ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ НИЖЕГОРОДСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО»

На правах рукописи

ТУРЫГИНА ИННА АЛЕКСАНДРОВНА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН С

ПРОНИЦАЕМЫМИ ПРЕГРАДАМИ

01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Кочетков Анатолий Васильевич

Нижний Новгород – 2016

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ............................................................................................................................................. 4

Глава 1. Состояние вопроса. Обзор научной литературы по взаимодействию ударных волн с

проницаемыми преградами ............................................................................................................ 10

1.1. Проницаемые гранулированные слои, газовзвеси, другие пористые преграды ................ 11

1.2. Перфорированные преграды ................................................................................................... 15

1.3. Решетки и плетеные сетки ....................................................................................................... 17

1.4. Выводы из обзора ..................................................................................................................... 19

Глава 2. Численное моделирование взаимодействия ударных волн с недеформируемыми

гранулированными слоями ............................................................................................................. 21

2.1. Постановка задачи. Основные уравнения .............................................................................. 21

2.2. Результаты численного моделирования взаимодействия ударных волн с

гранулированными слоями ............................................................................................................. 28

2.3. Выводы по главе ....................................................................................................................... 34

Глава 3. Численное моделирование взаимодействия ударных волн с недеформируемыми

плетеными сетками.......................................................................................................................... 35

3.1. Постановка задачи взаимодействия ударной волны с одним слоем сетки ......................... 35

3.2. Взаимодействие ударных волн с многослойными недеформируемыми сетчатыми

преградами ....................................................................................................................................... 39

3.2.1. Сравнительный анализ взаимодействия ударных волн с многослойными преградами

различной структуры ...................................................................................................................... 42

3.3. Моделирование взаимодействия взрывной ударной волны с многослойным

консолидированным пакетом недеформируемых сеток .............................................................. 49

3.4. Выводы по главе ....................................................................................................................... 60

Глава 4. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми проницаемыми пакетами

плетеных металлических сеток ...................................................................................................... 61

4.1. Основные уравнения динамики взаимопроникающих континуумов.................................. 61

4.2. Контактные условия на подвижных скачках проницаемости .............................................. 67

4.3. Численная методика решения нелинейных задач взаимодействия ударных волн с

проницаемыми деформируемыми пакетами плетеных металлических сеток .......................... 69

4.3.1. Модифицированная схема С.К. Годунова........................................................................... 69

4.3.2. Численное решение задачи о распаде разрыва на скачке пористости. Алгоритм и

программные модули ...................................................................................................................... 75

3

4.3.3. Тестирование алгоритма и пакета программ расчета распада разрыва на скачке

пористости ........................................................................................................................................ 89

4.3.4 Исследование различных алгоритмов определения динамических контактных

параметров на деформируемых газопроницаемых элементах конструкций ............................. 96

4.4. Численное моделирование взаимодействия взрывных волн с деформируемыми пакетами

сеток ................................................................................................................................................ 101

4.4.1. Задача о взрывном воздействии на плоский пакет сеток в цилиндрической камере ... 101

4.4.2. Взаимодействие взрывной волны с цилиндрическим пакетом плетеных сеток ........... 108

4.5. Выводы по главе ..................................................................................................................... 118

Заключение ..................................................................................................................................... 119

Список литературы ........................................................................................................................ 121

4

Введение

Актуальность темы исследования

В настоящее время различные задачи, описывающие действие защитных преград,

снижающих ударно-волновые нагрузки на ответственные элементы конструкций, являются

востребованными и актуальными. Большое место среди защитных элементов занимают

газопроницаемые преграды, такие как перфорированные элементы конструкций, слои

гранулированных сред, решетки, пакеты плетеных сеток и др. При распространении волн

через подобные преграды уменьшается их амплитуда и происходит трансформация

волновых профилей. При интенсивных воздействиях преграда может испытывать

деформации, в том числе, необратимые. Такие процессы, как правило, характеризуются

взаимосвязью деформации проницаемой конструкции и динамикой проникающих сред.

Моделирование подобных связанных аэроупругопластических процессов

предполагает привлечение сложных математических моделей, в том числе на основе

нелинейных уравнений динамики взаимопроникающих сплошных сред. Решение

соответствующих нелинейных начально-краевых задач требует привлечения современных

эффективных численных методов. Актуальным является разработка и развитие

методических и программных средств, направленных на решение этих задач. Важной

проблемой является исследование взаимного влияния нелинейных волновых процессов в

деформируемых проницаемых элементах конструкций и в окружающих и проникающих

средах.

В работе развиваются средства математического моделирования и приводятся

результаты численных исследований взаимодействия ударных волн с такими проницаемыми

преградами как гранулированные слои и деформируемые пакеты металлических плетеных

сеток.

Степень разработанности темы

До последнего времени господствовали экспериментальные методы исследования

взаимодействия ударных волн с проницаемыми элементами в аэродинамических трубах, а

также аналитические оценки демпфирующих свойств отдельных перфорированных преград.

При исследовании взаимодействия ударных волн с проницаемыми преградами оценивались,

как правило, параметры проходящих через преграду волн, а параметры отраженных волн

чаще всего не рассматривались. Такие чисто газодинамические оценки также не учитывали

деформируемость преграды. Невелико число работ посвященных созданию методов

5

моделирования и исследованию процессов взаимодействия ударных волн с учетом

деформации проницаемых элементов. Практически не рассматривались задачи

взаимодействия ударных волн с каскадами близко расположенных преград. Реальные

физические процессы, происходящие при взаимодействии ударной волны с подобными

преградами, отличаются высокой степенью сложности и требуют тщательного изучения.

Цель и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка численной методики для

моделирования процессов взаимодействия ударных волн с многослойными

деформируемыми газопроницаемыми преградами и исследование факторов, влияющих на

деформирование преград и параметры газодинамических процессов. Для достижения

поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:

– разработка численной методики расчета нелинейного взаимодействия ударных

волн с проницаемыми многослойными деформируемыми преградами на основе уравнений

динамики взаимопроникающих континуумов;

– разработка алгоритмов и программ определения сил контактного

взаимодействия деформируемых проницаемых элементов конструкций с ударными волнами

в газе;

– исследование эффективности однослойных и многослойных преград

различного типа для снижения интенсивности проходящих ударных волн;

– выявление наиболее значимых факторов, влияющих на деформацию

многослойных преград и на газодинамическое течение в окружающих и проникающих

средах с учетом их взаимосвязи.

Научная новизна

Разработана новая методика численного решения плоских и осесимметричных задач

нелинейного взаимодействия ударных волн с проницаемыми упругопластическими

преградами с использованием единой численной схемы С.К. Годунова на эйлерово-

лагранжевых сетках для интегрирования уравнений динамики взаимопроникающих сред.

Разработан и реализован алгоритм расчета сил контактного взаимодействия на подвижных

скачках пористости. Получены решения новых задач взаимодействия ударных волн с

гранулированными слоями, плотно упакованными или разнесенными слоями плетеных сеток

в составе недеформируемых преград, а также деформируемыми пакетами металлических

6

плетеных сеток. Выявлены основные факторы, влияющие на газодинамические и

деформационные процессы.

Теоретическая значимость работы

Разработана методика, которая позволяет проводить численные исследования

нелинейного взаимодействия ударных волн с деформируемыми и недеформируемыми

газопроницаемыми многослойными преградами различной структуры на основе уравнений

динамики гетерогенных сред с учетом взаимосвязи газодинамических и деформационных

процессов, а также сил межфазного взаимодействия и теплообмена.

Практическая значимость работы

Проведенные в диссертационной работе исследования, полученные результаты, а

также разработанная численная методика расчета нелинейных задач взаимодействия

ударных волн с газопроницаемыми деформируемыми преградами, могут быть использованы

при проектировании защитных конструкций, предназначенных для снижения динамических

нагрузок при ударных и взрывных воздействиях. Разработанные алгоритмы и программные

модули для определения контактных сил на скачках пористости можно использовать как

компоненты в различных вычислительных комплексах при решении прикладных задач.

Методология и методы диссертационного исследования

Численная методика решения нелинейных двумерных, плоских и осесимметричных

задач взаимодействия ударных волн с деформируемыми проницаемыми преградами

основывается на единой схеме С.К. Годунова, реализующей эйлерово-лагранжевый подход

на подвижных сетках, в котором контактные границы («чистый газ» - «поровый газ»)

выделяются в процессе расчета. Алгоритм определения контактных сил основывается на

решении задачи о распаде разрыва на подвижном скачке пористости. Используются

модифицированные варианты схемы С.К. Годунова, реализующие уравнения динамики

гетерогенных сред с учетом межфазных сил и повышающие точность расчетов. Верификация

программных модулей определения контактных параметров на скачке пористости и

разработанной численной методики в целом, а также численные исследования проводились с

использованием различных программных комплексов: UPSGOD 2D, Динамика-1, STAR-

CCM+.

7

Положения, выносимые на защиту:

численная методика для решения нелинейных двумерных задач

взаимодействия ударных волн с упругопластическими деформируемыми многослойными

проницаемыми элементами конструкций на основе уравнений динамики гетерогенных сред;

программные модули для определения сил контактного взаимодействия

деформируемых подвижных проницаемых элементов конструкций с ударными волнами;

результаты численных исследований взаимодействия ударных волн с

недеформируемыми газопроницаемыми преградами:

– гранулированными слоями различной толщины и плотностью упаковки;

– однослойными и многослойными преградами из плетеных сеток с плотно

упакованными и разнесенными слоями;

результаты численных исследований взаимодействия взрывных волн с

деформируемыми газопроницаемыми преградами в виде многослойных пакетов

металлических плетеных сеток:

– плоскими пакетами в составе модельной цилиндрической взрывной камеры;

– рулонированным ортотропным цилиндрическим пакетом сеток при нагружении

внутренним взрывом цилиндрического заряда конечной длины.

Достоверность численной методики и программных средств подтверждается

верификационными расчетами и многочисленными сравнениями полученных численных

результатов с экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на 8 международных, 10

всероссийских и 2 региональных конференциях:

X Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний

Новгород, 2011);

XI Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Казань,

2015);

XVIII, XXI Международный симпозиум «Динамические и технологические

проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2012;

Вятичи, 2015);

8

II, IV Международный научный семинар «Динамическое деформирование и

контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной

физической природы» (МАИ, 2015, 2016);

Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные основы

баллистического проектирования» (Санкт-Петербург, 2010);

XIX Международная конференция по вычислительной механике и

современным прикладным программным системам (ВМСППС’15) (Алушта, 2015);

V, VII, Х Международная научно-практическая конференция «STAR Russia:

Компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности»

(Нижний Новгород, 2010, 2012, 2015);

III-V Всероссийская молодёжная научная конференция "Актуальные проблемы

современной механики сплошных сред и небесной механики" (Томск, 2013-2015);

X молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения" (Казань,

2011);

XII-XIV Всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские

чтения" (Казань, 2013-2015);

IX Всероссийская молодежная научно-инновационная школа "Математика и

математическое моделирование" (Саров, 2015);

XX Нижегородская сессия молодых ученых (Арзамас, 2015).

В целом работа докладывалась на научном семинаре по динамике и прочности

НИИМ ННГУ (Нижний Новгород, май 2016).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 5 из них в изданиях,

входящих в Перечень ВАК Минобрнауки России [1-5].

Личный вклад автора

разработка методики численного моделирования плоских и осесимметричных

процессов взаимодействия ударных волн с упругопластическими деформируемыми

газопроницаемыми преградами [4, 6-9];

разработка и верификация алгоритма и программных модулей для расчета

контактных параметров на подвижных разрывах пористости при взаимодействии ударных

волн с проницаемыми элементами конструкций [4];

9

численное исследование и анализ результатов взаимодействия ударных волн с

жесткими проницаемыми преградами различной структуры в виде гранулированных слоев,

плотно упакованных и разнесенных многослойных пакетов плетеных сеток [1-3, 10-23];

численное исследование и анализ результатов взаимодействия взрывных волн с

деформируемыми многослойными плоскими и цилиндрическими пакетами металлических

плетеных сеток [5-9, 24].

В совместных работах Кочеткову А.В. принадлежит постановка задач, общее

руководство исследованиями, анализ и обсуждение результатов ; Романов В.И., Крылов С.В.,

Глазова Е.Г., Митрофанов С.С., Николаева А.С., Зарудаев С.Д. оказали помощь в проведении

численных расчетов поставленных задач; Модину И.А. принадлежат экспериментальные

данные по деформационным свойствам пакетов сеток.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка

литературы; содержит 103 рисунка, 14 таблиц, библиографический список из 127

наименований – всего 131 страниц.

Диссертационная работа выполнена при поддержке

Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры

инновационной России на 2009-2013 годы» (ГК № 16.740.11.0087), грантов РФФИ (№ 13-08-

00219, №16-08-00458), Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части

государственного задания (код проекта 2014/134 2226), в рамках проектной части

государственного задания в сфере научной деятельности на 2014-2016 гг. (НИР №

8.2668.2014/К).

Благодарности

Автор выражает благодарность Абузярову М.Х., Крылову С.В., Глазовой Е.Г.,

Николаевой А.С., Митрофанову С.С. за консультации в программных разработках и помощь

в проведении расчетов; Куликову В.Н., Осавчуку А.Н., Казакову Д.А., Брагову А.М.,

Константинову А.Ю., Модину И.А. – за предоставленные экспериментальные данные по

деформационным свойствам пакетов сеток.

10

Глава 1. Состояние вопроса. Обзор научной литературы по

взаимодействию ударных волн с проницаемыми преградами

Моделирование распространения ударных волн всегда вызывало большой интерес у

исследователей во многих областях науки и техники. Потребность в методах и способах

подавления разрушительной силы взрыва существует в армии, в правоохранительной

деятельности, в импульсных технологиях, а также при проведении промышленных взрывных

работ. При взрыве взрывчатых веществ основным поражающим фактором являются ударные

волны. Выбор простых и эффективных средств защиты от взрывных нагрузок, создаваемых

ударными волнами, остается актуальной задачей для исследований фундаментального и

прикладного характера.

Исследование взаимодействия ударных (взрывных) волн с защищающими

преградами различных структур включает в себя эксперимент - физическое моделирование,

некоторые аналитические оценки, основанные на экспериментах, а также численное

моделирование с применением методов вычислительной гидродинамики и динамики

сплошных сред. Примерами защитных преград являются гранулированные слои,

перфорированные перегородки, проницаемые экраны в виде препятствий или каскадов

препятствий, плетеные сетки, решетки, пористые материалы, газовзвеси и т.д. Большое

внимание уделяется проницаемым преградам.

Обобщающие материалы по различным видам проницаемых преград содержатся в

монографиях Гельфанда Б.Е., Сильникова М.В. [25, 26], в обзорных работах Фролова С.М.,

Поленова А.Н. [27-29], Альтшулера Л.В., Кругликова Б.С. [30]. Фильтрация газа через

зернистые преграды (гранулированные слои) в ударных трубах рассматривается у

зарубежных авторов Britan А., Ben-Dor G., Elperin T., Igra O., Levy A. и др. в

экспериментальных исследованиях [31-38]. Ударным трубам и методикам испытаний в

ударных трубах посвящена монография Баженовой Т.В., Гвоздевой Л.Г. [39]. Теоретическим

методам исследования посвящена работа Губайдуллина Д. А. и др. [40]. Исследованиями

взаимодействия воздушных ударных волн с экранами, покрытыми мелкодисперсными

порошкообразными средами занимались Губайдуллин А.А., Дудко Д.Н., Урманчеев С.Ф.

[41] в одномерном приближении.

Перфорированные перегородки и проницаемые структуры различного вида, их

влияние на газодинамическое течение исследовались Кореньковым В.В., Клаповским В.Е.,

Минеевым В.Н., Григорьевым Г.С. в [42, 43]. Большое количество литературы посвящено

высоко пористым непроницаемым средам. Например, экспериментальные исследования

11

воздействия волн давления на стенки, покрытые пористыми материалами, такими как

пенопласт и пенополиуретан, отражены в работах Гельфанда Б.Е., Когарко С.М. и др. [44,

45], Гвоздевой Л.Г., Фаресова Ю.М. и др. [46-49].

Кутушев А.Г., Кругликов Б.С. [50, 51] в качестве проницаемых преград

рассматривали жесткие экранирующие решетки и сетки. Мельцас В.Ю., Портнягина Г.Ф.,

Cоловьев В.П. в [52] моделировали действие жестких решеток и газовзвесей для гашения

УВ. В качества расчетной методики применяется схема С.К. Годунова [53]. В работах

Киселева С.П., Фомина В.М., Федорова А.В. [54-56] в качестве демпфирующего элемента

рассмотрены газовзвеси. Гувернюк С.В. [57, 58] изучал взаимодействие высокоскоростного

газового потока с жесткими проницаемыми границами для исследования функционирования

парашютных систем. Ряд работ Рахматулина Х.А. [59], Ильгамова М.А. [60], Аганина А.А.

[61], Гильманова А.Н., Кузнецова В.Б. [62] посвящен тонкостенным проницаемым

элементам, для которых толщина элемента мала по сравнению с поперечными размерами

отверстий перфорации.

Рассмотрим далее более подробно защитные преграды различной структуры.

1.1. Проницаемые гранулированные слои, газовзвеси, другие пористые

преграды

Насыпные зернистые слои, как правило, являются проницаемыми. Их деформация

происходит за счет переукладки частиц в слое. Известно большое количество работ на эту

тему, например, труды Britan А., Ben-Dor G., Elperin T., Igra O., Levy A. и др. [31-38]. В этих

работах целью исследований было изучение поля давления газа в гранулированном слое во

время сжатия его ударной волной и параметры нагрузки на подстилающую поверхность.

Экспериментальные исследования проводились в ударной трубе, на дне которой

располагался гранулированный слой из различных материалов (железо, поливинилхлорид,

алюминий, поташ - карбонат калия). Воздушная ударная волна, образующаяся после разрыва

диафрагмы в вертикальной ударной трубе, набегала на гранулированный слой, лежащий на

дне трубы. Для измерения полного напряжения смеси и давления порового газа в ряде

поперечных сечений слоя сыпучей среды и на торце трубы под пористым слоем в [31-33]

были установлены датчики. Первый датчик на дне ударной трубы был открыт для контакта с

частицами, второй закрыт тонкой сеткой. Открытый датчик записывал полное напряжение,

закрытый — давление газа. Детально изучено формирование нестационарных полей

12

давления газа на эволюцию волн давления в пористых сыпучих материалах. В [32] показано

что амплитуда давления проходящей волны зависит от характеристик материала и

уменьшается по глубине слоя. В [33] в предположении о недеформируемости скелета

гранулированной среды предпринято численное описание наблюдаемых в [31, 32] волновых

процессов. Показано, что при этом допущении не представляется возможным описывать все

особенности волновых процессов, а также эффект усиления динамической нагрузки на

экранированную стенку, наблюдаемый в экспериментах.

В работах Rogg B., Zloch N. [63, 64] проведено исследование распространения

плоских ударных волн в проницаемых насыпных и пористых средах. Для оценок

ослабляющего действия этих сред на проходящие волны необходимо изучить сложное

газодинамическое течение волн внутри пористого образца (насадки). Модельные

эксперименты Rogg B. в [63] показали, что за плоской ударной волной, проходящей сквозь

насыпные среды, возникает явно выраженная сопутствующая дискретная волновая

структура, а передний фронт имеет слабо выраженные изломы. Неоднородность за счет

отражения от частиц имеет локальный характер. Неоднородности значительно ослабляются

за передним фронтом на расстояниях порядка нескольких диаметров частиц насадки.

Упомянутые особенности позволяют применять одномерный подход для описания динамики

ослабления ударных волн в рассматриваемых средах. Взаимодействие потока с частицами

приводит к уменьшению импульса газа, а также перераспределению энергии из-за

формирования вторичных скачков и турбулизации течения газа.

Экспериментальное изучение воздействия ударно-волнового процесса на жесткую

стенку, покрытую слоем насыпного порошка выполнено Гельфандом Б. Е., Медведевым С.

П., Поленовым А. Н., Фроловым С. М. в [65], где отмечено, что качественное изменение во

времени полного напряжения на экранируемой преграде такое же, как и в случае пористого

сжимаемого материала. В работах Губайдуллина А.А., Дудко Д.Н., Кутушева А.Г.,

Родионова С.П. [41, 51, 66] численно исследуется в одномерной постановке воздействие

плоской воздушной ударной волны на жесткую стенку, покрытую слоем мелкодисперсной

порошкообразной среды и находящегося на расстоянии некоторого воздушного зазора от

стенки. Порошкообразная среда представляет собой смесь контактирующих между собой

твердых частиц и газа. Скелет порошкообразной среды предполагается вязкоупругим, а его

деформации малыми. Для исследования волновых процессов в порошкообразной среде

применена двухскоростная математическая модель с двумя тензорами напряжений,

построенная методами механики многофазных сред [67]. Численное решение проводилось по

схеме Лакса-Вендроффа. В работе [68] Губайдуллина А.А., Дудко Д.Н., Урманчеева С.Ф.

13

исследованы некоторые особенности отражения воздушных ударных волн от жесткой

стенки, покрытой насыпным слоем из шариков из экспериментов [31]. Применяемые модели

и методы те же. Полученные численные результаты качественно соответствуют

экспериментальным данным [31]. Отличия могут быть связаны с недостаточным описанием

процессов нагружения и разгрузки насыпной среды применяемой моделью. В реальных

средах необходимо учитывать неодномерность рассматриваемых процессов, пластические

явления, а также уплотнение среды в процессе взаимодействия с ударными волнами, и

изменение свойств среды в уплотненном состоянии.

Результаты экспериментов по ослаблению ударных волн экранирующими насадками

из различных гранулированных материалов с параметрами, близкими к использованию на

практике, приведены в [69]. В этом исследовании Медведев С.П., Фролов С.М., Гельфанд

Б.Е. для гашения УВ использовали насадки, состоящие из различных материалов

(полиэтилен, сталь, фарфор, керамзит), форма частиц, их диаметр, длины насадок также

варьировались в опытах. На нижней и верхней границах насадки размещали тонкие

перфорированные перегородки и сетки для удержания объема насыпной среды при ударно-

волновом воздействии. Установлено, что при малой длине насадка оказывает такое же

воздействие на ударную волну, как перфорированная перегородка с эквивалентной

проницаемостью (отношение площади отверстий к общей площади перфорированной

перегородки). Также, влияние гранулированных фильтров, расположенных на расстоянии

некоторого зазора от защищаемой поверхности, на проходящие УВ изучалось в работе Britan

А., Ben-Dor G., Igra O. [36]. Наличие воздушного зазора между гранулированным фильтром и

защищаемой поверхностью предотвращает прямой контакт гранул фильтра и защищаемой

поверхности. Амплитуда проходящих УВ через фильтр снижается с увеличением длины

фильтра или при уменьшении диаметра частиц. Плотность частиц и пристеночное трение не

оказывают заметного влияния на давление в проходящей волне. Величина отраженного от

насадки давления также представляет практический интерес, т.к. именно она определяет

выбор прочностных характеристик насадки. По аналогии с перфорированными

перегородками, величина избыточного отраженного давления от поверхности насыпной

среды ниже величины отраженного давления от жесткой непроницаемой стенки, она

уменьшается с увеличением проницаемости и слабо возрастает с увеличением длины

насадки (толщины гранулированного слоя). Представленные выводы подтверждены в [36].

