divisioni - centro scuola pirandello dei... · caso 2caso 2°° dividente uscente da un punto m...
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SS11
AA
BB
MM
NN B B
A
DIVISIONE DEI TERRENIDIVISIONE DEI TERRENIAA NN B B
PrerequisitiPrerequisiti
Per affrontare questo argomento sono necessarie Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenzeconoscenze in:in:
.. Matematica di baseMatematica di base
.. Risoluzione di triangoli e quadrilateriRisoluzione di triangoli e quadrilateri
.. Calcolo delle areeCalcolo delle aree
.. Tecniche di rilievo topograficoTecniche di rilievo topografico.. Tecniche di rilievo topograficoTecniche di rilievo topografico
IndiceIndice
Progetto di frazionamentoProgetto di frazionamento
Concetti generaliConcetti generali
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utiliPrima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili
Divisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitarioDivisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitario
.. Caso 1Caso 1°° dividente uscente da uno dei verticidividente uscente da uno dei vertici
.. Caso 2Caso 2°° dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetrodividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro
.. Caso 3Caso 3°° dividente MN parallela ad uno dei latidividente MN parallela ad uno dei lati
.. Caso 5Caso 5°° dividente MN che forma un angolo dato con uno dei latidividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati
.. Caso 4Caso 4°° dividente MN perpendicolare ad uno dei latidividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Divisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitarioDivisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitario
.. Caso 1Caso 1°° dividente uscente da uno dei verticidividente uscente da uno dei vertici
.. Caso 2Caso 2°° dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetrodividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro
.. Caso 3Caso 3°° dividente MN parallela ad uno dei latidividente MN parallela ad uno dei lati
.. Caso 4Caso 4°° dividente MN perpendicolare ad uno dei latidividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Concetti generaliConcetti generali
LaLa divisionedivisione deidei terreniterreni consisteconsiste nelnel frazionarefrazionare
particelleparticelle didi terrenoterreno mediantemediante unauna oo piùpiù
dividentidividenti cheche soddisfinosoddisfino particolariparticolari condizionicondizioni
geometrichegeometriche
LaLa divisionedivisione deidei terreniterreni rivesteriveste unauna notevolenotevole
importanzaimportanza praticapratica nell’attivitànell’attività professionaleprofessionale deldelimportanzaimportanza praticapratica nell’attivitànell’attività professionaleprofessionale deldel
geometrageometra inin quantoquanto trovatrova applicazioneapplicazione nellenelle
divisionidivisioni perper compravenditacompravendita oo successionesuccessione
ereditariaereditaria ee nellenelle espropriazioniespropriazioni parzialiparziali
Concetti generaliConcetti generali
II terreniterreni dada divideredividere possonopossono avereavere ugualeuguale
valorevalore unitariounitario oo valorevalore unitariounitario diversodiverso..
NelNel primoprimo caso,caso, lala divisionedivisione vieneviene effettuataeffettuata
attraversoattraverso lala ripartizioneripartizione delladella suasua areaarea..
NelNel secondo,secondo, invece,invece, perper realizzarerealizzare lala
divisionedivisione occorreoccorre ripartireripartire ilil valorevalore totaletotale
dell’appezzamentodell’appezzamento
Concetti generaliConcetti generali
II terreniterreni possonopossono avereavere formaforma::
triangolaretriangolare
quadrilateraquadrilatera
poligonalepoligonale
LeLe dividentidividenti rettilineerettilinee possonopossono::
passarepassare perper unun puntopunto datodato
avereavere unauna direzionedirezione assegnataassegnata
Progetto di frazionamentoProgetto di frazionamento
LeLe divisionidivisioni deidei terreniterreni sonosono definitidefiniti dalladalla
circcirc.. 22//8888 comecome attiatti didi aggiornamentoaggiornamento
geometricogeometrico ((tipitipi didi frazionamentofrazionamento)).. LaLa
divisionedivisione delledelle particelle,particelle, modificamodifica ilil fogliofoglio didi
mappamappa ee quindiquindi lala mappamappa particellareparticellare,, unounomappamappa ee quindiquindi lala mappamappa particellareparticellare,, unouno
deglidegli attiatti fondamentalifondamentali deldel catastocatasto definitidefiniti
daldal DPRDPR 650650//7272
Progetto di frazionamentoProgetto di frazionamento
PoichèPoichè lala posizioneposizione didi unauna dividentedividente èè definitadefinita dada
quellaquella deidei puntipunti inin cuicui essaessa tagliataglia ii confiniconfini
dell’appezzamento,dell’appezzamento, lele incogniteincognite sonosono lele distanzedistanze
deidei puntipunti didi intersezioneintersezione daidai verticivertici deldel confineconfine
AA
SS11
SS22
11
AA
BB
Progetto di frazionamentoProgetto di frazionamento
�� eventualeeventuale rilievorilievo planimetricoplanimetrico dell’appezzamentodell’appezzamento
�� definizionedefinizione delledelle quotequote didi divisionedivisione inin areaarea oo valorevalore
