distributionsplanlægning i arla - au...

Erhvervsøkonomisk institut Forfattere:

Bachelorafhandling Jane Fuglsang Kristensen

HA Almen 6. semester Katrine Sørensen

Vejleder:

Lars Relund Nielsen

Projektnummer: 13,51

Distributionsplanlægning i Arla

Aarhus School of Business and Social Sciences

2012

Abstract

Arla Foods is an international company who produces milk and dairy products. The company is

owned by Danish, Swedish and German dairy farmers. Besides production, logistics is a big part of the

company. The logistics in Arla Foods consists of several parts. This paper focuses on the daily distribution to

customers in southern Denmark. The planning of the distribution can be seen as a Vehicle Routing Problem

(VRP).

VRP deals with the distribution of products from a depot to a set of customers. The objective is to minimize

cost given a set of constrains. Each customer has a demand, which cannot exceed the capacity of the

vehicle. Each customer has to be visited by exactly one vehicle, but each vehicle can serve several

customers on one route. The vehicle has to start and end at the depot. In Arla Foods the customers must

be served within a given time interval, because the products have to be fresh and refrigerated.

Furthermore the terminal is limited by the capacity of the production plant. VRP therefore becomes a

Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW). In VRPTW the objective is further constrained

because each customer needs to be served within a given time window, and the vehicle must stay at the

customer during service.

This paper concerns one of Arla Foods’ terminals located in Christiansfeld and focuses on 126 customers in

Sønderjylland. In this paper different scenarios of the distribution problem will be analysed. The scenarios

will be solved using the online application logvrp. Logvrp uses the algorithm Adaptive Large Neighborhood

Search (ALNS). ALNS uses different heuristics to destroy and repair a solution to find the best solution.

During the search the algorithm evaluates the heuristics to adapt to the problem.

To perform the analysis, different assumptions have been established and the conclusions must therefore

be interpreted with caution. Unlike Arla Foods, the solutions in this paper are optimized every day. Based

on the analysis it is concluded that daily optimization would benefit Arla Foods. However this is unrealistic

in practise because of long solution time. The constraints at the customers and the terminal have a big

influence on the costs. To reduce cost, Arla must consider modifying the time windows. In this paper it is

suggested that each customer must have a time window, which is at least five hours wide. This will result in

more flexibility in the distribution planning and reduce costs. In the paper it has also been investigated how

the latest delivery time affects costs. It is very expensive when the customers require early delivery. The

cost of early delivery should be passed on to the customers. The costs only increase up to a certain point

and therefore customers without any preferences concerning delivery time should be rewarded in some

way. Further it is also possible to reduce cost by focusing on Arla Foods’ own constraints and adapt the

capacity in the best possible way.

Indholdsfortegnelse

1. INDLEDNING ........................................................................................................................................................... 1 1.1 PROBLEMFORMULERING ......................................................................................................................................................... 2 1.2 AFGRÆNSNING .......................................................................................................................................................................... 2 1.3 METODE ..................................................................................................................................................................................... 3

2. TEORI ........................................................................................................................................................................ 4 2.1 VEHICLE ROUTING PROBLEM (VRP) ................................................................................................................................... 5 2.1.1 Notation ................................................................................................................................................................................ 6 2.1.2 Eksakte løsningsmetoder ............................................................................................................................................... 6 2.1.3 Heuristiske løsningsmetoder ........................................................................................................................................ 8 2.1.4 Eksempel på savings heuristik .................................................................................................................................. 11

2.2 VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS (VRPTW) ................................................................................ 12 2.2.1 Notation .............................................................................................................................................................................. 13

2.3 METAHEURISTIKKER ............................................................................................................................................................. 15 2.3.1 Large Neighborhood Search (LNS) ......................................................................................................................... 15 2.3.2 Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) .................................................................................................. 16

3. VIRKSOMHEDSBESKRIVELSE .......................................................................................................................... 20 3.1 ARLA CHRISTIANSFELD ......................................................................................................................................................... 20 3.2 NUVÆRENDE PROCEDURE .................................................................................................................................................... 22

4. DISTRIBUTIONSPROBLEMET I ARLA CHRISTIANSFELD ....................................................................... 24 4.1 FORUDSÆTNINGER OG ANTAGELSER .................................................................................................................................. 25 4.2 ANALYSE .................................................................................................................................................................................. 28 4.2.1 Modellering af faktiske ruter ..................................................................................................................................... 29 4.2.2 Beregning af optimal løsning .................................................................................................................................... 32 4.2.3 Løsning uden tidsvinduer ............................................................................................................................................ 33 4.2.4 Løsning med fri tilgængelighed hos butikkerne ................................................................................................ 36 4.2.5 Ændring af tidsvinduerne ............................................................................................................................................ 38 4.2.6 Opdeling i A og B kunder ............................................................................................................................................. 40 4.2.7 Ændring af køretiden .................................................................................................................................................... 44 4.2.8 Diskussion ........................................................................................................................................................................... 46

4.3 BETYDNING AF SENESTE LEVERINGSTIDSPUNKT .............................................................................................................. 50 4.3.1 Diskussion ........................................................................................................................................................................... 54

5. MODELKRITIK ..................................................................................................................................................... 55 5.1 KRITIK AF LOGVRP .................................................................................................................................................................. 57

6. ANBEFALING ......................................................................................................................................................... 59

7. KONKLUSION ........................................................................................................................................................ 61

REFERENCER ............................................................................................................................................................. 64

BILAG ................................................................................................................................................................................

Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla

Side 1 af 66

1. Indledning Arla Foods er det syvende største mejeriselskab i verden, mens de er verdens største leverandør af

økologiske mejeriprodukter [Arla Foods, 2011a]. Selskabet er et andelsselskab, som er ejet af 8.024

mælkeproducenter i Danmark, Sverige og Tyskland. For at kunne sikre, at mælkeproducenter får værdi for

pengene er det vigtigt for Arla Foods at have en effektiv værdikæde, som samtidig beskytter miljøet og

reducerer klimapåvirkningen [Arla Foods amba, 2012].

Alle Arla Foods’ produkter er baseret på mælk. Arla Foods producerer og sælger sine varer under tre

varemærker; Arla®, Lurpak® og Castello® [Arla Foods, 2012c]. Udover produktion er logistik et stort område

i Arla Foods. Logistikken er meget kompleks og kan opdeles i flere områder:

1. Tankvognstransport

2. Køletransport

3. Mellemtransport

4. Eksport

5. Mellemtransport på tværs af lande

Første led er tankvognstransport til og fra landmændene, hvor mælken afhentes. Efter produktionen finder

køletransport sted. Køletransporten er den daglige distribution af mælk samt færdigvarer til butikker i

Danmark. Mellemtransporten er transport af emballage og færdigprodukter mellem Arla Foods’ afdelinger

og lagre samt eksterne leverandører. Ydermere er der eksport af færdigvarer og eksport af mælkepulver.

Det sidste område er mellemtransport på tværs af de lande, hvor Arla Foods har produktion [Bloch, 2012].

Denne opgave omhandler distribution af varer mellem et depot og et sæt af kunder. Et problem af denne

type er generelt kendt som et Vehicle Routing Problem (VRP). Idet Arla Foods’ problemstilling også

indebærer tidsbegrænsninger er problemet en udvidelse af VRP kaldet Vehicle Routing Problem with Time

Windows (VRPTW) [Toth & Vigo, 2002]. Disse teorier vil blive beskrevet i 2.

Opgaven har fokus på køletransporten, det vil sige den daglige distribution af mælk og færdigvarer fra Arla

Foods’ terminal i Christiansfeld (depotet) ud til butikkerne (kunderne). Dette distributionsområde er vigtigt,

da Arla Foods’ kunder stiller store krav til leveringstiderne i form af begrænsede tidsintervaller, hvor

leveringen kan finde sted. Det koster både penge, ressourcer og ekstra spildplads for Arla Foods at

imødekomme disse krav. Derudover er der også krav til frisk mælk, hvilket gør, at der kun kan produceres i

et begrænset tidsrum. Terminalen og de daglige procedurer i Christiansfeld vil blive yderligere beskrevet i


Side 2 af 66

3. Omstændighederne i Arla Foods medfører, at distributionsplanlægningen bliver særdeles vigtig. Såfremt

disse begrænsninger ikke var til stede, ville Arla Foods have helt andre muligheder for at optimere deres

transport, hvilket vil blive analyseret og diskuteret i afsnit 4. I afsnit 5 vil modellens mangler diskuteret, og i

afsnit 6 vil der blive fremsat en række anbefalinger.

1.1 Problemformulering Formålet med denne opgave er at undersøge, hvordan Arla Foods’ omkostninger til distributionsområde 2

(køletransport) ændres, såfremt de nuværende rammer for distributionen modificeres. Dette undersøges

ved at betragte distributionsproblemet under følgende antagelser, som efterfølgende vil blive benævnt

scenarier:

1. Nuværende situation

2. Optimal løsning

3. Ruteplanlægning uden tidsvinduer

4. Ændring af butikkernes tidsvinduer, så Arla har adgang til alle butikker fra kl. 00.01.

5. Ændring af tidsvinduerne, så de er minimum x antal timer

6. Opdeling af kunderne i A og B kunder ud fra henholdsvis seneste leveringstid og adgangsforhold.

7. Reduktion af antal lastbiler, så hver lastbil får to chauffører

8. Betydning af, at butikkerne skal have levering inden kl. XX.

Dette belyses ved at betragte et datasæt over Arlas kunder med tilhørende efterspørgsel i uge 4, 2012. Alle

disse antagelser afsluttes med en samlet diskussion af det overordnede distributionsproblem samt

anbefalinger til, hvorledes distributionsplanlægning bør foretages i fremtiden.

1.2 Afgrænsning I denne opgave er fokus på Arlas ferskvareterminal i Christiansfeld, hvorfor det kun er døgncyklussen for

denne terminal, som vil blive beskrevet. Herudaf er det kun et område af deres transport, som vil blive

analyseret. I den resterende del af opgaven vil Arla i Christiansfeld blive betegnet Arla. Der arbejdes

udelukkende med distribution ud til butikker, hvorfor grosister og eksempelvis kantiner ikke er medtaget.

Butikker med begrænset kundekreds, som eksempelvis Metro og S-‐engros er dog medtaget. Problemet vil

kun blive løst ud fra applikationen logvrp. Her anvendes den billigste af de to algoritmer, Adaptive Large

Neighborhood Search (ALNS) og Jan Dethloff’s Algorithm modified (JDAM), som logvrp benytter. Idet ALNS i

langt de fleste tilfælde vil finde den billigste løsning, er det kun denne, som vil blive beskrevet i dybden.

Opgaven afgrænses fra den matematiske formulering af ALNS.

Transporten består af mange forskellige produkter, men i denne opgave arbejdes der kun med en samlet

efterspørgsel.


Side 3 af 66

Der eksisterer mange varianter af VRP og der er skrevet rigtig meget om dette emne i litteraturen [Laporte,

1992]. Denne opgave vil kun omhandle VRP samt VRPTW. Under VRP vil der kun blive beskrevet en eksakt

formulering og en heuristisk løsningsmetode. Under VRPTW vil en eksakt formulering ligeledes blive

beskrevet.

1.3 Metode Tilgangen i denne opgave er overvejende positivistisk, idet løsningen af opgavens problemstilling vil blive

foretaget ved hjælp af kvantitativ metode. Det empiriske grundlag, som vil være fundamentet for opgaven,

er data fra uge 4, 2012. Disse data er hentet fra Arlas system og anses derfor som værende yderst valide.

Dataene udgør opgavens primære data og anvendes til løsning af scenarierne 1-‐8 jf. afsnit 1.1.

Kvantitativ metode er i forhold til kvalitativ metode arbejdet med data, der kan måles og kvantificeres,

hvilket er tilfældet med eksempelvis kundeordrer og kapacitet i en lastbil. Kvalitativ metode anvendes

derimod, når der skal undersøges en række forhold, som er svære at måle. Brugen af kvalitative data er i

denne opgave begrænset. Kvalitative data er indsamlet ved besøg i Christiansfeld samt ved møder med

kørselschefen, logistikkoordinatoren og kørselslederen i Christiansfeld. De kvalitative data anvendes til

beskrivelse af virksomheden Arla Foods og den daglige procedure i Christiansfeld. Derudover anvendes

refleksioner herfra til diskussion og anbefaling.

Det teoretiske grundlag tager i denne opgave udgangspunkt i Vehicle Routing Problem (VRP). VRP kan løses

eksakt såvel som med approksimerede metoder, der kaldes heuristikker. I løsningen af scenarierne vil der

dog kun blive benyttet heuristikker, idet datamængden er så stor, at problemet ikke kan løses eksakt. I

denne opgave vil teorien bag de eksakte metoder samt heuristikker blive forklaret. Teorien vil blive

beskrevet på baggrund af publicerede videnskabelige artikler, hvorfor disse anses som valide til denne

opgave. De videnskabelige artikler anvendes i afsnit 2, som omhandler teorien samt til understøttelse af

analyse, diskussion og anbefaling i afsnit 4 og 5.

Problemstillingen for denne opgave vil blive forsøgt løst med anvendelse af online applikationen logvrp.

Logvrp er et web-‐ og GIS-‐ (Geographic Information System) baseret program til ruteplanlægning, som

anvender algoritmerne Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) og Jan Dethloff’s Algorithm modified.

Idet det kun er muligt at håndtere en begrænset datamængde, afgrænses opgaven til kun at omfatte

distributionen i Sønderjylland. Området består af 126 butikker.

For at besvare opgavens problemstilling vil der blive taget udgangspunkt i de ruter, som Arla Foods i

Christiansfeld har kørt efter i uge 4. De opstillede scenarier vil blive sammenlignet hermed for at se,

hvordan ruteplanerne ændres.


Side 4 af 66

2. Teori Vehicle Routing Problem (VRP) er et af de vigtigste og mest studerede problemer inden for combinatorial

optimization problems. Problemerne omhandler maksimerings-‐ og minimeringsfunktioner med mange

variable samt uligheds-‐ og lighedsbegrænsninger. Yderligere kan der være heltalsbegrænsninger

[Nemhauser & Wolsey, 1988]. VRP omhandler bestemmelse af et antal ruter for en vognpark, der skal

servicere et antal kunder [Toth & Vigo, 2002].

Den første udgave af VRP var ”The Truck Dispatching problem” og blev beskrevet af Dantzig og Ramser i

1959. Problemet omhandlede ruteplanlægningen for en vognpark, der skulle levere benzin fra en terminal

til et antal servicestationer. Hver servicestation havde en efterspørgsel, og afstanden mellem terminalen og

stationerne var kendt. Problemet var at tildele et antal servicestationer til hver lastbil, så deres

efterspørgsel blev imødekommet, og vognparkens samlede transportomkostninger blev minimeret. Hver

station måtte kun besøges af en lastbil, og lastbilens kapacitet skulle overholdes [Dantzig & Ramser, 1959].

Dantzig og Ramser var desuden de første til at fremstille en matematisk programmeringsformulering og

algoritme til problemet [Toth & Vigo, 2002]. I 1964 fremstillede Clarke og Wright en effektiv grådig

heuristik, som forbedrede Dantzig og Ramsers metode [Clarke & Wright, 1964]. Denne vil blive beskrevet i

afsnit 2.1.3. Siden er der udgivet flere hundrede modeller og algoritmer, som søger at finde de bedste

løsninger til forskellige former for VRP problemer [Toth & Vigo, 2002].

VRP stammer fra The Traveling Salesman Problem (TSP). Problemstillingen i TSP er, at én salgsmand skal

besøge et antal byer. Hver by skal besøges en gang, og der er ingen yderligere begrænsninger [Toth & Vigo,

2002]. Et eksempel på TSP er vist i figur 1a. En generalisering af TSP er the Multiple Traveling Salesman

Problem (m-‐TSP), hvor der bestemmes et antal af ruter for en række salgsmænd, der skal besøge en række

byer og derefter vende hjem til deres egen by [Bektas, 2006]. Tilføjes der en specifik efterspørgsel i hver by,

udvikler det sig til et VRP problem. Et eksempel på VRP er vist i figur 1b. Det betyder, at mange af de

metoder, der anvendes i VRP, er fremkommet fra arbejdet med TSP [Kallehauge, 2006].

Figur 1: Eksempel på TSP og VRP. Figur a illustrerer TSP mens b illustrerer VRP. Cirklerne repræsenterer kunder, mens firkantet repræsenterer depotet.


Side 5 af 66

Både TSP er VRP klassificeres som hårde problemer. Et problem anses som værende hårdt eller let

afhængig af, om det kan løses af en algoritme inden for polynomiel tid [Johnson & Papadimitriou, 1985].

Hvis der er tale om et let problem, stiger løsningstiden lineært med antallet af variable, mens løsningstiden

stiger eksponentielt med antallet af variable, når det er et hårdt problem. Det betyder også, at

problemerne er meget tidskrævende at løse eksakt, når man når et vist antal variable.

Den grundlæggende version af VRP kaldes ofte Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP). Her foretages

ruteplanlægning for en homogen vognpark, hvor den eneste begrænsning er køretøjets kapacitet

[Nemhauser & Wolsey, 1988]. Det vil sige, at kundernes efterspørgsel på en rute ikke må overstige

køretøjets kapacitet [Laporte, 1992]. I mere virkelighedsnære problemer er der dog ofte mange andre

begrænsninger, og der findes flere udvidelser af VRP, hvoraf en af dem bliver behandlet i afsnit 2.2.

2.1 Vehicle Routing Problem (VRP) I VRP er målet, som beskrevet, at finde en optimal rute for levering fra et eller flere depoter til et antal af

kunder. Vejnettet kan beskrives som en graf, hvis kanter repræsenterer vejene, mens knuderne

repræsenterer kunder og depoter. Kanterne er ikke-‐orienterede, hvis der kan køres i begge retninger og

orienterede, hvis der er tale om ensrettede veje. Til hver kant er der tildelt en omkostning, som

eksempelvis kan være udtrykt ved længden eller rejsetiden. Dette afhænger normalt af, hvilket køretøj, der

anvendes og i hvilket tidsrum, der køres.

Alle kunder har en specifik efterspørgsel på en eller flere varer, der skal leveres og/eller hentes. Kunderne

kan have en begrænset åbningstid og derfor have specifikke tidsintervaller, hvor levering og/eller

afhentning kan ske. Yderligere kan det tage noget tid at læsse og aflæsse køretøjet.

En eller flere af knuderne betegnes depoter. Hvert depot har et antal køretøjer og en tilgængelig mængde

efterspurgte varer. Et køretøj har et hjemmedepot, hvorfra det starter, men det kan slutte på andre

lokaliteter. Hvert køretøj har en vis kapacitet, som kan være udtrykt i blandt andet volumen, maksimal vægt

eller antal paller. Desuden har hvert køretøj en omkostning, som kan være defineret pr. km, pr. time, pr.

rute med mere. Køretøjets chauffør skal typisk overholde arbejdstidsbegrænsninger som arbejdsperiode i

løbet af dagen, antal pauser, maksimal køretid og overtid. Disse begrænsninger kan med fordel overflyttes

til køretøjet.

I virkelige problemer er der typisk nogle operationelle begrænsninger, der også skal overholdes, som kan

afhænge af de varer, der transporteres, kvaliteten af service hos kunden samt køretøjernes

karakteristikker. Eksempler på dette kan være, at nogle kunder skal serviceres før andre, eller at nogle varer

ikke kan være i samme køretøj [Toth & Vigo, 2002]. Yderligere kan der være tids-‐ og

distancebegrænsninger [Laporte, 1992]. Som oftest er målet for VRP at minimere de samlede


Side 6 af 66

transportomkostninger ud fra den kørte distance og de faste omkostninger. Andre mål kan være at

minimere antallet af køretøjer eller balancere ruterne i henhold til rejsetid og køretøjets belastning [Toth &

Vigo, 2002].

2.1.1 Notation

VRP kan beskrives som en komplet graf 𝐺 = (𝑉,𝐴) hvor 𝑉 = 0,… , 𝑛 er et sæt af knuder, og A er et sæt af

ikke-‐orienterede kanter. Knude 𝑖 = 1,… , 𝑛 repræsenterer kunderne, mens depotet er lokaliseret i knude 0.

Hver knude har typisk en ikke-‐negativ efterspørgsel 𝑑! hvor 𝑖 > 1. For hvert par af knuder 𝑖 og 𝑗 er der

defineret en kant (𝑖, 𝑗). Hver kant har en ikke-‐negativ distancematrix 𝐶 = 𝑐!", hvor omkostningen 𝑐!" er

givet ved omkostningen af den korteste vej, der starter i knude 𝑖 og slutter i knude 𝑗. Hvis G er en orienteret

graf, er omkostningsmatricen asymmetrisk, men hvis 𝑐!" = 𝑐!" for alle 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴 kaldes problemet

symmetrisk. På hver kant (𝑖, 𝑗) er der en rejsetid, 𝑡!". I depotet er der et sæt af 𝐾 tilgængelige køretøjer

med en kapacitet 𝐶. Hver kunde i 𝑉\ 0 skal besøges præcist en gang, og hver lastbil skal starte og slutte i

depotet. Såfremt vognparken er heterogen betegnes kapacitet 𝐶!. Hvert køretøj skal mindst foretage en

rute, og det antages, at 𝐾 ikke er mindre end 𝐾!"#. 𝐾!"# kan udregnes ved at løse the Bin Packing Problem

(BPP) i sammenhæng med VRP. BPP omhandler bestemmelse af det minimale antal køretøjer med en

kapacitet på 𝐶, der er nødvendige for at servicere alle kunder i et kundesæt S. Udregning af 𝐾!"# ses i (1)

[Laporte, 1992; Toth & Vigo, 2002].

(1) 𝐾!"# = 𝑑(𝑆)/𝐶

2.1.2 Eksakte løsningsmetoder

En algoritme er gentagelser af en serie af steps [Balakrishnan et al., 2007]. Eksakte algoritmer kan opdeles i

tre kategorier; direkte søgetræsalgoritmer (direct tree search algorithm), dynamisk programmering og

lineær heltalsprogrammering. Kategorien lineær heltalsprogrammering er meget bred, og det er her, det

meste research er foretaget [Laporte & Nobert, 1987]. Den kan deles op i tre kategorier; set partitioning

formulations, vehicle flow formulations og commodity flow formulations [Magnanti, 1981]. Ud af disse er

vehicle flow formulations den mest anvendte, og denne vil derfor blive beskrevet herunder. Vehicle flow

formuleringer anvender binære variable til at indikere, om et køretøj i den optimale løsning kører mellem

to byer eller ej. Der findes two-‐index og three-‐index formuleringer [Laporte & Nobert, 1987], hvoraf der i

det efterfølgende vil blive lagt vægt på den sidste. Algoritmen three-‐index vehicle flow formulation

garanterer at finde en optimal løsning i et endeligt antal steps, hvis den køres til den er færdig. Der

anvendes binære beslutningsvariabler til at indikere om et køretøj anvender en kant 𝑖, 𝑗 .

Beslutningsvariablen 𝑥!"# 𝑖 ≠ 𝑗 indikerer om kant 𝑖, 𝑗 bruges af køretøjet 𝑘 eller ej. Variablen er lig med

1, hvis kant 𝑖, 𝑗 benyttes af køretøj 𝑘 i den optimale løsning og 0 ellers. Tilsvarende indikerer den binære


Side 7 af 66

variabel 𝑦!" om knude 𝑖 serviceres af køretøj 𝑘. Hvis knuden serviceres af 𝑘 er den lig 1 og 0 ellers. Det vil

sige, at der er en specifik variabel for hvert køretøj og hvert knudepar. Denne information er lagt sammen i

two-‐index formuleringer, hvilket vil sige, at variablen 𝑥!" ikke specificerer hvilket køretøj, der anvendes på

kanten 𝑖, 𝑗 .

Formuleringen for three-‐index er:

Objektfunktion

(2) 𝑚𝑖𝑛 𝑐!"𝑥!"#(!,!)∈!!∈!

under bibetingelse af

(3) 𝑑!𝑦!" ≤ 𝐶!

!∈!

∀𝑘 ∈ 𝐾

(4) 𝑦!"!∈!

= 1 ∀𝑖 ∈ 𝑉 ∖ 0

(5) 𝑦!!!∈!

= 𝐾

(6) 𝑥!"#!∈!

= 𝑥!"#!∈!

= 𝑦!" ∀𝑖 ∈ 𝑉,∀𝑘 ∈ 𝐾

(7) 𝑥!"# ≤!,!∈!

𝑆 − 1 𝑆 ⊂ 𝑉; 𝑆 ≥ 2;∀𝑘 ∈ 𝐾

(8) 𝑥!"# ∈ 0,1 ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉,∀𝑘 ∈ 𝐾

(9) 𝑦!" ∈ 0,1 ∀𝑖 ∈ 𝑉,∀𝑘 ∈ 𝐾

Målet er at minimere omkostningerne under en række bibetingelser (3)-‐(9). Betingelse (3) sørger for, at

kundernes efterspørgsel på en rute ikke overstiger køretøjets kapacitet. Det vil sige, at summen af

kundernes efterspørgsel 𝑑! skal være mindre end eller lig med lastbilens kapacitet 𝐶!.

Betingelse (4) sikrer, at hver knude undtaget depotet bliver besøgt af et eller andet køretøj. Betingelse (5)

sikrer, at alle køretøjer forlader depotet. Betingelse (6) sikrer, at når et køretøj besøger en kunde, skal det

også forlade kunden igen.

I betingelse (7) er S et sæt af knuder i en subtur. En subtur er en rute, som ikke har nogen forbindelse til de

øvrige ruter eller depotet som vist i figur 2 ved knuderne 1-‐3. Betingelsen sikrer, at subture bliver

elimineret ved, at der kun kan benyttes 𝑆 − 1 kanter, så den isolerede rute (subturen) ikke kan lukkes. Det

betyder, at et køretøj ikke kan køre i ring mellem knude 1, 2 og 3. Problemet løses altid først uden denne

bibetingelse, og bliver kun tilføjet såfremt der er en subtur. Dette fortsætter, til der ikke er nogen subture.


Side 8 af 66

Betingelse (7) og (8) sikrer at 𝑥 og 𝑦 er binære variable [Fisher & Jaikumar, 1981; Lawler et al., 1985;

Laporte, 1992; Laporte & Nobert, 1987; Toth & Vigo, 2002].

Det er ikke alle VRP problemer, der kan løses eksakt, da det bliver mere vanskeligt, jo flere variable

problemet indeholder. Det største problem, der konsekvent kan løses, indeholder omkring 50 kunder.

Problemer med flere variable kan kun løses eksakt i særlige tilfælde [Toth & Vigo, 2002]. Da eksakte

løsningsmetoder derfor generelt er utilstrækkelige, anvendes der almindeligvis heuristikker i praksis

[Cordeau et al., 2002].

