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Distribucin geomtricaExpositor: Alfredo Medina MolinaMateria: Probabilidad y Estadstica

Hermosillo, Sonora a 19 de Noviembre de 2014La distribucin geomtricaSupongase que se efectua repetidamente un experimento o prueba, que las repeticiones son independientes y que se esta interesado en la ocurrencia o no de un suceso al que se refiere como xito.

Se diferencia de la distribucin binomial en que el numero de repeticiones no esta predeterminado si no que esta es la variable aleatoria que se mide y el conjunto de valores posibles de la variable es ilimitado.La variable aleatoria es X y se define como Numero de ensayos requeridos para lograr el primer xito. Puede tomar valores 1,2,3,,n y no puede tomar el valor 0. Se cumple (X=x) si y solo si los primeros (x-1) ensayos son fracasos (q) y el x-esimo ensayo es xito (p)

Donde: X= Numero de ensayos requeridos para lograr el primer xito p= probabilidad de xito q= probabilidad de fracaso

Tambien debemos saber que:

Aplicacin Ejemplo #1 Se lanza un dado hasta que aparece el nmero 6. Cul es la probabilidad de que el nmero de lanzamientos sean 3?Aqu el xito es la aparicin de el numero 6 y la probabilidad de obtener exito es de 1/6 asi que: P=1/6 Q=5/6 X=3 Entonces:

Ejemplo #2 La probabilidad de que cierto anlisis clnico d una reaccin positiva es 0.4. Los resultados de los anlisis son independientes unos de otros Cul es la probabilidad de que la primera reaccin positiva ocurra antes del tercer anlisis?

Aqu el xito es que salga una reaccin positiva as que:p=0.4q=0.6 Entonces:

Ejemplo #3 Tres personas lanzan una moneda yel disparejo paga el caf. Si los tres resultados son iguales, las monedas se lanzan nuevamente. Encontrar la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para saber quien paga el caf.

En este problema el xito consiste en sacar el disparejo. As que para facilitar la solucin de este problema debemos encontrar el espacio muestral correspondiente a el lanzamiento de 3 monedas.

Observamos que la magnitud de el espacio muestral es 8. El numero de veces que aparece el disparejo es de 6, por lo tanto:p=6/8=0.75q=2/8=0.25

Ejemplo #4Se lanzan 2 dados hasta que la suma de los nmeros que aparecen sea 7.Calcular la esperanza de el numero de lanzamientos que se necesiten.Para este problema sabemos que la magnitud de el espacio muestral es 36 pero las formas en las que aparece el 7 son:{(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)}Estos son 6 resultados en los que aparece el 7. Por lo tanto:p=6/36=1/6q=30/36=5/6

Ejemplo 5:Referente a el problema pasado, calcular la varianza de el numero de lanzamientos que se necesiten para obtener un 7 en los dos dados. Para resolver este problema ya conocemos que:p=1/6q=5/6

Ejercicios1.-Del saln el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasin que extraemos un alumno, ademas de su valor esperado y varianza. 2.- Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado. 3.- Calcular la probabilidad de que salga guila la 6ta ocasin que lanzamos una moneda.4.- Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasin que selecciona un producto para su inspeccin. 5.-En el saln hay 8 alumnos de ojos cafs, 9 de ojos azules, 7 de ojos negros, y 10 de ojos verdes; si extraemos 6 alumnos, calcular la probabilidad de que este ultimo tenga los ojos azules.