∫

5) 6)( )11 12sec x dx+∫ ( )1 5csc x dx−∫

7) 8)( ) ( )25 10 1x sen x x dx− − +∫ ( ) ( )23 3 5 10 10x cos x x dx+ + +∫

9) 10)( ) ( )22 3 7 21 9x tan x x dx− − +∫ ( ) ( )2 3 26 9 15x x cot x x dx+ + −∫

11) ( ) ( )2 3 26 6 3 8 12 12 13x x sec x x x dx− + − + −∫

12) 13)5 22

sen x dxx∫ 2

7 3cos dxxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

14) 15)3 2

11 9tan dxx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 4 3

2 5csc dxx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫


77

TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN (Área 2)

Para integrar cualquier otra función trigonométrica que no pueda resolverse con un sim-ple cambio de variable, tales como las estudiadas en las páginas precedentes de este capítulo,deben emplearse diferentes técnicas y recursos algebraicos para reducir la función original a unaforma equivalente ya integrable.

Independientemente de la técnica o recurso que se emplee, es necesario tener a la manolas siguientes fórmulas o identidades trigonométricas:

(1) 2 2 1sen A cos A+ =

(2) 2 21tan A sec A+ =

(3) 2 21cot A csc A+ =

(4) 1sen Acsc A

=

(5) 1cos Asec A

=

(6) 1tan Acot A

=

(7) 1cot Atan A

=

(8) 1sec Acos A

=


78

(9) 1csc Asen A

=

(10) sen Atan Acos A

=

(11) cos Acot Asen A

=

(12) ( )2 1 1 22

sen A cos A= −

(13) ( )2 1 1 22

cos A cos A= +

(14) 2 2sen A sen A cos A=

(15) 2 2 2 22 1 2 1cos A cos A sen A sen A cos A= − = − = −

Igualmente, deben tenerse presentes algunas normas generales para evitar transformar laintegral original en otra función más complicada:

a) Si la función a integrar está compuesta por dos o más factores trigonométricos, éstosdeben tener el mismo argumento; de lo contrario, mientras no se igualen los argu-mentos no se podrá integrar.

Por ejemplo, la integral no se podrá integrar mientras no se igua-2 4sen x tan x dx∫len los argumentos del seno con el de la tangente.

b) Debe evitarse pasar de una integral del seno a otra del coseno de la misma forma,


79

porque se considera que una y otra son lo mismo en cuanto a su técnica de integra-ción.

Por ejemplo, si se tiene la integral y se emplea la fórmula trigonométrica (1)2sen x dx∫

para establecer que , como se( )2 2 21sen x dx cos x dx dx cos x dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫pasó de la integral a la integral se considera que no se2sen x dx∫ 2cos x dx∫avanzó absolutamente nada porque son de la misma forma.

c) Cuando deba emplearse más de una vez la técnica de los cuadrados, debe seguirsesiempre el mismo criterio porque de lo contrario se regresa a la integral original.Emplear el mismo criterio significa utilizar siempre la misma función trigonométricaal cuadrado para sustituirla por su equivalente de dos términos, no una vez una y otravez otra.

d) Para integrar :m nsen v cos v dv∫

i) Si m = n , debe emplearse la fórmula trigonométrica (14) en la que, despe-jando, se llega a que

, 1 22

sen A cos A sen A=

por lo que2

2 2 1 22

sen A cos A sen A⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, etc.3

3 3 1 22

sen A cos A sen A⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


80

ii) Si m = 1 o bien n = 1 , con el cambio de variable u igual a la funcióntrigonométrica con exponente diferente de 1, se resuelve.

iii) En cualquier otro caso, utilizar la técnica de los cuadrados para partir endos la integral.

Las principales técnicas son:

a) Técnica de los cuadrados.b) Técnica de pasar a senos y/o cosenos.c) Técnica de los binomios conjugados.

a) Técnica de los cuadrados: Consiste en factorizar una potencia trigonométrica en unfactor al cuadrado multiplicado por lo que quede; ese factor al cuadrado se reemplaza por suequivalente de dos términos para partir en dos la integral original.

Como en casi todas las integrales de las diferentes potencias de las seis funciones trigo-nométricas se emplea la técnica de los cuadrados, en el siguiente bloque de ejemplos se mostrarála técnica para integrar el seno al cuadrado, el seno al cubo, el seno a la cuarta potencia, etc; lomismo con la tangente y con la secante.

Ejemplo 3: Integrar 2sen x dx∫Solución: Si se emplea la técnica de los cuadrados se tienen dos opciones: (des-2 21sen x cos x= −

pejando de la fórmula (1), página 77) o bien hacer , según la fór-( )2 1 1 22

sen x cos x= −

mula (12). Pero como ya se vio en el ejemplo del inciso (b) de la página 79, la primera rela-ción no debe emplearse porque se pasa de una forma a otra igual. Entonces

( )2 1 1 22

sen x dx cos x dx= −∫ ∫


81

1 1 22 2

dx cos x dx= −∫ ∫

1 1 22 2

dx cos x dx= −∫ ∫

La primera integral ya es de fórmula. Para la segunda integral, sea u = 2x, de donde. Así que multiplicando y dividiendo por 2 al mismo tiempo para que no se altere2du dx=

la integral original:

( )1 1 1 2 22 2 2

dx cos x dx⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

1 12 4

dx cos u du= −∫ ∫

1 12 4

x sen u c= − +

2 1 2

2 4xsen x dx sen x c= − +∫

Ejemplo 4: Integrar 3sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados, se factoriza el seno cúbico en seno cuadrado por se-

no. El seno cuadrado se sustituye por su equivalente de dos términos (1 - cos 2 x), tomandoen cuenta la norma del inciso (a), página 78, se multiplica y luego se parte en dos integrales:

3 2sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫


82

( )21 cos x sen x dx= −∫2sen x dx cos x sen x dx= −∫ ∫

u = cos xdu = - sen x dx

La primera integral ya es de fórmula. La segunda integral es de la forma señalada en el inci-so (d) de la página 79 y cumple con el requisito del subinciso (ii). De manera que se hace elcambio de variable indicado para obtener

2sen x dx u du= +∫ ∫3

3ucos x c= − + +

3 31

3sen x dx cos x cos x c= − + +∫

Ejemplo 5: Integrar 4sen x dx∫

Solución: Empleando la técnica de los cuadrados se factoriza el seno cuarto en seno cuadrado por seno

cuadrado, es decir . Debe tenerse cuidado en que esta técnica señala4 2 2sen x sen x sen x=

que un factor al cuadrado (y solamente uno) es el que debe sustituirse por su equivalente dedos términos, no los dos factores al cuadrado. De modo que


83

4 2 2sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )2 21 cos x sen x dx= −∫2 2 2sen x dx sen x cos x dx= −∫ ∫

La segunda integral es de la forma marcada en el inciso (d) de la página 79 y cumple con elrequisito del subinciso (i), por lo que debe emplearse la fórmula (14) de la página 78:

22 1 2

2sen x dx sen x dx⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

2 21 24

sen x dx sen x dx= −∫ ∫

Ambas integrales son el seno al cuadrado, solamente que con diferente argumento. Se inte-gran como se mostró en el ejemplo 3 de la página 80:

( ) ( )1 1 11 2 1 42 4 2

cos x dx cos x dx= − − −∫ ∫

1 1 1 12 42 2 8 8

dx cos x dx dx cos x dx= − − +∫ ∫ ∫ ∫

1 12 42 4 8 32x xsen x sen x c= − − + +

4 3 1 12 48 4 32xsen x dx sen x sen x c= − + +∫


84

Ejemplo 6: Integrar 5sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados se factoriza el seno quinto en seno cuadrado por seno

cúbico, es decir . De modo que5 2 3sen x sen x sen x=

5 2 3sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )2 31 cos x sen x dx= −∫3 2 3sen x dx cos x sen x dx= −∫ ∫

La primera integral se resolvió en el ejemplo 4 página 81, por lo que ya solamente se copiarásu resultado. La segunda integral pertenece a la condición del inciso (d), subinciso (iii), pá-gina 79/80, por lo que se debe volver a utilizar la técnica de los cuadrados con el mismo cri-terio, es decir que si anteriormente se factorizó para obtener un seno al cuadrado para susti-tuirlo por su equivalente de dos términos, ahora nuevamente debe factorizarse un seno alcuadrado y reemplazarlo por su equivalente de dos términos. Haciéndolo se obtiene:

3 2 2sen x dx cos x sen x sen x dx= −∫ ∫

( )3 2 21sen x dx cos x sen x cos x dx= − −∫ ∫3 2 4sen x dx cos x sen x dx cos x sen x dx= − +∫ ∫ ∫

La segunda y tercera integrales corresponden a la condición del inciso (d), subinciso (ii),página 79/80, por lo que con un cambio de variable se puede integrar. Haciendo

u = cos xdu = - sen x dx


85

3 2 4sen x dx u du u du= + −∫ ∫ ∫3 5

313 3 5

u ucos x cos x c= − + + − +

3 3 51 1 13 3 5

cos x cos x cos x cos x c= − + + − +

5 3 52 1

3 5sen x dx cos x cos x cos x c= − + − +∫

Ejemplo 7: Integrar 2tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, sabiendo que tan 2 x = sec 2 x - 1,

( )2 2 1tan x dx sec x dx= −∫ ∫2sec x dx dx= −∫ ∫

Estas dos integrales ya son directas de fórmula, así que

2tan x dx tan x x c= − +∫

Por las reglas de escritura matemática no debe escribirse así, sino

2tan x dx x tan x c= − + +∫


86

Ejemplo 8: Integrar 3tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y susti-

tuir la tangente cuadrada por su equivalente de dos términos (sec 2 x -1):

2tan x tan x dx= ∫

( )2 1sec x tan x dx= −∫2sec x tan x dx tan x dx= −∫ ∫

La primera integral se resuelve con el cambio de variable u = tan x , ya que du = sec 2 x. Lasegunda integral ya es de fórmula. Así que

u du tan x dx= −∫ ∫2

2u ln sec x c= − +

3 21

2tan x dx tan x ln secx c= − +∫

Ejemplo 9: Integrar 4tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y susti-

tuir la tangente cuadrada (y solamente una, no las dos) por su equivalente de dos términos:

4 2 2tan x dx tan x tan x dx=∫ ∫


87

( )2 21sec x tan x dx= −∫2 2 2sec x tan x dx tan x dx= −∫ ∫

Para la primera integral basta con hacer el cambio de variable , ya que derivandou tan x=

se obtiene que , y la segunda integral fue resuelta en el ejemplo 7:2du sec x dx=

2 2u du tan x dx= −∫ ∫

( )3

3u x tan x c= − − + +

313

tan x x tan x c= + − +

que debe escribirse, conforme a las reglas de escritura matemática como

4 313

tan x dx x tan x tan x c= + − +∫

Ejemplo 10: 5tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y susti-

tuir la tangente cuadrada por su equivalente de dos términos (sec 2 x - 1):

5 2 3tan x dx tan x tan x dx=∫ ∫( )2 31sec x tan x dx= −∫


88

2 3 3sec x tan x dx tan x dx= −∫ ∫

Para la primera integral basta hacer el cambio de variable , de donde derivando seu tan x=

obtiene . La segunda integral fue resuelta en el ejemplo 8:2du sec x dx=

3 3u du tan x dx= −∫ ∫4

214 2

u tan x ln sec x c= − + +

5 4 21 1

4 2tan x dx tan x tan x ln sec x c= − + +∫

COMPROBACIÓN:


integral, hágase .4 21 14 2

I tan x tan x ln sec x c= − + +

Entonces

( ) ( )4 1 2 11 14 2 04 2

dI d d tan x sec xtan x tan x tan x tan xdx dx dx sec x

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2 2d dtan x sec x x tan x sec x x tan xdx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2 2tan x sec x tan x sec x tan x= − +

3 2 21 1tan x tan x tan x tan x tan x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦5 3 3tan x tan x tan x tan x tan x= + − − +


89

5dI tan xdx

=

Ejemplo 11: Integrar 2sec x dx∫Solución: Esta integral es directa de fórmula. Basta aplicar la fórmula (23) de la página 73.

2sec x dx tan x c= +∫

Ejemplo 12: Integrar 3sec x dx∫Solución: Todas las potencias nones de la secante y de la cosecante solamente se pueden integrar por

el método llamado integración por partes, que se verá en el próximo capítulo (ejemplo 4,página 108). De manera que queda pendiente de integrarse hasta que se aborde en el capítulosiguiente la integración por partes.

Ejemplo 13: Integrar 4sec x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, se factoriza en secante cuadrada por secante cuadrada. De la

misma forma en que se hizo con el seno a la cuarta y la tangente a la cuarta, solamente elprimer factor al cuadrado debe sustituirse por su equivalente de dos términos:

4 2 2sec x dx sec x sec x dx=∫ ∫

( )2 21tan x sec x dx= +∫2 2 2tan x sec x dx sec x dx= +∫ ∫


90

Para la primera integral basta hacer el cambio de variable u = tan x, de donde du = sec2x; lasegunda integral ya es directa de fórmula:

2 2u du sec x dx= +∫ ∫3

3u tan x c= + +

4 313

sec x dx tan x tan x c= + +∫

b) Técnica de pasar todo a senos y/o cosenos: Consiste en pasar o escribir todas lasfunciones trigonométricas en términos de senos y/o cosenos, a partir de que todas las funcionestrigonométricas tienen un equivalente en senos y/o cosenos, ya que

sen xtan xcos x

=

cos xcot xsen x

=

1sec xcos x

=

1csc xsen x

=

Después de escribir todo en términos del seno y/o coseno, se simplifica y se vuelve a aplicar la técnica de los cuadrados, si las integrales resultantes no están aún listas para ya integrarse.