14

Газовзвеси

Во многих практических приложениях необходимо знать законы ослабления

ударных волн в газовзвесях. Под газовзвесью понимается среда, состоящая из газа с

твердыми частицами, не взаимодействующими непосредственно друг с другом [70], то есть

находящихся на значительном удалении. Исследованию этого вопроса посвящена обширная

литература. Обзорные материалы можно найти в работах Киселева С.П., Фомина В.М. [54,

55], Федорова А.В. [56], Гельфанда Б.Е., Фролова С.М. [70]. В теоретическом исследовании

[56] Федоров А.В. использует понятие конечного облака мелких частиц, диспергированных в

одномерном пространстве. Газ набегает на облако частиц, тормозится или ускоряется в нем.

На кромке облака параметры газа претерпевают разрыв. Предложена математическая модель

структуры комбинированного разрыва в газовзвесях, учитывающая хаотическое движение

частиц. В работе Гельфанда Б.Е., Фролова С.М. [70] приведен метод, оценки эффективности

ослабления плоских ударных волн запыленными средами. Приведены расчетные

зависимости чисел Маха ударной волны от расстояния, пройденного волной в сравнении с

экспериментальными данными и численными результатами, полученными другими

авторами, например, Мельцасом В.Ю., Портнягиной Г.Ф., Соловьевым В.П. в [52].

Непроницаемые пористые экраны

Взаимодействие плоских ударных волн с непроницаемыми пористыми сжимаемыми

материалами типа пенопласта и пенополиуретана экспериментально исследовалось в работах

Гельфанда Б.Е., Когарко С.М. и др. [44, 45], Гвоздевой Л.Г., Фаресова Ю.М. и др. [46-49].

Коэффициенты пористости исследуемых материалов были большими и составляли

98.095.01 . Показано, что максимальная амплитуда давления на стенке под пористым

слоем может значительно превышать величину нормального отраженного давления в

ударной волне от жесткой непроницаемой стенки (в случае отсутствия пористого материала).

В [45, 47, 49] для теоретического описания наблюдаемых эффектов предложен метод,

основанный на замене двухфазной среды (пористый материал содержащий газ)

«эквивалентным газом» с измененными теплофизическими свойствами (плотности и

характеристики сжимаемости) по сравнению с чистым газом. Такой подход позволяет понять

динамику образования волны отражения и вычислить величину максимальной нагрузки на

жесткую стенку за пористой преградой. Тем не менее, в рамках модели эквивалентного газа

не описываются некоторые особенности, обнаруженные в [44-46, 48]. А именно, зависимость

пика давления от толщины пористого слоя, а также отсутствие «полки» с постоянными

параметрами уровня пикового давления на профиле давления на стенке.

15

В монографии Гельфанда Б.Е., Сильникова М.В. [25] представлена альтернативная

модель явления, основанная на рассмотрении движения образца при внезапном нагружении.

В процессе деформирования сопротивление образца возрастает по определённому

нелинейному закону. Показано, что при действии ударно-волновой нагрузки на конструкцию

с пористыми сжимаемыми покрытиями изменяется характер нагружения. В отсутствие

пористого покрытия конструкция нагружается квазистатически, а наличие покрытия

приводит к возникновению импульсной составляющей, которую необходимо учитывать в

расчетах на прочность. Предложенная модель объясняет явление усиления ударно-волновой

нагрузки на жесткую стенку, покрытую пористым сжимаемым материалом, а также отражает

зависимость величины нагрузки от геометрических размеров пористого слоя и значения

давления на поверхности. Пористый экран может усиливать динамическое воздействие на

преграду воздушной ударной волны типа «ступенька». В случае насыпной среды степень

усиления может быть больше, чем для консолидированной среды. Степень усиления также

зависит от толщины слоя, его структуры и размера зерен.

1.2. Перфорированные преграды

Перфорированные перегородки, установленные поперек течения газа за волной,

широко используются как защитные элементы от ударных и взрывных волн и являются

эффективными средствами их ослабления. Наиболее близкими к теме работы являются

результаты, связанные с затуханием ударной волны, проходящей через перфорированные

вставки, принадлежащие Гельфанду Б.Е. и др. [29], Гринь В.Т., Крайко А.Н., Миллеру Л.Г.

[71], Григорьеву Г.С., Клаповскому В.Е., Коренькову В.В., Минееву В.Н. [42, 43], Dain C. G.

[72], Mori Y. [73]. В этих работах рассматривалось прохождение плоских ударных волн с

постоянными параметрами за фронтом через перфорированные перегородки. Однако на

практике, чаще всего, давление за фронтом УВ нестационарно. Силовое воздействие таких

волн зависит от избыточного давления на фронте р и импульса фазы сжатия

dttpImp

Т

0

(Т - время действия фазы сжатия). По результатам [71-73] не представляется

возможным сделать практических выводов относительно изменения параметров Imp и Т

при прохождении УВ конечной длительности через перфорированные преграды.

16

В работах В. Е. Клаповского, В. Н. Минеева, Г.С. Григорьева, В.Е, Коренькова и др.

[42, 43] экспериментально и численно исследовалось ослабление волн перфорированными

преградами различных структур; волны формировались в окружающем пространстве при

взрыве заряда ВВ (взрывчатое вещество). Предполагались массивность и

недеформируемость проницаемых элементов. Данные защитные структуры представлены на

рис. 1.1: а – характеризуется периодическим разворотом воздушного потока на 90°, б -

характеризуется периодическим сжатием и расширением воздушного потока при

прохождении ударной волны через преграду [43]; в – модели структур [42], где направление

падающей ударной волны показано стрелками.

а) б) в)

Рис. 1.1. Перфорированные преграды различных структур: а, б - [43], в - [42].

В условиях постановки экспериментов [43] преграды размещались в открытом пространстве,

что могло оказывать существенное многомерное влияние на величины Imp и Т за

перфорированной перегородкой. Показано, что степень ослабления ударной волны

перфорированными преградами зависит не только от коэффициента перфорации и

интенсивности падающей ударной волны, но и от структуры проницаемой преграды. Для

каждой преграды существует диапазон интенсивностей падающих УВ, при которых

ослабляющее действие преграды максимально.

В работе Гельфанда Б.Е., Медведева С.П., Поленова А.Н. [29] найдены

закономерности взаимодействия плоских УВ конечной длительности, формирующихся в

ударной трубе, с перфорированными перегородками, установленными в одном из

поперечных сечений канала. Параметры падающей на перегородку УВ и прошедшей волны

определялись с помощью датчиков давления. Импульсы фазы сжатия в падающей и в

прошедшей волне также измерялись специальными средствами (электронный интегратор

сигнала пьезодатчика).

17

Таким образом, перфорированные перегородки являются эффективным средством

ослабления нестационарных волн давления в трубах и каналах не только по амплитуде, но и

по импульсу. Показано, что такие перфорированные преграды различной структуры можно

использовать при проектировании эффективных защитных сооружений. Соответствующим

подбором значений проницаемостей , а также применением нескольких перегородок

можно варьировать параметры прошедшей и отраженной ударной волны в широком

диапазоне параметров.

1.3. Решетки и плетеные сетки

Для гашения ударных волн в каналах используют также проницаемые экраны в виде

проволочных решеток. Результаты этих исследований приведены в трудах Кругликова Б.С.,

Кутушева А.Г. [50], Б.Е. Гельфанда, С.М. Фролова [27], Мельцаса В.Ю., Портнягиной Г.Ф.,

Соловьева В.П. [52], Косточко Ю.П. [74], Tong K.O. [75]. В работе Кругликова Б.С.,

Кутушева А.Г. [50] проводится численное моделирование одномерного процесса ослабления

нестационарных ударных волн в экранирующих железных решетках. Узлы решетки

моделируются как «замороженная» газовзвесь. Применяется система уравнений для

двухскоростной двухтемпературной газовзвеси, которая ввиду неподвижности дисперсной

фазы преобразуется к уравнениям обычной газовой динамики и притока тепла для решеток.

Расчеты проводились методом крупных частиц. Рассматривается задача о прохождении

плоской одномерной ударной волны со спадающим профилем давления сквозь слой решеток,

расположенный перед преградой. Исследуется силовое воздействие ударной волны на

преграду в зависимости от объемной концентрации металла в решетках и размера узлов.

Показана высокая эффективность применения решеток для ослабления ударных волн, а

именно можно получить ослабление амплитуд ударных волн в несколько раз (от 2 до 30).

Установлено, что межфазным теплообменом для небольшого количества слоев можно

пренебречь.

В работе Б.Е. Гельфанда, С.М. Фролова [27] предложен полуэмпирический метод

расчета ослабления ударных волн жесткими проволочными решетками. Для практических

приложений существенно исследование возможности применения пакета (каскада) сеток для

гашения УВ. Предложены аналитические оценки ослабления проходящих ударных волн

каскадом преград. Установлено, что при больших расстояниях между решетками плоский

ударный фронт, сформировавшийся после прохождения предыдущей преграды, можно

18

рассматривать как исходное возмущение для последующей, то есть имеет место независимое

действие преград. Численные результаты соответствуют известным экспериментальными

данным [43, 72-75].

В обзорной работе Мельцаса В.Ю., Портнягиной Г.Ф., Соловьева В.П. [52]

приведены расчеты взаимодействия ударной волны с многослойной преградой из жестких

сеток в упрощенной одномерной плоской постановке. Пакет преград предполагался

неподвижным. Сетка обладала постоянными свойствами, такими как «живое» сечение в двух

направлениях и удельный объем. При расчетах учитывалось сопротивление сетки при

обтекании проволочек, объемное содержание и теплообмен. Оценивались проходящие и

отраженные волны; решение сравнивалось с решением без пакета сеток. Также приведены

результаты двумерных расчетов взрыва шарового заряда в недеформируемом

цилиндрическом сосуде с внутренним цилиндрическим пакетом жестких сеток. Расчеты

проводились на основе метода С.К. Годунова [53]. В исследовании Абакумова А. И., Заикина

С. Н., Мельцаса В. Ю. и др. [76] разработана другая модель пакета плетеных сеток при

динамическом нагружении с учетом упругопластических деформационных свойств сетки как

пористой среды на одноосное сжатие. Эта модель представляет собой двухкомпонентную

двухскоростную среду на основе взаимопроникающих континуумов. Параметры уравнения

состояния пакета сетки были взяты из экспериментов по статическому обжатию пакетов

сеток с учетом разгрузок. Расчеты проводились по двум пакетам программ: один для

решения газодинамической задачи по схеме С.К. Годунова, второй – для расчета деформаций

в лагранжевых переменных по схеме типа Уилкинса [77]. Модель учитывает силовое

взаимодействие сетки как пористой упругопластической среды с газом, а также теплообмен

между сеткой и горячими продуктами взрыва. Показано хорошее соответствие численных и

результатов специально поставленных экспериментов по обжатию плоских пакетов сеток

взрывом заряда.

В работах Герасимова А. В., Пашкова С. В. И др. [78] Шумихина Т.А., Мягкова Н.Н.,

Безрукова Л.Н. [79] деформируемые сетки использовались как элементы антиметеоритной

защиты при высокоскоростном воздействии космических тел.

В последние годы выполнен цикл работ, посвященных взаимодействию ударных

волн с деформируемыми и недеформируемыми проницаемыми пакетами металлических

плетеных сеток с участием автора диссертации [1, 3, 5-7, 9]. Разработаны математические и

численные модели на основе нелинейных уравнений динамики двух взаимопроникающих

континуумов [67]. В [80] предложена и показана работоспособность математической модели

деформирования пакетов сеток в одномерном приближении.

19

О численных методах

Для описания поведения и движения сплошных сред применяют три подхода [81],

отличающиеся выбором независимых переменных, и соответствующие численные схемы:

1) Материальный подход Лагранжа. Все характеристические функции

деформируемого тела (плотность, напряжение, деформация и т.д.) выражаются как функции

материальных координат. На этот подход опираются метод конечных элементов [82-87]

(Люкшин Б.А., Герасимов А.В., Джонсон К., Голованов А.И., Бережной Д.В., Капустин С.А.

и др.), численный метод Уилкинса М.Л. [77, 88-92, 93] (Кукуджанов В.Н., Фомин В.М.,

Гулидов А.И., Садырин А.И., Волков И.А.), вариационно-разностный метод [94] (Баженов

В.Г., Чекмарев Д.Т. и др.)

2) Пространственный подход Эйлера. Сетка фиксируется в принимаемой системе

отсчета. На этот подход опираются метод крупных частиц развитый Белоцерковским О.М.,

Давыдовым Ю.М. [95], метод конечных объемов описанный Флетчером К. Пейре Р. [96, 97],

численная схема Лакса-Вендроффа [98] и др.

3) Совместный эйлерово-лагранжев подход: эйлеровы переменные используются

для расчета характеристических функций внутри области, лагранжевы - на внешних и

внутренних контактных границах [99]. Этот подход используют методы С.К. Годунова [99,

100], ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) методы – методы подвижной сетки [60] (Ильгамов

М.А.), [62, 61] (Аганин А.А.)

Для численного моделирования задач динамики многоскоростных континуумов

предпочтительными являются методы, основанные на эйлерово-лагранжевом подходе.

1.4. Выводы из обзора

1) Вопросам анализа эффективности преград при снижении амплитуд

проходящих волн посвящено большое количество литературы. Экспериментальными

методами установлено, что такие проницаемые элементы как, гранулированные слои,

газовзвеси, перфорированные элементы конструкций, решетки, сетки, обладают

демпфирующими свойствами, снижающими интенсивность проходящих волн. Параметры

отраженных волн, как правило, не оценивались;

2) Одними из перспективных демпфирующих преград являются проницаемые

решетки или плетеные металлические сетки с относительно малым содержанием металла.

Ранее господствовали аналитические оценки эффективности однослойных преград,

20

основанные на экспериментах. Для элементов в виде многослойных пакетов,

представляющих собой высокопористые деформируемые преграды, такие оценки

отсутствуют;

3) Основное количество работ посвящено исследованиям, не учитывающим

деформативность преград.

4) Теоретическое исследование процессов желательно проводить на основе

моделей многофазных сред. Уравнения динамики подобных сред являются нелинейными и

их решение может быть получено современными численными методами. Среди численных

методов перспективными являются эффективные схемы в эйлерово-лагранжевых

переменных, в частности, схема С.К. Годунова;

5) Решение нелинейных задач деформирования проницаемых преград на основе

уравнений динамики гетерогенных сред вызывает дополнительные сложности по сравнению

с однородными средами. Поэтому необходимы модификации и адаптации имеющихся

численных схем для решения задач этого класса.

21

Глава 2. Численное моделирование взаимодействия ударных волн с

недеформируемыми гранулированными слоями

2.1. Постановка задачи. Основные уравнения

Насыпные гранулированные слои из различных твердых материалов, являясь

проницаемыми для газа, используются для уменьшения амплитуды проходящих ударных

волн и снижения динамических нагрузок на элементы конструкций [25, 27, 28, 31].

Предложены упрощенные модели, описывающие эти процессы [25]. Эти модели включают в

себя ряд параметров, сильно влияющих на характеристики отраженных и проходящих

ударных волн, значения которых определяются либо из экспериментов, либо из весьма

общих рассуждений. Реальные физические процессы, происходящие при взаимодействии

ударной волны с подобными преградами, отличаются высокой степенью сложности [67, 102]

и требуют тщательного изучения. Необходимо оценивать влияние множества факторов на

газодинамический процесс, а также выбирать наиболее значимые, которые важно учитывать

при моделировании. Ввиду достаточно большой межфазной поверхности (таблица 3.2),

одним из таких факторов является теплообмен между металлом и газом, вязкость среды,

сопротивление обтеканию газом тел, трение в пограничном слое, а также плотность

упаковки самих частиц. В данной главе с помощью газодинамического вычислительного

комплекса STAR-CCM+ 7.02.008 [103] моделируется пространственное газодинамическое

взаимодействие плоской воздушной ударной волны с насыпным слоем недеформируемых

шариков и исследуется влияние отмеченных выше факторов. Лицензия STAR-CCM+:

# license creation on 4878252 started at Fri Feb 24 13:13:00 2012

# created for Nizhniy_Novgorod_State_University_-

>_N.I._Lobachevsky_State_University_of_Nizhni_Novgorod

SERVER euclid 0019B9D664AE 1999

FEATURE ccmpsuite cdlmd 2012.12 31-dec-2012 10 057F55D3D42B \

vendor_info=746eff43161e189d105c2f11f9831f50523b96e666b2a602ca4403c25034f453

042d8dad79defc21e8733cf90e6a7e4bcbce8754a5ff17783291132e16ca2b4f36e5d70a5529

3bb7002b55ad6eeaba1f397903

Математическая постановка задачи

Вводится декартова система координат Oxyz , ось Oz которой направлена

перпендикулярно насыпному слою толщиной Н. Начало координат располагается на

свободной поверхности насыпного слоя. Сам слой располагается вдоль оси Oz , под

плоскостью Oxy , то есть в отрицательном направлении оси Oz . Анализируются процессы

отражения от подстилающей твердой поверхности и прохождения волны через слой. В

первом случае Hz соответствует твердой поверхности, на которую опирается слой. Во

22

втором случае моделируется процесс прохождения ударной волны через гранулированный

слой со свободной границей. Предполагается, что шарики недеформируемы, неподвижны и,

следовательно, Н не изменяется. В направлениях осей Oх и Oy слой предполагается

неограниченным (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Постановка задач в общем виде.

Численная постановка задачи

Выделяется элементарный канал квадратного сечения rr вдоль оси Oz , боковые

границы которого являются плоскостями симметрии, r - радиус шариков. Область

определения задачи (рис. 2.2) включает в себя объем канала, ограниченный плоскостями

симметрии 0x , rx , 0y , ry , поверхностями шариков и плоскостями Lz , Hz

(в случае с подстилающей поверхностью) или Hz 9 (что соответствует искусственно

введенной границе выхода, расположенной на некотором удалении от тыльной стороны

преграды для второго случая). Параметры в набегающей плоской ударной волне (УВ)

бесконечной длительности задаются в области Lz 0 . Расстояние L выбирается из таких

соображений, чтобы в процессе моделирования отраженная от слоя ударная волна не

23

исказила условия на искусственно поставленной границе Lz в интервал времени, когда

параметры отраженной от твердой стенки волны достигают квазистационарного значения.

Рис. 2.2. Постановка задачи. Фрагмент расчетной области.

Движение газа (воздуха) описывается системой уравнений [96], включающей в себя

уравнение неразрывности, уравнения Навье – Стокса и уравнение закона сохранения

энергии:

ФTdivрdivz

Ew

y

Ev

x

Eu

t

E

divz

w

zy

w

z

v

yx

w

z

u

xz

p

t

w

y

w

z

v

zdiv

y

v

yx

v

y

u

xy

p

t

v

x

w

z

u

zx

v

y

u

ydiv

x

u

xx

p

t

u

t

)(

3

22

3

22

3

22

0)(

V

V

V

V

V

(2.1)

где - плотность, ),,( wvuV - скорость частиц газа, z

w

y

v

x

udiv

V ,

сПа 510855.1 – коэффициент динамической вязкости, E – удельная полная энергия,

p – давление, K)Вт/(м 0.026 – коэффициент теплопроводности, T – температура,

24

2222222

3

2

2

1

2

1

2

12 Vdiv

x

w

z

u

y

w

z

v

z

v

y

u

z

w

y

v

x

uФ

– диссипативная функция. Для воздуха при умеренной температуре и давлении

термодинамические параметры связаны уравнением состояния идеального газа:

TRM

mр , где m – масса, M – молярная масса, КкгкДжR /278.0 – газовая постоянная.

