dispense fisica 2
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04/03/01 1.1
1. Aspetti fenomenologici
Introduzione all’elettromagnetismo
Tutti i fenomeni della realtà quotidiana sono di naturaelettromagnetica
L’interazione elettromagnetica è molto più intensa di quellagravitazionale:
Rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale tra dueprotoni:
|Fe|/|Fg| = 1036
La materia è stabile grazie alla sostanziale neutralitàelettrica
Differenza tra Meccanica ed Elettromagnetismo
Meccanica: la forza è dominante
Elettromagnetismo i campi sono dominanti
Cenni storici
L’esistenza di fenomeni elettrici è nota dall’antichità
Elektron = ambra in greco
Studio sistematico dalla II metà del 700
Coulomb, Faraday, Maxwell
04/03/01 1.2
Elettrizzazione per strofinio
Se strofiniamo una bacchetta di ambra (plastica) o vetrocon un panno questa attrae piccoli pezzi di carta
Una bacchetta di ambra attrae una bacchetta di vetrosospesa ad un filo e respinge una bacchetta di ambra
Esistono cariche di 2 tipi che chiamiamo + e –
Alcuni materiali non si caricano per strofinio
Questo avviene perché le cariche si disperdono (conduttori)
Se consideriamo un conduttore con un manico isolantequesto si carica per strofinio
Isolanti e conduttori (struttura microscopica)
La materia è costituita da atomi:
Nucleo con protoni e neutroni (mp=mn=10-27kg, carica +)
Elettroni (me = 10-30 kg, carica -)
A = numero di massa, Z = numero atomico
Le proprietà della materia sono determinate dagli elettroni
Negli isolanti gli elettroni sono “legati” agli atomi o allemolecole
Nei conduttori gli elettroni degli “orbitali esterni” sono liberidi muoversi in tutto il materiale
Conservazione della carica
Nell’elettrizzazione per strofinio la carica viene ridistribuita
04/03/01 1.3
Alcuni elettroni (ad esempio 106) si trasferiscono dal vetro alpanno (carica -) o dal panno all’ambra (carica +)
La carica NON si crea ma si ridistribuisce
Quando si generano delle particelle a partire da energia(creazione di coppie e+ e-) la carica si conserva (qtot = 0)
La conservazione della carica deriva da una simmetria dellanatura
Quantizzazione della carica
Da raffinati esperimenti si è osservato che le cariche liberesono multiple della carica fondamentale (carica edell’elettrone e del protone)
e = 1.6 10-19 C
Questa carica è così piccola che negli esperimenti usuali lacarica può essere considerata continua
Esperimento di Millikan → misura della carica dell’elettrone
L’elettroscopio a foglie
L’elettroscopio a foglie mette in evidenza la presenza dicariche su un materiale (isolante o conduttore)
Funziona anche senza contatto. Come e’ possibile ?
Induzione elettrostatica
L’induzione elettrostatica permette di caricare unconduttore senza contatto
04/03/01 1.4
La carica elettrica come grandezza fisica
Definizione: Un insieme di enti costituisce una classe digrandezze fisiche quando tra gli enti è possibile stabilire relazionidi confronto (uguale, maggiore e minore) ed effettuare leoperazioni di somma e differenza (e quindi di prodotto per unnumero e di rapporto)
L’elettroscopio consente di effettuare operazioni diconfronto tra le cariche possedute da due corpi
Possiamo sommare le cariche o meglio dividerle per unfattore arbitrario (mediante ridistribuzione su conduttoriuguali)
⇒ La carica e’ una grandezza fisica
Per misurarla usiamo un procedimento indirettoconsiderando la forza che si esercita tra due corpi carichi(forza di Coulomb)
In questo modo sarebbe possibile definire la carica elettricacome grandezza derivata
È preferibile definire la carica come grandezzafondamentale
In realtà si definisce come grandezza fondam. la carica perunità di tempo (intensità di corrente)
04/03/01 2.5
2. Il campo elettrostatico
Legge di Coulomb
Per studiare la legge di Coulomb usiamo una bilancia ditorsione
r221
r
qqk uF =
ATTENZIONE: La forza agente su una carica elettrica èdata da questa espressione solo se la carica è ferma(elettrostatica)
Si noti la dipendenza della forza elettrica dall’inverso delquadrato della distanza. Verifica indiretta (Th. di Gauss)
La forza è centrale come la forza gravitazionale
La forza è attrattiva o repulsiva a seconda del “segno” dellecariche
Diverse espressioni della costante k
Sistema c.g.s. k = 1 ⇒ carica = unità derivata
Sistema Internazionale k = 1/(4πε0) ⇒ Carica unitàfondamentale (coulomb)
In realtà come unità fondamentale si definisce l’ampere (A)= 1 coulomb/1 secondo
ε0 = 8.85 10-12 C2 kg-1m-3s2 [oppure più usualmente Farad/m]
12
122
12
21
0r2
12
21
0 rr
qq4
1
r
qq4
112
ruF
πε=
πε=
04/03/01 2.6
La forza tra due cariche di 1 C ad un metro è di 109 N !!
Il coulomb è una unità molto grande
In un sistema di riferimento cartesiano:
( ) ( ) ( )[ ] 23221
221
221
21
0
21x
zzyyxx
xx4
qqF
−+−+−
−πε
=
...F
...F
z
y
=
=
Il principio di sovrapposizione
Il legame tra forze e carica è lineare ⇒
Vale il principio di sovrapposizione
Legge di composizione vettoriale per la forza agente tra piùcariche
∑πε=
i i
i2
i
i
0 rr
qq4
1 rF
Il campo elettrostatico
Nella legge di Coulomb possiamo pensare che una caricaelettrica generi una perturbazione nello spazio (campoelettrico) e che l’altra carica ne risenta gli effetti
Per definire il campo elettrico dividiamo la forza per unacarica sonda q0 che deve essere molto piccola
04/03/01 2.7
r20
r20
00 r
q4
1
r
qq4
1q
)z,y,x()z,y,x( uu
FE
πε=
πε==
Scomposizione nelle componenti cartesiane:
( ) ( ) ( )[ ] 2321
21
21
1
0x
zzyyxx
xx4
q)z,y,x(E
−+−+−
−πε
=
...)z,y,x(E
...)z,y,x(E
z
y
=
=
Unità di misura: newton/coulomb (N/C) = kg m s-2 C-1
Piu’ usualmente: volt/metro (V/m)
Ovviamente F = q0 E
Anche per il campo E vale il principio di sovrapposizione
Distribuzione di cariche puntiformi:
∑πε=
i i
i2
i
i
0 rr
q4
1 rE
Distribuzione continua di cariche (volume):
ρ = coulomb/metro3
r20 r
zdydxd)z,y,x(4
1)z,y,x( uE ∫
τ
′′′′′′ρπε
=
Distribuzione continua di cariche (superficie):
σ = coulomb/metro2
04/03/01 2.8
r20 r
dS)z,y,x(4
1)z,y,x( uE ∫
Σ