�� definizionedefinizione delladella direzionedirezione delladella dividentedividente
individuazioneindividuazione grafografo analiticaanalitica delladella posizioneposizione delladella dividentedividente�� individuazioneindividuazione grafografo analiticaanalitica delladella posizioneposizione delladella dividentedividente
�� posizionamentoposizionamento deglidegli estremiestremi delladella dividentedividente sulsul terrenoterreno
�� rilievorilievo topograficotopografico
�� redazioneredazione attoatto didi aggiornamentoaggiornamento geometricogeometrico (tipo(tipo didi frazionamento)frazionamento)
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utiliPrima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili
�� triangoli aventi stessa base e uguale altezza triangoli aventi stessa base e uguale altezza
relativa hanno stessa arearelativa hanno stessa area
�� triangoli aventi stessa altezza hanno le aree triangoli aventi stessa altezza hanno le aree
proporzionali alle base e viceversaproporzionali alle base e viceversa
AA BB
CCDD
hh hh
BBproporzionali alle base e viceversaproporzionali alle base e viceversa
�� poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali
e le aree di poligoni simili sono proporzionali al e le aree di poligoni simili sono proporzionali al
quadrato dei lati omologhiquadrato dei lati omologhi
AA
CC
EE
FF
SSABCABC : S: SEBFEBF = AB= AB22 : EB: EB22
DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIO
CASO 1CASO 1°° Dividente uscente da uno dei verticiDividente uscente da uno dei vertici
SSSS11 SS22
AMAMuscente dal vertice Auscente dal vertice ASS11 prossima al lato ACprossima al lato AC
IlIl problemaproblema consisteconsiste nelnel divideredividere l’appezzamentol’appezzamento didi
areaarea totaletotale SS inin duedue areearee parzialiparziali notenote SS11 ee SS22 concon
unauna dividentedividente rettilinearettilinea AMAM uscenteuscente dada unouno deidei
vertici,vertici, inin questoquesto casocaso ilil verticevertice AA.. SoloSolo nelnel casocaso inin
cuicui lele duedue areearee parzialiparziali risultinorisultino diversediverse tratra loroloro
dovràdovrà essereessere datadata lala loroloro posizione,posizione, adad esempioesempio sese
BB
SS11 èè vicinavicina alal verticevertice BB oo alal latolato ABAB.. PoichèPoichè perper
divideredividere l’appezzamentol’appezzamento inin duedue partiparti MM devedeve caderecadere
necessariamentenecessariamente susu BC,BC, ilil problemaproblema sisi risolverisolve
calcolandocalcolando lele duedue distanzedistanze BMBM ee CMCM.. LaLa distanzadistanza didi
MM daidai duedue verticivertici dipendedipende ovviamenteovviamente dalladalla
dimensionedimensione delledelle duedue areearee parzialiparziali SS11 ee SS22 ee dalladalla
formaforma dell’appezzamentodell’appezzamento
AA
SS11
SS22
CC
MM
CASO 1CASO 1°° Dividente uscente da uno dei verticiDividente uscente da uno dei vertici
SSSS11 SS22
AMAMuscente dal vertice Auscente dal vertice ASS11 prossima al lato ACprossima al lato AC
Il problema, noti i lati AB e AC e l’angolo nel vertice Il problema, noti i lati AB e AC e l’angolo nel vertice
A, si risolve come segue:A, si risolve come segue:
SStt = 0,5 x AB x AC x sen A= 0,5 x AB x AC x sen A
SS11 = S= S22 = 0,5 S= 0,5 Stt
BC = √ ( ABBC = √ ( AB22 + AC+ AC22 –– 2 x AB x AC x cos A )2 x AB x AC x cos A )
BB
BC = √ ( ABBC = √ ( AB + AC+ AC –– 2 x AB x AC x cos A )2 x AB x AC x cos A )
C = sen C = sen --11 ( AB x sen A/BC )( AB x sen A/BC )
e sapendo che e sapendo che
SS11 = 0,5 x AC x = 0,5 x AC x CMCM x sen Cx sen C
si ottienesi ottiene
CMCM = 2 x S= 2 x S11 / ( AC x sen C )/ ( AC x sen C )
AA
SS11
SS22
CC
MMA
CASO 2CASO 2°° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
SS
BB
MM
SSSS11 SS22
MNMNM in posizione nota sul perimetro (distanza AM)M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
SS11 prossima al lato ACprossima al lato AC
IlIl verticevertice NN delladella dividentedividente puòpuò caderecadere suisui latilati
ACAC oo BCBC ee lala suasua posizioneposizione dipendedipende dalledalle
dimensionidimensioni delledelle areearee parzialiparziali.. PerPer risolvererisolvere ilil
problemaproblema sisi devedeve calcolarecalcolare un’un’areaarea didi paragoneparagone
dada confrontareconfrontare concon SS11 ee SS22.. L’areaL’area didi paragoneparagone èè
quellaquella deldel triangolotriangolo MACMAC cheche sisi ottieneottiene
AA
SS11
SS22
CC
A
congiungendocongiungendo MM concon ilil verticevertice CC
SSpp = 0,5 x AM x AC x sen A= 0,5 x AM x AC x sen A
Possono verificarsi tre distinte situazioni:Possono verificarsi tre distinte situazioni:
Se SSe S11 ‹‹ SSpp NN è su ACè su AC
Se SSe S11 ›› SSP P NN è su BCè su BC
Se SSe S11 = S= Spp NN coincide con Ccoincide con C
CASO 2CASO 2°° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
SSSS11 SS22
MNMNM in posizione nota sul perimetro (distanza AM)M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
SS11 prossima al lato ACprossima al lato AC
SS
BB
MM
Nel caso in cui Nel caso in cui SS11 ‹ S‹ Spp
il problema di determinare la posizione di il problema di determinare la posizione di N N
su ACsu AC si può risolvere come nel primo caso. si può risolvere come nel primo caso.
