divisiÓn acadÉmica deducaciÓn y artes la enseñanza de … · la enseñanza de las matemáticas...
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La enseñanza de las matemáticas un reto para el profesor de educación básica en el tercer grado de la escuela primaria “Guadalupe Martínez de Córdova”
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Villahermosa, tabasco. Diciembre de 2005.
INDICE
INTRODUCCIÓN
CAPITULO 1
Antecedentes de las matemáticas
1.1 0rigenes de las matemáticas
1.2 Evolución de las matemáticas
CAPITULO II
Alrededor de las matemáticas
2.1 Matemáticas en la educación
2.2 Para que enseñar en matemática en la escuela primaria
2.3. ¿Qué enseñar en matemática?
2.3.1 Criterios para seleccionar, ordenar y jerarquizar los
contenidos de un modelo instruccional.
2.3.2 Criterios para secuenciar, integrar y organizar los
contenidos
2.3.3 Jerarquía de aprendizaje y análisis de tarea
2.4 El concepto de número y su representación
2.4.1 La representación del concepto de número: El numeral
CAPITULO III
Análisis del programa de estudio matemáticas a nivel primaria
de tercer grado.
3.1 Enfoque
3.2 Propósitos
3.3 Descripción de los componentes
3.4 Descripción de los contenidos
1
2
4
14
15
24
26
29
30
33
44
46
47
48
54
CAPITULO IV
Investigación de campo.
4.1 Delimitacion del objeto de estudio.
4.2 Diseño de los instrumentos para la obtención de información
4.3 Formula y Metodología de aplicación de instrumentos
4.4 Presentación de análisis de resultados
4.5 Analisis general de la encuesta aplicada a los maestros de los
Teceros grados
Conclusiónes
Bibliografía
Anexo
61
62
62
65
77
82
84
87
1
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo ha sido elaborado colectivamente bajo la modalidad de
tesis, por dos estudiantes de la Licenciatura en Ciencias de la Educación,
Representa un esfuerzo de equipo en el cual el objetivo es analizar las estrategias
para el aprendizaje de las matemáticas a través de las observaciones directas en
el aula de clases de acuerdo al plan de estudios y así como también el como se
desarrolla el profesor el en aula. El estudio de las matemáticas ayuda al buen
desarrollo del razonamiento lógico en el niño a partir de sus primeros años de
vida; según el Plan y Programa de estudio vigente esta asignatura ocupa el
segundo lugar en la tabla de distribución de tiempo de trabajo en el tercer grado
de educación básica, con un total de seis horas semanales, haciendo un total de
240 horas anuales.
Nuestro interés se centro en analizar la forma en que se enseñan las
matemáticas, en el tercer grado de la escuela primaria, conocer que problemas
se presentan en la enseñanza de esta materia, así como conocer sus causas.
Esta investigación fue llevada a cabo en la escuela primaria Guadalupe Martínez
de Córdova en el 3° grado ubicada en la calle: paseo de la Ceiba S/N en la col.
Atasta
Consideramos y estamos consientes de que para el niño de tercer grado,
es importante la enseñanza de las matemáticas, por lo tanto es necesaria la
participación en este proceso, no solo de los maestros sino también de los padres
de familia, para así obtener mejores resultados.
Actualmente se han hecho muchas investigaciones en relación a este tema
en diferentes niveles escolares. Sin embargo han quedado temas por abordar a
cerca de la problemática en el estudio de esta materia, esta es la razón por la cual
nos hemos inclinado por abordar este tema; tomando como referencia las
aportaciones que hacen autores como J. Piaget, T. Nunes C. y Santiago Valiente,
entre otros, con la finalidad de tener un sustento teórico en nuestra
investigación.
2
CAPITULO 1
Antecedentes De Las Matemáticas
1.1 0rigenes De Las Matemáticas
Comenzar con una definición de lo que son las matemáticas, seria lo más
correcto, sin embargo esto resulta algo difícil, pues no existe una definición exacta
de estas, y basamos en su etimología, no seria de mucha ayuda, pues según.
esta, la matemática es "la ciencia por excelencia".
Tal vez podría tomarse, la definición dada por uno de los grandes sabios
.griegos, Aristóteles- Según él, "la matemática es la ciencia de la cantidad, o el
estudio abstracto del aspecto cuantitativo de las cosas materiales, esta definición
ha dejado de ser valida en nuestros tiempos. La mas aceptada en la actualidad es
la que dice que "Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades,
magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir
cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas".FP
1
La razón por la que es difícil dar una definición de lo que es la matemática,
se debe a que esta ciencia ha cambiado y evolucionado a lo largo de la historia,
se le han agregado nuevas ramas se le han quitado algunas, en fin que todo esto
es lo que hace difícil precisar una definición exacta de lo que es.
Ya que se ha mencionado lo de sus cambios a través de la historia, seria
bueno conocer un poco más, como y donde es que surge, de quien o quienes fue
la idea, y quiénes han sido sus grandes aportadores.
Aquí existe otra dificultad, pues no se sabe ciencia cierta., quienes son los
verdaderos creadores por así decirlo, de las matemáticas, en los libros de historia
se menciona que fueron los griegos, los grandes iniciadores de esta ciencia, y
ciertamente ellos fueron los grandes maestros que la dieron a conocer a las
demás culturas, sin embargo se tiene conocimiento que el principio de la
P
1PMatematicas Enciclopedia ® Microsoft Encarta 2004
3
matemática, tuvo su origen en la culturas Egipcia, Babilónica he Hindú, quienes
ya hacían uso de algunos conocimientos matemáticos, pero sin llegar a
desarrollarlos, es hasta después, que algunos sabios griegos, en sus viajes por
Fenicia y Babilonia, toman los conocimientos y comienzan a desarrollarlos para
transformarlos en lo que seria las ciencias matemáticas. Como se sabe, los
griegos han sido los grandes de la historia, a ellos se les debe el surgimiento de la
Filosofía y la mayoría de las Ciencias, y las matemáticas no son la excepción.
Anteriormente los primeros viajes de los sabios griegos a Fenicia y
Babilonia, encontraron que en esas culturas hacían uso de algunos conocimientos
matemáticos prácticos, los cuales, aprendieron y los llevaron a Grecia, donde
otros sabios, comenzaron a estudiarlos y desarrollarlos.
El primer gran personaje al que van ligados los primeros estudios
matemáticos, es Tales de Mileto, mas tarde aparecería otro grande como fue
Pitágoras de Samos, estos dos fueron los responsables de que la Matemática se
convirtiera en ciencia. Tiempo después la matemática seria considerada una base
fundamental en la formación de todo sabio, esto gracias a otro grande, Aristóteles
de Estagira; quien en sus jardines enseñaba la geometría, otro griego importante
fue Platón, al que se le debe el surgimiento de lo que hoy conocemos como
"Academia” la cual fue fundada en las afueras de Atenas y que debe su nombre
al héroe mitológico Academo. Muy pronto las Matemáticas alcanzaron un gran
nivel. Cuando se habla de que las matemáticas en un principio eran prácticas, se
refiere a que carecían de un sentido teórico, solo era empírica y se basaba en
observaciones.
Después de los descubrimientos y aportaciones realizados por los griegos,
y que se mantuvieron dentro de su cultura, viene una especie de receso en las
matemáticas, y es hasta la edad media que se comienza a difundir dichos
conocimientos y hacen su aparición los romanos, con su sistema de numeración;
es en este momento cuando comienza la utilización del Ábaco.
4
Así como el surgimiento de la aritmética y la Geometría mas tarde, en el
Renacimiento, por fin se logra una superación en las matemáticas enseñadas por
los griegos, esto gracias, a las valiosas aportaciones que hicieran grandes
científicos, como Descartes y Fermant, quienes introdujeron la Geometría
Analítica, o Newton y Leibniz, a quienes se les debe la aparición del calculo,
Infinitesimal.
Es hasta el siglo XVIII cuando la matemática comienza su aplicación al
servicio de otras ciencias, debido a que destacados matemáticos comenzaron a
emplear sus conocimientos dentro de otros campos científicos. Ya para el siglo
XIX viene un mayor impulso para las matemáticas, se analiza toda la ciencia
matemática, y se agregan nuevas teorías sobre la Geometría y el Análisis.
1.2 Evolución De Las Matemáticas
La matemática es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos
ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para
la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotamios.
Se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente
humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos. Fue
utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el
Medieval. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del
universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del
pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos
contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un
campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.FP
2
Por otra parte la matemática misma es una ciencia intensamente dinámica
y cambiante. De manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y
aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello
sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de
abordaje sencillo.
P
2P Pardo de Sande Irma, Didáctica de las Matemáticas para la Escuela Primaria.
5
El otro miembro del binomio educación-matemática, no es tampoco nada
simple. La educación ha de hacer necesariamente referencia a lo más profundo
de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en evolución en la
que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se
desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento
se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación
se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas.
En la educación matemática a nivel internacional apenas se habrían
producido cambios de consideración desde principios de siglo hasta los años 60.
A comienzos de siglo había tenido lugar un movimiento de renovación en
educación matemática, gracias al interés inicialmente despertado por la
prestigiosa figura del gran matemático alemán Félix Klein, con sus proyectos de
renovación de la enseñanza media y con sus famosas lecciones sobre
Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908). En nuestro país
ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de Rey Pastor, quien
publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al castellano. En los años 60
surgió un fuerte movimiento de innovación. Se puede afirmar con razón que el
empuje de renovación de aquel movimiento, a pesar de todos los desperfectos
que ha traído consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido, con
todo, la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta constante
sobre la evolución del sistema educativo en matemáticas a todos los niveles. Los
cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y contramareas a lo
largo de la etapa intermedia. Hoy día, podemos afirmar con toda justificación que
seguimos estando en una etapa de profundos cambios.
Situación actual de cambio en la didáctica de la matemática
Los últimos treinta años han sido escenario de cambios muy profundos en
la enseñanza de las matemáticas. Por los esfuerzos que la comunidad
internacional de expertos en didáctica sigue realizando por encontrar moldes
adecuados está claro que vivimos aún actualmente una situación de
experimentación y cambio.
6
“El movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la "matemática
moderna" trajo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en su
talante profundo como en los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las
principales características del movimiento y los efectos por él producidos se
pueden contar los siguientes”: FP
3
-Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas,
especialmente en álgebra.
-Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión,
contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos.
- Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a
través de las nociones iniciales de la teoría de conjuntos y en el cultivo del
álgebra, donde el rigor es fácilmente alcanzable.
- La geometría elemental y la intuición espacial sufrió un gran detrimento.
La geometría es, en efecto, mucho más difícil de fundamentar rigurosamente.
- Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el
vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometría elemental tanto
abunda, y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautología y
reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el álgebra puede
ofrecer a este nivel elemental.
En los años 70 se empezó a percibir que muchos de los cambios
introducidos no habían resultado muy acertados. Con la sustitución de la
geometría por el álgebra la matemática elemental se vació rápidamente de
contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuición espacial
fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometría de
nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las
personas que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los
P
3P Balbuena Correa Hugo, La Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela.
7
inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada "matemática moderna"
superaron con mucho las cuestionables ventajas que se había pensado conseguir
como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las estructuras
matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática contemporánea.
Los años 70 y 80 han presentado una discusión, en muchos casos
vehementes y apasionados, sobre los valores y contravalores de las tendencias
presentes, y luego una búsqueda intensa de formas más adecuadas de afrontar
los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte de la comunidad
matemática internacional.
0BLos impactos de la nueva tecnología.
La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el
ordenador actuales está comenzando a influir fuertemente en los intentos por
orientar nuestra educación matemática primaria y secundaria adecuadamente, de
forma que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Es claro que, por
diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, in preparación de
profesores, hostilidad de algunos,... aún no se ha logrado encontrar moldes
plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes del momento
presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza y
sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. El acento
habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los procesos
matemáticos más bien que en la ejecución de ciertas rutinas que en nuestra
situación actual, ocupan todavía gran parte de la energía de nuestros alumnos,
con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo
verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para el diálogo
inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y
otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.
8
- Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en
cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas
1BSobre la utilización de la historia en la educación matemática.
El valor del conocimiento histórico no consiste en tener una batería de
historietas y anécdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de
hacer un alto en el camino.
La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer
comprender una idea difícil del modo más adecuado. Quien no tenga la más
mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha
recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada
del número complejo, se sentirá tal vez justificado para introducir en su
enseñanza los números complejos como “el conjunto de los pares de números
reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones." Quien sepa que
ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los números
complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas
con ellos, se preguntará muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de
introducir los complejos en la estructura cristalizada antinatural y difícil de tragar,
que sólo después de varios siglos de trabajo llegaron a tener.
Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la
inducción, el pensamiento algebraico, la geometría analítica, el cálculo
infinitesimal, la topología, la probabilidad, han surgido en circunstancias históricas
muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores
muy singulares, cuyos méritos, no ay por justicia, sino por ejemplaridad, es muy
útil resaltar. La historia debería ser un potente auxiliar para objetivos tales como:
- Hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas.
- En marcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas,
junto con su motivación, precedentes.
- Señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en
la que se encuentran actualmente.
9
importantes.
2BLa importancia de las matemáticas en la vida diaria.
Es evidente la importancia del conocimiento matemático en la vida diaria.
Las matemáticas permiten resolver problemas en diferentes ámbitos, tales como
el técnico, el científico, el artístico y la vida cotidiana, si bien todas las personas
construyen conocimientos fuera de la/escuela que les permitan enfrentar dichos
problemas, esos conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la vida
diaria.
"No existe alguna que ni necesite ayuda por parte de las matemáticas, no
obstante esta ayuda, como las propias matemáticas, hay gente que se le
imagina de modo distinto, no se da una relación entre la utilización de las
matemáticas y su punto de vista” FP
4
Las matemáticas son necesarias en nuestra existencia porque son el
producto de nosotros mismos, es decir, del que hacer humano, muchos
desarrollos importantes de esta disciplina han partido de la necesidad de resolver
problemas concretos propios de los grupos sociales, es por esto que las
matemáticas no se deben aislar de la vida diaria, no se debe considerar rutinaria
y sin importancia, ya que en ocasiones se considera que sumar, restar,
multiplicar y dividir, es lo único importante por aprender.
Los individuos al encontrar significado y funcionalidad' en las matemáticas,
comenzarán a valorarla y hacer de ella un instrumento que los ayude a
reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos contextos de
su interés.
Por lo tanto, el ser humano al apropiarse de todos los conocimientos
matemáticos estará dando un paso importante, ya que a través de ellos podrá
integrarse y desenvolverse satisfactoriamente en la sociedad a la cual pertenece.
P
4P Y. Jurgin ¿ Que son las matematicas?