′′′σπε
=
Distribuzione lineare di cariche:
λ = coulomb/metro
rL
20 r
dL)z,y,x(4
1)z,y,x( uE ∫
′′′λπε
=
Il campo elettrico si rappresenta con le linee di forza e,come vedremo con le superfici equipotenziali
Le linee di forze escono dalle cariche positive ed entranoin quelle negative
Le linee di forze si incontrano solo in corrispondenza dellesorgenti e si chiudono all’infinito
Esempi di campi elettrici:
Carica puntiforme, 2 cariche uguali, 2 cariche diverse,strato di cariche con distribuzione uniforme
Il lavoro della forza elettrica
La forze elettrica è centrale ⇒ il campo elettrostatico èconservativo
Consideriamo una carica q0 che si muove nel campo Egenerato da una carica q. Il lavoro della forza elettrica è:
drr4
qqcosdsq
rd
qdqddL2
0
0000 πε
=ϑ=⋅=⋅=⋅= Esr
EsEsF
04/03/01 2.9
−πε
=πε
=⋅= ∫∫→BA0
0B
A 20
0B
ABA r1
r1
4qq
r
dr4qq
dL sF
Se il punto B è all’∞:
r1
4qq
L0
0p πε
=∞→
Definiamo potenziale elettrostatico V in un punto P delcampo generato da una carica puntiforme il lavoro che laforza del campo compie quando la carica + unitaria sisposta da P al riferimento (∞)
r1
4q
)p(V0πε
=
Differenza di potenziale tra 2 punti del campo:
∫ ⋅−=−=∆B
AAB dVVV sE
Lavoro che la forza elettrica compie quando una carica q0 sisposta dal punto A al punto B:
( ) UVVqVqL BA00BA ∆−=−=∆−=→
Il segno (-) che compare nella formula precedente dipendedal fatto che ad un lavoro positivo della forza del campocorrisponde una diminuzione di energia potenziale
In un punto generico del campo: U(p) = q0 V(p)
Se il campo è generato da più cariche puntiformi o da unadistribuzione continua di cariche il potenziale si calcola conil principio di sovrapposizione
04/03/01 2.10
∑πε=
i i
i
0 rq
41
V ∫τ
′−′′′′′′ρ
πε=
rrzdydxd)z,y,x(
41
V0
La circuitazione del campo elettrostatico lungo un percorsochiuso è sempre nulla:
∫ =⋅ 0dsE
Si può dimostrare facilmente dividendo in 2 tratti unqualsiasi percorso chiuso
Il campo elettrostatico è conservativo
Questa circostanza più che un vantaggio è un limite perchéuna carica in moto lungo un circuito chiuso non compirebbelavoro
Non funzionerebbe nessuna macchina elettrica
In condizioni non statiche il campo elettrico non èconservativo
Legame tra potenziale e campo elettrostatico:
Per la definizione di potenziale
( )dzEdyEdxEddV zyx ++−=⋅−= rE
V deve essere una funzione continua e derivabile ⇒
dzzV
dyyV
dxxV
dV∂∂+
∂∂+
∂∂=
Quindi
dzzV
EdyyV
EdxxV
E zyx ∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
04/03/01 2.11
VVgrad −∇=−= EE
Interpretazione geometrica del gradiente:Il gradiente fornisce la direzione di massimo incremento diuna funzione scalare, il verso dell’incremento positivo ed iltasso di incremento
nV
V∂∂=∇ derivata normale
Teorema del gradiente:
sssE dVdgradVddV ⋅∇=⋅=⋅−=
∫ ⋅∇=−=∆B
AAB dVVVV s
Operatore ∇:
zyx zyxuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Può essere scritto anche in altri sistemi di coordinate.Formalmente si presenta come un vettore che deve essereapplicato ad uno scalare o moltiplicato per un altro vettore
In coordinate sferiche:
φϑ φ∂∂
ϑ+
ϑ∂∂+
∂∂=∇ uuu
sinr1
r1
r r
La relazione tra potenziale V e campo E è utile percalcolare il campo
Si calcolano gli integrali di sovrapposizione di una funzionescalare (V) e si ottenere il vettore E tramite la relazione:
04/03/01 2.12
E=-gradV
Rappresentazione di un campo mediante le superficiequipotenziali
Ortogonalità delle linee di forze e delle superfici equipot.
Esempi illustrativi di sup. equipotenziali
Il teorema di Gauss
Definiamo una quantità che deriva da un paralleloidrodinamico e prende il nome di flusso di un vettoreattraverso una superficie
Dato un campo vettoriale v si definisce flusso elementaredel vettore v attraverso la supeficie infinitesima dS ilprodotto:
dSd Nuvv ⋅=ϕ
uN normale alla superficie dS
dScosd ϑ= vv
Il flusso attraverso una superficie estesa S e' datodall'integrale
∫ ⋅=S NdSuvv
Data una superficie chiusa S, si dice flusso uscente delvettore v l’integrale esteso alla superficie chiusa
∫ ⋅=S NdSuvv uN normale uscente
ϑun
v
dS
04/03/01 2.13
Consideriamo una carica puntiforme q ed una superficiesferica con centro in q e raggio R
Il flusso uscente del vettore E attraverso la superficie vale:
( )0
22
0SS NE
qR4
R
q4
1dSdS
ε=π
πε==⋅=ϕ ∫∫ EuE
Il flusso non dipende da R, ma solo dallacarica contenuta entro la superficie
Il risultato ottenuto vale in generale perqualunque superficie chiusa
Consideriamo una generica superficie chiusa S checontenga una carica puntiforme m e calcoliamo il flusso diE
dΩ = angolo solido sotto il quale lasuperficie infinitesima dS e’ vista dalpunto P
r = distanza dell’elemento disuperficie dS da P
l’elemento di superficie dS può essere scritto come
2r
cosdSd
ϑ=Ω ϑΩ=
cosdr
dS2
Integriamo lungo la superficie chiusa S
∫∫ ϑπε
=⋅=φS 2
0S N dScos
r4
qdSuE
M
R G
G
G
M
dsdωur
un ϑ
04/03/01 2.14
04
0S
2
20
qd
4q
cosdr
cosr4
qε
=Ωπε
=ϑΩϑ
πε=φ ∫∫ π
Il teorema di Gauss può essere applicato anche a carichedistribuite con densità ρil flusso del campo E attraverso una superficie chiusa e'pari all'integrale della densità di carica esteso al volumeracchiuso dalla superficie
∫ ρε
=ϕVol
0
d)(1
rr
Il teorema di Gauss consente di calcolare E in tutti i casi incui il sistema presenta particolari simmetrie
Campo elettrico di una sfera con densità di carica ρomogenea e raggio R
Le linee di forza del campo sono radiali per simmetria
il campo E è lo stesso in tutti i punti di una qualunque sup.sferica concentrica con m
Applichiamo il teorema di Gauss ad una generica superficiesferica di raggio r
Per r<R si ha
∫τ ρε
=φ rr d)(1
0
ρ
π
ε=π 3
0
2 r341
r4 E
04/03/01 2.15
03r
ερ=E
Per r>R
0
2 qr4
ε=π E
20 r
q4
1πε
=E
Il campo gravitazionale generato da una distribuzionesferica di carica m è uguale al campo che la stessa caricagenererebbe se fosse tutta nel centro
Strato di caricaCampo nell’intorno di uno strato sup. di carica
0dsEdsEdd21 tt2211 =−=⋅+⋅ sEsE
21 tt EE =
( ) dSdSEEdSdS0
nn2211 12 εσ=−=⋅+⋅ uEuE
0nn 12
EEεσ=−
