distribuzioni di probabilità
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Distribuzioni di probabilità. Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S : f ( x ) = P (‘ X=x’ ) P(‘X A’)=. Valore atteso di una variabile aleatoria discreta. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Distribuzioni di probabilità
Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S :
f (x) = P (‘X=x’ )
P(‘XA’)=
( )x A
f x
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Valore atteso di una variabile aleatoria discreta
Esempio: Distribuzione di probabilità del numero di episodi di otite media nei primi 2 anni
E(X)=0(.129)+1(.264)+2(.271)+3(.185)+4(.095)+5(.039)+6(.017)=2.038
1( ) (' ')
ni i
iE X x P X x
x 0 1 2 3 4 5 6
P(‘X=x’) .129 .264 .271 .185 .095 .039 .017
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Varianza (della popolazione) di una variabile aleatoria discreta
Esempio:
2 2
1
2 2
1
( ) ( ) (' ')
(' ')
n
i ii
n
i ii
Var x x P X x
x P X x
2 2 2 2
2
( ) 0 (.129) 1 (.264) 2 (.271) ... (2.038)
6.12 (2.038) 1.967
Var x
1.967
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Funzione di distribuzione cumulativa
La funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.) di una variabile aleatoria è indicata con F(X ) ed è definita da
F(x ) = P(‘X x’)EsempioF(x) = 0 se x < 0F(x) = .129 se 0 x < 1F(x) = .393 se 1 x < 2F(x) = .664 se 2 x < 3………….. …………….
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Rappresentazione grafica della c.d.f.
Funzione a scalino = step function
cdf. per numero episodi otite media nei primi 2
anni
00,20,40,60,811,2
0 2 4 6 8
numero episodi
prob
abili
tà
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Distribuzione di probabilità continua
Si riferisce a una variabile aleatoria continua definita su un sottoinsieme S di R:
= area sotto il grafico di f di base A
( ) 0,
(' ') ( )A
f x x S
P X A f x dx
( ) 1Sf x dx
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Distribuzione normale: formula
indica la media della popolazione indica la deviazione standard della popolazione
2
2
( )21
( )2
x
f x e
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Distribuzione normale:
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La probabilità che cada in un intervallo centrato sulla media di raggio z volte la deviazione standard dipende solo da z, da cui segue la regola empirica.z non è necessariamente un intero.Esempio: la media della altezza di un uomo adulto è 70 inches e =4.0 inches.In base alla regola, 0.95 è la probabilità che un uomo adulto scelto a caso abbia un altezza compresa fra 62 e 78 inches.
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Sia X una v. a. continua normale con media e deviazione standard :
2( )221
P( -z < X < +z )=2
z
z
x
e dt
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Funzione di distribuzione cumulativa
1. 0 F(x) 1;2. Monotona crescente
2( )
221( )
2
(' ')
tx
F x e dt
P X x
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0
0,6827
0,954 0,997
0 1 2 3
z
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Quando trattiamo un campione di dati provenienti da una serie di misure e riteniamo che i dati siano distribuiti secondo una normale, se decidiamo di associare alla nostra stima una incertezza pari a una deviazione standard confidiamo che l’effettivo valore della grandezza misurata giaccia nell’intervallo da noi definito con una probabilità del 68%.
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Distribuzione binomiale
Si applica a variabili aleatorie che possono assumere solo 2 valori: ad esempio, un certo evento si verifica oppure no. Possono quindi essere codificate con 0 e 1. La distribuzione binomiale descrive il possibile numero di volte che la variabile assume il valore 0 (rispettiv. 1) in una sequenza di osservazioni, sapendo che la probabilità di verificarsi di 0 in una osservazione è p.
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Distribuzione binomiale
La probabilità di k successi in n prove indipendenti sapendo chela probabilità di successo in 1 prova è p:
(' ') (1 )k n knP X k p p
k
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Lancio della moneta
Ad esempio, lanciando 4 volte una moneta equa sappiamo che P(‘Zero T’)=1/16 P(‘esatt. 1 T’)=4/16P(‘esatt. 2 T’)=6/16 P(‘esatt. 3 T’)=4/16P(‘esatt. 4 T’)=1/16Se la moneta non è equa ma T ha probabilità p:P(‘k T su n prove’)=
(1 )k n knp p
k
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Distribuzione binomiale: grafico
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Esempio
Nell’emocromo si misura anche il numero di globuli bianchi. Questi si dividono in 5 categorie: neutrofili, linfociti, monociti e basofili. Interessa la distribuzione di neutrofili k su 100 globuli bianchi.Qual è la probabilità che su 5 cellule 2 siano neutrofili sapendo che la probabilità che 1 cellula sia un neutrofilo è 0.6?
2 35.6 .4 .230
2
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Ricordiamo che
In quanto ad ogni sottoinsieme di k oggetti è associato il suo complementare che ha n-k oggetti. Qui i sottoinsiemi di k oggetti sono tanti quanti quelli di n-k oggetti.
n n
k n k
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0 5
1 4
2 3
3 2
4 1
5 0
5(' 0') .6 .4 .0102
0
5(' 1') .6 .4 .0768
1
5(' 2') .6 .4 .2304
2
5(' 3') .6 .4 .3456
3
5(' 4') .6 .4 .2592
4
5(' 5') .6 .4 .0778
5
P X
P X
P X
P X
P X
P X
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Quando una statistica eseguita su una campione stima un parametro della popolazione, la stima dipende dal campione e ci si pone la domanda quanto la stima è prossima al valore del parametro della popolazione.Così la media campionaria, una proporzione campionaria sono variabili aleatorie e possiedono una distribuzione:
sampling distribution
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la proporzione di individui che votano per la lista A la percentuale di donne facenti parte di una giuria il numero medio di carcerati già condannati ad una pena detentiva su un campione di 100 detenuti del carcere XY
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Distribuzione campionaria di medie campionarie
La media è una variabile che cambia da campione a campione.La media della distribuzione campionaria è uguale a , cioè, misurandola su campioni di dimensione n al tendere del numero dei campioni all’infinito la media delle medie campionarie tende alla media della popolazione
Y
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Errore standardLa deviazione standard della distribuzione campionaria di si chiama errore standard.
Vale la formula:
Errore di campionamento-
YY
Y n
Y
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Teorema centrale del limite
La distribuzione campionaria di un campione random tende ad una distribuzione normale al tendere della dimensione del campione all’infinito.
Y
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Osservazioni:
La approssimata normalità della distribuzione campionaria delle medie si applica indipendente dal tipo della distribuzione della popolazione!!!