91

Ejemplo 14:2sen x cot x dxsec x∫

Solución: Pasando todo a senos y/o cosenos:

22

1

cos xsen xsen x cot x senxdx dxsec x

cos x

=∫ ∫

2sen x cos x cos x dxsen x

= ∫

2sen x cos x dx= ∫

Esta integral es de la forma especificada en el inciso (d), subinciso (ii), páginas 79/80, por loque con un cambio de variable se puede integrar. En efecto, haciendo

u = cos x , de dondedu = - sen x dx

( ) ( )2cos x sen x dx= − −∫3

2

3uu du c= − = − +∫

231

3sen x cot x dx cos x c

sec x= − +∫


92

Ejemplo 15: Integrar dx2

2

tan x cos x cot x sen xsec x csc x∫

Solución: Pasando todo a senos y/o cosenos:

22

2

21 1

sen x cos xcos x sen xcos x sen xtan x cos x cot x sen x dx dx

sec x csc xsen xcos x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

2 2sen x cos x cos x sen x cos x sen x dxcos x sen x

= ∫

3 3sen x cos x dx= ∫

Esta integral corresponde a lo señalado en el inciso (d), subinciso ( i ), página 79, debe em-plearse la fórmula trigonométrica (14) en la que, despejando, se llega a que

, 1 22

sen x cos x sen x=

por lo que

3

3 3 1 22

sen x cos x sen x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

por lo tanto,

3

3 3 1 22

sen x cos x dx sen x dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

31 28

sen x dx= ∫


93

Para ver los detalles de cómo se resuelve esta integral, ver el ejemplo 4 de la página 81:

21 2 28

sen x sen x dx= ∫

( )21 2 1 28

sen x cos x dx= −∫

21 12 2 28 8

sen x dx sen x cos x dx= −∫ ∫

Para la primera integral debe hacerse el cambio de variable u = 2x, de donde du = 2 dx. Pa-ra la segunda integral hacer v = cos 2x, de donde dv = - 2 sen 2x dx :

( ) ( )21 1 1 12 2 2 2 28 2 8 2

sen x dx cos x sen xdx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

sen u du v 2 dv

21 116 16

sen u du v dv= +∫ ∫

31 1216 16 3

vcos x c⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

23

2

1 12 216 48

tan x cox cot x sen x dx cos x cos x csec x csc x

= − + +∫


94

c) Técnica de los binomios conjugados: Cuando en el denominador aparece uno delos binomios conjugados que se mencionan en la siguiente tabla, se multiplica el numerador y eldenominador por su conjugado para obtener en el denominador su equivalente de un término alcuadrado.

Esta técnica se basa en el hecho de que de las tres fórmulas trigonométricas llamadasPitagóricas o de los cuadrados (ver fórmulas (1), (2) y (3) de la página 77), al despejar cualquierade los dos términos que aparecen en el lado izquierdo del signo igual (=), se obtiene una diferen-cia de cuadrados, la cual se puede factorizar en dos binomios conjugados.

La siguiente tabla muestra lo afirmado en el párrafo anterior:

Fórmula Pitagórica: 2 despejes posibles:(diferencia de cuadrados)

Binomios conjugados

sen 2A + cos 2A = 1sen 2A = 1 - cos 2A = (1 - cos A)(1 + cos A) (b1)

cos 2A = 1 - sen 2A = (1 - sen A)(1 + sen A) (b2)

tan 2A + 1 = sec 2Atan 2A = sec 2A - 1 = (sec A - 1)(sec A + 1) (b3)

1 = sec 2A - tan 2A = (sec A - tan A)(sec A + tan A) (b4)

cot 2A + 1 = csc 2Acot 2A = csc 2A - 1 = (csc A - 1)(csc A + 1) (b5)

1 = csc 2A - cot 2A = (csc A - cot A)(csc A + cot A) (b6)

La idea de esta técnica radica en que los numeradores sí se “pueden partir” en cada unode sus términos entre todo el denominador; sin embargo, los denominadores no se “pueden par-tir”. Entonces se trata de hacer que en el denominador aparezca un solo término y en el numera-dor dos o más para partir la fracción en su suma correspondiente.


95

Una vez multiplicado el numerador y el denominador por el conjugado del binomio deldenominador, el producto del denominador dará la diferencia de cuadrados correspondiente a latabla anterior, leída de derecha a izquierda, la cual equivale a una función trigonométrica al cua-drado. Se vuelve a aplicar la técnica (1) de los cuadrados o la técnica (2) de convertir todo a se-nos y/o cosenos.


1 2tan x dx

cos x−∫Solución: El denominador tiene dos términos, pero así no se puede partir en la suma de dos la fraccio-

nes. Sin embargo, este denominador es uno de los binomios conjugados (b1) de la tabla an-terior. Esto sugiere que debe multiplicarse numerador y denominador por su binomio conju-gado, es decir, por (1 + cos 2x). Haciéndolo resulta:

( )

( )( )2 1 22

1 2 1 2 1 2tan x cos x dxtan x dx

cos x cos x cos x+

=− − +∫ ∫

( )2

2 2 21 2

tan x tan x cos x dxcos x

+=

−∫

( )2

2 2 22

tan x tan x cos x dxsen x

+= ∫

En este momento el numerador ya tiene dos términos, por lo que ya se puede partir en la su-ma de dos fracciones:

2 2

2 2 22 2

tan x dx tan x cos x dxsen x sen x

= +∫ ∫

Una vez partida la integral en la suma de dos, se aplica el criterio de pasar todo a senos y/ocosenos vista en la página 90:


96

2 2

2 2 22 2 2 2

sen x dx sen x cos x dxcos x sen x cos x sen x

= +∫ ∫

2 2 2dx dx

sen x cos x sen x= +∫ ∫

Para la primera integral se cumple la condición del inciso (d), subinciso (i), de la página 79.

La segunda integral es igual a la cosecante, ya que , de manera que1 csc A

sen A=

21 42

dx csc x dxsen x

= +∫ ∫

2 4 2csc x dx csc x dx= +∫ ∫

( ) ( )1 12 4 4 2 24 2

csc x dx csc x dx⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

1 12 2

cscu du csc v dv= +∫ ∫

( ) ( )1 12 2

ln cscu cot u ln csc v cot v c= − + − +

( ) ( )2 1 14 4 2 21 2 2 2tan x dx ln csc x cot x ln csc x cot x c

cos x= − + − +

−∫


97



1) 2)( )4 7 2sen x dx−∫ 3 9cos x dx∫

3) 4)( )5 9 11cos x dx−∫ ( )3 7 8tan x dx+∫

5) 6)5 12cot x dx∫ 4 13sec x dx∫

7) 8)( )2 6 17sec x dx+∫ 4 9csc x dx∫

9) 10)3 5 5sen x cot x dx∫ 3 29 9tan x csc x dx∫

11) 12)8 8 8tan x sen x cot x dx∫ 3 3 3 3tan x cot x sec x csc x dx∫

13) 14)1 5

dxsen x−∫

99 9

cos x dxsec x tan x−∫

15) 16)4

4 4tan x dx

csc x cot x+∫10

10 10cos x dx

sec x tan x+∫

17) 18)8

1 8cos x dx

cos x−∫ 2 6 6dx

csc x csc x−∫

Integración por partes

98

VIII

INTEGRACIÓN POR PARTES

Área 2

Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x seobtiene:

dy d uvdx dx

=

dy dv duu vdx dx dx

= +

Multiplicando toda la igualdad por dx para eliminar denominadores:

dy u dv v du= +

Integrando en ambos miembros de la igualdad:

dy u dv v du= +∫ ∫ ∫


99

De estas tres integrales, solamente de la primera se puede definir su valor:

y u dv v du= +∫ ∫

y como al principio se dijo que y = uv , sustituyendo se obtiene que

uv u dv v du= +∫ ∫

igualdad que vista en sentido contrario es lo mismo que

u dv v du uv+ =∫ ∫

y, finalmente, despejando la primera integral se llega a:

(27)u dv uv v du= −∫ ∫

La fórmula (27) es la fórmula de la integración por partes. A la integral se leu dv∫llama la integral original y a la integral se le llama la integral que resulta. Para suv du∫buena utilización deben vigilarse las siguientes normas:

a) La integral original debe convertirse en u dv , para lo cual debe hacerse u una partede la integral original y el resto hacerse dv . A lo anterior se le llama hacer la elecciónde variables. No existe regla alguna para establecer qué debe hacerse lo primero y quélo segundo. La práctica es la que guía por el camino más acertado.


100

b) A partir de la elección de variables hecha en el inciso anterior, se calculan la diferen-cial du y la variable v. Derivando u se obtiene du; integrando dv se obtiene v.

c) Las diferenciales deben ir en la misma igualdad.

d) La integral que resulta debe ser más sencilla, o la mucho semejante, que la integraloriginal; de lo contrario, debe comenzarse el proceso eligiendo nuevas variables. Al-gunos criterios para decidir que la integral que resulta es más sencilla o complicadaque la original se irán estableciendo en ejemplos resueltos.

e) El proceso de integración por partes puede emplearse dos o más veces dentro del mis-mo proceso.

A pesar de que no existe una regla infalible, comprobada, universal, que lleve a hacer a laprimera vez una elección de variables adecuada, sí hay algunos criterios que funcionan en muchaso en la mayoría de las ocasiones. Estos criterios son:

i) Para integrales de la forma

( )p x ln x dx∫( )p x arc sen x dx∫( )p x arc cos x dx∫( )p x arc tan x dx∫

en donde p (x) es un polinomio, se recomienda hacer u a la función trascendente,mientras que dv = p (x).

ii) Para integrales de la forma


1 Acrónimo es el vocablo que se forma por la unión de elementos o iniciales de dos o más palabras, comoovni (Objeto Volador No Identificado).

101

( ) axp x e dx∫( )p x sen x dx∫( )p x cos x dx∫

en donde p (x) es un polinomio, se recomienda hacer u = p (x), mientras que dv a lafunción trigonométrica o exponencial.

iii) Se sugiere a veces apoyarse en el acrónimo1 o palabra clave L I A T E, iniciales de

L ogarítmicas

I nversas trigonométricas

A lgebraicas

T rigonométricas

E xponenciales

según este criterio, debe seleccionarse como u la primera función que figure en LIA-TE de izquierda a derecha y conforme al orden de esta palabra clave.

Conviene en este momento agregar al formulario de integrales la integral de e u , ya queesta fórmula no puede encajarse en algún grupo especial. Dicha fórmula, que de aquí en adelantese requerirá, es

(28)u ue du e c= +∫


102

Ejemplo 1: Integrar x sen x dx∫Solución: Esta integral por ninguno de los métodos estudiados hasta ahora puede resolverse. Conforme

al inciso (a) de la página 99, para convertir la integral original en u dv existen tres posibili-dades para la elección de variables:

Primera posibilidad: Hacer u = xdv = sen x dx

Segunda posibilidad: Hacer u = sen xdv = x dx

Tercera posibilidad: Hacer u = x sen xdv = dx

En este ejemplo se estudiarán las tres posibilidades.

Posibilidad 1:

Haciendo se obtiene que

u = x du = dx (derivando)

dv = sen x dx v = - cos x (integrando)

Obsérvese que en u dv (columna izquierda) está exactamente toda la integral original. De esta

manera, si la integral original es igual la integral y ésta, por la fórmula (27), es igualu dv∫a , entonces la integral original es igual también a .uv v du− ∫ uv v du− ∫

Sustituyendo en la fórmula (27) de la página 99:


103

x sen x dx u dv=∫ ∫

uv v du= − ∫

( )x cos x cos x dx= − − −∫

x cos x cos x dx= − + ∫

La integral que resulta es a simple vista más sencilla que la original, puesto que ya es directade fórmula, lo que significa que la elección de variables fue correcta:

x sen x dx x cos x sen x c= − + +∫

Posibilidad 2:


u = sen x du = cos x dx (derivando)

dv = x dx2

2xv = (integrando)



uv v du= − ∫


104

2 2

2 2x xsen x cos x dx= − ∫

La integral que resulta es más complicada que la original, ya que en ambas2

2x cos x dx∫

aparece la función trigonométrica sen x o bien cos x y hasta allí todo es igual; sin embargo,mientras en la integral original aparece el polinomio x de primer grado multiplicando al fac-tor sen x, en la integral que resulta está el polinomio x 2 de segundo grado multiplicando alfactor cos x, es decir, al aumentar de grado el polinomio aumenta el grado de dificultad. Porlo tanto, la elección de variables no es la adecuada.

Posibilidad 3:


u = x sen x du = ( x cos x + sen x ) dx (derivando)

dv = dx v = x (integrando)



uv v du= − ∫

( )2 2x sen x x cos x x sen x dx= − +∫2 2x sen x x cos x dx x sen x dx= − −∫ ∫


105

Las integrales que resultan son más complicadas que la original, ya que además de aparecer laintegral de la posibilidad 2, se vuelve a repetir la original, es decir, no se avanzó nada. Por lotanto, esta elección de variables tampoco es la adecuada.

En este ejemplo, al analizar todas las posibilidades de elecciones de variables, resultó quesolamente la primera posibilidad fue la adecuada. Eso no significa que en todas las integralespor partes nada más una de todas las posibilidades sea la adecuada. Existen integrales queresolviéndose por esta técnica, pueden hacerse por dos o más formas diferentes. No hay reglapara especificar cuál es la elección de variables adecuada en cada integral por partes, así co-mo tampoco para decir cuáles integrales se hacen por partes y cuáles no. De hecho, algunasintegrales que pueden realizarse por alguna otra técnica, también pueden hacerse por partes.

Ejemplo 2: Integrar ln x dx∫Solución: Solamente existe una posibilidad para la elección de variables:


u = ln x1du dxx

= (derivando)

dv = dx v = x (integrando)


ln x dx u dv=∫ ∫uv v du= − ∫

1x ln x x dxx

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫


2 Nótese que según las reglas de escritura debería escribirse ; sin embargo, para no alterar el11 x ln xx

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

orden de los términos que se fueron derivando, lo que podría complicar la comprensión del proceso de derivación,se ha escrito en el orden en que se derivó.

106

x ln x dx= − ∫

La integral que resulta es a simple vista mucho más sencilla que la original, ya que esdx∫inmediata de fórmula, por lo que la elección de variables (que de hecho, no había otra opción)ha sido la correcta.