In definitiva:
n0
12 uEEεσ=−
E r( )
r
V r( )
rR
∝ 1r∝
1r2
∝ r ∝ r2
++++++++++
++++++++++
E1E2
04/03/01 2.16
Le proprietà del campo elettrico in forma locale
Teorema di GaussFlusso attraverso un parallelepipedo infinitesimo
...dydzdxx
dydzd xx +⋅
∂∂++⋅−=φ uA
AuA
...dxdydzx
Ad x +
∂∂=φ
dxdydzz
Ay
A
xA
d zyx
∂
∂+∂
∂+
∂∂=φ
τ⋅∇=τ=φ dddivd AA
Avendo posto:
∂
∂+∂
∂+
∂∂=
zA
y
A
xA
div zyxA
La divergenza di un vettore A in un punto P rappresenta il flussodel vettore A attraverso la sup. che racchiude un elemento divolume dτ nell’intorno di P diviso il volume dτPer un volume esteso:
Il flusso che attraversa elementi di volume adiacenti si elide⇒ resta solo il flusso attraverso la superficie laterale
∫∫ τΣτ⋅∇=⋅=φ ddS)( n AuAA (Th della divergenza)
04/03/01 2.17
Il flusso di un vettore A attraverso una superficie chiusa Σ èpari all’integrale della div A nel volume racchiuso dallasuperficie Σ
Per il campo elettrico:
∫∫∫ ττΣτ
ερ=τ⋅∇=⋅=φ dddS)(0
n EuEE
Quindi: 0ε
ρ=⋅∇ E
Nel vuoto:
0=⋅∇ E
Conservatività del campo elettrico
Rotore di un campo vettoriale
Circuitazione lungo un percorso rettangolare element. ⊥ z
[ ] [ ]dydx
x
Adydx
yA
dy)y,x(Ady)y,dxx(Adx)dyy,x(A)y,x(A
dy)y,x(Adx)dyy,x(Ady)y,dxx(Adx)y,x(AdC
yx
yyxx
yxyxz
∂∂
+∂
∂−=
=−+++−=
=−+−++=
dxdyy
Ax
AdC xy
z
∂
∂−∂
∂=
Componente secondo z del vettore rot A
04/03/01 2.18
zyx
zyx
AAAzyx
rot∂∂
∂∂
∂∂=×∇=
uuu
AA
Componenti del rotore:
zy
yzx
xyz
yAx
x
A
xA
zA
z
A
yA
uuuA
∂
∂−∂
∂+
∂∂−
∂∂+
∂
∂−
∂∂=×∇
dSrotdSddC nAnAlA ⋅=⋅×∇=⋅=
La circuitazione di un vettore A lungo una linea checontorna una superficie infinitesima è data dal flusso delrotore del vettore A attraverso la superficie
La componente del rot A lungo una certa direzione è datadal rapporto della circuitazione di A lungo il contorno di unasuperficie infinitesima ortogonale alla direzione e l’areadella superficie
Viceversa il rotore di un campo indica la direzione lungo laquale deve essere presa la normale ad una superficieinfinitesima per ottenere la massima circuitazione lungouna linea che la contorna
Teorema di Stokes:
Cconaconcatenat
C
ddSrot Σ∀⋅=⋅∫ ∫Σ
lAnA
La circuitazione di un campo vettoriale lungo una lineachiusa C è uguale al flusso del rotore del campo attraversoqualsiasi superficie Σ concatenata con la linea C
04/03/01 2.19
Nel caso del campo elettrico, poiché la circuitazione èsempre nulla si ha anche:
00rot =×∇= EE
Identità vettoriale:
0V0)Vgrad(rotrot =∇×∇=×∇≡= EE
4/13/2001 3.1
3. Conduttori
Proprietà dei conduttori
Nei conduttori alcuni elettroni sono liberi di muoversi lungotutto il cristallo sotto l’effetto di un campo elettrico
In condizioni statiche non ci può essere un campo elettricoall’interno di un conduttore
E = 0 all’interno (condizione media macroscopica)
Conseguenze:
1) All’interno di un conduttore non si hannocariche libere (per il Th. di Gauss). Lecariche sono solo sulla superficie
2) Lo spazio occupato da un conduttore èequipotenziale
∫ =⋅=− 2
1
P
P21 0d)P(V)P(V sE ⇒ V(P1) = V(P2)
3) Il campo E deve essere normale alla superficie ed uscenteper conduttori carichi +, entrante per conduttori carichi –
Infatti la componente tangenziale di E deve conservarsiall’attraversamento della sup. Poiché E=0 all’interno Et deveessere nullo anche all’esterno
Teorema di Coulomb
n0
uEεσ=
E
σ
E=0
4/13/2001 3.2Il campo vicino ad un conduttore dipende sia dalle cariche“adiacenti” sia dalle cariche su tutto il resto della sup. I duecontributi si sommano
Il campo E è maggiore dove è maggiore σ cioè dove èminore il raggio di curvatura della superficie
Potere dispersivo delle punte (parafulmine)
Ponendo un conduttore in un campoelettrico (Eesterno ≠ 0) si ha unaridistribuzione della carica (induzioneelettrostatica) in modo tale che ilcampo risultante (Eesterno + Eindotto) sianullo nel conduttore
Schermo elettrostatico
Conduttore con una cavità al suo interno
Per il th. di Gauss il flusso attraversoqualsiasi sup. chiusa S che racchiude lacavità è nullo
Non ci sono cariche sulle pareti dellacavità e non c’è separazione di carica⇒ E = 0 all’interno della cavità
La carica (se è presente) è tutta distribuita sulla superficieesterna del conduttore
Consideriamo la cavità:
Se non ci sono cariche all’interno la regione della cavità èequipotenziale ⇒ NON ci sono diff. di potenziale
++ ++
----
E=0
SΣ
NO
NO
+
++++
+----- -
Eind
Eest
E=0V=cost.
4/13/2001 3.3Se la carica sulla sup. esterna del conduttore cambia,cambia il potenziale in tutto il conduttore ⇒ anche all’internodella cavità ma NON si creano diff. di potenziale
Introduciamo ora un conduttore carico attraverso la cavitàdi un conduttore scarico
Si creano cariche indotte entro la cavità e sulla sup. esternadel conduttore. Condizione di induzione completa
Per il teorema di Gauss:
Se spostiamo il conduttore entro la cavità cambia ladistribuzione delle cariche indotte interne, ma non quelladelle cariche indotte esterne
L’effetto della carica sul conduttore interno e di quella sullasup. della cavità è tale da dare un campo E nullo entro ilconduttore
+
+
+
+--
--
++
++++ +Q
-
--
-
--
-
-Q
+Q
+
+
+
+
+
+ +
esternacavitàernaint QQQ ==
+
+
+
+-
-
--
++
++++ +Q
-
---
-
-
-
-Q
+Q+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+-
-
--
+++
+ ++ +Q
-
-
--
--
-
-Q
+Q+
+
+
+
+
++ +
4/13/2001 3.4Possiamo neutralizzare le cariche entro la cavità e NONcambia nulla all’esterno. Viceversa se eliminiamo le caricheall’esterno del conduttore non cambia nulla entro la cavità
⇒ Schermo elettrostatico
Capacità di un conduttore isolato
Dato un conduttore con carica q, questa si distribuisce condensità σ(x,y,z)
∫Σ σ= dS)’z,’y,’x(q
Il potenziale in ogni punto P(x,y,z) dello spazio ed inparticolare sul conduttore è:
∫Σ −+−+−σ
πε=
2220 )’zz()’yy()’xx(
dS)’z,’y,’x(4
1)z,y,x(V
Per la linearità tra carica e potenziale: q’ = mq ⇒ V’ = mV
Definiamo capacità del conduttore (isolato)
Vq
C =
Non dipende dalla carica ma solo dalla geometria delconduttore