Для описания турбулентных движений используется стандартная модель Спалларта-

Аллмареса [104]. Данная модель является одной из наиболее популярных моделей

турбулентности благодаря своей простоте и достаточно высокой точности при расчете

многих аэродинамических течений. Решается одно уравнение переноса турбулентной

вязкости [103, 105, 106]:

~~~~1~2 bc

DPDt

D, (2.2)

где ~ - турбулентная кинематическая вязкость, - кинематическая вязкость ( ) и они

связаны соотношением 1~

vf , z

wy

vx

utDt

D

~~~~~ - полная производная, P -

источниковый и D - диссипативный члены: ~~1SсP b ,

2

1

~

dfсD ww

,

zyx;;

- градиент (оператор набла), последнее слагаемое в правой части (2.2) является

диффузионным. Перепишем уравнение (2.2) в покомпонентном виде:

xx

c

xxDP

zw

yv

xu

t

b

~~~

~1~~~~2

yy

c

yyDP

zw

yv

xu

t

b

~~~

~1~~~~2

zz

c

zzDP

zw

yv

xu

t

b

~~~

~1~~~~2

Коэффициенты замыкания и вспомогательные функции имеют вид:

1335.01 bc , 622.02 bc , 1.71 vc , 3/2 ,

2

2

11

1 bb c

K

сс

, 3.02 wc , 23 wc , 41.0К ,

3

1

3

3

1

v

vc

f

,

6/1

6

3

6

6

31

cg

cgf ,

~ , rrcrg w 6

2 , 22~

~

wdКSr

,

1

21

1v

vf

f

- для стандартной модели Спалларта - Аллмареса, используемой при

25

моделировании. Параметр скоростей деформации S~

определяется выражением:

222

~~

w

vdК

fS

, ijij 2 . Тензор 3,1,,2

1

ji

xx i

j

j

iij

VV - тензор вращения.

Числом Кармана К называют отношение среднего квадратичного пульсационных

составляющих компонент скорости потока газа к скорости течения. Расстояние до

ближайшей твердой стенки обозначено через wd . Заметим, что источниковые члены в

уравнении для турбулентной вязкости зависят от расстояния до ближайшей стенки, а также

от градиента турбулентной вязкости. Также в расчетах применялись и другие модели

турбулентности, например k и k . Результаты расчетов отличались незначительно.

Далее приведены результаты расчетов с применением описанной выше стандартной модели

турбулентности Спалларта – Аллмареса.

При задании физических моделей в STAR-CCM+ используется нестационарный

решатель на основе неявного метода конечных объемов [96, 97], аппроксимирующий полные

уравнения Навье-Стокса для сжимаемого вязкого теплопроводного газа с первым или

вторым порядком точности. Начальный временной шаг мкct 3.0 . Типовая

пространственная расчетная сетка из многогранников для слоя толщиной ммH 17 ,

состоящего из 19 шариков радиусом ммr 52.0 , что дает значение объемной концентрации

твердой фазы 61.0 , содержала 10 092 ячеек, 46 691 внутренних граней, 47 228 вершин.

Фрагмент расчетной сетки представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Фрагмент расчетной сетки из многогранников

В качестве краевых условий на плоскостях симметрии задается условие

непротекания 0nv , а на поверхности Hz и на поверхностях шариков - условие

прилипания, т.е. касательная компонента скорости газа на этих поверхностях равна нулю

( 0v ). С целью оценки влияния процессов конвективного теплообмена между фазами на

26

поверхностях неподвижных шариков по температурному режиму рассчитываются два

варианта: адиабатические (без теплообмена) или изотермические (неизменная температура

шариков - идеальный теплообмен) условия на шариках. При 0t находящийся внутри слоя

шариков газ покоится при условиях близких к нормальной атмосфере: МПаp 1.00 ,

КT 3000 , 3

0 /178.1 мкг , 0V . В области 0z в качестве начальных условий задаются

постоянные параметры за фронтом набегающей плоской ударной волны в направлении,

противоположном оси Oz . Эти параметры определяются числом Маха ударного фронта 0M

и вычисляются согласно формулам (2.3), приведенным в [39]:

1

12 2

0

0

M

p

рув

21

12

0

2

0

0

M

Mув

2

0

2

2

0

2

0

0 1

2112

M

MM

T

Tув

(2.3)

0

0

0

1

1

2

MM

a

u ув

,

где – показатель адиабаты, 000 / auM , 0а – скорость звука перед УВ. Для 3.10 M

параметры в набегающей УВ имеют следующие значения: 8.1/ 0 ppув , 0 увув vu ,

смwув /2.149 , КТ ув 355 . Геометрические размеры расчетной области и параметры

набегающей ударной волны выбраны в соответствии с условиями проведения экспериментов

[31], где размеры слоя шариков (диаметром около миллиметра) соответствуют объемной

концентрации твердой фазы 61.0 (отношение объема твердой фазы к полному объему

смеси), коэффициент проницаемости (отношение минимальной площади свободного сечения

канала к общей фронтальной площади поперечного сечения) в этом случае составляет

215.0 .

В поисках упаковки с заданной в экспериментах объемной концентрацией твердой

фазы, были рассмотрены несколько видов упаковок. Упаковка первого вида (рис. 2.4, а) в

которой центры соседних шариков образуют кубическую ячейку, оказалась недостаточно

плотной, ее объемная концентрация твердой фазы составила 52.0 . Упаковка второго

вида (рис. 2.4, б), когда центры соседних шариков образуют тетраэдр, позволяет получить

максимальное значение 74.0 [107, 108]. За счет увеличения расстояния между центрами

27

шариков стало возможным смоделировать заявленное в эксперименте [31] значение

61.0 . Ниже приводятся результаты расчетов для второго типа упаковки шариков.

а) б)

Рис. 2.4. Различная плотность упаковки.

Экспериментальные исследования

Основной целью экспериментальной работы Ben-Dor G. [31] являлось исследование

поля давления газа внутри зернистого слоя, расположенного на жесткой стенке, в ходе его

сжатия ударной волной. Экспериментальная часть этого исследования была проведена в

вертикальной ударной трубе (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Вертикальная ударная труба

Ударная труба имеет постоянное квадратное сечение мм3131 , включая компрессор ( м8.0 )

и канал ( м5.1 ). Камера компрессора была заполнена воздухом при начальном давлении

МПа001.055.0 . Числа Маха падающей ударной волны равны 3.10 М и они существенно

28

не различались между различными экспериментами поскольку мембрана нарушалась с

помощью специального ножа, когда желаемое давление в камере компрессора было

достигнуто. Особое внимание было уделено обеспечению того, чтобы свободная

поверхность зернистого слоя оставалась плоской и была перпендикулярной к боковой стенке

трубы. По окончанию процедуры подготовки толщина слоя измерялась с точностью мм1 .

Для снятия показаний давления газа на дне вертикальной трубы были установлены датчики

размером около 3 мм. Один датчик был предназначен для измерения давления газа и был

защищен от непосредственного контакта с сыпучим материалом частиц газопроницаемым

экраном. Второй датчик давления без экрана был установлен для измерения полного

давления, то есть давления газа и частиц (напряжение сжатия). Ben-Dor G. провел ряд

экспериментов взаимодействия ударной волны с различными гранулированными

материалами (железо – теплоемкостью 0.46 кДж/(кг·К), поливинилхлорид – 1 кДж/(кг·К),

оксид алюминия – 0.76 кДж/(кг·К), поташ - карбонат калия – 0.837 кДж/(кг·К) [109, 110]). В

данной работе для численного моделирования были выбраны железные шарики, диаметром

1.04 мм и объемной концентрацией твердой фазы равной 0.61.

2.2. Результаты численного моделирования взаимодействия ударных

волн с гранулированными слоями

При воздействии ударной волны на слой шариков происходит отражение ударной

волны, распространяющейся в обратном направлении по отношению к падающей волне.

Внутрь слоя по поровому газу распространяются волны сжатия, обтекающие каждый шарик

как жесткое тело. Внутреннее течение является весьма сложным. Его параметры определяют

процессы многократного отражения волн и взаимодействия с турбулентными образованиями

за шариками. В результате этих взаимодействий происходит относительно медленное

нарастание давления на жесткую стенку, на которой располагается слой. Важное значение

имеют вязкость среды и теплообмен между поровым газом и металлическими шариками. С

целью оценки значимости этих эффектов проведены расчеты с различными значениями

вязкости и различными условиями теплообмена. Кроме того, интерес вызывает влияние

точности применяемой численной схемы на параметры процессов. Численные решения

сопоставляются с экспериментальными данными [31].

На рис. 2.6 показаны зависимости от времени осредненного по площади сечения

канала давления газа на тыльной стенке Hz за пористым слоем толщиной ммH 17

29

при 61.0 . Цифрой 1 (синий) отмечены экспериментальные данные [31], 2 (зеленый) и 3

(красный) численные решения с адиабатическими условиями на шариках, при

динамической вязкости газа сПа 101.855 -5 , с первым и вторым порядком точности

соответственно. Точность вычислительной схемы не оказывает существенного влияния на

результаты. Численные решения по схемам различной точности очень близки, отличия

наблюдаются только в окрестности фронта набегающей ударной волны.

Рис. 2.6. Давление газа на дне ударной трубы за гранулированным слоем толщиной

ммH 17 .

Из литературы [111] известно, что эффективная вязкость представляет собой сумму

ламинарной и турбулентной вязкостей: tэфф . Динамическая и кинематическая

вязкости связаны соотношением . Для численного моделирования рекомендуемое

значение соотношения модифицированной турбулентной диффузии к кинематической

вязкости

~ находится в диапазоне 5;2/1 . Для среднего значения 25.2 из

этого диапазона получилось сПа 10 6.0 -5 . На рис. 2.7 цифрой 1 (синий) отмечены

экспериментальные данные [31], 2, 3 (зеленый и красный) - решения с изотермическими

условиями на шариках и вязкостью газа, равной сПа 10 6.0 -5 и сПа 101.855 -5

соответственно, 4, 5 (зеленый и красный пунктир) – решения с адиабатическими условиями и

вязкостью сПа 10 6.0 -5 и сПа 101.855 -5 . Таким образом, температурные условия

на шариках и значение вязкости газа влияют на численное решение.

30

Рис. 2.7. Давление газа на дне ударной трубы за гранулированным слоем толщиной

ммH 17 . 1 (синий) – эксперимент [31], 2 (зеленый) – изотермические условия при

сПа 10 6.0 -5 , 3 (красный) – изотермические условия при сПа 101.855 -5 , 4

(зеленый пунктир) – адиабатические условия при сПа 10 6.0 -5 , 5 (красный пунктир) –

адиабатические условия при сПа 101.855 -5 .

При адиабатическом условии теплообмена (т.е. при отсутствии теплообмена) увеличение

вязкости несколько приближает решение к эксперименту. При изотермическом условии

влияние вязкости выражено в меньшей степени. Численное решение качественно правильно

передает поведение давления на жесткой стенке, но количественно численные кривые

отстоят довольно далеко от экспериментальной кривой.

С целью выяснения возможных причин недостаточно точного соответствия расчетов

и эксперимента для ммH 17 проведены исследования процессов для нескольких значений

объемной концентрации шариков. На рис. 2.8 представлены расчеты с различной начальной

плотностью упаковки. Синим цветом и цифрой 1 (синий) отмечен эксперимент [31], 2

(красный) – расчет с объемной концентрацией, равной 61.0 (19 шариков), 3 (зеленый) –

71.0 (22 шарика), 4 (розовый) – 74.0 (23 шарика, предельная упаковка), 5 (желтый

пунктир) – давление в отраженной волне от жесткой стенки.

31

Рис. 2.8. Расчеты с различной начальной плотностью упаковки.

Из приведенных результатов следует, что соответствие численных результатов

экспериментальным наблюдается при среднем значении объёмной концентрации. Этот

эффект объясняется переукладкой самих шариков в слое под действием набегающей и

отраженной от задней стенки ударной волны, что не учитывается при численном

моделировании, т.к. область определения задачи предполагается неизменной.

Отражение от слоя

В эксперименте [31] замерялось давление в отраженной от слоя и стенки за слоем

ударной волне в датчике, расположенном на некотором расстоянии от гранулированного

слоя. Имеются экспериментальные данные для гранулированного слоя толщиной 26 мм,

состоящего из железных шариков меньшего диаметра равного 0.45 мм. Осредненное по

плоскости сечения канала отраженное давление соответствует экспериментальным

значениям. На рис. 2.9 отмечено абсолютное (полное) давление в отраженной волне: цифрой

1 (синий) отмечен эксперимент [31], 2 (красный) – расчет с объемной концентрацией, равной

61.0 для слоя ммH 17 ( сПа 101.855 -5 , адиабатический режим, 1 порядок).

32

Рис. 2.9. Отраженное давление от гранулированного слоя и стенки за ним.

Задача со свободной границей

С целью оценки демпфирующих свойств рассматриваемых преград, была рассчитана

задача взаимодействия ударной волны с гранулированным слоем со свободной

поверхностью за слоем, отнесенной на некоторое расстояние. Анализировались отраженные

и проходящие волны при взаимодействии с гранулированным слоем той же толщины

ммH 17 и 61.0 (см. глава 3, рис. 3.20). Амплитуда отраженной УВ от слоя из шариков

составила 85.2/ 0 ppотр , что составляет 91% от амплитуды отраженной от жесткой

непроницаемой стенки 11.3/ 0 ppотр , рассчитанной по формуле [112]:

1

1,

1

122

0

0

2

2

0

2

р

р

р

р

р

р

р

р ув

ув

ув

ув

отр (2.4)

Значение амплитуды проходящей волны через слой из шариков составило

22.1/ 0 ppпрох , что близко к аналитически рассчитанному значению, полученному с

помощью оригинальных программ, разработанных автором (раздел 4.3.2) 16.1/ 0 ppпрох .

Гранулированный слой толщиной 37 мм

Далее приведены расчеты для слоя толщиной ммH 37 и той же объемной

концентрацией твердой фазы. На рис. 2.10 цифрой 1 (синий) отмечены экспериментальные

данные [31], 2 (красный) и 3 (зеленый) численные решения с изотермическими условиями

33

на шариках, динамической вязкостью газа сПа 101.855 -5 , с первым и вторым

порядком точности соответственно.

Рис. 2.10. Давление газа на стенке за гранулированным слоем толщиной ммH 37 .

Решение, полученное с первым порядком точности несколько ближе к эксперименту в

начале расчета.

На рис. 2.11. цифрой 1 (синий) отмечены экспериментальные данные [31], 2, 3 (зеленый и

красный) - решения с изотермическими условиями на шариках и вязкостью газа, равной

сПа 10 6.0 -5 и сПа 101.855 -5 соответственно, 4, 5 (зеленый и красный пунктир)

– решения с адиабатическими условиями и вязкостью сПа 10 6.0 -5 и

сПа 101.855 -5 . Изотермическое условие на шариках, т.е. максимальный учет

теплообмена между газом и металлом, а также увеличение вязкости приближает численное

решение к эксперименту [31] в начале расчета. В этом случае численные кривые не только

качественно, но и количественно лучше соответствуют экспериментальным. Однако, с

увеличением времени наблюдается некоторое несоответствие. Рассмотрены два идеальных

случая теплообмена: максимальный и его отсутствие. Следовательно, для гранулированных

слоев больших толщин теплообмен необходимо учитывать.

34

Рис. 2.11. Давление газа на стенке за гранулированным слоем толщиной ммH 37 . 1

(синий) – эксперимент [31], 2 (зеленый) – изотермические условия при сПа 10 6.0 -5 , 3

(красный) – изотермические условия при сПа 101.855 -5 , 4 (зеленый пунктир) –

адиабатические условия при сПа 10 6.0 -5 , 5 (красный пунктир) – адиабатические

условия при сПа 101.855 -5 .

2.3. Выводы по главе

Таким образом, было установлено, что важное значение при численном

моделировании взаимодействия ударной волны с гранулированной средой играют процессы

теплообмена между металлом и газом (особенно для слоев с большими толщинами), вязкость

среды, а также начальная упаковка частиц в слое. Соответствие численных и

экспериментальных данных свидетельствует о достоверности используемой вычислительной

модели и результатов математического моделирования. Это подтверждает целесообразность

использования данной модели для подобных расчетов с целью оценки влияния факторов на

проходящие и отраженные волны.

35

Глава 3. Численное моделирование взаимодействия ударных волн с

недеформируемыми плетеными сетками

3.1. Постановка задачи взаимодействия ударной волны с одним слоем

сетки

Как показывают некоторые оценки, газопроницаемые преграды в виде проволочных

решеток, экранов, сеток, перфорированных перегородок [50, 52, 113], как и гранулированные

слои, тоже могут оказывать демпфирующее влияние на проходящие сквозь них ударные

волны. По аналогии с предыдущим разделом проведен ряд исследований прохождения

ударных волн через последовательность проницаемых экранов (решеток), по возможности

сопоставляя их с известными экспериментальными данными. Ниже методами численного

моделирования исследуются процессы взаимодействия ударных волн (УВ) с однослойными

и многослойными проницаемыми преградами с плотно примыкающими

(консолидированными) или разнесенными на некоторое расстояние слоями. В качестве слоев

рассматриваются металлические плетеные сетки (рис. 3.1). Сравнивается эффективность

гашения УВ преградами с консолидированными или разнесенными слоями. Также

рассматривается взаимодействие УВ различной интенсивности с преградами различной

проницаемости.

Рис. 3.1. Один слой металлической плетеной сетки

В данной главе расчеты проведены с помощью вычислительного комплекса STAR-CCM+ с

использованием тех же средств и методик, описанных подробно в главе 2. Для

моделирования использовались регулярные плетеные металлические сетки с размером

типовой ячейки ll , диаметром проволочки d . Проволочки в пакете сетки в рамках

постановки задачи и в процессе расчета предполагаются неподвижными и

недеформируемыми. Выделяется элементарный канал квадратного сечения dldl ,

длиной 260 dl в предположении симметрии по боковым плоскостям. Значения

начальных параметров принимаются невозмущенными в ограниченной области в пакете

36

сетки и за ним МПаp 1.00 , КT 3000 , 3

0 /178.1 мкг , 0V . Начальные параметры газа

перед преградой ( увувув up ,, ) соответствуют параметрам за фронтом набегающей

одномерной плоской УВ в направлении оси ОУ, задаются числом Маха ударного фронта 0M

и могут быть получены по формулам (2.3). В качестве граничных условий на плоскостях

симметрии задается условие непротекания 0nv , а на поверхностях проволочек - условие

прилипания, т.е. касательная компонента скорости газа на этих поверхностях равна нулю

( 0v ).

Размеры расчетной области выбираются с тем, чтобы в процессе моделирования,

отраженные от границ входа и выхода волны не искажали течение в окрестности преграды

(рис. 3.2). Расчетная сетка содержит до 500 тыс. многогранных ячеек (рис.3.3).

Рис. 3.2. Область определения задачи

Рис. 3.3. Фрагмент расчетной сетки, состоящей из многогранных ячеек

Для моделирования были выбраны два размера плетеных сеток: 2l , 5.0d мм и

715.0l , 5.0d мм что дает коэффициенты проницаемости (отношение площади

37

свободного сечения одного слоя сетки к общей фронтальной площади поперечного сечения

преграды) 64.0 и 347.0 , а также объемную концентрацию металла для

периодической ячейки 16.0 и 34.0 , рассчитанных по формулам [52]: 22 / dll ,

ячпряч VVV / , где ddlVяч 22

- объем элементарной ячейки одного слоя сетки,

222

2ddl

dVпр

- объем проволочек в этой ячейке.

а) б)

Рис. 3.4. Схема фрагмента пакета сеток: а – элементарная ячейка сетки в ее плоскости, б –

сечение пакета сеток плоскостью, ортогональной их плоскости.

Проведены расчеты взаимодействия одного слоя плетеной сетки с УВ различной

интенсивности 3.10 M ; 2; 3.1, что дает давление за фронтом 8.1/ 0 ppув ; 4.5; 11 в

сравнении с экспериментальными данными [27] по параметрам проходящей ударной волны.

На рис. 3.5 а, б показаны зависимости числа Маха FM ударного фронта проходящей УВ от

числа Маха 0M падающей волны для слоев указанных проницаемостей. Наблюдается

качественное и удовлетворительное количественное соответствие численных и

экспериментальных данных. Отметим, что в [27] проницаемыми преградами являлись не

сетки, а перфорированные пластины.

38

Рис. 3.5, а. Параметры проходящей ударной волны. Экспериментальные данные [27] для

проницаемости 347.0 - кривая 1 (синий цвет); численные результаты: 347.0 - кривая

2 (красный цвет), 64.0 - кривая 3 (зеленый цвет).

Рис. 3.5, б. Параметры проходящей ударной волны. Экспериментальные данные [27] для

проницаемости 7.0 - кривая 1 (синий цвет); численные результаты 64.0 - кривая 2

(красный цвет).

Для больших проницаемостей и УВ небольшой интенсивности наблюдается хорошее

количественное соответствие численных результатов экспериментальным.

39

3.2. Взаимодействие ударных волн с многослойными недеформируемыми

сетчатыми преградами

Далее рассматриваются пакеты сеток, состоящие из трех и восьми слоев:

консолидированных (рис. 3.6, а) и разнесенных (рис. 3.6, б). Для консолидированного

многослойного пакета сетки достаточно плотной упаковки (но без деформации проволочек)

слои сдвигаются по нормали на толщину одного слоя d2 . Для разнесенного пакета слои

сетки сдвигаются по нормали на расстояние s , большее, чем d2 . Начало координат

располагается на свободной поверхности пакета сеток, сам пакет – вдоль оси Оу , в

положительном направлении. Постановка задачи та же, что и выше. Анализируются

процессы формирования квазиодномерных ударных волн, включая параметры как

проходящих, так и отраженных ударных волн.

Рис. 3.6, а. Три слоя сетки в консолидированном пакете сеток.

Рис. 3.6, б. Три слоя сетки в разнесенном пакете сеток.

40

Полученные результаты взаимодействия УВ 1.30 M (что соответсвует давлению за

ударным фронтом 11/ 0 ppув ) с пакетом сеток проницаемостью 64.0 , состоящим из

трех слоев (консолидированных или отстоящих друг от друга на расстояние 20s мм)

представлены на рис. 3.7. Толщина консолидированного пакета составляет 3 мм,

разнесенного – 43 мм. Показана зависимость полного давления от координаты вдоль линии,

проходящей сквозь всю расчетную область параллельно оси ОУ, перпендикулярной слоям

сетки в пакете, в момент времени 0.2 мс, когда формируется квазиодномерное течение на

некотором удалении от преграды.

Рис. 3.7. Консолидированная преграда из трех слоев – 1 (красные точки), разнесенные слои –

2 (синие треугольники).

Интенсивность как отраженной, так и проходящей УВ для разнесенных слоев меньше, чем

для консолидированных. Это объясняется большими потерями энергии в процессе

взаимодействия проходящих волн с разнесенными преградами. Анализ течения показывает,

что развиваются неодномерные движения, которые приводят к турбулизации потока, что

отражается на эпюрах давления, это, в свою очередь, приводит к колебаниям на

распределениях давления по координате. Для разнесенных слоев отраженная волна

формируется позже, чем для консолидированных. При взаимодействии с

консолидированными преградами скорости распространения отраженных и проходящих

волн выше, чем в случае разнесенных преград, по причине разгона и торможения потока

после прохождения каждого слоя.

41

Амплитуда отраженной УВ 1.30 M от проницаемого пакета, состоящего из трех

консолидированных слоев, 30/ 0 ppотр , что составляет 60% от амплитуды отраженной от

жесткой непроницаемой стенки 55/ 0 ppотр, рассчитанной по формуле (2.4).

Преграда из 8 слоев

Аналогичные расчеты для пакета, состоящего из восьми слоев, как

консолидированного, так и разнесенного, показали те же закономерности, что и для

трехслойной преграды.

Рис. 3.8. Абсолютное давление. Консолидированная преграда из восьми слоев в момент

времени 0.524 мс – 1 (красные точки), разнесенные слои – 2 (синие треугольники).