Infatti sappiamo che Infatti sappiamo che
SS11 = 0,5 x AM x = 0,5 x AM x ANAN x sen Ax sen A
con la formula inversa si ottienecon la formula inversa si ottiene
SS11
SS22
AA
CC
MM
A
NN
N ’N ’
ANAN = 2 x S= 2 x S11 / ( AM x sen A )/ ( AM x sen A )
Nel caso invece che Nel caso invece che SS11 › S› SPP
N è su BCN è su BC
in questo caso è conveniente lavorare nel in questo caso è conveniente lavorare nel
triangolo MBN di area Striangolo MBN di area S22 e dopo aver e dopo aver
calcolato gli elementi necessari, determinare calcolato gli elementi necessari, determinare
la distanza BNla distanza BN
CASO 3CASO 3°° Dividente MN parallela ad uno dei lati Dividente MN parallela ad uno dei lati
BB
SSSS11 SS22
MNMNparallela al lato ACparallela al lato AC
SS11 prossima al vertice Bprossima al vertice B
ÈÈ sicuramentesicuramente ilil casocaso piùpiù semplicesemplice perchèperchè sisi
puòpuò risolvererisolvere considerandoconsiderando cheche ii duedue triangolitriangoli
ABCABC didi areaarea totaletotale SStt ee BMNBMN didi areaarea parzialeparziale
SS11 sonosono tratra loroloro similisimili.. SappiamoSappiamo infattiinfatti cheche
lele areearee didi figurefigure similisimili sonosono proporzionaliproporzionali aiai
SS11
SS22
AA
CC
MM
NN
quadratiquadrati deidei latilati omologhiomologhi ee quindiquindi
SStt : S: S11 = BA = BA 22 : : BMBM 22
BMBM = BA x √ (S= BA x √ (S11 / S/ Stt ))
SStt : S: S11 = BC = BC 22 : : BNBN 22
BNBN = BC x √ (S= BC x √ (S11 / S/ Stt ))
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
BB
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ACperpendicolare al lato ACSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
InIn questoquesto casocaso tornatorna didi nuovonuovo ilil confontoconfonto concon
un’areaun’area didi paragoneparagone.. InfattiInfatti lala posizioneposizione didi MNMN puòpuò
essereessere allaalla sinistrasinistra oo allaalla destradestra deldel verticevertice BB ee lala
suasua posizioneposizione dipendedipende dalledalle dimensionidimensioni dell’areadell’area
parzialeparziale SS11 ee dalladalla formaforma deldel terrenoterreno.. L’areaL’area didi
paragoneparagone piùpiù convenienteconveniente èè quellaquella cheche sisi ottieneottiene
tracciandotracciando dada BB l’altezzal’altezza deldel triangolotriangolo BB’BB’ parallelaparallela
SS11 SS22
AA
BB
CCMM
NN
B ‘B ‘ M ‘M ‘
N ’N ’
tracciandotracciando dada BB l’altezzal’altezza deldel triangolotriangolo BB’BB’ parallelaparallela
allaalla dividentedividente MNMN.. IlIl confrontoconfronto puòpuò quindiquindi
effettuarsieffettuarsi dopodopo averaver calcolatocalcolato l’areal’area deldel triangolotriangolo
rettangolorettangolo ABB’ABB’..