La capacità si misura in farad: un conduttore ha la capacitàdi 1 farad se assume un potenziale di 1 volt quando ha unacarica di 1 coulomb
Unità molto grande in genere si considerano i sottomultipli
Capacità di un conduttore sferico
4/13/2001 3.5
Rq
41
V0πε
= R4Vq
C 0πε==
Per due sfere conduttrici di raggi R1 ed R2 unite da un filomolto lungo
21 VV =2
1
2
1
RR
CC =
1
2
1
2
2
1
RR
CC
qq ==
1
2
2
1
RR=
σσ
Sistemi di conduttori
Supponiamo di avere due conduttori con carica Q1 e Q2 inuna regione limitata di spazio
Supponiamo che uno solo dei due conduttori sia carico ilpotenziale sui due conduttori sarà alternativamente:
=′=′
1212
1111
QpV
QpV
=″=″
2222
2121
QpV
QpV
Se entrambi i conduttori sono carichi:
+=+=
2221212
2121111
QpQpV
QpQpV
≥>=
ijii
ij
jiij
pp
0p
pp
I coefficienti pij si dicono coefficienti di potenziale edipendono dalla configurazione geometrica dei conduttori
La matrice p può essere invertita
4/13/2001 3.6
+=+=
2221212
2121111
VcVcQ
VcVcQ ( )
>≠<
=
0c
ji0c
cc
ii
ij
jiij
I coefficienti c con indice uguale si dicono coefficienti dicapacità. I coeff. c con indice diverso si dicono coefficientidi induzione
Condensatore
Un sistema di due conduttori tra i quali ci sia induzionecompleta costituisce un condensatore
La carica sui due conduttori deve essere la stessa in valoreassoluto
Le linee di campo che escono dal conduttore carico +terminano tutte sul conduttore carico –
Esempi:
Condensatore sferico
Condensatore cilindrico
Condensatore piano
Capacità di un condensatore sferico
Carichiamo l’armatura interna con carica +q
L’armatura esterna si carica -q all’interno e +q all’esternoScarichiamo le cariche esterne a massa
+q
-q
E
4/13/2001 3.7Tra i conduttori si stabilisce una d.d.p. ∆V
2
1
R
R0 r1
4q
V
πε=∆
Per definizione di capacità: Cq
V =∆ ⇒
21
210 RR
RR4C
−επ=
Il potenziale dell’armatura esterna può essere variato apiacere senza variare da d.d.p. nel condensatore
Capacità di un condensatore piano
0
Eεσ= [ ] ( )∫ −==⋅−=−=∆
2
1 122112 xxExEdVVV lE
AQ σ=d
AEd
AV
QC 0ε=σ=
∆=
Condensatori in serie
La stessa carica è presente su tutte le armature
VQ
C∆
= 21 VVV ∆+∆=∆1
1 CQ
V =∆1
1 CQ
V =∆
2121 C1
C1
1
CQ
CQ
QC
+=
+=
21 C1
C1
C1 +=
Condensatori in parallelo
4/13/2001 3.8Lo stessa d.d.p. è presente sui due condensatori
VQ
C∆
= VCQ 11 ∆= VCQ 22 ∆= 21 QQQ +=
21 CCC +=
Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica
00rot =×∇= EE
00
divερ=⋅∇
ερ= EE
A cui bisogna aggiungere il legame tra V ed E
VVgrad −∇=−= EE
Legge di Gauss e irrotazionalità di E coincidono con lalegge di Coulomb ed il principio di sovrapposizione
Unendo le equazioni
0
2VVερ=−∇=∇⋅−∇=⋅∇ E
Equazione di Poisson
02
2
2
2
2
22
z
V
y
V
x
VV
ερ−=
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
In una regione di spazio in cui non ci siano cariche
0V2 =∇ equazione di Laplace
4/13/2001 3.9
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
∂∂+
∂∂+
∂∂
operatore di Laplace o Laplaciano
Le soluzioni dell’equazione di Laplace sono le funzioniarmoniche
Teorema della media: il valor medio che una funzionearmonica assume sulla superficie di una sfera è uguale alvalore che la funzione assume al centro della sfera
Il pot. elettrostatico nella regione tra le cariche non ammettené massimi né minimi.
Una carica isolata nel vuoto non può rimanere in equilibriostabile per effetto del solo campo elettrostatico
L’equilibrio nella materia è solo dinamico
L’equazione di Laplace è lineare
La soluzione di un problema elettrostatico complesso è lasomma delle soluzioni dei problemi più semplici in cui puòessere scomposto.
Problema generale dell’elettrostatica: risolvere l’equazionedi Poisson (o di Laplace) con opportune condizioni alcontorno che possono essere:
Conoscenza del potenziale sui conduttori (problema diDirichlet) a cui bisogna aggiungere la condizione che ilpotenziale si annulli all’infinito
Conoscenza delle cariche sui conduttori (problema diNeumann)
4/13/2001 3.10Si dimostra che una soluzione dell’equazione di Poisson(Laplace) con la condizione di annullarsi all’infinito coincidecon il potenziale calcolabile con l’eq. di Coulomb ed ilprincipio di sovrapposizione
∫ −+−+−ρ
πε=
2220 )’zz()’yy()’xx(
)’z,’y,’x(4
1)z,y,x(V
Il campo elettrico si calcola poi come E = -grad V
Energia elettrostatica
Distribuzione di cariche puntiformi
Consideriamo una distribuzione di n cariche puntiformi q1,q2,…qn e calcoliamo il lavoro compiuto da una forzaesterna per portare le cariche dall’∞ in una regione limitatadi spazio
Carica q1:
W1 = 0
Carica q2:
12
21
0222 r
qq4
1q)p(V)p(U)(U)p(UULW
πε===∞−=∆=−=
Carica q3:
+
πε==−=
23
32
13
31
0333 r
qqrqq
41
q)p(VLW
Carica qn:
4/13/2001 3.11
++
πε==−=
−
−
n1n
n1n
n1
n1
0nnn r
qqrqq
41
q)p(VLW K
∑∑∑∑∑== ≠= ≠
==πε
=N
1iii
n
1i
n
ijiji
n
1i
n
ij ij
ji
0
Vq21
Vq21
r
41
21
W
Questa energia è “immagazzinata” nel campo elettrostatico
∑=
=N
1iiiVq
21
U
Considerazioni simili valgono anche per una distribuzionecontinua di cariche (di volume o di superficie)
∫τ τρ= Vd21
U ∫Σ σ= VdS21
U
Le formule precedenti possono servire per calcolarel’energia immagazzinata in un sistema di conduttori
Per un sistema di conduttori:
dSV21
dSV21
UN
1iii
N
1iii
ii∑∫∑∫=
Σ=
Σσ=σ= [Vi = costante]
Ad esempio, per una sfera conduttrice:
CQ
21
R4Q
21
R4Q
Q21
dSV21
U2
0
2
0
=πε
=πε
=σ= ∫ΣPer un condensatore:
4/13/2001 3.12
( )
( )22
BABA
VC21
CQ
21
QVV21
dSV21
dSV21
VdS21
UBA
∆==
−=σ+σ=σ= ∫∫∫ ΣΣΣ
Si può immaginare che l’energia elettrostatica non sialocalizzata sui conduttori o nelle regioni in cui la densità dicarica è ≠ 0, ma sia distribuita in tutto lo spazio in cui èpresente il campo elettrico
Questa visione è importante nei casi non stazionari (onde)
( ) ( )
( ) ∫∫∫ ∫
∫ ∫ ∫∫
∞∞Σ τ
τ τ ττ
τε=τε=τε+⋅ε=
τε+τ⋅∇ε=τ⋅∇ε=τρ=
d2E
dE2
dE2
dSV2
dE2
dV2
dV2
Vd21
U
202020
n0
2000
uE
EE
La densità di energia in un campo elettrico è quindi:
20E2
1u ε=
Azioni meccaniche sui conduttori
Chi spinge le cariche sulla superficie di un conduttore ?
La forza elettrostatica che continua ad agire anche sullasuperficie
Quanto vale questa forza ?