Рис. 3.9. Числа Маха газового потока. Консолидированная преграда из восьми слоев в

момент времени 0.524 мс – 1 (красные точки), разнесенные слои – 2 (синие треугольники).

Спутный поток является сверхзвуковым. Вслед за проходящей УВ во всех рассмотренных

вариантах движется волна разрежения. То есть формируется многоволновая конфигурация в

проходящем потоке. Установлено, что с увеличением количества слоев в преграде с трех до

42

восьми, как в разнесенной, так и в консолидированной, амплитуда давления в отраженной

УВ увеличивается на 9%, а амплитуда проходящей уменьшается на 4%.

Влияние расстояния между слоями в разнесенной преграде

Для оценки влияния расстояния между слоями разнесенного пакета сетки на

газодинамическое течение, проводилась дополнительная серия расчетов с межслойными

расстояниями ;35s 60 мм. Установлено, что амплитуды проходящих и отраженных УВ

различаются слабо для рассматриваемого диапазона расстояний.

3.2.1. Сравнительный анализ взаимодействия ударных волн с

многослойными преградами различной структуры

Рассмотрим задачу в той же постановке с размерами сетки 2l , 5.0d мм,

64.0 и 3.10 M для консолидированного пакета сеток, состоящего из 18 слоев,

толщиной 18 мм (рис. 3.10). Расчеты многослойного пакета с 18N проведены с учетом и

без учета конвективного теплообмена между газом и металлом. Эффекты теплообмена не

существенны в данной задаче в связи с относительно малой площадью поверхности

проволочек и малой интенсивностью набегающей УВ.

Рис. 3.10. Консолидированный пакет сетки, состоящий из 18 слоев.

На рис. 3.11-3.17 представлены основные параметры потока (давление, скорость,

плотность, температура, число Маха) вдоль линии, проходящей сквозь всю расчетную

область в момент времени 0,4 мс, когда течение становится квазиодномерным.

43

Рис. 3.11, а. Абсолютное давление вдоль линии. 1 (красный) – пакет сетки из 18 слоев, 2

(желтый) – из восьми, 3 (синий) – из трех, 4 (зеленый) – один слой сетки.

При увеличении количества слоев в пакете сеток происходит возрастание амплитуды

отраженной от пакета волны, а снижение амплитуды проходящей сквозь пакет сеток волны

выражено менее сильно. Проходя сквозь пакет сеток давление снижается и выходит на

постоянный уровень на некотором удалении от преграды.

Рис. 3.11, б. Поле абсолютного давления в сечении канала на плоскости, проходящей

посередине канала вдоль оси ОУ для пакета сеток состоящего из 18 слоев.

44

Рис. 3.12. Число Маха потока, проходящего сквозь пакет сеток из 18 слоев.

Поток является дозвуковым. Поток тормозится отраженной волной перед преградой, в

преграде разгоняется как в суживающемся канале, на выходе из пакета вновь тормозится и

выходит на постоянный уровень за фронтом проходящей ударной волны. Распределение

скорости подтверждает эти выводы.

Рис. 3.13. Амплитуда скорости потока, проходящего сквозь пакет сеток из 18 слоев.

Рис. 3.14, а. Скалярное поле амплитуды скорости в момент времени 0.4 мс.

45

Рис. 3.14, б. Скалярное поле амплитуды скорости в момент времени 0.1 мс.

Рис. 3.15. Векторное поле скорости на входе (слева) и на выходе (справа) потока из пакета.

За проволочками наблюдаются сложные течения и повороты потока. Эффекты турбулизации

не велики, поведение потока определяется сужением канала, т.е. коэффициентом

проницаемости. Формируется квазиодномерное течение.

Рис. 3.16. Плотность потока, проходящего сквозь пакет сеток из 18 слоев.

46

Рис. 3.17. Температура потока, проходящего сквозь пакет сеток из 18 слоев.

На рис. 3.18 представлены амплитуды давления в проходящих и отраженных УВ 3.10 M в

зависимости от количества консолидированных слоев в пакете. С увеличением количества

слоев в преграде наблюдается увеличение амплитуды давления в отраженной УВ и

уменьшение амплитуды в проходящей волне.

Рис. 3.18. Отраженная (синий) и проходящая УВ (красный цвет).

Также были проведены исследования взаимодействия ударной волны с 3.10 M с предельно

упакованным пакетом (без деформации проволочек), когда слои сдвигаются относительно

друг друга в плоскости пакета и по нормали на 2/dl . Результаты различаются

незначительно.

Произведено сравнение действия преград, представляющих собой гранулированные

слои из шариков и пакеты сеток на проходящие и отраженные волны. Таблица 3.1. содержит

47

параметры таких преград различной структуры толщиной 17-18 мм На рис. 3.19

представлены амплитуды проходящих и отраженных УВ 3.10 M для рассматриваемых

преград в зависимости от проницаемости .

Параметр/ Тип преграды Гранулированная

среда

Плетеные сетки

Размер структурного элемента

(мм) 52.0r

2l ,

5.0d

715.0l ,

5.0d

25.0l ,

5.0d

Коэффициент проницаемости 0.215 0.64 0.347 0.113

Размер максимального

поперечного сечения расчетной

области (мм)

0.52*0.52 2.5*2.5 1.215*1.215 0.75*0.75

Количество слоев, N 19 18 18 18

Толщина пакета, Н (мм) 17 18 18 18

Таблица 3.1. Параметры пакетов преград различной структуры толщиной 17-18 мм

Рис. 3.19. Для проволочек: синяя и красная кривые; для шариков: зеленые треугольники.

С уменьшением коэффициента проницаемости наблюдается увеличение амплитуды в

отраженной УВ и уменьшение амплитуды в проходящей волне.

Преграды различной структуры, состоящие из насыпных гранулированных слоев, а

также пакетов металлических плетеных сеток исследовались в различных работах [33, 76], а

48

также в главах 2 и 3. Параметры и характеристики этих преград примерно одной толщины

представлены в таблице:

Параметр/ Тип преграды Гранулированные

слои

Слои плетеных

сеток

Размер структурного элемента (мм) 52.0r 2l , 5.0d

Размер элементарного канала расчетной области (мм) 0.52*0.52 2.5*2.5

Количество слоев 19 18

Толщина слоя, Н (мм) 17 18

Объемная концентрация металла 0.61 0.16

Коэффициент проницаемости 0.215 0.64

Межфазная поверхность 4250 м2/1 м3

(4,25 мм2/1 мм3)

1200 м2/1 м3

(1.2 мм2/1 мм3)

Таблица 3.2. Характеристики гранулированных слоев и плетеных сеток

Естественно ожидать, что ввиду малого значения коэффициента проницаемости для

преграды, состоящей из шариков, отражаться от нее будет больше, а проходить меньше, что

подтверждает рисунок ниже. На рис. 3.20 представлено давление вдоль линии, проходящей

сквозь всю расчетную область в момент времени 0.2 мс, когда формируется

квазиодномерное течение. Красный цвет соответствует преграде из шариков, зеленый –

пакету плетеных сеток. Амплитуда отраженной волны больше для гранулированной

преграды, чем для проницаемого пакета сеток, а амплитуда проходящей волны,

соответственно, меньше.

49

Рис. 3.20. Давление вдоль линии, проходящей сквозь всю расчетную область в момент

времени 0.2 мс. Красные точки (1) – пакет сеток, зеленые точки (2) – гранулированные слои.

3.3. Моделирование взаимодействия взрывной ударной волны с

многослойным консолидированным пакетом недеформируемых сеток

С целью оценки распространения более реальной взрывной волны произведен расчет

взаимодействия такой волны с многослойным недеформируемым пакетом плетеных сеток

проницаемостью одного слоя 0.89. Известны результаты экспериментов, проведенных в

ФГУП «ФЦДТ» Осавчуком А. Н., Диким А. А., Куликовым В. Н., в которых получены

амплитуды взрывных ударных волн, проходящих через цилиндрический пакет

металлических плетеных сеток. Результаты, схема эксперимента и его подробное описание

приведены далее в главе 4 и в [113]. Ввиду небольшой кривизны цилиндрического пакета

сеток, рассматривается плоский фрагмент пакета и выделяется элементарный канал

квадратного сечения в предположении симметрии по боковым плоскостям. Начальные

параметры набегающей газодинамической волны от взрыва цилиндрического заряда

определены с помощью пакета прикладных программ (ППП) UPSGOD 2D [115]. Полученные

поля давления, скорости и плотности от взрыва цилиндрического заряда конечной длины в

воздухе из эксперимента Осавчука А.Н. и др. в момент, когда волна подходит к пакету сетки,

представлены на рис. 3.21-3.23.

50

Рис. 3.21. Распределение поля давления.

Рис. 3.22. Распределение поля плотности.

Рис. 3.23. Распределение поля скоростей.

51

Распределения параметров не являются тривиальными и свидетельствуют о сложности

процессов, происходящих при взрыве цилиндрического заряда. Для моделирования были

использованы пакеты плетеных сеток со следующими геометрическими параметрами слоя:

25l , 5.1d мм, что дает коэффициент проницаемости одного слоя 89.0 . Толщина

пакета плетеной сетки из 10 слоев составила 45 мм. Объемная концентрация твердой фазы

0445.0 . В процессе расчета предполагается что металлические проволочки в пакете

неподвижны, толщина пакета не изменяется. Область определения задачи представлена на

рисунке. Шаг по времени принимался равным s 8-5.0Et .

Рис. 3.24. Область определения задачи для пакета металлических плетеных сеток

Расчетная сетка

В виду сложности задачи, ее нелинейности и нестационарности, не каждая расчетная

сетка может быть пригодна для вычислений. Попытки использования сетки с более

крупными ячейками приводили к авостным ситуациям, недопустимому росту невязок

численного решения, отсутствию сходимости. Таким образом, выбор расчетной сетки

является нетривиальной задачей. Наиболее подходящей оказалась расчетная сетка,

параметры которой описаны далее.

Следующие модели сеткопостроителей были использованы для построения

расчетной сетки:

генератор многогранных ячеек (Polyhedral Mesher);

генератор призматического слоя (Prism Layer Mesher);

генератор поверхностной сетки (Surface Remesher);

ВУВ

У

X

Z

Проходящая

УВ

Отраженная

УВ

52

экструдер (Extruder).

Соответствующие параметры и размеры были подобраны опытным путем:

Параметр Название Значение

Базовый размер Base Size 2 mm

Количество призматических слоев Number of Prism

Layers 12

Растяжение призматических слоев Prism Layer Stretching 1.3

Толщина призматического слоя Prism Layer Thickness 20% (0.4 mm)

Размер на

поверхности

Относительный

минимальный

размер

Relative Minimum

Size 15% (0.3 mm)

Относительный

целевой размер Relative Target Size 50% (1 mm)

Таблица 3.3. Параметры расчетной сетки

Для уменьшения количества элементов расчетной сетки и экономии компьютерных

ресурсов на границах входа и выхода с помощью экструдирования наращены ячейки. Для

этого необходимо задать следующие параметры сетки на этих границах:

Inlet, Outlet

Extrusion Type Constant rate normal

Number of Layers 160

Stretching 1.2

Magnitude 70 mm

Таблица 2.4. Параметры экструдирования на границах входа и выхода

После запуска сеткопостроителя получена достаточно подробная сетка, состоящая из

5 869 444 ячеек, 33 794 369 внутренних граней и 25 907 667 вершин:

53

Рис. 3.25. Расчетная сетка

Начальные и граничные условия

Полученные поля давления, скорости и плотности от цилиндрического заряда

конечной длины в момент, когда волна подходит к пакету сетки, были аппроксимированы

кусочно-линейными функциями и заданы в качестве начальных условий.

Малоэнергетические хвостовые части импульса были опущены, в результате импульсы

несколько упростились. Начальные условия задаются по следующим формулам и имеют вид:

y

yy

y

yy

y

рр

0,1

03,111000

37,35

711,5.948500

11,1

/ 0 , y[мм]

54

Рис. 3.26. Начальное распределение абсолютного давления

y

yу

yy

y

yy

y

0,23.1

03,23.133.923

37,55.3150

711,6.4

1117,77.1066.561

17,23.1

, ρ[кг/м3], y[мм]

Рис. 3.27. Начальное распределение плотности

55

y

y

y

y

y

y

y

y

y

V

0

03

311

1113

1327

27

,0

,583333

,1394118750

,2700

,5207192865

,0

, V[м/с], y[мм]

Рис. 3.28. Начальное распределение скорости

Также задавались некоторые граничные условия: на плоскостях симметрии и на

поверхностях проволочек задается условие непротекания и прилипания (т.е. нормальная и

касательная скорости газа на этих поверхностях равны нулю 0nv , 0v ); температурный

режим на проволочках – адиабатический. В качестве критерия остановки было задано

максимальное физическое время 0.068 мс (или 1320 временных шагов).

Результаты численных исследований

По мере удаления фронтов отраженных и проходящих ударных волн формируется

квазиодномерное течение в расчетной области. Приводятся распределения основных

параметров газа вдоль линии параллельной оси ОУ, проходящей сквозь всю расчетную

область в момент времени 0.068 мс. Полученные зависимости показаны на рис. 3.29-3.31.

56

Рис. 3.29. Распределение абсолютного давления, отнесенного к начальному.

На выходе из сетки формируются некоторые локальные изменения давления. Профиль

основного возмущения близок к треугольному, что характерно для взрывного воздействия.

Безразмерная амплитуда p/p0 проходящей волны составляет 16.16, т.е. почти в два раза

меньше чем в набегающей волне, а амплитуда отраженной волны – 2.5, это можно увидеть

по наличию резких скачков и спадов за ними, что тоже характерно для взрывных волн.

Безразмерная амплитуда p/p0 изначально заданной ударной волны при отражении от жесткой

непроницаемой стенки на месте пакета сеток составила бы 238, т.е. в 95 раз выше, чем для

проницаемого пакета сеток. Малая амплитуда отраженной от пакета сеток волны

объясняется высокими свойствами проницаемости пакета сетки 89.0 .

Рис. 3.30. Распределение скорости

Происходит торможение потока в пакете сеток, его расслоение (часть потока идет в

направлении проходящей волны, а часть в обратном направлении) и разгон его за пакетом

сетки. На выходе из пакета сетки наблюдается небольшое локальное торможение потока.

57

Рис. 3.31. Распределение плотности.

Плотность в основном повторяет закономерности изменения давления вдоль линии,

проходящей сквозь всю расчетную область.

Результаты взаимодействия взрывного импульса с пакетом сетки сравниваются

результатами задачи прохождения данного импульса по каналу без сетки с целью выяснения

влияния демпфирующих свойств пакета. Красный цвет (кривая 1) соответствует решению с

пакетом сетки, а зеленый (кривая 2) – без пакета.

Рис. 3.32. Распределение абсолютного давления УВ в каналах с сеткой и без сетки.

58

Рис. 3.33. Распределение скорости УВ в каналах с сеткой и без сетки.

Рис. 3.34. Распределение плотности УВ в каналах с сеткой и без сетки.

На графике зависимости полного давления вдоль линии, проходящей сквозь всю

расчетную область в момент времени 0.068 мс с сеткой и без сетки (рис. 3.32) наблюдается

разница амплитуд проходящих волн через канал с пакетом сетки и через канал без пакета.

Эти выводы подтверждает и следующий график зависимости осредненного абсолютного

давления по площади сечения канала плоскостью мму 100 (расположенной за пакетом

сеток) от времени, где цифрой 1 (красный) отмечено численное решение с пакетом сетки, 2

(зеленый) – без него.

59

Рис. 3.35. Абсолютное давление в проходящей волне в зависимости от времени. Красным –

решение задачи с пакетом сетки, зеленым – без пакета.

Падение в амплитуде для канала с пакетом сетки по сравнению с каналом без сетки

составило 15.8%, а в эксперименте в среднем – 6.6%. Определенное несоответствие

полученных результатов численного моделирования и эксперимента можно объяснить

следующими причинами:

в эксперименте давление замерялось в датчиках, расположенных далеко от

пакета сеток на расстояниях 95-120 см, то есть 19-24 толщины пакета, а при численном

моделировании в STAR-CCM+ на расстоянии 5.5 см от пакета, то есть на расстоянии

толщины пакета;

в процессе моделирования принимались существенные допущения, которые

могли приводить к несоответствию: не учитывалась реальная геометрия (пакет сетки не

цилиндрический, а плоский), набегающая взрывная волна – плоская, хотя параметры за ней

брались из реального взрывного импульса;

область определения задачи в вычислительном комплексе предполагается

неизменной (проволочки не перемещаются и не деформируются, пакет сетки не сжимается

под действием ударной волны), хотя в экспериментах отмечается его деформируемость.

Более полное решение этой задачи с учетом деформативности преграды описывается

в разделе 4.4.2 диссертации.

60

3.4. Выводы по главе

Согласно выполненным расчетам можно сделать следующие выводы:

1. Численный эксперимент подтверждает, что при прохождении различных УВ

через разнесенные и консолидированные многослойные пакеты металлических плетеных

сеток происходит ослабление амплитуд волн, тем более сильное, чем больше слоев в

преграде.

2. При воздействии ударной волны на слои сетки формируется отраженная и

проходящая ударные волны. Амплитуда отраженной волны повышается с увеличением

количества слоев сетки, а амплитуда проходящей волны, соответственно, снижается.

3. Для пакетов сетки состоящих из 18 слоев и меньше процессы теплообмена

между металлом и газом оказывают незначительное влияние на процесс, ввиду того, что

пакет сетки обладает малой межфазной поверхностью и объемной концентрацией.

4. Расстояние между слоями в разнесенной преграде не влияет на результаты (при

рассмотренных значениях расстояний, больших на порядок чем размер ячейки сетки l ).

Поэтому разнесенные слои в таких преградах можно рассматривать как независимые по

проходящим и отраженным волнам.

5. При прохождении УВ через пакеты сеток данного типа амплитуда отраженной

ударной волны больше для плотно упакованного пакета сетки, а амплитуда проходящей

волны меньше для разнесенного пакета. Влияние диссипативных процессов увеличивается за

счет изменения сечения канала и турбулизации течения.

61

Глава 4. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми

проницаемыми пакетами плетеных металлических сеток

В данном разделе приводится постановка задач, описывается численная методика и

приводятся результаты численных исследований взаимодействия ударных волн от взрывов

сферических и цилиндрических зарядов с консолидированными многослойными

деформируемыми пакетами плетеных металлических сеток Как показывают

экспериментальные исследования [76, 113, 114, 116], многослойные пакеты плетеных сеток

являются ортотропными деформируемыми элементами, имеющими различные законы

упругопластического деформирования по нормали к слоям сеток и в направлениях нитей в

плоскости слоев. Эти свойства учитываются при формулировании основных определяющих

уравнений. Пакеты плетеных сеток укладываются регулярным образом с совпадением

направлений нитей.

4.1. Основные уравнения динамики взаимопроникающих континуумов

Динамическое поведение пакета сетки с содержащимся поровым газом описывается

на основе уравнений динамики двух взаимопроникающих континуумов, каждый из которых

имеет свои скорости, напряжения (давления) и температуры. При формулировке уравнений

использованы обычные для подобных смесей предположения [41, 67, 68]:

размеры «элементарных узлов» в дисперсной смеси значительно больше

молекулярно-кинетических масштабов и много меньше расстояний, на которых

макроскопические параметры фаз меняются заметно (кроме линий разрыва);

эффекты вязкости и теплопроводности существенны лишь в процессах

межфазного взаимодействия;

отсутствуют процессы межфазного массообмена, дробление частиц;

эффекты пульсационного движения фаз пренебрежимо малы;

газовая фаза представляет собой идеальный газ;

внешние массовые силы отсутствуют;

теплообмен с окружающей средой не происходит.

Наряду с этими допущениями предполагаем, что плоский или цилиндрический пакет

сетки деформируется нелинейно и ортотропно – в направлении, перпендикулярном к слоям

62

сетки упругопластически сжимается, а в направлениях нитей (в том числе в окружном

направлении для цилиндрических пакетов) – растягивается. Сдвиговые напряжения

полагаются малыми.

В неподвижной декартовой ( 0Q ) или цилиндрической системе координат ( 1Q ,

Oz – ось вращения) уравнения динамики порового газа в форме законов сохранения массы,

импульса и энергии имеют вид:

r

uQu

zu

rt

rzr

1

0

11

0

11

0

11

0

1

rr

zrr nfr

uQvu

zup

rt

u

2

1

0

111

0

1

2

1

0

1111

0

1

(4.1)

zr

zzr nfr

vuQvp

zvu

rt

v

11

0

12

1

0

1111

0

111

0

1

nqr

pvu

ev

Qvpvu

evz

upvu

eur

vue

t

r

z

r

1

2

1

2

11

0

11

11

2

1

2

111

0

1

11

2

1

2

111

0

1

2

1

2

11

0

11

2

2

22

1

0

11 1 ep , 1

1 1 1vT e c T

Здесь и далее нижний индекс 1 относится к газу, 2 – к твердой компоненте, t - время, r , z -

координаты, 0

1 - истинная плотность газа, u , v - радиальная и осевая компоненты

скорости, e - внутренняя энергия, vc - удельная теплоемкость, ,r zf f , q - межфазные силы

и тепловой поток, действующие на «элементарный узел» твердой компоненты со стороны

порового газа, n - количество таких узлов (для сетки: узел – это цилиндр единичной длины

[76]) в единице объема смеси, i - объемные концентрации компонент, ,r z -

коэффициенты проницаемости сечений вдоль соответствующих направлений. Из системы

(4.1) при 1 1r z и n =0 следуют уравнения газовой динамики для однородной

среды.

Уравнения динамического деформирования пакета сетки, как скелета двухфазной

среды, имеют вид [80, 117]:

r

uQv

zu

rt

222222

2

rrrrzrr nfur

Qvu

zu

rt

u

2

22222

2

2222

63

zrzzzzr nfu

r

Q

zu

rt

222

2

2222222

(4.2)

r

uf

r

v

z

u

zv

ru

t rr

nrz

rrrrrr

22222

z

vf

z

u

r

v

zv

ru

t zz

rzzzzzzz

22222

r

uf

zv

ru

t

222

r

v

z

uG

r

v

z

u

zv

ru

t

rrzzrzrzrz 222222

2

Здесь ij , ij - компоненты тензоров напряжений и деформаций , , ,i j r z , 2 -

приведенная плотность пакета сетки ( 1, 21

0

222 ), G - модуль сдвига в плоскости

rz .

Законы связи между компонентами напряжений и деформаций строятся в

направлениях осей ортотропии. Первая ось ортотропии направлена по нормали к слоям

сеток, другие оси ориентированы по направлению нитей. По нормали к слоям сетки пакет

сопротивляется сжатию по закону связи напряжений и деформаций в виде *,rr n rr rrf ,

по осям ортотропии вдоль проволочек сетки на плоскости rz (в плоскости слоев) пакет

сопротивляется растяжению по закону *,zz zz zzf . При 1Q по окружному

направлению *,f пакет также растягивается. Сдвиговые компоненты тензора

напряжений в системе координат, связанной с этими осями полагаем равными нулю.

Параметры, отмеченные верхним индексом *, представляют собой максимальные значения,

достигнутые частицей при нагружении в соответствующем направлении, они необходимы

для описания разгрузки частиц среды, испытывающей необратимые деформации.

Для описания переноса величин, обозначенных звездочкой, используем уравнения:

r

uQv

zu

rt

rrrrrr

rr

*

222

*

22

*

2

*

2

r

uQv

zu

rt

zzzzzz

zz

*

222

*

22

*

2

*

2

(4.3)

r

uQv

zu

rt

*

22

2

*

22

*

2

*

2

.

64

Результаты экспериментальных исследований деформационных свойств пакетов

плетеных сеток, проведенных в экспериментальных лабораториях НИИ Механики ННГУ,

предоставлены Казаковым Д.А., Браговым А.М., Константиновым А.Ю., Модиным И.А. На

рис. 4.1 показана диаграмма динамического (1) и статического (3) сжатия образцов по

нормали к слоям сеток (функция *,rr n rr rrf ), *

rr включающая участки активного

нагружения и разгрузки для пакета сеток, состоящего из 10 слоев с размерами 2l , 5.0d

мм. Здесь и далее в качестве меры деформации принимается логарифмическая мера.

Деформирование носит ярко выраженный нелинейный характер. Разгрузки (пунктирные

линии, 2) близки к прямым линиям. Функция nf в нелинейной части закона нагружения

задается табличным способом. Разгрузочный модуль предполагается