2.1.3 Heuristiske løsningsmetoder

En heuristisk algoritme er en metode, som giver en god approksimeret løsning på et problem [Moore &

Weatherford, 2001]. De metoder, der anvendes til VRP, er som oftest af typen konstruktionsheuristikker,

da VRP indeholder mange bibetingelser. En konstruktionsheuristik starter fra bunden, hvorefter der i en

række steps tilføjes en knude eller en kant til løsningen. Heuristikken fortsætter indtil der ikke kan tilføjes

flere knuder eller kanter. Ved anvendelse af konstruktionsheuristikker til VRP respekteres bibetingelserne

kontinuert [Lysgaard, 1993]. Et eksempel på en konstruktionsheuristik er en grådig heuristik. En grådig

heuristik er en heuristik, som i hver iteration vælger den beslutning, som resulterer i den bedste løsning på

det pågældende tidspunkt [Zanakis et al., 1989]. Det betyder, at der i forbindelse med hver iteration tilføjes

den knude eller kant, som giver den billigste løsning.

Der findes en række klassiske heuristikker, hvor målet har været at opnå en mulig løsning på kort tid. Disse

heuristikker er savings algoritme, sweep algoritme samt Fisher og Jaikumar algoritme. De seneste 20 år er

heuristikker dog udviklet på baggrund af research baseret på metaheuristikker. Metaheuristikker forsøger

at forbedre eksisterende løsninger ved at flytte løsningen fra et lokalt optimum [Gendreau & Potvin, 2010].

Hertil er der anvendt to principper; local search og population search. Ved metoden local search flyttes der

fra en løsning til en anden lovende løsning i nabolaget. Eksempler på dette er Simulated Annealing (SA),

som vil blive beskrevet i afsnit 2.3.2, og Tabu Search (TS).

Figur 2: Eksempel på subtur


Side 9 af 66

I population search er metoden at fastholde en pulje af gode forældreløsninger, som rekombineres til at

producere afkom [Cordeau et al., 2002]. Et eksempel på dette er genetic search (GS), som kombinerer to

forældreløsninger til at producere afkom [Masum et al., 2011]. Metaheuristikker er generelt mere

tidskrævende, men til gengæld resulterer de i konsistente løsninger af høj kvalitet. Anvendeligheden af

heuristikker vurderes som regel ud fra hurtighed og korrekthed, som måles ud fra forskellen mellem en

given heuristik og den optimale løsning. Derudover er simpelhed og fleksibilitet også essentielle attributter

for gode heuristikker. Heuristikken skal være simpel, så den er let at forstå og kode, samt fleksibel så den

kan imødekomme forskellige bibetingelser [Cordeau et al., 2002].

Den bedst kendte traditionelle heuristik er konstruktionsheuristikken Clarke og Wrights savings heuristik.

På trods af mangler er den stadig meget anvendt i dag, og denne vil derfor blive forklaret herunder

[Cordeau et al., 2002]. Algoritmen blev første gang anvendt i 1964 af Clarke og Wright til at løse et CVRP,

hvor antallet af køretøjer var frit. Målet er at finde en løsning, der minimerer de totale

transportomkostninger samtidig med at en række af de tidligere nævnte bibetingelser overholdes. Der kan

være tale en symmetrisk eller asymmetrisk omkostningsmatrice. Savings konceptet bygger på den

eventuelle omkostningsbesparelse, der opnås ved at sammenlægge to ruter til en, som vist i figur 3. Det vil

sige, at hvis knude 𝑖 og knude 𝑗 besøges på hver sin rute, kan man alternativt besøge begge kunder på

samme rute. Når kunderne er på hver sin rute, kan disse kaldes henholdsvis 0-‐i-‐0 og 0-‐j-‐0, hvor 0 betegner

depotet. Lægges de to ruter sammen, opstår der en ny rute 0-‐i-‐j-‐0.

Den eventuelle besparelse, der opnås ved sammenlægning, kan udregnes, idet transportomkostningerne er

givet. Transportomkostningen mellem to givne punkter 𝑖 og 𝑗 defineres som 𝑐!", og den totale

transportomkostning benævnes 𝐷!.

Den totale transportomkostning for de to ruter 0-‐i-‐0 og 0-‐j-‐0 ses i (10). Hvis de to ruter lægges sammen, til

rute 0-‐i-‐j-‐0 benævnt 𝐷! er transportomkostningen (11). Ved at kombinere de to ruter opnås en

omkostningsbesparelse betegnet 𝑆!", som ses i (12).

Figur 3: Eksempel på saving


Side 10 af 66

(10) 𝐷! = 𝑐!!+𝑐!! + 𝑐!!+𝑐!!

(11) 𝐷! = 𝑐!!+𝑐!" + 𝑐!!

(12) 𝑆!" = 𝐷!−𝐷! = 𝑐!!+𝑐!! − 𝑐!"

Når der er tale om store værdier af 𝑆!" indikerer det, at det er attraktivt at besøge knude 𝑖 og 𝑗 på samme

rute.

Udgangspunktet for metoden er ruter, der indeholder depotet og en anden knude. Herefter er

fremgangsmåden at sammenlægge ruter i henhold til de største besparelser, som kan genereres. Der

gennemføres følgende step:

Step 1: Udregn besparelserne 𝑆!" = 𝑐!! + 𝑐!! − 𝑐!" for 𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑛 og 𝑖 ≠ 𝑗. Lav 𝑛 − 1 ruter

0, 𝑖, 0 𝑖 = 1,… , 𝑛

Step 2: Opstil besparelserne med tilhørende ruter i faldende orden.

Step 3: Betragt to ruter fra toppen af listen indeholdende kanterne 𝑖, 0 og 0, 𝑗 . Hvis 𝑠!" > 0

undersøges det, om det er muligt at sammenlægge de to ruter ved at danne kanten 𝑖, 𝑗

og slette kanterne 𝑖, 0 og 0, 𝑗 . Hvis den fremkomne rute er mulig, beholdes kanten.

Dette step gentages, indtil det ikke er muligt at lave flere forbedringer.

Savings algoritmen findes i en sekventiel og en parallel version. I den sekventielle version bygges en rute af

gangen, og der begyndes derfor fra toppen af listen hver gang, der er foretaget en ny sammenlægning.

Dette er nødvendigt, da der kan være fremkommet nye kombinationer, som ikke tidligere var mulige. I den

parallelle version kan der bygges på flere ruter samtidig, og her kræves det derfor kun, at listen gennemgås

en gang [Clarke & Wright, 1964; Laporte, 1992; Lysgaard, 1997].

Algoritmen har nogle mangler, da den implicit ignorerer køretøjets faste omkostning samt vognparkens

størrelse. Køretøjets omkostning kan der dog tages højde for ved at tilføje en konstant for hver 𝑐!! 𝑗 =

1,… 𝑛 . I tilfælde med en fast vognpark kan step 3 gentages, indtil det ønskede antal ruter er opnået,

uafhængig af, om besparelserne bliver negative [Laporte, 1992]. Det er yderligere en stor mangel, at

algoritmen ikke er særlig fleksibel. Det er muligt at tilføje bibetingelser, men det forringer kvaliteten af

løsningen, da heuristikken er baseret på en grådig heuristik, der ikke er i stand til at fortryde tidligere

utilfredsstillende rutesammenlægninger. De store fordele ved metoden er dog, at den er meget hurtig og

simpel [Cordeau et al., 2002].


Side 11 af 66

2.1.4 Eksempel på savings heuristik

Følgende eksempel består af 5 kunder 𝑖 = 1,2,… , 5 og et depot repræsenteret ved 0. Efterspørgslen hos

de fem kunder er vist i tabel 1. Omkostningsmatricen, som angiver transportomkostningen mellem depotet

og kunderne, er vist i tabel 2. Omkostningerne antages at være symmetriske, hvorfor det kun er halvdelen

af tabellen, der er udfyldt. Der er et uendeligt antal homogene køretøjer til rådighed, hvis kapacitet er på

100 enheder.

Kunde 1 2 3 4 5 Efterspørgsel 37 35 30 25 32

Tabel 1: Efterspørgsel hos kunde 1-‐5

Fra

0 1 2 3 4 5

Til

0 -‐ 1 28 -‐ 2 31 21 -‐ 3 20 29 38 -‐ 4 25 26 20 30 -‐ 5 34 20 32 27 25 -‐

Tabel 2: Transportomkostninger fra knude i til knude j

Ved brug af savings heuristikken udregnes besparelserne 𝑆!". Besparelsen ved eksempelvis at lægge kunde

1 og 2 på samme rute udregnes ved brug af (12) fra afsnit 2.1.3:

(13) 𝑆!" = 28 + 31 − 21 = 38

Alle besparelser 𝑆!" er udregnet og fremgår af bilag 1. I tabel 3 er besparelserne opsat i stigende orden med

tilhørende kundepar.

Besparelse Kundepar 42 1-‐5 38 1-‐2 36 2-‐4 34 4-‐5 33 2-‐5 27 1-‐4 27 3-‐5 19 1-‐3 15 3-‐4 13 2-‐3

Tabel 3: Besparelser i stigende orden

Løses problemet sekventielt er fremgangsmåden som følger. Først kigges der på kunde 1 og 5, hvor der er

en besparelse på 42. Lægges de to kunder på same rute bliver deres samlede efterspørgsel 69 enheder. Da

dette ikke overstiger køretøjets kapacitet lægges disse derfor ved siden af hinanden på samme rute. Den


Side 12 af 66

næste besparelse på 38 er mellem kunde 1 og 2. Hvis disse to kunder skal placeres ved siden af hinanden

på en rute, kræver det, at ruten hedder enten 2-‐1-‐5 eller 1-‐5-‐2. Den samlede efterspørgsel på en sådan rute

bliver 104, hvilket overstiger lastbilens kapacitet. Ruten er derfor ikke mulig. Næste par er kunde 2 og 4.

Tilføjes disse skabes der en ny rute, hvilket ikke er tilladt i den sekventielle metode, da den er begrænset til

kun at lave en rute af gangen. Den næste kombination er kunderne 4-‐5, hvilket vil resultere i rute 1-‐5-‐4

eller 4-‐5-‐1. Rutens efterspørgsel er 94, og kunde 4 tilføjes derfor ruten. Det er ikke muligt at tilføje flere

kunder til ruten, da køretøjets kapacitet i så fald ville overstiges. Den endelige rute er dermed 0-‐1-‐5-‐4-‐0, og

har en transportomkostning på 98. Derefter gennemgås listen fra toppen igen. Det er kun kunde 2 og 3,

som ikke er blevet serviceret, hvorfor ruten 0-‐2-‐3-‐0 oprettes. Ruten har en efterspørgsel på 65 og en

transportomkostning på 89. Den sekventielle fremgangsmåde giver en løsning med to ruter og en total

transportomkostning på 187.

I den parallelle fremgangsmåde kombineres kunde 1 og 5 også først. Som før kan kunde 1 og 2 ikke lægges

på ruten på grund af manglende kapacitet. I denne metode er det tilladt at lave flere ruter af gangen,

hvorfor der oprettes en ny rute 0-‐2-‐4-‐0 med en efterspørgsel på 60. Tilføjelse af kundepar 4-‐5 vil resultere i

en sammenlægning af to ruter. Dette er ikke muligt da kapaciteten overstiges. Det samme er gældende for

kundepar 2-‐5 og 1-‐4. Til sidst kombineres kundepar 3-‐5 til rute 0-‐1-‐5-‐0, hvilket giver ruten 0-‐1-‐5-‐3-‐0 med en

efterspørgsel på 99. Den parallelle fremgangsmåde giver dermed en løsning med 2 ruter og

transportomkostninger på i alt 171.

I dette eksempel gav den parallelle løsning et bedre resultat end den sekventielle, hvilket også forekommer

oftest. Den parallelle metode kan dog, afhængig af hvordan den er implementeret, involvere mere

beregningsarbejde, da der skal holdes styr på flere ruter samtidigt. Generelt er den ene metode derfor ikke

bedre end den anden [Lysgaard, 1997].

2.2 Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) Vehicle routing problem with time windows (VRPTW) er en udvidelse af VRP [Toth & Vigo, 2002]. VRPTW

begrænses yderligere af, at hver knude skal besøges og serviceres indenfor et givet tidsinterval, kaldet et

tidsvindue. Desuden skal køretøjet blive hos knuden under service [Kallehauge, 2006]. Tidsvinduerne kan

være bløde eller hårde. De er bløde, når det er tilladt at overtræde dem for en given omkostning, hvorimod

hårde tidsvinduer ikke tillader, at knuden serviceres uden for tidsvinduet. Dette betyder, at hvis et køretøj

eksempelvis ankommer for tidligt til en given knude, skal køretøjet vente, før det kan påbegynde service af

knuden [Kallehauge et al., 2005]. VRPTW er ligesom VRP NP-‐hard [Toth & Vigo, 2002].


Side 13 af 66

2.2.1 Notation

VRPTW er defineret på et netværk 𝐺 = (𝑉,𝐴). VRPTW problemet består af en vognpark K og en mængde af

kunder 𝑁 = 𝑉 ∖ 0, 𝑛 + 1 , hvor vognparken typisk anses for værende homogen. I netværket 𝐺 er

startdepotet repræsenteret af knude 0 og slutdepotet af knude 𝑛 + 1. Tidsvinduet for knude 𝑖 er defineret

ved 𝑎! , 𝑏! , hvor 𝑎! er tidligste tidspunkt for service og 𝑏! er seneste tidspunkt for service. Tiden for service

af knude 𝑖 betegnes 𝑠! og rejsetiden fra knude 𝑖 til knude 𝑗 er defineret 𝑡!" Til depoterne er der tilknyttet et

tidsvindue 𝑎!, 𝑏! = 𝑎!!!, 𝑏!!! = 𝐸, 𝐿 , hvor 𝐸 er den tidligste afgang fra depotet og 𝐿 den seneste

ankomst til depotet. Der er ingen efterspørgsel og servicetid i depot knuderne, hvilket vil sige, at 𝑑! =

𝑑!!! = 𝑠! = 𝑠!!! = 0.

Der eksisterer kun mulige løsninger såfremt den tidligste afgang fra depotet er mindre end eller lig med

minimum for seneste servicetidspunkt i knude 𝑖 fratrukket rejsetiden til knude 𝑖. Det vil sige 𝑎! = 𝐸 ≤

𝑚𝑖𝑛!∈!∖ ! 𝑏! − 𝑡!!. Yderligere skal det gælde, at den seneste ankomst til slutdepotet, skal være større end

eller lig med minimum for tidligste servicetidspunkt hos knude 𝑖 plus den tid, det tager at servicere knuden

og rejse til slutdepotet. Det betyder, at 𝑏!!! = 𝐿 ≥ 𝑚𝑖𝑛!∈!∖ ! 𝑎! + 𝑠! + 𝑡!!. En kant 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴 kan

elimineres, hvis der sker overtrædelse af et tidsvindue. Det vil sige, hvis 𝑎! + 𝑠! + 𝑡!" ≥ 𝑏!. Det kan

yderligere ske som følge af kapacitetsbegrænsninger. Givet en knude 𝑖 betegner ∆!(𝑖) de kanter som går

ind i knude 𝑖. Modsat betegner ∆!(𝑖) de kanter, der går ud af knude 𝑖. Det vil sige, det betegner de kanter,

som er opnåelige til og fra knude 𝑖. Dette er illustreret i figur 4.

Modellen består af beslutningsvariablene 𝑥!"# og 𝑤!", hvor 𝑥!"# er defineret i afsnit 2.1.1. Variablen 𝑤!"

angiver start af service i knude 𝑖 foretaget af køretøj 𝑘.

VRPTW kan matematisk beskrives som et multicommodity netværks-‐flow model med tidsvinduer og

kapacitetsbegrænsninger [Kallehauge et al., 2005; Toth & Vigo, 2002].

Objektfunktion:

(14) 𝑚𝑖𝑛 𝑐!"𝑥!"#(!,!)∈!!∈!

Figur 4: illustration af delta


Side 14 af 66

under bibetingelse af

(15) 𝑑! 𝑥!"# ≤ 𝐶!∈∆!(!)!∈!

∀𝑘 ∈ 𝐾

(16) 𝑥!"# = 1!∈∆!(!)!∈!

∀𝑖 ∈ 𝑁

(17) 𝑥!!" = 1!∈∆!(!)

∀𝑘 ∈ 𝐾

(18) 𝑥!"# − 𝑥!"# = 0!∈∆!(!)!∈∆!(!)

∀𝑗 ∈ 𝑁,∀𝑘 ∈ 𝐾

(19) 𝑥!,!!!,! = 1!∈∆!(!!!)

∀𝑘 ∈ 𝐾

(20) 𝑥!"#(𝑤!" + 𝑠!" + 𝑡!" − 𝑤!") ≤ 0 ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴,∀𝑘 ∈ 𝐾

(21) 𝑎! 𝑥!"#!∈∆!(!)

≤ 𝑤!" ≤ 𝑏! 𝑥!"#!∈∆!(!)

∀𝑖 ∈ 𝑁,∀𝑘 ∈ 𝐾

(22) 𝐸 ≤ 𝑤!" ≤ 𝐿 ∀𝑘 ∈ 𝐾, 𝑖 ∈ 0,𝑛 + 1

(23) 𝑥!"# ≥ 0 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐾

(24) 𝑥!"# ∈ 0, 1 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐾

(14) er problemets objektfunktion, hvor formålet er at minimere de samlede omkostninger under

bibetingelserne (15)-‐(24). Bibetingelse (15) er en kapacitetsbegrænsning, som sikrer at køretøjets kapacitet

ikke overstiges. Bibetingelse (16) sikrer, at hver knude er på præcis et køretøjs rute. Bibetingelserne (17)-‐

(19) er flowligninger. Bibetingelse (17) sikrer, at hvert køretøj begynder i depotet. (18) sikrer, at når et

køretøj ankommer til en kunde, skal den også køre videre til en ny kunde. Det vil sige, at det som går ind i

knuden skal også være lig det, som går ud af knuden. Bibetingelse (19) sikrer, at køretøjerne ender ruterne i

depotet. Begrænsningerne (20)-‐(22) sikrer, at tidsvinduerne overholdes. Bibetingelse (20) sikrer, at efter

endt service af knude 𝑖 starter service af knude 𝑗. Bibetingelse (21) sikrer, at start af service i knude 𝑖 er

større end det tidligste tidspunkt for service heraf. Samtidig skal start af service være mindre end det

seneste tidspunkt for service. Tilsvarende sikrer bibetingelse (22) at depotets tidsvindue overholdes.

Begrænsning (23) sikrer ikke-‐negativitet og (24) sikrer, at beslutningsvariablene er binære [Toth & Vigo,

2002].

VRPTW indeholder variable, som definerer start af service. Dette sikrer en unik ruteretning, som medfører,

at subturbegrænsningen fra det klassiske VRP er redundant [Kallehauge et al., 2005].


Side 15 af 66

2.3 Metaheuristikker VRPTW løses ofte ved brug af metaheuristikker. Der er lavet meget research omkring VRPTW, og der er

derfor anvendt mange forskellige metaheuristikker til at løse problemet [Ropke & Pisinger, 2007]. To af

disse er Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) og Jan Dethloff's Alg. Modified, som er de algoritmer,

applikationen logvrp benytter. Jan Dethloff’s alg. Modified (JDAM) kan kun benyttes til at løse VRP med

simultan levering og afhentning (VRPSDP), mens Adaptive Large Neighborhood search (ALNS) kan bruges til

at løse flere forskellige typer af VRP problemer, herunder CVRP, VRPTW, VRPSDP, site-‐dependent VRP

(SDVRP), Open VRP (OVRP) samt Multi-‐depot VRP (MDVRP) [Logvrp, 2012b]. Det vil sige, at begge

algoritmer kan anvendes i denne problemstilling. ALNS vil dog i langt de fleste tilfælde komme frem til en

bedre løsning end JDAM, hvilket er baggrunden for, at ALNS vil blive beskrevet i dybden.

ALNS er en udvidelse af Large Neighborhood Search (LNS). Både LNS og ALNS tilhører klassen af heuristikker

kendt som Very Large Neighborhood Search (VLNS) algoritmer. VLNS algoritmer søger i store nabolag, da

dette resulterer i, at der findes lokale optima af høj kvalitet, og der findes dermed bedre løsninger. Det er

dog tidskrævende at søge store nabolag, og derfor anvendes forskellige teknikker til at begrænse

søgningen. Nabolaget, der søges i, er dermed kun en del af det overordnede problem [Pisinger & Ropke,

2010].

2.3.1 Large Neighborhood Search (LNS)

I LNS tages der udgangspunkt i en brugbar løsning, som gradvist forbedres ved skiftevis at ødelægge og

reparere løsningen. Dette virker ved først at fjerne nogle knuder fra løsningen ved at fjerne deres ordrer,

hvorefter knuderne genindsættes på en bedre måde og løsningen dermed re-‐optimeres.

Ødelæggelsesmetoden er stokastisk, således at det er forskellige knuder, der fjernes hver gang.

Reparationsmetoden kan eksempelvis foretages med en grådig heuristik, som er beskrevet i afsnit 2.1.3.

Et eksempel på, hvorledes ødelæggelses-‐ og reparationsmetoden virker, ses af figur 5 a, b og c. Figur 5a

illustrerer en løsning på et VRP problem med 10 kunder repræsenteret ved cirkler, og et depot

repræsenteret ved et kvadrat. Figur 5b viser ødelæggelsesmetoden, som her er valgt til, at 30 % af

kunderne tilfældigt fjernes fra ruterne. Herefter repareres ruterne ved at indsætte kunderne igen på en

måde, der forbedrer løsningen, som vist i figur 5c. Som tidligere nævnt, kan reparationen eksempelvis

foretages ved at benytte en grådig heuristik.


Side 16 af 66

Figur 5: Eksempel LNS

Algoritmen tager udgangspunkt i en brugbar løsning x. Som udgangspunkt er den brugbare løsning x, lig

med den bedste løsning xb indtil videre. Der foretages en søgning i nabolaget, hvorefter ødelæggelses-‐ og

reparationsmetoden benyttes til at finde en ny løsning xt. Det vurderes herefter om den fremkomne løsning

xt skal erstatte den nuværende løsning x, eller om den skal forkastes. Hvorvidt løsningen x skal erstattes kan

vurderes ud fra forskellige metoder. En simpel metode er, at der kun accepteres en bedre løsning. Hvis

løsning x erstattes, tjekkes det derefter, om den nye løsning xt er den bedst kendte løsning. Er dette

tilfældet bliver xt lig med xb. Denne proces gentages indtil et stopkriterium nås. Stopkriteriet er typisk en

begrænsning på antallet af gentagelser eller tid. LNS søger ikke i hele nabolaget, men foretager kun

stikprøver. I LNS kan der anvendes forskellige ødelæggelses-‐ og reparationsmetoder. I forbindelse med

ødelæggelsesmetoden er det vigtigt, hvor stor en del af løsningen der ødelægges, da effekten af at anvende

et stort nabolag forsvinder, hvis det kun er små dele, som ødelægges. Når løsningen skal repareres, kan der

vælges mellem en eksakt og en heuristisk metode. Eksakte løsninger vil tage længere tid, men giver

potentielt bedre løsninger. I LNS benyttes der kun en ødelæggelses-‐ og en reparationsmetode, hvorimod

ALNS benytter flere inden for samme søgning [Shaw, 1998; Pisinger & Ropke, 2010].

2.3.2 Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS)

Da der i ALNS anvendes flere ødelæggelses-‐ og reparationsmetoder tildeles hver af disse en vægt, som

kontrollerer, hvor ofte metoden forsøges anvendt i søgningen. Vægtene tilpasses under søgeprocessen, så

heuristikken tilpasser sig problemet og søgningens stadie. Yderligere adskiller ALNS sig fra LNS ved, at der

søges i flere nabolag af gangen. Hvilket nabolag, der anvendes, kontrolleres ud fra performance. ALNS

algoritmen er i store træk opbygget på samme måde som LNS. Algoritmen fremgår af figur 6. Der tages

udgangspunkt i en brugbar løsning x, som initialt er lig med den bedste løsning xb. Der udvælges en

ødelæggelsesmetode og en reparationsmetode ud fra den tildelte vægt og en sandsynlighed. Ødelæggelsen

består i af fjerne q knuder fra de eksisterende ruter ved at fjerne deres ordrer, hvorefter

reparationsmetoden indsætter knuderne i en


Side 17 af 66

1. Konstruér en mulig løsning x; sæt xb:=x

2. Vælg ødelæggelses-‐ og reparationsmetoder baseret på tidligere opnåede scorer og en

sandsynlighed.

3. Generer en ny løsning xt fra x

4. Hvis xt kan accepteres, så sæt x : = xt

5. Opdater scorer

6. Gentag 2-‐5 indtil stopkriterium er nået

7. Anvend xb

Figur 6: ALNS algoritme

eller flere mulige ruter. Herefter accepteres eller forkastes den nye løsning på sammen måde som i LNS.

Inden denne proces igen foretages, opdateres de anvendte metoders vægte. Vægtene opdateres efter,

hvor god performance den enkelte ødelæggelses-‐ og reparationsmetode har haft. Vægtene justeres for at

sikre, at de metoder, som giver bedre løsninger, har større sandsynlighed for at blive valgt igen. Denne

proces fortsætter indtil et stopkriterium nås [Pisinger & Ropke, 2010].

ALNS kan gøre brug af 7 forskellige heuristikker til fjerne knuder fra løsningen. Hver heuristik søger i et givet

nabolag. Det er muligt at vælge mellem random remowal, worst removal, related removal, cluster removal,

time-‐oriented removal, historical node-‐pair removal samt historcial request-‐pair removal.

I random removal fjernes q knuder tilfældigt fra løsningen, hvilket sikrer, at løsningen diversificeres. Dette

er den mest simple heuristik [Ropke & Pisinger, 2007].

Worst removal fjerner derimod knuder, som er meget dyre, eller som på en eller anden måde ødelægger

strukturen af den nuværende løsning. Dette gøres, indtil q knuder er fjernet fra løsningen. Løsningen

randomiseres med parameteren p for at sikre, at det ikke er de samme knuder, som fjernes igen og igen.

Det betyder, at hvis p er lille vælges de dyreste ruter, mens mindre dyre knuder vælges, når p er større

[Ropke & Pisinger, 2006a].

I fjernelsesheuristikken related removal er formålet at fjerne et sæt af knuder, som er indbyrdes forbundne

og dermed nemme at bytte om på. Sammenhængen defineres udelukkende ud fra distancen mellem

knuderne. Der udvælges tilfældigt en knude i, derefter vælges gentagende gange en ny knude j, som er

mest forbundet til i. Også her benyttes parameteren p for at randomisere processen. Hvis denne er lig med

0 vælges altid den mest relaterede knude.

Cluster removal ligner til dels related removal. I cluster removal fjernes klynger af forbundne knuder fra

nogle få ruter. Klynger kan eksempelvis være kunder, der er grupperet i samme geografiske områder.