Bisogna calcolare la forza che il campo generato dallecariche sul conduttore esercita sulle cariche stesse
4/13/2001 3.13
n0
)dSS()dS( uEEEεσ=+= −
n0
)dSS(
2uE
εσ=−
La forza elettrostatica su dS è quindi:
n0
2)dSS(
2dS
dS uEFε
σ=σ= −
È come se le cariche fossero sottoposte ad una pressione:
uE21
2dSp 2
00
2
=ε=ε
σ==F
La forza agente su un conduttore si può ricavare anche conconsiderazioni energetiche (principio dei lavori virtuali)
Detta Fx la forza agente lungo x su un elemento disuperficie del conduttore si ha:
xU
FdUdxFdL xx ∂∂−=⇒−==
Immaginiamo di dilatare la superficie di un conduttoresferico di dx. Per un elemento dS di superficie:
dhdSudU −= dSuhU
dFh =∂∂−=
udSdF
p h ==
Forza repulsiva
FdS
S
dSdx
4/13/2001 3.14Per un condensatore:
dxSudU =S2
Q2
SSE
21
uSF0
2
0
22
0x ε−=
εσ−=ε−=−=
Forza attrattiva
Il calcolo può essere effettuato anche con un metodoalternativo:
Consideriamo un condensatore isolato (non collegato ad ungeneratore)
CQ
21
VQ21
U2
=∆=
Per uno spostamento delle armature la d.d.p. varierà:
0
2
0
2
20
220
22
20
2
2
Qx
S21
SQ
21
d
S
S
dQ21
d
S
C
Q21
xC
CU
xU
F
εσ−=
ε−=
εε
−=ε−=∂∂
∂∂−=
∂∂−=
Il calcolo può essere effettuato anche supponendo che ilcondensatore sia collegato ad un generatore. La forzadeve essere la stessa
)est(V
dLdUdL +−= ∆ dL = lavoro della forza elettrica
VdQdL )est( ∆= dLest = lavoro del generatore
Si ha poi:
VQ21
U ∆= ⇒ )est(V
dL21
dQV21
dU =∆=∆
4/13/2001 3.15Quindi:
VdUdL ∆+=
0
2
0
2
202
Vx
S21
SQ
21
d
SV
21
xC
CU
21
xU
Fε
σ−=ε
−=ε∆−=∂∂
∂∂=
∂∂=
∆
4/13/2001 4.1
4. Il dipolo elettrico
Dipolo elettrico
Consideriamo due cariche +q e –q (uguali ed opposte)poste a distanza d
Si definisce momento di dipolo p il vettore che ha:
a) |p| = qd
b) direzione della congiungente delle cariche
c) verso dalla carica – alla carica +
Calcolo del potenziale a grande distanza dal dipolo
30
20
r2
0
21
12
0210
r41
r4r4
cosp
rrrr
4q
r1
r1
4q
)P(V
rpup ⋅πε
=πε
⋅=πε
ϑ≅
−πε
=
−πε
=
−⋅
πε
=
−⋅
πε=−=
350
3r3r
0
rr
34
1
rr
34
1Vgrad)P(
pr
pr
pu
puE
Grande distanza
r
r
r2-r
d
+q
rP
4/13/2001 4.2Si ha una componente radiale e una componete direttacome p
Se d → 0, q → ∞ il dipolo si dice dipolo elettricoideale e le formule precedenti valgono esattamente intutti i punti dello spazio
Interazione di un dipolo con un campo ESu un dipolo in un campo elettrostatico agisce in generaleuna forza ed una coppia
Forza risultanteLa forza agente sul dipolo è la somma delle forze agentisulle cariche - e +:
EEEEFFF dq)d(qq)()( =++−=+= +−
rEE dgradd ⋅=
zyx dzdydxd uuur ++=
K
K
=
=∂
∂+∂
∂+
∂∂=⋅=
z
y
zyxxx
dE
dE
dzz
Edy
y
Edx
xE
dEgraddE r
Il termine grad E rappresenta un “tensore del II ordine” cioèun ente dotato di 9 componenti
Oppure: grad E rappresenta 3 vettori: grad Ex, grad Ey,grad Ez
-qO
r+d
r
d
E
E+dE
4/13/2001 4.3
⋅
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
dz
dy
dx
zE
yE
xE
z
E
y
E
x
Ez
Ey
Ex
E
dE
dE
dE
zzz
yyy
xxx
z
y
x
( )EpEpErEF ∇⋅=⋅=⋅== gradgraddqdq
K
K
=
=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
z
y
xxxx
F
F
dzz
Edy
yE
dxx
EqF
Se il campo è uniforme F = 0
Momento risultante
( ) ( ) ( )EpFrEpErErEr
EErrErFrrFrM
dddqdqdq
dqdqd )()(0
×+×+×=×+×+×=+×++×−=×++×= +−
EpFrM ×+×=0
Se come polo si sceglie il punto occupato dalla caricanegativa ⇒ r = 0
EpM ×= coppia di forze
Tende ad allineare il dipolo con il campo elettrico
Energia di interazione
L’energia elettrostatica del dipolo è:
4/13/2001 4.4dVqdVq)(qV)(qV)d(qV)(qVU =++−=++−= rrrrr
ϑ−=⋅−=⋅== cosdVgradqdVqU EpEpr
Energia minima: dipolo allineato con E Ep−=U
Energia massima: dipoli opposto ad E Ep=U
Momento cui è sottoposto un dipolo:
EpEpM ×=ϑ=ϑ∂
∂−= sinU
Sviluppo in serie di multipoli del potenzialeelettrostaticoConsideriamo il potenziale a grande distanza prodotto dauna distribuzione qualsiasi di carica ρ(r)
∫τ ′−τ′′ρ
πε=
rrr
rd)(
41
)(V0
il temine rr ′−
1 può essere sviluppato in serie:
( )K+
′−⋅′
+′⋅+=
′− 3
2
5
2
3 r2
)r(
r2
3
rr11 rrrr
rr
r’r
R
ρ
τ
P
R = r-r’
4/13/2001 4.5
τ′
⋅′
+′ρπε
≅ ∫τ drr
1)(
41
)(V3
0
rrrr
τ′′′ρ⋅+τ′′ρ
πε≅ ∫∫ ττ
d)(r
d)(r1
41
)(V3
0
rrr
rr
Posto:
Qd)( =τ′′ρ∫τ r prr =τ′′′ρ∫τ d)(
Si ha:
⋅+
πε≅
30 rr
Q4
1)(V
prr
Si hanno diverse situazioni:
a) Sistemi a carica totale non nulla:
Q ≠ 0 p ≠ 0 [origine (polo) qualsiasi]
|p| = Q d [d = distanza dall’origine del baricentrodella carica]
Q ≠ 0 p = 0 [origine (polo) coincidente con ilbaricentro della carica]
b) Sistemi a carica totale nulla:
Q ≠ 0 p ≠ 0 [rispetto a qualunque polo]
|p| = q+ d [d = distanza tra il baricentro dellacarica + e quello della carica -]
5.1
5. Dielettrici
Negli Isolanti o dielettrici gli elettroni sono legati aisingoli atomi (o molecole)
Non si hanno cariche libere
Osservazioni sperimentali (Faraday, 1831):
a) Inseriamo una lastra conduttrice in un condensatorepiano con densità di carica σ sulle armature
sulla sup. del conduttore si generano delle caricheindotte, con densità σind = - σ e la d.d.p. → 0
σind = -σ ⇒ Eind = -Eo ⇒ Etot → 0
b) Inseriamo un dielettrico tra le armature delcondensatore:
la d.d.p. diminuisce:
∆V < ∆Vo ⇒ E = ∆V/d < Eo
Applichiamo il Th. di Gauss ad un cilindretto a cavallodella superficie di contatto tra armatura e dielettrico:
( )o
tot
o
tot dVdSE
εσ=∆⇒
εσ==φ E
⇒ σtot < σo
La carica σ sulle armature non è cambiata
⇒ Sono comparse cariche sulla superficie deldielettrico (cariche di polarizzazione)
5.2Tagliando un dielettrico polarizzato,sulle due facce del taglio si formanocariche uguali e contrarie
Ogni elemento del dielettrico rimaneneutro
Le cariche non sono libere e possono fare solo piccolispostamenti
La carica di polarizzazione (indotta) è minore di quellache la induce. Nel condensatore:
σpol < σ ⇒ Epol < Eest ⇒ E ≠ 0
E = Eest – Epol < Eo
In generale in un dielettrico omogeneo e isotropo,la legge di Coulomb si modifica:
r2o
r
qq41
uFπε
=
dove: ε = εoεr
ε = costante dielettrica del materiale
ε si misura in F m-1
εr = costante dielettrica relativa (al vuoto)
εr è una caratteristica del materiale, che misura il gradodi mobilità delle cariche (εr → ∞ nei conduttori)
εr > 1 (Es.: εr,aria ≅ 1.0006, εr,acqua ≅ 80, εr,vetro ≅ 4-7)
+
+
+ +++
- ----
-
---
++
+E ≠ 0
5.3A parità di distribuzione di carica, la forza elettrica, ilcampo e il potenziale sono meno intensi che nel vuoto
r
o
r
o
r
o VV
ε=⇒
ε=⇒
ε= E
EF
F
Continuano a valere il Th. di Gauss, l’irrotazionalitàdel campo E, il Th. di Coulomb, ecc.