10
"Cabe hacer mención que la habilidad del hombre para formular conceptos
matemáticos con la experiencia física en proposiciones abstractas, breves y
concisas de este tipo; han sido la base para el desarrollo de una civilización
fundada en la comprensión de su medio ambiente” No podemos aislarlos de las
matemáticas debido a que esta es necesaria a cada momento, los números están
presenten en cualquier actividad que realizamos, como por ejemplo: En la
construcción de una cosa, compras en el supermercado, medir un terreno, etc.,
pero no es que estén presentes en determinada situación, es básico recalcar que
las, matemáticas son la base de los nuevos programas de estudio de las
primarias, un alumno puede ser excelente en todas las demás áreas, ya sea
español, ciencias sociales, etc" pero si todavía no ha podido evolucionar en
pensamiento, el conocimiento matemático, no puede evolucionar en su
educación, debido a que no podrá utilizarla como instrumento para resolver
determinada cuestión o problema en la que se requieran por lo menos los
conocimientos mínimos de matemáticas (restar, multiplicar, dividir) y por lo tanto,
no podrá darle solución al conflicto y desenvolverse correctamente dentro de la
sociedad en que habita.
Desde esta perspectiva, las matemáticas son para las personas una
herramienta que ellos recrean y que evoluciona frente a la necesidad de resolver
problemas. "Las matemáticas al igual" que el arte, advierten los fenómenos de la
vida real, integran los acontecimientos de la vida real, procesos; y hechos
análogos y los generaliza"FP
5
Al hacer matemáticas, las personas aprenden a enfrentar numerosas
situaciones que les pueden presentar un problema, reto, generando sus propios
recursos, para resolverlos a partir de los conocimientos que ya, tienen.
En este sentido y como ya se ha expresado, los conocimientos
matemáticos son vitales en nuestra vida diaria, porque nos sirven como
herramientas que nos permiten resolver cualquier conflicto de una forma mas
económica, más rápida de que debido a su lenguaje con el que se expresan,
P
5P Ibidem Pág. 38
11
podemos comunicar a los demás con claridad y precisión los métodos que
utilizamos.
Dentro de la utilización de las matemáticas, nos damos cuenta que cada
uno de nosotros aprende primero las operaciones más elementales como la
adicción, sustracción y la multiplicación, puesto que tenemos la necesidad de
utilizarlas en nuestro contexto social de esta forma logramos ampliar nuestro
conocimiento sobre los números, es decir, a mayor empleo, mayor comprensión y
esto nos ayudará a enfrentar y darle solución a las dificultades y traerá consigo un
mejoramiento en nuestro nivel de vida, Por lo tanto, no podemos dejar de
mencionar que los métodos matemáticos pueden utilizarse con éxito en todas las
ciencias, siempre que su aplicación sea adecuada y correcta.
Por otra parte, es necesario recalcar que todas las personas se deben
familiarizar con la teoría matemática, esta nos facilitará poder escoger mejor
nuestros instrumentos, los que necesitamos o por lo menos, que tengamos noción
sobre la existencia de dichos instrumentos, así como también, donde es
conveniente emplearlo, ya que si no se tiene ni siquiera un conocimiento previo,
no se sabrá la dimensi6n de su influencia en su vida personal y más generalizada,
en la sociedad.
En otro sentido, existe un fenómeno que ha llamado nuestra atención es el
hecho de que siempre ha estado presente la relación existente entre el
conocimiento matemático y la demanda de la misma por parte de la sociedad,
aquí es donde se observa con claridad la necesidad de las matemáticas para los
individuos, desde siglos atrás fue necesaria su presencia, encontramos por
ejemplo: Para que las sociedades pudieran desarrollarse en el comercio y la
industria, hubo necesidad de utilizar las ecuaciones, las cuales comenzaban a
perfeccionarse, aquí se ve con claridad la falta que nos hace día con día el
conocimiento matemático, surgen nuevos retos, el hombre debe buscar nuevas
opciones para darles solución y una de ellas son las matemáticas.
12
"El análisis matemático ayudó a la física, a la mecánica, a la química y
otras asignaturas contiguas, a ellas a conquistar tantas victorias, esto abarca
todo, el movimiento de las maquinas y los mecanismos de los proyectiles y los
automóviles, de los aviones y los cohetes, la electricidad y la radio, en una
palabra, todo lo que nos rodea se debe a los éxitos del análisis matemático”FP
6
Por otra parte no solo debemos conocer los conocimientos matemáticos,
sino también aplicarlos a nuestra realidad, hay personas que tenemos
conocimiento de las matemáticas, lo que muchas veces nos ocurre es que no
sabemos cómo o dónde aplicarlas.
Es claro que la matemática es útil, ya que es un "objeto de enseñanza",
este puede transmitirse. Quien posee el conocimiento puede ofrecerlo a quien no
lo posee, es aquí donde está el punto clave, las generaciones evolucionan a
medida en que se transmiten los conocimientos matemáticos, se da una
interacción, los individuos nos relacionamos y colaboramos a que las demás
personas desarrollen el pensamiento matemático, ya que todos debemos y
podemos enseñamos unos a otros, de esta forma las matemáticas serán más
consideradas por la humanidad como algo muy cotidiano, algo que siempre está
presente en nuestras vidas.
Encontramos también, que la llamada ciencia de los números tiene gran
relevancia en nuestro paso por la vida, encontramos que se han reconocido que
su fin práctico, es culturizar de forma general al hombre, no importando su
posición social. El ser humano al tener noción de este conocimiento (las
matemáticas), elevará su nivel cultural, su intelecto será reconocido por los otros
miembros de la sociedad, esto le permitirá alejarse de la ignorancia y de las
dificultades que le acarrearían el no saber siquiera las operaciones matemáticas
más elementales (sumar, restar, dividir).
"La dificultad de las .matemáticas como proveedora de instrumentos
intelectuales para la resolución de problemas, ha justificado la cantidad de
recursos y la extensión de sus programas, por encima de otras asignaturas, pese
P
6P Ibidem Pág.42
13
a que los hechos muestran que muy pocos estudiantes las aprenden y menos
aún, llegan a aplicarlas a situaciones reales".
Es por esto que sabemos que, es en nuestro acontecer diario donde más
falta nos hacen las matemáticas, esta además de todo lo ya mencionado, nos
ayuda a pensar en forma lógica y ordenada, cultiva nuestra mente, prepara a los
individuos para analizar y deducir, fijar con claridad y exactitud posibles
soluciones o hechos conocidos para tratar de llegar al final que es la conclusión y
resolver el conflicto que se presente
Por ultimo queremos mencionar que las matemáticas son indispensables,
ya que no serviría de nada si nosotros no nos interesamos en ellas, cosa que lo
tenemos que hacer tarde o temprano, obligado por las circunstancias, es decir,
por el rápido desarrollo de nuestra sociedad que día con día, exige más
conocimientos por parte de los miembros que la conforman.
14
CAPITULO II
Alrededor De Las Matemáticas
2.1 Matemáticas En La Educación
Las matemáticas ha llegado a constituir uno de los grandes logros de la
inteligencia humana, conformado un aspecto medular de la cultura
contemporánea, un poderoso sistema teórico de alto nivel de abstracción,
potencialmente muy útil. Su importancia en otros niveles del sistema escolar, ha
aumentado desde la década de los años cincuenta, a partir de los que se
denomino la revolución científica técnica. Ella ha desempeñado un papel central y
protagónico en estos avances del conocimiento. En este contexto, el desarrollar
en el alumno un sistema estructurado de conocimiento y habilidades matemáticas,
es hoy un elemento básico en el proceso educativo.
Habitualmente, la idea de “matemática” que tiene cualquier persona es la
que recuerda de su paso por la escuela: es una “matemática herramienta”; para lo
menos, fruto de sus estudios profesionales en el área, es una “matemática
filosófica”, que descubre y relaciona ideas, conceptos, formas y estructuras,
construyendo edificios lógicos. (Son dos aspectos de una misma ciencia.)
La matemática es un lenguaje con su propio conjunto de signos, cuyas
relaciones no están elaboradas en esos signos. A estas relaciones, formadas por
la mente humana, posteriormente lo imposible; se espera que los alumnos
comprendan, a una edad demasiado temprana, lo que en la evolución histórica de
sus disciplina apareció en épocas muy avanzadas de su desarrollo. El sujeto que
hoy aprende matemáticas en nuestras escuelas tiene que procesar no solo datos
brutos empíricos, si no valga la redundancia, sistemas de procesos de datos de
matemáticas ya existentes, logrado por generaciones sucesivas de individuos
parcialmente inteligentes, cada uno de los cuales ha abstraído y generalizado
desde conceptos construidos por generaciones anteriores.
15
Por este motivo, la matemática difícilmente podría aprenderse hoy en forma
directa del entorno cotidiano, si no a través del acompañamiento de otros
matemáticos o de los profesores; por ello una deficiente metodología de
enseñanza puede hacer al alumno dependiente y exponerlo a adquirir inseguridad
y temor frente a la asignatura.
El comunicador de ideas o nociones matemáticas necesita conocer muy
profundamente los conceptos que desea transmitir pues, aunque ellos
aparentemente sean muy simples en si mismos, sus aplicaciones suponen mucha
reflexión.
Sin embargo por desgracia, lo que generalmente se impone a los niños y
estudiantes en su aprendizaje es una manipulación de signos con poca o ninguna
significación, relacionados según reglas memorizadas mecánicamente. Así se
minimiza la posibilidad del alumno de obtener de la disciplina su utilidad real como
sistema integrado de conocimientos aplicables.
El doctor Luis Santaló, el porque y para que enseñar matemáticas en la
escuela, sostiene “posiblemente lo mas importante y primordial es la elección de
los temas a tratar”. Y a esta elección, podemos añadir y destacar otro problema
fundamental: el del desglose, ordenación y jerarquizacion de esos temas, ya que
la naturaleza jerárquica de la matemática hace muy importante para el que
aprende que quien enseña lo haga en la secuencia adecuada. FP
7
2.2 Para Que Enseñar En Matemática En La Escuela Primaria
Esta pregunta nos pareció un poco sorprendente porque podría
entenderse que detrás de ella está el cuestionamiento: ¿Hay que enseñar
matemática en la escuela? Casi todos responderían afirmativamente a esto
último. Algunos habrán olvidado para qué, otros quizás nunca lo supieron. Por lo
tanto, la pregunta original tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la respuesta en
serio. O sea, no responder únicamente: porque a los 10 años el niño tiene que
P
7P M. del C. Rencoret.
16
saber sumar y multiplicar. Ésta es una respuesta operativa, pragmática. Soy de
los que cree que el niño debe saber operar bien, que no hay computadora que
elimine la necesidad de manipular los números, adquirir una imagen cuantitativa
de los objetos de este mundo. Pero no basta.
Estas notas estarán carentes de ejemplificaciones detalladas, de la
experiencia de tratar con niños de cerca de 10 años, pero pueden tener la
validez de quien trata y le gusta tratar con jóvenes en quienes las dificultades de
aprendizaje de dos lustros antes se reflejan en dolorosos traumas de estudio. Y
de quien ha hecho de la enseñanza y de la investigación matemática su
profesión.
1. Contar
El niño pequeño aprende rápidamente a contar. Luego a distinguir. De
individualizar los objetos que le rodean pasa a ‘saber’ sus nombres y a distinguir
que algunas cosas pueden clasificarse en las mismas categorías. El ejemplo
mejor estudiado es el de los pares, quizás porque tenemos varias partes del
cuerpo que vienen de a dos. Después de distinguir que mis dos manos y las
suyas tienen algo en común, reconoce que la misma propiedad es común a sus
dos pies y, después, cuando pide un juguete y luego otro, el niño dice dos
juguetes. Y ha empezado a contar.FP
8
Los sucesivos números naturalesP
1P hasta alrededor de diez vienen
después, y en general antes que el uno. Para un adulto esto puede resultar
extraño, pero parece ser que inicialmente es tan evidente la individualización de
los objetos aislados que es innecesario ‘contarlos’, y por tanto darle un número
(el uno) a su cantidad. La creación de un nombre y un símbolo para expresar la
inexistencia de objetos es un asunto definitivamente más complicado. Los niños
no adquieren rápidamente la idea del cero, que es la negación de la existencia.
La misma humanidad necesitó del símbolo muy tardíamente en su desarrollo y
P
8P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 70
17
su introducción en nuestro mundo occidental significó un inmenso avance en el
desarrollo de la matemática.
Los niños más interesados pronto se preguntan cuál es el número más
grande, los mejores alumnos llegan a una idea puramente matemática de
infinito. Estos niños habrán dado un gran salto en el aprendizaje de la
matemática y en desmitificar la disciplina.
He comentado, de esta manera un tanto atípica, para responder a la
pregunta por dos razones: Que la aplicación de las leyes formales de las
operaciones con los números naturales es uno de los mejores ejemplos del
proceso matemático de generalización. Que creo —con muchos otros— que el
buen conocimiento de los sistemas numéricos (no sólo de los números
naturales) es parte necesaria del bagaje básico de quien se dedique a la
enseñanza de la disciplina.
2. Aprovechar todas las facetas
Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado del papel que la
matemática ha jugado y juega en la sociedad en que vivimos. Tratamos de
reivindicar el contenido cultural de la matemática y la presentación de la
matemática como la profunda historia y creación humana que en realidad es.
Los profesores deberían saber cómo se han formado las ideas
matemáticas para:
•comprender las dificultades que la humanidad tuvo para elaborarlas;
•relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen
oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual;
•utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar.FP
9
Por otra parte, los profesores de todos los niveles deberían saber
aprovechar las muchas facetas de la disciplina, no sólo para entusiasmar a
P
9P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 73
18
4. Por último, relacionados directamente con el primer aspecto tratado en
esta enumeración, están los temas vinculados con la investigación matemática.
En la enseñanza primaria y secundaria esto lleva a destacar los aspectos
lúdicos, a ver los objetos matemáticos en juegos, que son tan importantes en la
formación general de los individuos y su intelecto. En la enseñanza más
avanzada se trata de explicar los desafíos abiertos en algunas ramas o de sacar
partido de cuestiones relacionadas con los grandes problemas y conjeturas y
nuestros alumnos sino para darle sus auténticas dimensiones. Recapitularemos
a continuación algunas de esas facetas que se agregan y complementan con
los aspectos históricos y culturales antes anotados.
1. Es como un arte en que el enlace entre sus distintas partes y teorías,
o entre proposiciones aparentemente desligadas, así como la elegancia y
limpidez de sus razonamientos, la brevedad y elocuencia y, a veces, la sorpresa
de sus resultados, son gratos al espíritu, a nuestro modo de pensar. Incluso
estos aspectos muchas veces satisfacen nuestro sentido estético.
2. Es un lenguaje preciso y eficaz. En realidad una de las razones
principales para la existencia y uso de la matemática es la elaboración de un
lenguaje que permita resumir la presentación de otras ciencias y disciplinas.
Más aún, el análisis sistemático u ordenado de muchos problemas técnicos o
prácticos es frecuentemente imposible sin una buena presentación matemática,
sin hacer un modelo formal.
3. Es un eficaz instrumento para resolver cuestiones de la vida cotidiana
o de la más sofisticada tecnología. Debidamente formalizado un problema es
resoluble utilizando herramientas matemáticas que HvanH de la simple suma, si se
trata de saber las deudas que tenemos, hasta difíciles procesos del cálculo
numérico si se quiere saber cuán cerca pasará un cometa (hacemos referencia
a estos asuntos de cálculo por no poder explicar aquí cuestiones relacionadas
con consecuencias derivadas directamente de teorías matemáticas: mecánica
cuántica, teoría de la relatividad, etcétera).