постоянным ГПаЕ 20 .

Рис. 4.1. Динамическое сжатие *,rr n rr rrf - 1, разгрузки – 2, статическое сжатие - 3.

На рис. 4.2 показаны усредненные по нескольким опытам диаграммы на

динамическое растяжение (1) образцов вдоль оси ортотропии связанной с направлением

одного из семейств нитей сетки. Кривая нагружения близка к прямой линии (красный цвет,

2), аппроксимируемой уравнением 6.1280f , напряжение измеряется в

МПа. Разгрузочные кривые (черный пунктир, 3) предполагаются также в виде прямых линий

с модулем ГПаЕ 3 . Статическое растяжение образцов с предварительным обжатием

МПасж 45 отмечено желтым (4).

65

Рис. 4.2. Динамическое *

zz растяжение *,f - 1, аппроксимация кривой

нагружения - 2, разгрузки – 3, статическое растяжение (предварительное обжатие образца

МПасж 45 ) - 4.

Силы и энергия межкомпонентного взаимодействия.

При взаимодействии твердого и газового компонентов в качестве межфазных сил

учитываются [67, 76, 77]:

− силы сопротивления частичек твердой фазы при их обтекании поровым газом;

− силы Стокса вязкого трения;

а также конвективный теплообмен через межфазную поверхность.

Объемные силы в правых частях систем уравнений (4.1) и (4.2) представляются в

виде суммы двух сил: rrsr fff , zzsz fff . Силы сопротивления при обтекании

отдельных цилиндрических проволочек сетки имеют вид:

2121

0

1 uuvvCdf Drs , 2121

0

1 vvvvCdf Dzs ,

где DC − коэффициент сопротивления, зависящий от чисел Маха и Рейнольдса, 21 ,vv −

полные векторы скорости газового и твердого компонентов соответственно.

Силы вязкого трения при обтекании элементарных узлов принимаем в виде:

211

2

2uu

df c

r

, 211

2

2vv

df c

z

.

Здесь предполагается приведение элементарных цилиндрических узлов сетки к

эквивалентным по площади поверхности сферическим частицам; cd − диаметр приведенной

сферической частицы, Re16

3 c , коэффициент трения c определяется по

66

эмпирическим формулам из экспериментов по стационарной продувке воздуха через слой

сферических частиц [118]:

45.0,Re

15075.1

3

4

085.0,42.0Re

4.4

Re

24

2

1

2

1

)2(

2

)1(

c

c

c ,

c и линейной интерполяцией между )1(

c и )2(

c при 45.0085.0 2 . Число Рейнольдса

121

0

1 /Re cduu , 1 − динамическая вязкость газа.

Тепловой поток в единице объема от газа к твердой фазе вычисляется по формуле

21 TTSq cT , где cS − площадь поверхности элементарного узла (частицы), 2

cc dS ,

cT dNu /1 − коэффициент теплоотдачи газа вследствие конвекции, 1 − коэффициент

теплопроводности газа, Nu − число Нуссельта, которое для пористых сред может быть

представлено в виде

200Re,PrRe6.027.2

200Re,PrRe106.023/13/2

3/1

Nu ,

где 111 /Pr pc − число Прандтля, 1pc − удельная теплоемкость газа при постоянном

давлении [68].

Изменение температуры твердой фазы определяется уравнением

r

TuQ

c

nqvT

zuT

rt

T

p

222

2

22222222

, (4.4)

где 2pc − удельная теплоемкость металла сетки.

Необходимо отметить, что, поскольку твердая фаза как скелет высокопористой среды может

сильно сжиматься в процессе деформации, ряд усредняющих параметров будет зависеть от

степени ее уплотнения. В частности, полагаем 20

2202

,

20

20

nn ,

20

2011

rr ,

20

2011

zz , где величинами с нижним индексом 0 отмечены

их начальные значения при 0t [76].

67

4.2. Контактные условия на подвижных скачках проницаемости

Поверхности контакта чистого газа с пористым пакетом сеток являются

поверхностью разрыва пористости, то есть согласно классификации разрывов, введенной

Киселевым С.П., Фоминым В.М. и др. в [102], комбинированным разрывом. Как показали

исследования [71, 119], на контактных границах «чистый газ» - «поровый газ» должны

выполняться специальные условия, как на скачке пористости. Эти условия получаются из

уравнений в интегральной форме. Уравнения двухфазной среды (4.1), (4.2) для одномерного

потока интегрируются по области, содержащей внутри себя разрыв. Затем толщина области

устремляется к нулю, в результате чего объемные интегралы обращаются в нуль, и

получается система алгебраических уравнений, связывающих параметры среды до и после

разрыва в общей формулировке [102]:

1

,

,

,022

,0,0,0

,0,0

21

2

0

22

1

0

11

2

2222

2

1111

222111222111

2211

uHu

uеu

uuuupuuuu

uu

nn

nnnnnn

nn

(4.5)

где квадратные скобки означают разность величин на разрыве (например,

0111111

nnn uuu , см. рис. 4.3), n соответствует нормальной компоненте

скорости, индекс — тангенциальной; 10

1

1

pe — внутренняя энергия, 1 — средняя

(приведенная) плотность, 0

1 - истинная плотность газа; 0

222 ,, H —энтальпия, средняя

плотность, истинная плотность частиц. Если моделируется чистый газ, то 11 , что

соответствует полной проницаемости. Первые два уравнения в (4.5) описывают сохранение

потока массы, следующие три уравнения — сохранение полного потока импульса и шестое

уравнение — сохранение потока полной энтальпии.

Рис. 4.3. Разрыв. Слева направо (→) - истечение; справа налево (←) - втекание.

68

Система уравнений (4.5) позволяет провести классификацию возможных разрывов [102]:

1) 0,0 2211 nn uu — контактный разрыв по газу и по частицам,

2) 0,0 2211 nn uu — контактный разрыв по газу, по частицам нет разрыва;

3) 0,0 2211 nn uu — комбинированный разрыв;

4) 0,0 2211 nn uu — разрыв типа ударной волны.

Рассмотрим более подробно комбинированный разрыв (КР). Для случая, когда

скачок неподвижен, используем общие условия в виде:

1

0

11

2

1111

111111

11

,02

,0,0

,0

uеu

uupuu

u

n

nnn

n

(4.6)

Для замыкания (4.5) на КР необходимо привлекать дополнительные условия. Так, в

работах [71, 119-122] использовалась аналогия между течением газа в окрестности КР и

течением газа по трубе со скачком сечения. Следуя этой аналогии была введена

поверхностная сила, действующая на частицы, находящиеся на КР в виде

11F p ,

1 1 12

11 121

, 0, 1

, 0, 1

p Mp

p M

, 1 1 120, 0, 1S M (4.7)

где 1S - энтропия газа, 12 1 2 1M u u c , 1c - скорость звука, 1 1,p p - давление газа слева и

справа от разрыва. На поверхностях контакта пакета сеток с непроницаемыми элементами

конструкций выполняются условия непроникания.

Постановка конкретных задач завершается постановкой начальных и граничных условий для

уравнений (4.1), (4.2).

69

4.3. Численная методика решения нелинейных задач взаимодействия

ударных волн с проницаемыми деформируемыми пакетами плетеных

металлических сеток

4.3.1. Модифицированная схема С.К. Годунова

Численное решение уравнений (4.1)-(4.3) производится по схеме С.К. Годунова в

эйлерово-лагранжевых подвижных разностных сетках, реализованной в ППП UPSGOD 2D

[115]. Условия на поверхности контакта пакета сетки с чистым газом ставятся как на

комбинированном разрыве [54, 102]. Полная система уравнений (4.1)-(4.3), описывающая

адиабатическое нестационарное упругопластическое деформирование сплошной среды в

отсутствие вязкости и теплопроводности (они учитываются только в межфазных

взаимодействиях) в эйлеровой системе координат roz (декартовой или цилиндрической с

осью симметрии oz) имеет вид:

hgfu

zrt (4.8)

Для порового газа функции u, f, g, h записываются следующим образом:

2

22

11

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

vue

v

u

u ,

upvu

eu

vu

up

u

r

r

rr

r

1

22

1

0

1

0

1

20

11

0

1

2

f ,

vpvu

ev

vp

uv

u

z

zz

z

z

1

22

1

0

1

20

11

0

1

0

1

2

g ,

nqr

pvu

ev

Q

nfr

uvQ

nfr

uQ

r

uQ

r

zr

rr

r

1

22

1

0

1

0

1

20

1

0

1

2

h .

Система содержит 5 неизвестных: pеvu ,,,, и замыкается недифференциальным

уравнением состояния 10

1

1

pe .

70

При 1 1r z и n =0 получаются уравнения газовой динамики для

однородной среды (чистый газ) и функции u, f, g, h следующие:

2

22 vue

v

u

u ,

puvu

eu

vu

up

u

2

22

2

f ,

pvvu

ev

vp

uv

u

2

22

2

g ,

r

pvu

ev

Q

r

uvQ

r

uQ

r

uQ

2

22

2

h .

Для металла функции u, f, g, h принимают форму:

,

*

2

*

2

*

2

22

22

2

zz

rr

rz

zz

rr

v

u

u

2

*

2

2

*

2

2

*

2

2

2

2

2

222

2

22

22

u

u

u

u

u

u

u

uv

u

u

zz

rr

rz

zz

rr

rz

rr

f ,

2

*

2

2

*

2

2

*

2

2

2

2

2

2

22

222

22

v

v

v

v

v

v

v

v

uv

v

zz

rr

rz

zz

rr

zz

rz

g , (4.9)

71

r

uQ

r

uQ

r

uQ

r

v

z

uG

r

v

z

u

r

uf

z

vf

z

u

r

v

r

uf

r

v

z

u

nfvur

Q

nfur

Q

r

uQ

zz

rr

rrzz

zz

rz

rr

nrz

zrz

rrr

*

22

*

22

*

22

2222

2

222

222

222

2

22

22

2

h

.

Система состоит из 10 скалярных уравнений для 10 неизвестных функций

***

222 ,,,,,,,,, zzrrrzzzrrvu , зависящих от t,r,z. Сдвиговые (касательные, ji )

компоненты тензора напряжений в системе координат, связанной с осями ортотропии

полагаем равными нулю.

Общая интегральная форма систем (4.8), на базе которой строится разностная схема,

записывается в виде:

drdzdtdrdtdzdtdrdz hgfu (4.9)

здесь - любой замкнутый объем, поверхность которого гомеоморфна сфере в

пространстве r, z, t.

Конечно-разностная схема

Конечно-разностные соотношения для системы (4.9) строятся аналогичным образом

как для однокомпонентной однородной среды [99]. Область численного решения

покрывается регулярной сеткой, состоящей из четырехугольных ячеек. Такое покрытие

всегда можно сделать для любой конечной (не обязательно односвязной) области,

предварительно разбив ее на топологические четырехугольники. Пример такого

72

четырехугольника, покрытого сеткой из узлов с координатами JjIizr ijij ,1,,1),,( ,

приведен на рис.4.4.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Интегральные соотношения (4.9) применяются к пространственно-временной ячейке (ПВЯ) с

нижним основанием, вершины которого суть ,),(,),(,),(,),( 1,,11,1 jiijjiji zrzrzrzr и верхним

основанием с вершинами 1,,11,1 ),(,),(,),(,),( jiijjiji zrzrzrzr (рис. 4.5). Здесь и далее нижние

индексы в разностных формулах относятся к моменту времени kt , а верхние – к моменту

ttt kk 1, где t - шаг по времени.

При этом предполагаются выполненными следующие допущения.

1. На основаниях ktt и 1 ktt в ПВЯ параметры среды постоянны и равны

некоторым средним значениям в моменты времени kt и 1kt , соответственно. Например, для

системы уравнений (4.9):

2/1,2/1

***

222 ,,,,,,,,, jizzrrrzzzrrvu ,

2/1,2/1***

222 ,,,,,,,,, ji

zzrrrzzzrrvu .

2. На боковых гранях ПВЯ в течение каждого интервала t эти величины также

постоянны и обозначаются например для (4.9) через

lzzrrrzzzrr SSSSSSSVUR ***

222 ,,,,,,,,, (4.10)

Это так называемые “большие” или потоковые величины, которые определяются для

классической схемы С.К. Годунова первого порядка точности из автомодельного решения

задачи о распаде произвольного разрыва через l-ю границу ячейки (i-1/2, j-1/2), причем

значения l=1, 2, 3, 4 соответствуют границам (i-1, j-1/2), (i-1/2, j), (i, j-1/2), (i-1/2, j-1) ячейки.

Расчет “больших” величин сначала производится в местной системе координат “нормаль-

73

касательная” к боковой поверхности ПВЯ, общей для пары ячеек, между которыми

рассматривается задача о распаде разрыва. Для этого векторы скорости по разные стороны от

разрыва проектируются на нормаль к боковой поверхности ПВЯ, а затем решается сама

задача о распаде разрыва. Потом производится обратный перевод “больших” величин в

систему координат roz. Отметим, что, если l-я граница ячейки принадлежит границе области

численного решения, то “большие” величины в этом случае рассчитываются с помощью

краевых условий.

После введения в рассмотрение векторов U, F, G, являющихся полным аналогом

векторов u, f, g, но состоящих из потоковых величин (4.10), явные конечно-разностные

уравнения, связывающие неизвестные на момент 1kt компоненты вектора u )7,1( u с

известными на момент kt компонентами u в ячейке i-1/2, j-1/2, имеют следующий вид:

HGFUuul

lrt

l

lzt

l

lrzji

ji

4

1

4

1

4

1

2/1,2/1

2/1,2/1 )()()()()( (4.11)

где HGFU ,,, -компоненты векторов U, F, G, H )7,1( , a

lztlrtlrzji

ji )(,)(,)(,, 2/1,2/1

2/1,2/1

вычисляются по формулам:

jijijijijijijijiji

jijijijijijijijiji

zzrrzzrr

zzrrzzrr

,1,11,,1,11,,1,12/1,2/1

,1,11,,1,11,,1,12/1,2/1

2

1

2

1

(4.12)

ll

lllzt

ll

lllrt

l

l

l

ll

ll

llrz

zzzzt

rrrrt

zzrrzzrr

1

1

1

1

1

11

1

2

1)(

2

1)(

2

1)(

(4.13)

Компоненты H разностного аналога вектора h правой части системы (4.8),

например для (4.9) принимают форму:

74

.10,8,

7,2

6,

,5,

,4,

,3,1,

2/1,2/1

*

4

1

22

4

1

22

2/1,2/1

2/1,2/1

2

2/1,2/1

24

1

222/1,2/1

2/1,2/1

24

1

222/1,2/1

2/1,2/1

th

VUGVU

tr

uf

tz

vfVU

tr

ufVU

th

H

ji

llrtzt

llztrt

ji

rrzz

ji

jizzllztrtjirz

jirr

n

llztrtjirz

ji

(4.14)

Выражения в (4.12) - ориентированные площади оснований ПВЯ соответственно в моменты

kt и 1kt , а выражения (4.13) дают значения соответствующих поверхностных интегралов 2

рода по поверхности ПВЯ. Индекс l в (4.13) меняется от 1 до 4, причем в качестве величин с

индексом 1l в случае 51l следует брать соответствующие величины с индексом 1. В

случае неподвижной разностной сетки все интегралы rz в (4.13) равны 0, а ПВЯ имеет

наипростейший вид, представляя собой прямой параллелепипед с основаниями

2/1,2/1

2/1,2/1

ji

ji , а в общем случае они являются фигурой с двумя неравными плоскими

четырехугольными основаниями 2/1,2/1 ji и 2/1,2/1 ji неплоскими боковыми

поверхностями. Этим завершается описание этапа "корректор" разностной схемы, на

котором решается система линейных неоднородных уравнений (4.11) с диагональной

матрицей.

Для интегрирования уравнений используется модифицированная схема С.К.

Годунова:

1) для газа (4.1) используется модификация [123], позволяющая увеличить

точность схемы до второго порядка на гладких решениях и модификация, позволяющая

учесть переменные объемные концентрации и коэффициенты проницаемости для

двухфазной смеси;

2) для интегрирования (4.2) используется задача о распаде разрыва в двух

вариантах: а) линеаризованная задача о распаде разрыва в упругой среде [124], б) нелинейная

задача распада разрыва в упругопластической сжимаемой среде [99]. И модификация схемы

для решения упругих задач [123], позволяющая поднять точность до второго порядка.

75

3) Для реализации условий на контактной границе используется численное

решение нелинейной задачи о распаде разрыва на скачке пористости, изложенное ниже в

разделе 4.3.2.

4.3.2. Численное решение задачи о распаде разрыва на скачке пористости.

Алгоритм и программные модули

Для определения контактных параметров на границах примыкания проницаемых

пористых элементов с различными коэффициентами проницаемости (в том числе при

контакте пористого элемента с чистым газом) при численной реализации условий (4.6)

используется задача о распаде разрыва на скачке пористости. Разработан оригинальный

алгоритм определения контактных параметров на скачке пористости, реализованный в виде

программных модулей. Алгоритм распада разрыва описывается в одномерном приближении

[121]. Течение на скачке пористости (на границе раздела сред с разными коэффициентами

проницаемости) моделируется течением в канале с резким изменением площади поперечного

сечения. Предполагается наличие скачка площади сечения канала в точке 0x . Исходные

состояния газа на левом ( 0x ) и правом ( 0x ) участках канала произвольны и

обозначаются соответственно индексами 2 и 1. Отношение меньшей площади поперечного

сечения к большей обозначим через 2121 // AA , где 1A – площадь поперечного

сечения правого участка, 2A - левого, 1 , 2 – коэффициенты проницаемости примыкающих

пористых сред. В случае, когда пористая среда примыкает к чистому газу, широкий канал

моделирует чистый газ с 12 , а узкий – пористую среду с 1 , 1 . Принимается, что

широкий канал всегда располагается слева от скачка площади сечений (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Исходная постановка задачи Рис. 4.7. Конфигурация 11 (дозвуковое

истечение): BTSS

Предполагается, что через некоторый промежуток времени в процессе распада

произвольного разрыва газодинамических параметров в окрестности скачка сечения B (рис.

A2 (2) (5) (4) (3) (1) A1

B S

S T

A2 (2) (1) A1

x 0

76

4.7) поток устанавливается. На каждом участке канала, удаленном от сечения 0x , при

некоторых временах 0t течение будет одномерным и движение газа будет осуществляться

в виде сочетания элементарных волн постоянной интенсивности: ударных волн S ,

контактных разрывов T и волн разрежения R . Таким образом, решение задачи сводится к

выбору совокупности элементарных волн (конфигураций), при которых от состояния 2

можно перейти к состоянию 1 с соблюдением условий совместности на всех разрывах, в том

числе и на разрыве площади сечения канала B . Параметры постоянных потоков, которые

устанавливаются слева и справа в окрестности скачка сечения, обозначаются соответственно

индексами 5 и 4. Одна из возможных конфигураций образующихся волн (дозвуковое

истечение) приведена на рис. 4.7.

Условиями совместности (4.6) − законами сохранения на скачке сечения − являются

следующие соотношения [121, 122]:

2121

1

2

4

4

444

2

5

5

555

4

2

445

2

55

4455

upu

upu

puppu

uu

(4.15)

где p − реакция стенки уступа, равная по величине давлению газа на указанную стенку

( 5pp ). Движение газа после распада из левого (широкого) участка канала в правый

(узкий) принято называть [122] истечением ( 0,0 45 uu ), а из узкого в широкий −

втеканием ( 0,0 54 uu ).

При истечении (из широкого канала в узкий) положим 5p p . Из законов

сохранения (4.15) имеем:

4

2 51

a zu

u

,

5455

54 uuu

pp

,

4

5

54u

u

,

где 1 , 2

52

2

5 uca , 5

5

2

2

5

p

c , 2

52

2

5

2

5 2111 MMcz ,

2

52

2

5

2

5 2111 MMc , 5

5

5c

uM .

77

Параметры потока 5 выбираются так, чтобы величины z и были одного знака.

Знак "" следует брать при 02

5

2

5 uc ( 0z ) - дозвуковой поток, знак "+" при 02

5

2

5 uc

( 0 ) - сверхзвуковой поток. Предполагая непрерывность формул от положим:

22

4 42 5 2

1, 1 при 0 0

1

za zu M z

u a z

,

22

4 42 5 2

1, 1 при 0 0

1

za zu M z

u a z

.

Если 0z , то 4 5 4 5 4, 0, 1p p u u M .

Если 0 , то 4 5 4 5 4, 0, 1p p u u M .

При дозвуковом потоке ( 15

5

5 c

uM ) возможны следующие конфигурации (здесь и далее

нумерация конфигураций состоит из двух цифр: первая 1 – истечение и 2 – втекание, вторая

цифра соответствует номеру конфигурации):

BTSRBTRS

BTRRBTSS

)14)12

)13)11

Обратная волна на широком участке распространяется влево, контактный разрыв и прямая

волна – вправо на узком участке канала.

TSBRRTRBRS

TRBRRTSBRS

)18)16

)17)15

В отличие от классической задачи о распаде разрыва [53] возникают многоволновые

конфигурации, двигающиеся в одну сторону от скачка площади сечения канала [119, 122].

Слева – прямая волна разрежения или прямая ударная волна. На правом участке образуется

обратная волна разрежения, контактный разрыв и прямая волна. Параметры потока

непосредственно слева и справа от скачка сечения остаются постоянными и их значения

равны.

При сверхзвуковом потоке 2 ( 15

5

5 c

uM ) и произвольном состоянии 1 возможны

следующие конфигурации:

TRBRTSBR )110)19

На левом участке канала ударная волна сносится вниз по потоку. Справа – элементарные

волны.

TRBSTSBS )112)111

78

Интенсивность обратной волны разрежения уменьшается, и волна исчезает. Взамен нее

появляется обратная ударная волна, которая уносится потоком вправо.

При втекании (из узкого канала в широкий) положим 5p p и выразим состояние 5

через 4. Получим (для сверхзвукового и дозвукового течения, соответственно):

411

15

12 u

au

,

1111

1112

51

111

a

aM при

2 24 4 0c u ,

411

15

12 u

au

,

1111

1112

51

111

a

aM при 2 2

4 4 0c u ,

544445 uuupp , 5

445

u

u ,

где 2 2

1 4 1 4a c u , 2

4

2

411

22

411

2

4 12121 ucuc , 4 0u .

При сверхзвуковом потоке ( 14

44

c

uM ) возможны следующие конфигурации:

TBSSTBRR

TBSRTBRS

)24)22

)23)21

На левом участке прямые волны: ударная или разрежения. На правом участке только прямая

волна.

BRTRRBRTRS )26)52

На левом участке канала образуется двухволновая структура, состоящая из прямых волн и

обратной волны разрежения. На правом участке канала образуется такая прямая волна

разрежения, в хвосте которой число Маха потока равно 1.

BRTSRBRTSS )28)27

Интенсивность прямой волны разрежения на правом участке уменьшается, и волна исчезает.

Взамен волны разрежения на левом участке появляется прямая ударная волна, которая

уносится потоком влево.

При дозвуковом потоке ( 14

44

c

uM ) возможны следующие конфигурации:

TBSSTBSR )210)29

Слева прямые волны. Параметры слева и справа от скачка имеют одинаковые значения.

Справа образуются прямые ударные волны.

BTSSBTSR )212)112

BTRSBTRR )214)132

79

Слева двухволновая структура. На правом участке канала волна разрежения сносится вниз

по потоку.

Данные соотношения приведены для неподвижного скачка. Если скачок подвижен и

движется с постоянной скоростью, необходимо перейти в систему координат связанную со

скачком, там, где скачок будет неподвижен. Кроме того, проведена модификация алгоритма,

предложенного в [121, 122] обходящая неустойчивые ситуации - возможность

возникновения в одном сечении нескольких скачков (разрывов), затрудняющих

интерпретацию решения. Этот алгоритм применяется в рамках модифицированной схемы

С.К. Годунова на каждом шаге расчета на границах контакта проницаемых элементов с

различными коэффициентами проницаемости, в том числе на границах контакта

проницаемого элемента с чистым газом.

Модифицированный алгоритм реализован в виде программных модулей на языке

Fortran [125], разработанных в среде Microsoft Visual Studio 2005 Professional Edition,

совместимых с пакетами программ Динамика-1 и UPSGOD 2D [115, 126].

Файл входных данных содержит основные параметры течения (давление, плотность,

скорость, показатель адиабаты) перед и за фронтом скачка пористости, а также коэффициент

проницаемости (отношение площадей сечений канала). Параметры волн задаются в

соответствии с рис. 4.6. Блок-схема программы представлена на рис.4.8-4.10. Программные

модули (всего 24) состоят из 14 подпрограмм для расчета параметров, 6 подпрограмм для

определения конфигурации, 4 подпрограммы для ввода данных. Выходной файл содержит

информацию: о режиме и конфигурации течения, а также значения всех газодинамических

параметров течения (давление, скорость, число Маха, плотность).

80

Рис 4.8. Общая блок-схема алгоритма

81

Рис 4.9, а. Блок-схема в случае сверхзвукового истечения

82

Рис 4.9, б. Блок-схема в случае дозвукового истечения

83

Рис 4.10. Блок-схема в случае втекания

84

Описание программных модулей

Подпрограмма POISK_P5C вычисляет давление в широком канале по соотношениям на

ударной волне или волне разряжения по формулам:

2

1

2

2

222

22

2

22

2

222

5

,2

11

,1

2

2

ppc

up

pppp

up

p

Подпрограмма RR определяет режим течения по значению L1: втекание или истечение

втеканиеL

истечениеLREZHIM

ppp

pсu

pppp

ppu

L0,1

0,1;

,11

2

,)(

)1()(

1

1

15

2

1

1

5

1

1

1

15

1

2

151

2

1151

1

1

1

Подпрограмма POISK_P5V вычисляет параметры дозвукового течения в широком канале

при условии z=0

22

225 ))1(1()1(1~

M

2

1

2

2

2522

22

2

22

2

25522

5

,2

1)~(1

,1

~)~(

~

2

2

ppc

uup

pppp

uup

p

555

5

525