Såfremt blot én knude fra klyngen ikke fjernes sammen med de øvrige knuder fra klyngen er der en tendens

til, at de fjernede knuder blot vil blive sat ind på den samme rute igen på grund af den tilbageværende


Side 18 af 66

knude. Motivationen bag denne heuristik er dermed at fjerne store klumper af relaterede knuder fra nogle

få ruter i stedet for at fjerne få knuder fra hver rute [Ropke & Pisinger, 2006b]. En illustration heraf ses i

figur 7.

I time-‐oriented removal fjernes knuder, som betjenes på nogenlunde samme tidspunkt. Det gøres, fordi det

burde være nemt at bytte om på disse knuder. Da der ofte er tale om et stort geografisk område, udvælges

der først en mængde af geografisk forbundne knuder, hvorefter de knuder, som bliver betjent på

nogenlunde samme tidspunkt, fjernes. Hvis knuder udelukkende fjernes ud fra betjeningstidspunktet, ville

det kun være få knuder, som blev fjernet, hvilket ville gøre det svært at lave en forbedret løsning [Ropke &

Pisinger, 2007].

I historical node-‐pair removal tages der udgangspunkt i den historiske succes af at besøge to knuder efter

hinanden. Hver kant mellem et knudepar tilføjes en vægt, som opdateres hver gang der findes en ny

løsning. Vægtene bruges til at fjerne de knuder, som har de største omkostninger. Omkostningen for hver

knude beregnes ved at summe vægten af de tilstødende kanter. Dette fortsætter indtil q knuder er fjernet.

Der er også tilføjet noget tilfældighed, så det ikke altid er de knuder med de højeste omkostninger, som

fjernes, hvilket sikrer, at det ikke er de samme knuder som fjernes igen og igen [Ropke & Pisinger, 2006b;

Ropke & Pisinger, 2007].

Historical request-‐pair removal tager modsat histroical node-‐pair udgangspunkt i den historiske succes af at

servicere to knuder med den samme bil, hvilket betyder, at de ikke nødvendigvis besøges efter hinanden.

Der tilføjes en vægt til de to knuder, som fortæller hvor mange gange de har været på samme rute.

Vægtene indikerer, hvor forbudne de to knuder er, og knuderne fjernes herefter på samme måde som ved

related removal [Ropke & Pisinger, 2007]. Efter at q knuder er blevet fjernet, skal de genindsættes ved

parallelt at konstruere brugbare ruter. Til dette kan der gøres brug af den almindelige grådige heuristik og

fortrydelsesheuristikken.

Figur 7: Cluster removal heuristic. Figuren til venstre viser den nuværende løsning, mens figuren til højre viser en bedre løsning efter fjernelse af klyngen, der indeholder knuderne 6-‐8


Side 19 af 66

I den grådige heuristik indsættes en knude altid på den billigste position i den billigste rute. Dette gøres

indtil der ikke er flere knuder, eller til det ikke er muligt at indsætte flere. Fortrydelsesheuristikken forsøger

at være fremadrettet for at undgå, at det er de dyreste knuder, som er tilbage til sidst, hvor der ikke er

særlig mange muligheder for at indsætte dem. I fortrydelsesheuristikken udregnes forskellen i

omkostningen ved at indsætte en knude på den billigste og den næstbilligste rute. Dette gøres for alle de

fjernede knuder. Den knude, hvor der er den største forskel i omkostningen indsættes billigst position i den

billigste rute. Det vil sige, at de knuder som indsættes først er dem man vil fortryde mest ikke at have

indsat, hvis det resulterede i, at de skulle indsættes på den næste bedste position. Dette skyldes, at

forskellen mellem at indsætte knuden på den bedste og den næstbedste position er meget stor. Udregning

af omkostninger og indsættelse af de enkelte kunder fortsættes, indtil der ikke er flere knuder, som kan

indsættes [Ropke & Pisinger, 2006a; Ropke & Pisinger, 2007].

I LNS benyttes et simpelt acceptkriterium for om den fundne løsning i hver iteration benyttes eller ej. Der er

dog risiko for, at acceptkriteriet bliver fanget i et lokalt minimum. For at undgå dette anvendes der i ALNS

simulated annealing, som i nogle tilfælde vil acceptere løsninger, der er dårligere end den nuværende, for

at undgå lokalt minimum [Ropke & Pisinger, 2006a]. Simulated annealing stammer fra en

hærdningsproces, hvor formålet er at fremstille faste stoffer ved brug af lave mængder af energi.

Annealing er en proces, hvor et fast stof smeltes ved at temperaturen øges, hvorefter temperaturen

gradvist reduceres i en række stadier med lav energi for at opnå en fast tilstand. Hvert stadie fastholdes

indtil den ønskede tilstand af stoffet opnås. I sammenhæng med VRP svarer et stadium til en løsning eller

et sæt af ruter, og den anvendte energi svarer til løsningens omkostninger [Gendreau et al., 2008]. Givet

den nuværende løsning x accepteres xt med en sandsynlighed angivet i (25)

(25) 𝑒!(! !! !! ! )/!

T angiver en temperatur større end 0. Temperaturen T reduceres i hver iteration med en kølingsrate c, som

ligger mellem 0 og 1. Starttemperaturen udregnes ud fra den problemstilling, der arbejdes med. Ved høje

temperaturer er der større sandsynlighed for, at dårlige løsninger accepteres. I takt med at temperaturen

nedkøles er det bedre og bedre løsninger, som accepteres.

Udover at benytte simulated annealing tilføjes der også noget ”noise” i ødelæggelses-‐ og

reparationsheuristikkerne. Dette gøres for at sikre, at det ikke er altid er den bedste lokale løsning, som

vælges, og at løsningen dermed ikke bliver fanget i et lokalt minimum [Ropke & Pisinger, 2006a].

Denne heuristik minimerer omkostninger, hvilket betyder, at der skal bruges en to-‐trins model for også at

reducere antallet af anvendte lastbiler. Dette gøres ved gentagende gange at fjerne en rute, hvorefter

kunderne på denne rute forsøges placeret på andre ruter. Hvis dette er muligt, fortsættes der i ALNS med


Side 20 af 66

det lavere antal af ruter. Hvis det derimod ikke kan lade sig gøre, anvendes den sidst mulige løsning, og

ALNS køres indtil stopkriteriet er nået [Ropke & Pisinger, 2007].

3. Virksomhedsbeskrivelse Arla Foods opstod som en fusion mellem svenske Arla og danske MD Foods d. 17. april 2000 [Arla Foods,

2012a]. De to mejeriers rødder går helt tilbage til henholdsvis 1881 i Sverige og 1882 i Danmark, hvor de

første andelsmejerier startede. Mejeriselskabet Danmark (MD) blev stiftet d. 1. oktober 1970 som en fusion

af flere mejerier, og efterfølgende kom endnu flere mejerier til. I 1988 skiftede mejeriet navn til MD Foods,

og i 1989 blev MD Foods International oprettet for at kunne drive virksomhed internationalt og opkøbe

mejerier i udlandet. I 1999 fusionerede MD Foods med Kløvermælk og tilsammen stod de nu for 90 % af

den samlede mælkeproduktion i Danmark. Herefter fusionerede de med svenske Arla, som står for 65 % af

den svenske mælkeproduktion [Arla Foods, 2012b]. Arla Foods fortsatte derefter med at ekspandere ved

opkøb og fusioner i Danmark såvel som i udlandet, seneste har de fusioneret med tyske Hansa-‐Milch i 2011

[Arla Foods, 2012a]. Det er fortsat en del af Arla Foods’ strategi at ekspandere ved opkøb og fusion, idet

markedet for mejeriprodukter er meget konkurrencepræget, og det er nødvendigt at være stor for at

overleve [Arla Foods amba, 2012]. I dag har Arla Foods produktion i 13 lande, og deres produkter sælges i

mere end 100 lande, hvoraf kernemarkederne er Storbritannien, Danmark, Sverige, Finland, Tyskland og

Holland [Arla Foods, 2012c]. I 2011 havde Arla Foods en nettoomsætning på 54.893 mio. kr., hvoraf 70 % af

omsætningen blev realiseret på kernemarkederne. Årets resultat før minoritetsinteresser var på 1.332 mio.

kr. sammenlignet med 1.253 mio. kr. i 2010. Arla Foods beskæftigede i gennemsnit 17.417 ansatte i 2011

[Arla Foods amba, 2012].

Idet Arla Foods er ejet af landmændene er en del af deres vision at opnå den højeste mælkepris til ejerne,

derfor er arlaindtjeningen en vigtig regnskabsmæssig post. Arla Foods og deres ejere benytter

arlaindtjeningen til at sammenligne deres indtjening med andre mejeriselskaber. Arlaindtjeningen er det

samlede resultat pr. kilo mælk i en begrænset periode. I 2011 er arlaindtjeningen steget med 11 % til 2,80

kr., hvilket er på niveau med de bedste resultater [Arla Foods amba, 2012].

3.1 Arla Christiansfeld I Christiansfeld ligger en af Arla Foods’ 4 ferskvareterminaler. De øvrige ferskvareterminaler er placeret i

Hobro, Slagelse, og Ishøj. Terminalen i Ishøj adskiller sig dog fra de øvrige terminaler, idet den ikke har eget

mejeri og udelukkende koncentrerer sig om distributionen til København og omegn. Ferskvareterminalerne

i Slagelse og Ishøj dækker Sjælland og København, mens terminalen i Hobro dækker Jylland nord for

Ringkøbing og Horsens. Christiansfeld dækker det resterende Jylland og Fyn. Terminalernes områder ses af


Side 21 af 66

bilag 2. Ferskvareterminalen i Christiansfeld består af et mejeri, et ostelager og en transportterminal, på

22.700 m2. Her er der desuden også en eksportafdeling, som varetager forsendelser til blandt andet

Grønland og Færøerne samt leverancer til NATO.

Der er 100 ansatte i distributionen, og Arla Christiansfeld råder over en vognpark på 51 lastbiler, som kører

ca. 10 timer i døgnet. Der leveres til i alt 950 butikker, hvoraf 750 af disse får levering dagligt. Der sker

levering 6 dage om ugen, fra mandag til lørdag[Arla Foods, 2011b; Bloch, 2012].

I Christiansfeld produceres Lærkevang mælk, skolemælk, fløde og madlavningsfløde, kærnemælk, A38,

koldskål samt produkter til eksport, som alle hører ind under varemærket Arla®. Derudover produceres der

også mælk under en række private labels, hvilket også kaldes billigmælk [Arla Foods, 2011b]. Lærkevang er

frisk mælk, som hentes hos udvalgte landmænd hver dag, hvorimod mælken, som bruges til produktion af

billigmælk, kun hentes hver anden dag. Mælken ankommer til Christiansfeld igennem hele dagen, hvor det

bliver indvejet, testet og forarbejdet.

Lærkevang skal være frisk mælk, og derfor begyndes produktionen heraf først kl. 00.00, så

datomærkningen har dags dato, når den ankommer til butikkerne. Når produktionen af Lærkevang er

afsluttet, begynder man at producere billigmælken, som først bliver leveret den efterfølgende dag. Når

mejeriet udnytter sin kapacitet fuldt ud, kan der produceres op til 80.000 liter mælk i timen.

Mælken produceres efter ordrer, som butikkerne har sendt til deres respektive kæder. Kæden splitter

ordrerne op og sender de ordrer, som vedrører Arla videre til de enkelte ferskvareterminaler. I

Christiansfeld skal ordren være modtaget kl. 20.00. Herefter kan de begynde at planlægge nattens

produktion og transport.

Udover mælk transporterer terminalen i Christiansfeld også mejeriprodukter, der produceres på andre af

Arlas mejerier samt varer fra eksterne producenter, som kan transporteres under samme forhold som

mælken. Dette kan være kød og pålæg samt frugt og grønt, som også skal tidligt ud i butikkerne. Arla

tilbyder at varetage transporten af disse produkter som et tilbud til de forskellige butikskæder, således at

de enkelte butikker modtager færre leverancer samt for at optimere Arlas egen transport. Det er dermed

kun omkring 1/3 af lastbilernes indehold, der er mejeriprodukter. Mælken er dog den styrende faktor for

planlægningen. Varerne, som kommer udefra, ankommer til Christiansfeld med Arlas egne lastbiler i løbet

af dagen frem til kl. 23.00. Alle varerne er mærket fra producenten og håndteres elektronisk, så det så vidt

muligt undgås at flytte rundt på varerne. Det betyder desuden, at der er mange systemer, der arbejder

sammen på tværs, da de eksterne producenters systemer er koblet op på Arlas. Den sene ordreafgivelse og

den eksterne levering gør, at det først er kl. 23.00, at de i Christiansfeld har en viden om hvor meget, der

skal transporteres ud til de enkelte butikker den efterfølgende nat og morgen[Bloch, 2012]. På dette


Side 22 af 66

tidspunkt er 90 % af ordrerne tilgængelige i deres system [Arla Foods, 2011b]. Da planlægningstiden er så

kort, har de et stamrutenet, som der køres efter. Det er kun eventuel overlast, der skal planlægges manuelt

i systemet. Til at håndtere denne overlast har de tilknyttet nogle eksterne vognmænd, som står til

rådighed, hvis der skal oprettes ekstra ruter[Westergaard, 2012].

I terminalen plukkes og ekspederes alle de forskellige produkter ud fra ordrerne. Dette gøres ved hjælp af

et pick-‐to-‐voice system, hvor medarbejderne går med head-‐sets, og ordrerne læses op for dem. Det

medfører høj sikkerhed for korrekt ordrehåndtering og giver medarbejderne mulighed for at benytte begge

hænder til at håndtere varerne. I terminalen håndteres der i alt ca. 27.000 ordrelinjer pr. døgn [Arla Foods,

2011b]. Til distribution om natten anvendes 17 porte, hvor varernes rankes op foran. Dele af ordren kan

rankes op i god tid, mens Lærkevang først tilføjes ranken til sidst på grund af den sene produktion. Når hele

ordren er på plads læsses den i lastbilen i en hensigtsmæssig rækkefølge.

Den første lastbil forlader allerede terminalen kl. 01.00, mens den sidste kører kl. 06.00. 85 % af varerne er

leveret inden kl. 09.00, mens de sidste leveres frem til kl. 12.00. Leveringen til butikker sker i henhold til

forskellige kædeaftaler, hvor kæderne køber sig til levering inden for et bestemt tidspunkt. Dette betyder,

at eksempelvis Bilka skal have leveret inden kl. 08.00. Kædeaftalerne fremgår af bilag 3. Ud fra

stamrutenettet kan Arla estimere en forventet leveringstid, som de derefter lover butikken at holde. Den

lovede tid med en tilladt afvigelse på 15 minutter er deres anløbstid. Dette er et vigtigt servicemål for Arla

at opretholde, da det især er vigtig for butikker uden ekstra kølerum at vide, hvornår mælken ankommer. I

dag ligger anløbskvaliteten på ca. 95 %. Når morgenens transport er overstået, anvendes ca. halvdelen af

lastbilerne til mellemtransport. Det er transport af emballage mellem mejerierne, samt afhentning af

mejeriprodukter hos de øvrige mejerier og kød, frugt og grønt hos eksterne producenter. Disse produkter

er en del af den efterfølgende dags leveringer. Om aftenen anvendes ca. 10 af lastbilerne til leveringer hos

grossister og cateringfirmaer, som ønsker andre leveringstider end butikkerne, idet de skal levere til deres

egne kunder om morgenen. Når disse lastbiler kommer tilbage om natten, indgår de i transporten til

butikkerne. Denne døgncyklus gentages seks dage om ugen fra mandag til lørdag[Bloch, 2012].

3.2 Nuværende procedure Arla benytter et system fra Transvision til at planlægge distributionen. Systemet benytter sig af seks

forskellige algoritmer. En af de anvendte algoritmer er LNS. I Arla fungerer LNS ved at udtage og

genplanlægge ordrer efter forskellige principper fra gang til gang. Ved udtagelse af ordrer anvendes blandt

andet tilfældig udvælgelse, og i nogle tilfælde vil der også blive udtaget en hel rute. De øvrige algoritmer

sørger blandt andet for udregning af hurtigste ruter, fordeling af ordrer på et passende antal ruter,

ændringer ruterne imellem, sekvensoptimering og en form for fortrydelsesheuristik [Lerke, 2012].


Side 23 af 66

I Arla er systemet udformet i en analysedel og en driftsdel. Analysedelen bruges til at lave stamruteplaner,

samt til at løse problemstillingen under forskellige scenarier.

Når det faste rutenet skal opbygges, tages der først og fremmest udgangspunkt i de forskellige kædeaftaler,

da disse er bestemmende for, hvornår levering skal have fundet sted. Derudover skal der også tages hensyn

til butikkernes adgangsforhold, da det kun er nogle butikker, de kan levere til uden, at der er bemanding i

butikken. I systemet er alle butikker tilføjet med ovennævnte tidsbegrænsninger, og der er tilmeldt x antal

lastbiler i forskellige tidsintervaller. Dette er gjort, idet der skal tages hensyn til antallet af porte, samt

mejeriets kapacitet, som medfører, at alle lastbiler ikke kan køre på samme tidspunkt [Westergaard, 2012].

Chaufførernes arbejdstidsbestemmelser er ligeledes en begrænsning, der skal tages højde for i

planlægningen. I henhold til køre-‐ og hviletidsreglerne må chaufførerne køre 4,5 time, hvorefter der skal

holdes 45 minutters pause. Herefter må de igen køre 4,5 time. Køretiden er kun den tid, hvor lastbilen

kører, og køretiden kan derfor godt være opdelt i mindre tidsintervaller [Politiet, 2011]. Dette er således

også en begrænsning, som Arla skal være opmærksom på i deres planlægning af transporten. Derudover er

der nogle EU-‐direktiver omkring natarbejde, som Arla følger, selvom det endnu ikke er offentligt bestemt,

hvem der skal kontrollere dette. Det betyder, at personer, der har natarbejde, højest må arbejde 10 timer i

døgnet [EF-‐tidende, 2002].

Når der er taget højde for begrænsningerne, sættes systemet til at beregne den billigste løsning. Løsningen

gennemgås manuelt, hvorefter der korrigeres for at gøre den mere praktisk anvendelig. Man vil for

eksempel kunne opleve, at systemet sender to forskellige lastbiler ud til en lille by, men da dette ikke altid

er logisk i praksis, rettes løsningen til ved at afprøve forskellige alternativer[Westergaard, 2012].

I stamrutenettet køres der med dagsspecifikke ruter, idet mængderne varierer væsentligt på de forskellige

ugedage. Yderligere er der forskellige stamruter i løbet af året på grund af sæsonudsving. For at undgå for

stor overkapacitet er vognparken fastsat derefter. Dette betyder, at på dage med meget store ordrer,

hvilket typisk er mandag, fredag og lørdag, er der behov for eksterne vognmænd, som varetager ca. 15 % af

transporten. På mindre dage vil der være lastbiler, som står stille, men dette er dog nødvendigt i forhold til

vedligeholdelse, reparationer, syn med videre[Bloch, 2012].

Systemet sættes ikke til at beregne nye ruter dagligt, idet denne procedure er en tidskrævende proces. I

stedet synkroniseres ordrerne hver aften med stamruterne i Transvision. Herefter kan alle oplysninger om

de enkelte ruter ses. Det er blandt andet port nr., pålæsningstidspunkt, hjemkomst og kapacitet, samt om

der er overlast på ruten. Såfremt dette er tilfældet, skal medarbejderne på Arla manuelt flytte overlæs fra


Side 24 af 66

en rute over til en anden. Dette gøres i praksis ved at overflytte til ruter, som kører i samme område, og

hvor der er ledig kapacitet. Denne procedure gentages hver aften[Westergaard, 2012].

De faste stamruter modificeres med jævne mellemrum. Der kan laves tiltag ved at åbne og lukke ruter,

samt bytte rundt på kunderne indtil man har noget, som ser optimalt ud. I systemet er det derefter muligt

at se, hvor meget tid og hvor mange penge man kan spare[Westergaard, 2012]. Stamruterne burde ifølge

Arla modificeres oftere, men det er svært på grund af lang bearbejdningstid i forhold til de aftalte

kundetider. Hovedkonteret i Viby skal bruge 3 uger til at lave nye aftaler med de pågældende butikker,

derefter har butikkerne selv 3 uger til at godkende den nye plan. Samlet set er der altså en behandlingstid

på 6 uger for at kunne ændre væsentligt i ruteplanerne. De små ændringer, som bliver lavet dagligt som

følge af overlæs, er ikke noget problem, men man passer alligevel på, at det ikke er de samme butikker,

som bliver ”ramt” gentagende gange[Schjerning, 2012].

Distributionen i Arla er meget kompleks, og der er mange aspekter, der skal tages højde for.

Kompleksiteten gør, at det ikke er muligt at foretage daglig optimering. I den resterende del af opgaven vil

Arlas distributionsproblem blive analyseret. Her vil der dog blive foretaget daglig optimering.

4. Distributionsproblemet i Arla Christiansfeld Distributionsområde 2, som styres fra Christiansfeld er et område, som består af i alt 950 butikker, hvoraf

750 af butikkerne serviceres hver dag [Arla Foods, 2011b]. Idet vi ikke har mulighed for at håndtere så

meget data, har vi udvalgt delområdet Sønderjylland. Området består af 126 kunder samt terminalen i

Figur 8: Christiansfelds geografiske område med kunder placeret i Sønderjylland


Side 25 af 66

Christiansfeld. Bilag 4 viser en oversigt over data for de 126 kunder med tilhørende efterspørgsel. I dette

område er det heller ikke alle kunder, som bliver serviceret hver dag. Der er 89 ud af de 126 kunder, som

får levering dagligt jf. bilag 4. Nedenstående figur 8 viser området, som terminalen i Christiansfeld

servicerer samt kunderne for delområdet i Sønderjylland.

Der tages udgangspunkt i data fra uge 4. Efterspørgslen og gennemsnittet heraf ses i figur 9, hvor det

fremgår, at efterspørgslen er størst først og sidst på ugen. Efterspørgslen er mindst om onsdagen.

Efterspørgslen varierer fra uge til uge, men fordelingen følger det samme mønster.

Distributionsplanlægning af distributionsområde 2 svarer til et VRPTW, idet der er et depot (terminalen) og

en mængde af kunder, som skal serviceres inden for et givet tidsinterval af et antal lastbiler med en given

kapacitet. Hver kunde har tilknyttet et tidsvindue, hvori det er muligt at foretage levering. Idet Arlas

tidsbegrænsning er fastsat efter aftale med kunderne, som ydermere betaler en vis pris for at få leveret i

det givne tidsinterval, må tidsvinduerne betragtes som værende hårde tidsvinduer, der ikke må

overskrides. Yderligere er en chauffør nødsaget til at vente til tidsvinduet åbner, hvis han ankommer til en

kunde, hvor der ikke er noget kølerum eller noget personale til at tage mod leveringen.

Arla har som sådan ikke nogen begrænsning på antallet af lastbiler, idet de har mulighed for at hyre

eksterne vognmænd til en fast pris. I det efterfølgende vil problemerne fra afsnit 1.1 blive løst i henhold til

de forudsætninger, som opstilles i afsnit 4.1. Til sidst vil løsningerne blive diskuteret i forhold til hinanden,

og det vil munde ud i en anbefaling.

4.1 Forudsætninger og antagelser For at det er muligt at løse scenarier nævnt i afsnit 1.1 er det nødvendigt at opstille en række

forudsætninger og antagelser, idet det ikke er muligt at tage højde for alle begrænsninger i logvrp. Arlas

kunder efterspørger mange forskellige produkter, som blandt andet pakkes på rullepaller, i mindre bure og

i kasser. For at planlægge distributionen af disse er det nødvendigt at have en samlet enhed for

Figur 9: Efterspørgsel i uge 4 Note: Stregen viser gennemsnit for efterspørgslen.


Side 26 af 66

efterspørgslen. Efterspørgslen er derfor defineret i rullepaller. Dette medfører, at efterspørgslen fx kan

være 2,52 rullepaller på grund af de forskellige rullepalle størrelser. Det er Arlas mål i gennemsnit at have

41 rullepaller pr. tur, hvilket svarer til en fyldningsprocent på 80,39 % [Westergaard, 2012].

logvrp beregner et kapacitetsbrug i procent for hver lastbil, hvorefter der er beregnet en

gennemsnitskapacitetsbrug pr. rute. I opgaven benyttes denne dog ikke. I stedet benyttes lastbilens

fyldning fra den forlader terminalen, og der beregnes et gennemsnit af disse til at angive

fyldningsprocenten.

Arlas lastbiler har en kapacitet på 51 rullepaller, men rent praktisk er det ikke muligt at fylde lastbilerne

helt, idet der ofte skal være plads til en palleløfter[Westergaard, 2012]. I løsningen af scenarierne vil der

dog blive set bort fra dette, og det forudsættes, at lastbilen kan indeholde op til 51 rullepaller.

Ved planlægning af distributionen af mælk ud til butikkerne arbejder Arla også med en på-‐ og aflæsningstid.

Det tager 1 minut at pålæsse én rullepalle på lastbilen [Schjerning, 2012]. Idet efterspørgslen godt kan være

angivet med decimaler vil det betyde, at pålæsningstiden bliver x antal minutter og sekunder. logvrp kan

ikke håndtere sekunder, og der vil derfor blive afrundet til hele minutter efter almindelige afrundingsregler.

Fx vil en efterspørgsel på 2,52 rullepaller medføre en pålæsningstid på 2 minutter og 31 sekunder, hvilket

afrundes til 3 minutter. Der er også tilfælde, hvor efterspørgslen er mindre end 1. I disse tilfælde vil der

altid blive rundet op til 1 minut, da det ikke er retvisende at have en pålæsningstid på 0 minutter.

Det skal bemærkes, at pålæsningstiden ikke anvendes, når de faktisk kørte ruter modelleres i logvrp, idet

de reelle afgangstider er tilgængelige. Arla regner med en aflæsningstid hos kunden på 5 minutter plus 2

minutter pr. rullepalle[Schjerning, 2012]. Dette håndteres på samme måde som pålæsningstiden.

For at ruterne kan beregnes i logvrp skal der indtastes en gennemsnitshastighed for lastbilen. logvrp

modtager data fra Google omkring gennemsnitshastigheder på de forskellige vejtyper, men der benyttes

den samme gennemsnitshastighed uanset hvilken biltype, der benyttes. Derfor skal man indtaste en

gennemsnitshastighed for den type bil, som benyttes for at balancere hastighederne med Google[Logvrp,

2012a]. Det vil her antages, at lastbilerne har en gennemsnitshastighed på 60 km/t. Denne hastighed er

fastsat ud fra de faktisk kørte ruter og de tidspunkter, som er tilknyttet dertil. Der er dog ikke helt

overensstemmelse mellem de faktisk kørte ruters tidspunkter, når de modelleres i logvrp, hvorfor

tidsvinduerne i enkelte tilfælde bliver overskredet. Der ses dog bort fra overskridelsen, da systemet fra

Transvision er langt mere præcist og anvender 16 forskellige vejtyper. Den oprindelige løsning, vil derfor

kun analyseres ud fra modelleringen i logvrp. Dette giver et mere retvisende billede, da ruterne er lavet ud

fra samme forudsætninger.