19
hasta con la vida personal de los matemáticos (¿sabe usted por qué el señor
Nóbel no estableció uno de sus premios para la matemática?).
Los profesores debemos impregnar la didáctica de la matemática de
estos contenidos culturales, destacar la influencia de la matemática en la
formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter
histórico y evolutivo. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la
enseñanza, su aprendizaje se verá facilitado.
La matemática es difícil (y prestigiosa)
La enseñanza de la matemática en todos los niveles se presenta como
un problema no resuelto. El número de estudiantes que no avanza en el ciclo
escolar debido a sus fracasos con la matemática y el número de reprobados en
la disciplina en los demás ciclos de aprendizaje son las manifestaciones
inmediatas de esa situación. Ella está tan extendida que los profesores de
matemática son vistos como los grandes verdugos del sistema educativo, como
la verdadera traba para el avance en los estudios secundarios o universitarios.
Muchas veces el estudiante opta por ciclos o carreras que no tienen la
disciplina, aunque no tengan particular vocación por el resultado final de ellos.FP
10
El problema tiene causas y manifestaciones diferenciadas en distintas
épocas y países con diversos grados de desarrollo económico y cultural. No me
referiré aquí a estos aspectos.
El objeto de la matemática es un tanto imperceptible. La abstracción de
las propiedades cuantitativas o geométricas que caracterizan a las primeras
nociones estudiadas en los cursos de matemática constituye un proceso de
complicada asimilación. Pequeños errores en este proceso hacen muy difícil la
asimilación de nuevos conceptos y procedimientos, lo que genera grandes
P
10P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 65
2
La segunda al conjunto de las cuatro artes matemáticas: aritmética,
geometría, astronomía (¿astrología?) y música. De trivium, que era la parte fácil
de los estudios, procede la expresión ‘trivial’, que los matemáticos gustamos
tanto de usar y algunos dicen que es ¡lo que no recordamos cómo probar!
Incluso, hace unos cien años se creía que en el receptáculo de la inteligencia
(digamos el cerebro) había una ‘bolsa de la matemática’, ¡de cuyo desarrollo
dependía la facilidad para la disciplina! Las dificultades anotadas, que son
socialmente percibidas y reconocidas, provocan una grave consecuencia en los 0
traumas futuros. Por otra parte la memorización de una nomenclatura diferente
y muy precisa introduce componentes que no son usuales en la vida diaria.
Sin embargo, esas mismas dificultades hacen que los que tienen
‘facilidad’ para su aprendizaje gocen de un respeto un tanto extraño y
contradictorio. Se les (nos) ve como seres con algún privilegio sobre los demás,
y a la vez como ‘bichos raros’. Esto lleva algunas veces a situaciones
desagradables o dolorosas del siguiente tipo: tener que responder con los
hombros levantados a la pregunta: ¿por qué si tu inteligencia te da para ser
matemático no te dedicas a algo que dé más dinero?
Las dificultades para la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina no
son de hoy. Desde los primeros documentos escritos que se refieren a la
enseñanza se destaca la de la matemática como un modelo a imitar. En el
pórtico de la Academia de Platón estaba escrito: “No entre quien no sepa
geometría”.
Durante la Edad Media diversos teoremas de la misma rama eran
denominados ‘puente de burros’ (pons asinorum), como una muestra de que
eran pocos los que, habiéndose iniciado en la disciplina, lograban salir adelante.
La propia organización del conocimiento y sus estudios durante la Edad Media
rendía culto a la importancia de la matemática. Se dividían en trivium y
quadrivium, tres y cuatro vías. La primera incluía las tres artes liberales relativas
a la elocuencia: gramática, retórica y dialéctica.
21
alumnos de los ciclos iniciales. El buen desempeño en matemática es
considerado, en general, como una muestra de sabiduría e inteligencia. Se ve a
quienes tienen facilidad para la matemática como gente especial, con alguna
dote extraordinaria: el saber matemático goza de prestigio. Esto se debe, por
una parte, a que las dificultades de la disciplina hacen que quien la sabe o la
aprende con facilidad sea visto distinto, especialmente dotado; por otra parte,
los muchachos con particular facilidad para la matemática también tienen, por lo
general, facilidad para conceptualizar en otras disciplinas, para continuar la
concatenación lógica de razonamientos, hasta para encontrar similitudes en
geografía, física.
Este ‘prestigio’ a su vez genera en quienes tienen dificultades un rechazo
a la matemática. Se sienten apabullados, pasan a ignorar la belleza, la
coherencia y el ordenamiento de la disciplina, y a rechazar todo tipo de
formalización por su semejanza con la formalización matemática.
No es infrecuente que estos estudiantes con dificultades sean más
retraídos, sientan que no podrán ocupar sitios importantes en su actividad u
obtener ocupaciones destacadas y modernas. Se considerarán humillados ante
sus profesores de matemática y, más adelante, muchos de ellos serán
incapaces de tener el sustento mínimo para incorporar conocimientos
matemáticos o meramente cuantitativos que les permitan avanzar normalmente
en sus estudios.
Los profesores universitarios tienen experiencias variadas que muestran
que la dificultad natural de los conocimientos tratados en nuestros cursos son
frecuentemente un detalle en relación con las barreras psicológicas y el
desinterés de nuestros alumnos. Elementos estos que tienen su origen en las
observaciones anteriores sobre el prestigio y los temores por el saber
matemático.
22
Ingredientes básicos
Querría insistir un poco más en los aspectos de categorizar y generalizar,
porque nos parecen los fundamentales desde el punto de vista de la
maduración y avance intelectual del niño.
Lo que estoy llamando ‘categorización’ es una de las maneras en que se
forman los conceptos. Éste es un paso claramente posterior a la percepción de
los objetos. Por esa razón se debe hacer del aprendizaje de la matemática una
actividad constructiva y de razonamiento, de modo que el alumno reconozca
objetos concretos, y logre luego que los objetos matemáticos adquieran su
significado. Esto contradice la idea de que los niños simplemente absorben.
En estos procesos de elaboración de conceptos (matemáticos) el niño
debe abstraer (sacar de, retirar, separar lo particular), debe discriminar (separar,
distinguir), priorizar (determinar lo que es primero o más importante) y, como
consecuencia, generalizar. Sin esta generalización no habrá formación de
conceptos. La abstracción (discriminación, priorización) y generalización que
forman parte de estas etapas iniciales (en realidad de todas las etapas de
aprendizaje matemático) son esencialmente procesos psíquicos, por lo que el
niño debe pasar por sí mismo de la percepción a la conceptualización.FP
11PF
Todos estos procesos no son exclusivos de la matemática, pero se dan
particularmente puros, diáfanos, en esta disciplina. Por lo mismo es que
adquieren particular relevancia en la buena educación general. Por ello mucho
de lo que sigue se puede leer sustituyendo la palabra matemática por la
denominación de otra disciplina o concepto.
El aprendizaje se da en el momento en que la matemática informal del
niño (basada en nociones intuitivas y procedimientos inventados para operar
con y procedimientos inventados para operar con aquellas nociones) se
transforma en algunas reglas formales que el maestro debe captar y resumir.
Estos cambios se dan, en general, de modo súbito y crean discontinuidades en
P
11P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 73
23
el proceso de aprendizaje. Estas discontinuidades son naturales e inevitables;
los profesores deben estar preparados para ellas pues constituyen el
aprendizaje mismo de la disciplina. Pero, además, para conseguir reales
avances, los alumnos deben disponer de herramientas que les permitan dar el
salto, o sea, establecer vínculos entre la matemática informal y formal. Se
propenderá a crear modelos de situaciones o fenómenos conocidos que
permitan simultáneamente analizar lo intuitivo y experimentar con el correlativo
formal.
Deben abrirse etapas de reflexión sobre asuntos que los alumnos hayan
pensado por sí mismos. El niño debe hacer una confrantación activa de los
puntos de semejanza entre los datos y las ideas, entre lo intuitivo y lo formal. En
esa confrontación podrá discriminar qué es lo esencial y qué es lo accesorio del
concepto sobre el que está avanzando: las concordancias se harán compatibles
con las diferencias. Esas similitudes serán integradas a un sistema y podrán ser
reconocidas en cualquier otro ejemplo.
Los conocimientos matemáticos disponibles para el niño están sujetos a
constantes mejoras. Hay asimilación de nuevos conocimientos y
acomodamiento de los existentes. Por ello se debe aprender como un todo
coherente y no como partes separadas. Esta capacidad de conexión funciona
en dos sentidos: cubriendo tanto relaciones entre ideas matemáticas como la
relación entre matemática y mundo real. Hay que dar estructura a lo que se está
aprendiendo. Se ha llamado a esto ‘entretejer los hilos del aprendizaje’. Pero
este entretejido no puede llevar a la dispersión de los distintos componentes y la
mezcla de conocimientos que responden a necesidades diversas. Por ejemplo,
considero equivocado fraccionar en unidades demasiado pequeñas la
exposición y discusión de aspectos de la geometría. Si se quiere estudiar el
triángulo no deberían darse un día la definición, varias semanas después las
relaciones entre sus ángulos, luego los distintos tipos, la importancia del
concepto de altura o de baricentro.
24
Creo mucho más productivo y superior desde el punto de vista de la
disciplina (donde la memorización de conceptos abstractos no es fácil) tratar los
temas en bloques, aunque las experiencias del niño circunstancialmente no los
motiven directamente.
Como corolario de la observación inmediatamente anterior, surge que las
ideas matemáticas mismas pueden y deben a cierta altura constituir tema de
estudio, aun en la escuela. No sé por qué a esto se le llama ‘matematización
vertical’. La disciplina debe pasar a tener su vida propia. Además del ejemplo
geométrico ya dado, anoto la posibilidad de hacer el estudio de las proporciones
en forma de fracciones cuando se introduce la idea de porcentajes.
Sé que me he ido por diversas ramas de la respuesta a la pregunta
original. He preferido no cortarlas. Me ha parecido mejor responder no sólo para
qué enseñar matemática en la escuela. Escribí también algo sobre qué enseñar
y cómo enseñar. Me parece fundamental que los niños se impregnen de
matemática en la escuela, que se interioricen con sus aspectos formales y
abstractos. Ésta es la única manera que les será útil, en el sentido más aplicado
de la palabra. Y los profesores debemos asumir el desafío y el compromiso de
colaborar para que esa impregnación se haga bien.FP
12
2.3. ¿Qué Enseñar En Matemática?
La sociedad a través de los programas de estudio, selecciona
explícitamente del “saber docto” algunos “objetos de saber” para llevarlos a ser
"objetos de enseñar", Se configura así el problema principal, que domina todos los
demás problemas de la enseñanza de la matemática, el del contenido de los
estudios: saber cuál es la matemática que debe enseñarse hoy a Ciertos
alumnos determinado desde un punto de vista social, es importante pero muy
difícil conseguir programas de matemática en los que esta ciencia sea
considerada como un elemento de la cultura general del hombre moderno,
independientemente de su posición en la sociedad y de su profesión.
P
12P Roberto Markarian, Correo Del Maestro Num. 73
25
La solución de este problema fundamental supone no sólo un análisis
detallado y una valoración de la matemática de hoy, de sus perspectivas de
desarrollo, de su situación con respecto a las demás ciencias y de su papel en las
distintas actividades humanas. Supone también un estudio de los efectos de las
ideas y los métodos matemáticos sobre la personalidad del alumno, su mente, su
voluntad, su carácter, su capacidad de realizar un trabajo organizado y orientado
hacia una finalidad precisa estos problemas no son nuevos. Fueron ya.
planteados en la segunda mitad del siglo pasado, en la polémica entre los
partidarios de los estudios “clásicos" y de los llamados “científicos modernos”.
Pero en el mundo de hoy, la matemática ocupa un puesto más importante que en
cualquier etapa anterior de la historia debido a las siguientes razones: FP
13
- El crecimiento sin precedentes de ideas y métodos matemáticos, el
desarrollo de teorías, y la aparición de nuevas disciplinas relacionadas con
nuevas aplicaciones de la matemática.
- La importancia asignada a los principios y concepciones generales que
permiten sistematizar los conocimientos matemáticos acumulados.
Todo ello hace evidente y necesario la búsqueda y trazado de un nuevo
camino que conduzca a los niños hacia el pensamiento matemático. Para
preguntas fundamentales, como cuáles deben ser los contenidos abordados en
clases, cómo deben situarse dentro de la estructura del curso, cuál es el grado de
profundidad y de generalidad con que deben estudiarse y cuál es el punto de vista
desde el que deben presentarse a los alumnos, no existen respuestas únicas.
Además, estas preguntas siempre estarían influidas por la orientación general de
la educación en el país de que se trate y por la forma de concebir la educación.
A modo de ejemplo, basta decir que es evidente la diferencia fundamental
entre un punto de vista matemático que cree que su ciencia no tiene, nada que
ver con la realidad (a decir de Bronwer: "Las matemáticas puras son una creación
P
13P Roberto Markarian, Correo Del Maestro Num. 64
26
libre del espíritu y no están ligadas a la experiencia"), y la concepción de la
matemática como ciencia de las relaciones cuantitativas más generales del
mundo real (como afirma Engels). Al respecto, parece interesante destacar uno
de los puntos propuestos en el manifiesto publicado en American, Mathematical
Monthly and the Mathcmatics teacher, que dice: "Saber es hacer". "En
matemática, un conocimiento valioso no supone ninguna posesión de información,
sino 'saber hacer'. Saber matemática significa poder hacer matemática; usar el
lenguaje matemático con alguna fluidez, resolver problemas, criticar argumentos,
buscar demostraciones, y, lo que puede ser más importante, reconocer un
concepto matemático en una situación concreta o extraerlo de ella". (On the
mathematics currículum for the school 1962.)
Por tanto, introducir nuevos conceptos sin un fondo suficiente de hechos
concretos; o conceptos unificadores, cuando no hay experiencia que unificar; o
insistir constantemente en los conceptos ya introducidos sin aplicaciones
concretas que estimulen a los estudiantes, es trabajo inútil y la formalización
prematura puede llevar a la esterilidad. La introducción prematura de
abstracciones encuentra resistencia especialmente en las mentes críticas, porque
éstas, antes de aceptar una abstracción, quieren saber por qué es importante y
cómo podría usarse, Se debe enseñar matemática no para obtener aprendizajes
mecánicos, sino para llevar a una persona a pensar como un matemático, a
enjuiciar. y a tomar parte en el proceso creativo de acrecentar el conocimiento.
2.3.1 criterios para seleccionar, ordenar y jerarquizar los contenidos de un
modelo instruccional
Consideramos los contenidos como un descripción de las capacidades
esperadas de los niños en un dominio específico de la actividad humana. Este
enfoque permite concebir el contenido como proceso, es decir, como un conjunto
de diferentes operaciones que lleva a la adquisición y utilización del conocimiento
y que lo emplea no sólo como cantidad de información, sino como un sistema
para aprender.