Continuando el proceso se llega a que

ln x dx x ln x x c= − +∫

COMPROBACIÓN:

Igual que en otros ejemplos, para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a laderivada del resultado de la integral, hágase . EntoncesI x ln x x c= − +

( )dI d x ln x x cdx dx

= − +

1 0d dx ln x ln x xdx dx

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(ver nota al pie de página 2)1 1x ln xx

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠


107

1 1ln x= + −

dI ln xdx

=

Ejemplo 3: Integrar 2 xx e dx∫Solución: En este caso:


u = x 2 du = 2x dx (derivando)

dv = e x dx v = e x (integrando)


2 xx e dx u dv=∫ ∫

uv v du= − ∫

2 2x xx e xe dx= − ∫

La integral que resulta es más sencilla que la original ya que el polinomio en x que multiplicaal factor de la forma e x , bajó de grado 2 a grado 1. Entonces debe volverse a integrar porpartes, haciendo ahora:


108


u = 2x du = 2dx (derivando)

dv = e x dx v = e x (integrando)


2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e dx⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

2 2 2x x xx e xe e dx= − + ∫

2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e c= − + +∫

Ejemplo 4: Integrar 3sec x dx∫Solución: En la página 89, ejemplo 12, se dijo que las potencias nones de la secante y cosecante deben

hacerse por partes. Esta integral no se puede hacer aplicando exclusivamente las técnicas paralas integrales trigonométricas, sino en forma combinada con la integración por partes.

Aplicando primero la técnica de los cuadrados:

3 2sec x dx sec x sec x dx=∫ ∫

( )2 1tan x sec x dx= +∫


109

2tan x sec x dx sec x dx= +∫ ∫

La segunda integral ya es directa de fórmula. La primera integral es la que debe hacerse porpartes. Hay varias formas de hacer la elección de variables (se deja al estudiante que busqueotra diferente a la que se muestra aquí), una de ellas es la siguiente:


u = tan x du = sec 2 x dx (derivando)

dv = tan x sec x dx v = sec x (integrando)

Obsérvese que el producto u dv es igual a (tan x)(tan x sec x dx) = tan 2 x sec x dx, que es laintegral que se pretende hacer por partes.

entonces

3 3sec x dx tan x sec x sec x dx sec x dx= − +∫ ∫ ∫

Obsérvese que volvió a salir la integral original, pero con signo negativo. En casos así, sejuntan en el lado izquierdo, se suman (o restan) y se despeja. La última integral se resuelvedirectamente por fórmula:

( )3 3sec x dx sec x dx tan x sec x ln tan x sec x+ = + +∫ ∫

( )32 sec x dx tan x sec x ln tan x sec x c= + + +∫


110

( )3 12

sec x dx tan x sec x ln tan x sec x c= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Ejemplo 4: Integrar 2 3xe sen x dx∫Solución: Este ejemplo tiene por objetivo mostrar en una sola vez varios recursos que pueden emplearse

en la técnica de integración por partes. El primero es que se va a utilizar dos veces la integra-ción por partes. El segundo es que cuando aparece nuevamente la integral original, se juntany se despeja como en el ejemplo anterior.


u = e2x du = 2e x dx (derivando)

dv = sen 3x dx1 33

v cos x= − (integrando)


2 2 21 23 3 33 3

x x xe sen x dx e cos x e cos x dx= − − −∫ ∫

2 21 23 33 3

x xe cos x e cos x dx= − + ∫

Esta integral que resulta se vuelve a hacer por partes:


111


u = e2x du = 2e x dx (derivando)

dv = cos 3x dx1 33

v s en x= (integrando)


2 2 2 21 2 1 23 3 3 33 3 3 3

x x x xe sen x dx e cos x e sen x e sen x dx⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

2 2 2 21 2 43 3 3 33 9 9

x x x xe sen x dx e cos x e sen x e sen x dx= − + −∫ ∫

2 2 2 24 1 23 3 3 39 3 9

x x x xe sen x dx e sen x dx e cos x e sen x+ = − +∫ ∫

2 2 24 1 21 3 3 39 3 9

x x xe sen x dx e cos x e sen x⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫

2 2 213 1 23 3 39 3 9

x x xe sen x dx e cos x e sen x= − +∫

2 2 29 1 23 3 313 3 9

x x xe sen x dx e cos x e sen x c⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

2 2 23 23 3 313 13

x x xe sen x dx e cos x e sen x c= − + +∫


112



1) 2)arc sen x dx∫ ( )1ln x dx−∫

3) 4)x arc tan x dx∫ ( )22 1

x arc tan x dxx +

∫

5) 6)arc sen x dx

x∫ 2 1x arc tan x dx−∫

7) 8)2

arc sen x dxx∫ x ln x dx∫

9) 10)2x ln x dx∫ 2x cos x dx∫

11) 12)sen ln x dx∫ x ln x dx∫

Integración por fracciones parciales

1 La palabra “desumar” no existe en el idioma Español. Aquí se ha compuesto esa palabra en base a lasetimologías que rigen al idioma. El prefijo des que denota negación o inversión del significado y el verbo sumar. Esdecir, se pretende dar a entender lo inverso a la realización de la suma, no como operación inversa (que eso es laresta), sino como inverso de algo que se hace y luego se deshace.

113

IX

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Áreas 1, 2 y 3

La integración por fracciones parciales es más un truco o recurso algebraico que algo nue-vo que vaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no vaa aprenderse nada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra y luegoaplicar técnicas que ya se estudiaron en otros capítulos.

El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a desumar 1 una fracción, es decir a

deshacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fraccio-nes da como resultado la fracción dada.

Por ejemplo, realizar la suma de fracciones

3 21x x

++


114

consiste en el procedimiento conocido de sacar común denominador:

( ) ( )

( )3 1 23 2

1 1x x

x x x x+ +

+ =+ +

( )3 3 2

1x xx x+ +

=+

2

5 3xx x

+=

+

Cuando se ha introducido el término desumar , se ha pretendido hacer alusión al hecho derecorrer el proceso anterior ahora de atrás hacia adelante, es decir, a partir del resultado llegar alas dos fracciones originales. Equivale a preguntar: ¿La suma de qué fracciones dan como resulta-

do ?2

5 3xx x

++

La teoría de las fracciones parciales se divide en cuatro casos, atendiendo a los factoresque aparezcan en el denominador original, los cuales se pueden clasificar en dos formas:

POR EL GRADO POR REPETICIÓN

erer 1 caso

factores de1 grado2º caso⎧⎨⎩

er

er

1 casofactores no repetidos

3 caso

⎧⎪⎨⎪⎩

er3 caso

factores de 2º grado4º caso⎧⎨⎩

2º caso

factores repetidos4º caso⎧⎨⎩


115

Solución: A cada factor lineal de la forma mx + n que aparezca en el denomina-

dor le corresponde una suma de fracciones de la forma ,A

mx n+

donde A es una constante a determinar.

Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para po-derse clasificar en el caso que le corresponda, o lo que es lo mismo, los casos atienden a los facto-res que aparezcan en el denominador.

CASO 1: Se tienen en el denominador factores lineales no repetidos.

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales 2

5 3xx x

++

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den porresultado la fracción anterior. Lo primero que debe hacerse es factorizar el denominador:

( )2

5 3 5 31

x xx xx x

+ +=

++

Una vez factorizado el denominador, se analizan uno a uno los factores del denominador queaparezcan para ver a cuál caso pertenece cada uno. En este ejemplo, ambos factores son linea-les (de primer grado) y no están repetidos, por lo tanto, ambos pertenecen al primer caso. En-tonces al factor x del denominador le corresponde una fracción de la forma una constante Aentre x; por su parte, al denominador x + 1 le corresponde una fracción de la forma otra cons-tante B entre x + 1. Esto es


116

(9.1)( )5 3

1 1x A B

x x x x+

= ++ +

Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original, el procedimientopara determinar las constantes será el mismo para los casos 1, 2, 3 y 4. Consiste en

a) Realizar la suma sacando común denominador:

( )( ) ( )

( )15 3

1 1A x B xx

x x x x+ ++

=+ +

( ) ( )5 3

1 1x Ax A Bx

x x x x+ + +

=+ +

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen elmismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. Apartir de este momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que soniguales:

5 3x Ax A Bx+ = + +

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x, es decir, se factorizan las x3 si las hubiere; se factorizan las x2

si las hubiere, se factorizan las x si las hubiere yse factorizan los términos que carecen de x, si los hubiere:

( )5 3x x A B A+ = + +

d) Se plantea un sistema de ecuaciones a partir del siguiente razonamiento: Para que loescrito anteriormente sea realmente una igualdad, se requiere que el número de equiscúbicas que hay del lado izquierdo sea igual al número de equis cúbicas que hay dellado derecho; que el número de equis cuadradas que hay del lado izquierdo sea igual alnúmero de equis cuadradas que hay del lado derecho; que el número de equis que hay


117

del lado izquierdo sea igual al número de equis que hay del lado derecho; y que el nú-mero sin equis que hay del lado izquierdo sea igual al número sin equis que hay dellado derecho.

En este ejemplo, si del lado izquierdo hay cinco equis, del lado derecho también debenhaber cinco equis, para lo cual se requiere que el coeficiente de x del lado derecho seaigual a cinco, o sea que A + B = 5; por otra parte, si del lado izquierdo hay + 3, dellado derecho también debe haberlo, lo cual se logra si A = 3. Esto lleva a las ecuacio-nes

A + B = 5A = 3

de donde B = 2

32

AB==

Sustituyendo estos valores en la igualdad (9.1) se llega a que

( )5 3 3 2

1 1x

x x x x+

= ++ +

Ejemplo 2: Descomponer en fracciones parciales ( )( )2 19

2 3 3 1x

x x−

+ −

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den porresultado la fracción anterior. Se analizan ambos factores del denominador para ver a cuál casopertenece cada uno. En este ejemplo, ambos factores son lineales (de 1er grado) y no están re-petidos, por lo tanto, ambos pertenecen al primer caso. Entonces al factor 2x + 3 del denomi-nador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre 2x + 3; por su parte, aldenominador 3x - 1 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre 3x - 1.


118

Esto es

(9.2)( )( )

2 192 3 3 1 2 3 3 1

x A Bx x x x

−= +

+ − + −


( )( )( ) ( )( )( )3 1 2 32 19

2 3 3 1 2 3 3 1A x B xx

x x x x− + +−

=+ − + −

( )( ) ( )( )2 19 3 2 3

2 3 3 1 2 3 3 1x Ax A Bx B

x x x x− − + +

=+ − + −


2 19 3 2 3x Ax A Bx B− = − + +

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x, es decir, se factorizan las x3 si las hubiere; se factorizan las x2

si las hubiere, se factorizan las x si las hubiere yse factorizan los términos que carecen de x, si los hubiere:

( ) ( )2 19 3 2 3x x A B A B− = + + − +

d) Se plantea un sistema de ecuaciones a partir del siguiente razonamiento: Para que loescrito anteriormente sea realmente una igualdad, se requiere que el número de equiscúbicas que hay del lado izquierdo sea igual al número de equis cúbicas que hay dellado derecho; que el número de equis cuadradas que hay del lado izquierdo sea igual alnúmero de equis cuadradas que hay del lado derecho; que el número de equis que haydel lado izquierdo sea igual al número de equis que hay del lado derecho; y que el nú-


119

mero sin equis que hay del lado izquierdo sea igual al número sin equis que hay dellado derecho.

En este ejemplo, si del lado izquierdo hay dos equis, del lado derecho también debenhaber dos equis, para lo cual se requiere que el coeficiente de x del lado derecho seaigual a dos, o sea que 3A + 2B = 2; por otra parte, si del lado izquierdo hay - 19, dellado derecho también debe haberlo, lo cual se logra si - A + 3B = - 19. Esto lleva a lasecuaciones

3A + 2B = 2- A + 3B = - 19

de donde 4

5AB== −


( )( )2 19 4 5

2 3 3 1 2 3 3 1x

x x x x−

= −+ − + −

Este sistema de ecuaciones simultáneas pudo resolverse por el método de suma y resta,o el de sustitución, o el de igualación, o por determinantes, inclusive con una calcula-dora. Si se tiene la calculadora CASIO fx-95MS debe hacerse lo siguiente:

a) Ordenar ambas ecuaciones de la forma a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

b) Borrar de las memorias de la calculadora todo registro anterior y ponerla en modode cálculo, tecleando

SHIFT CLR 2 =


120

c) Poner la calculadora en modo de ecuación, tecleando:

MODE MODE 1

Aparecerá entonces la pantalla

con lo que la calculadora pregunta: ¿Cuántas incógnitas, 2 ó 3? Teclear 2

d) Al aparecer la pantalla

la calculadora está preguntando por el coeficiente a 1 , que es el coeficiente de lavariable x de la primera ecuación simultánea. En este caso, 3. Teclearlo y para

que quede registrado en la memoria de la calculadora oprimir .Repetir el pro-=cedimiento con todos los demás coeficientes. Para ingresar un valor negativo, de-be hacerse con la tecla , no con la de resta .( - ) −

Después de ingresar el valor del último coeficiente c 2 de la segunda ecuación yde registrarlo en la memoria de la calculadora a través de la tecla , aparece=

en la pantalla el valor de x .


121

REPLAY

El triangulito que aparece del lado derecho de la pantalla significa que oprimiendola tecla central que está debajo de la pantalla

en la dirección señalada, despliega el valor de y . Si se desea regresar a la pantallanuevamente el valor de x , hay que teclear en la dirección que señala dicho trian-gulito.