Side 27 af 66

Solotrækker 475,20 kr. Trækker/citytrailer 521,86 kr. Trækker/trailer 528,19 kr. Anhængertræk 549,69 kr. Total 2.074,94 kr.

Gns. Timepris 518,74 kr.

Gns. Hastighed 60 km/t

Pris pr. km 8,65 kr.

Tabel 4: Pris pr. km

For at beregne omkostninger for de kørte ruter skal der angives en omkostning på bilen pr. kilometer.

Denne omkostning er fastsat ud fra de interne afregningspriser modtaget af Arla jf. bilag 5. [Bloch, 2012].

Tabel 4 viser prisen pr. km.

De anvendte timepriser er blot en vejledende gennemsnitspris, da priserne varierer afhængig af hvilken dag

og tidspunkt på døgnet, der er tale om. Det er derfor ikke den faktiske pris, men blot et udgangspunkt som

kan bruges til sammenligning. Det er ydermere muligt at indtaste en fast omkostning for bilen. Ifølge

Laporte (1992) giver det ofte mening at tildele en fast omkostning f til bilen, når antallet af lastbiler ikke er

fast. Der vil dog blive set bort fra faste omkostninger i denne opgave, da vi ikke har et brugbart grundlag

herfor. Det skal dog bemærkes jf. bilag 5, at nogle af de interne timepriser kunne være faste omkostninger.

De interne afregningspriser anvendes ligeledes, når Arla hyrer eksterne vognmænd, da de anvender Arlas

køretøjer. I opgaven vil der derfor ikke blive skelnet mellem egne og eksterne vognmænd.

Terminalen i Christiansfeld har 17 porte. Det betyder, at det ikke er alle lastbiler, som kan forlade

terminalen samtidig. Antallet af porte, samt mejeriets begrænsning gør, at det er nødvendigt at anvende en

rankeplan. Rankeplanen viser, hvornår lastbilerne kan begynde pålæsning i terminalen og fremgår af bilag

6. I løbet af uge 4 er der maksimalt brugt 9 lastbiler i det udvalgte område, hvorfor dette vil være antallet af

lastbiler i scenarierne. Ud fra rankeplanen, ses det af nedenstående tabel 5, hvornår disse lastbiler

begynder pålæsning. Afgangstider anvendes i scenarierne medmindre andet er nævnt.

Størstedelen af litteraturen ignorerer arbejdstidsbegrænsninger og forudsætter, at chaufføren kan arbejde

Lastbil L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 Læsning 01.00 01.00 02.00 02.30 03.00 03.15 04.30 05.00 05.30

Tabel 5: Starttidspunkt for pålæsning af lastbilen i terminalen efter rankeplan


Side 28 af 66

uendeligt [Xu et al., 2003]. Dette er også tilfældet i logvrp, da der ikke tages højde for, at chaufførerne ikke

må arbejde mere end 10 timer og efter 4,5 timers kørsel skal holde 45 minutters pause jf. afsnit 3.2. I

forbindelse med de faktisk kørte ruter vides det ikke, om chaufføren holder øvrige pauser, eller om der er

forstyrrelser på ruten. For hver enkelt rute er der i logvrp beregnet en køretid, samt en totaltid for alle

ruterne den pågældende dag. Sidstnævnte tid er beregnet, fra den første lastbil kan forlade terminalen, til

den sidste lastbil returnerer til terminalen. Det er derfor ikke nødvendigvis én lastbil, som kører i hele dette

tidsrum. I de i opgaven indsatte tabeller er tiden den maksimale køretid blandt ruterne den respektive dag.

Det vil sige, at det er køretiden for den lastbil, der kører i længst tid. Denne tid er valgt, idet det giver en

indikation af, om chaufførens arbejdstid overskrides.

Arla kører med faste ruter, mens der i logvrp optimeres hver dag. I de forskellige scenariers løsning

undersøges det derfor, om ruterne på de forskellige dage ligner hinanden. Sammenligningen vil tage

udgangspunkt i mandag, da dennes efterspørgsel ligger tættest på gennemsnittet jf. figur 9 i afsnit 4.

Da tidsvinduerne i denne problemstilling er hårde, er lastbilen nødt til at vente med at servicere kunden til

tidsvinduet åbner. I Arla kaldes denne ventetid for slack [Westergaard, 2012]. I logvrp er der ingen lastbiler

der venter, da programmet i stedet regulerer lastbilens hastighed, så denne blot kører langsommere. Dette

bevirker, at lastbilen, i stedet for at vente, ankommer på præcist det tidspunkt, hvor tidsvinduet

åbnes[Logvrp, 2012a]. Det forudsættes derfor, at der forekommer slack i de tilfælde, hvor lastbilen

ankommer præcis, når tidsvinduet åbner.

Idet logvrp anvender heuristikker, fremkommer der ofte forskellige løsninger hver gang, man løser

problemet. Der er derfor mulighed for, at finde bedre løsninger, jo flere gange den køres. Hvert delproblem

løses derfor tre gange, hvoraf den bedste løsning anvendes i opgaven. Det antages, at den bedste løsning er

løsningen med færrest omkostninger. I nogle løsninger forekommer ruter, hvor den samme lastbil kører 2

ture. Disse løsninger anvendes ikke uanset omkostningen, fordi Arla kun har 17 tilgængelige porte. Når

lastbilen ankommer til terminalen efter den første tur, vides det ikke, om der er en port tilgængelig, og

løsningen er derfor ikke hensigtsmæssig. Antallet af lastbiler svarer dermed til antallet af ruter.

4.2 Analyse I de efterfølgende afsnit vil distributionsproblemet i Arla blive analyseret under antagelserne 1 til 7 fra

afsnit 1.1. Til sidst vil resultaterne blive sammenlignet og diskuteret.


Side 29 af 66

4.2.1 Modellering af faktiske ruter

I hele Christiansfelds kundekreds har Arla i uge 4 kørt 271 planlagte distributionsruter. Derudover har de

kørt en ekstra rute mandag og fredag samt to ekstra ruter lørdag. Desuden har de haft 21 ruter ud til

grossister, som trods afgrænsningen er indeholdt i de efterfølgende generelle tal. Der har i gennemsnit

været 13,84 kunder pr. rute. Kunderne på distributionsruterne har i alt haft en efterspørgsel på 10.403,6

rullepaller, og den gennemsnitlig vognfyldning har dermed været på 77,2 % svarende til 38,4 rullepaller pr.

rute. Det betyder, at Arla ikke har opnået målet for gennemsnitsfyldningen på 80,39 %. De generelle data

fremgår af bilag 7.

I datasættet er de faktiske kørte ruter for Sønderjylland angivet, men for at tilpasse disse under vores

forudsætninger og antagelser, indtastes de i logvrp. Hermed bliver de faktisk kørte ruter også tildelt en

omkostning, som kan anvendes til sammenligningsgrundlag for de efterfølgende scenarier. Arlas faktisk

kørte ruter i Sønderjylland med tidspunkter fremgår af bilag 8. En sammenligning af ruterne fremgår af

bilag 9, og den specifikke løsning for mandag er vist i bilag 10. Resultatet af de kørte ruter ses af tabel 6. Der

har i alt været en efterspørgsel på 1.572,11 rullepaller og kørt 46 ruter på samlet 8.104 km. Dagligt er der

foretaget mellem 7 og 9 ruter, og i gennemsnit været 14,24 kunder pr. rute. Ruterne i

Sønderjylland hedder henholdsvis 200, 202, 203, 204, 205, 208, 209 og 212, samt 701, der er en ekstra rute,

der kun kører om lørdagen. De totale omkostninger for uge 4 er 70.077 kr. jf. tabel 6. Som nævnt i afsnit 4.1

er der ikke overensstemmelse mellem de faktisk kørte tider og køretiden i logvrp. Dette giver i få tilfælde

problemer med overholdelse af tidsvinduerne, da lastbilen enkelte steder ikke kan nå at levere før

tidsvinduet lukker. logvrp behandler ikke tidsvinduerne som hårde, når løsningen indtastes manuelt, men

der bliver dog gjort opmærksom på problemet. Der bliver derfor leveret til kunden, selvom lastbilen

ankommer efter, tidsvinduet lukker.

Mandag leveres der til 112 butikker fordelt på 8 ruter. Rute 200 har en vognfyldning på 59,50 % og forlod

oprindeligt terminalen kl. 05.36 og kom tilbage kl. 11.20 efter servicering af 14 kunder i Haderslev området.

I logvrp løsningen er lastbilen allerede tilbage i terminalen kl. 09.22, men en del af denne tidsdifference kan

Omkostning Antal Km Tid Gns.

fyldning Antal

butikker Efter-‐

spørgsel Antal

lastbiler Slack Mandag 11.695 kr. 1.352 km 08.09 62 % 112 251,50 8 11 Tirsdag 11.428 kr. 1.321 km 09.06 67 % 114 237,97 7 9 Onsdag 10.459 kr. 1.211 km 08.38 60 % 104 213,94 7 10 Torsdag 10.644 kr. 1.232 km 08.46 64 % 104 228,46 7 11 Fredag 12.046 kr. 1.393 km 08.23 70 % 113 283,56 8 9 Lørdag 13.805 kr. 1.596 km 07.59 78 % 108 356,68 9 11 Total 70.077 kr. 8.104 km 50:51 67 % 655 1.572,11 46 61

Tabel 6: Oprindelig løsning


Side 30 af 66

dog skyldes chaufførens pause. Der er ingen tidsvinduer på denne rute, som overskrides, hvorfor forskellen

udelukkende skyldes antagelsen om bilens hastighed og chaufførens pause. Rute 200 er meget stabil, da 10

af kunderne altid ligger på denne rute. De resterende 4 kunder skifter 1 eller 2 dage til rute 202 og 203

henholdsvis fredag og lørdag jf. bilag 9. Dette skyldes højest sandsynligt den øgede efterspørgsel på disse

dage. Om mandagen servicerer rute 202 10 butikker i Vojens. Der er kun ca. en times tidsforskel jf. bilag 8

og 10, hvilket skyldes chaufførens pause samt en levering til en kantine på Høgelund Mejeri, som ikke er

medtaget i vores kundesæt. Ruten kører jf. bilag 9 kun mandag, fredag og lørdag. De øvrige dage

overflyttes de 5 kunder, som serviceres alle dage, til rute 205, mens de resterende enten flyttes til

forskellige andre ruter eller kun serviceres nogle af ugens dage. Rute 203 er alle ugens dage en lille lokal

rute, som servicerer butikkerne i Christiansfeld. Distributionen til disse butikker løses på denne måde for at

få chaufførernes timeantal til gå op. Alle 4 butikker i Christiansfeld ligger kun på denne rute. De 3 dage,

hvor den sidste kunde i Christiansfeld, kunde 21222, får levering, ligger den også på rute 203. Desuden

tilføjes der yderligere 3 butikker om lørdagen fra rute 200 jf. bilag 9. Rute 204 er en stor stabil rute, som

servicerer 21 kunder om mandagen, der hovedsageligt er beliggende i Aabenraa området. 17 af kunderne

ligger fast på ruten, mens de resterende jf. bilag 9 overflyttes til ekstraruten 701 om lørdagen grundet den

højere efterspørgsel. Rute 205 kører i Sønderborg, Rødekro og på Sydals. Denne er stort set ens mandag og

fredag, men de resterende dage flyttes ca. halvdelen af kunderne rundt mellem rute 208 og 209. Lørdag

reduceres ruten til 9 kunder jf. bilag 9. Den reducerede rute skyldes højest sandsynligt en øget

efterspørgsel hos Bilka (22474) og Føtex (18830) på henholdsvis 5,24 og 5,15 rullepaller i forhold til om

mandagen. På ruten overskrides et tidsvindue, da lastbilen forlader kunde 18830 otte minutter for sent.

Dette fremgår af bilag 10 og er markeret med en tyk ramme. Rute 208 servicerer en række mindre byer

samt Gråsten og Padborg. Ruten er rimelig stabil, men får som nævnt nogle kunder fra rute 205. Det

samme er gældende for rute 209, som kører i Aabenraa, Sønderborg, Nordborg og Augustenborg. Rute 212

har om mandagen 15 kunder, hvoraf 11 af disse ligger fast på ruten. Af de resterende kunder flyttes 3 af

dem til rute 202 om lørdagen, hvor der er høj efterspørgsel jf. bilag 9.

Der er kun 7 ruter om tirsdagen, som i alt leverer til 114 butikker jf. tabel 6. Rute 202 kører ikke denne dag.

Der er en gennemsnitlig vognfyldning på 67 %. Det er 2 butikker mere end om mandagen, men til gengæld

er efterspørgslen 13,53 rullepaller mindre og vognflydningen er 5 % -‐point større. På rute 205 overskrides 2

tidsvinduer. Hos kunde 18830 når tidsvinduet at lukke inden, der er sket fuld levering. Derudover sker der

levering 18 minutter for sent hos kunde 3892.

Onsdag og torsdag er de dage, hvor efterspørgslen er mindst, og der er kun 104 kunder, som serviceres jf.

tabel 6. Det er også disse dage, hvor omkostninger og antal kilometer er lavest. Yderligere er der kun 7


Side 31 af 66

ruter, da rute 202 ikke kører. Begge dage overskrides tidsvinduet hos kunde 3892. Kunden ligger onsdag på

rute 205, hvor tidsvinduet når at lukke, inden der er nået at ske fuld levering. Yderligere når der slet ikke at

ske rettidig levering torsdag, da lastbilen først ankommer 09.14, og leveringen skal ske inden kl. 09.00.

Fredag er der 8 ruter, hvilket betyder, at rute 202 kører igen. Der er 113 kunder, som serviceres.

Vognfyldning, antal kilometer og omkostninger er de anden højeste for ugen, hvilket hænger sammen med

den anden højeste efterspørgsel på 283,56 rullepaller. Lørdag er den største dag med en efterspørgsel på

356,86 rullepaller. Her kører den ekstra rute 701 permanent og indeholder denne lørdag 10 kunder, som

tidligere har været på rute 200, 204, 205 og 208. Der overskrides ingen tidsvinduer hverken fredag eller

lørdag.

I de oprindelige kørte ruter er der ingen af ruterne, som overstiger chaufførens arbejdstid, selv når der

medtages pauser jf. tabel 6. Selv om lastbilernes hastigheder ikke stemmer helt overens med de rigtige

tider, holder ruternes tider sig stadig inden for tidsrammerne for chaufførens arbejdstid.

Når Arlas oprindelige kørte ruter indtastes i logvrp opstår der slack 61 gange jf. tabel 6. Det vil sige, at

lastbilen er nødsaget til at vente ved 61 af kunderne. Mandag og tirsdag er der ikke slack på henholdsvis

rute 209 og 200. Der opstår slack de steder, hvor kunden først kan serviceres fra kl. 05.00 til kl. 07.00 jf.

bilag 10. Onsdag indeholder ruterne 200, 203 og 208 ikke slack. På de ruter, hvor der er slack, forekommer

det hos kunder, der ligger midt på ruten, og som kun kan få leveret efter kl. 05.00 og kl. 07.00. Torsdag er

det kun på rute 209, der ikke forekommer slack. Dette skyldes formentlig, at lastbilen, som kører på rute

209, forlader terminalen sent. Slack ligger hovedsageligt midt på ruterne. Ligesom mandag, tirsdag og

fredag er der her slack på Christiansfeld-‐ruten (rute 203), og om torsdagen er der slack hos 2 af de 3

kunder, som ligger på ruten, hvilket skyldes, at lastbilen forlader terminalen for tidligt i forhold til det, som

er planlagt. Fredag forekommer der ikke slack på rute 200, 202 og 209, mens der lørdag ikke forekommer

slack på ruterne 202 og 203. Både fredag og lørdag forekommer slack varierende steder på ruten, hos

kunder hvor der først er tilgængelighed efter kl. 05.00.

I de faste ruter er det tydeligt, at antallet af anvendte lastbiler varierer med efterspørgslen.

Udgangspunktet for undersøgelserne i ruternes stabilitet er foretaget ud fra mandag, men da det her kan

ses, at 92 ud af 126 kunder ligger på den samme rute hver gang, der leveres, foretages der ikke yderligere

undersøgelser. De fleste af ruterne servicerer dermed de samme kunder, og det er kun få kunder, der

flytter sig. Det kan ses, at de største ændringer sker på baggrund af den varierende efterspørgsel, som er

skyld i, at der tirsdag til torsdag og lørdag henholdsvis nedlægges og tilføjes en rute. Den gennemsnitlige

fyldning ligger på 66 % jf. tabel 6, hvilket er under Arlas mål på 80,39 % jf. afsnit 4.1. Generelt har kun 18 ud

af de i alt 46 ruter en fyldning, som ligger over målet. Det er kun fredag og lørdag, at over halvdelen af


Side 32 af 66

bilerne har en fyldning på mere end den ønskede fyldning. Generelt er det hovedsageligt rute 203, der

trækker ned i gennemsnittet, men ruterne 200 og 202 opnår heller ikke en fyldning over 70 %.

I forhold til fyldningen er ruterne dermed ikke så optimale som ønsket. De forholdsvis faste ruter gør dog

den daglige planlægning lettere for Arla, da de ikke har mulighed for at optimere hver dag. I de

efterfølgende scenarier vil der blive optimeret hver gang, og det forsøges dermed ikke direkte at finde

stabile anvendelige ruter.

4.2.2 Beregning af optimal løsning

I dette afsnit vil distributionsproblemet blive løst med samme begrænsninger og forudsætninger som i

afsnit 4.2. I modsætning til afsnit 4.2 vil der i dette afsnit foretages daglig optimering. De planlagte ruter og

en sammenligning heraf fremgår af bilag 11, og de samlede resultater kan ses i nedenstående tabel 7. Den

specifikke løsning for mandag kan desuden ses i bilag 12.

Som det fremgår af tabel 7, er omkostningerne over hele ugen på 64.859 kr., og der køres 7492 km.

Omkostningerne følger efterspørgselsmønstret, idet omkostningerne er størst først og sidst på ugen. Der er

ingen dage, hvor arbejdstidsbegrænsningen på 10 timer overskrides, men medregnes chaufførernes pause

sker dette alle dage undtagen lørdag. Der opnås en gennemsnitsfyldning på 68 %, hvilket er under Arlas

målsætning. Der er ingen af ugens dage, hvor målet for gennemsnitfyldningen opnås. Der anvendes 7

lastbiler mandag til torsdag, mens der fredag og lørdag anvendes henholdsvis 8 og 9 lastbiler. Det er

desuden de dage, hvor efterspørgslen er størst. Der forekommer slack hos 67 kunder, hvilket vil sige, at der

i gennemsnit forekommer slack hos mere end en kunde på hver rute. Mandag til onsdag forekommer der

slack på alle ruterne jf. bilag 12, mens der torsdag og lørdag kun er en enkelt rute, hvor der ikke

forekommer slack. Fredag forekommer der ikke slack på tre ud af otte ruter. Slack forekommer generelt

inden for de første 5 kunder på ruter. Herunder er der 17 ud af 45 ruter, hvor der er slack hos den første

kunde. Alle dage er der dog mindst en rute, hvor der er slack hos en kunde midt på ruten. Tirsdag, onsdag,

fredag og lørdag sker dette hos kunde 24013, som først kan få levering efter kl. 08.15. De resterende dage

er det hos forskelige kunder, hvor der forekommer slack midt på ruten. Disse kunder kan hovedsageligt

Omkostning Antal km Tid Gns.

fyldning Antal

lastbiler Slack Mandag 10.359 kr. 1.198 km 09.28 70% 7 10 Tirsdag 10.773 kr. 1.245 km 09.39 67% 7 14 Onsdag 9.986 kr. 1.155 km 09.30 60% 7 15 Torsdag 10.240 kr. 1.184 km 09.46 64% 7 8 Fredag 11.335 kr. 1.310 km 09.47 70% 8 7 Lørdag 12.166 kr. 1.400 km 09.02 78% 9 13 Total 64.859 kr. 7.492 km 57:12 68% 45 67

Tabel 7: Optimal løsning med alle begrænsninger


Side 33 af 66

først få levering efter kl. 07.00. Tages der udgangspunkt i mandag er slack generelt højt, da lastbilen i

gennemsnit skal vente 1 time og 27 minutter, de steder, hvor der er slack.

Mandag har nogle forholdsvis lange ruter, hvoraf 5 af ruterne har mellem 16 og 21 kunder. Ruten som

køres med L8 har kun 8 kunder, hvilket formentlig skyldes, at lastbilen begynder pålæsning i terminalen

senere end de øvrige lastbiler. Der er desuden kun en fyldning på 29,5 % på denne lastbil jf. bilag 12. Ruten

for L1 er rimelig stabil alle dage, men tirsdag, fredag og lørdag er ruten dog delt op. Generelt ligger

butikkerne i mindre områder på samme rute. Et eksempel herpå er de 3 butikker, som ligger i Skærbæk jf.

bilag 11. Butikkerne i Skærbæk ligger på L1 mandag, onsdag og torsdag, de øvrige dage ligger kunderne på

andre ruter, men stadig sammen. Om mandagen kører L2 i flere forskellige byer. Ruten er heller ikke særlig

stabil, når man ser på de øvrige dage. Ruten indeholder de 3 butikker, som ligger i Tinglev. Disse ligger altid

sammen, dog med forskellige lastbiler. Desuden ligger butikkerne i Tinglev sammen med butikkerne

Padborg mandag, onsdag og fredag dog med forskellige lastbiler. Lastbilerne L3 og L6 indeholder kunder,

som ligger i samme geografiske områder, hvorfor disse kunder også blandes på de resterende dage i ugen.

L4 kører hovedsageligt i Aabenraa, og disse kunder er delt ud på mindst 4 ruter de øvrige dage. Det samme

er tilfældet for ruten, der køres med L5, som hovedsageligt kører i Haderslev. Der benyttes 9 lastbiler om

lørdagen, hvilket medfører, at 2 af ruterne kun indeholder henholdsvis 3 og 5 kunder jf. bilag 11. Ruten, der

køres med L7, servicerer 3 butikker i Christiansfeld, hvorfor denne ligner rute 203 i de faktisk kørte ruter.

Der er slack hos den første kunde på over 2 timer, hvorfor det ville være mere hensigtsmæssigt at benytte

en lastbil, som begynder pålæsning på et senere tidspunkt, end L7 gør.

Dette kunne godt være en løsning, som kunne realiseres i praksis. Det vil dog blive analyseret nærmere ved

sammenligning med de øvrige løsninger i afsnit 4.2.8.

4.2.3 Løsning uden tidsvinduer

I løsningen uden tidsvinduer fjernes alle bibetingelser, der vedrører tidsvinduer hos butikkerne, og der ses

bort fra terminalens kapacitet. Alle lastbiler kan således begynde pålæsning kl. 01.00. Problemet bliver

dermed reduceret til et traditionelt VRP, hvilket giver mulighed for at finde den mest optimale måde at

køre på, idet antallet af begrænsninger er minimeret. I henhold til BPP i afsnit 2.1.1 udregnes det antal

lastbiler, der mindst skal være tilgængeligt for kunne servicere alle kunderne. Til løsningen skal der som

minimum anvendes 33 lastbiler, hvilket fremgår af tabel 8. I løsningen anvendes der dog 36 lastbiler. Dette

fremgår af tabel 9, som viser de overordnede tal for de respektive dage. Bilag 13 viser de planlagte ruter og

en sammenligning herimellem. Bilag 14 viser de specifikke ruter for mandag.

I de planlagte ruter anvendes der tirsdag, onsdag og fredag kun det minimale antal lastbiler, mens der

mandag, torsdag og lørdag anvendes flere lastbiler. Grunden til det øgede antal lastbiler er, at BPP ikke

tager højde for, at én kundes ordre ikke kan deles ud på flere lastbiler. Dette er tilfældet mandag og lørdag,


Side 34 af 66

Efterspørgsel Min. antal lastbiler Mandag 251,50 5 Tirsdag 237,97 5 Onsdag 213,94 5 Torsdag 228,46 5 Fredag 283,56 6 Lørdag 356,68 7 Total 1572,11 33

Tabel 8: minimum antal lastbiler

hvor det ikke er muligt at finde en brugbar løsning med 7 lastbiler. Løsningerne er ikke brugbare, da flere af

lastbilerne kører to ture. Torsdag er det muligt at finde 1 brugbar løsning, som benytter minimum antal

lastbiler, men den er ikke optimal. Når der anvendes 6 lastbiler, køres der 999 km, hvilket giver en

omkostning på 8.638 kr. Anvendes der i stedet 5 lastbiler, køres der 13 km længere, hvilket giver en øget

omkostning på 116 kr. jf. bilag 15, som viser resultatet ved brug af henholdsvis 5 og 6 lastbiler. Det betyder,

at det godt kan være fordelagtigt at anvende flere lastbiler, hvis de tilsammen kører færre kilometer. Det er

dog kun tilfældet, når der ikke er tildelt en fast omkostning til den enkelte lastbil. Ved anvendelse af 5

lastbiler er der en fyldning på 90 %, mens fyldningen kun er på 75 % ved anvendelse af 6 lastbiler. Hvilken

løsning, der er mest fordelagtig, afhænger dermed af hvilken parameter, der er vigtigst i det enkelte

problem. I denne opgave anses omkostningen som værende den vigtigste parameter.

Af tabel 9 ses det, at omkostningerne for problemet i alt er 55.855 kr. Beløbet anses for at være den lavest

opnåelige omkostning for distributionsproblemet. Omkostningerne er baseret på antallet af kilometer, som

er på 6.457 km. Da der ikke er nogen tidsbegrænsninger kan kunderne serviceres i den mest

hensigtsmæssige rækkefølge, og antallet af kørte kilometer må derfor være det mest optimale. Dette kan

desuden ses af bilag 16, som viser et plot af de kørte ruter om mandagen. Lastbiler kommer endvidere

tidligt tilbage til terminalen, fordi de ikke er begrænsede af tidsvinduer. Det ses ydermere, at det er muligt

at opnå en gennemsnitlig vognfyldning på 86 %, hvilket ligger over Arlas mål.

Rute 1 indeholder 22 kunder og kører hovedsageligt i Haderslev samt de mindre byer Rødekro og Tinglev.


fyldning Antal

lastbiler %-‐vis

afvigelse Mandag 9.717 kr. 1.123 km 08:17 82 % 6 -‐6,20 % Tirsdag 8.576 kr. 992 km 07:40 93 % 5 -‐20,39 % Onsdag 7.857 kr. 908 km 06:55 84 % 5 -‐21,32 % Torsdag 8.638 kr. 999 km 07:09 75 % 6 -‐15,64 % Fredag 9.678 kr. 1.119 km 07:04 93 % 6 -‐14,62 % Lørdag 11.389 kr. 1.316 km 07:10 87 % 8 -‐6,39 % Total 55.855 kr. 6.457 km 44:26 86 % 36 -‐13,88 %

Tabel 9: Løsning uden tidsbegrænsninger


Side 35 af 66

På de resterende dage er ruten opdelt, men kunderne fra de samme byer serviceres stadig efter hinanden.

