distribuciones bidimencionales-1

8/3/2019 DISTRIBUCIONES BIDIMENCIONALES-1

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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Es de inters considerar experimentos aleatorios a los cuales se les asignan dos

variables aleatorias de entrada, relacionadas o no, que permiten definir las

Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales o Bivariadas

Variable Aleatoria Bidimensional

Definicin: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio dado.

Sean X = X(s) y Y = Y(s) dos funciones que asignan un nmero real a cada

resultado s S. Llamaremos a (X,Y) variable aleatoria bidimensional vab-.

Simblicamente tenemos

Observaciones

1. Interesan ms que la naturaleza de las funciones X y Y los valores que asumen

as:

(X[s], Y[s]) (X,Y)

2. El recorrido de la v a b (X,Y) es R 2

3. P (X[s] a, Y[s] b) P (X a, Y b)

4. (X,Y) es

n u m en oi n f i n i t oe sRs ic o n t i n u abav

n u m e r a b l ee sRs id i s c r e t abav

(X,Y) puede ser vab mixta, o sea, continua y discreta por tramos.


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Funcin De Probabilidad Conjunta Bivariada

Definicin: La funcin que asocia a cada resultado (X, Y) R 2 un numero

real f(x,y) se denomina funcin de probabilidad conjunta bivariada si:

1. f(x,y) 0 para todo (x,y) 2

2. 1 =

( ) ( )

( ) ( )

=

=

c o n t i ne sYX ,s id x d yyx ,f

d i s c r ee sYX ,s iy,xf1i 1j ji

Observaciones

- El volumen acotado por la superficie z = f(x,y) y la regin R vale 1

- La proyeccin de z = f(x,y) sobre el plano x,y es la regin dominio R 2

donde f(x, y)>0 as es claro que


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0

Ry )( x ,s iy )f ( x ,=

Ry )( x ,s iy )f ( x , 0


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h(y/x) =g(x)

y)f(x,, g(x) > 0

Observe que:

1.

g(x/y) dx =

h(y/x) dy = 1

es decir g y h marginales son fdp.

2. g(x/y) es la intercepcin de f con el plano Y=C. Observe que la grfica siguiente

Funciones De Probabilidad Bivariada Discreta

Basta, por analoga sustituir, en las definiciones del caso bidimensional continuo

las integrales por sumatorias.

Ejemplo

Supngase una fdp conjunta bivariada que asume valores de probabilidad

conjunta segn la siguiente tabla:

X1=2 X2=3 X3=4 X4=5 X5=6Y1=2 1 2 3 0 1 7

Y2=3 4 1 4 2 0 11

Y3=4 3 2 1 0 1 7

8 5 8 2 2 25


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Podemos calcular algunas probabilidades as:

a) P (X = Y) = f(x1,y1) + f(x2, y2) + f(x3, y3) =25

3

b) P (X 3, Y 3) = = =

=2

1i

2

1jji

25

8)y,f(x

c) P (X Y) =

=ji yx

ji25

12)y,f(x

d) P (X = 3) = P (X = 3 ; Y = 2,3,4) =25

5

Es decir g(xi ) = P (X = xi, Y = y1,y2,,yk)

g(xi ) =

=1jji )y,f(x

h(yj ) =

=1i

ji )y,f(x

De nuevo g y h son las fdp marginales de X y Y respectivamente

g (x / Y = 3) =h(3)

f(x,3)

= ( )0,2,4,1,4111

Aqu g (x / 1) es la probabilidad condicional de X dado Y = 1.

Anlogamente: h (y / X = 4) =g(4)

y)f(4,


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=

1

4

3

81

Ejercicio

Calcular en la misma tabla g (x / Y = 4) y h (y / X = 5)

Variables Aleatorias Independientes

Sea ( X, Y) una vab las siguientes son afirmaciones equivalentes:

X es independiente de y sii f(x, y) = g (x) h(y)

h(y)x)/h(ysii

g(x)/ y)g(xsii

=

=, 0

h ( y )

g ( x )>

Observe que

Ejercicio

Asignar en la siguiente tabla probabilidades conjuntas f(x, y) de forma que X y Y

sean variables aleatorias independientes


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y X 7 8 9

3 40

5 60

40 20

Ejercicio

Supngase que f(x, y) = 8xy, para 0 x y 1 son X y Y variables aleatorias

independientes?.