Nelle formule compare ε al posto di εo
Descrizione microscopicaLe molecole sono neutre (Qtot = 0), ma si dividono in:
a) Molecole non polari: distribuzione di caricasimmetrica (p = 0)
⇒ Polarizzazione per deformazione: in uncampo elettrico esterno ogni molecoladiviene un dipolo indotto di momento p
b) Molecole polari: distribuzione di caricaasimmetrica (p ≠ 0)
⇒ Polarizzazione per orientamento in uncampo elettrico esterno le molecole siallineano
Descrizione macroscopica
In un campo esterno, un dielettrico si comporta comeuna distribuzione continua di dipoli, corrispondenti allesingole molecole
+ -
E
+ -+ -+ -+ -
+ - + - + -+ -+ -
+ -+ -
+ -
+-
+ -E
p
5.4
Ogni elemento di volume ∆τ ha carica nulla, mamomento di dipolo ∆p:
ppp nn
1ii ==∆ ∑
=
dove: n = N°. di dipoli in ∆τ
Definiamo il vettore il polarizzazione elettricaP = momento di dipolo per unità di volume
pp
pP Nlimlim
n
1ii
00=
τ∆=
τ∆∆=
∑=
→τ∆→τ∆
dove: N = n/∆τ = N°. di dipoli per unità di volume
∆τ: abbastanza piccolo perché P sia uniforme al suointerno, abbastanza grande da contenere un elevatonumero di molecole (descrizione continua)
Nel S.I., P si misura in C m-2
Possiamo descrivere un dielettrico come costituito dadue distribuzioni di carica di segno opposto, sovrap-poste punto per punto:
In ogni punto:
ρ+ + ρ- = 0
Ogni elemento ∆τ è neutro:
∆q = ρ+∆τ + ρ-∆τ = 0
5.5Quando il dielettrico non è polarizzato, le distribuzionisono sovrapposte
⇒ ∆p = 0
Quando il dielettrico è polarizzato, si ha un piccolospostamento delle distribuzioni in verso opposto
∆p = ρ+l+∆τ + ρ-l-∆τ = ρ+l ∆τ
dove: l = l+ - l- = spostamento relativo
lp
P +→τ∆ρ=
τ∆∆=⇒
0lim
Il dielettrico è equivalente ad una distribuzione dicarica di polarizzazione di volume ρp e di superficie σp
Cerchiamo il legame di ρp e σp con P
a) Consideriamo un elemento di superficie dSall’interno del dielettrico
Quando il dielettrico si polarizza, dS è attraversatadalla carica dQ:
dSdSdSdSdQ nnnn uPululul ⋅=⋅ρ=⋅ρ+⋅ρ= +−−++
Consideriamo una superficie chiusa Σ, che racchiudeun volume τ nel dielettrico
Quando il dielettrico non è polarizzato all’interno di Σnon c’è carica
Quando il dielettrico è polarizzato c’è una carica Qp
E
ρ- ρ+
l+l-
5.6Per la conservazione della carica, Qp deve essereuguale alla carica che attraversa Σ
∫∫∫ Σττ⋅−==τρ= dSdQdQ npp uP
Segno “-“, perché la carica entra e la normale èuscente
Per il Th. della divergenza:
P
P
div
ddivQ
p
p
−=ρ⇒
τ−= ∫τ
b) Consideriamo un elemento dS sulla superficie deldielettrico
La carica che lo attraversa é:
dSdSdQ np uP ⋅=σ=
⇒ nnp P=⋅=σ uP
Alla superficie di discontinuità di due dielettrici:
σp = Pn1 - Pn2 = -[Pn]
Il dielettrico, anche polarizzato, resta neutro:
Infatti, per il Th. della divergenza, in ogni elemento ∆τ:
0dSddivdSdQ nppp =⋅+τ−=σ+τρ=∆ ∫∫∫∫ ∆Στ∆∆Στ∆uPP
E’ equivalente descrivere il dielettrico come distribuz.di dipoli (→ P) o come distribuz. di cariche (→ σp e ρp)
5.7Potenziale e campo E prodotto da un dielettrico conpolarizzazione P
Considerando le distribuzioni di carica di polarizzaz.
( )
( ) Vgrad
dSddiv
41dSd
41
V np
o
pp
o
−=
′−
⋅+′−
τρ−
πε=
′−
σ+
′−τρ
πε= ∫∫∫∫ ΣτΣτ
rE
rruP
rrrrrrr
Esempio: Cilindro uniformemente polarizzato indirezione // all’asse
Nel volume:
P = cost ⇒ ρp = -div P = 0
Sulle basi:
σp1 = -|P| σp2 = |P|
Il campo E non è uniforme ed ha verso opposto a Pall’interno
A grande distanza, è simile al campo prodotto da undipolo di momento p = Pτ
E++++
----
P
σp1 σp2
h
5.8Cilindro indefinito (h → ∞): E → 0, perché σp vannoall’infinito
Strato indefinito (S → ∞): E = -P/εo, perché è come undoppio strato con σp = P
Equazioni di Maxwell e condizioni al contorno
Per calcolare E totale bisogna tenere conto dellecariche libere (ρ e σ) e delle cariche di polarizzazionedei dielettrici
Per il Th. di Gauss:
( ) libo
oo
lib
o
plib
div
div1
div
ρ=+ε⇒
ε−
ερ=
ερ+ρ
=
PE
PE
Si definisce spostamento elettrico (o induzioneelettrica) il vettore D:
D = εoE + P
Nel S.I., D si misura in C m-2
Si ha:
div D = ρlib
∫Σ ⋅= dSQ nlib uD
In alcuni casi D può essere calcolato conoscendo ladistribuzione delle cariche libere
5.9Per l’irrotazionalità del campo E:
rot E = 0
⇒ rot D = rot P
Condizioni al contornoApplichiamo il Th. di Gauss per il vettore D ad unasuperficie cilindrica a cavallo della superficie diseparazione tra due dielettrici
σlibdS = D1 . un1dS + D2
. un2dS
⇒ σlib = [Dn]
⇒ σp = -[Pn]
(essendo: σ/εo = [En] eD = εoE + P)
Per l’irrotazionalità di E, anche in presenza didielettrici rimane valida la continuità della suacomponente tangenziale
[Et] = 0
Quindi:
[Dt] = [Pt]
P1
P2
nn
S1 2
5.10
Dielettrici lineari
Nei dielettrici isotropi (policristalli, solidi amorfi,liquidi):
P // E ⇒ P = χ(E)E
dove: χ = suscettività elettrica del materiale
⇒ D = εoE + P = [εo + χ(E)]E = ε (E)E
dove: ε = εo [1 + χ(E)] si dice costante dielettrica opermittività del materiale
Nel S.I., ε si misura in F/m
Per campi non molto intensi, il comportamento èlineare:
χ(E) = χ = cost
Per caratterizzare un materiale, si utilizza anche εr
εr = ε /ε0 = costante dielettrica relativa
εr = 1 + χ
Esempi:
Aria: εr = 1.0006 (si comporta circa come il vuoto)
Acqua: εr = 80
Vetro: εr ≅ 4-7