Ejemplo 3: Descomponer en fracciones parciales ( )( )( )

28 36 473 1 2 2 3

x xx x x

+ +− + +

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den porresultado la fracción anterior. Se deben analizar los tres factores del denominador para ver acuál caso pertenece cada uno. En este ejemplo, los tres factores son lineales (de primer grado)y no están repetidos, por lo tanto pertenecen al primer caso. De tal manera que al factor 3x - 1del denominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre el mismo 3x -1; al denominador x + 2 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre x + 2;y por su parte, al factor 2x + 3 del denominador le corresponde una fracción de la forma unaconstante C entre 2x + 3. Esto es

(9.3)( )( )( )

28 36 473 1 2 2 3 3 1 2 2 3

x x A B Cx x x x x x

+ += + +

− + + − + +


( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

2 2 2 3 3 1 2 3 3 1 28 36 473 1 2 2 3 3 1 2 2 3

A x x B x x C x xx xx x x x x x

+ + + − + + − ++ +=

− + + − + +

( ) ( ) ( )

( )( )( )

2 2 22 7 6 6 7 3 3 5 2

3 1 2 2 3

A x x B x x C x x

x x x

+ + + + − + + −=

− + +


122

( )( )( )2 2 22 7 6 6 7 3 3 5 2

3 1 2 2 3Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C

x x x+ + + + − + + −

=− + +


8x 2 + 36x + 47 = 2Ax 2 + 7Ax + 6A + 6Bx 2 + 7Bx - 3B + 3Cx 2 + 5Cx - 2C

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x, es decir, se factorizan las x2 , se factorizan las x y se factorizan los términos que carecen de x, si los hubiere:

8x 2 + 36x + 47 = x 2(2A + 6B + 3C ) + x (7A + 7B + 5C ) + (6A - 3B - 2C )

d) Para que ambos miembros de la igualdad realmente sean iguales se requiere que si dellado izquierdo hay ocho equis cuadradas, del lado derecho también las haya, lo queimplica que 2A + 6B + 3C tenga que ser igual a 8. Igualmente, si del lado izquierdohay 36 equis, del lado derecho también debe haberlas, lo que implica que 7A + 7B ++5C tenga que ser igual a 36; finalmente, si del lado izquierdo hay + 47, del derechotambién debe haberlos, lo que implica que 6A - 3B - 2C deba ser igual a + 47.

Del razonamiento anterior se construye el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

2A + 6B + 3C = 87A + 7B + 5C = 366A - 3B - 2C = 47

de donde

71

4

ABC

=== −


123


( )( )( )28 36 47 7 1 4

3 1 2 2 3 3 1 2 2 3x x

x x x x x x+ +

= + −− + + − + +

Ejemplo 4: Descomponer en fracciones parciales ( )( )

63 2 5x

x x−

+ −

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den porresultado la fracción anterior. Se deben analizar los dos factores del denominador para ver acuál caso pertenece cada uno. En este ejemplo, los dos factores son lineales (de primer grado) yno están repetidos, por lo tanto pertenecen al primer caso. De tal manera que al factor 3x +del denominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre el mismo

; al denominador 2x - 5 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre3x +. Esto es2 5x −

(9.4)( ) ( )

63 2 5 3 2 5x A B

x x x x−

= ++ − + −


( )( )( ) ( )( ) ( )2 5 36

3 2 5 3 2 5A x B xx

x x x x− + +−

=+ − + −

( )( ) ( )( )6 2 5 3

3 2 5 3 2 5x Ax A Bx B

x x x x− − + +

=+ − + −

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen elmismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. A


124

partir de este momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que soniguales:

x - 6 = 2Ax - 5A + Bx + 3B

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x:

x - 6 = x (2A + B ) + (- 5A + 3B )

d) Para que ambos miembros de la igualdad realmente sean iguales se requiere que si dellado izquierdo hay una equis, del lado derecho también haya solamente una, lo queimplica que 2A + B tenga que ser igual a 1. Igualmente, si del lado izquierdo hay - 6,del lado derecho también debe haberlo, lo que implica que - 5A + 3B tenga que serigual a - 6.


2A + B = 1- 5A + 3B = - 6

de donde

911

711

A

B

=

= −


( )( )

9 76 11 11

3 2 5 3 2 5x

x x x x

−−= +

+ − + −


125

( )( ) ( ) ( )6 9 7

3 2 5 11 3 11 2 5x

x x x x−

= −+ − + −


Descomponer en fracciones parciales:

1) 2)( )( )

32 201 5 3x

x x−

− − 2

31 332 6

xx x

−−

3) 4)2

11 810 5

xx x

++ 2

18 274 3 1

xx x

−+ −

5) 6)2

6 27 2

xx x

+− ( )( )

28 13 11 1

x xx x x

− −− +

7) 8)( )( )( )

24 5 331 2 3

x xx x x− + ++ − − ( )( )( )

29 4 53 1 3 1 2 3

x xx x x

− ++ − −

9) 10)( )( )( )

220 60 461 2 5 1x x

x x x− +

+ − − ( )( )( )240 11 92

4 1 5 1 10x x

x x x− − ++ − −


126

Solución: A cada factor lineal de la forma mx + n que aparezca repetido kveces en el denominador le corresponde una suma de fracciones dela forma

, ( ) ( ) ( )

1 322 3

kk

A A AA ...mx n mx n mx n mx n

+ + + ++ + + +

donde A k es una constante a determinar.

CASO 2: Se tienen en el denominador factores lineales repetidos k veces.

Ejemplo 5: Descomponer en fracciones parciales ( )2

2 11

xx

+

−

Solución: La fracción original es equivalente a , es decir que en el denominador está( ) ( )

2 11 1x

x x+

− −

repetido dos veces el factor (x - 1). Por lo tanto, le corresponde una suma de fracciones de laforma:

(9.5)( ) ( )2 2

2 111 1

x A Bxx x

+= +

−− −

El procedimiento para calcular las constantes A y B es exactamente el mismo que el empleadoen los ejemplos 1 a 4 del caso I:


127


( ) ( )2 2

2 111 1

x A Bxx x

+= +

−− −

( )( )2

1

1

A x B

x

− +=

−

( ) ( )2 2

2 11 1

x Ax A Bx x

+ − +=

− −

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen elmismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales.Igualando entonces los numeradores:

2x + 1 = Ax - A + B

c) Factorizando en el lado derecho las diferentes potencias de x:

2x + 1 = x (A ) + (- A + B )

d) Para que ambos miembros de la igualdad realmente sean iguales se requiere que si dellado izquierdo hay dos equis, del lado derecho también haya dos, lo que implica que Atenga que ser igual a 2. Igualmente, si del lado izquierdo hay + 1, del lado derecho tam-bién debe haberlo, lo que implica que - A + B tenga que ser igual a + 1.


A = 2- A + B = 1

de donde23

AB

==


128


( ) ( )2 2

2 1 2 311 1

xxx x

+= +

−− −

Ejemplo 6: Descomponer en fracciones parciales ( ) ( )

2

2

5 42 356 5 3x xx x

− +

+ −

Solución: La fracción original es equivalente a . Analizando factor por fac-( ) ( ) ( )

25 42 356 5 3 3

x xx x x

− ++ − −

tor, se ve que el primero de ellos (6x + 5) es un factor lineal no repetido y por lo tanto perte-nece al primer caso; mientras que el factor (x - 3) es lineal y está repetido dos veces, por loque pertenece al segundo caso. Combinando ambos casos, le corresponde una suma de fraccio-nes de la forma

(9.6)( )( ) ( )

2

2 2

5 42 356 5 36 5 3 3

x x A B Cx xx x x

− += + +

+ −+ − −

El procedimiento para calcular las constantes A, B y C es exactamente el mismo que el em-pleado en los ejemplos 1 a 4 del caso I:


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

2 2

3 6 5 3 6 55 42 356 5 3 6 5 3

A x B x x C xx xx x x x

− + + − + +− +=

+ − + −

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2

6 9 6 13 15 6 5

6 5 3

A x x B x x C x

x x

− + + − − + +=

+ −


129

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

5 42 35 6 9 6 13 15 6 56 5 3 6 5 3x x Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx x x x

− + − + + − − + +=

+ − + −

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen el mismodenominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. A partir deeste momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que son iguales:

5x 2 - 42x + 35 = Ax 2 - 6Ax + 9A + 6Bx 2 - 13Bx - 15B + 6Cx + 5C

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x :

5x 2 - 42x + 35 = x 2 (A + B) + x (- 6A - 13B + 6C) + (9A - 15B + 5C)

d) Para que ambos miembros de la igualdad realmente sean iguales se requiere que si del ladoizquierdo hay cinco equis cuadradas, del lado derecho también las haya, lo que implicaque la suma de A + B tenga que ser igual a 5. Igualmente, si del lado izquierdo hay - 42equis, del lado derecho también debe haberlas, lo que implica que - 6A + 13B + 6C debaser igual a - 42. Finalmente, si del lado izquierdo hay un + 35, del derecho también debehaberlo, lo que conduce a que 9A - 15B + 5C tenga que ser igual a + 35.


A + 6B = 5- 6A -13B + 6C = - 42 9A - 15B + 5C = 35

de donde

50

2

ABC

=== −



130

( ) ( ) ( )

2

2 2

5 42 35 5 0 26 5 36 5 3 3

x xx xx x x

− + −= + +

+ −+ − −

( )( ) ( )

2

2 2

5 42 35 5 26 56 5 3 3

x xxx x x

− += −

++ − −



1) 2)( )2

14 92 1

xx

+

+ ( )2

53 2x −

3) 4)( )25 4

xx − ( )( )

2

2

2 7 31 1

x xx x

− +

+ −

5) 6)( )2

5 55 3

xx−

+ ( )( )

2

2

32 3 8

xx x

+

− +

7) 8)( )

2

35 7x

x + ( )

2

3

79

x xx+

+

9) 10)( )( )

2

2

4 93 2 2 3

x xx x

+ −

− + ( ) ( )

2

2

2 2 35 7 2 9

x xx x

+ +

− −


131

2

Ax Bax bx c

++ +

Solución: A cada factor cuadrático irreductible de la forma ax 2 + bx + c queaparezca en el denominador le corresponde una suma de fraccionesde la forma

donde A y B son constantes a determinar.

CASO 3: Se tienen en el denominador factores cuadráticos irreductibles no repetidos.

En este caso y en el siguiente debe tenerse mucho cuidado de que los factores cuadráticoso de 2º grado que aparezcan en el denominador sean irreductibles, o sea que no puedan factorizar-se en dos lineales. En el caso de que sean reductibles (factorizables) y no se factoricen, el resulta-do obtenido de fracciones parciales resulta incompleto. Analizar el ejemplo 8.

Para saber si un factor cuadrático es reductible o no debe analizarse con la fórmula generalde las ecuaciones de 2º grado: si la raíz cuadrada de dicha fórmula resulta negativa significa quees irreductible. Con la calculadora se obtienen soluciones complejas o imaginarias.

El procedimiento para calcular las constantes es exactamente el mismo que se explicó enlos cuatro ejemplos correspondientes al caso I, por lo que ya en los ejemplos siguientes se omitirála explicación detallada de cada paso.


2

2

3 2 22 4x x

x x x+ −

+ + +

Solución: Lo primero que debe hacerse es asegurarse de que el factor cuadrático que aparece en el deno-


132

minador x 2 + x + 4 es irreductible. Para ello se toma como si fuera una ecuación y se le aplicala fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado.

Haciéndolo, con a = 1; b = 1; c = 4:

( )( )( )

22 1 1 4 1 442 2 1

1 152

b b aca

− ± −− ± −=

− ± −=

Como la raíz cuadrada resulta negativa, significa que el factor x 2 + x + 4 ya no se puede facto-rizar. Entonces analizando los dos factores que aparecen en la fracción original se observa queel primero es lineal no repetido y pertenece al caso I, mientras que el segundo es cuadrático norepetido y pertenece al tercer caso. Combinando ambos casos, les corresponde la suma de frac-ciones:

(9.7)( ) ( )

2

22

3 2 22 42 4

x x A Bx Cx x xx x x

+ − += +

+ + ++ + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2

4 2

2 4

A x x Bx C x

x x x

+ + + + +=

+ + +

( ) ( )

2 2

2

4 2 22 4

Ax Ax A Bx Bx Cx Cx x x

+ + + + + +=

+ + +

Igualando los numeradores:

2 2 23 2 2 4 2 2x x Ax Ax A Bx Bx Cx C+ − = + + + + + +

( ) ( ) ( )2 23 2 2 2 4 2x x x A B x A B C A C+ − = + + + + + +


133

Igualando los coeficientes de las diferentes potencias de x se llega al sistema de ecuaciones:

A + B = 3

A + 2B + C = 24A + 2C = - 2

de donde

12

3

ABC

=== −


( )( )2

22

3 2 2 1 2 32 42 4

x x xx x xx x x

+ − −= +

+ + ++ + +


2

2

6 5 51 3 2x x

x x x− −

+ − +

Solución: El factor cuadrático x 2 - 3x + 2 es reductible, o sea que puede factorizarse. Efectivamente,buscando dos números que sumados den - 3 y multiplicados den + 2 se llega a que

x 2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

De modo que la fracción original debe escribirse como ( ) ( ) ( )

26 5 51 1 2x x

x x x− −

+ − −

Analizando los factores del denominador se ve que los tres pertenecen al primer caso, por loque le corresponde una suma de fracciones de la forma:


134

(9.8)( ) ( ) ( )

26 5 51 1 2 1 1 2x x A B C

x x x x x x− −

= + ++ − − + − −

Haciendo la suma de fracciones:

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

2 1 2 1 2 1 16 5 51 1 2 1 1 2

A x x B x x C x xx xx x x x x x

− − + + − + + −− −=

+ − − + − −

( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

2 2 22 3 2 2 16 5 51 1 2 1 1 2

A x x B x x C xx xx x x x x x

− + + − − + −− −=

+ − − + − −

( )( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 26 5 5 3 2 2

1 1 2 1 1 2x x Ax Ax A Bx Bx B Cx C

x x x x x x− − − + + − − + −

=+ − − + − −


2 2 2 26 5 5 3 2 2x x Ax Ax A Bx Bx B Cx C− − = − + + − − + −

( ) ( ) ( )2 26 5 5 3 2 2x x x A B C x A B A B C− − = + + + − − + − −

Igualando coeficientes de las diferentes potencias de x se llega a que:

A + B + C = 6- 3A - B = - 5

2A - 2B - C = - 5

de donde

123

ABC

===


135


( I )( )( )( )26 5 5 1 2 3

1 1 2 1 1 2x x

x x x x x x− −

= + ++ − − + − −

Esta es la descomposición en fracciones parciales correcta , sin embargo, si por descuido seintenta descomponerla con los dos factores que aparecen originalmente, es decir a partir de

( ) ( )2

2

6 5 51 3 2x x

x x x− −

+ − +

tomando el primer factor como lineal no repetido (caso I) y el segundo factor como cuadráticono repetido (caso III), se llega a lo siguiente:

(9.8a)( )( )

2

22

6 5 51 3 21 3 2

x x A Bx Cx x xx x x

− − += +

+ − ++ − +

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2

3 2 1

1 3 2

A x x Bx C x

x x x

− + + + +=

+ − +

( )( )

2 2

2

3 21 3 2

Ax Ax A Bx Bx Cx Cx x x

− + + + + +=

+ − +

Igualando numeradores:

2 2 26 5 5 3 2x x Ax Ax A Bx Bx Cx C− − = − + + + + +

( ) ( ) ( )2 26 5 5 3 2x x x A B x A B C A C− − = + + − + + + +



136

A + B = 6- 3A + B + C = - 5 2A + C = - 5

de donde

15

7

ABC

=== −

Sustituyendo estos valores en la igualdad (9.8a) se llega a que

( II )( )( )2

22

6 5 5 1 5 71 3 21 3 2

x x xx x xx x x

− − −= +

+ − ++ − +

Conviene comparar lo obtenido en ( I ) de la página anterior con ( II ). Ambas expresiones sonciertas, con la diferencia de que mientras ( I ) está completa, ( II ) está incompleta porque éstaaún puede dividirse en la suma de otras dos fracciones. El estudiante puede comprobar que lasuma de las dos últimas fracciones de ( I ) dan por resultado a la segunda fracción de ( II ) , osea que

2

2 3 5 71 2 3 2

xx x x x

−+ =

− − − +

Esto se debe a que el factor cuadrático x 2 - 3x + 2 del denominador de la fracción original esreductible y no se factorizó para aplicarle el procedimiento de fracciones parciales.


