distribuciones de probabilidad para hidrologia

7/21/2019 Distribuciones de Probabilidad para hidrologia

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ANALISIS DE FRECUENCIA ENANALISIS DE FRECUENCIA ENHIDROLOGIA (3)HIDROLOGIA (3)

Profesor Luis F. Carvajal

Uiversi!a! Na"ioal !e Colo#$iaFa"ul%a! !e &ias

Es"uela !e Geo"ie"ias ' &e!io A#$ie%e


2/35

Dis%ri$u"ioes !is"re%asDis%ri$u"ioes !is"re%as

Distribucin Binomial Distribucin Poisson Distribucin Geomtrica

Dis%ri$u"ioes "o%iuasDis%ri$u"ioes "o%iuas

Distribucin Exponencial

Distribucin Normal Distribucin Log Normal Distribucin Gamma Distribucin Log Pearson tipo III

Distribucin General de Valor Extremo

Distribuciones de Probabilidad


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DISRIICIONES DEDISRIICIONES DEPROAILIDAD DISCREAPROAILIDAD DISCREA


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Distribucin Binomial

n e!emplo de los ensa"os de Bernoulli es lan#ar unamoneda$ Los ensa"os operan ba!o tres condiciones%

&$ 'ual(uier ensa"o solo puede tener uno o dos posiblesresultados) xito o *alla) llue+e o no llue+e$

,$ Ensa"os sucesi+os son independientes$

-$ Las probabilidades son constantes$

Ba!o estas tres condiciones la probabilidad de x xitos en nensa"os) est. dada por la distribucin Binomial como%

Donde% Es el n/mero de combinaciones de n e+entos

tomando x a la +e#$

xnx

qpx

n

xp

=)(

x

n


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p es la probabilidad de ocurrencia de un e+ento) por e!emplo

la probabilidad de xito en lan#ar una moneda) ( es laprobabilidad de *alla$

x es la +ariable o el n/mero de ensa"os con xito$

)!(!!xnx

nxn

=

pq =1


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E!emplo% Distribucin Binomial

0uponga (ue una presa tiene una +ida /til de 12 a3os " sedesea e+aluar la probabilidad (ue una inundacin) con unperiodo de retorno de &22 a3os) ocurra una +e# durante la +ida/til de la presa$

Por lo tanto) es alrededor de -&4 de probabilidad (ue un e+entode tal magnitud pueda ocurrir una +e# en la +ida /til de la presa

50

1

99.01

01.0/1

==

==

==

n

x

pq

Tp

306.099.01.01

50)1( 491 =

=p


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Distribucin Poisson

na expansin binomial es un pe(ue3o incon+eniente paracalcular n/meros grandes$

P es pe(ue3o 5p 6 2$&7 n es grande 5n 8 -27 La media np es constante$ p2) ( &) n 9

Esta es conocido como la expansin Poisson " esgeneralmente escrita como%

.....!2

)(2

+++=+

e

eeeeqp n

!)(

x

exp

x =


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Donde%

: np es la media$

La distribucin binomial ;nita puede ser aproximada por

la distribucin Poisson in;nita) siempre (ue seapli(uen las siguientes < condiciones%

&$ N/mero de e+entos es discreto,$ Dos e+entos no pueden coincidir

-$ La media del n/mero de e+entos en el tiempo esconstante


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E!emplo% Distribucin Poisson

=omando el e!emplo anterior) la probabilidad (ue unainundacin con periodo de retorno de &22 a3os puedaocurrir una +e# en 12 a3os ser.%

'omparado con el resultado de la distribucin binomial)p5&7 : 2$-2>) es similar$

303.0!1

5.0)1(

5.01

==

ep


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Distribucin Geomtrica

?E'@?DAND@%

En una secuencia de Bernoulli) el n/mero de ensa"os asta (ue une+ento especC;co ocurra por primera +e# es modelado por ladistribucin geomtrica$

xito

ensa"o t nFalla ensa"o t &

0i = +$a$ apropiada%

Perio!o !e re%oro ie#*o !e re"urre"ia *ro#e!io *ara+ue u eve%o !e "ier%a #a,i%u! sea i,uala!o o e-"e!i!o.