Det drejer sig eksempelvis om butikkerne i Rødekro jf. bilag 13. Rute 2 indeholder 17 kunder. Den kører

hovedsageligt i Aabenraa, men er ikke stabil resten af ugen. Rute 3 er en stor rute med 27 kunder, som er

fordelt over flere forskellige småbyer. Kunderne er de resterende dage delt ud over flere ruter. De fleste af

dagene er ruten kombineret med rute 4, som hovedsageligt kører i Sønderborg. Rute 5 er ligeledes en stor

rute, som kører i en række mindre byer. Ruten er rimelig stabil. Et eksempel herpå er, at de samme 7

kunder beliggende i Løgumkloster, Tønder og Bredebro altid ligger sammen jf. bilag 13. De enkelte kunder,

som flyttes til andre ruter, ligger hovedsagligt i Haderslev og Christiansfeld. Rute 6 er en lille rute, som

servicerer 5 butikker i Vojens og en enkelt butik i Christiansfeld. Denne rute er sandsynligvis planlagt

grundet manglende plads på de øvrige ruter, da det er den eneste dag, disse kunder serviceres på en rute

for sig selv. De resterende dage ligger kunderne i Vojens fortsat sammen, og alle dage undtagen fredag er

de koblet sammen med kunderne fra rute 5 jf. bilag 13.

Det kan ud fra sammenligning ses, at det ofte er de små byer, som konsekvent serviceres efter hinanden på

samme rute på de respektive dage. Dette gælder dog ikke for butikkerne i Christiansfeld, da disse i de fleste

tilfælde ligger spredt og ofte ligger enten først eller sidste på ruterne. Den sidste søjle i tabel 9 viser den % -‐

vise afvigelse fra den optimale løsning. Sammenlignet med den optimale løsning i afsnit 4.3, er der her

fundet en billigere løsning, og der er en overordnet procentvis afvigelse på 13,88 %. Afvigelsen fra den

optimale løsning er størst de dage, hvor efterspørgslen er mindst. Mandag og lørdag er afvigelsen kun på

ca. 6 %. I det der stort set er det samme antal butikker, som skal serviceres hver dag, er gennemsnits-‐

efterspørgslen pr. kunde større mandag og lørdag. Dette kan gøre det vanskeligt at sammensætte ordrerne

optimalt på de enkelte dage. I modsætning hertil kan grunden til, at afvigelserne er størst på dagene med

mindst efterspørgsel, være, at de enkelte butikkers ordrestørrelser i gennemsnit er mindre. Det er derfor

lettere at omrokere ordrerne i forhold til lastbilernes kapacitet. Yderligere er der mandag og lørdag

anvendt flere lastbiler end minimum, hvilket også kan være med til at reducere forskellen. Fredag har en

højere efterspørgsel end mandag, og den procentvise afvigelse burde derfor også være mindre, hvis den

skulle følge de øvrige dages mønster. Den høje afvigelse skyldes formentlig, at der i den optimale løsning er

fundet en meget god løsning. Løsningen er god, da omkostningerne er mindre end om mandagen og der

samtidig anvendes minimum antal lastbiler jf. tabel 7 i afsnit 4.3.

Scenariet i dette afsnit er ikke realistisk i praksis, da der ikke er taget højde for nogen af Arlas

begrænsninger. Den kan dog anvendes til sammenligning med de øvrige scenarier, da den viser, hvor langt

ned omkostningerne kan komme.


Side 36 af 66

4.2.4 Løsning med fri tilgængelighed hos butikkerne

Arla er ved levering til sine kunder afhængig af, at der er mulighed for, at varerne kan komme på køl eller,

at der er personale til at tage imod det. Dette er med til at gøre, at Arla ikke kan levere i løbet af hele

natten, idet det ikke er alle kunder, som har tilgængelige kølerum. Såfremt Arla havde mulighed for at

levere til alle kunder i løbet af hele natten ville de ikke have så store begrænsninger i deres planlægning af

distributionen. For at se, hvor stor betydning dette har for løsningen, forudsættes det i dette scenarie, at

Arla har adgang til butikkerne hele natten. Det vil sige, at lastbilen kan ankomme til den enkelte butik fra kl.

00.01 og indtil det seneste tidspunkt for levering. Ud af de 126 kunder, som det udvalgte

distributionsområde består af, er der 47 butikker, hvor der ikke er mulighed for levering i løbet af hele

natten. Dette svarer til, at 37 % af butikkerne begrænser distributionsplanlægningen.

De planlagt ruter og en sammenligning herimellem kan ses i bilag 17, og de specifikke ruter for mandag er

vist i bilag 18. Set over hele ugen er der jævnfør tabel 10 en samlet omkostning på 63.018 kr., og der køres

7285 km. Der opnås en gennemsnitsfyldning af lastbilen på 81 %, og der benyttes fra 6 til 8 lastbiler hver

dag svarende til i alt 38 lastbiler. Såfremt Arla havde fri tilgængelighed hos butikkerne ville det betyde, at

de kunne få opfyldt deres overordnede mål med en gennemsnitsfyldning af lastbilen på 80,39 % jf. afsnit

4.1. Dette mål opfyldes jf. tabel 10 3 ud af de 6 dage. Det skal ydermere bemærkes, at der torsdag opnås en

gennemsnitsfyldning på 93 %. Den høje fyldning er medvirkende til, at der opnås en høj fyldning for hele

ugen, da den gør op for de dage, hvor gennemsnitsfyldningen ligger under målet.

Der er ikke nogen af dagene, hvor chaufførens arbejdstid på 10 timer overskrides, idet længste tur på alle

ugens dage er på 8 timer og 11 minutter.

Ser man på ruterne i dette scenarie, fremgår det af bilag 17, at ruterne ikke ligner hinanden hver dag. Når

der tages udgangspunkt i ruterne om mandagen, kan det ses, at der er mellem 15 og 23 kunder på hver

rute, og at disse ligger meget spredt ud over ruterne på de resterende dage. Eksempelvis er butikkerne på

ruten for lastbilen L1 om mandagen spredt ud over 21 af de 32 ruter på de resterende dage. Det ses dog,


fyldning Antal

lastbiler %-‐vis

afvigelse Mandag 10.238 kr. 1.184 km 07:32 82 % 6 -‐1,17 % Tirsdag 10.852 kr. 1.255 km 07:37 78 % 6 0,73 % Onsdag 10.030 kr. 1.159 km 08:11 70 % 6 0,44 % Torsdag 9.930 kr. 1.148 km 06:36 75 % 6 -‐3,03 % Fredag 10.253 kr. 1.185 km 07:45 93 % 6 -‐9,55 % Lørdag 11.715 kr. 1.354 km 07:09 87 % 8 -‐3,71 % Total 63.018 kr. 7.285 km 44:50 81 % 38 -‐2,84 %

Tabel 10: Løsning med fri tilgængelighed (rankeplan)


Side 37 af 66

at der er nogle butikker, som altid er efterfulgt hinanden lige meget hvilken rute, de befinder sig på. Et

eksempel herpå er, at 4 ud af de 6 butikkerne placeret i Rødekro ligger efter hinanden på samme rute.

Fredag og lørdag er en af de 4 butikker dog placeret på en anden rute. På samme måde ligger alle

butikkerne i Padborg sammen hver dag.

Selv om det i dette problem er antaget, at lastbilerne kan ankomme til kunderne gennem hele natten, er

dette dog ikke tilfældet, idet lastbilerne er begrænset af kapaciteten på terminalen. Lastbilerne kører efter

rankeplanen, der er nævnt i tabel 5 i afsnit 4.1. For at se, hvor stor betydning dette har på løsningen, løses

problemet, hvis alle lastbilerne kan begynde pålæsning i terminalen kl. 01.00. Resultatet heraf ses i tabel

11, og de specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 19. En oversigt over hele ugens ruter og

sammenligning herimellem er yderligere vist i bilag 20

Når alle lastbilerne kan begynde pålæsning i terminalen kl. 01.00, er omkostningerne lavere end, når

lastbilerne kører efter rankeplanen. Der er en forskel i omkostningerne på kr. 6.738, svarende til 11,97 %.

Der er tilsvarende kørt mindre antal kilometer. Det er kun onsdag og torsdag, der bruges færre lastbiler, og

set over hele ugen er der i alt kun brugt 2 lastbiler mindre.

Det fremgår af tabel 11, at der opnås en gennemsnitsfyldning på 86 % sammenlignet med 81 %, når

lastbilerne begynder pålæsning efter rankeplanen jf. tabel 10. Det skal ydermere bemærkes, at hvis

lastbilerne alle kan begynde pålæsning i terminalen kl. 01.00, så er det kun 1 ud af 6 dage, hvor målet for

den gennemsnitlige fyldning ikke opnås.

Når der tages udgangspunkt i de ruter, som køres mandag ses det, at der er mellem 13 og 23 kunder på

hver rute jf. bilag 20. Dette indikerer, at der i løsningen med rankeplanen serviceres det maksimalt mulige

antal kunder på hver rute, idet det ikke kan nås at servicere flere kunder uden rankeplanen. På hver rute

serviceres der kunder i forskellige områder, men som det også var tilfældet for de ruter, hvor rankeplanen

blev fulgt, følger kunderne i de samme små områder i mange tilfælde hinanden.

Når man sammenligner ruterne på de forskellige ugedage med ruterne efter rankeplanen, synes der ikke at

være nogen lighed.


fyldning Antal

lastbiler %-‐vis

afvigelse Mandag 9.921 kr. 1.147 km 08:26 82 % 6 -‐4,23 % Tirsdag 8.982 kr. 1.038 km 07:32 78 % 6 -‐16,62 % Onsdag 8.301 kr. 960 km 07:11 84 % 5 -‐16,87 % Torsdag 7.976 kr. 922 km 06:58 90 % 5 -‐22,11 % Fredag 9.725 kr. 1.124 km 08:05 93 % 6 -‐14,20 % Lørdag 11.375 kr. 1.315 km 06:30 87 % 8 -‐6,50 % Total 56.280 kr. 6.506 km 44:42 86 % 36 -‐13,23 %

Tabel 11: Løsning med fri tilgængelighed (pålæsning kl. 01.00)


Side 38 af 66

Sammenlignes de to løsninger med den optimale løsning ses det, at omkostningerne i begge tilfælde er

lavere. Løsningen med rankeplan afviger jf. tabel 10 med 2,84 %. Tirsdag og onsdag er løsningen dårligere

end den optimale løsning, men afvigelserne ligger dog under 1 %. Da der er flere begrænsninger i den

optimale løsning, vil resultatet i denne kunne anvendes her. Forskellen skyldes derfor formentlig, at der er

anvendt heuristikker. Fredag har den største afvigelse på 9,55 %. Det skyldes en meget god løsning, da der

kun køres 1 kilometer længere end om mandagen. Det kan således konkluderes, at denne løsning ikke

afviger særlig meget fra den optimale løsning, og det derfor ikke har så stor betydning, at Arla har fri

tilgængelighed til alle butikker. I løsningen med fri tilgængelighed uden anvendelse af rankeplanen er

afvigelsen fra den optimale løsning på 13,23 % jf. tabel 11. Det kan dermed ses, at det er rankeplanen, som

har den største indflydelse på løsningen og ikke det tidligst mulige leveringstidspunkt.

4.2.5 Ændring af tidsvinduerne

Tidsvinduernes bredde har indflydelse på, hvor mange mulige løsninger, der findes. Jo bredere

tidsvinduerne bliver, jo flere mulige løsninger findes der. Dette har dog betydning for løsningtiden, da

denne som følge heraf vil blive længere [Kolen et al., 1987]. I dette scenarie ændres tidsvinduerne dermed

til at være minimum 5 timer brede for at udvide antallet af mulige løsninger. Der er 52 kunder svarende til

41 % af kunderne, som har et tidsvindue, der er mindre end 5 timer bredt jf. bilag 21. Tidsvinduerne

markeret med rød er mindre end 5 timer brede. Bredden begrænser antallet af mulige ruter, og det er

derfor interessant at undersøge, hvorledes løsningen ændres såfremt kundernes tidsvindue skal være

minimum 5 timer bredt. Til sammenligning er der kun 19 % af kunderne, der har et tidsvindue på mindre

end 4 timer, og det vil derfor formentlig ikke have nogen større effekt på løsningen. Øges tidsvinduet i

stedet til 6 timer, vil det indebære, at 57 % af kunderne skal udvide deres tidsvindue. Tidsvinduet på 6 timer

er fravalgt, da ruterne i mange tilfælde tager omkring 6 timer, og den bredde derfor vil ligne løsningen med

fri tilgængelighed for meget.

De steder, hvor tidsvinduerne ændres, fastholdes det seneste leveringstidspunkt, hvilket betyder, at

tidsvinduerne øges ved at tillade en tidligere levering. De planlagte ruter og en sammenligning herimellem

fremgår af bilag 22. De specifikke ruter for mandag kan ses i bilag 23.

Tabel 12 viser de overordnede resultater. Den ugentlige omkostning er på 64.553 kr., og der køres 7463 km.

Der anvendes mellem 6 og 8 lastbiler, svarende til i alt 42 lastbiler over hele ugen. Længden af ruterne er

nogenlunde balanceret således, at de fleste lastbiler returnerer til terminalen ved 10-‐11-‐tiden. Den længste

rute er på 9 timer og 12 minutter, hvilket kan give problemer med den tilladte arbejdstid.

Da Arla har begrænset adgang til butikkerne, er der risiko for slack, hvor lastbilen er nødt til at vente indtil

tidsvinduet åbner. Generelt er der i denne løsning slack hos 50 kunder set over hele ugen, hvilket svarer til,

at der ventes hos 7,63 % af kunderne. På ruteniveau er der derimod slack på 33 ud af de 42 ruter. Det vil


Side 39 af 66


fyldning Antal

lastbiler Slack %-‐vis

afvigelse Mandag 10.228 kr. 1.182 km 09.26 82% 6 6 -‐1,26% Tirsdag 11.575 kr. 1.338 km 09.24 67% 7 9 7,44% Onsdag 9.852 kr. 1.139 km 08.49 60% 7 9 -‐1,34% Torsdag 9.945 kr. 1.150 km 08.29 75% 6 9 -‐2,88% Fredag 10.800 kr. 1.249 km 09.12 70% 8 9 -‐4,72% Lørdag 12.153 kr. 1.405 km 08.55 87% 8 8 -‐0,11% Total 64.553 kr. 7.463 km 54:15 73% 42 50 -‐0,47%

Tabel 12: Ændring af tidsvinduer (rankeplan)

sige, at der på 78,57 % af ruterne er mindst et tidspunkt, hvor chaufføren er nødt til at vente. Mandag er

der eksempelvis slack hos 6 kunder, hvoraf ventetiden varierer fra 2 minutter helt op til 1 time og 53

minutter. Der er slack hos den første kunde på ruten for lastbilen L4. Dette er kundenummer 20071, som

ligger i Christiansfeld. Her venter lastbilen 1 time og 53 minutter, inden tidsvinduet åbner kl. 05.00. Dette

virker ikke særlig fordelagtigt i praksis, da chaufførens arbejdstid formentlig kunne udnyttes bedre, især når

kunden kun ligger 700 meter fra terminalen. Yderligere venter L4 også hos den fjerde kunde på ruten,

nummer 35115, men her ventes der dog kun 2 minutter. Mandag og lørdag forekommer der kun slack

inden for de første fem kunder på ruterne. Tirsdag til fredag forekommer der slack helt op til den tiende

kunde. Generelt er det dog oftest hos den første kunde på ruten, at der er slack. Dette ses blandt andet om

fredagen, hvor der på fire ud af de otte ruter er slack hos den første kunde jf. bilag 24.

Der opnås en gennemsnitsfyldning på 73 % set over hele ugen, hvilket betyder, at målet på 80,39 % ikke er

opfyldt. Det er kun 2 ud af de 6 dage, det er muligt at opnå målet jf. tabel 12. Løsningen om onsdagen

skiller sig ud, da der anvendes flere lastbiler end mandag og torsdag, selv om efterspørgslen er lavere. Der

opnås også kun en gennemsnitsfylding på 60 %, hvilket svarer til at lastbilerne i gennemsnit kun har 30

rullepaller med. Til sammenligning er der om mandagen i gennemsnit 42 rullepaller pr. lastbil.

Ruterne i dette scenarie ligner ikke hinanden hver dag jf. bilag 22. Igen ses det dog, at der er flere klynger af

butikker, som følger hinanden. Det drejer sig specielt om de områder, hvor der er få butikker. Butikkerne

serviceres dog af forskellige lastbiler, som forlader terminalen på forskellige tidspunkter. Et eksempel herpå

er de 3 butikker i Tinglev og de 3 i Skærbæk. I modsætning hertil er de butikker, som ligger i områder med

stor koncentration, spredt på forskellige ruter. Det er eksempelvis områder som Sønderborg, Haderslev og

Aabenraa.

Sammenlignes resultatet i dette problem med den optimale løsning ses det af tabel 12, at der er en

afvigelse på 0,47 %. Der er generelt små afvigelser de enkelte dage undtagen tirsdag, hvor omkostningerne

er større i denne løsning og svarer til en afvigelse på 7,44 %. Løsningen, der er fundet tirsdag, må anses som

dårlig, da omkostningerne er højere end både mandag og fredag. Det burde ydermere være muligt at opnå


Side 40 af 66

en bedre eller den samme løsning, som i den optimale løsning, da begrænsningerne her er lempede. Det vil

sige, at en udvidelse af tidsvinduerne ikke har en særlig stor betydning for distributionsomkostningerne.

4.2.6 Opdeling i A og B kunder

En anden måde at planlægge distributionen på er at opdele kunderne i henholdsvis A og B kunder.

Kunderne er på nuværende tidspunkt allerede opdelt i henhold til kædeaftalerne, der fremgår af bilag 3. I

dette scenarie vil der tages udgangspunkt i at prioritere A og B kunderne på en sådan måde, så de to

grupper serviceres hver for sig. Det vil sige, at alle A kunder ligger på de samme ruter og alle B kunder ligger

på samme ruter.

I det efterfølgende opdeles alle kunderne i A og B efter kædeaftalens seneste leveringstidspunkt. I dette

scenarie er A-‐kunder alle de kæder, der skal have leveret inde kl. 09.00, mens B-‐kæderne er dem, der skal

have leveret senere end dette jf. tabel 13. Det betyder, at der er 20 A-‐kunder og 106 B-‐kunder jf. bilag 25.

Der, hvor der er forskel i tidligste levering i kæden, tages den tidligste tid. Eksempelvis skal nogle Superbest

butikker have levering kl. 09.00, mens andre skal have levering kl. 10.30. Her vælges kl. 09.00 for hele

kæden. I logvrp skilles kunderne ad, så problemet først løses med alle A-‐kundernes ordrer, og hvor alle

lastbilerne fra rankeplanen er tilgængelige. Derefter løses problemet med alle B-‐kunderne, hvor det kun er

de lastbiler, som A-‐kunderne ikke har anvendt, der er tilgængelige.

Det overordnede resultat for de enkelte dage ses i tabel 14, og resultaterne for A og B opdeling ses i bilag

26. Ruterne for A-‐ og B-‐kunderne og en sammenligning herimellem fremgår af bilag 27. Desuden fremgår

de specifikke ruter for A og B om mandagen i bilag 28.

Leveringstid

A

Navn Antal Seneste tid

B

Navn Antal Seneste tid Bilka 1 08.00

Netto 15 10.00

Føtex 3 08.00

Superbrugsen 17 10.00 Kvickly 4 09.00

Fakta 20 10.30

Løvbjerg 1 09.00

Kiwi 4 10.30 Metro 1 09.00

Rema 1000 10 10.30

S-‐Engros 3 09.00

DK tank 1 11.00 Superspar 2 09.00

Kvik spar 7 11.00

Superbest 5 09.00

Spar 15 11.00

Letkøb 2 11.00

Abena 1 12.00

Dagli' Brugsen 7 12.00

Fleggaard 3 12.00

Lokalbrugsen 3 12.00

Statoil 1 12.00

Tabel 13: Opdeling i A-‐ og B-‐kunder efter kædeaftaler


Side 41 af 66


fyldning Antal


afvigelse Mandag 11.842 kr. 1.369 km 08.56 63% 8 12 14,32% Tirsdag 12.780 kr. 1.478 km 09.34 50% 9 13 18,63% Onsdag 11.355 kr. 1.312 km 09.14 59% 7 8 13,71% Torsdag 12.382 kr. 1.431 km 08.45 63% 7 8 20,92% Fredag 13.292 kr. 1.536 km 10.02 60% 9 10 17,27% Lørdag 14.805 kr. 1.712 km 09.34 74% 9 9 21,69% Total 76.456 kr. 8.838 km 56:05 61% 49 60 17,88%

Tabel 14: Løsning opdeling i A og B kunder efter kædeaftaler (leveringstider)

Der køres i alt 8.838 km, hvilket svarer til en omkostning på 76.456 kr. jf. tabel 14. De længste ruter tager

mellem 8 timer og 45 minutter og helt op til 10 timer og 2 minutter, hvilket overskrider chaufførens

arbejdstid. Den lange tid kan dog skyldes, at der forekommer slack. Gennemsnitsfyldningen er på 61 %,

hvilket ligger væsentligt under Arlas mål på 80,39 %. Om tirsdagen er fyldningen endda helt nede på 50 %

grundet det høje antal af anvendte lastbiler. Der anvendes mellem 7 og 9 lastbiler, hvilket svarer til 47

lastbiler i alt. Tirsdag, fredag og lørdag anvendes det maksimale antal lastbiler. Der forekommer slack alle

dage, men dog ikke på alle ruter. Mandag forekommer der eksempelvis slack på 6 ud af de 8 ruter jf. bilag

28.

Mandag, onsdag og torsdag anvendes der kun 2 lastbiler til at servicere A-‐kunderne, mens der de øvrige

dage er anvendt 3 lastbiler jf. bilag 26. Tirsdag og fredag er der dog en rute, som kun består af kunde 22664

i Christiansfeld jf. bilag 27. Grunden til dette er formentlig, at den ligger så tæt på terminalen, og der ikke er

nogen fast omkostning forbundet med at benytte en ekstra lastbil. Det er derfor billigere at have den på en

rute for sig selv. Alle dage ligger butikkerne nogenlunde fast på den samme rute, men der anvendes dog

forskellige lastbiler jf. bilag 27. A-‐kunderne anvender lastbilerne L3, L4, L5, L6 og L7, som forlader

terminalen mellem kl. 02.00 og kl. 04.30. Selvom der skal ske tidlig levering anvendes de tidlige lastbiler

ikke, hvilket formentlig skyldes butikkernes adgangsforhold. Der er kun 8 ud af de 20 A-‐kunder, som har fri

tilgængelighed jf. bilag 25. De 2 ruter, som servicerer A-‐kunderne om mandagen, servicerer samlet 19

kunder i 10 forskellige byer, hvilket svarer til, at der køres 21 km pr. kunde. I modsætning hertil køres der

kun 10 km pr. B-‐kunde. Dette indikerer, at de ruter, der køres hos A-‐kunderne, er meget geografisk spredte

i forhold til ruterne hos B kunderne, da disse kan udnytte, at der ligger flere butikker i samme område.

Alle dage anvendes der 6 lastbiler til at servicere B-‐kunderne, med udtagelse af onsdag og torsdag, hvor der

kun benyttes 5 lastbiler, idet efterspørgslen er mindst jf. bilag 26. Ruterne, der servicerer B-‐kunderne,

besøger oftest kunderne i klynger i forhold til deres beliggenhed. Eksempelvis kører rute L1 hovedsageligt i

Aabenraa om mandagen. I de områder, hvor der ligger få butikker, følger butikkerne desuden altid

hinanden. Et eksempel herpå er de tre butikker i Padborg og de tre i Tinglev jf. bilag 27.


Side 42 af 66

Sammenlignet med den optimale løsning ses det jf. tabel 14, at omkostningerne er større ved at opdele

kunderne i A-‐ og B-‐kunder. Der er en % -‐vis afvigelse på 17,88 %. Af tabellen fremgår det, at

omkostningerne alle dage er større, og at afvigelserne ligger mellem 13,71 % og 21,69 %. Det synes derfor

ikke at være nogen fordel for Arla at opdele kunderne efter kædeaftaler på en måde, som det er gjort her.

En anden naturlig måde at opdele kunderne i A-‐ og B-‐kunder på er efter, hvornår Arla har adgang til

butikken. A-‐kunderne består her af alle de butikker, hvor der er fri tilgængelighed, så lastbilen kan

ankomme fra kl. 00.01, og B kunderne består af alle de resterende butikker jf. bilag 29. Antallet af A-‐ og B-‐

kunder varierer hen over ugen afhængig af antallet af butikker, der skal serviceres og fremgår af tabel 15.

Scenariet er løst på samme måde som det foregående, hvilket betyder, at scenariet først løses med alle A-‐

kunderne og derefter med B-‐kunderne, hvor kun de lastbiler, der ikke anvendes af A-‐kunderne, er

tilgængelige.

Resultatet af denne opdeling fremgår af tabel 16, og bilag 30 viser en uddybelse heraf. Ydermere ses

ruterne for A-‐ og B-‐kunderne, samt en sammenligning herimellem i bilag 31. Desuden fremgår de specifikke

ruter for mandag for A-‐kunderne og B-‐kunderne i bilag 32. Omkostningen ved at køre de 47 ruter er på

76.900 kr., og der køres 8.870 km. På tre ud af seks dage overskrider mindst en rute chaufførens arbejdstid.

Der er jf. tabel 15 en gennemsnitsfyldning på 68 %, hvilket ligger under det ønskede mål på 80,39 %. Der er

desuden ingen af dagene, der opfylder målet. Der anvendes mellem 6 og 9 lastbiler. Grundet den

varierende efterspørgsel varerier antallet af lastbiler, som servicerer A-‐kunderne. Mandag, tirsdag, torsdag

og fredag anvendes der 3 lastbiler, onsdag anvendes der kun 2 lastbiler, mens der lørdag anvendes 4 til at

servicere A-‐kunderne. Onsdag er der desuden en gennemsnitsfyldning på 98 % hos A-‐kunderne, så de 2

lastbiler bliver udnyttet til fulde. Til A-‐kunderne anvendes lastbilerne L2, L3, L4, L6, L7 og L9. Det vil sige, at

den tidlige lastbil L1 slet ikke anvendes, og L2 anvendes desuden kun om tirsdagen jf. bilag 31. Dette virker

ikke hensigtsmæssigt, da der er fri adgang til alle A-‐kunderne fra kl. 00.01. Der opstår ikke slack hos A-‐

kunderne, da der fri tilgængelighed. Hos B-‐kunderne er der derimod slack hos 44 kunder i alt. Slack opstår

hovedsageligt hos første og anden kunde på ruten, hvilket blandt andet ses af bilag 32. Det er kun 4 ud af

de 29 B-‐ruter, hvor der ikke er slack hos den første kunde på ruten. Dette kunne sandsynligvis være

undgået, hvis flere af de sene lastbiler havde været tilgængelige, hvilket ville betyde, at A-‐kunderne skulle

være tvunget til at bruge de tidlige lastbiler.

Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag A 46 44 42 45 46 46 B 66 70 62 59 67 62

Total 112 114 104 104 113 108 Tabel 15: Antal A og B kunder efter adgangsforhold


Side 43 af 66


fyldning Antal


afvigelse Mandag 12.863 kr. 1.488 km 10.00 63% 8 7 24,17% Tirsdag 13.652 kr. 1.578 km 10.24 55% 9 9 26,72% Onsdag 11.188 kr. 1.273 km 10.38 77% 6 8 12,04% Torsdag 11.472 kr. 1.326 km 08.41 65% 7 5 12,03% Fredag 13.638 kr. 1.577 km 09.14 72% 8 9 20,32% Lørdag 14.087 kr. 1.628 km 09.31 77% 9 6 15,79% Total 76.900 kr. 8.870 km 58:22 68% 47 44 18,56%

Tabel 16: Opdeling i A og B kunder efter adgangsforhold

Om mandagen køres tre A ruter L3, L6 og L9. De butikker, som ligger på ruten med L3 om mandagen, ligger

også sammen de resterende dage, men ruten er dog opdelt i to. Om mandagen kører ruten med L6

hovedsageligt i området omkring Sønderborg og Als, men servicerer også kunder i Haderslev, først og sidst

på ruten. Denne rute er forholdsvis stabil, og det er kun lørdag, den afviger med mere end 4 kunder. Den

rute, som køres med L9 om mandagen, kører kun denne dag, hvilket formentlig skyldes at de 4 butikker på

ruten ligger i forskellige områder. De resterende dage er disse butikker splittet op på forskellige ruter.

Desuden ses det i denne løsning, at butikker, som ligger i det samme lille område, generelt følger hinanden,

eksempelvis Toftlund jf. bilag 31.

Også denne opdeling af A-‐ og B-‐kunder har en større omkostning sammenlignet med den optimale løsning,

og afvigelsen er på 18,56 % jf. tabel 16. Omkostningerne er alle ugens dage større og afvigelserne ligger på

mellem 12,03 % og 26,72 %. Denne opdeling af A og B kunder synes derfor heller ikke at være nogen fordel.

Sammenlignes de to forskellige måder at opdele kunderne i A og B kunder ses det, at omkostningen er

størst, når der opdeles efter adgangsforhold. Forskellen er dog kun på 444 kr. svarende til 0,58 %. Ud fra

omkostningen kan det dermed ikke konkluderes, hvorvidt den ene opdeling er bedre end den anden.

Forskellen kan lige såvel skyldes forskellige løsninger i logvrp. Gennemsnitsfyldningen er højest, når der

opdeles efter adgangsforhold, da gennemsnitsfyldningen er 11 % bedre end opdelingen efter seneste

leveringstid. Fyldningen er dog stadig langt fra Arlas mål, hvilket gør, at ingen af opdelingerne formentlig er

at foretrække set i forhold til den gennemsnitlige fyldning.

Hos alle de kunder, som kan få levering fra kl. 00.01, vil der aldrig forekomme slack. Sammenlignes slack i

de to løsningsmetoder, forekommer der markant flere slack ved opdeling efter kædeaftaler. Ved at opdele

kunderne efter adgangsforhold forekommer der kun slack 44 gange sammenlignet med opdelingen efter

kædeaftaler, hvor der forekommer slack 60 gange jf. henholdsvis tabel 16 og 15. Dette svarer til, at der

forekommer slack 36 % mere ved opdelingen efter kædeaftaler. Denne forskel skyldes hovedsageligt, at der

ved opdeling efter adgangsforhold garanteres, at der på ruter for A-‐kunderne aldrig vil forekomme slack.

Når der opdeles efter kædeaftaler, er der derimod risiko for slack på alle ruter. Som tidligere nævnt

forekommer slack ved opdeling efter adgangsforhold oftest hos de første kunder på ruten, hvorimod der


Side 44 af 66

ved opdelingen efter leveringsaftale forekommer slack på en mere usystematisk måde. Dette skyldes, at

lastbilen ved opdeling efter adgangsforhold i mange tilfælde er nødsaget til at vente hos den første kunde,

hvorefter det ikke er nødvendigt at vente mere. Denne ventetid kunne måske undgås, hvis Arla kunne flytte

om på lastbilernes afgangstider i terminalen, således at lastbilerne kunne forlade terminalen på et senere

tidspunkt. Den mulighed er der ikke ved opdelingen efter leveringsaftaler, da slack er spredt ud over ruten.

Afvigelsen fra den optimale løsning er størst, når der opdeles efter adgangsforhold. Forskellen mellem de to

måder at opdele kunderne på er dog kun på 0,68 % -‐point fra den optimale løsning. Det ses dog, at der er et

større spænd på afvigelserne, når der opdeles efter adgangsforhold jf. tabel 16.

Ud fra ovenstående synes det dermed at være opdelingen efter adgangsforhold, som giver det bedste

resultat, hvorfor denne anvendes til sammenligning og diskussion af de forskellige scenarier i afsnit 5.

4.2.7 Ændring af køretiden

I den optimale løsning i afsnit 4.2.2 fremgik det, at der alle dage undtagen lørdag var mindst en rute, som

ville overskride chaufførens arbejdstid. Det kunne derfor være interessant at se, om det er muligt at opdele

nogle ruter, således at to forskellige chauffører kan betjene samme lastbil. I logvrp kan der ikke sættes

nogen begrænsninger for køretiden eller stilles krav til at lastbilen skal returnere til terminalen midt på

ruten. Derfor forsøges problemet løst ved at halvere antallet af tilgængelige lastbiler, så disse bliver tvunget

til at returnere til terminalen for at genopfylde lastbilen på grund af manglende kapacitet. I den optimale

løsning anvendes der 7, 8 eller 9 lastbiler, hvorfor distributionen først forsøges løst med 4 lastbiler om

dagen. Til løsningen anvendes de tidlige lastbiler, som begynder pålæsning i terminalen mellem kl. 01.00 og

kl. 02.30. De tidlige lastbiler anvendes, da der er behov for et stort tidsrum, hvis lastbilerne skal nå at køre 2

ruter. Problemet kan ingen af ugens dage løses med 4 lastbiler, da der i alle tilfælde er kunder, som ikke

bliver serviceret. Grunden til dette er, at tidvinduerne ikke kan overholdes, når der ikke er flere lastbiler

tilgængelige. Mandag og tirsdag er der henholdsvis 31 og 22 kunder, som ikke får serviceret deres ordre.

Onsdag drejer sig det kun om 7 kunder, mens der torsdag er 17 kunder, som ikke bliver serviceret. Fredag

og lørdag er det helt op til henholdsvis 34 og 39 kunder, som ikke bliver serviceret. Antallet af uservicerede

ordrer ved brug af 4 lastbiler fremgår af bilag 33. Da problemet ikke kan løses med 4 tilgængelige lastbiler,

tilføjes der en femte lastbil, som kan forlade terminalen kl. 03.00. Ved brug af 5 lastbiler er det kun onsdag

og torsdag, der fremkommer en brugbar løsning. Der er ingen af løsningerne, som har et brugbart resultat i

forhold til dette scenarie, idet ingen af lastbilerne kører tilbage til terminalen midt på ruten. Der er dog en

af ruterne hver dag, som efter at have serviceret en enkelt kunde kører tilbage til terminalen, hvorefter den

fortsætter med at servicere de resterende kunder på ruten. Begge dage er kunde 22664 i Christiansfeld. De

øvrige dage er der stadig problemer med at servicere alle kunderne, og der er mellem 10 og 25 kunder, der

ikke serviceres med 5 tilgængelige lastbiler.


Side 45 af 66

Der tilføjes en sjette lastbil, som begynder pålæsning i terminalen kl. 03.15. Herefter er det muligt at løse

problemet mandag, tirsdag og fredag. De specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 34. I den billigste

løsning, som fremkommer om mandagen kører ingen af ruterne tilbage til terminalen for at læsse lastbilen

igen, hvilket også er tilfældet tirsdag og fredag. Ingen af løsningerne er således relevante for scenariet. For

at kunne løse problemet lørdag er det nødvendigt at tilføje en syvende lastbil, som begynder pålæsning i

terminalen kl. 04.30. Selv om problemet løses mere end 3 gange, er der ved hver løsning 1 til 3 kunder som

ikke bliver serviceret. Det er derfor nødvendigt at tilføje en ottende lastbil, for at der kan fremkomme en

brugbar løsning. Dette giver dog ikke mening i forhold til scenariet, da dette også er det antal lastbiler, som

bruges i den optimale løsning i afsnit 4.2.2. I den optimale løsning er der ingen af lastbilerne, som kører

tilbage til terminalen for at genopfylde. Det er således ikke muligt at sætte 2 chauffører på en lastbil om

lørdagen.

Hvis hver lastbil kunne køre 2 ruter med 2 forskellige chauffører kunne både chaufførens arbejdstid og

antallet af lastbiler reduceres. Dette er dog ikke en mulig løsning i praksis, da det tager for lang tid at køre

frem og tilbage til terminalen i forhold til de tidsvinduer, som skal overholdes hos kunderne. Hvis

problemet blev løst med et sæt af lastbiler, som alle har mulighed for at begynde pålæsning i terminalen kl.

01.00, ville det være muligt at anvende færre lastbiler tirsdag og lørdag, idet der er større tidsinterval til

service af kunderne. Mandag, onsdag, torsdag og fredag er det ikke muligt at løse problemet med færre

lastbiler end ved anvendelses af rankeplanen. Det er kun fredag, det foreslås at lastbilen skal vende tilbage

til terminalen og læsse igen. Det sker dog efter, at kun 2 kunder er blevet serviceret. Tirsdag er det muligt

at finde en løsning med kun 5 tilgængelige lastbiler. På en af ruterne i denne løsning kører lastbilen tilbage

til terminalen efter at have serviceret 4 kunder. Det ville give den første chauffør en arbejdstid på 1 time og

15 minutter, hvilket ikke ville afhjælpe problemet. Lørdag er det muligt at finde en brugbar løsning med 7

lastbiler tilgængelige. I løsningen kører 1 af lastbilerne ud til 5 kunder, for derefter at returnere til

terminalen for at genopfylde, inden de sidste 12 kunder på ruten serviceres. Dette ville svare til, at den

første chauffør fik en arbejdstid på 4,5 time, mens den anden chauffør ville få en arbejdstid på 5,5 timer jf.

bilag 35. Arbejdstiden er ikke særlig lang, men man kunne forestille sig, at chaufførerne i stedet kunne

bruge mere tid på terminalen, hvor de eksempelvis selv kunne stå for at ranke ordrerne op og læsse disse

på lastbilen.

Det fremgår af løsningen, at det ikke er muligt at sætte 2 chauffører på en lastbil. Løsningerne for de

enkelte dage kan i stedet anvendes til sammenligning med den optimale løsning for at se, om det er

fordelagtigt at tvinge løsningen til at anvende mindst mulige antal lastbiler. Her ses det dog bort fra, at en

lastbil onsdag og torsdag kører tilbage til terminalen efter at have serviceret en kunde, hvorefter den


Side 46 af 66


fyldning Antal


afvigelse Mandag 15.708 kr. 1.816 km 10.26 82% 6 7 51,64% Tirsdag 15.257 kr. 1.764 km 09.20 78% 6 7 41,62% Onsdag 10.591 kr. 1.224 km 09.40 73% 5 10 6,06% Torsdag 12.109 kr. 1.400 km 09.45 82% 5 9 18,25% Fredag 14.861 kr. 1.718 km 10.02 93% 6 8 31,11% Lørdag -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ Total 68.526 kr. 7.922 km 49:13 68% 28 41 30,05%

Tabel 17: Ændring af køretid

fortsætter ruten. Af tabel 17 ses det, at omkostningerne er væsentlig større, selv når lørdag undlades.

Afvigelsen er på 30,05 %. Afvigelserne mandag til fredag ligger mellem 6,06 % og 51,64 %, hvilket er et

meget stort spænd. Onsdag er afvigelsen mindst, hvilket formentlig skyldes, at efterspørgslen pr. kunde er

lav, og der derfor er mulighed for at opnå en god løsning, selvom der anvendes færre lastbiler.

Det giver ikke Arla nogen fordel at reducere antallet af lastbiler, såfremt der ikke er en fast omkostning

forbundet med at benytte en ekstra lastbil. Færre lastbiler giver derimod flere omkostninger, da det er

nødvendigt at køre flere kilometer.

4.2.8 Diskussion

I det følgende afsnit vil scenarierne løst i afsnit 4.2.1 til 4.2.7 blive diskuteret og sammenlignet. Tabel 18

viser en oversigt over problemstillingerne med totaler herfra.

Den oprindelige løsning er dyrere end den optimale løsning, og der er en afvigelse på 8,05 % jf. tabel 18. I

modsætning til den optimale løsning optimerer Arla ikke hver dag. I stedet arbejder Arla ud fra stamruter,

som stort set servicerer de samme butikker hver dag jf. afsnit 4.2. Det kan være en af grundene til, at den

optimale løsning er bedre end den oprindelige. Den ændrede løsning kan dog også skyldes, at Arla benytter

et andet program til at beregne ruterne, og der kan derfor være forskel på de anvendte algoritmers

heuristikker. I den optimale løsning anvendes der én lastbil mindre end i den oprindelige løsning, hvorfor

gennemsnitfyldningen er et procentpoint større. Det vil sige, at det heller ikke er muligt at opnå målet for

gennemsnitfyldningen på 80,39 % i den optimale løsning. I den oprindelige løsning forekommer der slack 61

gange i løbet af ugen, mens der i den optimale løsning er slack 67 gange jf. tabel 18. Det øgede antal slack i

den optimale løsning kan skyldes, at det ikke koster noget, at lastbilen holder stille. Det er derfor mere

fordelagtigt at køre færre kilometer og vente hos nogle kunder, end det er at undgå slack. Generelt er

antallet af slack stort, men det kan skyldes antagelsen om lastbilernes hastighed, hvorfor de ikke

nødvendigvis har lige så mange slack i virkeligheden. I den optimale løsning er der ingen af ruterne, som

overstiger chaufførens arbejdstid på 10 timer. Tages der dog som tidligere nævnt, højde for pauser,

overstiger mindst en rute chaufførens arbejdstid alle dage undtagen lørdag. Det er til gengæld ikke tilfældet


Side 47 af 66

nogen af dagene i den oprindelige løsning. Det er derfor usikkert, om det vil kunne lade sig gøre at køre den

optimale løsning i praksis. Det er dog kun 7 ud af de 45 ruter, som køres i hele ugen, hvor arbejdstiden

overstiges, hvis der medtages pause. På alle ruterne er der dog slack hos 1 til 2 kunder, og der er derfor

mulighed for, at chaufførens pause kan ligge i disse tidsrum. Et eksempel herpå er mandag, hvor ruten med

L1 tager 9 timer og 19 minutter. Her forekommer der slack hos en enkelt kunde, men der er slack på i alt 1

time og 52 minutter jf. bilag 12. Det betyder, at der er rigeligt med tid til pause. På de resterende ruter er

der også nok slack til at pauserne kan ligge i dette tidsrum. Selvom der ikke vil være problemer på nogen af

ruterne, er der dog yderligere regler for, hvornår på ruten pausen skal ligge, samt at den skal afholdes

sammenhængende.

Som ventet har løsningen uden tidsvinduer de laveste omkostninger. Yderligere anvendes der også det

færreste antal lastbiler, og der opnås den højest gennemsnitfyldning. Den procentvise afvigelse i forhold til

den optimale løsning er jf. tabel 18 meget stor. Det ville derfor være en stor fordel, hvis Arla ikke havde

nogen tidsmæssige begrænsninger, da det ville medføre en stor omkostningsreduktion. Det er dog ikke

muligt i praksis, da typen af varer er bestemmende for størstedelen af begrænsningerne. I takt med, at der i

problem 4 og 5 tilføjes flere begrænsninger, stiger omkostningerne og antallet af anvendte lastbiler i

forhold til løsningen uden tidsvinduer. Ligeledes bliver den % -‐vise afvigelse fra den optimale løsning

mindre. Ved at tilføje et seneste leveringstidspunkt, som det er tilfældet i løsningen med fri tilgængelighed,

stiger omkostningerne kun med 425 kr. sammenlignet med løsningen uden tidsvinduer. Tilføjes det

yderligere, at lastbilerne begynder pålæsning i terminalen efter rankeplanen, stiger omkostningerne med

7.163 kr., hvilket svarer til en stigning på 13 %. Det er således primært brugen af rankeplanen, som er

årsagen til omkostningernes store stigning, hvilket også blev konkluderet i afsnit 4.2.4 i forhold til afvigelsen

fra den optimale løsning. Scenariet er mere realistisk i praksis, da der er taget højde for

begrænsning i terminalen, samt seneste leveringstidspunkt hos kunden. Det er dog tvivlsomt, om den fri

tilgængelighed er realistisk i praksis, da det kræver ændringer hos mange kunder.


fyldning Antal


afvigelse 1 Oprindelig løsning 70.077 kr. 8.104 km 50:51 67 % 46 61 8,05% 2 Optimal løsning 64.859 kr. 7.492 km 57:12 68 % 45 67 0,00% 3 Ingen tidsvinduer 55.855 kr. 6.457 km 44:26 86 % 36 -‐ -‐13,88% 4a Fri tilgængelighed u. rank 56.280 kr. 6.506 km 44:42 86 % 36 -‐ -‐13,23% 4b Fri tilgængelighed m. rank 63.018 kr. 7.285 km 44:50 81 % 38 -‐ -‐2,84% 5 Ændring af tidsvinduer 64.553 kr. 7.463 km 54:15 73 % 42 50 -‐0,47% 6 A og B kunder 76.900 kr. 8.870 km 58:22 68 % 47 44 18,56% 7 Ændret køretid 68.526 kr. 7.922 km 49:13 68 % 28 41 5,65%

Tabel 18: Oversigt over scenarierne Note: Ændret køretid indeholder kun 5 dage


Side 48 af 66

Ved scenarie 5 begrænses løsningen yderligere af, at der tilføjes et tidligste tidspunkt for, hvornår lastbilen

kan ankomme til kunden. Tidsvinduerne hos kunderne er ikke de samme som i den oprindelige og den

optimale løsning, idet de sættes til minimum at være 5 timer. Sammenlignet med løsningen uden

tidsvinduer er der en forskel i omkostningerne på 8.698 kr. svarende til 16 % jf. tabel 18. Sammenlignes

løsningen derimod med problem 4b, er forskellen kun på 1.535 kr. Det tyder derfor ikke på, at det tidligste

tidspunkt for levering har den store betydning for omkostningerne, når tidsvinduerne er minimum 5 timer

brede. En af grundene til dette er, at Arla har adgang til 48 butikker hele natten, hvorfor det reelt er 78 af

butikkerne, hvor der er tilføjet yderligere begrænsninger. Som beskrevet i afsnit 4.2.5 er omkostningerne

kun 0,47 % mindre end den optimale løsning. Sammenlignes der derimod på andre parametre, ses det, at

der jf. tabel 18 er færre antal slack, når tidsvinduerne er bredere. Mandag er der 10 slack i den optimale

løsning, mens der kun er 6, når tidsvinduerne udvides. Dette fremgår af bilag 12 og 23. Det gennemsnitlige

slack pr. kunde om mandagen er i den optimale løsning 1 time og 27 minutter, hvorimod det kun er 57

minutter, når tidsvinduerne udvides. Det gennemsnitlige slack pr. kunde er dermed blevet reduceret med

en halv time. Yderligere anvendes der også 3 færre lastbiler i problem 5, hvilket alt andet lige giver en

lavere omkostning og højere gennemsnitsfyldning.

I problem 6, hvor der opdeles i A-‐ og B-‐kunder, forekommer den højeste omkostning sammenlignet med

alle de andre problemer, og der anvendes ligeledes flest lastbiler. Det vil sige, at løsningen er dårligere end

den oprindelige løsning. En af grundene hertil er, at der er mulighed for at kunder, som ligger tæt på

hinanden, er henholdsvis A-‐ og B-‐kunder, hvilket betyder, at to forskellige lastbiler skal køre ud til samme

lille område. Det kan betyde, at der køres flere antal kilometer. Imellem alle problemets knuder er der 86

kanter, som er mindre end eller lig med 1 kilometer. Ud af disse er der 27 kanter, hvis knuder består af en

A-‐ og en B-‐kunde. Det betyder, at det ikke længere kan udnyttes, at kunderne ligger tæt på hinanden, og

det bliver dermed nødvendigt at køre flere kilometer. Der anvendes 2 lastbiler mere i forhold til den

optimale løsning, men alligevel køres der flere kilometer pr. lastbil. I den optimale løsning køres i

gennemsnit 166,4 km pr. lastbil, mens der ved opdeling i A-‐ og B-‐kunder køres 188,7 km. En fordel ved

denne opdeling er dog, at antallet af slack jf. tabel 18 er reduceret til 44 i forhold til 67 i den optimale

løsning. Dette skyldes, at der ikke forekommer slack på alle ruterne med A-‐kunder, og at slack

hovedsageligt ligger hos de første kunder på ruterne med B-‐kunder jf. afsnit 4.7. Overordnet er opdeling af

A-‐ og B-‐kunder dog ikke nogen fordelagtig løsning, da omkostninger og antallet af lastbiler er høje. Den

øgede omkostning kunne overvæltes på kunderne, men det vil de sandsynligvis ikke acceptere, da det ikke

giver nogen yderligere fordele end i den nuværende løsning.

I scenarie 7, hvor det forsøges at løse problemstillingen ved at hver lastbil kører 2 ture, er det ikke muligt at

løse det ønskede problem. Det er ikke muligt at hver lastbil kører 2 ture på grund af tidsbegrænsninger.


Side 49 af 66

Resultatet anvendes i stedet til at se, om det at fordelagtigt at reducere antallet af tilgængelige lastbiler.

Resultatet i tabel 18 indeholder kun 5 dage, hvorfor det ikke giver mening at sammenligne denne løsning

med de resterende. Undlades lørdag også i den optimale løsning, så der er mulighed for sammenligning, er

antallet af lastbiler 36, mens slack er 54 og gennemsnitfyldning er på 66 %. Jf. tabel 18 er slack dermed

reduceret i problem 7, hvilket formentlig skyldes, at der anvendes færre lastbiler. Yderligere er den

gennemsnitlige fyldning 2 % -‐point bedre, hvilket også skyldes reduktionen af antal lastbiler i forhold til i

den optimale løsning. Hvorvidt det er fordelagtigt at reducere antallet af lastbiler afhænger dog af

lastbilens faste omkostninger, hvorfor det ikke er muligt at konkludere ydereligere på denne

problemstilling.

Som konkluderet ovenfor er det en fordel at optimere hver dag, idet løsningen bliver bedre. Dette er dog

ikke muligt, da Arla servicerer 950 kunder i alt og udregning af en optimal løsning vil være meget

tidskrævende, da løsningstiden stiger eksponentielt med antallet af kunder. Yderligere opererer Arla med

en lovet leveringstid, hvorfor det ikke på nuværende tidspunkt er praktisk muligt at optimere hver dag. Der

er ikke nogen faste tidsintervaller for, hvornår stamruter omlægges, men som beskrevet tidligere er

omlægningen også en meget lang proces, da en godkendelse heraf skal igennem flere led. Hvis denne

proces ikke var så krævende, ville det være muligt at optimere langt oftere, hvilket vil give Arla en større

mulighed for at spare penge på distributionen.

Som skrevet i afsnit 4.2 har Arla rute 203, som kun servicerer de butikker, der ligger i Christiansfeld og

omegn, for at få chaufførens timetal til at gå op. Denne rute køres kun i en af de mange løsninger, som er

foreslået i denne opgave. I alle andre løsninger er butikkerne i Christiansfeld hovedsageligt placeret først

eller sidst på en rute. Det vil sige, at rute 203 er ikke optimal, da den reducerer gennemsnitsfyldningen og

gør, at der skal anvendes en lastbil mere end nødvendigt. Det vil være en fordel for Arla at få timetallet til

at gå op på en anden måde.

Mange problemer løses ofte ved at foretage manuelle justeringer til allerede eksisterende løsninger, selv

om der kunne anvendes algoritmer [Solomon, 1987]. Dette gøres også i Arla, da man efter planlægning ser

om ruterne er fornuftige i praksis, således at der ikke køres for meget frem og tilbage i den samme by.

Dette er ikke gjort her, da det primære mål i opgaven er at finde en optimal løsning til de mindst mulige

omkostninger. Der kan desuden heller ikke ændres på ruterne i logvrp. Bilag 36 viser plot fra mandag af

Arlas eksisterende ruter, den optimale løsning, løsning uden tidsvinduer, løsning med fri tilgængelighed

samt løsningen med ændrede tidsvinduer. Ud fra disse plots er det ikke muligt at se, hvor meget der køres


Side 50 af 66

frem og tilbage i byerne, men overordnet ses det, at flere lastbiler ikke kører optimalt rent geografisk i den

oprindelige og den optimale løsning. Eksempelvis ser det ud til, at Skærbæk, Løgumkloster og Tønder, som

ligger på samme rute, serviceres i en uhensigtsmæssig rækkefølge i den oprindelige løsning. Dette er

markeret med en rød cirkel. Det samme er gældende for den optimale løsning. Det sker dog i mindre grad,

hvilket formentlig skyldes slack. Som skrevet i afsnit 4.2.3 er det muligt rent geografisk at køre optimalt, når

der ikke er nogen tidsvinduer. Ved fri tilgængelighed er dette stort set også muligt. Dog er der flere

lastbiler, som kører i samme område. Det ses blandt andet i øst og vest og er markeret i bilag 36.

Det er tydeligt at se på den geografiske løsning, når flere begrænsninger tilføjes. Selv om det ikke ser

optimalt ud rent geografisk, kan dette dog godt være tilfældet givet problemets begrænsninger. Det er

derfor vigtigt at kigge på omkostninger og andre parametre, når ruterne forsøges optimeret manuelt.

4.3 Betydning af seneste leveringstidspunkt Arlas kunder betaler et gebyr for at få levering inden et bestemt tidspunkt. Det er derfor interessant at se,

hvor meget omkostningerne ændrer sig, såfremt man ændrer på det seneste leveringstidspunkt for alle

kunderne. På denne måde kan omkostningerne sammenlignes, og det bliver muligt at se, hvor stor forskel

der vil være. Ud fra dette kan det vurderes, hvor stor betydning det bør have for kunderne at kræve tidlig

levering i forhold til ikke at have noget krav.