27
Esta perspectiva visualiza el contenido en una doble dimensión:
Como compendio de información dada por conceptos, principios, leyes,
teoremas, generalizaciones, hechos. Como operaciones lógicas, capacidades,
destrezas y habilidades con que se utiliza la información. Sí no se toma en cuenta
la estructura del conocimiento que se desea enseñar, se corre el riesgo de tener
problemas de contenido y secuencia, los que se revelan en omisiones tanto de
contenidos como de requisitos en las primeras fases del aprendizaje.
Es importante, entonces, visualizar la asignatura como un sistema en
efecto, ver un conjunto de elementos como un sistema es reconocer que está
constituido por partes interactuantes e interdependientes; por otra parte, para
crear o mejorar un sistema es necesario conocer y comprender sus componentes
y cómo ellos interactúan, así como el contexto dentro del cual se encuentra. No se
puede actuar sobre un componente de un sistema sin hacer cambios en él mismo.
La matemática forma un sistema unificado de conceptos y de operaciones
que explican algunos patrones y relaciones existentes en el universo. Además de
conceptos y operaciones hay declaraciones más o menos abstractas de patrones
y relaciones, expresadas en forma de axiomas o de reglas en fórmulas
matemáticas, que dan significado a dichos patrones en relación con los Otros. FP
14
También, existe un cuerpo de procedimientos que permiten manipular
conceptos y patrones en forma ordenada y precisa. Estos patrones y
procedimientos se descubren a veces en forma "accidental", o primero se intuyen
y luego se busca la forma de demostrarlos lógicamente, lo que constituye el
método. Presentación formal, sean actividades reconocidas y validadas en el
ámbito de esta disciplina.
Por estas razones, el contenido seleccionado en un programa debe:
- Representar la estructura conceptual. Esto es, el ordenamiento de las
ideas más importantes de la disciplina, considerando que ella es siempre
P
14P Sola Mendoza Juan, Pedagogía en Píldoras.
28
dinámica y, por lo tanto, que está en permanente evolución; porque aprender una
estructura es aprender cómo los entes se relacionan, es hacer un contenido más
comprensible, es lograr retenerlo por más tiempo, es facilitar la transferencia y
permitir el acceso desde el conocimiento básico al más avanzado, posibilitando
acrecentar el pensamiento intuitivo y progresar en el aprendizaje.
- Representar la estructura sintáctica, esto es, el modo en que la disciplina
comprueba la validez de sus conocimientos.
- Tener validez desde el punto de vista científico, recordando que la selección
nunca será definitiva, porque la ciencia está en permanente revisión de sus
conclusiones, y el programa debe permanecer actualizado; además, debido al
ritmo vertiginoso de aumento del conocimiento los programas requieren de
constantes ajustes.
- Posibilitar la elaboración o manejo intelectual por los .estudiantes, quienes
deben organizarlo y aprender a aplicarlo.
- Posibilitar la internalización de valores y ser formativos, proporcionando al
alumno instancias para que desarrolle actitudes e intereses que le permitan
situarse y actuar en la vida con dignidad, respetando y solidarizando con las
personas y naciones en una convivencia armónica.
- Ser significativo, despertando el interés del niño al estar relacionado con sus
necesidades motivaciones e intereses.
- Tener el nivel adecuado al desarrollo del niño, tanto cognitivo como afectivo y
psicomotor, y darle la posibilidad de reelaborarlo.
- Ser útil, entregándole la oportunidad de aplicar el conocimiento adquirido en la
escuela a situaciones nuevas.
- Promover la imaginación, excitando su fantasía y estimulando su creatividad.
- Tener conexión con la realidad, siendo significativo y útil.
-Se complementan. Las consideraciones precedentes con el hecho que, en
matemática, hay unanimidad para reconocer el número como su elemento
fundamental, lo que conlleva la necesidad de constituirlo como el centro
organizador de un programa de iniciación matemática.
29
Es importante tener presente que la noción numérica no es sólo reductible
a la disciplina de la matemática; en su conquista contribuyen también la
lingüística, la música, la educación física y los trabajos manuales, entre otras,
comprobándose con ello la unidad interdisciplinaria.
2.3.2 Criterios Para. Secuenciar, Integrar Y Organizar Los Contenidos
Secuencia
La secuencia, eje longitudinal del currículo, se refiere al orden en que se
desarrollan los contenidos y a la continuidad de los " aprendizajes. En la
secuencia se deben considerar dos tipos de factores:
Lógicos, propios del contenido, que deben respetar las relaciones lógicas
entre los conceptos unificadores de la disciplina y que ayudan al entregar
posibilidades de relacionar y explicar.
Psicológicos del aprendizaje, que deben cumplir, por una parte, requisitos
de continuidad, lo cual significa que los aprendizajes deben llegar a constituir una"
cadena en que cada eslabón se construye sobre su anterior; y, por otra, requisitos
de respeto a las etapas del desarrollo cognitivo, afectivo y psicomotor del alumno.
Integración
La integración se refiere a la relación horizontal de varias áreas del
currículo, la cual debe permitir a la vez la interrelación entre diversos campos,
posibilitando la construcción del conocimiento, pero respetando el pluralismo en
esa unidad. Es necesario utilizar en cada disciplina conceptos que tengan la
mayor importancia, y al mismo tiempo permitan relacionar, explicar y generalizar.
Si bien es cierto que, podría decirse, cada disciplina tiene su mundo propio,
su modo de pensar y sentir, y una particular forma de expresar, se deben buscar
relaciones naturales no forzadas, o "hilos integradores" como los llamó Bloom.
30
Organización
En la organización de los contenidos es necesario considerar un equilibrio,
esto es, una relación armoniosa entre: FP
15
- Las materias que se estudian por sí mismas, como los casos de castellano y
matemática que aportan lenguaje semántico o simbólico para manejarse en las
otras.
- Las materias formativas y las informativas.
- Los contenidos teóricos y los prácticos.
- El marco o extensión de un contenido y la profundidad con que se aboque el
tema.
Este equilibrio debe darse en forma dinámica, jamás en forma fija y
definitiva.
A continuación. Se propondrán algunas consideraciones puntuales sobre
secuencia y organización de un contenido a través del análisis de tarea para
elaborar una jerarquía de aprendizaje, objetivo específico de este libro.
2.3.3 Jerarquía de aprendizaje y análisis de tarea
Cada nuevo aprendizaje depende, en cierto grado, de conocer algo
previamente. El conocimiento se organiza como una estructura coherente en que
ningún concepto existe aislado; por el contrario, él se basa y está construido
sobre una red completa de otros conceptos anteriores. Estos conocimientos
anteriores capacitan al niño para interpretar los siguientes. El aprendizaje correcto
depende, así, de la capacidad y habilidad para relacionar lo lluevo con los
conocimientos previos en su particular nivel de desarrollo. El análisis de tarea
para elaborar una jerarquía permite construir un conocimiento sistemático, a la
vez que dinámico, en el cual cada conducta y concepto sirve de base al siguiente.
La descripción de la tarea o meta y los objetivos conductualmente
expresados contienen importantes indicios que ayudan al diseñador a identificar
P
15P Alves de Mattos, Compendio de Didácticas General
31
los conceptos, principios y habilidades intelectuales y perceptivomotoras
relacionados con esta tarea que debe dominar el alumno para lograr un buen
desempeño. Usando los objetivos y descripción de la tarea para hacer el análisis
de la misma, se está en mejores condiciones para especificar el contenido y
secuencia del curso.
En matemática, los conceptos de orden más bajo deben estar presentes
antes de la próxima etapa de abstracción. Ello implica que, antes de intentar
enseñar un nuevo concepto se deben encontrar, para cada uno de ellos, sus
conceptos contributarios sucesivos, hasta alcanzar los conceptos primarios o
experiencias que se suponen dadas. Si en cierto nivel de la construcción mental
de una estructura de abstracciones sucesivas se produce una comprensión
defectuosa, cualquier conocimiento posterior derivado de ella se encuentra en
peligro, porque los conceptos requisitos requieren estar disponibles en las nuevas
etapas de abstracciones posteriores. Así al presentar un plan idóneo de
enseñanza, el que aprende se encontrará con una tarea posible y gratificante de
realizar. Basta recordar que uno de los principios generales del aprendizaje
establece que es más probable que un alumno aprenda algo si cumple todos los
requisitos para ello.
De este modo se genera una jerarquía considerando la tarea objetivo
preguntando: ¿qué tendría que saber hacer el niño para realizar esta tarea? La
respuesta a esta pregunta serían las subtareas que se identifican y que se
interconectan con flechas que apunte la direccionalidad, desde el requisito previo
hacia la tarea final, reconociendo el origen corno componente de la tarea, de tal
forma que sería imposible realizarla sin saber ejecutar previamente la anterior.
Cada una de las habilidades y subhabilidades que se identifican es una
capacidad de realización, es decir, es algo que una persona sabe hacer en otras
palabras, las habilidades quedan definidas como conductas, sean ellas
"habilidades intelectuales", para el caso del concepto de número o "habilidades
psicomotoras", para la estructura del numeral asociado a ese concepto.
32
El hecho que una tarea ocupe un lugar más alto dentro de la jerarquía no
siempre significa que sea más difícil de realizar ni que requiera más tiempo y
esfuerzo que las anteriores. Las tareas de mayor nivel son más complejas
Dado entonces que las jerarquías se definen de forma conductual se
supone que sus componentes de procedimientos guardan ciertas relaciones entre
sí, reconociendo una organización del conocimiento general que subyace en este
procedimiento, y que la naturaleza de jerarquía de aprendizaje es tal que las
tareas subordinadas quedan incluidas en la tarea de mayor nivel.
Aun cuando las jerarquías no explican todos los tipos de transferencias del
aprendizaje, resultan sin embargo útiles para explicarlo en muchos campos
especialmente en matemática. Un análisis conceptual así elaborado implica
mucho más trabajo que dar una definición. Hay temas considerados elementales
por los legos y, sin embargo, quien los analiza se encuentra con que, conllevan
conceptos que muchas veces, incluso aquellos que los enseñan jamás habían
observado. En el aprendizaje de la matemática cada uno, en su propia mente,
debe crear de nuevo todos los conceptos, desde los más simples. Y podemos
lograr esto mediante el empleo de los múltiples conceptos desarrollados por
matemáticos anteriores.
De aquí se deriva que su aprendizaje, especialmente en el inicio, sea muy
dependiente de una muy buena enseñanza. De allí, también, la necesidad de
combinar una óptima calidad y variedad de medios, una mayor comprensión, por
parte del profesor, de los procesos mentales y de las relaciones subyacentes en
el aprendizaje de cada concepto. La teoría del aprendizaje acumulativo supone
como lo expresa su enunciado- que el aprendizaje del contenido consiste en una
acumulación de elementos cada vez más complejos. En otras palabras, parten de
conexiones sencillas y pasan por conceptos y reglas para llegar a la resolución de
problemas de orden superior. Basadas en esta teoría, las tareas matemáticas
pueden dividirse en jerarquías de habilidades componentes, que muestran una
transferencia positiva a las habilidades de mayor nivel jerárquico. Se sugiere así
un orden para la enseñanza de las habilidades componentes.
3
Se estima que la "capacidad de ver" estos objetos invisibles es uno de los
componentes de la habilidad matemática. El número es la propiedad común de
los conjuntos coordinables, esto es, equivalentes en cantidad de elementos. Cada
número es el representante de una familia de conjuntos equipolentes, y no tiene
una existencia como los objetos que vemos a nuestro alrededor. Son propiedad 3
porque están compuestas de las habilidades subordinadas identificadas, además
de otras que pueden haberse obviado en el análisis. Sin embargo, las de menor
nivel pueden ser, en realidad, las más difíciles de aprender, en términos de tiempo
empleado para lograrlas y de la forma en que se debió organizar el pensamiento
para aceptarlas. La habilidad de mayor nivel en la jerarquía puede llegar a ser
fácil de adquirir si se conocen todos sus componentes.
2.4 El Concepto De Número Y Su Representación
El número
Se puede considerar que la noción de cantidad ha sido utilizada
espontáneamente desde siempre por el hombre; sin embargo, el concepto de
número como objeto de enseñar ha sido propuesto sólo en los últimos años. Por
eso es que para llevarlo de objeto de enseñar a objeto de enseñanza se lo debe
estudiar en sus más profundas redes conceptuales, pues no se aprenden los
conceptos a partir de repetir sus definiciones.
Aun cuando algunos animales son capaces a veces de reconocer hasta
cuatro elementos, parece que una de las prerrogativas del entendimiento humano
es la de llegar a obtener un conocimiento real de los números. Desde una
perspectiva más sencilla se pueden considerar los conceptos como regularidades.
Sin embargo es necesario tener presente que el concepto de número es un
concepto matemático y como tal es un constructor teórico que forma parte del
universo formal del conocimiento ideal; como ente matemático es inaccesible a
nuestros sentidos, sólo se ve con los ojos de la mente, pudiendo representarse
únicamente a través de signos.
34
de los conjuntos, desprendidos de la percepción de lo, cuantitativo como
"cualidades numéricas". Sólo los conjuntos tienen la propiedad numérica: un
objeto puede ser rojo, grande, bonito, largo, pero ningún objeto tiene la propiedad
de ser tres. El número no es una cualidad del objeto físico mismo, sino que se
logra cuando se lo trasciende y se lo considera un elemento.FP
16PF
El concepto de número emerge así como característica de! conjunto de
objetos, como una clase. Esta clase se conforma por un elemento que ocupa un
lugar determinado, único en la sucesión de clases numéricas. En definitiva, al
distinguir la clase se conoce el número cardinal. Por ende, e! construir la noción
de número como clase es una actividad operatoria que, partiendo de la realidad
concreta, alcanza lo formal. Por ejemplo, si se tiene un conjunto con seis llaves,
un conjunto con seis mesas, un conjunto con seis autos, se dice que son
equivalentes en cantidad de elementos. Todos ellos pertenecen a una clase, la
clase o familia del seis, ya que la propiedad común de esos conjuntos
coordinables es la de tener seis elementos. Todos ellos tienen cardinal 6. El
cardinal es "la cantidad de elementos que tiene un conjunto", en este caso, seis.
Surge entonces que el número seis es el concepto que representa a los
infinitos conjuntos que tienen seis elementos. Hay datos teóricos y empíricos que
muestran que las raíces del número son muy generales en su naturaleza. La
manera exacta en que el niño construye el número, sigue siendo un misterio.