~~~,~

~~ cMu

pc

ppp

p

pppp

pp

5

1

2

52

5

5

2

22

2

2

252

5

~,~

~,~

~

~

2

Подпрограмма POISK_4V – рассчитывает газодинамические параметры в узком канале для

истечения

85

2

4

414

44

522

54

2

54

4

2

522

~

~~

~~

~1

~~

1

~~

1~

~121

u

p

uc

Mr

rpp

rc

u

M

Mr

Подпрограмма L1_FUNC вычисляет значение L1 кривой в точке (p1, u1) на плоскости (p,u)

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

11

2

111

1

,11

2

,)(

)1()(

1

1

ppp

pсu

pppp

ppu

L

Подпрограмма L2_FUNC вычисляет значение L2 кривой в точке (p2, u2) на плоскости (p,u)

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

,11

2

,)(

)1()(

2

2

ppp

pсu

pppp

ppu

L

Подпрограмма RO_V определение плотности перед и за волной

ppp

p

pppp

pp

~,~

~,~

~

~1

2

2

Подпрограмма SKZV – вычисление скорости звука

pс

Подпрограмма PARAM4_68- определение параметров в узком канале по параметрам в

широком канале для дозвукового истечения

2

52

2

5 uca

2

52

2

5

2

5 2111 MMcz

86

2

52

2

5

2

5 2111 MMc

5

5

5c

uM

za

zM

u

u

uuu

pp

u

zau

2

24

4

554

5455

54

52

4

11

)1(

Подпрограмма PARAM4_69 - определение параметров в узком канале по параметрам в

широком канале для сверхзвукового истечения

2

52

2

5 uca

2

52

2

5

2

5 2111 MMcz

2

52

2

5

2

5 2111 MMc

5

5

5c

uM

za

zM

u

u

uuu

pp

u

zau

2

24

4

554

5455

54

52

4

11

)1(

Подпрограмма VERS_izm – выполняет решение одномерной задачи распада разрыва в

однородной среде в случае двучленного уравнения состояния. Метод реализован в

Динамика-1.

Подпрограмма POISK_P1V - вычисляет параметры дозвукового течения в узком канале

87

11

1

2

1

1111

112

1

11

2

11111

1

~,2

1~1

~,1

~)~(

~

1

1

ppc

uup

pppp

uup

p

Подпрограмма POISK_P1C - вычисляет параметры сверхзвукового течения в узком канале

11

1

2

1

111

112

1

11

2

1111

1

~,2

11

~,1

~

1

1

ppc

up

pppp

up

p

Подпрограмма POISK_5 - вычисляет параметры сверхзвукового втекания

Для расчета 5u :

0,))1(2(

))1(2)(1(2))1((

))1(2(

0,))1(2(

))1(2)(1(2))1((

))1(2(

))1(2)(1(2

))1((

2

4

2

4

411

2

4

2

411

22

411

2

4

2

41

2

4

411

21

2

4

2

4

411

2

4

2

411

22

411

2

4

2

41

2

4

411

21

5

2

4

2

4112

22

411

2

41

2

41

2

4

ucu

ucucuc

u

aaa

ucu

ucucuc

u

aaa

u

uca

uca

uca

Для расчета 5M , считаются новые значения для 1a и

2a из полученных ранее для 5u :

0,

))1(2)(1(2))1(())()1((

))(1())1(2)(1(2))1(()1(11

0,

))1(2)(1(2))1(())()1((

))(1())1(2)(1(2))1(()1(11

))1(2)(1(2))1(())()1((

))(1())1(2)(1(2))1(()1(

2

4

2

42

4

2

411

22

411

2

41

2

41

2

411

2

41

2

41

2

4

2

411

22

411

2

41

2

1

2

4

2

42

4

2

411

22

411

2

41

2

41

2

411

2

41

2

41

2

4

2

411

22

411

2

41

2

1

5

2

4

2

411

22

411

2

41

2

41

2

4112

2

41

2

41

2

4

2

411

22

411

2

411

uc

ucucuc

ucucuc

a

a

uc

ucucuc

ucucuc

a

a

M

ucucuca

ucucuca

5

445

544445 )(

u

u

uuupp

88

Формулы для расчета параметров сверхзвукового втекания из блок-схемы:

*

1

*

1

1

*

1

1

*

1

1

1

*

1

1

1

*

1*

1

2

11

1

2

1

*

11

*

1

1

11

2

11

*

1

2

1

2

1

2

11

*

1

,

,

)1

()1(

))1((

pc

ppp

p

pppp

pp

MMcuu

Mpp

5

5

15

5

*

1*

15

5

*

1

*

1

*

1

*

15

2*

1

2*

1*

111

2*

1

2*

111

22*

111

2*

1

2*

11

2*

1

2*

1

2*

1*

111

2*

1

2*

111

22*

111

2*

1

2*

11

2*

1

5

)(

0,))1(2(

))1(2)(1(2))1((

0,))1(2(

))1(2)(1(2))1((

pc

u

u

uuupp

ucu

ucucuc

ucu

ucucuc

u

5

5

15

5

1

15

511115

2

1

2

1

111

2

1

2

111

22

111

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

111

2

1

2

111

22

111

2

1

2

11

2

1

5

)(

0,))1(2(

))1(2)(1(2))1((

0,))1(2(

))1(2)(1(2))1((

pc

u

u

uuupp

ucu

ucucuc

ucu

ucucuc

u

5

55

2

15

*

5

2

1

2

5

2

15

*

5

1)1(

))1((

MMcuu

Mpp

89

Подпрограммы CONFIG_11_14, CONFIG_15_18, CONFIG_19_110, CONFIG_111_112,

CONFIG_21_24, CONFIG_25_26, CONFIG_27_28, CONFIG_211_212, CONFIG_215_216,

CONFIG_217_218 – производят расчет всех параметров течения справа и слева от скачка

сечения канала, используя описанные выше подпрограммы.

4.3.3. Тестирование алгоритма и пакета программ расчета распада

разрыва на скачке пористости

В целях верификации алгоритма и пакета программ расчета распада разрыва на

скачке пористости проведены тестовые расчеты в вычислительном комплексе STAR-CCM+ в

полной трехмерной постановке. Результаты расчета различных режимов и конфигураций

сравнивались по параметрам формирующихся квазиодномерных волн.

Область определения задачи в STAR-CCM+ представляет собой прямоугольный

канал со скачком площади поперечного сечения. Моделируется четверть расчетной области

с учетом симметрии по внутренним граням, рис. 4.11, 4.12. На торцах задаются границы

входа\выхода газодинамических потоков.

Рис. 4.11. Постановка задачи для отношения площадей поперечных сечений канала 1.0 .

90

Рис. 4.12. Постановка задачи, 7.0 .

Рассмотрим основные возможные режимы течения и конфигурации волн.

1. Дозвуковое истечение

Скачок проницаемости 1.0 , начальные параметры показаны в таблице 4.1.

В широком канале: В узком канале:

3

2

2

02

/23.1

500

1/

мкг

u

PP

3

1

1

01

/23.1

0

1/

мкг

u

PP

Таблица 3.1. Начальные параметры в каналах. Дозвуковое истечение

Возникает газодинамическое течение, соответствующее конфигурации BTSS)11 . В

этом случае в результате распада разрыва от скачка сечения канала в широкий канал

выходит ударная волна S с давлением за фронтом Р5, за скачком сечения канала образуется

проходящая ударная волна с амплитудой Р3 (в данном случае Р3= Р4). Результаты расчетов,

полученные решением одномерной задачи распада разрыва по разработанной программе в

Fortran (точное решение) и по решению трехмерной задачи в STAR-CCM+ (численное

решение) сравнивались по амплитудам волн. Результаты сведены в таблицу. Здесь и далее

скорости в м/с, плотности в кг/м3.

STAR-CCM+ Fortran Abs Err %

P5/P0 5,08 5,31 4,33

P4/P0 2,86 3,14 8,92

P3/P0 3,15 3,14 0,32

U5 41,7 20,52 4,24

U4 352,78 310,84 8,39

91

U3 317,6 310,84 1,35

Ro5 3,36 3,57 5,88

Ro4 2,20 2,36 6,78

Ro3 2,55 2,69 5,20

M5 0,09 0,04 3,47

M4 0,8 0,72 5,56

M3 0,75 0,76 0,69

Таблица 4.2. Расчетные параметры течения и абсолютная ошибка. Дозвуковое истечение

Для расчета величины абсолютной ошибки разность соответствующих параметров была

отнесена к точному значению рассматриваемой величины (по умолчанию) или к

максимальному. В данном случае разности скоростей и чисел Маха были отнесены к их

максимальным значениям: 500 и 1.44, соответственно; разности давлений и плотностей были

отнесены к их точным значениям, полученным по разработанной программе в Fortran. Здесь

и далее приведены распределения основных параметров газодинамического течения вдоль

линии центра канала, проходящей сквозь всю расчетную область вдоль оси ох в избранные

моменты времени (на рис. 4.13-4.16 в момент 5 мс), когда сформировано квазиодномерное

течение на удалении от скачка сечения канала. Распределение по каналу средних значений

параметров фактически совпадает с приведенными локальными распределениями.

Рис. 4.13 Рис. 4.14

Рис. 4.15 Рис. 4.16

92

2. Сверхвуковое истечение:

Скачок проницаемости 1.0 , начальные параметры показаны в таблице 4.3.

В широком канале: В узком канале:

3

2

2

02

/23.1

/500

1/

мкг

смu

PP

3

1

1

01

/23.1

0

1/

мкг

u

PP

Таблица 4.3. Начальные параметры в каналах. Сверхзвуковое истечение

Получилась конфигурация TSBS)111 . В этом случае в результате распада разрыва от

скачка сечения канала в широкий канал на встречу сверзвуковому потоку выходит

отраженная ударная волна S (Р5), за скачком сечения канала образуется проходящая ударная

волна с амплитудой Р3 (в данном случае Р3= Р4). Ошибки по скорости и числу Маха

рассчитывались как разности полученных значений, отнесенные к максимальным значениям

(500 м/с для скорости и 1.5 для числа Маха потока за фронтом УВ). Результаты приведены

для момента времени 3 мс.

STAR-CCM+ Fortran Abs Err %

P5/P0 5,18 5,24 1,15

P4/P0 3,16 3,14 0,52

P3/P0 3,16 3,14 0,52

U5 35,48 20,52 2,99

U4 317,35 310,84 1,30

U3 317,35 310,84 1,30

Ro5 3,57 3,57 0,12

Ro4 2,32 2,36 1,68

Ro3 2,72 2,69 1,05

M5 0,07 0,04 2,00

M4 0,92 0,72 13,33

M3 0,77 0,76 0,67

Таблица 4.4. Расчетные параметры течения и абсолютная ошибка. Сверхзвуковое истечение

93

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Рис. 4.19 Рис. 4.20

Возникающие боковые течения, отражение от стенки уступа, а также тот факт, что течение

является трехмерным, влияют на его параметры. Однако полученные численное и точное

решения на стадии формирования квазиодномерных течений хорошо согласуются.

3. Дозвуковое втекание

Скачок проницаемости 7.0 , начальные параметры показаны в таблице 4.5:

В широком канале: В узком канале:

3

2

2

02

/17.1

0

1/

мкг

u

PP

3

1

1

01

/33.2

0

2/

мкг

u

PP

Таблица 4.5. Начальные параметры в каналах. Дозвуковое втекание

Получилась конфигурация TBRS)21 . В этом случае от скачка сечения канала

отражается ударная волна Р3, за скачком сечения канала образуется проходящая волна

разрежения с амплитудой Р4 (в данном случае Р5= Р3). Данные приведены на момент времени

1 мс.

94

STAR-CCM+ Fortran Abs Err %

P5/P0 1,32 1,33 0,75

P4/P0 1,29 1,27 1,57

P3/P0 1,32 1,33 0,75

U5 -71,1 -73,07 2,70

U4 -103,4 -108,38 4,59

U3 -71,10 -73,07 2,70

Ro5 1,43 1,44 0,69

Ro4 1,71 1,69 1,18

Ro3 1,43 1,44 0,69

M5 0,19 0,20 5,00

M4 0,31 0,33 6,06

M3 0,19 0,20 5,00

Таблица 4.6. Расчетные параметры течения и абсолютная ошибка. Дозвуковое втекание

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Рис. 4.23 Рис. 4.24

Наблюдается хорошее соответствие по амплитудам давлений и плотностей (ошибки меньше

2%). Ошибки по скоростям несколько выше (до 6%), но при этом величины являются очень

близкими.

4. Сверхвуковое втекание

Скачок проницаемости 7.0 , начальные параметры показаны в таблице 4.7:

95

В широком канале: В узком канале:

3

2

2

02

/23.1

0

1/

мкг

u

PP

3

1

1

01

/12.20

0

50/

мкг

u

PP

Таблица 4.7. Начальные параметры в каналах. Сверхзвуковое втекание

Получилась конфигурация BRTSS)27 . В этом случае от скачка сечения

канала отражается ударная волна Р5, после контактного разрыва и до скачка сечения канала

проходит ударная волна Р4 и проходящая волна разрежения Р3. Ошибки по давлению,

плотности и числу Маха рассчитывались как разности полученных значений, отнесенные к

максимальным значениям (50 для относительного давления, 20.12 кг/м3 для плотности 1.5

для числа Маха потока за фронтом УВ). Результаты приведены для момента времени 1 мс.

STAR-CCM+ Fortran Abs Err %

P5/P0 5,60 5,24 0,72

P4/P0 15,80 13,77 4,06

P3/P0 7,26 7,30 0,08

U5 -726,5 -711,24 2,15

U4 -456,88 -493,01 7,33

U3 -651,03 -605,22 7,57

Ro5 4,10 3,90 0,99

Ro4 8,77 8,04 3,62

Ro3 4,98 4,17 4,02

M5 1,55 1,74 10,92

M4 0,91 1,00 8,90

M3 1,45 1,21 9,83

Таблица 4.8. Расчетные параметры течения и абсолютная ошибка. Сверхзвуковое втекание

Рис. 4.25 Рис. 4.26

96

Вблизи скачка сечений канала возникают осцилляции. Для расчета Р5 брались средние

значения по размаху колебаний. Полученные численные результаты показывают хорошее

соответствие точным результатам.

Рис. 4.27 Рис. 4.28

Осцилляции можно объяснить тем, что течение является существенно не одномерным

вблизи скачка сечений канала. По амплитудам волн видно хорошее соответствие, ошибки

меньше 3%. В окрестности скачка сечения канала качество расчетов по одномерным

программам не самое высокое (хотя величины одного порядка), на удалении от скачка

наблюдается хорошее соответствие. Причины те же.

Таким образом, тестирование показывает, что при численном решении возникают

одномерные течения на некотором удалении от скачка площади сечения канала и параметры

этих одномерных течений в целом соответствуют аналитически полученным значениям в

разработанных программах. То есть, алгоритм решения одномерной задачи распада разрыва

на скачке сечений позволяет достаточно точно определять параметры образующихся

квазиодномерных волн (с ошибками меньше 10%). Разработанные и верифицированные

программные модули для решения одномерных задач совместим с ППП Динамика-1 и

UPSGOD 2D [5].

4.3.4 Исследование различных алгоритмов определения динамических

контактных параметров на деформируемых газопроницаемых элементах

конструкций

В ряде работ [41, 117] в задачах взаимодействия ударных волн с деформируемыми

проницаем преградами, испытывающими большие перемещения, применялись алгоритмы

усреднения контактных параметров на проницаемых и непроницаемых частях границы,

97

которые нельзя считать строго обоснованными. В настоящем разделе приводится

сравнительный анализ различных алгоритмов определения контактных параметров на

проницаемых подвижных границах на примере процессов взаимодействия ударных волн с

пакетами плетеных металлических сеток [76, 80, 117]. Рассматриваются два алгоритма.

Алгоритм 1 «оригинальный» основан на использовании понятия комбинированного разрыва,

соотношений на скачке пористости и решении задачи о распаде разрыва на этом скачке.

Алгоритм 2 «усредненный» опирается на решения двух классических одномерных задач

распада произвольного разрыва. Первая задача − между примыкающим газом и

деформируемой преградой [99], вторая задача − между газом и поровым газом на

газопроницаемом участке преграды [53]. Полученные давления усреднялись с весовыми

коэффициентами, пропорциональными поверхностным концентрациям фаз, определяемым

коэффициентом (4.15).

Взаимодействие плоской ударной волны с неподвижной газопроницаемой преградой

Постановка задачи приведена на рис. 4.29. Расчетная область включает в себя три

подобласти. Координаты границ подобластей имеют значения: 21 r см, 32 r см, 53 r см.

В первой подобласти задаются параметры, соответствующие параметрам газа за фронтом

плоской ударной волны: 805.1/ 0 pрув , 3/86.1 мкгув , смиув /29.147 . Вторая

подобласть − неподвижный недеформируемый пакет сеток с коэффициентом проницаемости

7.0 и начальными параметрами порового газа МПаp 1.00 , 3

0 /23.1 мкг , 00 и . В

третьей подобласти − покоящийся газ с начальными параметрами, как во второй подобласти.

Показатель адиабаты газа во всех подобластях 4.1 .

Рис. 4.29. Постановка задачи

Решение с использованием описанного выше оригинального алгоритма получено с

помощью программного комплекса Динамика-1 на разностной сетке с размером ячеек 0,05

см. На рис. 4.30 представлены распределения давлений по расчетной области задачи в

момент времени мсt 05.0 .

98

Рис. 4.30. Распределение давлений в момент времени мсt 05.0 . Алгоритм 1.

Наблюдается формирование отраженной от преграды ударной волны с более высоким

уровнем давления, чем в падающей волне. За преградой ( 2rr ) формируется прошедшая

ударная волна меньшей амплитуды, чем падающая. Газодинамическое течение включает в

себя разрывы на скачках пористости (контактных границах преграды). Численное решение с

высокой степенью точности дает значения амплитуд отраженной и проходящей волн,

полученных из точного решения задачи о распаде разрыва на скачке сечений [121].

Аналогичные результаты расчета данной задачи по «усредненному» алгоритму 2

приведены на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Распределение давлений в момент времени мсt 05.0 . Алгоритм 2.

«Усредненный» алгоритм 2 дает завышенные значения амплитуды отраженной ударной

волны и занижение амплитуды проходящей через преграду волны. Кроме того, наблюдаются

численные осцилляции контактного давления (хотя и незначительные). Поэтому более

99

предпочтительным является решение с использованием задачи распада разрыва на скачке

пористости полученное по оригинальному алгоритму 1.

Взаимодействие сферической волны от взрыва взрывчатого вещества с

газопроницаемым пакетом плетеных сеток

Рассматривается нагружение сферического пакета плетеных металлических сеток при

взрывном воздействии шарового заряда взрывчатого вещества (ВВ), находящегося в центре

симметрии системы (рис. 4.32, а). Постановка одномерной задачи показана на рис. 4.32, б.

Рис. 4.32, а Рис. 4.32, б

Расчетная область включает в себя три подобласти. Первая подобласть 10 rr содержит

продукты детонации и воздух. В силу близких термодинамических свойств продуктов

детонации и воздуха считаем их одной средой с единым уравнением состояния и

переменным показателем адиабаты, зависящим от плотности. В начальный момент времени

0t в части подобласти ВВrr 0 ( смrВВ 3.0 ) задано распределение газодинамических

параметров, соответствующее экспериментальным данным по взрывам зарядов ТГ 50/50

[127]. При смrВВ 3.0 начальные параметры воздуха: МПаp 1.00 , 3

0 /23.1 мкг , 00 и .

Вторая подобласть – пакет плетеных стандартных сеток 2×2×0,5 (первые две цифры – шаг

плетения (мм), последняя цифра - диаметр проволоки) толщиной 2,5 см, с объемной

концентрацией металла 14.020 , коэффициентом проницаемости 8.01 , начальной

плотностью 3

20 /09.1 cмг . Нелинейная модель деформирования пакета сеток и значения

параметров приведены в [80, 117]. В начальный момент времени частицы сетки и порового

газа находятся в невозмущенном покоящемся состоянии за исключением объема, занятого

продуктами детонации. Третья подобласть − также невозмущенный покоящийся газ.

Решение получено на разностной сетке с начальным размером ячеек по первой подобласти

газа 0,05 см, по пакету сеток и поровому газу − 0,1 см. В расчетах анализируются контактные

давления в точках подобластей газа, граничащих с сеткой: смr 81 , смr 5.102 . Сравнение

100

результатов расчетов по оригинальному алгоритму 1 с результатами, полученными по

«усредненному» алгоритму 2, приведено на рис. 4.33. Здесь показаны давления газа на

контактных границах в точках подобластей газа 1r и 2r (цифры 1' и 2' для расчета по

оригинальному алгоритму 1, 1" и 2" для расчета по «усредненному» алгоритму 2).