....,2,1)( 1 === tpqtTP T


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DISRIICIONES DEDISRIICIONES DEPROAILIDAD CONINUAPROAILIDAD CONINUA


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Distribucin Exponencial

'onsideraciones%

Proceso de e+entos aleatorios 5los par.metros nocambian con el tiempo7$

No es posible tener mas de un e+ento en cual(uierinstante$

Descripcin de un proceso Poisson$ La +$a$ t representa el tiempo entre tormentas$

Funcin de Densidad%

La media es%La +arian#a es%

La *uncin de distribucin acumulada es%

tetf =)( , t0/1)( =tE


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E!emplo% Distribucin exponencial

En un a3o en un sitio determinado ocurren &&2 tormentasindependientes con una duracin promedio 5todas7 de 1$- $ Elinter+alo entre tormentas es%

: & H H : &


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$) 'ual es la probabilidad de (ue el tiempo entre dos

tormentas sea exactamente &, oras

P5t : &,7: 2 la probabilidad (ue una V$A continua+alga cero en un inter+alo es "ero.

")'ual es la probabilidad (ue la separacin entre , tormentassea menor o igual (ue &,


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Distribucin Log NormalEn general) cuando la +ariable aleatoria M es el producto de un

gran n/mero de otras +ariables aleatorias) la distribucin de

los logaritmos de M puede aproximarse a la Normal) "a (ue los

logaritmos de M son la suma de los logaritmos de los *actores

contribu"entes$

0i se tiene una +ariable aleatoria M " ln M : ) se a!usta a una

distribucin Normal) se dice (ue la +ariable aleatoria M es log

normalmente distribuida$

Fu"i !e Dis%ri$u"i !e Pro$a$ili!a!Fu"i !e Dis%ri$u"i !e Pro$a$ili!a!

Asumiendo : loga5M7

( )

-y

2

1-exp

2x

1=f(x)

2y

y

2

y


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Par.metros " Factor de *recuencia

Oedia 5Par.metro de escala7 Des+iacin estandar 5Par.metro de *orma7

Estimacin de par.metros% Otodo de los momentos

K es la misma de la distribucin normal

0i se (uiere traba!ar con la +ariable no trans*ormada en elcampo logarCtmico se tiene (ue%

==N

&iia 7M5logN

& [ ]

,&N

&i

,ia P7M5logN&P

= =

( ) ""= QE:Mln

( )( ) ( )

'+

&J,

'+&lnJ'+&lnQexp

:Q

,, &,

=


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TF

u

&&

&

Es el in+erso de la *uncin de distribucin

Normal estandari#ada acumulada " '+ es

el coe;ciente de +ariacin

T

1-1F=K

r

1-

T u

( ) 0Mln =,J&= u

N:0

=

,QE&:

,=

&G,

I%ervalos !e "o/a0aI%ervalos !e "o/a0a

% Ni+el de con;an#a o signi;cancia

0=% Error est.ndar


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E!emplo% Distribucin Log Normal

La media " des+iacin est.ndar de los Rmax anuales de laestacin del rCo Nare son%

S:K

R=r:&22:2$,-

R=r:&22:&1K m-s

Inter+alos de 'on;an#a% Ln5R=?:&227 SK10=


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Es un inter+alo de dos colas) con una probabilidad en cadauna de 14

W:&$K,

0=:2$211$2&&$>2$21


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Distribucin Gamma 5, Par.metros7

na de las mas usadas en UidrologCa$

'recientes m.ximas anuales 'audales mCnimos Vol/menes de Xu!o anuales "

estacionales Valores de precipitaciones

extremas Vol/menes de llu+ia de corta

duracin

=iene , - par.metros 5Pearson=ipo III7$

ex

)(||

1=f(x)

x-

1-


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Par.metros " Factor de *recuencia

5Par.metro de escala7 8 2 5Par.metro de *orma7 57 es la *uncin Gamma completa

Estimacin de par.metros% Otodo de los momentos

d#e#:75 #J&J2

:

,, :

=

PP

P

'P

&:P,

+

>

P

-

&

>

PQE>

P&75Q>

P7>QQ5-

&E

>

P&75QEQQ

1&22 +

= RRTTK

77.16445.2213.335.94100

100

=+

+=

=

=

Tr

Tr

Q

KQ

E!emplo% Distribucin Gumbel


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N:0=

[ ]Q&$&&$&-K>Q&: ,&,

W : -$K&

0=: &,

R=?&$>&,&

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