distribui˘c~ao de probabilidade discreta · distribui˘c~ao multinomial aplica˘c~oes uma f abrica...
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PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Instituto de Fısica da Universidade de Sao Paulo
Distribuicao de Probabilidade DiscretaDistribuicao Multinomial
(Trevo)
01-02 de abril de 2014
P. R. Pascholati
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Trevo – Parque da Previdencia - Sao Paulo
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Sumario
1 Prologo
2 Prova
3 Distribuicao Multinomial
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
PrologoEsta apresentacao e parte das distribuicoes de probabilidade deinteresse em Fısica: Distribuicao Binomial, Distribuicao de Poissone Distribuicao de Gauss (Gauβ). Enfatizando o que ja foiadiantado na apresentacao de distribuicao binomial:
a distribuicao binomial e geralmente aplicada a experimentosonde ha um numero pequeno de possıveis eventos;
a distribuicao de Poisson e apropriada para descreverexperimentos cujos eventos sao contagens onde os dadosrepresentam um certo numero de eventos observados porunidade de intervalo; e
A distribuicao de Gauss ou normal descreve as observacoesaleatorias de uma vasta gama de experimentos.
Trevo – Classificacao cientıfica ou taxinomia (sistema de Karl von Linnee ouCarolus Linnaeus)
Reino: Plantae, Divisao: Magnoliophyta, Classe: Liliopsida, Ordem: Fabales,
Famılia: Fabaceae, Genero: Triofolium.
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Sumario
1 Prologo
2 Prova
3 Distribuicao Multinomial
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Solucao da Prova
1 (0,9) Quantos algarismos significativos tem os numeros dositens que seguem? Justifique as respostas.230,7800,056 70443,650
2 (1,2) Faca o arredondamento dos numeros dos itens queseguem? Justifique as respostas. para quatro algarismossignificativos:131,500,320 45
3 para seis algarismos signficativos:3,846 453 0051 274,7500
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Considere uma amostra de 10 votantes tomados ao acaso de umapopulacao onde 40 % dos votantes sufragam o candidato A.Pergunta-se:
(0,5) Qual a probabilidade de apenas dois votantes sufragaresse candidato?
(1,0) Qual e a probabilidade de que 50% dos votantessufragem o outro cadidato?
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Distribuicao Multinomial
Um grupo de tres de alunos fez 90 lancamentos de tres dados comquatro lados anotando os valores obtidos. A tabela 1 apresenta asoma dos resultados obtidos para cada trio de dados lancado.
Tabela : Somas dos resultados obtidos para 90 lancamentos de tresdados com quatro lados.
3 5 6 7 7 7 8 9 113 5 6 7 7 8 8 10 113 5 6 7 7 8 8 10 114 5 6 7 7 8 8 10 114 5 6 7 7 8 8 10 114 5 6 7 7 8 9 10 115 5 6 7 7 8 9 10 115 6 6 7 7 8 9 10 125 6 7 7 7 8 9 10 12P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
a) (0,5) Confeccione uma tabela para conter as respostas finaisdos itens b), c) e e).
b) (0,8) Quais sao os eventos possıveis de ocorrer nessaexperiencia? Justifique.
c) (0,8) Obtenha a ocorrencia para cada um dos eventospossıveis.
d) (1,0) Construa o histograma dos resultados apresentados naTabela 1.
e) (0,4) Obtenha, tambem, a ocorrencia relativa correspondente.
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Distribuicao Multinomial
Na Figura 1 sao apresentados graficamente os resultados de Nmedicoes do tempo de 10 oscilacoes de um pendulo simples.Estime:
a) (0,3) o numero de medicoes N;
b) (1,0) a media dessa distribuicao;
c) (1,0) o desvio padrao da mesma; e
d) (0,6) o desvio padrao da media.
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Distribuicao Multinomial
Figura : Resultados de N medicoes do intervalo de tempo de 10oscilacoes de um pendulo simples.
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Sumario
1 Prologo
2 Prova
3 Distribuicao Multinomial
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialExpressao
A distribuicao binomial pode ser generalizada considerandoreparticao do espaco amostral em H eventos Y1,Y2, . . . ,YH ,mutuamente exclusivos e com probabilidade p1, p2, . . . , pH , tal queos pi , i = 1,H satisfacam a condicao de normalizacao(∑H
1 )pi = 1). Entao em N tentativas, a probabilidade de que oevento Y1 ocorra n1 vezes, Y2 ocorra n2 vezes, . . . e YH ocorranH vezes e obtida por:
PN;p1,p2,...pH (n1, n2, . . . , nH) =N!
n1!n2! . . . nH !(p1)n1(p2)n2 . . . (pH)nH
(1)Para H for igual a 2 a equacao 1 se torna a distribuicao binomial.
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Qual a probabilidade de ao se lancar um dado de seis lados novevezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.
Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostra.Evento 1 e encontrar tres lados 1 para cima, evento 2 e encontrardois lados seis e evento 3 encontrar os demais lados uma vez.
O numero de lancamentos, N, e 9 e a probabilidade de acontecerde um lado especıfico de um dado para cima e pi = 1
6 . Assim aprobabilidade de acontecer o evento 1 e p1 = 1
6 , o evento 2 ep2 = 1
6 e o evento 3 qualquer lado e p3 = 46 , esta e a diferenca
entre 1 e a soma da duas outras probabilidades.
PN; 16, 1
6, 4
6(3, 2, 4) =
9!
3!4!2!
(1
6
)3(1
6
)2(4
6
)4
(2)
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
PrologoProva
Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Qual a probabilidade de ao se lancar um dado de seis lados novevezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.
Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostra.Evento 1 e encontrar tres lados 1 para cima, evento 2 e encontrardois lados seis e evento 3 encontrar os demais lados uma vez.
O numero de lancamentos, N, e 9 e a probabilidade de acontecerde um lado especıfico de um dado para cima e pi = 1
6 . Assim aprobabilidade de acontecer o evento 1 e p1 = 1
6 , o evento 2 ep2 = 1
6 e o evento 3 qualquer lado e p3 = 46 , esta e a diferenca
entre 1 e a soma da duas outras probabilidades.
PN; 16, 1
6, 4
6(3, 2, 4) =
9!
3!4!2!
(1
6
)3(1
6
)2(4
6
)4
(2)
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Qual a probabilidade de ao se lancar um dado de seis lados novevezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.
Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostra.Evento 1 e encontrar tres lados 1 para cima, evento 2 e encontrardois lados seis e evento 3 encontrar os demais lados uma vez.
O numero de lancamentos, N, e 9 e a probabilidade de acontecerde um lado especıfico de um dado para cima e pi = 1
6 . Assim aprobabilidade de acontecer o evento 1 e p1 = 1
6 , o evento 2 ep2 = 1
6 e o evento 3 qualquer lado e p3 = 46 , esta e a diferenca
entre 1 e a soma da duas outras probabilidades.
PN; 16, 1
6, 4
6(3, 2, 4) =
9!
3!4!2!
(1
6
)3(1
6
)2(4
6
)4
(2)
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Qual a probabilidade de ao se lancar um dado de seis lados novevezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.
PN; 16, 1
6, 4
6(3, 2, 4) =
9!
3!4!2!
(1
6
)3(1
6
)2(4
6
)4
(3)
=9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4!
3 · 2 · 1 · 4! · 2 · 1
(1
6
)5(4
6
)4
= 3 · 2 · 7 · 6 · 5
(1
6
)5(4
6
)4
(4)
= 7 · 5
(1
6
)3(4
6
)4
=35 · 256
67=
8960
279 936= 0, 0320 (5)
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.
Qual e a probabilidade de em 6 lampadas 2 sejam verdes, 3azuis e 1 amarela.
Qual e a probabilidade de em 8 lampadas 4 sejam verdes, 2azuis e 2 amarelas.
Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostral:evento 1 e encontrar duas lampadas de cor verde, evento 2 eencontrar tres lampadas de cor azul e evento 3 encontrar umalampada de cor amarela.As probabilidades sao p1 = 1/2 para lampdas de cor verde,p2 = 1/5 para lampadas de cor azul e p3 = 3/10 para lampadas decor amarela.
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.
Qual e a probabilidade de em 6 lampadas 2 sejam verdes, 3azuis e 1 amarela.
Qual e a probabilidade de em 8 lampadas 4 sejam verdes, 2azuis e 2 amarelas.
Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostral:evento 1 e encontrar duas lampadas de cor verde, evento 2 eencontrar tres lampadas de cor azul e evento 3 encontrar umalampada de cor amarela.As probabilidades sao p1 = 1/2 para lampdas de cor verde,p2 = 1/5 para lampadas de cor azul e p3 = 3/10 para lampadas decor amarela.
P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.
Qual e a probabilidade de em 6 lampadas 2 sejam verdes, 3azuis e 1 amarela.
Continuacao da solucao:O numero de tentativas, N, e 6.
P6; 12, 1
5, 3
10(2, 3, 1) =
6!
2!3!1!
(1
2
)2(1
5
)3( 3
10
)1
(6)
=6 · 5 · 4 · 3!
2 · 3! · 1
(1
2
)2(1
5
)3( 3
10
)1
=3
1
(1
5
)2( 3
10
)1
(7)
=3 · 3
25 · 10=
9
250=
9 · 4
250 · 4=
36
1000= 0, 036 (8)
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Distribuicao Multinomial
Distribuicao MultinomialAplicacoes
Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.
Qual e a probabilidade de em 8 lampadas 4 sejam verdes, 2azuis e 2 amarelas.
Solucao:O numero de tentativas, N, e 8.
P8; 12, 1
5, 3
10(4, 2, 2) =
8!
4!2!2!
(1
2
)4(1
5
)2( 3
10
)2
(9)
=8 · 7 · 6 · 5 · 4!
4! · 2 · 2
(1
2
)4(1
5
)2( 3
10
)2
(10)
=7 · 3
1
(1
2
)2(1
5
)1( 3
10
)2
=7 · 3 · 9
4 · 5 · 100(11)
=189
2000=
189 · 5
2000 · 5=
945
1000= 0, 945 (12)
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Distribuicao MultinomialAplicacoes
Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.
Qual e a probabilidade de em 10 lampadas 5 sejam verdes, 2azuis e 3 amarelas.
Solucao:O numero de tentativas, N, e 10.
P10; 12, 1
5, 3
10(5, 2, 3) =
10!
5!2!3!
(1
2
)5(1
5
)2( 3
10
)3
(13)
=10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!
5! · 2 · 3 · 2
(1
2
)5(1
5
)2( 3
10
)3
(14)
=9 · 7
1
(1
2
)2(1
5
)1( 3
10
)3
=9 · 7 · 27
4 · 5 · 1000(15)
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Distribuicao MultinomialAplicacoes
Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.
Qual e a probabilidade de em 10 lampadas 5 sejam verdes, 2azuis e 3 amarelas.
Continuacao da solucao:
P10; 12, 1
5, 3
10(5, 2, 3) =
9 · 7 · 27
4 · 5 · 1000(16)
=1701
20000=
1701 · 5
20000 · 5=
8505
100000= 0, 08505 (17)
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