Рис. 4.33. Давление газа на контактных границах.

Как и в предыдущем тесте с плоской волной, наблюдается существенное завышение

амплитуды отраженной ударной волны при использовании алгоритма 2. В то же время

амплитуды волн, проходящих через пакет сеток, оказываются близкими для обоих вариантов

контактных алгоритмов. Изменение контактной нагрузки вызывает и изменение во времени

смещений границ сетки, которые приведены на рис. 4.34.

Рис. 4.34. Изменение во времени смещений границ сетки.

Алгоритм определения контактных параметров, основанный на распаде разрыва на скачке

пористости, дает более точные результаты по сравнению с упрощенным, теоретически менее

обоснованным алгоритмом «усреднения». Проводилось исследование влияния

деформируемости преграды по проходящим волнам. Проведен дополнительный расчет с

недеформируемым пакетом. Полученные амплитуды волн различаются незначительно

(менее 5%).

101

4.4. Численное моделирование взаимодействия взрывных волн с

деформируемыми пакетами сеток

4.4.1. Задача о взрывном воздействии на плоский пакет сеток в

цилиндрической камере

С целью оценки адекватности математической модели и используемой численной

схемы выполнены расчеты деформирования плоского пакета плетеных металлических сеток

под действием взрывной нагрузки. Постановка задачи соответствует условиям проведения

экспериментов, результаты которых представлены в [76]. Плоский пакет сеток размещается

на торце жесткой цилиндрической камеры, на оси симметрии которой на определенном

расстоянии от поверхности пакета помещен сферический заряд взрывчатого вещества (ВВ)

ТГ 50/50 (рис. 4.35). Эксперименты проводились в двух вариантах. В первом варианте на

поверхность пакета сеток устанавливалась круглая тонкая стальная пластина диаметром 80

мм и толщиной 3 мм, препятствующая проникновению ударной волны и затеканию воздуха

в пакет сеток. В этом случае поровый газ фактически не оказывал влияния на деформацию

пакета. Во втором варианте пластина отсутствовала, воздух проникал в поры пакета и

взаимодействовал с ним. В экспериментах [76] варьировались толщины пакетов сеток

3L =5.4см и 3L =10.8см, а также массы зарядов BBm =9.5г и BBm =14.6г. Использовались сетки

c размером ячейки 2l мм, и диаметром проволоки 5.0d мм. Среда принималась

двухфазной. В расчетах данной задачи принимались следующие значения параметров пакета

сеток: 14.020 , 1400 n см-3, 64.01 , 09.120 , 2931020 TT К, 16.0cd см,

5

1 1071.1 Па·с, 2

11 100053.04.1 Т Вт/(м·К), 10002.065.01

TcV Дж/(г·К),

5.02 с Дж/(г·К). Диаграммы на растяжение и сжатие задаются табличным образом и

приведены на рис. 4.1-4.2. Разгрузочный при сжатии модуль ГПаЕ 20 .

102

Рис. 4.35. Постановка задачи.

В экспериментах замерялись зависимости смещения пластины от времени. На рис. 4.36-4.42

приведены результаты расчетов взрывного нагружения пакетов сетки по ППП UPSGOD 2D

(варианты 1 и 2) по первой схеме нагружения, т.е. через пластину, где отсутствует

протекание газа через слои сетки. При моделировании взрыва использовалась модель

мгновенной волновой детонации. В результате взрыва возникает сложная волновая картина

взаимодействия ударных волн с боковыми и торцевыми стенками взрывной камеры (они

полагались жесткими) и пакетом сетки. На рис. 4.36 показаны зависимости от времени

давления газа на пластину и давления сетки на дно взрывной камеры для варианта 1

( 3L =5.4см, BBm =9.5г) в различных точках.

103

Рис. 4.36. Давление газа на пластину для варианта 1 ( 3L =5.4 см, BBm =9.5 г).

На рис. 4.37 показаны в едином масштабе давления сетки на дно камеры в точках. Несмотря

на значительные отличия в давлении газа в различных точках пластины, результирующие

зависимости от времени давления сетки на дно камеры близки и по фазам и по амплитудам.

Это свидетельствует о фактической одномерности процесса сжатия сетки. Различие

расстояний, на которые перемещаются точки, расположенные на оси симметрии и вблизи

боковой стенки, не превышало 10%.

Рис. 4.37. Давления сетки на дно камеры в едином масштабе.

104

Эти выводы подтверждаются и поведением скоростей сетки в различных точках (рис. 4.38).

Еще меньшее отличие наблюдается и в кривых смещения пластины (и, следовательно, в

верхних слоях пакета сеток).

Рис. 4.38. Скорости сетки в различных точках.

На рис. 4.39 показаны зависимости от времени смещения пластины в точке “В” (сплошные

линии) для вариантов 1 (54 слоя) и 2 (108 слоев сетки) в сравнении с экспериментом [76]

(линии с маркером), численные результаты Абакумова А.И. и др. [76] отмечены пунктиром.

Рис. 4.39. Смещения в зависимости от времени.

Количественное и качественное соответствие численных и экспериментальных кривых

смещений пластины говорит об адекватности используемой математической и численной

модели деформирования пакета сеток в отсутствие протекания газа через ее слои. Другие

характеристики процесса взрывного нагружения сетки (для варианта 2) показаны на рис.

4.40-4.42.

105

Рис. 4.40. Давление газа на пластину для варианта 1 ( 3L =10.8 см, BBm =14.6 г).

Рис. 4.41. Давления сетки на дно камеры в едином масштабе.

106

Рис. 4.42. Скорости сетки в различных точках.

Проведены аналогичные расчеты без пластины на поверхности пакета сеток, то есть

с учетом проникающего газа в соответствии с первым вариантом нагружения. На рис. 4.43

показано смещение лицевой поверхности пакета сеток в точке «А» (на оси).

Рис. 4.43. Зависимость расстояния, на которое перемещается лицевая поверхность пакета

сеток, от времени. Без учета затекания газа в пакет сеток (с пластиной): 1 —

экспериментальные данные [76]; 2 – численные результаты Абакумова и др. [76], 3 —

результаты расчета в UPSGOD 2D. С учетом затекания газа в поры пакета сеток (пластина

отсутствует): 4 – остаточное смещение лицевой поверхности пакета сеток из экспериментов

[76]; 5 – численные результаты Абакумова и др. [76], 6 — результаты расчета в UPSGOD 2D.

Видно различие по перемещениям между вариантами с пластиной и без, а именно газ,

затекая, препятствует деформации сетки. В процессе нагружения пакет сеток испытывает

деформации 7.06.0 zz . В эксперименте с учетом затекания газа измерялись остаточные

107

перемещения лицевой поверхности пакета сеток. Эти значения оказались в среднем на 23%

меньше, чем в экспериментах без учета затекания газа. Сравнение кривых показывает, что

предложенная модель адекватно описывает процесс динамического сжатия пакетов сеток и с

учетом влияния порового газа. Анализ численных решений показал, что газодинамические

процессы в поровом газе происходят в несколько раз быстрее деформационных процессов в

скелете среды. В тот момент, когда деформационная волна сжатия достигает жесткой стенки,

ударная волна, отраженная от нее, взаимодействует с набегающим импульсом на лицевой

поверхности пакета, препятствуя дальнейшему сжатию слоя сеток. Это иллюстрирует

поведение распределений давления и скорости по координате вдоль оси OZ в различные

моменты времени. Цифрами 1, 2, 3, 4 на рис.4.45 отмечены скорости и давления в моменты

времени 0.01, 0.03, 0.05, 0.1 мс по газу, цифрами 1", 2", 3", 4" - по сетке в те же моменты

времени.

Рис. 4.44. Распределение скорости по координате.

Рис. 4.45. Распределение давления по координате.

108

4.4.2. Взаимодействие взрывной волны с цилиндрическим пакетом

плетеных сеток

С целью дальнейшей верификации численной методики, а также для оценки

эффективности использования пакетов сеток для уменьшения взрывного воздействия

проведены расчеты процессов распространения ударных волн через цилиндрический пакет

плетеных сеток. Известны результаты экспериментов, проведенные ФГУП «ФЦДТ» А. Н.

Осавчуком, В. Н. Куликовым, в которых получены амплитуды ударных волн, проходящих

через цилиндрический многослойный рулонированный пакет металлических плетеных сеток

при взрыве цилиндрического заряда конечной длины [113, 114]. Схема и фотография

эксперимента показаны на рис. 4.46, 4.47. Ось заряда совпадает с осью цилиндрического

пакета сетки. На расстоянии 1R и 2R от оси заряда расположены датчики для измерения

давления после взрыва ( смRR 2012 ) Плоскость размещения датчиков совпадает с

серединой заряда (на высоте 90 см). Цилиндрический пакет высотой см180 расположен на

плоском пакете сеток.

Рис. 4.46. Схема экспериментов.

109

Рис. 4.47. Фотография эксперимента.

В эксперименте рассматривался цилиндрический пакет сетки со следующими

параметрами:

Количество

слоев в

пакете сетки

Диаметр

проволоки,

d (мм)

Размер

ячейки,

l (мм)

Внутренний

диаметр

пакета (см)

Внешний

диаметр

пакета (см)

21 1.5 25 108 118

Таблица 4.9. Параметры сетки

Эксперимент проводился для тротилового цилиндрического заряда конечной длины со

следующими параметрами:

Масса заряда (г) Диаметр заряда (см) Длина заряда (см)

200 4 10

Таблица 4.4. Характеристики заряда

Скорость детонации во взрывчатом веществе составляет 7000-7200м/с. В связи с тем, что

параметры ударной волны от заряда такого вида свести к одномерным зависимостям

110

сферического или цилиндрического взрыва не удается, то для определения параметров

набегающей взрывной ударной волны получено численное решение осесимметричной

двумерной задачи взрыва цилиндрического заряда в воздухе, что само по себе представляет

сложную задачу.

Постановка осесимметричной задачи для численных исследований распространения

взрывных волн через цилиндрический пакет сеток соответствовала условиям проведения

экспериментов и приведена на рис. 4.48. На внешних границах расчетной области

реализуются условия «свободного вытока», а на границах 0z и 0r – «жесткой стенки».

Характерный размер ячеек разностных сеток в области течения смеси газа и продуктов

детонации варьируется от 0.2 до 10 см. Количество ячеек, описывающих пакет сеток около

600, воздух – 120. В расчетах принимались следующие параметры пакета сетки: 95.010 ,

05.020 , 72.00 n см-3, 89.0r , 477.0z , 4.020 г/см3, 2931020 TT К. При t=0

сетка и окружающий воздух покоятся, 1.00 р МПа.

Рис. 4.48. Постановка задачи в ППП UPSGOD 2D.

Оценка защитных свойств многослойной преграды из металлической сетки проведена на

основании сравнения полей газодинамических параметров, полученных в расчетах с сеткой и

без сетки. Задача является существенно двумерной. Для оценки влияния сетки на параметры

проходящих волн, проведены также расчеты процессов взрыва цилиндрического заряда в

111

воздухе без сетки. Движение детонационной волны по заряду описывается моделью лучевой

детонации. Отсчет времени (мс) ведется от момента подрыва заряда ВВ, который

осуществляется в центре его верхнего сечения. На рис. 4.49 показаны поля давления без

пакета сетки. Изолинии давления, изображенные на этих рисунках, приведены в

относительных величинах 0/ рр .

Рис. 4.49. Поле давления, без сетки.

112

Происходит отражение от опорной поверхности, над которой расположен заряд,

наблюдается сложная система волн. Взаимодействие падающих и отраженных волн

порождает возникновение вторичной волны, отраженной от оси симметрии и движущейся

вслед за первой. Рассматриваемые волны отличаются по форме фронтов от сферических, что

свидетельствует о существенной неодномерности происходящих процессов.

Далее приведены результаты решения задачи взаимодействия взрывных волн от

этого же заряда с деформируемым цилиндрическим пакетом сеток. На рис. 4.50а-е

представлена эволюция распространения через сетку волн сжатия от центра взрыва к

периферии.

113

Рис. 4.50. Эволюция распространения волн сжатия

Для оценки степени влияния газопроницаемой преграды на параметры проходящих УВ

анализируются полученные численно временные зависимости газодинамического давления в

двух датчиках. На рис. 4.51 а, б представлено давление в зависимости от времени в первом и

втором датчиках в случае отсутствия пакета сеток и, при его наличии.

114

Рис. 4.51, а. Давление в датчике R1. Красная – 1 – без пакета сетки, синяя -2 – с сеткой.

Рис. 4.51, б. Давление в датчике R2. Зеленая – 1 – без пакета сетки, фиолетовая -2 – с сеткой.

Видно, что наличие пакета сеток снижает максимальные амплитудные значения давления

примерно на 15–20%. При этом интервал времени действия положительной фазы импульса

избыточного давления растягивается.

Полное силовое воздействие УВ можно оценить по временным зависимостям

импульса, подсчитанного путем суммирования произведения избыточного давления на

115

временной интервал его действия: dtptpImp

t

0

0 . На рис. 4.52 а, б представлены

кривые поведения суммарного импульса избыточного давления.

Рис. 4.52, а. Импульс в датчике R1. Красная – 1 – без пакета сетки, синяя -2 – с сеткой.

Рис. 4.52, б. Импульс в датчике R2. Зеленая – 1 – без пакета сетки, фиолетовая -2 – с сеткой.

Отметим, что наличие сетки также снижает импульс УВ от взрыва примерно на 12–15%. Во

втором датчике, расположенном на большем удалении от оси взрывного заряда – влияние

уменьшается. На рис. 4.53, 4.54 показано сравнение расчетных и экспериментальных

зависимостей избыточного давления от времени в датчиках для рассмотренных выше

вариантов: без преграды и с преградой. Красной линией 1 показаны экспериментальные

кривые, синей линией 2 – численные результаты.

116

Рис. 4.53. Избыточное давление в датчике R1. Без преграды – слева, с преградой - справа.

Экспериментальные данные (опыт 4) – кривая 1 (синий цвет), численные результаты –

кривая 2 (красный цвет).

Рис. 4.54. Избыточное давление в датчике R2. Без преграды – слева, с преградой - справа.

Экспериментальные данные – кривая 1 (синий цвет), численные результаты – кривая 2

(красный цвет).

Применяемые численные методы и методика приводит к некоторому сглаживанию пиковых

значений давления и соответствующему размазыванию волновых профилей, как при

наличии, так и при отсутствии пакета сеток. Тем не менее, относительный эффект снижения

давления газа в проходящей ударной волне соответствует наблюдаемому в экспериментах.

Результаты сравнения численных и экспериментальных данных свидетельствуют в целом о

достоверности полученных численных результатов по параметрам проходящих ударных

волн.

Цилиндрический пакет сетки под действием динамических нагрузок деформируется

не упруго (рис. 4.55) с появлением необратимых деформаций и приобретает остаточную

колоколообразную форму, которая качественно соответствует остаточной форме пакета в

эксперименте (рис. 4.56).

117

Рис. 4.55. Эволюция действия динамических нагрузок на пакет сеток

Рис. 4.56. Результаты численных расчетов – слева, результаты эксперимента – справа.

Таким образом, разработанные математическая и численная модели могут использоваться

при решении подобных задач и оценки защитных свойств многослойных пакетов

газопроницаемых металлических сеток. Наличие сеточных преград даже с высокой

118

газопроницаемостью заметно снижает как амплитуду, так и величину импульса избыточного

давления в ударной волне.

4.5. Выводы по главе

1. Нелинейные начально-краевые задачи, описывающие взаимодействие ударной

волны с многослойными пакетами металлических сеток в двумерном приближении.

Уравнения строятся на основе моделей динамики взаимопроникающих континуумов, один

из которых – поровый газ, второй – деформируемый скелет пористой среды. Учитываются

силы межкомпонентного взаимодействия и теплообмен между континуумами.

2. Проведены численные исследования двумерных задач распространения

ударной волны от взрыва компактных взрывчатых веществ через пакеты сеток. Численные

результаты сравниваются с экспериментальными данными. Наблюдается хорошее

качественное и количественное соответствие. Относительный эффект снижения давления

газа в проходящей ударной волне соответствует наблюдаемому в экспериментах. Таким

образом, описанная математическая и численная модели могут использоваться при решении

подобных задач и оценки защитных свойств пакетов газопроницаемых металлических сеток.

Наличие сеточных преград даже с высокой газопроницаемостью заметно снижает как

амплитуду, так и величину импульса избыточного давления в ударной волне.

3. Разработанная методика позволяет получать результаты решения подобных

задач в рамках вычислительных комплексов Динамика-1 и UPSGOD 2D.

119

Заключение

Разработана численная методика решения нелинейных двумерных плоских и

осесимметричных задач взаимодействия ударных волн с деформируемыми проницаемыми

преградами. Деформирование проницаемых элементов описывается уравнениями динамики

двух взаимопроникающих континуумов, один из которых – деформируемый скелет пористой

среды, второй – поровый газ. Учитываются большие перемещения и деформации

проницаемых элементов, интенсивные ударные волны, большие перемещения контактных

границ. Для численного интегрирования этих уравнений используется модифицированная

схема С.К. Годунова на эйлерово-лагранжевых подвижных сетках.

Для численного определения контактных сил разработан алгоритм решения

задачи о распаде разрыва на подвижном скачке пористости, связанным с поверхностями

проницаемых элементов. Алгоритм реализован в виде программных модулей на языке

Fortran в Microsoft Visual Studio 2005 для пакетов программ Динамика-1 и UPSGOD 2D.

Верификация алгоритма и программ проведена с помощью вычислительного комплекса

STAR-CCM+ на трехмерных задачах истечения и втекания в дозвуковом и сверхзвуковом

режимах.

Получены результаты численных исследований взаимодействия ударных волн

с проницаемыми недеформируемыми преградами. Показаны особенности газодинамических

процессов формирования отраженных и проходящих ударных волн;

– по результатам численных исследований взаимодействия ударных волн с

гранулированными слоями выявлено, что с увеличением количества слоев

важную роль играют процессы теплообмена между металлом и газом, вязкость

среды, а также плотность упаковки частиц;

– при взаимодействия ударных волн с проницаемыми недеформируемыми

многослойными пакетами плетеных металлических сеток важное значение имеет

количество слоев металлической плетеной сетки в пакете сеток, а также структура

пакета (плотно упакованный или с разнесенными слоями).

Получены результаты численных исследований взаимодействия ударных волн

с проницаемыми деформируемыми многослойными плоскими пакетами плетеных

металлических сеток в составе модельной цилиндрической взрывной камеры. Пакеты сеток

предполагаются ортотропными элементами конструкций, упругопластически сжимаемыми в

направлении нормальном к слоям сеток и упругопластически растяжимыми в направлении

120

нитей. Показано влияние волновых процессов в поровом газе на процессы взрывного

нагружения многослойного пакета сетки;

Численные исследования взаимодействия ударных волн с проницаемым

деформируемым многослойным рулонированным цилиндрическим пакетом плетеных

металлических сеток при нагружении внутренним взрывом цилиндрического заряда

конечной длины, позволили получить параметры проходящих ударных волн, параметры

деформирования проницаемой преграды и оценить ее защитные свойства. Результаты

численных исследований соответствуют известным экспериментальным данным, как по

амплитудам, так и по распределению параметров за фронтом проходящей волны.

Полученные в диссертации результаты являются теоретической основой для оценки

эффективности высокопористых проницаемых защитных элементов, в составе более

сложных реальных конструкций, предназначенных для снижения интенсивности силовых

воздействий.

121

Список литературы

1. Кочетков А.В., Романов В.И., Ходыкина И.А. Моделирование взаимодействия

ударных волн с пористыми газопроницаемыми пакетами металлических сеток. Вестник

Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (4). С. 1546–1548.

2. Глазова Е. Г., Кочетков А.В., Ходыкина И.А. Численное моделирование

пространственного взаимодействия воздушной ударной волны с проницаемым

гранулированным слоем. Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского.

2011. Вып. 6(1). С. 163-168.

3. Глазова Е. Г., Кочетков А.В., Турыгина И.А. Численное моделирование

пространственного взаимодействия ударной волны с проницаемой преградой. Вестник

Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. Вып. 1(1). С. 180–185.

4. Глазова Е.Г., Кочетков А.В., Турыгина И.А. Исследование различных

алгоритмов определения динамических контактных параметров на деформируемых

газопроницаемых элементах конструкций. Проблемы прочности и пластичности. 2015. Т. 77.

№ 3. С. 301–308.

5. Глазова Е.Г., Кочетков А.В., Крылов С.В., Турыгина И.А. Численное

моделирование взаимодействия ударных волн с проницаемыми деформируемыми

многослойными пакетами плетеных сеток. Проблемы прочности и пластичности, 2016. Т. 78.

№ 1. С. 81-91.

6. Кочетков А. В., Крылов С. В., Модин И. А., Турыгина И. А. Моделирование

деформирования пакетов металлических сеток при импульсном нагружении. II

Международный научный семинар «Динамическое деформирование и контактное

взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической

природы», 17-19 февраля 2015 г., Российский научный фонд, Московский авиационный

институт, Тезисы докладов, 2015. С. 57-58.

7. Кочетков А. В., Крылов С. В., Турыгина И. А. Численное моделирование

динамического аэроупругопластического поведения составной цилиндрической оболочки с

газопроницаемым слоем при внутреннем взрывном нагружении. Материалы XXI

Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики

конструкций и сплошных сред», Вятичи, 16-20 февраля 2015 г., Московский авиационный

институт, 2015. С. 107-110.

8. Кочетков А. В., Крылов С. В., Глазова Е. Г., Модин И. А., Турыгина И. А.

Численная модель динамического деформирования газопроницаемой цилиндрической

122

оболочки при внутреннем взрывном нагружении. Материалы XIX Международной

конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным

системам (ВМСППС’15), 24-31 мая 2015 г., Алушта. – М.: Изд-во МАИ, 2015. С. 287-288.

9. Кочетков А. В., Крылов С. В., Глазова Е. Г., Модин И. А., Турыгина И. А.

Нелинейная модель деформирования газопроницаемых преград при взрывном нагружении.

XI всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной

механики. 2015. С. 76. Казань, 20-24 августа 2015. (Эл. версия с. 942-943).

10. Турыгина И.А. Численное моделирование взаимодействия ударных волн с

проницаемыми решетками. Материалы III Всероссийской молодёжной научной конференции

"Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики". Т. 292

/ под ред. М.Ю. Орлова. – Томск. 2013г. С. 48-51.

11. Глазова Е. Г., Кочетков А.В., Турыгина И.А. Численное моделирование

ослабления ударных волн проницаемыми преградами. Материалы международной

молодежной научной конференции "Актуальные проблемы современной механики

сплошных сред и небесной механики". Ч. 1 / под ред. М.Ю. Орлова. – Томск. 2014. С. 101–

103.