137

3 4 2 1 21 22 2 2 2( ) ( )

k kk

A x A A x AA x A ...ax bx c ax bx c ax bx c

−+ +++ + +

+ + + + + +

Solución: A cada factor cuadrático irreductible de la forma ax 2 + bx + c queaparezca en el denominador repetido k veces le corresponde unasuma de fracciones de la forma

donde Ak son constantes a determinar.

CASO 4: Se tienen en el denominador factores cuadráticos irreductibles repetidos k veces.

El procedimiento para calcular las constantes es exactamente el mismo que se explicó enlos cuatro ejemplos correspondientes al caso I, por lo que ya en los ejemplos siguientes se omitirála explicación detallada de cada paso.

Ejemplo 9: Descomponer en fracciones parciales 3

2 2

2 5( 2)

x xx+ ++

Solución: Como el denominador significa (x 2 + 2)(x 2 + 2) se trata de un factor cuadrático repetido dosveces. Conforme a la regla del caso IV, le corresponde una suma de fracciones de la forma

(9.9)3

2 2 2 2 2

2 5( 2) 2 ( 2)

x x Ax B Cx Dx x x+ + + +

= ++ + +


138

( ) ( )( )

2

2

2

2

Ax B x Cx D

x

+ + + +=

+

( )3 2

22

2 2

2

Ax Ax Bx B Cx D

x

+ + + + +=

+


3 3 22 5 2 2x x Ax Ax Bx B Cx D+ + = + + + + +

( ) ( ) ( )3 3 22 5 2x x x A x B x A C D+ + = + + + +


A = 1B = 0

2A + C = 2D = 5

de donde

1005

ABCD

====


( )3

2 2 2 22

2 5 0 0 52 ( 2)2

x x x xx xx

+ + + += +

+ ++


139

3

2 2 2 2 2

2 5 5( 2) 2 ( 2)

x x xx x x+ +

= ++ + +



1) 2)2

3

xx x− ( )2

4 31

xx

+

−

3) 4)( )( )

2

2

73 5

xx x x

+− + + ( ) ( )

3

2 2

52 1 3

x xx x

+

− +

5) 6)2

3 2

5 93 2

xx x

−− ( )

4 3

32

1

4

x x

x

+ +

+

7) 8)( )

3

22

5 5

7

x x

x x

+

− +

2

4 3 2

3 2 13 8

x xx x x

+ ++ +


140

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Para integrales de la forma , en donde P(x) y Q(x) son polinomios, si el( )( )

P xdx

Q x∫

grado de P(x) es igual o mayor que el de Q(x) debe hacerse primero la división y luego aplicar lateoría de fracciones parciales, para integrar cada fracción parcial. Si el grado de P(x) es menorque el de Q(x) debe aplicarse la teoría de fracciones parciales, para integrar cada fracción parcial.


( ) ( ) ( )

27 7 24

2 1 3 1

x x dx

x x x

− −

+ + −∫

Solución: Aplicando la teoría de las fracciones parciales al integrando:

( ) ( ) ( )27 7 24

2 1 3 1 2 1 3 1x x A B C

x x x x x x− −

= + ++ + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1 2 1 1 2 1 32 1 3 1

A x x B x x C x xx x x

+ − + + − + + +=

+ + −

( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 2 7 3

2 1 3 1Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C

x x x+ − + − − + + +

=+ + −

Igualando numeradores:

2 2 2 27 7 24 2 3 2 2 7 3x x Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C− − = + − + − − + + +

( ) ( ) ( )2 27 7 24 2 2 2 7 3 3x x x A B C x A B C A B C− − = + + + − + + − − +

De donde se obtiene el sistema de ecuaciones:


141

2 2 72 7 73 3 24

A B CA B CA B C

+ + =− + = −

− − + = −

cuyas soluciones son: A = 5B = 3C = - 2

sustituyendo:

( ) ( ) ( )27 7 24 5 3 2

2 1 3 1 2 1 3 1x x

x x x x x x− −

= + −+ + − + + −

y por lo tanto

( )( ) ( ) ( )

27 7 24 5 3 22 1 3 1 2 1 3 1

x x dx dx dx dxx x x x x x

− −= + −

+ + − + + −∫ ∫ ∫ ∫

recordar que debe hacerse un cambio de variable, haciendo u al primer denominador, v alsegundo denominador y w al tercer denominador, de lo que se obtiene que

5 3 22

du dv dwu v w

= + −∫ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

27 7 24 5 2 1 3 3 2 12 1 3 1 2

x x dxln x ln x ln x c

x x x

− −= + + + − − +

+ + −∫

Un buen ejercicio algebraico consistiría en que el estudiante verifique que el resultado ante-rior es lo mismo que


142

( ) ( )

( )

3 5

2

3 2 1

1

c x xln

x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 11: Integrar( )

2

22

8 5 18

4 9

x x dxx

+ +

+∫

Solución: Como el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador ( 4, porque

), debe emplearse la teoría de las fracciones parciales.( )22 44 16x x=

( ) ( )2

2 2 22 2

8 5 184 94 9 4 9

x x Ax B Cx Dxx x

+ + + += +

++ +

( ) ( )

( )

2

22

4 9

4 9

Ax B x Cx D

x

+ + + +=

+

( )

3 2

22

4 4 9 9

4 9

Ax Bx Ax B Cx D

x

+ + + + +=

+

lo que implica que los numeradores deben ser iguales:

2 3 28 5 18 4 4 9 9x x Ax Bx Ax B Cx D+ + = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )3 24 4 9 9x A x B x A C B D= + + + + +

De donde, igualando coeficientes de las mismas potencias de x se llega al siguiente sistemade ecuaciones simultáneas:


143

4A = 04B = 8

9A + C = 59B + D = 18

de donde: A = 0 B = 2 C = 5 D = 0

entonces

( ) ( )2

2 2 22 2

8 5 18 2 54 94 9 4 9

x x xxx x

+ += +

++ +

Y por lo tanto

( )( ) ( )

2

2 2 22 2

8 5 18 2 54 94 9 4 9

x x dx dx x dxxx x

+ += +

++ +∫ ∫ ∫

( ) 222

2 5 4 94 9

dx x x dxx

−= + +

+∫ ∫

para la 1ª integral, hacer: para la 2ª integral, hacer:

u = 2xdu = 2 dxa 2 = 9 a = 3

v = 4x 2 + 9dv = 8x dx


144

( ) 222

2 5 4 9 84 9 8

dx x xdxx

−= + +

+∫ ∫

22 2

58

du v dvu a

−= ++∫ ∫

2 11 58 2 1

u varc tan ca a

− +⎛ ⎞= + +⎜ ⎟− +⎝ ⎠

11 2 53 3 8 1

x varc tan c−⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 53 3 8

xarc tan cv

= + +−

( ) ( )2

2 22

8 5 18 1 2 53 3 8 4 94 9

x x xdx arc tan cxx

+ += − +

++∫


2

6 9 8 92 3 2

x x x dxx x+ − −

+ −∫Solución: Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, debe efectuarse primero la

división:

2 3 2

3 2

3

2 3 2 6 9 8 96 9 6

2 9

x

x x x x xx x x

x

+ − + − −

− − +− −

Significa que


145

3 2

2 2

6 9 8 9 2 932 3 2 2 3 2

x x x xdx x dxx x x x

⎛ ⎞+ − − − −= +⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠

∫ ∫

2

2 932 3 2

xx dx dxx x− −

= ++ −∫ ∫

Para realizar la segunda integral debe aplicarse la teoría vista en el capítulo VI, página 59.Sea entonces

u = 2x2 + 3x -2

de donde: du = (4x +3) dx

Multiplicando por (-2) y simultáneamente:12

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

4 18132 2 3 2

x dxxdx

x x+

= −+ −∫ ∫

Luego sumando (+ 3) para obtener la diferencial du, y restándolo para que no se altere laintegral:

( )2

4 3 3 18132 2 3 3

x dxx dx

x x+ − +

= −+ −∫ ∫

Y partiendo en dos esta última integral:

( ) ( )2 2

4 3 3 18132 2 3 2 2 3 2

x dxxdx dx

x x x x+ − +⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )2 2

4 31 1532 2 3 2 2 3 2

x dx dxxdxx x x x

+⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦∫ ∫ ∫


146

Recordando que el denominador de la segunda integral se hizo u y por lo tanto el numera-dor es du, se obtiene que

2

13 152 2 3 2

du dxxdxu x x

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

2

1 1532 2 2 3 2

du dxxdxu x x

= − −+ −∫ ∫ ∫

resolviendo las dos primeras integrales y dejando de momento pendiente la tercera:

2

2

3 1 152 2 2 2 3 2x dxln u

x x= − −

+ −∫

( )2

22

3 1 152 3 22 2 2 2 3 2x dxln x x

x x= − + − −

+ −∫

Para resolver esta tercera integral, aún pendiente, debe aplicarse la teoría vista en el capítuloV, página 36. De manera que como

22 3 252 3 2 2

82 2x x x⎛ ⎞

+ − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

se llega a que

( )2

22

3 1 152 3 22 2 2 3 252

82 2

x dxln x xx

= − + − −⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Haciendo32

2 2u x= +

de donde 2du dx=

y además 2 258

a =


147

5 58 2 2

a = =

entonces

du

( )2

22

3 1 15 1 22 3 22 2 2 2 3 252

82 2

x dxln x xx

⎛ ⎞= − + − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

u 2 a 2

( )2

22 2

3 1 15 12 3 22 2 2 2x duln x x

u a⎛ ⎞= − + − − ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫

( )2

23 1 15 12 3 22 2 22 2x u aln x x ln c

a u a⎡ ⎤−⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

2

3 523 1 15 1 2 2 2 22 3 2 3 552 2 2 2 22

2 2 2 22 2

xx ln x x ln c

x

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥= − + − − +⎢ ⎥⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

2

223 1 15 2 2 2 22 3 2 82 2 102 2 2

2 2

xx ln x x ln c

x

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − + − − +⎢ ⎥

⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦


148

Para eliminar los denominadores “pequeños” del numerador y del denominador del argumen-to del logaritmo natural, basta multiplicar numerador y denominador por para llegar2 2finalmente a que

( )3 2 2

22

6 9 8 9 3 1 3 4 22 3 22 2 2 4 82 3 2

x x x x xdx ln x x ln cxx x

+ − − −⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟++ − ⎝ ⎠∫


Integrar:

1) 2)( )( )( )( )

4 232 1 2 3

xdx

x x x− −

+ + −∫( )

( )( )( )61 1

3 2 5 2 1x

dxx x x

−− + +∫

3) 4)( )

( )( )( )

26 4 312 3 4 3 1

x xdx

x x x− +

− + −∫( )( )2

3 13 1

xdx

x+

−∫

5) 6)( )

( )

2

3

16 54 40

2 3

x xdx

x

− + −

−∫( )( )( )

2

2

8 35 9

2 1 4

x xdx

x x

− + +

− −∫

7) 8)( )

( )

2

2

2 5 1

1

x xdx

x

+ +

+∫( )

( )

2

2

3 16 20

3

x xdx

x

− +

−∫

9) 10)( )( )( )2

2 51 2

xdx

x x− +

− +∫( )( )( )

2

2

5 2

1 1

x xdx

x x

+ +

+ +∫

11) ( )( )( )

2

2

3 10 16

3 1

x xdx

x x x

− +

− + +∫

Cambios de variable trigonométricos

149

X

DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLE TRIGONOMÉTRICOS

Área 2

Para integrales de la forma , en donde p(x) es un( ) ( )1

1 2 2 2 2p x a x b dx±± ± ±∫

polinomio en el numerador o en el denominador (según tome el exponente el valor de + 1o de - 1), mientras que el binomio (± a 2x 2 ± b 2) es una raíz cuadrada que puede ir tambiénen el numerador o en el denominador, se debe hacer el cambio de variable siguiente:

para el radical hacer el cambio

2 2 2a x b+bx tan ta

= (1)

2 2 2a x b−bx sec ta

= (2)

2 2 2b a x−bx sen ta

= (3)


150

Esta técnica de integración consta de tres grandes pasos:

PASO 1: Hacer el cambio de variable que le corresponda conforme al radical que aparezca yefectuar las operaciones algebraicas necesarias para que desaparezca el radical, con locual la integral original se transforma en una integral trigonométrica.

PASO 2: Realizar la integral trigonométrica que resultó en el paso anterior.