Covarianza

Sea X, Y una v a b con rango R2

y fdp conjunta f(x, y), con E (X) = x y

E (Y) = y

Definimos la covarianza de las v a X y Y asi:

C (X, Y) =xy

= E [ (X - x) (Y - y) ] o sea

xy =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

RYX

R YX

v a be sYX ,s iyx ,f-y-x

v a be sYX ,s iyx ,fyx

Observaciones

1) Las propiedades de operador lineal de la esperanza E permiten una definicin

alternativa para xy , veamos:

xy = E [ (X - x) (Y - y) ]

= E [XY - Xy - Yx + xy ]


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= E (XY) - yx - xy + xy , asi:

C (X, Y) = E (XY) - xy

2) C (X, Y) es la medida de la relacion lineal entre las v a X y Y , en efecto

Si C (X, Y) > 0 entonces

(X - x) > 0 (Y - y) > 0 (X - x) < 0 (Y - y) < 0.

Que corresponde a la grafica lineal (1) de pendiente positiva

Puede ser tambin, C (X, Y) < 0, o sea

(X - x) > 0 (Y - y) < 0 (X - x) < 0 (Y - y) < 0.

que corresponde a la lnea de pendiente negativa, grafica (2)

Tambin puede ser C (X, Y) = 0 para distribuciones simtricas respecto al punto (

x, y) como en las graficas (3) y (4)


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Correlacin

Sean X y Y dos v a de forma que se pueden calcular V(X), V(Y) y C(X, Y).

Definimos el coeficiente de correlacin de las v a X y Y como

Corr (X, Y) = XY = =YX

XY

Como se puede observar en la definicin la correlacin permite escalar la

covarianza en unidades de la desviacin estndar de cada variable, precisando la

comparacin de la linealidad para v a de unidades distintas.

Para a,b,c y d constantes reales, a y c con el mismo signo, se puede probar

mediante las propiedades de la esperanza, la varianza y la covarianza que:

a) Corr (aX + b, cY + d) = Corr (X, Y). Es decir que el coeficiente de correlacin

es invariante ante un cambio de origen y escala de las variables aleatorias.

b) Para dos v a X y Y cualquiera

-1 Corr (X, Y) 1

es decir que la fuerza de la linealidad entre las v a X y Y se mueve entre -1 y 1 y

definimos el siguiente criterio.

Criterio De Correlacin Lineal

Diremos que la relacin lineal entre las v a X y Y es:

Inexistente si XY = 0


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Dbil si 0 < XY 0.5

Moderada si 0.5 < XY < 0.8

Fuerte si 0.8 XY

Observaciones.

La relacin entre dos variables X y Y no est completamente explicada por

Corr(X,Y), solo su relacin lineal.

Si X y Y son independientes entonces la independencia implica que XY = 0. Pero

XY = 0 no implica que X y Y sean independientes

XY = 1 sii Y = aX + b a y b reales a 0, o sea, todos los puntos estn sobre la

recta.

Ejemplo

Sea f( X, Y) =41

( X, Y) =

( )( )( )( )

22

22

14

14

,

,

,

,

y sea f(x,y)=12

1, (x,y) Z2 x2+y2=25

Observe que E(X) = E(Y) = C(X, Y) = 0. pero X y Y no son independientes. X no serelaciona linealmente con Y

Cmo es la simetra respecto a (x, y)?


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En estos caso por la simetra XY = 0 pero no se puede afirmar que X y Y sean

independientes, solo que no estn relacionadas linealmente.

PROBLEMAS SELECCIONADOS

1. Una pareja se cita entre las 7 y las 8 de la tarde y llegan a la cita con

distribucin uniforme en dicho intervalo. Deciden esperarse un mximo de 15

minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren.

2. La variable bidimensional (x, y) tiene como funcin de densidad

y)(xey)f(x, += en el primer cuadrante; f(x, y)=0 en los otros tres. Si se toman

al azar tres puntos en el primer cuadrante calcular la probabilidad de que uno

al menos pertenezca al cuadrado ( )1y1;0x0 .


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3. El tiempo total que un camin permanece en un almacn est definido por una

variable aleatoria x. Sea y la variable tiempo de espera en la cola, y z el tiempo

de descarga (x = y + z). La distribucin conjunta de x e y es:


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8. La funcin de probabilidad de (x, y) es p(x,y)=1/30 para x=0, 1, 2, 3, 4, 5 e y=0,

1, 2, 3, 4; p(x,y)=0 en puntos distintos de los anteriores. Calcular la funcin de

distribucin en los puntos de la recta x-2y+2=0.

9. En un aparato de control actan dos variables x1, x2 independientes, ambas

con distribucin uniforme, la primera entre 1 y 9, la segunda entre 1 y a. El

aparato funciona bien cuando x14x22)0.01.

10.Se toman tres mediciones independientes y1, y2, y3 de la tensin en un circuito

con tres aparatos, cuyas varianzas son 1, 2 y 3. SDe forman dos ndices del

circuito por:

3212

3211

y3

1y

3

1y

3

1z

5y2y3yz

++=

++=

Calcular el coeficiente de correlacin entre z1 y z2.

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