Desde la perspectiva de Piaget, cada niño construye el número a partir de todos
los tipos de relaciones que crea entre los objetos de allí la necesidad de
estimularlo a establecer todo tipo de relaciones entre toda clase de objetos,
acontecimientos y acciones. El niño interioriza y construye el conocimiento al
crear y coordinar relaciones, aprestándose así al número que es una relación
creada mentalmente por cada sujeto. Al desarrollar el niño la capacidad de
agrupar por las semejanzas y ordenar por las diferencias, adquiere la posibilidad
de clasificar y seriar simultáneamente. Allí, según Piaget, se origina el concepto
de número como síntesis de similitudes y diferencias cuantitativas.FP
17
P
P
17P Pardo De Sande, Irma. Didáctica De Las Matemáticas Para La Escuela Primaria
16P Pardo De Sande, Irma. Didáctica De Las Matemáticas Para La Escuela Primaria
35
La etapa prenumérica es un tiempo de "tránsito" hacia el número; en ella
se elaboran los conceptos y nociones lógicas constitutivas del concepto. En la
etapa de iniciación o prenumérica, el niño considera el número como "adjetivo
numeral"; él dice: "dos porotos", "dos manzanas". En los años posteriores en la
etapa numérica, ya concibe al número como sustantivo, dice "dos" como nombre.
Del signo que representa la propiedad común de todos los conjuntos coordínables
a los cuales pertenece una y otra unidad, independiente de la clase de unidades
que intervienen. Cada número también tiene un nombre que se escribe promedio
de signos y que existe por sí mismo, tomando un carácter sustantivo. El nombre
del número seis no sólo hace referencia a la clase (6) que representa, sino que
expresa un lugar determinado en la sucesión numérica, tiene un rango y es en
este sentido de cardinal-ordinal que un numero es una cantidad extensiva.
De esta manera, el "seis" ya no es 6 pinos, o 6 niños, sino el 6. También
allí surge el concepto de número como medida de una cantidad continua. Se
construye la noción de número cuando se trasciende las notas físicas de la
realidad de los seis elementos pertenecientes al conjunto y se lo considera como
elemento o unidad, con el cual es posible operar y conformar conjuntos.
El número, así concebido, es un esfuerzo de razón, una actividad de la
mente, una categoría que aprehende la realidad bajo el aspecto de la cantidad.
Pero si bien es cierto que todas las categorías son aspectos formales o nociones
bajo las cuales se abarca la realidad, toda la categoría número, conjuntamente
con la de clase, son las más formales, ya que dependen del funcionamiento de
asimilación que realiza la mente.
Los números intuitivos o perceptivos son los números del 1 al 4 y a veces
hasta el 5. Se llaman así, porque cada uno de ellos es percibido como una
cualidad o propiedad peculiar de los conjuntos de pocos elementos, de la misma
forma que se percibe global mente el color o el tamaño, es decir, como una
cualidad numérica desprendida de la propiedad de los conjuntos. En este ámbito
numérico no es necesario contar uno a uno los elementos de cada agrupamiento
para determinar el cardinal asociado y colgarle su numeral.
36
Por eso Piaget no considera la habilidad para retener hasta cinco objetos
como concepto de número, dado que ello es posible perceptualmente sin el uso
de la lógica. Es decir, los números pueden distinguirse con facilidad de un vistazo,
perceptivamente. Sin embargo, si bien es cierto que se puede tener un
conocimiento intuitivo o perceptivo de 3, ello no es válido para números mayores
o muy grandes, como, por ejemplo, 97.623, de los cuales se puede tener sólo un
conocimiento simbólico.
Los grandes números naturales son más abstractos que los cuatro o cinco
primeros de la sucesión numérica.
Que el concepto de número es algo que se desarrolla, se demuestra por el
hecho de que un niño va ampliando el ámbito numérico en el cual se maneja y
entiende relaciones, a partir de los números perceptivos, lentamente al principio:
de 5 a l0, y luego de 10 a 15, antes de que pueda hacerlo con números más altos.
Luego que el niño ha comenzado a comprender la noción de orden en su
mundo físico, puede empezar a observar el orden de números abstractos. Se
debe tener presente que el concepto de numero es independiente en su origen de
los términos y signos usados para su representación, aun cuando posteriormen-
te, fruto de un conocimiento social, ellos se relacionen y lleguen a constituirse en
sinónimo. Se da así cuenta de que, al contar, cada elemento de la sucesión es
uno más que el precedente y uno menos que el siguiente; está operando en el
conjunto de los números naturales.
Los números naturales son los números 1,2,3,4,5,... etc., que se usan
frecuentemente en la vida diaria. Se acepta que tiene en un sentido filosófico, una
existencia natural independiente del ser humano. Aun cuando el concepto de
número natural es más asequible que el de los otros números, no deja de ser un
concepto abstracto. Kronecker dijo: "Dios creó los números naturales, todos los
demás son obra del hombre"FP
18PF. Es decir, los otros conjuntos numéricos:
cardinales, enteros racionales, complejos y reales se consideran producto de la
mente humana.
P
18P Pardo De Sande, Irma. Didáctica De Las Matemáticas Para La Escuela Primaria
El conjunto de los números naturales se construye a partir del concepto
intuitivo de uno (1) por abstracción reflexionante, a través de la operación +1.
Esto significa:
1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 1 = 4, etc.
El número no es sólo un nombre, sino representa también una relación de
inclusión. El cinco implica una relación de uno más que cuatro, que a su vez es
uno más que tres, el cual también es uno más que dos, etc. Por eso los números
no deben presentarse como forma y valor aislado. Ellos deben presentarse con
una existencia con rostro, la forma del signo o numeral, v. gr., 5; con nombre
(cinco); con ordenamiento: después del 4 Y antes del 6; con lugar en la recta
numérica:
1 2 3 4 5
Cada numero así consumido es único y se define por su origen a partir del
que le precede inmediatamente, destacando el lugar que ocupa en la sucesión
numérica entre su antecesor y su sucesor. De esta forma adquieren sentido la
numeración y el cálculo.
La categoría número, al igual que las otras categorías, alcanza el nivel de
noción abstracta a través de un largo proceso evolutivo, que se desarrolla desde
el nacimiento hasta que el sujeto se mueve con plasticidad y solidez en el terreno
reflexivo. El número se constituye así como una de las formas de aprehender la
realidad, o sea, es una categoría. La noción de número, en cuanta categoría
formal, se obtiene por un proceso de abstracción de las acciones realizadas sobre
la realidad; este proceso de abstracción tiene secuencias de trabajo didáctico:
37
Trabajo del aprendiente con materiales concretos en una determinada
situación que permita intuir, a través de relaciones. El manejo del concepto, las
experiencias comprometen la observación. La observación, como actividad del
38
pensamiento. Detecta relaciones entre conjuntos y estas relaciones a su vez
suministran lo necesario para las operaciones futuras.
Expresar la actividad, lo que implica verbalizar el concepto. Nominando y
graficando las situaciones resultantes de las acciones sobre el medio. Por ello es
importante estimular en la enseñanza la "visualización", esto es, el proceso que
permite a los alumnos construir gráficamente diversos modelos visuales que
describan parte de las estructuras matemáticas subyacentes al concepto. Este
proceso de formación de imágenes mentales o materiales puede producirse como
una habilidad para traducir a imágenes visuales una información recibida en forma
simbólica o una interpretación y comprensión de modelos visuales.
La "visualización" permite al aprendiente construir mejor su propio
esquema o trama conceptual; esto es, la estructura personal asociada al concepto
en estudio que incluye imágenes mentales y propiedades con procesos asociados
a los conceptos o. lo que es lo mismo, el conjunto de todas las imágenes
mentales asociadas al concepto, producto de su experiencia con ejemplos y
contraejemplos del concepto; ello permitirá trabajar en situaciones futuras
aplicando el concepto.
Luego de abstraer el concepto, usar el símbolo que lo represente, es decir,
simbolizar el concepto usando el signo correspondiente.
En la construcción de este concepto de número, se pasa por diferentes
niveles antes de llegar al formal. Se pueden distinguir tres períodos' en el proceso
evolutivo del concepto de número, en el niño:
- El primero es sensomotor: en él sólo hay acciones realiza das sobre los
objetos.
- El segundo, simbólico: en él hay cantidad intensiva y se distinguen los
niveles que van desde la forma cuántica mas global, en la que casi no se puede
hablar de número, a un nivel .en que comienza la discriminación en cuanto la
percepción da paso a la intuición.
39
-Un tercer período: el de la cantidad extensiva o del número propiamente
tal, en cuanto el sujeto trasciende lo intuitivo y alcanza lo formal. En este nivel de
pensamiento las acciones se interiorizan pues se trasciende el límite de lo
espacial y sensible, estableciéndose la reversibilidad, es decir, la cualidad de la
menta que permite la realización simultánea de una operación y su inversa.
Sin embargo, el número se constituye no como una operación sino como
un sistema de cinco operaciones, que se pueden enunciar de la siguiente forma:
1) De composición aditiva, pero que también puede ser multiplicativa
Ejemplo:
4 + 2 = 6; 3 x 2 = 6 (3 veces 2 como sumando; 2+2+2).
La adición es una función matemática asociada a la unión de conjuntos
disjuntos. El resultado de esta operación (suma o total) es la cardinalidad del
conjunto resultante. Relaciona las partes con el todo: (4 + 2 = 6) síntesis; mientras
renombra el todo en función de sus partes: (6 = 4 + 2) análisis. Los niños muchas
veces memorizan los resultados de la adición sin un concepto real de número,
desconectado en general con situaciones de la vida real.
Es el peligro que tiene observar sólo el resultado.
2) De reversibilidad de la composición: sustracción o división.
Ejemplo: 6- 2 = 4; 6: 2 = 3 (resta iterada del 2; 6-2-2-2)
La reversibilidad, noción que permite invertir mentalmente las operaciones
físicas, da acceso a la sustracción, como la inversa de la adición; y a la división,
como la inversa de la multiplicación.
3) De asociatividad de la composición.
Ejemplo: 4 + 2 = 6
40
3 + 3 = 6
5 + 1 = 6
4) De identidad: toda operación de adición o multiplicación combinada con
su inversa queda anulada y el número se conserva idéntico.
Ejemplo: 4 + 2 = 6 4 2 = 8
6 - 2 = 4 8 : 2 = 4
5) De iteración: una unidad agregada a sí misma o a un número de
unidades, da lugar a un número por aplicación de la composición aditiva.
1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6
El concepto de número como síntesis de clase y serie.
El concepto de número comprende la habilidad para clasificar y seriar y
conjuntamente, de unir estas operaciones para expresar relaciones. Por ejemplo,
el número 8 expresa al representante de una clase de equivalencia compuesta de
ocho unidades, también expresa a esa clase como mayor que la del 7, es decir,
que la clase del 7 está incluida en la del 8, y ésta a su vez en la del 9, lo que hace
que la clase del 8 sea menor que la del 9. Es decir, se deben entender tanto las
relaciones entre los objetos de una clase, como la posición relativa de esa clase
hacia las otras. Para una clase de 8 unidades, el número cardinal ocho (signo 8)
representa la clase, pero para llegar a este número hay que contar uno a uno en
sucesión los objetos, y en este sentido difieren; la ordenación, es decir, el
relacionarlos entre sí como primero, segundo, tercero, hasta octavo es necesario
para el desarrollo del concepto. Por lo tanto, el "cardinal" se refiere a clase y la
"ordenación" a las relaciones u ordinal.
Estas dos operaciones deben fundirse antes de que se forme el concepto
de número.
41
FP
“Piaget insiste en que, para tener el concepto de número, se debe ser
capaz de clasificar y seriar, y entender la cardinalidad y la ordenación”. En
definitiva, desarrollar la habilidad para seriar y luego establecer correspondencia
entre dos series19PF. Formar clases es realizar la separación de los elementos de
un conjunto, organizando colecciones de acuerdo con un mismo criterio: el de la
cualidad o cualidades que representan en común los objetos por la que se los
agrupa, sin tomar en cuenta en ese instante otras cualidades que los puedan
diferenciar por ejemplo: juntar todos los elementos verdes, sin considerar diver-
sas formas que ellos tengan. Una clase no se configura solamente por la unión de
entes que tienen una misma característica o propiedad, sino por las subclases
que se incluyen en otra más extensa y que les da pertenencia por la cualidad que
tienen en común.
Se define así la clase, por la propiedad en común o la similitud que
posibilita la pertenencia a ella de los elementos que la poseen. Estas subclases
se relacionan por las similitudes que comparten, dejando de lado las diferencias
que las separan. Emerge, entonces, la noción de clase como el atributo en común
que hace posible la pertenencia a ella de los elementos que la poseen. Esos
elementos o subclases se reúnen por las propiedades que comparten, es decir,
por las similitudes, dejando de lado las diferencias que entre sus elementos
puedan darse. Independiente de las diferencias, se agrupa por la característica en
común que presentan.
Al tener clara la noción de clase es posible, trascendiendo del plano
concreto, descubrir las unidades de cada conjunto y percibir en el medio que se
utiliza una nueva clase, la que agrupa a todos los infinitos conjuntos que tienen la
misma cardinalidad o cantidad de elementos. Pasa así cada conjunto en particular
a ser una expresión de la clase de su cardinal asociado. Todos los conjuntos que
pertenecen a una misma clase, por estar formados por la misma cantidad de
elementos, tienen una cualidad en común, algo igual .entre ellos: es esa
composición o propiedad que ya no es del objeto sino del conjunto de objetos. Al
P
19P Karnii, Constante, El Numero En La Educación Preescolar Visor España 1985
42
modificar el orden entre los conjuntos, no se altera la composición de las clases,
pues ellos son equivalentes y se puede sustituir uno por otro. Cualquiera sea el
conjunto de seis unidades que se considere, siempre ocupará el sexto lugar, y
cualquiera sea la distribución espacial en que se presente una serie de conjuntos,
el que pertenece a la clase del 6, por estar conformado por seis elementos,
ocupará el sexto lugar o rango y se ubicará delante del 5 y detrás del 7. Su rango
siempre estará entre estos números y se construirá mentalmente esa clase
agregando una unidad él la clase del cinco. Es decir, cada número natural tiene
su orden fijo y único entre uno que lo precede y otro que lo sucede.
Ese orden fijo de las clases de equivalencia o números en la sucesión
numérica proviene del mismo proceso de construcción del número: cada uno de
ellos se obtiene agregando una unidad mas al anterior, determinando una nueva
unión de elementos que pasan a ocupar un lugar fijo, permanente y único en la
sucesión, aparece así el número, a la vez como clase y serie. Agrupa elementos o
unidades y esa clase ocupa un lugar específico y único en la sucesión numérica.
Emerge como producto de la síntesis, de la clase y la serie, independiente de la
clasificación y la seriación, aun cuando coexiste con estas nociones, como
estructuras simultáneas y paralelas. Ninguno es causa del otro, se construyen
por un mismo proceso evolutivo; atraviesan los mismos niveles desde un punto de
vista genético, son sincrónicos y solidarios. Si bien entonces el número implica la
clase y la serie, existe tener de ella, por sí mismo, de tal forma que es posible
afirmar que las clases son números no seriados, y las series son clases
numeradas. Si se entiende el número como clase y serie, desde la perspectiva de
la clase, se tienen los números cardinales, y desde la serie, los ordinales. Por eso
es que el número es a la vez cardinal y ordinal. Los números cardinales expresan
la cantidad de elementos o unidades que componen su clase. Los números
ordinales sé originan al atender al orden o lugar que el cardinal ocupa en la
sucesión numérica. En resumen, el número es la coordinación de clase y serie.