se: Sse: S11 < S< SPP MN è alla sinistra di BB’MN è alla sinistra di BB’
SS11 > S> SPP MN e alla destra di BB’MN e alla destra di BB’
SS11 = S= SPP MN coincide con BB’MN coincide con BB’
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ACperpendicolare al lato ACSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
BB
NelNel casocaso sianosiano notinoti ii duedue latilati ABAB ee ACAC ee
l’angolol’angolo nelnel verticevertice AA ilil problemaproblema puòpuò
risolversirisolversi comecome seguesegue
SSTT = 0,5 x AB x AC x sen A = 0,5 x AB x AC x sen A
SSPP = 0.,5 x AB’ x BB’= 0.,5 x AB’ x BB’
LeLe duedue incogniteincognite AB’AB’ ee BB’BB’ possonopossono essereessere
SS11
AA
MM
NN B ‘B ‘
A
LeLe duedue incogniteincognite AB’AB’ ee BB’BB’ possonopossono essereessere
calcolatecalcolate applicandoapplicando lele funzionifunzioni senoseno ee cosenocoseno
alal triangolotriangolo rettangolorettangolo ABB’ABB’
BB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos ABB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos A
Nota l’area SNota l’area SPP ipotizziamo per il momento che ipotizziamo per il momento che
l’area Sl’area S11 sia inferiore e che MN si trovi alla sia inferiore e che MN si trovi alla
sinistra del vertice Bsinistra del vertice B
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ACperpendicolare al lato ACSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
BB
Il problema può risolversi in due modi con la:Il problema può risolversi in due modi con la:
similitudine tra due triangoli rettangolisimilitudine tra due triangoli rettangoli
funzione tangente in AMN di area Sfunzione tangente in AMN di area S11
SS11
AA
MM
NN B ‘B ‘
A
con la con la similitudinesimilitudine
SS11 : S: SPP = = AMAM 22 : AB : AB 22
AMAM = AB x √ (S= AB x √ (S11 / S/ SPP ))
SS11 : S: SPP = = ANAN 22 : AB’ : AB’ 22
ANAN = AB’ x √ (S1 / SP )= AB’ x √ (S1 / SP )
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ACperpendicolare al lato ACSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
BB
con la con la funzione tangente funzione tangente
Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo
AMN è data da AMN è data da
SS11 = 0,5 x = 0,5 x ANAN x MN x MN
Poichè AN e MN sono incognite è necessario Poichè AN e MN sono incognite è necessario
che una delle due sia sostituita, ad esempio che una delle due sia sostituita, ad esempio
l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la
SS11
AA
MM
NN B ‘B ‘
A
l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la
tangente di A si ottiene tangente di A si ottiene
tang A = MN /AN tang A = MN /AN -------- >> MN = AN x tang A MN = AN x tang A
sostituendo in Ssostituendo in S11
SS11 = 0,5 x = 0,5 x ANAN 22 x tang A x tang A
ANAN = √ (2 x S= √ (2 x S11 / tang A) / tang A)
con la funzione coseno e possibile calcolare con la funzione coseno e possibile calcolare
AMAM = AN / cos A = AN / cos A
CASO 5CASO 5°° Dividente MN che forma un angolo dato con uno dei latiDividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNche forma con AC un angolo dato (noto AMN)che forma con AC un angolo dato (noto AMN)
SS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
BB
NN
InIn questoquesto casocaso l’areal’area didi paragoneparagone sisi ottieneottiene tracciandotracciando
lala dividentedividente provvisoriaprovvisoria BB’BB’ parallelaparallela allaalla dividentedividente MNMN..
L’areaL’area didi paragoneparagone inin questoquesto casocaso èè quellaquella deldel triangolotriangolo
qualunquequalunque AB’BAB’B cheche puòpuò essereessere risoltorisolto applicandoapplicando ilil tt.. deidei
seniseni ee didi CarnotCarnot.. L’areaL’area didi paragoneparagone sisi ottieneottiene dalladalla::
Sp = 0,5 x AB x AB’ x sen ASp = 0,5 x AB x AB’ x sen A
IpotizzandoIpotizzando cheche SS risultirisulti minoreminore didi SpSp (MN(MN allaalla sinistrasinistra
SS11
SS22
AA
CC
MM
NN
B’B’
IpotizzandoIpotizzando cheche SS11 risultirisulti minoreminore didi SpSp (MN(MN allaalla sinistrasinistra
didi BB’BB’ ilil problemaproblema puòpuò essereessere risoltorisolto imponendoimponendo lala
similitudinesimilitudine tratra ii duedue triangolitriangoli AMNAMN (di(di areaarea SS11 ee AB’BAB’B
(di(di areaarea Sp)Sp)::
SS11 : S: SPP = = AMAM 22 : AB’ : AB’ 22
AMAM = AB’ x √ (S= AB’ x √ (S11 / S/ SPP ))
SS11 : S: SPP = = ANAN 22 : AB : AB 22
ANAN = AB x √ (S= AB x √ (S11 / S/ SPP ))
DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIO
CASO 1CASO 1°° Dividente uscente da uno dei verticiDividente uscente da uno dei vertici
SSSS11 SS22
AMAMuscente dal vertice Auscente dal vertice ASS11 prossima al lato ABprossima al lato AB
LaLa posizioneposizione dell’estremodell’estremo MM delladella dividentedividente (se(se sulsul latolato BCBC oo
sulsul latolato CD),CD), dipendedipende dalladalla formaforma dell’appezzamentodell’appezzamento ee dalladalla
dimensionedimensione delledelle areearee parzialiparziali.. PerPer risolvererisolvere ilil problemaproblema èè
utileutile determinaredeterminare l’areal’area didi paragoneparagone deldel triangolotriangolo ABCABC..