Problemet vil derfor blive løst ved, at leveringstidspunktet sættes til at være ens hos alle kunder. Det vil

blive løst med seneste levering kl. 08.00, kl. 09.00, kl. 10.00, kl. 10.30, kl. 11.00 og kl. 12.00. Disse

tidspunkter er baseret på de nuværende aftaler, der er for leveringstidspunkterne jf. bilag 3. Tabel 19 viser,

hvor mange butikker, der på nuværende tidspunkt skal have levering inden de forskellige tidspunkter. Det

antages yderligere, at der er fri tilgængelighed hos alle kunderne, idet fokus for dette scenarie er det

seneste leveringstidspunkt. Derudover vil nogle kunder få meget smalle tidsvinduer, såfremt de nuværende

adgangsforhold bibeholdes. Det vil også begrænse løsningsmængden væsentlig, og det vil i nogle tilfælde

ikke være muligt at løse problemet, idet der vil forekomme ordrer, som ikke kan serviceres. Når

leveringstiderne indskrænkes er det i nogle tilfælde ikke muligt at løse problemet med antallet af

tilgængelige lastbiler, da der er butikker, som ikke bliver serviceret. Idet Arla som sådan ikke har nogen

begrænsning på antallet af lastbiler, vil der i disse tilfælde blive tilføjet en ekstra lastbil, som kan begynde

pålæsning i terminalen kl. 01.00. Ligegyldigt om det har været nødvendigt at tilføje en ekstra lastbil, har

logvrp i flere tilfælde haft svært ved at finde en brugbar løsning, og det har derfor været nødvendigt at løse

problemet mere end tre gange.

Levering 08.00 09.00 10.00 10.30 11.00 12.00 Antal butikker 4 13 32 37 24 16

Tabel 19: Antal butikker med leveringstid


Side 51 af 66

Når kunderne alle skal have levering inden kl. 08.00 er omkostninger 79.217 kr. jf. tabel 20. Der benyttes 8

lastbiler om mandagen. De specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 37. Af de 8 lastbiler der benyttes,

køres der tidligst fra den sidste kunde kl. 06.12, dette sker med L7. De andre lastbiler kører først fra den

sidste kunde mellem kl. 07.41 og 07.56, hvilket indikerer, at tidsvinduet næsten udnyttes fuldt ud. Den

eneste lastbil, som ikke benyttes om mandagen er L9, hvilket formentlig skyldes, at det er den lastbil, som

forlader terminalen senest. Om tirsdagen benyttes der 9 lastbiler, som forlader den sidste kunde på ruten

mellem kl. 07.28 og 07.59. Grunden til, at der benyttes flere lastbiler om tirsdagen, er, at der er flere

kunder, som skal serviceres inden for samme tidsrum, end det er tilfældet om mandagen. Onsdag forlades

den sidste kunde mellem kl. 07.14 og 07.59, og det er kun L7, som ikke benyttes. Det vil sige, at de lastbiler,

som begynder pålæsning sent også er taget i brug. Torsdag forlades den sidste kunde på de 8 ruter mellem

kl. 06.47 og 07.57. Den eneste lastbil, som ikke benyttes er L8, som også først kan begynde pålæsning kl.

05.00. Fredag forlades den sidste kunde på de kørte ruter mellem kl. 06.27 og 07.59. Om fredagen er det

ikke muligt at løse problemet med de 9 lastbiler, som fremgår af rankeplanen og som har pålæsningstider

jf. tabel 5 i afsnit 4.1. Der er derfor tilføjet en ekstra lastbil, som kan begynde pålæsning kl. 01.00. Herefter

er det muligt at løse problemet med 9 lastbiler, men L9 benyttes ikke. Lastbilen benyttes ikke, da det er den

lastbil, som begynder pålæsning i terminalen senest, hvilket giver et meget lille tidsinterval til at servicere

kunder i. Om lørdagen benyttes de 9 lastbiler, som fremgår af rankeplanen, men der benyttes også en

ekstra lastbil, som er sat ind, for at det er muligt at finde en løsning. Dette medfører, at der køres flere

kilometer og dermed også, at omkostningerne stiger.

Når alle kunderne skal have levering inden kl. 08.00, udnytter hver rute generelt tidsvinduet, idet levering

til den sidste kunde på ruterne først sker kort tid før, tidsvinduet lukker.

Når den seneste levering skal ske inden kl. 09.00 er omkostninger på 67.299 kr. jf. tabel 20. Mandag og

tirsdag anvendes der 7 lastbiler. De specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 38. Om mandagen

benyttes L7 og L9 ikke, mens det om tirsdagen er L5 og L9, der ikke benyttes. Omkostningerne er højere

tirsdag end mandag, hvilket skyldes, at der er flere kunder om tirsdagen. Der er kun en af de ruter tirsdag,

som ikke forlader den sidste kunde mellem kl. 08.38 og 08.59. Det drejer sig om L8, der forlader den sidste

kunde allerede kl. 06.07, men ruten består også kun af 4 kunder.

Onsdag og torsdag benyttes der 6 lastbiler, og forskellen i omkostningerne er meget lille. Onsdag benyttes

L5, L7 og L9 ikke, mens det torsdag er L7, L8 og L9, der ikke benyttes. Fredag og lørdag anvendes 8 lastbiler.

Begge dage er det L8, som ikke benyttes. Fredag er der kun 1 lastbil, som ikke forlader den sidste kunde

mellem kl. 08.21 og kl. 08.59. L1, L2 og L3 udnytter tidsvinduet hos den sidste kunde på ruten til det

yderste, idet disse 3 lastbiler forlader den sidste kunde, højest 4 minutter før tidsvinduet lukker. Lørdag


Side 52 af 66

forlades den sidste kunde på de kørte ruter mellem kl. 08.37 og 08.59, hvilket indikerer, at tidsvinduet

udnyttes fuldt ud. Når levering skal ske inden kl. 09.00, benyttes alle 9 lastbiler ikke nogen af dagene.

Generelt er det L8 og L9, som er blandt de lastbiler, der ikke anvendes, hvilket skyldes, at de forlader

terminalen sent.

Når alle butikkerne skal have leveret inden kl. 10.00 er omkostningerne i alt på kr. 65.911 kr. jf. tabel 20. De

specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 39. Der anvendes mellem 5 og 8 lastbiler, og L9 benyttes ikke

nogen af dagene. Mandag anvendes der 6 lastbiler. 2 af lastbilerne udnytter tidsvinduet hos den sidste

kunde på ruten til fulde, idet kunden forlades henholdsvis kl. 09.58 og kl. 09.59. L2 er den første lastbil, som

kommer tilbage til terminalen, idet denne forlader sidste kunde allerede kl. 06.33. Lastbilerne L6, L8 og L9

anvendes ikke. Tirsdag er der ingen af de 7 anvendte lastbiler, som udnytter tidsvinduerne fuldt ud.

Lastbilerne L7 og L9 anvendes ikke. Onsdag anvendes der ligeledes 7 lastbiler, og det er lastbilerne L8 og L9,

som ikke anvendes. Her udnyttes tidsvinduerne heller ikke fuldt ud, da lastbilerne forlader den sidste kunde

mellem kl. 04.18 og kl. 09.51. Torsdag anvendes der færre lastbiler end alle de andre dage, da der kun

anvendes 5 lastbiler. Selvom der kun anvendes 5 lastbiler, udnyttes tidsvinduet ikke fuldt ud, da den sidste

kunde forlades mellem kl. 07.59 og kl. 09.56. Det er desuden også L6 til L9, der ikke anvendes, hvilket

betyder, at det kun er de tidlige lastbiler, der benyttes. Fredag og lørdag anvendes 8 lastbiler. Fredag

forlades den sidste kunde mellem kl. 07.58 og 09.23, mens det lørdag sker mellem kl. 05.32 og kl. 09.47. L9

benyttes ingen af disse dage.

Når der skal leveres inden kl. 10.30 er omkostningerne 63.809 kr. jf. tabel 20. Ruterne for mandag fremgår

af bilag 40. Der anvendes generelt mellem 6 og 8 lastbiler, hvor lastbil L1 og L2 altid anvendes. Mandag,

tirsdag og onsdag anvendes lastbilerne L8 og L9 slet ikke. Mandag til torsdag anvendes der 6 lastbiler, mens

der fredag og lørdag anvendes henholdsvis 7 og 8 lastbiler. Mandag udnyttes tidsrummet kun i ét tilfælde,

da L6 forlader den sidste kunde kl. 10.21. Tirsdag er der 2 tilfælde, hvor tidsvinduet udnyttes, idet L3 og L6

forlader den sidste kunde henholdsvis kl. 10.28 og kl. 10.22. Ved ruterne, som køres onsdag, forlades den

sidste kunde senest kl. 09.05, hvilket indikerer, at det ikke er nødvendigt at kunne levere indtil kl. 10.30.

Det skyldes sandsynligvis den lave efterspørgsel. Torsdag og fredag udnyttes tidsvinduet også kun af 1

lastbil, der forlader sidste kunde henholdsvis kl. 10.20 og 10.22. Det sker med lastbilerne L3 og L5.

Lørdag forlades den sidste kunde senest kl. 10.18. Det sker med L7. L8 udnytter også tidsrummet, da den

forlader den sidste kunde kl. 10.16. Udnyttelse af tidsrummet skyldes derfor den sene afgang fra

terminalen. Generelt anvendes tidsrummet ikke fuldt ud, og L4 forlader allerede sidste kunde kl. 04.28. De

resterende lastbiler forlader desuden sidste kunde, senest en time før tidsvinduet lukker.


Side 53 af 66

08.00 09.00 10.00 10.30 11.00 12.00

Omkost-‐ning

Antal last-‐biler

Omkost-‐ning

Antal last-‐biler

Omkost-‐ning

Antal last-‐biler

Omkost-‐ning

Antal last-‐biler

Omkost-‐ning

Antal last-‐biler

Omkost-‐ning

Antal last-‐biler

Mandag 11.329 kr. 8 10.831 kr. 7 11.083 kr. 6 9.168 kr. 6 9.599 kr. 6 10.001 kr. 6 Tirsdag 15.228 kr. 9 11.210 kr. 7 11.354 kr. 7 10.762 kr. 6 11.084 kr. 7 9.927 kr. 6 Onsdag 12.624 kr. 8 9.905 kr. 6 8.999 kr. 7 10.185 kr. 6 9.285 kr. 5 9.404 kr. 5 Torsdag 11.519 kr. 8 9.863 kr. 6 9.362 kr. 5 10.165 kr. 6 9.776 kr. 7 9.910 kr. 5 Fredag 13.472 kr. 9 12.788 kr. 8 13.438 kr. 8 10.760 kr. 7 10.546 kr. 6 11.613 kr. 7

Lørdag 15.045 kr. 10 12.702 kr. 8 11.675 kr. 8 11.769 kr. 8 12.457 kr. 8 11.606 kr. 8 Total 79.217 kr. 52 67.299 kr. 42 65.911 kr. 41 62.809 kr. 39 62.747 kr. 39 62.461 kr. 37

Tabel 20: Omkostninger for levering inden et bestemt tidspunkt Note: De røde mærker indikerer, at der er brugt en ekstra lastbil.

Når alle butikker skal have leveret inden kl. 11.00, er omkostningerne på 62.777 kr. jf. tabel 20. Ruterne for

mandag fremgår af bilag 41. Mandag anvendes 6 lastbiler, men tidsrummet udnyttes ikke til fulde. Der er

kun 1 lastbi,l som kører fra den sidste kunde kort før tidsvinduet lukker. Det sker kl. 10.48. Grunden til det

sene tidspunkt er, at det er L8, som anvendes. De resterende lastbiler forlader den sidste kunde på ruten

mellem kl. 07.36 og 10.00. Tirsdag og onsdag er der ligeledes kun 1 lastbil, der udnytter tidsrummet, hvor

L4 og L5 forlader deres sidste kunde henholdsvis kl. 10.35 og kl. 10.51. Yderligere anvendes L9 hverken

tirsdag eller onsdag. Torsdag er der en bedre udnyttelse af tidsrummet, da både L7, L8 og L9 forlader den

sidste kunde på ruten henholdsvis kl. 10.55, kl. 10.50 og kl. 10.17. Fredag anvendes der 6 lastbiler, som

forlader den sidste kunde mellem kl. 09.13 og 10.55. Tidsrummet udnyttes ved lastbilerne L5 og L7, der

forlader den sidste kunde henholdsvis kl. 10.55 og 10.37. De 8 lastbiler, som anvendes lørdag, forlader den

sidste kunde mellem kl. 05.55 og kl. 10.16. Tidsvinduet udnyttes derfor langtfra. Det lader derfor ikke til, at

lastbilerne har behov for at kunne levere frem til kl. 11.00.

Når lastbilerne kan ankomme helt indtil kl. 12.00, er de samlede omkostninger på 66.177 kr., og der

anvendes mellem 5 og 8 lastbiler jf. tabel 20. Ruterne for mandag fremgår af bilag 42. Selv om lastbilen har

mulighed for at ankomme så sent, udnyttes dette kun på 7 ud af de i alt 37 ruter. Mandag forlader L8 den

sidste kunde kl. 11.49. Derudover er der ingen af de andre lastbiler, der udnytter den seneste leveringstid.

L3 forlader tilmed allerede den sidste kunde kl. 06.00. Tirsdag, onsdag og torsdag er det ligeledes L8, som

udnytter tidsrummet, da den forlader den sidste kunde henholdsvis kl. 11.28, kl. 11.40 og kl. 11.51. Torsdag

udnyttes tidsrummet yderligere af L6, som forlader den sidste kunde kl. 11.20. Fredag er der ingen lastbiler,

der har behov for at ankomme helt indtil kl. 12.00. Den lastbil, der forlader den sidste kunde på ruten

senest, kører kl. 10.45. Fredag anvendes alle 9 lastbiler, men det er kun den sene lastbil, L9, der forlader

den sidste kunde sent, hvilket sker kl. 11.57. Lørdag anvendes der 8 lastbiler og ingen af disse udnytter


Side 54 af 66

tidsvinduet, idet det seneste tidspunkt, hvor den sidste kunde forlades, er kl. 11.13. Dette sker med lastbil

L7. Det er således ikke ret mange tilfælde, hvor lastbilen har behov for at kunne ankomme helt til kl. 12.00.

En del af dette kan dog også skyldes, at der er adgang til butikken helt fra kl. 00.01, så det ikke er noget

problem at nå at servicere alle kunderne inden kl. 12.00, og der er derfor ikke behov for den ekstra time i

forhold til kl. 11.00.

Af tabel 20 fremgår det, at omkostningerne er størst, når der skal leveres inden kl. 08.00. Derefter falder

omkostningerne jo senere, levering er tilladt. Ligeledes falder antallet af anvendte lastbiler. Faldet skyldes,

at tidsintervallet er mindre, når der skal leveres inden kl. 08.00, og der skal derfor anvendes markant flere

lastbiler. Efterhånden som tidsvinduet bliver større, er der tid til at hver enkelt lastbil kan servicere flere

kunder, hvorfor der benyttes færre lastbiler.

4.3.1 Diskussion

Omkostningerne falder med 15 % når det seneste leveringstidspunkt ændres fra kl. 08.00 til kl. 09.00,

hvilket er et væsentligt fald, som bør have konsekvens for kunden. Faldet fra at få levering kl. 10.00 i

forhold til kl. 09.00 er derimod kun på 2 %, hvorfor det ikke har den store betydning, om kunden ønsker

levering senest kl. 09.00 eller kl. 10.00. Omkostninger ved at få levering kl. 10.30 i stedet for kl. 10.00 falder

med 4 %, hvilket heller ikke synes at være særlig meget, men sammenlignes dette med kl. 08.00 falder

omkostningerne med 21 %. Omkostningerne for levering inden kl. 10.30, kl. 11.00 og kl. 12.00 er stort set

de samme. De små forskelle skyldes formentlig udelukkende forskellige løsninger i logvrp som følge af de

anvendte heuristikker. Yderligere er der kun få lastbiler, som har behov for at udnytte tidsvinduerne fuldt

ud ved disse sene leveringstidspunkter.

Såfremt scenariet var blevet løst med anvendelse af faktiske adgangsforhold, ville det formentlig også have

en indflydelse på omkostningerne, da der ville være færre muligheder for at løse problemet. Det ville

måske gøre forskellen mellem kl. 09.00 og kl. 10.00 større. Ydermere vil der sikkert være behov for flere

lastbiler, idet tidsvinduerne hos mange af kunderne ville være meget smalle. Anvendelse af flere lastbiler

ville øge omkostningerne yderligere, såfremt der var tilknyttet en fast omkostning til at anvende en ekstra

lastbil.

Som tidligere nævnt fremgår det af tabel 20, at antallet af lastbiler falder, jo senere leveringen kan

foretages. Tilsvarende stiger den gennemsnitlige fyldningsprocent, idet færre lastbiler medfører flere

kunder pr. rute. Tabel 21 viser den gennemsnitlige fyldningsprocent, samt gennemsnitligt antal kunder pr.

rute for mandag. Lastbilernes fyldningsprocent er bedre ved de sene leveringstidspunkter, idet der er tid til

08.00 09.00 10.00 10.30 11.00 12.00 Gns. Fyldning 61,61 % 70,43 % 82,20 % 82,20 % 82,20 % 82,20 % Gns. antal kunder pr. rute 14 16 18,2 18,2 18,2 18,2

Tabel 21: Vognopfyldning og gennemsnitlig antal kunder pr. rute for mandag


Side 55 af 66

at servicere flere kunder, og lastbilernes kapacitet dermed udnyttes på en bedre måde. Det er først, når

levering skal ske inden kl. 10.00, kl. 10.30, kl. 11.00 og kl. 12.00, at det er muligt at opnå målet for

gennemsnits-‐fyldningen på 80,39 %, da der jf. tabel 21 opnås en gennemsnitsfyldning på 82,20 %. Af tabel

21 fremgår det ligeledes, at det gennemsnitlige antal kunder pr. rute stiger fra 14 til 18,2 jo senere, det er

tilladt at levere. Dette er eksempelvis tilfældet, når man sammenligner ruten for L6 kl. 08.00 og kl. 10.30.

Når det seneste leveringstidspunkt er kl. 08.00, serviceres 12 kunder, og der opnås en fyldningsprocent på

51 %. Ydermere udnyttes tidsvinduet, da den sidste kunde forlades kl. 07.44 jf. bilag 37. Da tidsvinduet

udnyttes fuldt ud, er det ikke muligt at have flere kunder på ruten. Ved levering inden kl. 10.30 kan L6

derimod nå at servicere 22 kunder, hvilket giver en fyldning på 87 %. Her udnyttes tidsvinduet også fuldt

ud, da den sidste kunde forlades kl. 10.21 jf. bilag 40.

Det er dyrt for Arla, når kunderne kræver levering inden kl. 08.00, da det giver flere begrænsninger i

distributionen, og der bliver behov for flere lastbiler. Det giver ydermere en dårlig udnyttelse af kapaciteten

og medfører, at den gennemsnitlige fyldning er lav. Den økonomiske konsekvens heraf bør overvæltes på

kunden. Det samme gør sig gældende kl. 09.00 og kl. 10.00. Det bør derimod ikke have nogen økonomisk

betydning for kunden, hvis de vil have levering mellem kl. 10.30 og kl. 12.00, da det ikke giver nogen

væsentlig forskel i omkostningerne. Derimod kan Arla tilbyde en form for rabat til de kunder, som ikke har

nogen

præferencer for leveringen, da det vil give større fleksibilitet i planlægningen. Fleksibiliteten vil givetvis

reducere antallet af lastbiler og dermed give mulighed for maksimal udnyttelse af kapaciteten. Dette vil

reducere omkostningerne og kan derfor komme kunderne til gode.

5. Modelkritik For at løse opgavens distributionsproblem har det været nødvendigt at opstille en række forudsætninger og

antagelser jf. afsnit 4.1. Dette medfører, at der skal tages forbehold i problemernes løsning, og at der er

nogle kritikpunkter til modellen. Nogle kritikpunkter vedrører brugen af logvrp mens andre skyldes

antagelser, samt de empiriske data. Kritikpunkter i forhold til logvrp vil blive behandlet i afsnit 5.1.

Som tidligere nævnt er det ikke muligt at anvende hele lastbilens kapacitet i praksis, hvorfor en fyldning på

over 98 % svarende til 50 rullepaller, kan være problematisk. Det er dog kun 35 ud af 272 ruter fra

scenarierne 2 til 7, som overstiger denne fyldning. Det er tvivlsomt om disse ruter ville være mulige at køre

i praksis.

I opgaven er rankeplanen benyttet til at afgøre, hvornår lastbilen tidligst kan begynde pålæsning i

terminalen. Rankeplanen er lavet ud fra aftræk pr. time jf. bilag 39 og alle stamruternes varighed. Dette


Side 56 af 66

betyder, at rankeplanen ikke er tilpasset antagelserne i denne opgave, hvilket medfører risiko for slack. Der

forekommer ofte slack hos første og anden kunde på ruterne som følge af rankeplanen. Det kunne

formentlig være undgået, hvis rankeplanen blev tilpasset, så der var mulighed for at nogle af lastbilerne

kunne forlade terminalen på et senere tidspunkt.

I kundemængden er der undladt nogle kunder, som ville være nødvendige at medtage i praksis. Dette

drejer sig eksempelvis om Gram Slot. De undladte kunder kan betyde, at der er nogle ruter, som skulle

ændres som følge af behov for ekstra tid og kapacitet. I den oprindelige løsning er det kun ruterne, 200,

202, 203, 204, 205, 208, 209, 212 og 701, som der fokuseres på. Om onsdagen er kunde 3488 som eneste

kunde overflyttet til rute 109. Omkostningerne til servicering af denne kunde er dog medtaget i

beregningen. De resterende dage kører rute 109 med kunder, som ligger uden for det valgte område. Der

er derfor set bort fra ruten.

Omkostningerne for de kørte ruter er i denne opgave et fiktivt tal, da der kun anvendes en estimeret

kilometerpris, som er fastsat ud fra interne afregningspriser pr. time. Omkostningerne skal derfor ikke

tillægges stor betydning, det er derimod de procentvise afvigelser og sammenligninger, som er væsentlige.

Som nævnt i afsnit 1.1 er det empiriske grundlag i opgaven kun data fra uge 4. Dataene anses som værende

repræsentative for den normale efterspørgsel, da der er tale om en almindelig uge uden ferier, helligdage

eller kampagner i butikkerne. Dette fremgår også af figur 10, som viser efterspørgslen for henholdsvis uge

4, 5 og 6. Efterspørgslen varierer fra uge til uge men følger det samme mønster. Dog skal det bemærkes, at

efterspørgslen også er sæsonafhængig, hvorfor efterspørgslen ikke vil være repræsentativ for alle uger. For

at understøtte resultaterne bør analysen dog foretages over flere uger. Dette vil også gøre resultaterne

mere valide.

50

100

150

200

250

300

350

400

Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag

E]erspørgsel

Uge 4 Uge 5 Uge 6

Figur 10: Efterspørgslen for uge 4, 5 og 6


Side 57 af 66

I opgaven er der kun behandlet 126 ud af de 950 kunder, som terminalen i Christiansfeld servicerer.

Området anses som værende repræsentativt, da begrænsningerne i andre områder er de samme.

5.1 Kritik af logvrp Onlineapplikationen logvrp har en række begrænsninger, som gør, at det ikke vil være muligt for Arla at

benytte det til daglig optimering. Yderligere giver disse begrænsninger et vist forbehold for opgavens

konklusioner.

Ved løsning af problemerne er der ikke taget højde for chaufførens tilladte arbejdstid. Der er få ruter, som

overstiger den tilladte køretid på 10 timer, men der er flere ruter, som ville give problemer i praksis, da

chaufførernes pauser ikke er medtaget. Selv om den maksimale køretid holdes inden for 9 timer og 15

minutter, så der rent tidsmæssigt ville være plads til chaufførens pause, er der ikke taget højde for, hvornår

på ruten pausen kan holdes. Det betyder, at der er risiko for, at pausen kommer i strid med nogle

tidsvinduer. Hvis pauser blev medtaget kunne slack i nogen tilfælde eventuelt undgås, da chaufføren kunne

udnytte noget af den tid til pause. Det er derfor ikke alle de ruter, som logvrp foreslår, der ville være mulige

at gennemføre i praksis. I det system Arla benytter til at planlægge ruterne, er der en funktion, som kan

tage højde for chaufførens arbejdstid og pauser. Funktionen benyttes dog ikke. I stedet indsætter Arla selv

en pause manuelt i samarbejde med chaufførerne [Schjerning, 2012]. Dette ville også være tilfældet,

såfremt ruterne i denne opgave blev benyttet.

De fleste af de eksisterende modeller arbejder kun med to omkostninger, en fast og en variabel

omkostning, som er afhængig af, hvor mange kilometer der køres. I praksis udgør den tid, hvor lastbilen

står stille ofte en stor del af chaufførens arbejdstid pga. arbejdstidsbegrænsninger og tidsvinduer.

Omkostningerne til dette har stor betydning og burde derfor også være en del af modellen[Xu et al., 2003].

I logvrp er det kun muligt at angive en fast og en variabel omkostning for lastbilen. Den variable omkostning

afhænger af antal kørte kilometer. Det betyder, at der ikke tages højde for, at det også koster penge, når

lastbilen holder stille undervejs. Det vil sige, at det i modellen koster 0 kr. at læsse varerne af hos kunderne,

samt at holde stille ved slack. Dette har ikke nogen betydning, når den samme dag i ugen sammenlignes på

tværs af de forskellige scenarier, da efterspørgslen er ens og tiden, hvor lastbilen står stille, dermed også vil

være den samme, når der ses bort fra slack. Det giver derimod problemer når forskellige ugedage

sammenlignes, da efterspørgslen og dermed af-‐ og pålæsningstiden ændrer sig. Såfremt det var muligt at

angive en omkostning for, når lastbilen står stille, ville det give en stor ændring i omkostningerne.

Yderligere ville nogle ruter formentlig se anderledes ud, da formålet er at minimere omkostninger. Det

betyder, at logvrp formentlig ville forsøge at minimere slack. Det kunne gøres ved at servicere kunder, som

kan få levering fra kl. 00.01, som de første, idet slack undgås. Arlas nuværende system udregner en


Side 58 af 66

omkostning fra ruternes start til slut, og tager heri højde for, at der også er en omkostning forbundet med

at lastbilen står stille [Schjerning, 2012]. Det vil sige, at dette kritikpunkt i logvrp ikke eksisterer i Arlas

nuværende system.

I logvrp indtastes et tidspunkt for, hvornår lastbilen skal forlade terminalen. Det betyder, at der i mange

tilfælde opstår slack hos den første kunde. Det ville således være mere hensigtsmæssigt, hvis det i stedet

var muligt at indtaste et tidsvindue for, hvornår lastbilen kan forlade terminalen. Derudover burde det også

være muligt at indtaste et tidspunkt for, hvornår lastbilen senest skal være tilbage i terminalen, da det også

kunne løse problemerne med chaufførens arbejdstid.