Constituye un elite independiente a la vez que paralelo y simultaneo de ellos. Se
apoyan recíprocamente:
43
CONTAR
Aun cuando Aristóteles creía que el hombre es un animal racional porque
puede contar, hoy parece un argumento poco convincente., sin embargo, hay que
considerar que la aritmética es ahora más fácil de lo que era en tiempos antiguos.
El sistema de numeración ha progresado y se han inventado mejores
métodos de cálculo.
Contar debe implicar algo más que recitar nombres, debería significar
hacer pares de nombres, de números con objetos. Recitar los nombres de los
números en ausencia de objetos reales es una actividad que carece de sentido,
tan inútil a la matemática como repetir las letras del alfabeto para aprender a leer.
El conocer el nombre de los números rara vez significa comprender su significado.
Que los niños puedan contar no significa que poseen el concepto de número. Sólo
hacen una enumeración verbal, apoyada en la percepción, ocupando los dedos
de la mano o los elementos de conjuntos de baja cardinalidad que estén a su
alcance. Es una memorización apoyada en el objeto concreto.
Un número es algo más que un nombre. Un número expresa una relación.
Sin embargo, no se debe olvidar que las relaciones no existen en los objetos
reales, son abstracciones, un escalón sacado de la realidad física, son
construcciones de la mente impuestas sobre los objetos para Piaget, el número es
la síntesis de dos tipos de relaciones que se establecen sobre los objetos a través
de la abstracción reflexiva. Ellas son el orden y la inclusión jerárquica. Para que el
niño, al contar los elementos de un conjunto, asocie realmente el concepto de
número correspondiente y no sea sólo una recitación mecánica, debe discriminar
con claridad en la ordenación de los elementos del conjunto en referencia. Esta
ordenación implica clasificar en forma permanente los elementos ya contados y
los que quedan por contar. La clasificación asegura que no se salte ningún
elemento y que no se cuente más de uno a la vez.
44
Pero concurrentemente se debe cuidar que al enumerar los elementos de
un conjunto (esto es, decir el nombre de los números ordenada y sucesivamente,
asignando el último nombre pronunciado al último elemento), en el proceso de
contar, el número verbalizado al final no esté representando la nominación de un
elemento puntual, sino a la clase incluida jerárquicamente. Esto es: el uno se
incluye en el dos, el dos en el tres, el tres en el cuatro, el cuatro en el cinco, etc.
Al contar objetos disímiles, se hace abstracción de sus diferencias de
tamaño, color; textura, uso, etc. Se incluye cada objeto en una "clase común" y se
le asigna la unidad. Así pasa a constituirse que la única diferencia entre estos
entes es su posición en una sucesión contable. Al contar para determinar la
cardinalidad o número de objetos de un conjunto, el niño debe colocarlos
mentalmente en una relación de inclusión de clase. De aquí se deduce la
conveniencia de trabajar simultáneamente la cardinalidad con la ordinalidad de los
números. La ordinalidad surge del reconocimiento del lugar en que está el
elemento dentro de la serie. Es una noción que asocia cada elemento con el lugar
que ocupa: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, etc.
2.4.1 La Representación Del Concepto De Número: El Numeral
Un concepto es un ente puramente mental, es inaudible e invisible, porque
no hay aún medios para observar directamente el contenido de la mente de otras
personas, ni para permitir acceso de otros a la propia. Para representar un
concepto se requiere de la utilización de medios audibles o visibles como palabras
habladas o escritas, u otras marcas sobre papel.FP
20
Piaget hace una interesante discriminación entre símbolo y signo. Para él,
un símbolo es un significado que tiene una semejanza figurativa con el objeto
representado y que puede ser inventada por el niño. Por lo tanto, los símbolos no
necesitan enseñarse.
P
20P Balbuena Correa Hugo, La Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela.
45
(00000000); IIIIII
IIIIII
Un signo es un significante convencional. Los signos no tienen semejanza
alguna con el objeto representado y forman parte de sistemas ideados para
comunicar mensajes a otras personas. La palabra "ocho" y el grafismo "S" son
signos que requieren transmisión social ya que han sido creados por convención.
Un signo es algo visible, asociado a un sonido y conectado mel1lalmente a una
idea, que es su significado.
Sin una idea ligada, un signo es vacío, carente de significado. Si un signo
está conectado al mismo concepto en la mente de diversas personas, entonces,
al expresarlo se puede evocar el concepto desde la memoria de uno al otro; es
decir, uno consigue que el otro "piense" en ese concepto. Una vez establecida la
conexión, su significado se proyecta sobre él y ambos se perciben como una
unidad.
Si se acepta que un signo y el concepto asociado son dos entes diferentes,
y que esta distinción no es trivial, sino, por el contrario, es la que existe entre un
objeto y su denominación, a tal punto que si un objeto es llamado por otro nombre
no cambia el objeto en sí, esto es válido incluso para un concepto abstracto,
objeto de pensamiento. En nuestro caso es válido para una idea matemática
como es el concepto dé número y su signo.
46
CAPITULO III
Análisis Del Programa De Estudio Matemáticas A Nivel Primaria De
Tercer Grado.
3.1 Enfoque
Las matemáticas son un producto del quehacer humano y su proceso de
construcción está sustentado en abstracciones sucesivas. Muchos desarrollos
importantes de esta disciplina han partido de la necesidad de resolver problemas
concretos, propios de los grupos sociales. Por ejemplo, los números, tan
familiares para todos, surgieron de la necesidad de contar y son también una
abstracción de la realidad que se fue desarrollando durante largo tiempo. Este
desarrollo está además estrechamente ligado a las particularidades culturales de
los pueblos: todas las culturas tienen un sistema para contar, aunque no todas
cuenten de la misma manera.FP
21PF
En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también
parten de experiencias concretas. Paulatinamente, y a medida que van haciendo
abstracciones, pueden prescindir de los objetos físicos. Él diálogo, la interacción y
la confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de
conocimientos; así, tal proceso es reforzado por la interacción con los
compañeros y con el maestro. El éxito en el aprendizaje de esta, disciplina
depende en buena medida del diseño de actividades que promuevan la
construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en la interacción
con los otros. En esas actividades, las matemáticas serán para el niño
herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las situaciones
problemáticas que se le planteen.
Las matemáticas permiten resolver problemas en diversos ámbitos, tales
como el científico, el técnico, el artístico y la vida cotidiana: Si bien todas las
personas construyen conocimientos fuera de la escuela que les permiten
enfrentar dichos problemas, esos conocimientos no bastan para actuar
P
21P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas
47
eficazmente en la práctica diaria los procedimientos generados en la vida coti-
diana para resolver situaciones problemáticas, muchas veces son largos,
complicados y poco eficientes, si se les compara con los procedimientos
convencionales que permiten resolver las mismas situaciones con más facilidad y
rapidez.
Contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la
escuela proporciona, permite la comunicación comprensión de la información
matemática presentada a través de medios de distinta índole.
Se considera que una de las funciones de la escuela es brindar
situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya tienen para
resolver ciertos problemas y que, a partir de sus soluciones iniciales, comparen
sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los
procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas.FP
22
3.2 Propósitos
Con fundamento en este enfoque se espera que, a lo largo del tercer grado
de la enseñanza primaria, el alumno logre obtener experiencias significativas que
le permitan:
. Comprender el significado de los números, hasta 9 999.y su representa-
ción simbólica, ordenar la serie numérica correspondiente y utilizar los números
para resolver problemas sencillos.
. Resolver problemas que impliquen el uso de unidades de medida no
convencionales, aproximándose a la noción de unidad de medida convencional al
utilizar el metro, el kilogramo, el centímetro cuadrado y el litro para medir
longitudes, pesos, superficies y capacidades.
. Resolver problemas con diversos significados de suma (agregar, unir,
P
22P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas Pág. 51
48
igualar), restar (quitar, buscar un faltante), multiplicación (arreglos rectangulares,
suma iterada) y división (reparto y tasativos, es decir, ver cuántas veces cabe una
cantidad en otra).
. Usar significativamente y con eficiencia en la resolución de problemas los
algoritmos de suma y resta con transformaciones, de la multiplicación con
números hasta de dos cifras y de la división con divisor de una cifra.
. Desarrollar la intuición geométrica y la imaginación espacial a través del
análisis del espacio físico, de los objetos y figuras del entorno, y de su ubicación y
representación en el plano.
. Desarrollar la habilidad para realizar trazos y mediciones, utilizando
instrumentos como la regla y la escuadra.
. Advertir que la organización de la información, así como su repre-
sentación a través de diagramas, tablas y gráficas son medios para descubrir
características y relaciones entre los datos y para hacer sencillas inferencias.
. Utilizar y recabar información contenida en documentos, ilustraciones y
gráficas para resolver o plantear problemas.
. Acercarse a la noción de evento azaroso a través de la realización de
juegos, del análisis de sus resultados y de las estrategias seguidas para llevados
a cabo.FP
23
3.3 Descripción De Los Componentes
Propósitos generales
Los alumnos en la escuela primaria deberán adquirir conocimientos
básicos de las matemáticas y desarrollar:
- La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para
P
23P Libro del Maestro, Matemáticas Tercer Grado Pág.14
49
reconocer, plantear y resolver problemas
- La capacidad de anticipar y verificar resultados
- La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.
- La imaginación espacial
- La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones :
- La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y
cálculo.
- El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de
razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de
procedimientos y estrategias
En resumen, para elevar la calidad del aprendizaje es indispensable que
los alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el
conocimiento matemático, que lo valoren y hagan de él un instrumento que les
ayude a reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos
contextos de su interés.FP
24
Organización general de los contenidos
La selección de contenidos de esta propuesta descansa en el conocimiento
que actualmente se tiene sobre el desarrollo cognoscitivo del niño y sobre los
procesos que sigue en la adquisición y la construcción de conceptos matemáticos
específicos. Los contenidos incorporados al currículum se han articulado con base
en seis ejes, a saber:
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Medición
Geometría
Procesos de cambio
Tratamiento de la información
Predicción y azar
P
24P Ibidem. Pág.15
50
La organización por ejes permite que la enseñanza incorpore de manera
estructurada, no sólo contenidos matemáticos, sino el desarrollo de ciertas
habilidades y destrezas, fundamentales para una buena formación básica en
matemáticas.
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Los contenidos de esta línea se trabajan desde el primer grado con el fin
de proporcionar experiencias que pongan en juego los significados que los
números adquieren en diversos contextos y las diferentes relaciones que pueden
establecerse entre ellos. El objetivo es que los alumnos, a partir de los
conocimientos con que llegan a la escuela, comprendan más cabalmente el
significado de los números y de los símbolos que los .representan y puedan
utilizados como herramientas para solucionar diversas situaciones problemáticas.
Dichas situaciones se plantean con el fin de promover en los niños el desarrollo
de una serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones, que les
permitan la construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda. De la solución
a partir de los conocimientos que ya poseen.FP
25
Las operaciones son concebidas como instrumentos que permiten resolver
problemas; el significado y sentido que los niños puedan darles, deriva
precisamente de las situaciones que resuelven con ellas.
La resolución de problemas es entonces, a lo largo de la primaria, el
sustento de los nuevos programas. A partir de las acciones realizadas al resolver
un problema (agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar
repetidamente, repartir, medir, etcétera) el niño construye los significados de las
operaciones.
El grado de dificultad de los problemas que se plantean va aumentando a
lo largo de los seis grados. El aumento en la dificultad no radica solamente en el
uso de números de mayor valor, sino también en la variedad de problemas que se
P
25P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas
51
resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que se establecen
entre los datos.
Medición
El interés central a lo largo de la primaria en relación con la medición es
que los conceptos ligados a ella se construyan a través de acciones directas
sobre los objetos, mediante la reflexión sobre esas acciones y la comunicación de
sus resultados.
Con base en la idea anterior, los contenidos de este eje integran tres
aspectos fundamentales:
. El estudio de las magnitudes
. La noción de unidad de medida
. La cuantificación, como resultado de la medición de dichas magnitudes
Geometría
A lo largo de la primaria, se presentan contenidos y situaciones que
favorecen la ubicación del alumno en relación con su entorno. Asimismo se
proponen actividades de manipulación, observación, dibujo y análisis de formas
diversa. A través de la formalización paulatina de las relaciones que el niño
percibe y de su representación en el plano, se pretende que estructure y
enriquezca su manejo e interpretación del espacio y de las formas.FP
26
Procesos de cambio
El desarrollo de este eje se inicia con situaciones sencillas en el cuarto
grado y se profundiza en los dos últimos grados de la educación primaria. En él se
abordan fenómenos de variación proporcional y no proporcional. El eje conductor
está conformado por la lectura, elaboración y análisis de tablas y gráficas donde
P
26P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas
52
se registran y analizan procesos de variación. Se culmina con las nociones de
razón y proporción, las cuales son fundaméntales para la comprensión de varios
tópicos matemáticos y para la resolución de muchos problemas que se presentan
en la vida diaria de las personas.
Tratamiento de la información
Analizar y seleccionar información planteada a través de textos, imágenes
u otros medios es la primera tarea que realiza quien intenta resolver un problema
matemático. Ofrecer situaciones que promuevan este trabajo es propiciar en los
alumnos el desarrollo de la capacidad para resolver problemas. Por ello, alo largo
de la primaria, se proponen contenidos que tienden a desarrollar en los alumnos
la capacidad para tratar la información.FP
27
Por otro lado, en la actualidad se recibe constantemente información
cuantitativa en estadísticas, gráficas y tablas. Es necesario que los alumnos
desde la primaria se inicien en el análisis de la información de estadística simple,
presentada en forma de gráficas o tablas y también en el contexto de
documentos, propagandas, imágenes u otros textos particulares.
La predicción y el azar
En este eje se pretende que, a partir del tercer grado, los alumnos exploren
situaciones donde el azar interviene y que desarrollen gradualmente la noción de
lo que es probable o no es probable que ocurra en dichas situaciones.
Cambios principales al programa anterior
Los cambios principales, como se ha descrito arriba, se refieren
fundamentalmente al enfoque didáctico. Este enfoque coloca en primer término el
planteamiento y resolución de problemas como forma de construcción de los
conocimientos matemáticos.
P
27P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas
53
En relación con los contenidos se han hecho los siguientes cambios:
Se eliminaron los temas de "Lógica y conjuntos", ya que esta temática
mostró en los hechos, en México y en el mundo, su ineficacia como contenido de
la educación primaria. Existe reconocimiento de que los niños no asimilaron
significativamente esta temática y que, en cambio, su presencia disminuyó el
espacio para trabajar otros contenidos fundamentales. Se sabe, por otra parte,
que la enseñanza de la lógica como contenido aislado no es un elemento central
para la formación del pensamiento lógico.
Los números negativos, como, objeto de estudio formal, se transfirieron a
la escuela secundaria.