5.11Per un materiale omogeneo ed isotropo che riempietutto lo spazio (ε = cost)
La I equazione di Maxwell diventa:
div D = ε div E = ρlib
⇒ div E = ρlib/ε
La II equazione di Maxwell rimane:
rot E = 0 ⇒ E = -grad V
Le leggi dell’elettrostatica continuano a valere con ε alposto di εo
ερ−=∇ lib2V
Esempio: campo di una carica puntiforme q in undielettrico lineare
r2r4
quE
πε= r2
00
r4
quE
πε=
E < E0 (nel vuoto), per la polarizzazione del dielettricoche genera un campo opposto a quello della carica q
Legame tra le cariche libere e di polarizzazione
( ) ( )0
r0pol 1divdivPdivερ−εε−=χ−=χ−=−=ρ EE
0r0r0lib divdiv
ερεε=εε==ρ ED
⇒ libr
rpol
1ρε−ε−=ρ lib
r
rpol
1σε−ε−=σ
5.12
All’interfaccia tra due dielettrici: [Dn] = [εEn] = 0 ed[Et] = 0
Legge di rifrazione delle linee di forza: Passando inun mezzo elettricamente più denso (ε2 > ε1), le linee diforza del campo si allontanano dalla normale allasuperficie di separazione
Misura di E in un dielettricoSi misura il campo Eo in una sottile cavità parallela alcampo stesso, in modo che:
E0 = Et0 = Et = E
Taglio sottile, in modo che:
Eo sia valutato nell’intorno del punto in cui si vuolevalutare E
Le superfici ⊥ E, su cui si distribuisce σp siano didimensione trascurabile
Misura di D in un dielettricoSi misura il campo Do in una sottile cavità ⊥ al campostesso, in modo che:
D0 = Dn0 = Dn = D
1
2
1
2
tgtg
εε=
ϑϑ
E
E0
D0
D
Et2
En2
En1Et1ϑ1
ϑ2
E1
E2ε1
ε2
5.13Energia elettrostatica
L’energia elettrostatica U in presenza di un dielettricoè il lavoro necessario per:
a) costruire la distribuzione di carica libera ρlib
(portare la carica dall’infinito alla configurazionefinale)
b) polarizzare il dielettrico
Equivalentemente, U è il lavoro per costruire ladistribuzione di carica libera in presenza delpotenziale dovuto sia a ρlib che a ρp
∫ τρ=Spazio
dV21
U
dove: E = -grad V
ρlib = div D
Quindi:
PE
DE
⋅+ε=⇒
τ⋅= ∫
21
E21
u
d21
U
2o
Spazio
↑ (a) ↑ (b)
a) Lavoro per costruire la distribuzione di carica (comenel vuoto)
b) Lavoro di polarizzazione del dielettrico
5.14
Per un materiale omogeneo ed isotropo: D = εE:
22ro E
21
E21
u ε=εε=
Esempio: condensatore piano
SQ
D =σ=
r
0
r0r0
ES
QE
ε=
εε=
εεσ=
r
0VV
ε∆=∆ r0CC ε=
r
022 U
VC21
CQ
21
Uε
=∆==
A parità di carica, l’energia è minore se c’è undielettrico invece del vuoto
All’aumentare dell’inserzione del dielettrico, l’energiadiminuisce
⇒ Il dielettrico viene “risucchiato”all’interno del condensatore
In generale, i dielettrici vengono“risucchiati” verso le zone dove il campoè più intenso
Esempio: pezzetti di carta attirati verso lo schermodella TV
F
+q -q
5.15
Modello microscopico della polarizzazione
Il comportamento elettrico di un dielettrico ècaratterizzato dalla relazione costitutiva del materiale
P = P(E) = χ(E)⋅E
P = P(E) può essere determinata sperimentalmente ocon un modello microscopico del materiale
Una trattazione teorica accurata si basa sullameccanica quantistica
Trattazione classica approssimata
Polarizzazione per deformazioneSi ha nelle molecole non polari (p = 0)
Modello della molecola: carica puntiformepositiva al centro della distribuzione sfericadi carica negativa di raggio a (≈ 10-10 m)
In presenza di un campo elettrico, ledistribuzioni si spostano in direzioneopposta, con uno spostamento relativo s
A distanza s dal centro della distribuzione negativa, ilcampo che essa produce è:
2
3
opol
s
eas
41
E
πε=
-e
+ea
-e
+es
E
5.16All’equilibrio, sul nucleo, la forza elettrica eE dovuta alcampo esterno è bilanciata dall’attrazione verso ilcentro della distribuzione di carica negativa
eEa4
s
a
se4
1eE
3o
3
2
o
πε=⇒
πε=
Il momento di dipolo indotto nell’atomo é:
p = es = αdE
dove: αd = 4πεoa3 = polarizzabilità elettronica
Quindi:
P = Np = NαdE ∝ E χ =Nαd
Polarizzazione per orientamentoLe molecole polari possono essere descritte comedipoli.
In assenza di un campo esterno, i dipoli hannoorientamento casuale
P = 0
In un campo esterno, i dipoli si orientano, mal’orientamento è contrastato dall’agitazione termica
⇒ Equilibrio statistico: la componente di p di ogniatomo parallela al campo è mediamente minore delmodulo di p
5.17
Per campi non molto intensi si può supporre che ilmomento indotto medio p sia ∝ E
p = αoE
dove: αo = polarizzabilità per orientamento
T1
kT3p2
o ∝=α
αo decresce all’aumentare di T, perché aumental’effetto dell’agitazione termica, che contrasta il campo
p (E)
E
α0
5.18Tipi di dielettrici
• Dielettrici lineari isotropi (P // E)
E’ il caso più comune: solidi amorfi e policristallini,liquidi
P = χ(E)E
D = εoE + P = [εo + χ(E)]E = ε(E)E
Per campi non molto intensi: χ = cost
• Dielettrici lineari anisotropi (P non parallelo ad E)
Solidi cristallini e liquidi particolari (cristalli liquidi)
Px = χxxEx + χxyEy + χxzEz
Py = ...
Pz = ...
χ è un tensore (matrice di 9 elementi)
• Dielettrici non lineari [P = f(E)]
Esempio: Materiali con polarizzazione perorientamento
Per bassi valori di E i dipoli si allineano e P cresce
Per elevati valori di E, tutti i dipoli sono orientati e Pnon cresce più(In pratica, occorrano campi estremamente elevati)
In molti casi, si può scrivere:
5.19
P = χE + χ2E2 + χ3E
3 + ...