PASO 3: Regresar a la variable original, para lo cual:

a) Se despeja la función trigonométrica del cambio de variable hecho inicialmente;b) se construye un triángulo rectángulo congruente con la función trigonométrica

anterior y se calcula el tercer lado por el teorema de Pitágoras, el cual siempre vaa ser la raíz cuadrada original. De allí se deducen los valores de las demás funcio-nes trigonométricas que hayan aparecido en la integración (en el paso 2);

c) se sustituyen los equivalentes de dichas funciones trigonométricas en el resultadode la integración del paso 2.

Ejemplo 1: Integrar 24 9x dxx−

∫Solución: Esta integral es de la forma mencionada al principio de este capítulo, ya que el polinomio es x

(en el denominador) y el radical de la forma aparece en el numerador, en don-2 2 2a x b−de

a 2 = 4b 2 = 9a = 2b = 3

le corresponde, conforme a la tabla de la página 149, el cambio de variable (2) , es decir, debehacerse


151

PASO 1:

Sea 32

x sec t=

de donde

32

dx tan t sec t dt=

y además

2 294

x sec t=

sustituyendo en la integral original:

22

9 34 94 24 9

32

sec t tant sec t dtx dx

x sec t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=∫ ∫

29 9sec t tan t dt= −∫

( )29 1sec t tan t dt= −∫

y como :2 21sec t tan t− =

29 tan t tan t dt= ∫( )3 tan t tan t dt= ∫

23 tan t dt= ∫


152

Hasta aquí está realizado el paso1. Obsérvese que se eliminó la raíz cuadrada y la integraloriginal se convirtió en una integral trigonométrica. El paso 2 consiste en resolver esta integraltrigonométrica que resultó del paso 1.

PASO 2:

( )2 23 3 1tan t dt sec t dt= −∫ ∫ 23 3sec t dt dt= −∫ ∫ 3 3tan t t c= − +

Hasta aquí está resuelta la integral trigonométrica, pero en términos de la variable t que no esla original. El paso 3 consiste en regresar a la variable original.

PASO 3:

a) El cambio de variable original fue . Despejando de aquí la función trigono-32

x sec t=

métrica resulta que

23xsec t =

b) Para construir un triángulo rectángulo congruente conesa función trigonométrica debe tenerse en cuenta quelas funciones trigonométricas solamente se sacan aángulos, por lo tanto, si se tiene la secante de t , impli-ca que t es el ángulo. Además, como la función se-cante es la hipotenusa entre el cateto adyacente, sededuce que 2x es la hipotenusa y que 3 es el catetoadyacente. Ver el triángulo rectángulo de la figura 1.

t

2x

3

figura 1


153

El tercer lado, en este caso el cateto opuestoa t , se obtiene aplicando el teorema de Pitá-goras, el cual es siempre la raíz cuadrada

original, , como lo muestra la24 9x −figura 2.

Recordando que el resultado de la integra-ción fue , del triángulo de3 3tan t t c− +

la figura 2 debe deducirse el valor de la tan-gente de t (cateto opuesto entre cateto ad-yacente), o sea

24 93

xtan t −=

y de aquí mismo se obtiene que

24 93

xt arc tan −=

aunque también del cambio de variable original,

23xt arc sec=

c) Sustituyendo en el resultado de la integración trigonométrica:

24 9 23 3 3 33 3

x xtant t c arc sec c⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎜ ⎟− + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

t

2x

3

4 - 9x2

figura 2


154

224 9 24 9 3

3x xdx x arc sec cx−

= − − +∫

COMPROBACIÓN:

2 2

28 33

2 4 9 2 4 13 9

dI xdx x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟− ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 2

4 3

4 9 4 99

x

x xx= −

− −

2 2

4 3

4 9 4 93

x

x xx

= −⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

4 9

4 9 4 9

x

x x x= −

− −

2

2

4 9

4 9

x

x x

−=

−

24 9xx−

=


155


225 4

x dx

x−∫

Solución: Esta integral es de la forma mencionada al principio de este capítulo, ya que el polinomio es

(en el numerador) y el radical de la forma aparece en el denominador, en2x 2 2 2b a x−

donde

a 2 = 4b 2 = 25 a = 2 b = 5


PASO 1:

Sea 52

x sen t=

de donde

52

dx cos t dt=

y además

2 2254

x sen t=


22

22

25 54 2

2525 4 25 44

sen t cos t dtx dx

x sen t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

− ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫


156

2

2

1258 25 25

sen t cos t dt

sen t=

−∫

( )2

2

1258 25 1

sen t cos t dt

sen t=

−∫

y como :2 21 sen t cos t− =

2

2

1258 25

sen t cos t dt

cos t= ∫

21258 5

sen t cos t dtcos t

= ∫

2258

sen t dt= ∫

Hasta aquí está realizado el paso1. Obsérvese que se eliminó la raíz cuadrada y la integraloriginal se convirtió en una integral trigonométrica. El paso 2 consiste en resolver esta integraltrigonométrica que resultó del paso anterior.

PASO 2:

( )225 25 1 1 28 8 2

sen t dt cos t dt= −∫ ∫

25 1 25 1 28 2 8 2

dt cos t dt= −∫ ∫

u = 2tdu = 2 dt


157

( )25 25 1 2 216 16 2

dt cos t dt⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

25 2516 32

t cos u du= − ∫

25 2516 32

t sen u c= − +

25 25 216 32

t sen t c= − +

Hasta aquí está realizada la integral trigonométrica; sin embargo, como el regreso a la variableoriginal requiere la construcción de un triángulo rectángulo en el que el ángulo sea la variablet, debe convertirse la función de ángulo doble ( sen 2t ) a una de ángulo simple a través deigualdades trigonométricas. Para este caso, como , entonces el resultado2 2sen t sen t cos t=final de la integración trigonométrica debe escribirse como

( )25 25 216 32

t sen t cos t= −

25 2516 16

t sen t cos t= −


PASO 3:

a) El cambio de variable original fue Despejando de aquí la función trigono-52

x sen t=

métrica resulta que


158

25xsen t =

b) Para construir un triángulo rectángulo congruentecon esa función trigonométrica debe tenerse encuenta que las funciones trigonométricas solamentese sacan a ángulos, por lo tanto, si se tiene el senode t , implica que t es el ángulo. Además, como lafunción seno es el cateto opuesto entre la hipote-nusa, se deduce que 2x es el cateto opuesto y que5 es la hipotenusa. Ver el triángulo rectángulo de lafigura 3.

El tercer lado, en este caso el cateto adyacente a t,se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, elcual es siempre la raíz cuadrada original,

como lo muestra la figura 4.225 4x−

Recordando que el resultado de la integración fue

25 2516 16

t sen t cos t−

del triángulo de la figura 4 debe deducirse el valordel coseno de t (cateto adyacente entre hipotenu-sa), o sea

225 45

xcos t −=

y de aquí mismo se obtiene que225 4

5xt arc cos −

=

t

2x5

figura 3

t

2x5

25 - 4x2

figura 4


159

aunque también del cambio de variable original,

25xt arc sen=


225 25 25 2 25 2 25 416 16 16 5 16 5 5

x x xt sen t cos t arc sen c⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

225 2 25 416 5 8

x x xarc sen c−= − +

2 2

2

25 2 25 416 5 825 4

x dx x x xarc sen cx

−= − +

−∫

Ejemplo 3: Integrar2100 49

x dx

x +∫

Solución: Esta integral es de la forma mencionada al principio de este capítulo, ya que el polinomio es x

(en el numerador) y el radical de la forma aparece en el denominador, en don-2 2 2a x b+de

a 2 = 100b 2 = 49 a = 10 b = 7



160

PASO 1:

Sea 7

10x tant=

de donde

2710

dx sec t dt=

y además

2 249100

x tan t=


2

22

7 710 10

49100 49 100 49100

tan t sec t dtx dx

x tan t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

2

2

49100 49 49

tan t sec t dt

tan t=

+∫

( )

2

2

49100 49 1

tan t sec t dt

tan t=

+∫

y como :2 21tan t sec t+ =

2

2

49100 49

tan tsec t dt

sec t= ∫


161

249100 7

tan t sec t dtsec t

= ∫

7100

tan t sec t dt= ∫

Hasta aquí está realizado el paso1. Obsérvese que se eliminó la raíz cuadrada y la integraloriginal se convirtió en una integral trigonométrica. El paso 2 consiste en resolver esta integraltrigonométrica que resultó del paso anterior.

PASO 2:

(es directa de fórmula)7 7

100 100tant sec t dt sec t c= +∫


PASO 3:

a) El cambio de variable original fue . Despejando de aquí la función trigo-7

10x tant=

nométrica resulta que

10

7xtant =

b) Para construir un triángulo rectángulo congruente conesa función trigonométrica debe tenerse en cuentaque las funciones trigonométricas solamente se sacana ángulos, por lo tanto, si se tiene la tangente de t,implica que t es el ángulo. Además, como la funcióntangente es el cateto opuesto entre el cateto adyacen-te, se deduce que 7 es el cateto opuesto y que 10x esel cateto adyacente. Ver el triángulo rectángulo de lafigura 5.

t

10x

7

figura 5


162

El tercer lado, en este caso la hipotenusa, se ob-tiene aplicando el teorema de Pitágoras (la sumade cuadrados de los catetos), el cual es la raíz

cuadrada original , como lo2100 49x +muestra la figura 6.

Recordando que el resultado de la integración fue

7100

sec t c+

del triángulo de la figura 6 debe deducirse el valor de la secante de t (hipotenusa entrecateto adyacente), o sea

2100 497

xsec t +=


27 7 100 49100 100 7

xsec t c c⎛ ⎞+⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

1 100 49100100 49

x dx x cx

= + ++

∫

OTRA FORMA: Esta integral se puede realizar de manera más directa y simple con un simplede variable:

t

10x

7

100 + 49x2

figura 6


163

( )1

2 22

100 49100 49

x dx x x dxx

−= +

+∫ ∫

u = 100x 2 +49du = 200x dx

( ) ( )1

2 21 100 49 200200

x x dx−

= +∫121

200u du−

= ∫

1 121

1200 12

u c− +⎛ ⎞

⎜ ⎟= +⎜ ⎟

⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎝ ⎠

121

12002

u c

⎛ ⎞⎜ ⎟

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

21 100 49100

x c= + +


164


Integrar:

1) 2)2 281 4x x dx−∫2 121x dx

x+

∫

3) 4)2

2

4 169x dxx−

∫2

29 121

x dxx +

∫

5) 6)21 25

dx

x x−∫ 2 281 1

dx

x x +∫

7) 8)216 49

1x dx

x−−∫

2 1001

x dxx−+∫

9) 10)2

3

1 81x dxx−

∫ 2 2400 9x x dx+∫

La integral definida

165

XI

LA INTEGRAL DEFINIDA

Áreas 1, 2 y 3

De manera un poco burda, en virtud de que este no es un curso de análisis matemáticoriguroso, se puede decir que todas las integrales estudiadas y calculadas en los capítulos anterioresson integrales indefinidas, en el sentido de que no queda definida la integral en un valor numérico

concreto, sino en otra función. Por ejemplo, de la integral lo más que se puede saber de2x dx∫ella hasta ahora por lo estudiado en los capítulos anteriores es que es igual a la función . 2x c+

Por el contrario, cuando de una integral de obtiene un valor numérico concreto se dice quees una integral definida. Eso es lo que se va a estudiar en este capítulo, o sea, cómo convertir enun valor numérico una integral indefinida. Para ello es necesario establecer desde qué valor inicialde x hasta qué valor final se evaluará la integral. Dichos valores se llaman límites de integración

y se dice que se integra desde x = a hasta x = b . Su notación es ( )b

af x dx∫

El proceso consta de dos pasos: Primero integrar y después evaluar (darle valores). Si elresultado de la integral es , o sea que , para denotar que la función( )F x ( ) ( )f x dx F x c= +∫ya se ha integrado, pero no se ha evaluado aún, se emplea la notación


166

( ) ( )bb

aa

f x dx F x=∫

Luego se evalúa, conforme a la siguiente regla:

que significa evaluar el resultado de la integración en el límite superior menos el límite inferior.

Ejemplo 1: ( )3 2

16 4 1x x dx+ −∫

Solución: Integrando primero se obtiene que

( )33 23 2

11

6 46 4 13 2x xx x dx x+ − = + −∫

33 2

1

2 2x x x= + −

y ahora evaluando:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2

límite superior límite inferior

2 3 2 3 3 2 1 2 1 1⎡ ⎤= + − − + −⎣ ⎦

= 66

Significa que la integral vale en concreto 66, es decir,

Si , entonces ( ) ( )f x dx F x c= +∫ ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫


167

( )3 2

16 4 1 66x x dx+ − =∫

Ejemplo 2:8

31x dx+∫


( )3 2 8

8

33

2 11

3

/xx dx

++ =∫

Y ahora evaluando:

( ) ( )3 2 3 2


2 28 1 3 13 3

/ /= + − +

( ) ( )3 2 3 22 29 43 3

/ /= −

Elevar un número a la potencia tres medios ( ) significa elevarlo al cubo y luego sacarle raíz32

cuadrada, o a la inversa, primero sacarle raíz cuadrada y luego elevarlo al cubo. Entonces sa-cando primero raíz cuadrada (es el denominador 2 del exponente):

( ) ( )3 32 23 23 3

= −

( ) ( )2 227 83 3

= −

16183

= −

383

=


168

Quiere decir que la integral vale en concreto , es decir383

8

3

3813

x dx+ =∫

Ejemplo 3:2 2

04 x dx−∫


22 2 2

00

44 42 2 2x xx dx x arcsen− = − +∫

22

0

4 22 2x xx arc sen= − +

y luego evaluando:

2 2


2 2 0 04 2 2 4 0 22 2 2 2

arcsen arc sen⎡ ⎤= − + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

0 2 1 0 0arc sen= + − −

2 1arc sen=

Los valores de las funciones trigonométricas inversas son ángulos, los cuales deben siempreexpresarse en radianes, no en grados. En este caso, el seno inverso de 1 es 90º , que equivale a

radianes, de manera que continuando con la evaluación de la integral, se obtiene2π

22π π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


169

o sea que2 2

04 x dx π− =∫

Ejemplo 4: ( )2

01

/cos x dx

π+∫


( )2

2

00

1/

/cos x dx x sen x

ππ

+ = +∫

y evaluando después:

[ ]límite inferiorlímite superior

0 02 2

sen senπ π= + − +

Cuando no es parte del argumento de una función trigonométrica debe tomarse su valorπcomo 3.1415926; si, en cambio, es parte del argumento de una función trigonométrica debetomarse como un ángulo dado en radianes. En este ejemplo, el primer valor no es parte deπun argumento, mientras que el segundo sí, por lo que

3.1415926 902

sen= +

= 2.570796

es decir que

( )/ 2

01 cos 2.570796x dx

π+ =∫


170


Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1) 2)( )4 2

19x x dx−∫ ( )5 3 2

28x x dx− +∫

3) 4=( )

4

21 3 5dx

x−∫11

32 3x dx+∫

5) 6)6

2 4 1dxx +∫

3 2

09 x dx−∫

7) 8)2

20 9 36dx

x +∫ ( )2

42 2

/

/x sen x dx

π

π−∫

9) 10)( )6

01 3

/cos x dx

π+∫

3

1 4dx

x∫

Aplicación: cálculo de áreas

171

XII

APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Áreas 1, 2 y 3

El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreasde figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado, el rectángulo, eltriángulo, la circunferencia, el rombo, el trapecio, etc., y es muy probable que se haya imaginadoque cualquier área se calcula a través de una fórmula. Pero no es así.