Se aplazo la introducción de las fracciones hasta el tercer grado y la
multiplicación y división con-fracciones pasó a "la secundaria. Lo anterior se basa
en la dificultad qué tienen los niños para comprender las fracciones y sus
operaciones en los grados en los que se proponían anteriormente. A cambio de
ello, se propone un trabajo más intenso sobre los diferentes significados de la
fracción en situaciones de reparto y medición y en el significado de las fracciones
como razón y división.
Las propiedades de las operaciones (asociativa, conmutativa y distributiva)
no se introducen de manera formal, se utilizan sólo como herramientas para
realizar, facilitar o explicar cálculos.
Las nociones de peso, capacidad, superficie y tiempo, además de la noción
de longitud de objetos y distancias, se introducen desde primer grado.
En relación con el cálculo del volumen de cuerpos geométricos, se trabaja
el volumen de cubos y prismas; el volumen de cilindros y pirámides se transfirió a
la escuela secundaria.
54
La noción de temperatura y el uso de los grados centígrados y Fahrenheit
se introducen en sexto grado.
Se utilizan únicamente las fórmulas del área del cuadrado, rectángulo Y
triángulo para el cálculo de áreas; el área de otras figuras se calcula a partir de su
descomposición en triángulos, cuadrados y rectángulos.
Se favorece el uso de los instrumentos geométricos (regla, compás,
escuadra y transportador) para dibujar y trazar figuras, frisos y patrones de
cuerpos geométricos.
Los contenidos de "Estadística" se incluyen en el eje "Tratamiento de la
información"; en este eje se incluye también un trabajo de análisis de información
contenida en imágenes y se analiza e interpreta la información presentada en
gráficas y en documentos tales como el periódico, revistas y enciclopedias.
El tema de "Probabilidad", presente en los programas anteriores de todos
los grados, se incluye bajo el nombre de "La predicción y el azar" y se introduce a
partir de tercer grado. Un cambio fundamental es que se disminuye el énfasis en
la cuantificación de las probabilidades. El interés central está en que los alumnos
exploren las situaciones donde interviene el azar y que desarrollen gradualmente
la noción de lo que es probable o no es probable esperar que ocurra en dichas
situaciones.
3.4 Descripción De Los Contenidos
Tercer grado
Los números, sus relaciones y sus operaciones:FP
28
Números naturales
. Los números de cuatro cifras
- Conteos
- Agrupamientos y desagrupamientos en millares, centenas, decenas y
P
28P Plan y Programas de Estudios para la Escuela Primaria de tercer grado
55
unidades
- Lectura y escritura
- El orden de la serie numérica
- Antecesor y sucesor de un número
- Valor posicional
. Lectura y escritura de números ordinales
. Planteamiento y resolución de problemas más complejos de suma y resta
con números hasta de tres cifras, utilizando diversos procedimientos (por ejemplo,
problemas de búsqueda de faltantes o problemas que requieran dos operaciones
para su solución).
. Planteamiento y resolución de problemas diversos de multiplicación con
números hasta de dos cifras, mediante distintos procedimientos.
. Algoritmo convencional de la multiplicación.
. Multiplicación de números terminados en ceros.
. Planteamiento y resolución de diversos problemas de división, con
números hasta de tres cifras mediante procedimientos no convencionales (por
ejemplo, soluciones con apoyo de dibujos, suma iterada, resta o multiplicación).
. Algoritmo de la división con números de dos cifras entre una cifra.
Números fraccionarios
. Introducción de la noción de fracción en casos sencillos (por ejemplo,
medios, cuartos y octavos) mediante actividades de reparto y medición de
longitudes.
. Comparación de fracciones sencillas representadas con material
concreto, para observar la equivalencia entre fracciones.
. Representación convencional de las fracciones.
. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen suma de
fracciones sencillas, mediante manipulación de material.
56
Medición
Longitudes y áreas
. Medición y comparación de áreas utilizando unidades de medida
arbitrarias y retículas.
. Resolución de problemas sencillos que impliquen el uso de unidades de
medida convencionales: el metro, el centímetro y el centímetro cuadrado.
. Comparación y ordenamiento de longitudes y áreas utilizando medidas
convencionales
. Resolución de problemas sencillos que impliquen la medición de
longitudes utilizando el medio metro y el cuarto de metro.
. Resolución de problemas sencillos que impliquen el uso de instrumentos
de medición: el metro sin graduar y la regla graduada en centímetrosFP
29
Capacidad, peso y tiempo
. Medición del peso y la capacidad utilizando el kilo, el medio kilo, el cuarto
de kilo, el litro, el medio litro y el cuarto de litro .
. El año, los meses, las semanas y los días
. Uso del calendario para programar actividades e identificar fechas
. Lectura del reloj de manecillas: horas y minutos. Uso de expresiones:
"media hora" y "un cuarto de hora"
. Uso de instrumentos de medición: la balanza y el reloj
Geometría
Ubicación espacial.
. Representación en el plano de la ubicación de seres y objetos del entorno
inmediato.
. Representación de desplazamientos sobre el plano: trayectos tomando en
cuenta puntos de referencia.
P
29P Planes Y Programas De Estudio De Primaria , Tercer Grado De Matemáticas Pág. 60-62
57
. Diseño, lectura e interpretación de croquis.
. Observación y representación de objetos desde diversas perspectivas.
Cuerpos geométricos.
. Características de los cuerpos (por ejemplo, número de caras, forma de
las caras.
. Introducción a la construcción de cubos utilizando diversos
procedimientos.
. Representación gráfica de cuerpos y objetos.
Figuras geométricas
. Clasificación de cuadriláteros y triángulos a partir de sus características:
igualdad de sus lados, paralelismo, perpendicularidad y simetría.
. Construcción y transformación de figuras a partir de otras figuras básicas.
. Simetría
. Ejes de simetría de una figura (identificación y trazo).
. Construcción y reproducción de figuras mediante diversos
procedimientos.
. Trazo de líneas paralelas y perpendiculares median. Te doblado de papel
. Uso de la regla para trazar líneas y figuras.FP
30
Tratamiento de la información
. Planteamiento y resolución de problemas sencillos en los que se requiera
recolectar y registrar información periódicamente.
. Invención y redacción de preguntas a partir de enunciados que contienen
datos numéricos.
. Resolución e invención de preguntas y problemas sencillos que puedan
resolverse con los datos que contiene una ilustración
P
30P Planes Y Programas De Estudio De Primaria , Tercer Grado De Matemáticas Pág. 60-62
58
Predicción y azar
. Predicción de hechos y sucesos en situaciones sencillas en las que no
interviene el azar.
. Identificación y realización de juegos en los que interviene o no interviene
el azarFP
31
Organización de los contenidos
Los contenidos de Matemáticas, a lo largo de la educación primaria, se han
organizado alrededor de seis ejes:
. Los números, sus relaciones y sus operaciones
. Geometría
. Medición
. Tratamiento de la información.
Procesos de cambio
. La predicción y el azar
En el tercer grado se trabajan cinco, ejes, ya que el trabajo en el eje
"procesó de cambio" se inicia hasta el cuarto grado.
La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno deba
tratarse de manera aislada e independiente. Ha de buscarse de manera
permanente la interrelación entre los contenidos que corresponden a los
diferentes ejes. Cabe señalar, por otra parte, que tal interrelación en muchos
casos es sumamente natural. Por ejemplo, en actividades como "Trazar un
cuadrado que tenga 81 centímetros cuadrados de área" se trabajan varios
contenidos: la medición con el centímetro cuadrado, la multiplicación y el trazo y
manejo de formas geométricas, entre otros.
Recomendaciones didácticas generales
P
31P Planes Y Programas De Estudio De Primaria , Tercer Grado De Matemáticas Pág. 60-62
5
De este modo, el mar tendrá el material suficiente para desarrollar su
curso. Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres familia cuando la
tarea de recorta sea difícil para los niños. También conveniente guardar el
material en un sobre o bolsa con el nombre de alumno. La intención es que se 9
El uso del texto y las fichas didácticas en la clase.
Los materiales complementarios de este libro, con los cuales cuenta el
maestro, son el libro de texto y un fichero de actividades didácticas.
El libro del alumno ayuda al profesor a organizar la clase porque contiene
los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada uno de los
conceptos. Es decir, en cada lección se presenta una situación problemática a
partir de la cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y
ejercicios de aplicación que, en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema
en cuestión. Además, las actividades propuestas en las fichas didácticas apoyan y
enriquecen la propuesta contenida en el texto.
Para integrar las actividades de ambos materiales, el maestro debe tomar
en cuenta que hay algunas lecciones que introducen al tema y otras que
requieren de actividades antecedentes señaladas corno tales en las fichas
didácticas.
En cualquiera de los dos casos, el texto contiene los puntos clave del
proceso de aprendizaje. Al maestro le corresponde iniciar, adaptar o ampliar la
secuencia propuesta en el libro utilizando las actividades y problemas propuestos
en las fichas.
El material recortable
El material concreto necesario trabajar se ha incorporado como, material
recortable en el libro del alumno. Dicho material está compuesto por 16
recortables y puede completarse con corcholatas pintadas de colores y frijoles.
60
conserve todo el año y pueda utilizarse" tas veces sea necesario.
Uso de periódicos, revistas y libros infantiles
Una recomendación para el maestro es que utilice periódicos, revistas
infantiles, los Libros del Rincón u otros libros con que se cuente en la escuela
corno fuentes de situaciones para el trabajo matemático.
El uso de estos materiales ayudará a que los problemas sean más
interesantes, reales y atractivos para los niños, permitirá relacionar la matemática
con otras áreas del plan de estudios (por ejemplo, con Geografía, a través de la
lectura y elaboración de croquis y mapas; con Historia, mediante el cálculo de los
años que han transcurrido desde determinado acontecimiento; con Ciencias
Naturales, a partir de situaciones basadas en datos sobre los hábitos, la
alimentación o el peso de algunos animales) y apoyará la lectura, actividad
siempre fundamental en el aprendizaje de las matemáticas escolares.FP
32
P
32P Libro del Maestro, Matemáticas Tercer Grado Pág. 17,18
61
CAPITULO IV:
Investigación De Campo
4.1 Delimitación del objeto de estudio
La presente investigación se realiza en la Escuela primaria “Guadalupe
Martinez de Cordova” con clave 27DPR1128P, Zona 004, Sector 7,, del estado de
Tabasco. La cual fue seleccionada por reunir los elementos necesarios para
atraer y mantener la atención de quienes estemos interesados en los problemas
de aprendiza de las matematicas . La Institución cuenta con:
850 alumnos
22 docentes
1 director
1 subdirector
4 conserges
Su infraestructura esta compuesta por:
21 salones
4 sanitarios
1 cancha deportiva
1 plaza cívica
1 biblioteca
1 dirección
62
Infraestructura que en su conjunto permite a la institución atender las
necesidades de la población y/o de la sociedad en su conjunto.
4.2. Diseño de los instrumentos para la obtención de información
Considerando los aspectos o variables de la investigación, y tomando en
cuenta los diferentes instrumentos que se pueden emplear para atender y lograr
información válida para la argumentación y la emisión de juicios sustentados en
los procesos indagatorios acerca de la realidad, se expresa que además por su
naturaleza, en el presente trabajo se ha electo el cuestionario como instrumento
adecuado para la obtención de la información para esta investigación ,el
cuestionario esta constituido por 11 preguntas que tiene como finalidad la
obtención de información para probar la hipótesis.
4.3. Metodología
El presente tema de investigación la enseñanza de las matemáticas un reto
para el maestro de educación básica en el tercer grado de la escuela primaria
Guadalupe Martínez de Córdova, estará basado en el método cuali- cuantitativo
que trata de describir las cualidades del infante a través de la observación de su
comportamiento en el aula de clases, para con ello tener una mayor ventaja en
cuanto ala capacidad de cada uno de los alumnos y el cuantitativo este nos
ayudara a saber cuanto pueden realizar los alumnos en dicha enseñanza, todo
basado en los programas actuales en la enseñanza de las matemáticas del nivel
básico, aquí nos daremos también ala tarea de que métodos utiliza el docente,
materiales didácticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Este tipo de estudio nos permite tener una mejor información del fenómeno
a investigar ya que nos permite recolectar y analizar de manera mas detallada el
tema de investigación y de esta forma conocer mejor el tipo de enseñanza
aprendizaje.
63
4.4 Objetivo
Analizar las estrategias implementadas para el aprendizaje de las
matemáticas en la escuela primaria Guadalupe Martínez de Córdova,
específicamente en el tercer grado grupo A de primaria, con la finalidad de
obtener un mayor aprovechamiento por parte del alumnado.
4.5 Hipótesis
El método didáctico empleado por los docentes del tercer grado de la
primaria Guadalupe Martínez de córdoba, influye en el aprovechamiento de los
alumnos.
4.6 Procedimiento.
Para la realización de este trabajo acudimos a la Escuela primaria
“Guadalupe Martines de Córdova” del Municipio del centro, la cual se encuentra
ubicada en la calle paseo de la Ceiba s/n de la colonia mayito con la finalidad de
hacer la investigación de campo acerca de las estrategias que utilizan los
maestros del 3er grado en la enseñanza de las matemáticas en dicha institución,
ya que toda información requerida será de utilidad para el trabajo de tesis. Como
primer paso que realizamos nos apoyamos con una encuesta que primero sirve
como un piloteo de entrada a los alumnos para saber que preguntas de las que
se le plantearon nos iban a dar la información que nosotros buscamos, esta
encuesta se la realizamos a solo 40 alumnos del 3er grado, grupo A
Para la aplicación de las encuestas solo se ubico al 3° grado, grupo A en
este cuestionario se observo que algunos de los niños no saben cual era el
significado de las estrategias que utilizan el maestro en la enseñanza de las
matemáticas, por lo que los autores tuvieron quedarles un breve ejemplo para
que pudieran respondernos.
64
4.7 Presentación de análisis de resultados
La población total es de 850 alumnos, mientras que el tamaño de la muestra
será de un 19%, de los alumnos contando con un total de 18 mujeres y 22
hombres tomando en cuenta el grupo A 3er grado con una edad aproximada de
8 a 10 años de edad.
65
PRESENTACIÒN Y ANALISIS DE LA INFORMACION COMPILADA
UNIVERSIDA JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO DIVISION ACADEMICA DE EDUCACIÓN Y ARTES
LIC. EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
La presente encuesta se realiza con el fin de recabar datos que puedan dar un mayor soporte a nuestro trabajo de investigación. Agradecemos de antemano el apoyo brindado en la contestación, de las siguientes preguntas
1. ¿El aprendizaje que obtienen los niños en relación a las matemáticas es el mismo que obtienen, en las demás asignaturas?
VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES
a) Si 7 32% b) No 14 68% Totales: 21 100%
Si32%
No68%
Esta pregunta fue elaborada con la finalidad de saber si el aprendizaje que obtienen los niños relación a las matemáticas es el mismo que obtienen, en las demás asignaturas
66
2.- ¿Las técnicas implementadas son adecuadas para obtener un buen aprovechamiento?
VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES a) Si 10 45% b) No 11 55% Totales: 21 100%
Si45%
No55%
El 45% de los maestros opinan que las tecnicas que utilizan son las adecuadas en cambio el 55% opina lo contrario que no les dan resultado las tecnicas que utilizan.