IpotizzandoIpotizzando notinoti tuttitutti gligli elementielementi deldel quadrilateroquadrilatero possiamopossiamo
scriverescrivere:: SpSp == 00..55 xx ABAB xx BCBC xx sensen BB.. ÈÈ possibilepossibile quindiquindi
confrontareconfrontare l’areal’area SS11 concon l’areal’area didi paragoneparagone SpSp.. SeSe risultarisultaD
confrontareconfrontare l’areal’area SS11 concon l’areal’area didi paragoneparagone SpSp.. SeSe risultarisulta
SS11 << Sp,Sp, l’estremol’estremo MM delladella dividentedividente èè sulsul latolato BCBC ee lala suasua
posizioneposizione sisi determinadetermina::
SS11 == 00..55 xx ABAB xx BMBM xx sensen BB →→ BMBM == 22 xx SS11/(AB/(AB xx sensen B)B)
NelNel casocaso inin cuicui risultirisulti SS11 >> Sp,Sp, l’estremol’estremo MM delladella dividentedividente èè
susu CDCD.. InIn questoquesto caso,caso, perper risolvererisolvere ilil problema,problema, èè megliomeglio
utilizzareutilizzare l’areal’area triangolaretriangolare didi areaarea SS22,, scrivendoscrivendo::
SS22 == 00..55 xx ADAD xx DM’DM’ xx sensen DD →→ DM’DM’ == 22 xx SS22/(AD/(AD xx sensen D)D)
A
B
C
S1
M
M’S2
CASO 2CASO 2°° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
SSSS11 SS22
MNMNM in posizione nota sul perimetro (distanza AM)M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
SS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
D
InIn questoquesto secondosecondo caso,caso, perper determinaredeterminare lala posizioneposizione didi NN èè
necessarionecessario calcolarecalcolare duedue areearee didi paragoneparagone.. LaLa primaprima èè quellaquella
deldel triangolotriangolo MAB,MAB, lala secondaseconda quellaquella deldel quadrilateroquadrilatero MABCMABC..
IpotizzandoIpotizzando notinoti tuttitutti gligli elementi,elementi, l’areal’area deldel quadrilateroquadrilatero
MABCMABC puòpuò essereessere calcolata,calcolata, dividendolodividendolo inin duedue triangolitriangoli
oppureoppure concon lala formulaformula didi camminamentocamminamento.. NoteNote lele duedue areearee didi
paragoneparagone èè possibilepossibile ilil confrontoconfronto concon l’areal’area parzialeparziale SS11.. SeSe
A
B
C
M
S1
S2
NN
N’N’
N’’N’’
paragoneparagone èè possibilepossibile ilil confrontoconfronto concon l’areal’area parzialeparziale SS11.. SeSe
risultarisulta SS11 << SSMAMMAM alloraallora NN èè susu ABAB dada cuicui::
SS11 = 0.5 x MA x = 0.5 x MA x ANAN x sen A x sen A → → ANAN = = 2 x S2 x S11/(MA x sen A)/(MA x sen A)
SeSe inveceinvece SS11 >> SMABCSMABC alloraallora NN èè susu CDCD.. InIn questoquesto casocaso èè
megliomeglio lavorarelavorare concon SS22 imponendoimponendo::
SS22 = 0.5 x MD x = 0.5 x MD x DNDN’’’’ x sen D x sen D →→ DNDN’’’’ = 2 x S= 2 x S22/(MD x sen D)/(MD x sen D)
in cui ovviamente risulta MD = AD in cui ovviamente risulta MD = AD -- AMAM
CASO 2CASO 2°° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
SSSS11 SS22
MNMNM in posizione nota sul perimetro (distanza AM)M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
SS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
Nel caso in cui risulti invece:Nel caso in cui risulti invece:
SSMABMAB < S< S11 < S< SMABCMABC
allora N è sul lato BCallora N è sul lato BC
inin questaquesta terzaterza ipotesiipotesi ilil problemaproblema puòpuò risolversirisolversi inin duedue manieremaniere:: -- lala
primaprima consisteconsiste nelnel risolvererisolvere ilil quarilateroquarilatero MABNMABN didi areaarea SS11 dividendolodividendolo inin
duedue triangolitriangoli ee determinandodeterminando lala distanzadistanza didi NN rispettorispetto alal verticevertice BB;; -- lala
Dduedue triangolitriangoli ee determinandodeterminando lala distanzadistanza didi NN rispettorispetto alal verticevertice BB;; -- lala