Igennem hele opgaven er hver enkelt dag i hvert scenarie løst 3 gange. I de 3 fremkomne løsninger, har der

i nogle tilfælde været meget stor forskel på omkostningerne. Et eksempel herpå er de 3 løsninger fra lørdag

kl. 12.00 i afsnit 4.3, hvor forskellen fra den billigste til den dyreste er på 2.376 kr. svarende til en forskel på

20 % jf. bilag 40. Dette skyldes programmets anvendelse af heuristikker. Heuristikker har generelt en

mangel på robusthed, og deres performance er ofte problemafhængig [Fisher, 1995]. Det er derfor ikke kun

i logvrp, disse problemer kan opstå. Det har stor betydning, hvilken løsning der vælges og hvor gange

modellen køres i logvrp. Der er dog ingen sammenhæng i, hvilken af de tre løsninger der er bedst.

Yderligere er den billigste løsning i nogle tilfælde fravalgt, da lastbilen har kørt fra og til terminalen mere

end en gang.

Såfremt logvrp skulle anvendes af Arla i den daglige distributionsplanlægning ville det blandt andet kræve:

• Mulighed for automatisk planlægning af chaufførens arbejdstid og pauser

• Beregning af omkostning, når lastbilen står stille

• Mulighed for bestemmelse af løsningstid uden forbedring eller antal af løsninger, som skal køres i

træk, før den optimale løsning vælges

• Automatisk indhentning af ordrer fra andet system samt kompatibilitet hermed

• Forhindre at en lastbil kører to ture

• Mulighed for at flytte enkelte kunder manuelt blandt ruterne

• Mulighed for at optimere lastbilens afgangstidspunkt

logvrp synes derfor ikke at være fordelagtigt for Arla på nuværende tidspunkt.

Det største problem ved opgavens konklusioner er modellens begrænsninger og mangler, som har gjort det

nødvendigt at opstille en række antagelser. Konklusionerne må derfor anses som værende vejledende og

ikke en færdig løsning.


Side 59 af 66

6. Anbefaling Det mest optimale for Arlas distributionsplanlægning ville være, at der blev optimeret hver dag. Ved

bibeholdelse af de nuværende begrænsninger ville det medføre en omkostningsreduktion på ca. 8 % jf.

tabel 18 i afsnit 4.2.8. Dette er dog ikke muligt på nuværende tidspunkt, da løsningtiden er for lang og det

begrænser muligheden for at yde ekstra service over for kunderne i form af en lovet leveringstid. Daglig

optimering ville kræve et omfattende system med høj løsningshastighed, samt de funktioner der er nævnt i

afsnit 5.1.

Arla fik implementeret systemet fra Transvision tilbage i år 2000, og det er fortsat den samme algoritme,

som benyttes. Transvision anvender i dag en række andre algoritmer, som har forbedret de systemer, der

udbydes. Derudover har Transvision også forbedret nogle af de algoritmer, som anvendes i systemet hos

Arla [Lerke, 2012]. Det betyder, at Transvision kan tilbyde et bedre system, end det Arla anvender på

nuværende tidspunkt. Algoritmen ALNS, som anvendes i logvrp, er udviklet senere end år 2000, hvilket

betyder, at den er nyere end de algoritmer, som anvendes i Arlas system. ALNS er generelt bedre end LNS,

da den løbende evaluerer, hvor godt de anvendte heuristikker virker[Lerke, 2012]. Derfor vil logvrp

formentlig kunne finde bedre løsninger på problemet. Et eksempel på, at en udskiftning af algoritme kan

have stor betydning er et casestudie for en af Grækenlands største virksomheder inden for mejeri. Ved at

benytte en anden algoritme, formåede de at reducere lastbilernes total kørte distance med 28 %

sammenlignet med algoritmen, som tidligere blevet benyttet til samme distributionsproblem [Tarantilis &

Kiranoudis, 2001]. Da systemet i Arla er så gammelt vil der formentlig være flere algoritmer end ALNS, som

kan producere bedre resultater. Arla bør derfor overveje en fornyelse af systemet, såfremt de ønsker

radikale ændringer i distributionsplanlægningen. En sådan beslutning kræver dog yderligere analyse for at

det kan estimeres, hvor meget det er muligt at spare ved at implementere et nyt system. Det er dyrt og

tidskrævende at implementere et nyt system, hvorfor besparelserne skal opveje omkostningerne.

Andre virksomheder har forsøgt at forbedre distributionen ved at udvide lastbilernes kapacitet. Et

eksempel herpå er Tom’s Foods, Inc, som producerer og distribuerer snacks i Columbus, Georgia. Her var

der ved implementering af computerteknologi fokus på bedre udnyttelse af lastbilerne, hvilket gjorde, at de

skiftede fra at anvende lastbiler med trailere på 43 fod til at anvende trailere på 48 fod. Resultatet heraf

var, at det gav bedre ruter [Toth & Vigo, 2002]. Udvidelse af lastbilernes kapacitet er ikke undersøgt i

denne opgave, da Arla i forvejen har svært ved at opnå en ønsket fyldning på 80,39 %. Det er ikke muligt at

opnå en højere fyldning, da der skal tages højde for tidsvinduerne. På baggrund heraf ville en udvidelse af

kapaciteten formentlig ikke give et bedre resultat. Det kan ses af scenarie 7 i afsnit 4.2.7, hvor der var


Side 60 af 66

meget begrænsede muligheder for at reducere antallet af lastbiler. Da kapaciteten i gennemsnit udnyttes,

kunne det være en mulighed at reducere lastbilens kapacitet, såfremt det er billigere at anvende en mindre

lastbil. Det vil dog give langt mindre fleksibilitet. I stedet kunne det derfor være en mulighed at arbejde

med en heterogen vognpark. Arla anvender dog på nuværende tidspunkt til dels en heterogen vognpark, da

de har få lastbiler med mindre kapacitet samt forskellige anhængere til lastbilerne. I denne opgave er der

arbejdet med en homogen vognpark, og det vides derfor ikke, hvor stor fordel det kunne have.

I Arla arbejder de med en tilgængelig rankeplan, da der er knap kapacitet i terminalen, og antallet af porte

er begrænsede. Der opstår derfor et scheduling problem. Pålæsningstiden og ventetiden har en indflydelse

på lastbilen afgangstidspunkt fra terminalen, og derfor bør scheduling problemet løses i sammenhæng med

VRPTW [Trinh et al., 2011; Ortega et al., 2009]. Dette ligger uden for omfanget af denne opgave, hvorfor

scheduling problemet ikke er behandlet yderligere. I Arlas samlede planlægningssystem bør der dog være

fokus på at integrere de to problemstillinger, da rankeplanen giver store begrænsninger for planlægningen.

I afsnit 4.2.4 blev scenariet med fri tilgængelighed løst både med og uden rankeplanen. Resultaterne viste,

at med anvendelse af rankeplanen var der en afvigelse fra den optimale løsning på 2,84 % jf. tabel 10, mens

der uden brug af rankeplanen var en afvigelse på 13,23 % jf. tabel 11. Det vil sige, at de i forhold til dette

problem ville spare 11,97 %, hvis de ikke var begrænset af rankeplanen jf. afsnit 4.2.4. Det betyder, at det

ikke kun er kundernes ønsker, som skaber begrænsninger for distributionen, men også Arlas egne interne

forhold. Rankeplanen kan tilpasses ruterne, men det er ikke muligt at sende alle lastbiler af sted samtidigt

både som følge af terminalens kapacitet og mejeriets produktionskapacitet. Hvis lastbilerne ikke skulle

være begrænsede ville det kræve store investeringer i udvidelse af kapaciteten. Dette ville dog medføre, at

produktionsapparaterne ville have mere stilstand, hvilket i sig selv også er meget dyrt. Det bør derfor

overvejes, om besparelserne er store nok til at dække dette.

Som diskuteret i afsnit 4.2.8 ville det mest optimale være, at Arla ikke var bundet af nogen

tidsbegrænsninger. Det giver en reduktion i omkostningerne på 13,88 % i forhold til den optimale løsning

med alle nuværende begrænsninger. Dette er, som nævnt tidligere, ikke muligt på grund af Arlas

produkttype. Arla kunne i stedet arbejde med tidsvinduernes bredde. Det ville give en

omkostningsbesparelse, som ligger et sted mellem 0 og 13,88 %. Et eksempel på fordelen ved at udvide

tidsvinduerne ses af Mans (1997). Her kunne en virksomhed i Philadelphia, som leverer mejeriprodukter,

udnytte deres vognpark bedre og undgå slack som følge af en udvidelse af tidsvinduerne hos kunderne

[Mans, 1997]. På nuværende tidspunkt er Arla bundet af et tidligste og en seneste leveringstidspunkt hos

kunden. Det er svært at ændre de seneste leveringstidspunkter, da butikkerne er afhængige af, at varerne

er i butikken ved åbning. I stedet kunne det være en mulighed at arbejde med de tidligste


Side 61 af 66

leveringstidspunkter. I afsnit 4.2.4 blev problemet løst under forudsætning af, at der ikke var tidligste

leveringstidspunkt. Dette gav en reduktion i omkostninger på 2,84 % i forhold til den optimale løsning. Det

vil dog kræve, at der er et tilgængeligt kølerum hos kunden. Det er ikke realistisk, at Arla kan få alle sine

kunder til at have kølerum, da det udelukkende medfører omkostninger for kunden. Såfremt kunderne er

villige til at investere i et kølerum, vil de højest sandsynligt forlange, at det benyttes. Arla kan ikke

garantere at kølerummet benyttes, da der altid vil være nogle butikker, som først får levering, når der er

medarbejdere i butikken. Grundet optimering og varierende efterspørgsel kan det yderligere ikke

garanteres, at det er de samme butikker, hvor det ikke er nødvendigt at have kølerum. En anden mulighed

er derfor at sætte krav til bredden af tidsvinduerne hos kunderne, så de er mindst x antal timer bredde. Det

vil ikke kræve ændringer hos alle butikker, men stadig øge Arlas muligheder for bedre optimering.

Udvidelse af tidsvinduerne er undersøgt i afsnit 4.2.5, hvor tidsvinduet er sat til minimum at være 5 timer

bredde. I forhold til den optimale løsningen giver det en reduktion i omkostninger på 0,47 %. En sådan

løsning ville kun kræve, at 52 butikkers aftale skal ændres og over halvdelen af disse ville kun skulle udvide

tidsvinduet med en time eller derunder. Det maksimale, som tidvinduet skal øges med, er 3 timer, og dette

vil kun berøre 3 kunder. Det er dog relativt store kunder, som alle skal have levering hver dag og med en

gennemsnitsordre pr. dag på mellem 2,95 og 5,43 rullepaller.

Den besparelse, det giver Arla, når tidsvinduerne udvides, kunne komme de berørte kunder til fordel ved,

at der blev ydet en form for prisnedsættelse. Det ville således være op til den enkelte kunde, om

prisnedsættelsen kan modsvare den ekstra omkostning, det medfører at have medarbejdere på arbejde i

leveringstidsrummet. Hvis ikke der stilles et leveringstidsrum på minimum 5 timer til rådighed skal i stedet

pålægges en ekstra omkostning. Det vil sige at Arla, i stedet for kun at medtage seneste leveringstidspunkt i

kædeaftalerne, burde indlægge en separat aftale i forhold til den enkelte butik angående tilgængeligheden.

Alle anbefalinger skal holdes op mod de omkostninger, tid og ressourcer det ville kræve at implementere

dem, i forhold til hvilke omkostningsbesparelser, det vil give. Desuden bør denne opgaves anbefalinger

også ses i sammenhæng med modellens kritikpunkter nævnt i afsnit 5.

7. Konklusion Distribution ud til butikkerne er et vigtigt område i Arla, da de distribuerer forbrugsvarer med begrænset

holdbarhed. Som følge heraf bliver planlægningen af distributionen også vigtig. Yderligere stiller Arlas

kunderne store krav til, hvornår leveringen skal finde sted.

I Christiansfeld ligger en af Arlas fire ferskvareterminaler, som består af et mejeri og et distributionscenter. I

Christiansfeld varetages distributionen ud til 950 butikker placeret i den sydlige del af Jylland og på Fyn. I

Christiansfeld modtages der hver aften ordrer fra butikkerne og mælkeproduktionen af frisk mælk starter


Side 62 af 66

herefter kl. 00.00. Fra Christiansfeld transporteres varerne med lastbiler ud til de respektive butikker.

Lastbilerne forlader terminalen efter en rankeplan da der er begrænset kapacitet i mejeriet. Leveringen hos

butikkerne sker inden for aftalte tidsvinduer. Distributionsproblemet i Arla kan dermed ses som et Vehicle

Routing Problem with Time Windows (VRPTW). VRPTW omhandler transporten fra et depot ud til en række

kunder med en givet efterspørgsel. Transporten er begrænset af køretøjets kapacitet samt depotets og

kundernes tidsvinduer. VRPTW stammer fra Vehicle Routing Problem (VRP), som i modsætning til VRPTW

ikke har nogen tidsbegrænsninger. VRP og VRPTW kan løses eksakt og ved hjælp af heuristikker. Eksakte

metoder kan dog kun benyttes op til et vist antal kunder da løsningstiden stiger eksponentielt med antallet

af variable. Heuristikker er derimod approksimerede løsninger som giver mulighed for at finde gode

løsninger til store problemer inden for acceptabel tid. Et eksempel på en heuristik er savings heuristikken.

I denne opgave er der udvalgt et område bestående af 126 kunder i Sønderjylland til at se, hvorledes

omkostningerne ændres, såfremt de nuværende rammer for distributionen modificeres. Til dette anvendes

online applikationen logvrp som benytter algoritmen Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) til at

udregne optimale ruter. ALNS algoritmen anvender forskellige heuristikker til at skiftevis at ødelægge og

reparere den nuværende løsning, for på den måde at finde frem til en bedre løsning. I processen evalueres

heuristikkernes performance løbende så algoritmen tilpasses det enkelte problem. Til løsning af de

forskellige scenarier har det været nødvendigt at opstille en række forudsætninger og antagelser for at

kunne håndtere problemet i logvrp.

På nuværende tidspunkt foretager Arla ikke daglig optimering, da det er for tidskrævende. I stedet for

planlægger de distributionen ud fra stamruter. I denne opgave er der i modsætning hertil foretaget daglig

optimering i de opstillede scenarier. Analysen har vist at det er en fordel at foretage daglig optimering da

omkostningerne reduceres. Dette skyldes at løsningen tilpasses den specifikke efterspørgsel.

Distributionsproblemet er også løst ved at modificere de forskellige tidsbegrænsninger for at hvor stor

betydning de har for omkostningerne. Såfremt Arla ikke havde nogle tidsbegrænsninger fremkom de

laveste omkostninger i hele analysen. Da dette scenarie ikke er realistisk blev problemet også løst ved at

tilføje tidsbegrænsninger gradvist. En tilføjelse af et tidspunkt for seneste levering ville kræve at alle kunder

havde et kølerum. Løsningen gav reducerede omkostninger i forhold til den optimale løsning, men den vil

være svær at gennemføre i praksis på grund af behovet for kølerum. Et andet muligt scenarie, som

reducerer omkostningerne, er at udvide kundernes eksisterende tidsvinduer. Når tidvinduer udvides

slækkes der på begrænsninger, hvilket medfører, at der fremkommer en bedre løsning. Dette scenarie er

nemmere at gennemføre i praksis, da det ikke berører alle kunder.

I opgaven blev det også undersøgt, om det var muligt at varetage distributionen på en ny måde, ved at

opdelingen kunderne i A-‐ og B-‐kunder. Ved dette scenarie fremkom den højeste omkostning i hele


Side 63 af 66

analysen. Det var ikke nogen fordel, da det ikke kunne udnyttes at nogen kunder ligger geografisk tæt på

hinanden og ikke giver kunderne yderligere fordele. Yderligere blev det også undersøgt om det var muligt

at reducere antallet af lastbiler og afkorte chaufførenes arbejdstid. Dette kunne dog ikke lade sig gøre på

grund af kundernes tidsvinduer.

Under de nuværende rammer for distributionen skal kunderne have levering inden for bestemte

tidspunkter i henhold til kædeaftaler. I opgaven blev det derfor analyseret hvor stor betydning de seneste

leveringstider har for omkostningerne. Omkostningerne er højest når alle butikker skal have levering inden

kl. 08.00, og her er problemet desuden svært at løse. Når det er muligt at levere senere end kl. 08.00 falder

omkostninger. Dog viste forskellen sig at være lille ved de seneste leveringstider inden kl. 10.30 til kl.

12.00. Det betyder, at det bør være dyrere for de kunder, der ønsker seneste levering inden kl. 10.00 eller

tidligere. I modsætning hertil kan der tilbydes en form for rabat til de kunder, der ikke har nogle

præferencer med hensyn til seneste leveringstidspunkt, da det giver større mulighed for at optimere

distributionen.

Analyse og diskussion af de opstillede scenarier resulterer i en række anbefalinger til Arla som ud fra denne

opgaves model vil reducere deres omkostninger. På bagrund af antagelser og kritikpunkter i forbindelse

med modellen tages der dog forbehold for anbefalingerne.

Ud fra de opstillede scenarier anbefales det at Arla foretager daglig optimering. Det vil kræve

implementering af et nyt system, men selv med et nyt system vil daglig optimering ikke være muligt på

grund af løsningstiden sammenholdt med den korte planlægningstid. Et nyt system vil dog under alle

omstændigheder tilbyde nyere algoritmer, som formentlig vil medføre bedre løsninger. Disse anbefalinger

vil dog kræve store omkostninger og omlægning i deres nuværende procedure. Til forbedring af

omkostningerne kan der dog også foretages mindre justeringer, som vil være lettere at gennemføre i

praksis. På baggrund af opgavens analyse anbefales Arla at indarbejde separate aftaler i forhold til den

enkelte butiks tidsvinduer i kædeaftalerne. Tidsvinduernes bredde påvirker omkostningerne til

distributionen og kunderne bør derfor betale ekstra for at have smalle tidsvinduer. Et smalt tidsvindue kan

eksempelvis defineres som værende mindre end fem timer ligesom i denne opgave.


Side 64 af 66

Referencer

Arla Foods 2012a, Arla Foods år 2000 og frem [Homepage of www.arla.dk], [Online]. Available: http://www.arlafoods.dk/om-‐arla/virksomheden/historie/arla-‐foods-‐ar-‐2000-‐og-‐frem/ [2012, 02/15].

Arla Foods 2012b, Historien fra 1881-‐1999 [Homepage of www.arla.dk], [Online]. Available: http://www.arlafoods.dk/om-‐arla/virksomheden/historie/historien-‐fra-‐1881-‐1999/ [2012, 02/15].

Arla Foods 2012c, , Kort om Arla [Homepage of www.arla.dk], [Online]. Available: http://www.arlafoods.dk/om-‐arla/ [2012, 02/15].

Arla Foods 2011a, General presentation 2011, Arla Foods, Viby.

Arla Foods 2011b, Præsentation CMC2011, Arla Foods, Christiansfeld.

Arla Foods amba 2012, Årsrapport 2011, Arla Foods amba, København.

Balakrishnan, N., Render, B. & Stair, R.M. 2007, "Introduction to managerial decision modeling" in Managerial decision modeling with spreadsheets, 2nd edn, Prentice Hall, New Jersey, pp. 2-‐22.

Bektas, T. 2006, "The multiple traveling salesman problem: An overview of formulations and solution procedures", Omega, vol. 34, pp. 209-‐219.

Bloch, N.A. 2012, Møde med kørselschef d. 8/2, Personlig kommunikation, Christiansfeld.

Clarke, G. & Wright, J.W. 1964, "Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points", Operations research, vol. 12, no. 4, pp. 568-‐581.

Cordeau, J., Gendreau, M., Laporte, G., Potvin, J. & Semet, F. 2002, "A guide to vehicle routing heuristics", Journal of the Operational Research Society, vol. 53, no. 5, pp. 512-‐522.

Dantzig, G.B. & Ramser, J.H. 1959, "The Truck Dispatching Problem", Management Science, vol. 6, no. 1, pp. 80-‐91.

EF-‐tidende 2002, , Europa-‐Parlamentets og Rådets direktiv 2002/15/EF af 11. marts 2002 om tilrettelæggelse af arbejdstid for personer, der udfører mobile vejtransportaktiviteter [Homepage of www.eur-‐lex.europa.eu], [Online]. Available: http://eur-‐lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:32002L0015:DA:HTML [2012, 02/22].

Fisher, M. 1995, "Chapter 1 Vehicle routing", Handbooks in Operations Research and Management Science, vol. 8, pp. 1-‐33.

Fisher, M.L. & Jaikumar, R. 1981, "A generalized assignment heuristic for vehicle routing", Networks, vol. 11, no. 2, pp. 109-‐124.

Gendreau, M. & Potvin, J. 2010, "Preface to first edition" in Handbook of metaheuristics, 2.th edn, Springer, New York, pp. ix-‐xi.

Gendreau, M., Potvin, J., Bräumlaysy, O., Hasle, G. & Løkketangen, A. 2008, "Metaheuristics for the Vehicle Routing Problem and Its Extensions: A Categorized Bibliography" in The Vehicle Routing Problem:


Side 65 af 66

Latest Advances and New Challenges, eds. B. Golden, S. Raghavan & E. Wasil, Springer US, US, pp. 143-‐169.

Johnson, D. & Papadimitriou, C.H. 1985, "Computational complexity" in The traveling salesman problem: a guided tour of combinatorial optimization, eds. E.L. Lawler, J.K. Lenstra, A.H.G. Rinnooy Kan & D.B. Shmoys, Wiley, Chichester, pp. 37-‐85.

Kallehauge, B. 2006, On the vehicle routing problem with time windows, Center for Trafik og Transport, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby.

Kallehauge, B., Larsen, J., Madsen, O.B.G. & Solomon, M.M. 2005, "Vehicle Routing Problem with Time Windows" in Column Generation, eds. G. Desaulniers, J. Desrosiers & M.M. Solomon, Springer, US, pp. 67-‐98.

Kolen, A.W.J., Rinnooy Kan, A.H.G. & Trienekens, H.W.J.M. 1987, "Vehicle Routing with Time Windows", Operations research, vol. 35, no. 2, pp. 266-‐273.

Laporte, G. 1992, "The vehicle routing problem: An overview of exact and approximate algorithms", European Journal of Operational Research, vol. 59, no. 3, pp. 345-‐358.

Laporte, G. & Nobert, Y. 1987, "Exact Algorithms for the Vehicle Routing Problem", Surveys in Combinatorial Optimization, vol. 132, pp. 147-‐184.

Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A.H.G. & Shmoys, D.B. 1985, The traveling salesman problem: a guided tour of combinatorial optimization, Wiley, Chichester.

Lerke, H. 2012, Projektleder fra Transvision, Mail korrespondance.

Logvrp 2012a, Support, Mail korrespondance.

Logvrp 2012b, VRP types and algorithms document [Homepage of www.logvrp.com], [Online]. Available: http://logvrp.com/staticcontent/html/Wisects.Logistics.VRP/en/VRPTypesAndAlgorithms.html [2012, 03/14].

Lysgaard, J. 1997, Clarke & Wright's Savings Algorithm, The Aarhus School of Business.

Lysgaard, J. 1993, Decision support systems for vehicle routing and scheduling, Handelshøjskolen, Århus.

Magnanti, T.L. 1981, "Combinatorial optimization and vehicle fleet planning: Perspectives and prospects", Networks, vol. 11, no. 2, pp. 179-‐213.

Mans, J. 1997, "Downloading distribution", Dairy Foods, vol. 98, no. 8, pp. 60-‐66.

Masum, A.K.M., Shahjalal, M., Faruque, M.F. & Hasan Sarker, M.I. 2011, "Solving the Vehicle Routing Problem using Genetic Algorithm", International Journal of Advanced Computer Science and Applications, vol. 2, no. 7, pp. 126-‐131.

Moore, J.H. & Weatherford, L.R. 2001, "Multi-‐Objective Decision Making and Heuristics" in Decision modeling with Microsoft Excel, 6th edn, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., pp. CD12-‐2-‐CD12-‐3.

Nemhauser, G.L. & Wolsey, L.A. 1988, Integer and combinatorial optimization, Wiley, New York. Chapter 1


Side 66 af 66

Ortega, P., Oliva, C., Ferland, J. & Cepeda, M. 2009, "Multiple ant colony system for a VRP with time windows and scheduled loading", Ingeniare, Revista chilena de ingenieria, vol. 17, pp. 393-‐403.

Pisinger, D. & Ropke, S. 2010, "Large Neighborhood Search" in Handbook of Metaheuristics, eds. M. Gendreau & J. Potvin, 2nd edn, Springer US, New York, pp. 399-‐419.

Politiet 2011, 07/14-‐last update, Køre-‐ og hviletidsreglerne [Homepage of Politiet], [Online]. Available: http://www.politi.dk/da/borgerservice/Fardsel/tunge_koeretoejer/koere_hviletid_reglerne/ [2012, 02/21].

Ropke, S. & Pisinger, D. 2007, "A general heuristic for vehicle routing problems", Computers and Operations Research, vol. 34, no. 8, pp. 2403-‐2435.

Ropke, S. & Pisinger, D. 2006a, "An Adaptive Large Neighborhood Search Heuristic for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows", Transportation Science, vol. 40, no. 4, pp. 455-‐472.

Ropke, S. & Pisinger, D. 2006b, "A unified heuristic for a large class of Vehicle Routing Problems with Backhauls", European Journal of Operational Research, vol. 171, no. 3, pp. 750-‐775.

Schjerning, S. 2012, Møde med Logistikkoordinator d. 20/2, Personlig kommunikation, Christiansfeld.

Shaw, P. 1998, "Using Constraint Programming and Local Search Methods to Solve Vehicle Routing Problems", Lecture notes in Computer Science, vol. 1520, pp. 417-‐431.

Solomon, M.M. 1987, "Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Window Constraints", Operations research, vol. 35, no. 2, pp. 254-‐265.

Tarantilis, C.D. & Kiranoudis, C.T. 2001, "A meta-‐heuristic algorithm for the efficient distribution of perishable foods", Journal of Food Engineering, vol. 50, no. 1, pp. 1-‐9.

Toth, P.l. & Vigo, D. 2002, The vehicle routing problem, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia. Chapter 1, 7 and 10.

Trinh, K., Dang, N. & Dinh, T. 2011, "An Approximation Approach for a Real–World Variant of Vehicle Routing Problem" in New Challenges for Intelligent Information and Database Systems, eds. N. Nguyen, B. Trawinski & J. Jung, Springer, Berlin / Heidelberg, pp. 87-‐96.

Westergaard, J. 2012, Møde med Kørselsleder d. 19/2, Personlig kommunikation, Christiansfeld.

Xu, H., Chen, Z., Rajagopal, S. & Arunapuram, S. 2003, "Solving a Practical Pickup and Delivery Problem", Transportation Science, vol. 37, no. 3, pp. 347-‐364.

Zanakis, S.H., Evans, J.R. & Vazacopoulos, A.A. 1989, "Heuristic methods and applications: A categorized survey", European Journal of Operational Research, vol. 43, no. 1, pp. 88-‐11

distributionsplanlægning i arla - au...

Documents