Lo que sucede es que no todas las figuras geométricas son regulares, como lasmencionadas en el párrafo anterior, sino quepueden crearse áreas que estén limitadas porlas gráficas de algunas funciones, como porejemplo el área marcada en la figura 7, la cualestá acotada por la parábola , la recta2y x=

y el eje de las x. Para calcular4 12y x= − +esta área no es posible hacerlo a través defórmulas, sino con el cálculo integral.

figura 7


172

Supóngase que se quiere calcular elárea bajo la curva de la gráfica de una funcióncualquiera y = f(x), como lo muestra la figura8. Se entiende por “área bajo la curva” laproyección que resulta desde la curva hasta eleje de las x, algo así como la sombra que re-sultaría de la curva hasta el eje de las x si sepusiera una fuente de luz arriba de la curva losuficientemente alejada para que los extremosizquierdo y derecho de dicha sombra resultenverticales, no oblicuos.

Para obtenerla, se divide el área a cal-cular en rectángulos, todos con la misma base,de manera que la curva pase por el( )y f x=centro de la contrabase de cada rectángulo.Entiéndase por contrabase el lado opuesto a labase (el de arriba). De esta manera, la alturade cada rectángulo es exactamente la ordena-da (la y ) en ese punto de la curva correspon-diente a . Ver la figura 9.( )y f x=

La figura 10 (página siguiente) repre-senta uno de estos rectángulos amplificados yaislados de los demás para mostrar con mayorclaridad cómo la altura de cualquier rectángu-lo es la ordenada y de la curva, si el centro dela contrabase de dicho rectángulo pasa por lacurva (punto P).

figura 8

figura 9


173

Es obvio e intuitivo que la suma de las áreas de los rectángulos no es exactamente igual alárea que se desea calcular, ya que de la mitad del rectángulo hacia la izquierda por su parte supe-rior, el rectángulo “se pasa” y hace que haya más área, mientras que de la mitad hacia la derecha elrectángulo “no alcanza” y hace que haya menos área, como lo muestra la figura 11.

Si el área que sobra fuera igual al área que falta no habría ningún problema, pero no soniguales porque no es una linea recta la gráfica de . La diferencia entre el área que sobra( )y f x=

y el área que falta es lo que se considera “el error”. Dicho error aumenta cuando la longitud de labase de los rectángulos aumenta y disminuye cuando la base también se hace más pequeña. Enton-ces, si la base de los rectángulos se hace cada vez más pequeña de manera que tienda a 0 su longi-tud, el error a su vez también tiende a cero, lo que significa que la suma de las áreas de los rectán-gulos tiende a ser exactamente el área bajo la curva de . La longitud de dicha base quey f ( x )=tiende a cero es dx, y su altura es y , por lo que el área de cada rectángulo generador es A = y dx.

La suma de todas las áreas de los rectángulos así generados está dada por la integral

figura 10 figura 11


174

A = ( )y dx f x dx=∫ ∫

en donde solamente hace falta especificar desdedónde hasta dónde se extiende esa área. En alfigura 12 se muestra en términos generales queesa área se extiende desde que x vale a hastaque x vale b; esto es, desde x = a hasta x = b,lo cual se expresa como

( )b

aA f x dx= ∫

Ejemplo 1 Calcular el área bajo la curva y = x 2 ,desde x = 0 hasta x = 2.

Solución: La figura 13 muestra el área a la que se refiere elenunciado de este problema. Conforme a lo dicho an-teriormente, dicha área se obtiene por medio de la in-tegral

2 2

0A x dx= ∫

23

03x

=3 3

límite límitesuperior inferior

2 03 3

= −

83

A =

figura 12

figura 13


175

Ejemplo 2: Hallar el área bajo la curva , entre x = 0 y x = 3.2 2 3y x x= − +

Solución: La figura 14 muestra el área a la que se refiere el enun-ciado de este problema. Conforme a lo dicho anterior-mente, dicha área se obtiene por medio de la integral

( )3 2

02 3A x x dx= − +∫

332

0

33x x x= − +

( ) ( )3 3

2 2


3 03 3 3 0 3 03 3

⎡ ⎤= − + − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

9A =

Ejemplo 3: Hallar el área limitada por las parábolas e .2y x= 2 4y x x= − +

Solución: En la figura 15 se muestran las dos parábolas yel área solicitada entre ellas.

Lo primero que deben obtenerse son las coor-denadas del punto p , ya que éste define loslímites de integración. Dichas coordenadas seobtienen resolviendo por simultáneas las dosecuaciones que pasan por p:

( )( )

2

2

1

2 4

y x

y x x

⎧ =⎪⎨

= − +⎪⎩

figura 14

figura 15


176

sustituyendo (1) en (2):

2 2 4x x x= − +22 4 0x x− =

de dondex1 = 0x2 = 2

Se han obtenido dos valores porque si se observa en la figura 10 realmente hay dos puntos endonde ambas parábolas se cortan, uno en el origen (es la primera solución x1 = 0) y el otroadentro del primer cuadrante (es la segunda solución obtenida x2 = 2). De hecho, éste es elpunto buscado.

Además, como se ve en la figura 16, el área pedida es realmente la resta del área bajo la curva menos el área bajo la curva , por lo que dicha área es la resta de las2

1 4y x x= − + 22y x=

integrales:

figura 16


177

( )2 2

2 2

0 04A x x dx x dx= − + −∫ ∫

2 23 3

2

0 0

23 3x xx= − + −

( ) ( )3 3 3 3

2 2

lím límlímite límite sup. inf.superior inferior

2 0 2 02 2 2 03 3 3 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − + − − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

83

A =

Ejemplo 4: Hallar el área limitada por las dos ramas de la parábola y la recta x = 4.( )22x y= −

Solución: La figura 17 muestra el área a la que se refiere elenunciado de este problema. Lo primero que debehacerse es despejar la variable dependiente y de

la ecuación :( )22x y= −

Primero se saca raíz cuadrada. Recordar que todaraíz cuadrada es positiva y negativa, por lo que

2x y± = −

de donde

2y x= ±

La interpretación del signo está detallada en la figura 18. Para cualquier abscisa ,± x p=le corresponden en la gráfica dos ordenadas, una “y ” grande y una “y ” chica. La “y ” grande

figura 17


178

se obtiene cuando al 2 se le suma una cantidad, en este caso y la “y ” chica2y x= +

cuando al mismo 2 se le resta una cantidad .2y x= −

El área pedida es la resta del área bajo la curva de la rama grande menos el área bajo la curvade la rama chica, como se ve en la figura 19.

figura 18

figura 19


179

( ) ( )4 4

0 02 2A x dx x dx= + − −∫ ∫

Cuando se tiene una suma o resta de integrales con los mismos límites de integración, se puedetomar como una sola integral:

( )4

02 2A x x dx⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦∫

4

02A x dx= ∫

43 2

0

43

/xA =

( ) ( )3 2 3 2

límite límitesuperior inferior

4 4 4 03 3

/ /

A = −

323

A =

Ejemplo 5 Hallar el área limitada por la parábola, la recta y los2 2 2y x x= − + 4y x= − +

dos ejes (figura 20).

Solución: En este caso, el área pedida debe dividirse endos partes, ya que una parte de ella está bajola parábola y la otra bajo la recta.

Para eso, primero deben calcularse las coorde-nadas del punto p de intersección de la recta figura 20


180

y la parábola, a partir del cual se deberá dividir el área en dos. Recordar que esto se lograresolviendo por simultáneas las ecuaciones de la recta y la curva que se cortan en un mismopunto.

2 2 24

y x xy x

⎧ = − +⎨

= − +⎩

Como ambas son iguales a y , se pueden igualar entre sí:

2 2 2 4x x x− + = − +

2 2 0x x− − =de donde

1

2

21

xx== −

Por simple inspección con la figura 20, se puede deducir que el valor de corresponde1 2x =

al punto p y el de al punto q. 2 1x = −

Por otra parte, también se requiere conocerlas coordenadas del punto en donde la rectacorta al eje de las x , lo cual se logra cuan-do en la ecuación de la recta, o sea0y =

4y x= − +

0 4x= − +4x =

Entonces el área debe dividirse en dos par-tes como se ve en la figura 21. La suma deambas es el área pedida, esto es figura 21


181

( ) ( )2 42

0 22 2 4A x x dx x dx= − + + − +∫ ∫

2 43 2

2

0 2

2 43 2x xx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )3 2 2

22 4 22 2 2 4 4 4 23 2 2

= − + − + + −

143

A =

EJERCICIO 34

Obtener las áreas que se piden:

1) El área limitada por la parábola , el eje x, el eje y, y la recta .2 2y x= + 3x =

2) El área limitada por la parábola , el eje x, el eje y, y la recta .2 3y x= + 2x =

3) El área limitada por la parábola y las rectas , y .2 2y x= + 1x = − 2x = 0y =

4) El área limitada por la parábola y los dos ejes.2 4 4y x x= − +

5) El área limitada por la parábola , los dos ejes y la recta .2 6 11y x x= − + 3x =

6) El área limitada por la parábola y el eje x.29 6y x x= − +

7) El área limitada por la parábola y el eje x.24 12y x x= − +

8) El área limitada por la parte inferior de la circunferencia , y las rectas( ) ( )2 25 6 25x y− + − =

, y .0y = 2x = 5x =


182


, y . .0y = 2x = 9x =


, y . .0y = 0x = 8x =

11) El área más pequeña limitada por la circunferencia y la recta( ) ( )2 26 7 25x y− + − =

.2 9y x= − +

12) El área más pequeña limitada por la circunferencia y la recta( ) ( )2 26 7 25x y− + − =

.2 3 0x y− + =

13) El área limitada por la circunferencia , los dos ejes y las rectas( ) ( )2 26 7 25x y− + − =

y .2 10 0x y+ − = 6x =

14) El área más pequeña del primer cuadrante limitada el eje de las x, por la circunferencia

y la recta .( ) ( )2 215 10 169x y− + − = 3 2 39 0x y+ − =

15) El área limitada por la parábola , el eje x y las rectas y .2 10 30 0x y+ − = 2y x= − 9x =

16) El área limitada por la rama superior de la parábola con las rectas2 10 30 0x y+ − =

, y .5x = 9x = 3 4 17 0x y− + =

17) El área limitada por las parábolas y .2 10 30 0y x y− − + = 2 14 40 0y x y+ − + =

Soluciones

183

SOLUCIONES

EJERCICIO 19, página 5

1) 2)( )45 7dy x dx= − ( )215 10 1dy x x dx= + −

3) 4)( )22

48

4 63

x dxdyx

−=

−

6

7

35

2 9 5

x dxdyx

−=

−

5) 6)( )( )

3 2

6 74 3

8 24 1

7 2 8/

x x dxdy

x x x

− +=

− + ( )3

7

9 2

dxdyx

=−

7) 8)( )

( )

2

53 2

20 3 6 9

3 9

x x dxdy

x x x

− − +=

− + ( )3

104

2772

6 7

x dxdyx

=−

9) 10)( )( )