secondaseconda consisteconsiste nell’applicarenell’applicare lala formulaformula didi camminamentocamminamento concon incognitaincognita
ilil latolato BNBN::
SS11 = 0.5 x = 0.5 x [MA x AB x sen A + AB x [MA x AB x sen A + AB x BNBN x sen B x sen B –– MA x MA x BNBN x sen (A + B)]x sen (A + B)]
BNBN = (2 x S= (2 x S11 –– MA x AB x sen A)/[(AB x sen B MA x AB x sen A)/[(AB x sen B –– MA x sen (A+B)]MA x sen (A+B)] A
B
C
M
NNS1
S2
CASO 3CASO 3°° Dividente MN parallela ad uno dei lati Dividente MN parallela ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNparallela al lato ADparallela al lato AD
SS11 prossima al lato ADprossima al lato AD
NotiNoti tuttitutti gligli elementielementi deldel quadrilateroquadrilatero ee lala suasua areaarea
èè necessarionecessario preliminarmentepreliminarmente determinaredeterminare lala
posizioneposizione delladella dividentedividente MNMN (se(se NN sisi muovemuove susu DC,DC, MM
puòpuò trovarsitrovarsi sulsul latolato ABAB oo sulsul latolato BC)BC) .. PerPer farfar
questoquesto èè necessarionecessario confrontareconfrontare l’areal’area SS11 concon l’areal’area
didi paragoneparagone corrispondentecorrispondente alal trapeziotrapezio ABB’D,ABB’D, cheche sisi
ottieneottiene tracciandotracciando lala dividentedividente provvisoriaprovvisoria BB’BB’ aventeavente
lele stessestesse caratteristichecaratteristiche didi quellaquella definitivadefinitiva MNMNlele stessestesse caratteristichecaratteristiche didi quellaquella definitivadefinitiva MNMN
(parallela(parallela alal latolato AD)AD).. L’areaL’area deldel trapeziotrapezio puòpuò essereessere
calcolatacalcolata direttamente,direttamente, oppureoppure perper differenzadifferenza tratra
l’areal’area deldel quadrilateroquadrilatero ee quellaquella deldel triangolotriangolo BB’CBB’C.. SeSe
risultarisulta SS11 << SSABB’DABB’D alloraallora MM èè susu ABAB ee perper determinaredeterminare
lala posizioneposizione delladella dividentedividente possonopossono essereessere utilizzatiutilizzati ii
metodimetodi::
�� Del trapezioDel trapezio
�� Dei triangoli similiDei triangoli simili A
B
C
DS1
B’
NM
CASO 3CASO 3°° Dividente MN parallela ad uno dei lati Dividente MN parallela ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNparallela al lato ADparallela al lato AD
SS11 prossima al lato ADprossima al lato AD
METODO DEL TRAPEZIOMETODO DEL TRAPEZIO
SS11 = S= SAMNDAMND = 0.5 x (AD + MN) x h= 0.5 x (AD + MN) x h
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. Ma:Ma:
MN = AD MN = AD –– (AM’ + N’D)(AM’ + N’D)
tan tan ÂÂ = h/AM’ = h/AM’ ------> AM’ = h/tan > AM’ = h/tan ÂÂ
tan = h/N’D tan = h/N’D ------> N’D = h/tan > N’D = h/tan
sostituendo:sostituendo:
MN = AD MN = AD –– h x (1/tang h x (1/tang ÂÂ + 1/tang + 1/tang ))
D D
MN = AD MN = AD –– h x (1/tang h x (1/tang ÂÂ + 1/tang + 1/tang ))
e sostituendo in Se sostituendo in S11 otteniamo:otteniamo:
SS11 = 0.5 x = 0.5 x [AD + AD [AD + AD –– h x (1/tan  + 1/tan )] x hh x (1/tan  + 1/tan )] x h
ordinando otteniamo una equazione di 2ordinando otteniamo una equazione di 2°° grado avente grado avente come incognita l’altezza h del trapezio:come incognita l’altezza h del trapezio:
hh22 x (1/tan  +1/tan ) x (1/tan  +1/tan ) –– 2 x AD x h + 2 x S2 x AD x h + 2 x S11 = 0= 0
DelleDelle duedue soluzionisoluzioni dell’equazionedell’equazione sisi scegliesceglie quellaquella positivapositiva;;sese lolo sonosono entrambeentrambe lala soluzionesoluzione èè quellaquella cheche piùpiù sisi avvicinaavvicinaalal rapportorapporto SS11/AD/AD.. NotaNota h,h, neinei duedue triangolitriangoli rettangolirettangoliMAM’MAM’ ee NDN’,NDN’, concon lala funzionefunzione senoseno èè possibilepossibile calcolarecalcolare leleduedue incogniteincognite deldel problema,problema, AMAM ee DNDN