12. Е. Г. Глазова, А. В. Кочетков, С. С. Митрофанов, А. С. Николаева, И. А.

Ходыкина. Моделирование взаимодействия деформируемых газопроницаемых пакетов сеток

с ударными волнами. Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные

основы баллистического проектирования», Санкт-Петербург, 28 июня – 2 июля 2010,

Сборник материалов, Т. 2, С. 74-76.

13. Глазова Е. Г., Кочетков А. В., Митрофанов С. С., Николаева А. С., Ходыкина

И. А. Численное моделирование взаимодействия ударной волны со слоем газопроницаемой

среды. V Международная научная конференция «STAR Russian Conference 2010:

Компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности»

(НИИМ ННГУ, Нижний Новгород, 18-19 мая 2010) c. 26.

14. Глазова Е. Г., Кочетков А. В., Ходыкина И. А. Численное моделирование

взаимодействия воздушных ударных волн с проницаемыми преградами. Труды

математического центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной

школы-конференции "Лобачевские чтения - 2011", Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г. Т.

44. С. 113-115.

15. Глазова Е. Г., Кочетков А. В., Крылов С. В., Митрофанов С. С., Ходыкина И. А.

Моделирование взаимодействия ударных волн с газопроницаемыми пакетами металлических

сеток. Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические

123

проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.1. – М.: ООО «ТР-

принт», 13-17 февраля 2012. -204. С. 61-62.

16. Глазова Е. Г., Кочетков М. А., Митрофанов С. С., Ходыкина И. А. Численное

моделирование взаимодействия ударных волн с газопроницаемыми преградами. VII

Международная научно-практическая конференция «STAR Russia 2012: Компьютерные

технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности» (НИИМ ННГУ,

Нижний Новгород, 15-16 мая 2012). С. 37.

17. Глазова Е. Г., Крылов С. В., Турыгина И. А. Численное моделирование

нестационарного взаимодействия ударной волны с проницаемыми преградами. Труды

математического центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы XII Всероссийской молодежной

школы-конференции "Лобачевские чтения - 2013", Казань, 24-29 октября 2013 г. Т. 47. С. 87-

89.

18. Глазова Е. Г., Кочетков А. В., Турыгина И. А. Численное моделирование

пространственного взаимодействия ударной волны с проницаемыми преградами различной

структуры. Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы XIII

Всероссийской молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2014", Казань, 24-29

октября 2014 г. Т. 50. С. 108-110.

19. Глазова Е. Г., Турыгина И. А. Численное моделирование взаимодействия

плоских ударных волн с проницаемыми преградами в трехмерной постановке. Сборник

материалов IX Всероссийской молодежной научно-инновационной школы "Математика и

математическое моделирование", 8-10 апреля 2015г., СарФТИ НИЯУ МИФИ, 2015. С. 16-17.

20. Турыгина И. А. Численное моделирование взаимодействия ударных волн с

проницаемыми многослойными преградами. Материалы докладов XX Нижегородской

сессии молодых ученых. Естественные, математические науки. 19-22 мая 2015г., Арзамас,

2015. С. 198-201.

21. Зарудаев С. Д., Кочетков А. В., Турыгина И. А. Численное моделирование

взаимодействия плоских ударных волн с проницаемыми многослойными преградами в

пакете STAR-CCM+. Материалы Х Международной Научно-практической Конференции

STAR Russian Conference 2015, 19-20 мая 2015 г., Нижний Новгород, 2015. С. 27-29.

22. Турыгина И. А. Численное моделирование взаимодействия ударной волны с

проницаемыми одно- и многослойными преградами в пространстве. Труды математического

центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы XIV Всероссийской молодежной школы-

конференции "Лобачевские чтения - 2015", Казань, 22-27 октября 2015 г. Т. 52. С. 149-151.

124

23. Глазова Е. Г., Кочетков А. В., Турыгина И. А. Численное моделирование

взаимодействия ударных волн с многослойными проницаемыми преградами с

консолидированными или разнесенными слоями. Материалы V Международной молодежная

научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и

небесной механики» Томск, 25–27 ноября, 2015 г. С. 52-53.

24. Глазова Е.Г., Кочетков А.В., Крылов С.В., Турыгина И.А. Численное

моделирование взаимодействия ударных волн с многослойными деформируемыми

проницаемыми преградами. Тезисы докладов IV Международного научного семинара

«Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций

при воздействии полей различной физической природы». 2016. С. 44-46.

25. Б.Е. Гельфанд, М.В. Сильников. Фугасные эффекты взрывов. – СПб.: ООО

«Издательство «Полигон», 2002. – 272 с.

26. Б.Е. Гельфанд, М.В. Сильников. Химические и физические взрывы. Параметры

и контроль. – СПб.: ООО «Издательство «Полигон», 2004. – 416 с.

27. Б.Е. Гельфанд, С.М. Фролов. Приближенный расчет ослабления ударных волн

проницаемыми преградами. ПМТФ, 1990. № 4, с.42–46.

28. С.М. Фролов. Эффективность ослабления ударных волн в каналах различными

способами. ПМТФ. 1993. С. 34-39.

29. Гельфанд Б.Е., Медведев С.П., Поленов А.Н. Взаимодействие нестационарных

волн давления с перфорированными перегородками // Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, №6. С.

174-176.

30. Альтшулер Л.В., Кругликов Б.С. Затухание сильных ударных волн в

двухфазных и гетерогенных средах // ПМТФ. 1984. №5. С. 24-29.

31. G. Ben-Dor, A. Britan, T. Elperin, O. Igra, J. P. Jiang. Mechanism of compressive

stress formation during weak shock waves impact with granular materials //Experiments in Fluids.

1997. V. 22. P. 507-518.

32. G. Ben-Dor, A. Britan, T. Elperin, O. Igra, J. P. Jiang. Experimental investigation of

the interaction between weak shock waves and granular layers. 1997. V. 22 (5). P. 432-443.

33. А. Britan, G. Ben-Dor, T. Elperin, O. Igra, J. P. Jiang. Gas filtration during the

impact of weak shock waves on granular layers. International Journal of Multiphase Flow. 1997. V.

23 (3). P. 473-491.

34. А. Britan, G. Ben-Dor. Shock tube study of the dynamical behavior of granular

materials. International Journal of Multiphase Flow. 2006. V. 32 (5). P. 623-642.

125

35. А. Britan, G. Ben-Dor, O. Igra, H. Shapiro. Development of a general approach for

predicting the pressure fields of unsteady gas flows through granular media. Journal of Applied

Physics. 2006. V. 99.

36. A. Britan, G. Ben-Dor, O. Igra, H. Shapiro. Shock waves attenuation by granular

filters. International Journal of Multiphase Flow. 2001. V. 27 (4). P. 617-634.

37. Britan, T. Elperin, O. Igra, J. P. Jiang. Head-on collision of a planar shock wave with

a granular layer. In: Schmidt, S.C., Tao, W.C. (Eds.), Proceedings of the ISCCM Conference, Part.

2, Seattle, WA, USA. Р. 971-974.

38. Levy A., Ben-Dor G., Sorek S. Numerical investigation of the propagation of shock

waves in rigid porous materials: development of the computer code and comparison with

experimental result // J. Fluid Mech. 1996. Vol. 324. P. 163–179.

39. Баженова Т. В., Гвоздева Л. Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн.

–М: Наука, 1977. 204 с.

40. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.И., Садовников Р. В. Использование

графических процессоров для решения разреженных СЛАУ итерационными методами

подпространств Крылова с предобусловливанием на примере задач теории фильтрации.

Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 1. С. 205–212.

41. О. Ю. Болдырева, А.А. Губайдуллин, Д.Н. Дудко, А.Г. Кутушев. Численное

исследование передачи ударно-волновой нагрузки экранируемой плоской стенке через слой

порошкообразной среды и разделяющей их воздушный зазор. ФГВ, 2007. Т. 43 №1. С. 132-

142.

42. Г.С. Григорьев, В.Е. Клаповский, В.В. Кореньков, В.Н. Минеев, Е.С.

Шахиджанов. Оценка эффективности перфорированных структур при проектировании камер

для импульсной обработки материалов. ФГВ, 1987. №1. С. 106-110.

43. В. Е. Клаповский, В. Н. Минеев, Г. С. Григорьев, В. Ю. Вершинин, А. Ю.

Логвенов. Ослабление воздушной ударной волны перфорированными преградами. ФГВ,

1983. №5. С. 115-116.

44. Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин, С. М. Когарко, О. Е. Попов. Исследование

особенностей распространения и отражения волн давления в пористой среде. ПМТФ, 1975.

№6. С. 74-77.

45. Гельфанд Б.Е., Губанов А.Б., Тимофеев Е.И. Взаимодействие воздушных

ударных волн с пористым экраном // Известия АН СССР, МЖГ, 1983, №4. С. 54-79.

46. Л. Г. Гвоздева, Ю. М. Фаресов, В. П. Фокеев. Взаимодействие воздушных

ударных волн с пористыми сжимаемыми материалами. ПМТФ, 1985. №3. С. 111-115.

126

47. Л. Г. Гвоздева, Ю. М. Фаресов. Приближенный расчет параметров

стационарных ударных волн в пористых сжимаемых материалах. ПМТФ, 1986. №1. С. 120-

125.

48. Гвоздева Л.Г., Фаресов Ю.М. О взаимодействии ударной волны со стенкой,

покрытой пористым сжимаемым материалом // Письма в ЖТФ, 1984. Т. 10. Вып. 19. С. 1153-

1156.

49. Гвоздева Л.Г., Фаресов Ю.М. О расчете параметров стационарных ударных

волн в пористой сжимаемой среде // ЖТФ, 1985. Т. 55. Вып. 4. С. 773-775.

50. Кругликов Б.С., Кутушев А.Г. Ослабление ударных волн экранирующими

решетками // ФГВ. 1998. Т. 24. №1. С. 115-118.

51. Кутушев А.Г., Родионов С.П. Численное исследование влияния параметров

слоя насыпной среды и падающей ударной волны на давление на экранируемой плоской

стенке // Физика горения и взрыва. 1999. Т. 35. №2. С. 105-113.

52. Мельцас В.Ю., Портнягина Г.Ф., Соловьев В.П. Численное моделирование

прохождения ударных волн через экранирующие решетки. ВАНТ. 1993. Вып. 3. С. 26–31.

53. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред. С.К.

Годунова. М.: Наука, 1976.

54. Федоров А.В., Фомин В.М. К теории комбинированного разрыва в газовзвесях

// Физическая газодинамика реагирующих сред. Новосибирск, 1990. C. 128–134.

55. Киселев С.П., Фомин В.М. Соотношения на комбинированном разрыве в газе с

твердыми частицами // ПМТФ. 1984. №4. С. 112–119

56. Федоров А. В. Структура комбинированного разрыва в газовзвесях при

наличии хаотического давления частиц // ПМТФ. 1992. №5. С. 36–41.

57. Гувернюк С.В., Лоханкский Я.К., Савинов К.Г. О численном исследовании

аэродинамики тонкостенных проницаемых экранов. Парашюты и обтекаемые тела. М.: Изд-

во МГУ, 1987. С. 119-125.

58. Гувернюк С.В. Адиабата проницаемой поверхности // Аэромеханика и газовая

динамика. 2002. № 3. С. 84-89.

59. Парашюты и проницаемые тела: [Сб. ст.] / МГУ им. М. В. Ломоносова, Ин-т

механики; Под ред. Х. А. Рахматулина, М. П. Фалунина. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 144 с.

60. М. А. Ильгамов. Введение в нелинейную гидроупругость. — М.: Наука. 1991.

200 с.

127

61. Аганин A.A. Взаимодействие газа с тонкими телами изменяемой геометрии

при наличии конструктивной проницаемости //Взаимодействие оболочек со средой. Труды

семинара. Казань: КФТИКФАН СССР. 1987, №20. С.70-90.

62. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование

взаимодействия парашюта с газом //Труды 8-Дальневосточной конференции по мягким

оболочкам. Владивосток. 1987. С.96-99.

63. Rogg B., Hermann D., Adomeit G. Shock induced flow in regular arrays of cylinders

and packed beds // Int. J. Heat Mass Transfer, 1985, v. 28, №12. Р. 2285-2298.

64. Zloch N. Shock attenuation in beds of granular solids // Archiv. Mech. Stosow.-

1976. –V. 28, №5-6. Р. 817-825.

65. Б. Е. Гельфанд, С. П. Медведев, А. Н. Поленов, С. М. Фролов. Передача

ударно-волновой нагрузки насыпными средами. ПМТФ, 1988. №2. С. 115-121.

66. А. Г. Кутушев, С. П. Родионов. Взаимодействие слабых ударных волн со слоем

порошкообразной среды // Физика горения и взрыва. 2000. Т. 36. №3. С. 131-140.

67. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1, 2. М: Наука, 1987.

68. Губайдуллин А.А., Дудко Д.Н., Урманчеев С.Ф. Моделирование

взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном // ФГВ. 2000. Т. 36. № 4. С.

87–96.

69. С.П. Медведев, С.М. Фролов, Б.Е. Гельфанд. Ослабление ударных волн

насадками из гранулированных материалов. Инженерно-физический журнал. 1990. Т. 58 №6.

С. 924-928.

70. С. М. Фролов, Б. Е. Гельфанд Ослабление ударных волн в газовзвесях //

ПМТФ. 1991. №1. С. 130–136.

71. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Миллер Л.Г. К распаду произвольного разрыва на

перфорированной перегородке // ПМТФ. 1981 № 3. С. 95 - 103.

72. Dain C. G., Hodgson J.P. Generation of weak shock waves in a shock tube //

Aeronaut. Quart.- 1974. V. 25. №2. P. 101-108.

73. Mori Y., Hijikata K., Shimizu T. Attenuation of shock wave by multi-orifice. Proc.

Xth symp. Intern. on shock tubes and waves, Kyoto. 1973. P. 400-407.

74. Косточко Ю.П. Взаимодействие ударных волн с проницаемой поверхностью //

Тр./Том. гос. ун-т, НИИ ПММ.– 1974.– Т. 5. С. 106-112.

75. Tong, K.O., Knight, C.J., Srivastava, B.N. Interaction of weak shock waves with

screens and honeycombs. AIAA J. 1980. V. 18, N 11. Р. 1298-1305.

128

76. Абакумов А. И., Заикин С. Н., Мельцас В. Ю. и др. Численная модель

деформирования противоосколочной сетки при взрывном нагружении // Математическое

моделирование физических процессов: Тр. Всерос. науч.-исслед. ин-та эксперим. физики.

2006. № 10. С. 16–30.

77. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений //Вычислительные методы в

гидродинамике / М.: Мир, 1967. C. 212-263.

78. Герасимов А. В., Пашков С. В., Христенко Ю. Ф. Защита космических

аппаратов от техногенных и естественных осколков. Эксперимент и численное

моделирование // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2011. № 4(16). C. 70–78.

79. Шумихин Т.А., Мягков Н.Н., Безруков Л.Н. Сравнительная оценка начала

фрагментации ударника на дискретном и сплошном экране. Механика композитных

материалов и конструкций. 2011. Т. 17, №1. С. 61-69.

80. Е. Г. Глазова, А. В. Кочетков. Численное моделирование взаимодействия

деформируемых газопроницаемых пакетов сеток с ударными волнами. ПМТФ, 2012. №3.

С.11–19.

81. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. – М.: Изд-во МГУ, 1990, 310 с.

82. Люкшин Б.А., Герасимов А.В., Кректулева Р.А., Люкшин П.А. Моделирование

физико-механических процессов в неоднородных конструкциях. –Новосибирск.: Изд-во СО

РАН, 2001. 272 c.

83. Теоретические и экспериментальные исследования высокоскоростного

взаимодействия тел. / Под ред. А.В. Герасимова. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 572с.

84. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир, 1989.

85. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике

деформируемых твердых тел.- Казань, ДАС, 2001, 301 с.

86. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов

деформирования и разрушения материалов и конструкций. Монография. – Н. Новгород:

Издательство Нижегородского государственного университета, 1999. 226 с.

87. Капустин С.А. Метод конечных элементов в задачах механики деформируемых

тел. Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. 180 с.

88. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач

динамики твердого тела. //Пробл. динамики упругопластических сред. – М.: Мир, 1975, C.

39-84.

129

89. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов

деформирования и разрушения упругопластических сред. //Успехи механики. 1985. Т. 8. №4.

С. 21-65.

90. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Кибец А.И., Садырин А.И., Чекмарев Д.Т.

Нелинейные задачи динамики конструкций// Математическое моделирование. 2000. Т. 12. N.

6. С. 47-50.

91. Фомин В.М., Ческидов П.А. Упругопластическая модель пористой среды,

насыщенной газом // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности:

Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ИТПМ. 1982. С. 33–39.

92. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических

сред с повреждениями. – М.: ФИЗМАТЛИТ. 2008. – 424 с.

93. Фомин В.М., Гулидов А.И., Садырин А.И. и др. Высокоскоростное

взаимодействие тел // Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1999. 600 с.

94. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения задач

нестационарной динамики тонкостенных конструкций //Изв. РАН МТТ, 2001, №5, С. 156-

173.

95. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод «крупных

частиц» для газодинамических расчетов. –Журн. Вычисл. Математики и мат. Физики, 1971,

11, №1, С. 182-207.

96. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1, 2. М.: Мир,

1991.

97. Пейре Р., Тейлор Т. Вычислительные методы в задачах механики жидкости/

Пейре Р., Тейлор Т. – Л: Гидрометеоиздат, 1986.

98. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. – М.:

Мир, 1972, 418 с.

99. Метод распада разрывов в динамике упругопластических сред / М.Х. Абузяров,

В.Г. Баженов, В.Л. Котов, А.В. Кочетков, С.В. Крылов, В.Р. Фельдгун // ЖВМиМФ. – 2000. –

Т. 40, №6. – С. 940-953.

100. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1973.

101. Аганин A.A. Взаимодействие газа с тонкими телами изменяемой геометрии

при наличии конструктивной проницаемости //Взаимодействие оболочек со средой. Труды

семинара. Казань: КФТИКФАН СССР. 1987, №20. С.70-90.

130

102. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах /

Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П., Фомин В.М., Шавалиев М.Ш. Новосибирск: ВО

«Наука», Сибирская издательская фирма, 1992. 261 с.

103. Документация, сопровождающая вычислительный комплекс STAR-CCM+

7.02.008.

104. Spalart P. R., Allmaras S. R. “A one-equation turbulence model for aerodynamic

flows”, AIAA Paper 1992-0439.

105. И.А. Белов, С.А. Исаев. Моделирование турбулентных течений: учебное

пособие. Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108 с.

106. А.В. Гарбарук, М.Х. Стрелец, М.Л. Шур Моделирование турбулентности в

расчетах сложных течений: учебное пособие. – СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. – 88 с.

107. Кузьмичева Г.М. Теория плотнейших шаровых упаковок и плотных шаровых

кладок: Учебное пособие. - М.: МИТХТ, 2000. - 36 с.

108. Л. Ф. Тот. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. Перевод с

немецкого И.М.Макаровой. М., Физматлит, 1958 — 364 с.

109. Краткий справочник физико-химических величин под редакцией К.П.

Мищенко и А.А. Равделя, Л.: Химия, 1974 г. – 200 с.

110. Краткий справочник физико-химических величин под редакцией А.А. Равделя,

А.М. Пономаревой.-СПб.: Специальная литература, 1998 г. – 232 с.

111. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

112. Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. –М:

Издательство иностранной литературы, 1950.

113. Осавчук А.Н., Глазова Е.Г., Митрофанов С.С., Дикий А.А., Куликов В.Н.

Экспериментально-расчетные исследования процесса распространения ударной волны через

цилиндрический пакет из металлической сетки. Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. 2011. Вып. 4(4). С. 1436–1438.

114. Е.Г. Глазова, А.В. Кочетков, С.В. Крылов, С.С. Митрофанов, А.Н. Осавчук,

А.А. Дикий, В.Н. Куликов Численно-экспериментальное исследование распространения

ударных волн через цилиндрические пакеты металлических сеток. Вестник Нижегородского

университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Вып. 5(1). С. 122–129.

115. Абузяров М.Х., Крылов С.В., Цветкова Е.В. Моделирование

упругопластического взаимодействия с помощью программного комплекса UPSGOD.

Проблемы прочности и пластичности. 2013. Вып. 75(1). С. 25–32.

131

116. Горохов А.Н., Казаков Д.А., Кочетков А.В., Модин И.А., Романов В.И.

Исследование деформационных свойств пакетов плетеных металлических сеток при

квазистатическом сжатии и растяжении. Проблемы прочности и пластичности. 2014. Вып.

76(3). С. 251-256.

117. Абузяров М.Х., Глазова Е.Г., Кочетков А.В., Крылов С.В., Романов В.И.,

Сырунин М.А. Моделирование взаимодействия ударных волн с деформируемыми

газопроницаемыми преградами. Проблемы прочности и пластичности, 2010. Вып. 72. С. 120–

129.

118. Ergun, S. Fluid flow through packed columns / S. Ergun // Chem. Eng. Progress. −

1952. − V. 48, №2. − P. 89−94.

119. Крайко А.Н., Миллер Л.Г., Ширковский И.А. О течениях газа в пористой среде

с поверхностями разрыва пористости // ПМТФ. 1982 № 1. С. 111 - 118.

120. Крайко, А.Н. К теории двужидкостных течений газа и диспергированных в нем

частиц / А.Н. Крайко // Гидродинамика и теплообмен в двухфазных средах. – Новосибирск:

ИТФ СО АН СССР, 1981. – С. 42–52.

121. Яушев И.К. Распад произвольного разрыва в канале со скачком площади

сечения. Изв. СО АН СССР. 1967. №8. Сер. техн. наук. Вып. 2. С. 109-120.

122. Дулов В.Г., Лукьянов Г.А. Газодинамика процессов истечения. Новосибирск:

Наука, 1984. 234 с.

123. M. Abouiarov, H. Aiso. An application of retroactive characteristic method to

conservative scheme for structure problems (elastic-plastic flows) // Hyperbolic Problems, Theories,

Numerics, Applications. Tenth International Conference in Osaka. September 2004, Copyright 2006

by Yokohama Publishers, p. 223-230.

124. Демидов В. Н., Корнеев А. И. Численный метод расчета упругопластических

течений с использованием подвижных разностных сеток / Том. ун-т. Томск, 1983. Деп. в

ВИНИТИ 01.06.83, № 2924.

125. Немнюгин М.А., Стесик О.Л. Современный Фортран. Самоучитель. – СПб.:

БХВ-Петербург, 2005. – 496 с.

126. Афанасьев С.Б., Баженов В.Г., Кочетков А.В., Фельдгун В.Р. Пакет

прикладных программ "Динамика-1". Прикладные проблемы прочности и пластичности.

Автоматизация научных исследований по прочности: Всесоюз.межвуз. cб./Горьк.ун-т. 1986.

C. 21-29.

127. Физика взрыва. Под ред. Л.П. Орленко. Т. 1. М.: Физматлит, 2002. 832 с.