67
3.- ¿Considera que requieren de algún tipo de modificación?
VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES a) Si 10 52% b) No 11 48% Totales: 21 100%
Si52%
No48%
En esta grafica tratamos de saber si se requiere modficar las tecnicas o los metodos de enseñanza para el alumno y que con eso se le facilitara al profesor.
68
4. ¿Qué reacciones muestra los niños al estudiar esta asignatura?
VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES a) Miedo 46 47% b) Cansancio 29 32% c) Entusiasmo 20 24 % Totales: 95 100%
Entusiasmo21%
Cansancio32%
Miedo47%
De acuerdo al programa decidimos cuestionara al maestro que tipo de reacciones muestra el alumno al momento de estar en la clase de matematicas tanto negativas como positivas.
69
5. ¿Los niños presentan algún tipo de dificultad al estudiar esta materia? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES
Si 14 57% No 7 43% Totales: 21 100%
Si57%
No43%
Se pretendio conocer si los niños tenian algun problema para poder aprender la matematicas,. Auditivo, visual etc. Por o cual 57% de los maestros opino que si el resto que no.
70
6. ¿En caso de presentarse alguna dificultad se le informa de esta a los padres? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES
Si 14 57% No 7 43% Totales: 21 100%
Si57%
No43%
Aquí podemos notar que el 57% de los maestros responden a las inquietudes que los padres a veces muestran ante sus hijos con respecto asu educación.
71
7. ¿Que tipo de reacción o respuesta presentan los padres? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES
Negativa 17 81% Positiva 4 19% Totales: 21 100%
Positiva
19%
Negativa81%
Podermos apreciar que el 81% de los maestros opino que los padres muestran reacciones negativas en cuanro al aprendizaje de sus hijos ya que por lo regulara de le recrimina la maestro.
72
8.¿Se le da a conocer al niño que el estudio de esta asignatura contribuye a su desarrollo en la vida diaria? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES
No 0 0% Si 21 100% Totales: 21 100%
Si100%
No0%
Cabe mensionar que los maestros entrevistados todos dicen que hacen conciencia sus alumnos en que las matematicas contribuye asu desarrollo social, personal etc.
73
9. ¿Se le enseña al niño que el estudio de las matemáticas es algo divertido y sencillo? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES
No 18 14% Si 3 86% Totales: 21 100%
Si86%
No14%
Aquí podemos notar que le 86% les dice a los alumnos que la clase es divertida y sencilla. Y el otro 14% mensiona que no le dice nada a los alumnos.
74
10. ¿Cómo maestro, maneja algún tipo de estimulo para la enseñanza de esta materia?
VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES Si 20 95% No 1 5% Totales: 21 100%
Si95%
No5%
En esta grafica se realzo la idea del maestro ya que un 95% maneja algun tipo de estimulo para que el alumno aprenda mas facil y no de forma mecanica las matematicas.
75
11.- cree que es un reto enseñar matemáticas en este nivel
VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES Si 19 90% No 2 10% Totales: 21 100%
Si90%
No10%
Podemos apreciar que un 90% menciona que es un verdadero reto enseñar las matematicas a los alumnos de 3er grado y el 10% menciona que no
7
Así como también se debe actuar de manera responsable, además, debe
de tomar en cuenta no solo estas consideraciones didácticas, si no también otros
factores de los que depende la calidad de la enseñanza. A lo cual el profesor
decide cuáles son los medios didácticos que le permitirán presentar con mayor 6
Análisis general de la encuesta aplicada a los maestros de los
terceros grados
Cuando se habla de las experiencias del docente, se puede diversificar el
significado del concepto, sin embargo en el presente capítulo, se tratará lo
referente a la experiencia del maestro, en lo que se refiere al manejo de grupos y
su familiarización con los programas de estudio; como es fácil entender, se
incluirá también los métodos, y las técnicas mas usuales entre otras cosas para la
conducción del aprendizaje.
Comenzaremos por mencionar las tareas fundamentales del docente: de
acuerdo a las observaciones realizadas en la escuela primaria Guadalupe
Martínez de Córdova en el tercer año de educación básica en primer término, el
objetivo y la misión del Educador responsable, en el profesor ayudar al estudiante
a adquirir una capacitación cada vez mayor en una serie de aspectos.
De acuerdo a lo anterior el docente organiza a el grupo de una manera
homogénea para ello utiliza a primera vista, un carácter superficial aunque
después integra al grupo aplicando criterios mas minuciosos así como también
aplica una evaluación diagnostica para conocer el nivel en el que están sus
alumnos esto le ayudara a planear sus clases y para ello el profesor hace uso de
su guía de plan de estudios correspondiente al ciclo escolar, y al programa del
área que esta impartiendo. De igual forma menciona que para que la enseñanza
sea eficaz, es preciso realizar una constante evaluación del programa, de las
características individuales de los alumnos y del resultado de las diversas
estrategias educativas. Los datos obtenidos de ésta forma proporcionan la
información necesaria para corregir las técnicas de enseñanza.
77
claridad el tema a tratar.
De igual forma menciona el profesor Asunción Arias Zarao que para
realizar sus objetivos de cada sesión, o clase pero antes de mencionar,
definiremos que son los objetivos: “prácticamente es lo que se pretende
propiamente realizar en le salón de clases”. Si contestáremos esta pregunta con
simpleza, diríamos. El maestro enseña y el alumno aprende.
Retomado lo anterior del profesor como realiza su objetivos menciona que
el los toma directamente del programa de estudios que se le fue otorgado y con el
que el esta bastantemente familiarizado pues el sabe que estos objetivos son
flexibles según su experiencia el los modifica de acuerdo a su criterio, incluir en el
curso .escolar los que considera que son aplicables en la vida diaria del alumno, o
aquellos que más se adatan al medio sociocultural y familiar del alumno.
Cabe mencionar que el autor del libro la introducción a la didáctica Raúl
Gutiérrez Sáenz menciona." Saber formular los objetivos de una asignatura es
uno de los problemas concretos que se le presentan a un profesor”.DP
i
Después que el profesor nos menciono esto entraremos de lleno a como el
planea la clase.
El planeamiento didáctico como el menciona que en cualquier actividad
humana, la rutina y la improvisación han sido y serán los principales enemigos de
la eficiencia y de la perfección. En la educación, en la que esta en juego la
formacion y la habilitación de las nuevas generaciones, el planeamiento no es
solo una necesidad, sino también una obligación que se le debe imponer a la
conciencia de todo educador. Así como también el maestro que presuma de ser
un educador un guía de los alumnos que le son confiados, debe planear
cuidadosamente su trabajo escolar para proporcionarles una orientación segura y
que lleve a través de una labor bien dosificada, con ritmo adecuado, una
progresi6n, ( avance) metódica y constructiva en su educación.
78
FP
Menciona que el plan y la elaboración son personales, y lo hace después
de observar la acción que va realizar. Y toma en cuenta los siguientes aspectos.
a) los resultados que debe alcanzar, b) la materia que se impartirá en este
caso matemáticas, c) el método a utilizar, d) los medies que empleará, e) las
etapas para llegar a los resultados. A los el hace alusión que no cae en el error de
aceptar mecánicamente el programa para aplicarlo.
Así como menciona Alves de mattos que “El plan de clases no es mas que
un instrumento de referencia y control”33PF. El hecho de haber elaborado un plan
de clases no significa que el éxito está asegurado pues falta la dinamicidad del
uno mismo, para hacer de este un instrumento dinámico. De igual forma la
plantación del trabajo escolar es permanente, y por lo general el plan se hace
por unidades, tomando en cuenta las actividades propuestas por el libro de texto o
en el programa mismo que le servirán al alumno para futuras tareas, en el plan de
clases también se deben indicar la realización y evaluación el aprendizaje.
De igual manera menciona que como las planeaciones son permanentes y
flexibles los objetivos, el planea de forma bimestral, semanal y de acuerdo al
avance del aprendizaje de los alumnos pero apegado de una cierta manera al
programa ya que se supervisa periódicamente la utilización del mismo por el
personal encargado de la secretaria de educación.
Durante el desarrollo de su clase logramos observar y constatar por sus
propias palabras el manejo de los recursos didácticos. El menciona que estos
recursos didácticos han sido y siguen siendo los medios más útiles de que el
maestro se vale para desarrollar con eficacia su labor escolar. Juan Sola
Mendoza, los define como “Los medios o instrumentos que debe utilizar el
maestro para alcanzar los objetivos planeados anticipadamente” FP
34
Es necesario pues que lo explicado con palabras se haga concreto, visual
P
P
34P Sola Mendoza Juan, Pedagogía En Píldoras Pág. 45
33P Alves de Mattos, Compendio De Didáctica General Pág. 51
7
El método deductivo. Que se aplica cuando se quiere partir de lo general a
lo particular. En su desarrollo se presentan conceptos o principios, definiciones o
afirmaciones para sacar conclusiones. La técnica expositiva es muy útil, para
aplicar éste método. Una de las áreas donde se emplea con mayor frecuencia 9
e intuitivo de acuerdo a la realidad de nuestras escuelas por lo menos el pizarrón,
el gis y el borrador no deben de faltar en nuestras aulas de clases puesto que
estos son elementos indispensables y básicos así como también cabe destacar
que aparte de los que ya mencionamos también se vale de materiales recortables,
manuables, juegos de geometría mapas graficas rota folios y los libros del
alumno.
Se hace también necesario aclarar que en la actualidad el material
didáctico no está restringido al alumno, pues ahora tiene como finalidad ya no el
esclarecimiento de lo explicado sino, se pretende con él que el alumno trabaje,
investigue, descubra y construya; adquiriendo así un aspecto funcional y
dinámico, enriqueciendo la experiencia del alumno y ofreciéndole la ocasión para
actuar y dejar la actitud pasiva.
Así como también otra finalidad particular del material didáctico nos
menciono que lo utiliza 1. Para aproximar al alumno a la realidad de lo que le esta
enseñando, 2. Para motivarlo en la clase y así comprenda y participe de alguna
manera, 3. Facilitarles a ellos la comprensión y percepción del tema a tratar, 4.
Ilustrar y concretar lo' que se expone verbalmente, 5. Economizar esfuerzos, 6.
Contribuir a la fijación del aprendizaje, y por ultimo 7. Dar oportunidad al alumno
de manejar instrumentos o aparatos.
De igual manera el profesor menciono que los métodos y técnicas a utilizar
están en función al tema, de echo habrá que seleccionar entre la gran variedad
los métodos, así como también la técnica de acuerdo a su criterio, conocimientos
y sus experiencias y desde luego que toma en cuenta las metas (la conducta que
se quiere lograr en cada objetivo). Así como también logramos observar e
identificar los dos métodos mas usados por el profesor los cuales son:
80
éste método es la matemáticas. Sin embargo la educación existe solo si el alumno
adquiere el razonamiento y es capaz de criticar. Esto es, aceptar o rechazar lo
expuesto.
El método inductivo. Se aplica cuando queremos estudiar, un todo o algo
general y tenemos solo una parte de ese todo. Se dice que un método es
inductivo cuando el asunto estudiado se presenta por medio de casos
particulares, sugiriéndose que se descubra el principio general que lo rige. Para el
profesor aceptación de este método esta en que se va descubriendo, a través de
la observación, demostración hasta la generalización de los conocimientos.
Y para finalizar la observación de la clase se tomo en cuenta la forma de
realizar la evaluación del profesor hacia sus alumnos es tipo de evaluación, la
realiza de combinado dos formas cuantitativa y cualitativa que a su vez lo realiza
diariamente como a través de trabajos, tareas, ejercicios e investigaciones del
mismo material y en base al programa, otra forma lo hace bimestral pero ya mas
concretamente mediante un examen para tratar de medir el conocimiento que el
alumno adquirió individualmente.
Así como también cabe mencionar que los programas de estudios que
están siendo aplicados en esta región no van de acuerdo a la misma, ya que aquí
es una región la mayoría pesquera y lo programas van mas apegados a zonas
industriales.
8
A si como también es parte fundamental e importante que los maestros
utilicen métodos para la enseñanza de las matemáticas, no deben inclinarse
nada mas por uno, sino deben de manejar los diversos métodos existentes
(inductivo-deductivo, deductivo-inductivo,) para poder aplicar el mas conveniente
según sea el caso. De igual manera la enseñanza de los niños no es un trabajo
que corresponda solo a los maestros, debe existir un trabajó de apoyo por parte
de los padres, y para esto es necesaria una buena comunicación entre padres y
maestros, esto puede lograrse realizando reuniones donde los maestros les den 1
CONCLUSIONES
Es indiscutible que la educación recibida en los primeros años es de suma
importancia para cualquier niño, sobre todo la, de las matemáticas, pues en torno
a esta, gira gran parte de la vida de los niños. Como se pudo observar en el
trabajo, es importante la utilización de los métodos adecuados en la enseñanza
de las matemáticas métodos que dejen de lado el conductismo y permitan al
alumno convertirse en una persona reflexiva y critica, con la preparación y los
conocimientos necesarios para satisfacer a futuro las necesidades del mercado
laboral; así como la aplicación de las técnicas apropiadas durante la explicación
de los temas, sin dejar de lado la propia creatividad del maestro, al transformar los
contenidos explícitos en los programas, y aprovechando al máximo la motivación
con la que el niño llega a la escuela, en su tercer año de estudio.
Las conclusiones obtenidas. En los cuestionarios aplicados también nos
hacen observar que para obtener mejor resultado en la enseñanza de las
matemáticas es necesaria la participación de maestros y padres de familia. Es
por ello que en el proceso de enseñanza-aprendizaje la formación del maestro es
algo importante porque en gran parte de la intervención del profesor, de los bueno
métodos de enseñanza y de la forma en que estos sean aplicados, dependerán
los logros que obtengan los niños en su aprendizaje, ya que un profesor sin la
preparación para realizar su labor y sin la preocupación porque sus alumnos
aprendan solo aseguran al niño su fracaso en el aula.
82
a conocer a los padres, la importancia de las matemáticas en la vida de sus hijos,
así como reuniones periódicas en las que maestro y padres, analicen el
desempeño de los alumnos dentro y fuera de aula, y juntos busquen soluciones a
los diferentes problemas que presenten los niños.
Y para concluir podríamos mencionar que los maestros no deben de
basarse solamente en el programa de trabajo que se les brinda, deben de tener
un programa anexo, realizado por ellos y basado en las necesidades y demandas
del grupo con el que va a trabajar. Esto debido a que los programas son creados
de manera general para todos, sin tomarse en cuenta las necesidades
particulares de cada lugar. Para finalizar hemos de concluir que el objetivo
planteada al principio de nuestra investigación, la mayoría de los maestros
aplican técnicas de enseñanzas para el estudio de las matemáticas, técnicas que
como pudimos palpar en las observaciones requieren de modificación puesto que
el nivel de aprendizaje de los niño es bastante bajo en comparación con lo que
plantea el programas a si como también el libro del maestro.
83
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