D
D
D
A
B
C
DS1
B’
NM
hh hhDÂ
M’ N’
CASO 3CASO 3°° Dividente MN parallela ad uno dei lati Dividente MN parallela ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNparallela al lato ADparallela al lato AD
SS11 prossima al lato ADprossima al lato AD
TRIANGOLI SIMILITRIANGOLI SIMILI
ProlungandoProlungando ii latilati ABAB ee CDCD sisi traformatraforma ilil quadrilateroquadrilatero nelnel
triangolotriangolo ADEADE.. PerPer risolvererisolvere ilil problemaproblema èè necessarionecessario
calcolarecalcolare tuttitutti gligli elementielementi deldel triangolotriangolo BCEBCE::
AngoloAngolo BB11 == 200200cc –– BB
AngoloAngolo CC11 == 200200cc –– CC
AngoloAngolo EE == 200200cc –– (B(B11 ++ CC11)) EAngoloAngolo EE == 200200 –– (B(B11 ++ CC11))
NotoNoto ilil latolato BCBC èè possibilepossibile calcolarecalcolare concon ilil tt.. deidei seniseni ii latilati
BEBE ee ECEC.. NotiNoti latilati ee angoliangoli èè possibilepossibile ilil calcolocalcolo dell’areadell’area σσ
deldel triangolotriangolo.. PerPer determinaredeterminare lala posizioneposizione didi MM ee NN puòpuò
essereessere impostataimpostata lala similitudinesimilitudine tratra ii duedue triangolitriangoli EBB’EBB’ (di(di
areaarea σσ ++ areaarea didi paragoneparagone CBB’)CBB’) ee EMNEMN (di(di areaarea σσ ++ SS22))
SSEBB’EBB’ :: SSEMNEMN == EBEB22 :: EMEM22
SSEBB’EBB’ :: SSEMNEMN == EB’EB’22 :: ENEN22
CalcolatiCalcolati EMEM ee EN,EN, perper differenzadifferenza concon ii latilati EBEB ee ECEC sisi
ottengonoottengono lele duedue incogniteincognite BMBM ee CNCN A
B
C
DS1
B’
NMS2
E
σσ
CASO 3CASO 3°° Dividente MN parallela ad uno dei lati Dividente MN parallela ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNparallela al lato ADparallela al lato AD
SS11 prossima al lato ADprossima al lato ADSeSe risultarisulta SS11 >> SSABB’DABB’D alloraallora MM èè susu BCBC ee perper determinaredeterminare
lala posizioneposizione delladella dividentedividente MNMN ee possibilepossibile utilizzareutilizzare lala
similitudinesimilitudine tratra ii duedue triangolitriangoli CMNCMN (S(S22)) ee CBB’CBB’ (area(area didi
paragone)paragone) impostandoimpostando lele proporzioniproporzioni::
CSS22 : S: SCBB’CBB’ = CM= CM22 : CB: CB22
SS22 : S: SCBB’CBB’ = CN= CN22 : CB’: CB’22
Con le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CNCon le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CN
A
B
C
DS1
B’
NMS2
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ABperpendicolare al lato ABSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
AncheAnche questoquesto casocaso puòpuò risolversirisolversi concon lele areearee didi paragoneparagone
dada confrontareconfrontare concon lele areearee parzialiparziali inin cuicui devedeve essereessere
divisodiviso l’appezzamentol’appezzamento.. PerPer determinaredeterminare lele areearee didi
paragoneparagone devonodevono essereessere tracciatetracciate daidai verticivertici DD ee CC duedue
dividentidividenti provvisorieprovvisorie perpendicolariperpendicolari alal latolato BC,BC, aventiaventi
cioècioè lele stessestesse caratteristichecaratteristiche didi quellaquella definitivadefinitiva MNMN.. SiSi
ricordiricordi ovviamenteovviamente cheche lala posizioneposizione didi MNMN dipendedipende dalladalla
AA BB
CC
SS11
DD
D’D’ C’C’
SS22
MM
NN
M’M’
N’N’
ricordiricordi ovviamenteovviamente cheche lala posizioneposizione didi MNMN dipendedipende dalladalla
formaforma dell’appezzamentodell’appezzamento ee dalladalla dimensionedimensione delledelle duedue
areearee parzialiparziali.. LaLa primaprima areaarea didi paragoneparagone èè quellaquella deldel