5

14 56

27 1 36

5 6/

x dxdy

x x

−= −

−5 (5 7)dy cos x dx= −

11) ( ) ( )6 73 28 3 4dy x sen x x dx= − − −

12) 21 2 92 9

dy sec x dxx

= −−

13) 14)4 3 3

3 1 1dy tan sec dxx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

72dxdyx

=

15) 16)44 xdy e dx=33

2 3

xe dxdyx

=

Soluciones

184


1) 2)12

12x c+

11

11x c+

3) 4)23x c+79

7x c+

5) 6)23 5x x c− +4 2

311 3 54 2x xx x c− + − +

7) 8)3

27 4 23x x x c+ − + 3 25 11x x x c+ − +

9) 10)3

13

cx

− +12

ln x c+

11) 12)4 4 223 5

x ln x cx

+ + +11 2

7 2

6 103335

/

/

x cx

− + +

13) 14)26 11

11 12xln x c− +

6

4

9278x c

x− + +

15) 16)13 5

3 5

11 501436

/

/

x cx

− + +9 13 17 13169 11

99 17

/ /x x c− +


1) 2)( )813 12

104x

C−

+( )122 19

228x

c−

− +

3) 4)( )3 22 7 15

21

/xc

−+ ( )1 8 13

8ln x c− +

Soluciones

185

5) 6)( )8

120 15 11

cx

− ++

9 4x c− − +

7) 8)( )923 11

54

xc

−+

( )32

1

6 3 1c

x− +

−

9) 10)( )425 80 22

40

x xc

+ ++

( )52

1

40 4 8c

x x− +

−

11) 12)( )3 222 6 3 11

9

/x x

c+ +

+210 7 21 9

7x x c+ −

+

13) 14)( )3

43 9

cx x

− ++

( )63 8

18

xec

−+

15) 16)( )7 523 5 10 9

14

/x x

c− +

+( )1 432 8 12 1

3

/x x

c+ −

+

17) 18)( )4 22 2 9ln x x c+ − +( )73 2

1

6 2 3 9c

x x− +

+ −


1) ( )2 212164 121 8 64 1212 16x x ln x x c+ + + + +

2) 2 81 1281 1442 24 9x xx arc sen c− + +

Soluciones

186

3) 4)7 1 24 1 2

xln cx

++

−2 13

13 5xarcsen c+

5) 2 50 3100 92 3 10x xx arc sen c− + +

6) ( )2 219 1 3 9 12 6x x ln x x c− − + − +

7) 8)1 10

10 9xarc tan c+

3 4 728 4 7

xln cx−

++

9) 10)( )2 25ln x x c+ − + ( )210 3 9 1003

ln x x c+ + +

11) ( )23 20 400 1215

ln x x c+ − +

12) 2 81 1181 1212 22 9x xx arc sen c− + +

13) 14)141

xln cx

++

− ( )211 1ln x x c+ + +


1) 2)1 5 1

15 3xarctan c+

+1 4 7

32 4 1xln cx−⎛ ⎞ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

3) ( )21 3 7 9 42 503

ln x x x c− + − + +

4) ( )21 2 5 4 20 502

ln x x x c− + − + +

Soluciones

187

5) ( )2 22 7 814 28 32 2 7 4 28 324 4

x x x ln x x x c−− − − − + − − +

6) ( )2 26 1 336 12 10 6 1 36 12 1012 4x x x ln x x x c+

+ + + + + + + +

7) 8)1 6 172 6 11

xln cx−

++

1 8 972 9

xarc tan c++

9)3

9xarc sen c+

+

10) ( )22 5 120 4 24 2 54 4

x x x arc sen x c−− − + − +

11) 12)1 3 966 13 3

xln cx

+⎛ ⎞ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 10 110 13

xarc sen c++

ÁREA 2

13) 2 225 9 281 925 18 8 5 25 18 850 250 5x x x ln x x x c+ ⎛ ⎞+ − − + + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

14)1 4 7 53

2 53 4 7 53xln cx− −

+− +

15) 21 74 16 7 24 8

ln x x x c⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

16)1 98 9 1257

1257 98 9 1257xln cx+ −

++ +

17) 2 26 1 107 13 9 3 3 912 24 3 2 3x x x ln x x x c+ ⎛ ⎞

+ + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Soluciones

188

18)1 10 11 381381 10 11 381

xln cx+ −

++ +

19) 21 117 7 11 227 2 7

ln x x x c⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

20)1 16 38

19 16xln c

x−

+

21) 2 22 17 289 1717 174 4 2

x x x ln x x x c− ⎛ ⎞− − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

22) 23)1 24 1 385385 24 1 385

xln cx+ −

++ +

1 3011 30 22

xln cx

++

24) ( )2 27 71 12 2

x x ln x x c+ + + + +

EJERCICIO 24 página 71 (Área 2)

1) ( ) ( )21 6781 36 5 9 281 81

ln x x arc tan x c+ + − + +

2) ( ) ( )35 1311 2 23 11 2 148 48

ln x ln x c− ⎡ − ⎤ − ⎡− + ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3) ( ) ( )7 56 2 11 6 2 34 4

ln x ln x c⎡− − ⎤ − ⎡ − ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4) ( ) ( )27 76 19 60 125 3 1018 45 5

ln x x arc tan x c⎡ ⎤+ + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

5) ( ) ( )131 1359 4 15 59 4 1256 256

ln x ln x c⎡− − ⎤ + ⎡ + ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6) ( ) ( )25 9267 3 67 159 9

ln x ln x c− ⎡− − ⎤ − ⎡ + ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Soluciones

189

7) ( )2 217 8225 10 2 5 1 25 10 225 25

x x ln x x x c− + − − + − + +

8) ( )2 21 436 60 75 2 6 5 36 60 756 3

x x ln x x x c⎡ ⎤+ − + + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

9) ( )21 11 136 12 35 1 64 12 6

x x arc sen x c⎡ ⎤− − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

10)( )3 22

2 29 7 155 18 7 49 79 7 3 9 7

27 54 12 72 6

/x x x x x ln x x x c

− ⎡ ⎤− ⎛ ⎞− − − − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

11)2

225 11 5 311 115 25 11 525 250 10

x x ln x x x c⎡ ⎤− + ⎛ ⎞+ − + − + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

12) ( )21 3 6 12 1746 24 54 174 6 12 174

xln x x ln cx

⎛ ⎞− −− − + +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

EJERCICIO 25 página 76

1) 2)1 13

13cos x c− +

1 44

sen x c+

3) 4)( )1 4 99

ln sec x c− − + ( )1 17 617

ln sen x c+ +

5) ( ) ( )1 11 12 11 1211

ln sec x tan x c+ + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

6) 6 )( ) ( )1 1 5 1 55

ln csc x cot x c− − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )21 10 12

cos x x c− − + +

7) 8)( )210 5 10 103

sen x x c+ + + ( )27 7 21 9ln sec x x c− + +

Soluciones

190

9) ( )3 23 9 15ln sen x x c+ − +

10) ( ) ( )3 2 3 24 8 12 12 13 8 12 12 13ln tan x x x sec x x x c⎡ ⎤− + − + − + − +⎣ ⎦

11) 12)5 2cos x c− +7 33

sen cx

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

13) 2

11 918

ln sec cx

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

14) 3 3

2 5 515

ln csc cot cx x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦


1) ( ) ( )3 1 114 4 28 88 28 224x sen x sen x c− − + − +

2) + c1 19 27

12 108sen x sen x+

3) ( ) ( ) ( )5 5 19 11 27 33 45 5588 528 880

sen x sen x sen x c− − − − − − +

4) ( ) ( )21 17 8 7 87 14

ln cos x sec x c+ + + +

5) 2 41 1 112 12 1212 48 12

csc x csc x ln sen x c− + +

6) 22 113 13 1339 39

tan x sec x tan x c+ +

7) 8)( )1 6 176

tan x c+ + 22 19 9 927 27

cot x cot x csc x c− − +

Soluciones

191

9) 10)31 515

sen x c+ 21 918

sec x c+

11) 12)1 88

cos x c− + ( )1 6 63

ln csc x cot x c− − +

13) 14)1 15 55 5

tan x sec x c+ +1 99

x cos x c− +

15) 16)( )1 4 44

x ln tan x sec x c− + + + 21 55

x cos x c+ +

17)1 48

x cot x c− − +

18)( )

1 366 3 3 3

sen xx cos x ccos x sen x

− + + +−


1) 2)21 x x arc sen x c− + + ( ) ( )1 1x x ln x ln x c− + − − − +

3) 4)21

2 2 2x xarc tan x arc tan x c− + + +

( )( )

2

2

1

4 1

x x arc tan xc

x

+ −+

+

5) 6)2 1 2x x arc sen x c− + + ( )3 221 13

/arc tan x c− +

7) 8)( )21 2 2 1ln x arc sen x ln x cx

− − + − +2 2

4 2x x ln x c− + +

9) 10)3 3

9 3x x ln x c− + +

2 1 2 24 8 4x xcos x sen x c+ + +

Soluciones

192

11) 12)2 2x xsen ln x cos ln x c− +

( )32 29

x ln xc

− ++


1) 2)6 2

1 5 3x x+

− −10 11

3 2x x+

−

3) 4)8 1

5 2 1x x−

+ ( ) ( )9 9

1 4 1x x− +

+ −

5) 6)13 1

7 2x x−

−1 10 3

1 1x x x+ −

+ −

7) 8)3 9 2

3 2 1x x x− +

− − +1 1 1

3 1 3 1 2 3x x x− +

+ − −

9) 10)9 4 1

1 2 5 1x x x+ −

+ − −4 5 2

4 1 5 1 10x x x− −

+ − −


1) 2)( )2

7 22 1 2 1x x

++ + ( )2

53 2x −

3) 4)( ) ( )2

1 45 5 4 5 5 4x x

+− − ( )2

3 1 11 1 1x x x− −

+ − −

5)( )2

1 85 3 5 3x x

−+ +

Soluciones

193

6)( ) ( ) ( )2

21 170 67361 2 3 361 8 19 8x x x

+ −− + +

7)( ) ( ) ( )2 3

1 14 4925 5 7 25 5 7 25 5 7x x x

− ++ + +

8)( ) ( )2 3

1 11 189 9 9x x x− +

+ + +

9)( ) ( ) ( )2

59 152 3169 3 2 169 2 3 13 2 3x x x

− + +− + +

10)( ) ( ) ( )2

210 1664 243961 2 9 4805 5 7 155 5 7x x x

− −− − −


1) 2)( ) ( )

1 12 1 2 1x x

+− + ( )2

4 71 1x x+

− −

3) 4)( ) ( )2

16 1317 3 17 5

xx x x

−+

− + + ( ) ( )( )( )2 2

2 11 12257 21338 2 1 169 326 2 1

xx xx

++ −

− +−

5) 6)( )2

27 9 614 2 4 3 2x x x

+ −− ( ) ( )2 32 2 2

1 8 17 44 4 4

x xx x x

− −+ +

+ + +

7) 8)( ) ( )

( )22 2

5 1 5 5 77 7

x xx x x x

+ +−

− + − + ( )2 2

13 1 145 1364 8 64 3 8

xx x x x

−+ +

+ +

Soluciones

194


1) 2)( ) ( ) ( )2 2 1 2 3ln x ln x ln x c+ − + − − + ( ) ( ) ( )3 2 2 1 2 5ln x ln x ln x c− + + − + +

3) 4)( ) ( ) ( )4 2 3 3 1ln x ln x ln x c+ + − − − + ( ) ( )1 23 13 3 3 1

ln x cx

− − +−

5) 6)( ) ( ) ( )2

3 52 2 32 2 3 4 2 3

ln x cx x

− − − − +− −

( ) ( ) 32 1 5 44

ln x ln x cx

− − − − +−

7) 8)( )22 11

x ln x cx

+ + + ++

( )13 2 33

x ln x cx

+ + − +−

9) ( ) ( )23

12 1 222

xarctanln x ln x c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− + − − + +

10) ( ) ( )23 1 1arc tan x ln x ln x c− + + + + +

11) ( ) ( )22 14 3 3 13

xarc tan ln x ln x x c+⎛ ⎞− + − + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠


1)3

2 281 6561 281 4 81 432 4 64 9

x x xx x ArcSen c⎛ ⎞− − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2)2

2 121 11121 11 xx ln cx

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

3) ( )2

24 169 2 4 2 4 169x ln x x cx−

− + + − +

4)

Soluciones

195


1) - 46.5 2) 137.25 3) 0.08823534) 32.6666 5) 1 6) 7.068587) 0.0436332 8) 1.35055 9) 0.85693210) 0.274653


1) 15 2) 8.666 3) 94) 2.666 5) 15 6) 0.44447) 18 8) 3.956 9) 10.36510) 14.3213 11) 1.5911 12) 17.678713) 19.4088 14) 88.0921 15) 21.513516) 5.8666 17) 2.6666

1

FORMULARIO GENERAL DE CÁLCULO

Derivadas:

0d

cdx

= 1d

xdx

=

d ducu c

dx dx= ( )d du dv

u v ... ...dx dx dx

+ + = + +

1n ndx nx

dx−= 1n nd du

u nudx dx

−=

d dv duuv u v

dx dx dx= + 2

du dvv ud u dx dx

dx v v

− =

2

dud dxudx u

= u ud dua a lna

dx dx=

d dusenu cosu

dx dx=

d ducosu senu

dx dx= −

2d dutanu sec u

dx dx= 2d du

cotu csc udx dx

= −

d dusecu tanusecu

dx dx=

d ducscu cotucscu

dx dx= −

dud dxlnudx u

= u ud due e

dx dx=

2

21

dud dxarc senudx u

=− 21

dud dxarccosudx u

= −−

21

dud dxarctanudx u

=+ 21

dud dxarccotudx u

= −+

2 1

dud dxarc secudx u u

=− 2 1

dud dxarccscudx u u

= −−

Integrales:

dx x c= +∫ cudx c udx=∫ ∫

para 1

1

nn x

x dx cn

+

= ++∫ 1n ≠ −

dxln x c

x= +∫ ( )u v ... dx u d x v d x ...+ + = + +∫ ∫ ∫

para 1

1

nn u

u du cn

+

= ++∫ 1u ≠ −

dulnu c

u= +∫ u ue du e c= +∫

( )2

2 2 2 2 2 2

2 2u a

u a dx u a ln u u a c+ = + + + + +∫

( )2

2 2 2 2 2 2

2 2u a

u a du u a ln u u a c− = − − + − +∫

3

22 2 2 2

2 2u a u

a u du a u arc sen ca

− = − + +∫

( )2 2

2 2

duln u u a c

u a= + + +

+∫

( )2 2

2 2

duln u u a c

u a= + − +

−∫

2 2

du uarc sen c

aa u= +

−∫

2 2

1du uarctan c

u a a a= +

+∫

2 2

12

du u aln c

u a a u a−

= +− +∫

2 2

12

du a uln c

a u a a u+

= +− −∫

sen u d u cosu c= − +∫ cosudu sen u c= +∫tanudu ln secu c= +∫ cotudu ln senu c= +∫

( )secu du ln tanu secu c= + +∫ ( )cscudu ln cscu cotu c= − +∫2sec u d u tanu c= +∫ 2csc u du cotu c= − +∫

tanusecu du tanu c= +∫ cotucscudu cscu c= − +∫

principales identidades utilizadas en las integrales trigonométricas:

2 2 1sen x cos x+ = 2 21tan x sec x+ =

2 21cot x csc x+ = ( )2 11 2

2sen x cos x= −

4

( )2 11 2

2cos x cos x= + 2 2sen x sen x cosx=

sen xtanx

cosx=

cosxcot x

sen x=

1secx

cos x=

1cscx

sen x=

integración por partes: udv uv vdu= −∫ ∫

cambios de variable trigonométricos:

para el radical hacer el cambio

2 2 2a x b+b

x tan ta

=

2 2 2a x b−b

x secta

=

2 2 2b a x−b

x senta

=

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