triangolotriangolo rettangolorettangolo ADD’,ADD’, lala secondaseconda quellaquella deldel poligonopoligono
ADCC’AADCC’A (composto(composto daldal triangolotriangolo rettangolorettangolo ADD’ADD’ ee daldal
trapeziotrapezio rettangolorettangolo D’DCC’)D’DCC’).. CalcolateCalcolate lele areearee didi
paragoneparagone sisi procedeprocede nelnel confrontoconfronto concon l’areal’area SS11
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ABperpendicolare al lato ABSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
NelNel casocaso inin cuicui SS11 << SSADD’ADD’ lala dividentedividente MNMN èè allaalla sinistrasinistra didi DD’DD’.. IlIl
problemaproblema puòpuò essereessere risoltorisolto inin duedue modimodi:: -- perper similitudinesimilitudine tratra ii
duedue triangolitriangoli AMNAMN (di(di areaarea SS11)) ee SSADD’ADD’;; -- applicandoapplicando lala funzionefunzione
tangentetangente dell’angolodell’angolo inin AA nelnel triangolotriangolo AMNAMN ((vedivedi casocaso 44°° delladella
divisionedivisione deidei terreniterreni triangolaritriangolari)).. InIn manieramaniera deldel tuttotutto analogaanaloga sisi
procedeprocede nelnel casocaso inin cuicui SS11 >> SSADCC’AADCC’A.. InIn questoquesto casocaso lala dividentedividente
AA BB
CC
SS11
DD
D’D’ C’C’
SS22
MM
NN
M’M’
N’N’
MNMN èè allaalla destradestra didi CC’CC’ ee convieneconviene lavorarelavorare concon ii triangoltriangol BCC’BCC’ ee
BM’’N’’BM’’N’’ (di(di areaarea SS22),), applicandoapplicando ii duedue procedimentiprocedimenti precedentiprecedenti.. PiùPiù
complessacomplessa risultarisulta lala risoluzionerisoluzione nelnel casocaso inin cuicui::
SSADD’ADD’ < S< S11 < S< SADCC’AADCC’A
InIn questoquesto terzoterzo casocaso lala dividentedividente MNMN èè postaposta tratra lele duedue dividentidividenti
provvisorieprovvisorie DD’DD’ ee CC’CC’ ee perper determinaredeterminare lala suasua posizioneposizione ilil
quadrilateroquadrilatero puòpuò essereessere trasformatotrasformato inin unun triangolotriangolo
N’’N’’
M’’M’’
CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
SSSS11 SS22
MNMNperpendicolare al lato ABperpendicolare al lato ABSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A
LaLa traformazionetraformazione inin triangolotriangolo puòpuò effettuarsieffettuarsi prolungandoprolungando ii latilati
convergenticonvergenti CDCD ee ABAB inin EE.. RisoltoRisolto ilil triangolotriangolo EADEAD ee calcolatacalcolata lala suasua areaarea σσ
èè possibilepossibile imporreimporre lala similitudinesimilitudine tratra ilil triangolotriangolo EDD’EDD’ (di(di areaarea σσ ++ SSADD’ADD’)) ee
ilil triangolotriangolo ENMENM (di(di areaarea σσ ++ SS11))::
((σσ + S+ SADD’ADD’) : () : (σσ + S+ S11) = ED) = ED22 : : ENEN22
((σσ + S+ SADD’ADD’) : () : (σσ + S+ S11) = ED’) = ED’22 : : EMEM22
CalcolateCalcolate ENEN ee EMEM,, dalledalle duedue proporzioniproporzioni precedenti,precedenti, perper differenzadifferenza didiCalcolateCalcolate ENEN ee EMEM,, dalledalle duedue proporzioniproporzioni precedenti,precedenti, perper differenzadifferenza didi
ottengonoottengono lele duedue distanzedistanze DNDN ee AMAM daidai verticivertici dell’appezzamentodell’appezzamento.. IlIl
problemaproblema puòpuò ancheanche essereessere risoltorisolto applicandoapplicando lala funzionefunzione tangentetangente
dell’angolodell’angolo inin EE,, nelnel triangolotriangolo rettangolorettangolo ENMENM (di(di areaarea σσ ++ SS11),), calcolandocalcolando ilil
catetocateto EMEM ee l’ipotenusal’ipotenusa ENEN.. SempreSempre perper differenzadifferenza sisi ottengonoottengono lele duedue
distanzedistanze daidai verticivertici dell’appezzamentodell’appezzamento..
AA BB
CC
SS11
DD
D’D’ C’C’
SS22
MM
NN
EE
σσ