Applicazioni: modulatori ottici per telecomunicazioni
• Elettreti
Materiali amorfi che acquistano polarizzazionepermanente se sottoposti ad un campo
Esempio: cera fusa che si solidifica in presenza di uncampo elettrico
• Materiali piroelettrici
Una variazione di temperatura provoca una variazionedello stato di polarizzazione
Applicazione: rivelatori di radiazione infrarossa
• Materiali ferroelettrici
Cristalli in cui la forte interazione intermolecolareprovoca un parziale orientamento dei dipoli, anche inassenza di campo esterno
Effetto contrastato dall’agitazione termica
Scompare ad elevate temperature (T critica tipica delmateriale)
Il legame tra tra P e E non è univoco(isteresi)
P
E
5.20
• Materiali piezoelettrici
Generalmente cristalli (es. quarzo), ma anche certeceramiche
Se polarizzati (applicando una d.d.p.), si deformano
Applicazione: posizionatori micrometrici (<< 1µm),oscillatori elettronici al quarzo
Se deformati (compressione o trazione), si polarizzanoe si ha una ddp tra le estremità
Applicazione: misuratori di forza
6.1
6. Corrente elettrica
Consideriamo due conduttori, uno carico e l’altroscarico e colleghiamoli con un filo conduttore
La carica passa attraverso ilfilo
Dopo un tempo τ il flusso dicarica si arresta
Definiamo intensità di corrente elettrica attraverso ilfilo il limite:
dtdq
tq
limi0t
=∆∆=
→∆grandezza scalare
Unità di misura: ampere (A) unità fondamentale
In pratica: 1 ampere = 1 coulomb/1 secondo
In un conduttore la corrente è dovuta al moto dellecariche libere (elettroni) per effetto di un campoelettrico
Tipica velocità di agitazione termica degli elettroni inun metallo: Vt = 105 m/s
Tipica velocità di deriva degli elettroni: Vd = < 10-3 m/s
Supponiamo che i portatori abbiano carica positivache la loro densità si ρ e la velocità sia v
La carica che attraversa una generica superficie dSnel tempo dt è:
+
+
+ +
++
++
+
6.2
dtdSdq nv ⋅ρ=
Definiamo densità di corrente j il vettore:
vvj qnq=ρ=
dtdSdq nj ⋅=
∫ ⋅==S
dSdtdq
i nj
La corrente i attraverso una sezione S è uguale alflusso del vettore densità di corrente j attraverso lasuperficie
Se i portatori di carica hanno segno diverso + e –
−−++ ρ+ρ= vvj
La densità di corrente è la somma dei contributi deiportatori + e dei portatori –
Consideriamo una superficie chiusa Σ
∫Σ −=⋅dtdq
dSnj
La carica che attraversa una superficie chiusa in dt èla variazione della carica nel volume cambiata disegno
dSn
v
+-
v+
v-
6.3
∫∫ τΣτρ−=⋅ d
dtd
dSnj
τρ−=τ ∫∫ ττd
dtd
ddiv j
tdiv
∂ρ∂−=j
Equazione di conservazione della carica e dicontinuità della corrente
Il regime si definisce stazionario quando la velocitàdelle cariche è costante nel tempo
0t
tcos =∂ρ∂⇒=v
div j = 0 corrente stazionaria
0dS =⋅∫Σ nj
In regime stazionario la superficie di un conduttore èun tubo di flusso di j
0dS =⋅∫Σ nj
⇒ Flusso attraverso la suplaterale del conduttore = 0
∫ =⋅lateraleS
0dSnj
n1n2
n
jS1
S2
S
Σ
6.4
poiché j non ha componenti normali alla superficie delconduttore, risulta sempre tangente ad S
∫∫∫ =⋅+⋅+⋅laterale21 SS 2S 1 0dSdSdS njnjnj
∫ ∫ ⋅=⋅1 2S S 22 dSdS njnj
La superficie di un conduttore è un tubo di flusso di j eil flusso di j è costante attraverso una qualunquesezione
⇒ La corrente entrante è uguale alla corrente uscente
21 ii =
La corrente che attraversa qualunque sezione di unconduttore in regime stazionario è la stessa
In generale:
( )Ej f=
Per alcuni conduttori (ad es. metalli)
Ej σ= (Legge di Ohm in forma locale)
La densità di corrente è proporzionale ad E
σ è la conducibilità del materiale
ρ = 1/σ è la resistività
Consideriamo un conduttore cilindrico di area di baseS e lunghezza h
6.5
La corrente è:
∫ ρ=σ==⋅=
S
SESESjdSi nj
La diff. di potenziale è:
hEdVVVB
AAB =⋅−=−=∆ ∫ lE
Quindi:
RiiSh
V =ρ=∆ ⇒ RiV =∆ (Legge di Ohm)
Sh
Rρ= Resistenza elettrica
Unità di misura ohm (Ω)
Per un conduttore di forma qualsiasi:
∫ ρ=B
A Sdh
R
Resistenze in serie:
( ) ( ) ( )( )n21
Bn211ABA
RRRiiR
VVVVVVVV
+++=
−++−+−=−
L
L
∑=k
kRR
R R R R
V2 V3 Vn VBVA V1
6.6
Resistenze in parallelo:
RVV
i BA −=
k
BAk R
VVi
−=
∑=k kii
⇒ ∑=k
kR1
R1
Effetto Joule
Il lavoro necessario per spostare le cariche elettrichein un conduttore viene trasformato in calore (urti deiportatori contro il reticolo)
dtiVdqVdU ∆=∆=
Potenza dissipata
iVdtdU
W ∆==
Per un conduttore ohmico (∆V = R i)
RV
RiW2
2 ==
R1
R2
R3
Rn
VBVA
i
i1
i2
i3
in
6.7
In ogni punto del conduttore:
dtdSdq nj ⋅=
( )( ) ( )( ) dtdSddtdSdddqdL nljEnjlElE ⋅⋅=⋅⋅=⋅=
τ⋅== ddtdL
W jE
Densità di potenza dissipata:
22 Ejd
dWw σ=ρ=⋅=
τ= jE
Osservazioni:
a) Il vettore j è solenoidale ⇒ la corrente puòcircolare solo in un circuito chiuso
b) È necessario compiere lavoro per fare circolareuna corrente: L → calore per effetto Joule
c) In un conduttore ohmico Il lavoro è compiuto dalcampo elettrostatico (w=σE2)
d) rot E = 0 ⇒ il campo elettrostatico E non puòcompiere un lavoro lungo un percorso chiuso
∫ =⋅ 0dlE
Esiste una apparente incongruenza:
Il campo elettrostatico NON può essere l’unica fonte dilavoro in un circuito elettrico
dSn
jE
dl
6.8
Campo elettromotore e forza elettromotrice
In ogni circuito esiste una regione (generatore) nellaquale esiste un campo NON conservativo che agiscesulle cariche elettriche
Questo campo si dice campo elettromotore è dinatura NON elettrica (chimica, meccanica, termica…)ed è definito come:
qm
mF
E = (Fm = forza agente
sulla carica q)
Em agisce solo entro il generatore
∫ ∫ ≠⋅=⋅γ
0ddG
mm lElE
Consideriamo la regione del generatore a “circuitoaperto”
j = 0
⇒ E + Em = 0
E = -Em
Il campo elettromotore è equilibrato da un campoelettrostatico generato da una separazione di cariche
Definiamo forza elettromotrice l’integrale:
∫∫ ∫ −=⋅−=⋅=⋅=γ
B
A ABmm VVddd.m.e.fG
lElElE
La f.e.m. si misura come differenza di potenziale aicapi del generatore a circuito aperto [E è conservativo]
j
Em
G
E E
E
Em++++
----
B A
6.9
Circuito chiuso:
Le cariche fluiscono dall’elettrodo+ all’elettrodo –
Il campo elettrostatico diminuisce
0≠j ⇒ mEE ≠
Legge di Ohm generalizzata
Entro il generatore:
( ) ( )mG
mG1
EEEEj +ρ
=+σ=
Fuori dal generatore:
EEjρ
=σ= 1
In forma integrale:
( ) ∫∫∫ γγγ⋅ρ−=⋅−ρ−=⋅−=−
GGGdm.e.fddVV GmGAB ljlEjlE
Poniamo:
∫ ρ=B
A GG Sdh
R (resistenza del generatore)
VB - VA = f.e.m. - RG i
Essendo VB – VA = R i si ottiene:
f.e.m. = (R + RG) i
E
Em++++
----
B A
iE
j
6.10
Bilancio energetico
(f.e.m.) i = (VB - VA) i + RG i2 = (R + RG) i2
Esempi di generatori• Pila di Volta• Generatore di Van de Graaf• Disco di Nichols
Potenza dissipata nel circuito esternoPotenza dissipata nel generatore
Potenza fornita dal generatore
Pila Weston
6.11
Modello microscopico della conduzione
Regime stazionario
Conduttore ohmico (metallo)
j = ρ v v = cost.
Gli elettroni liberi si muovono casualmente peragitazione termica (vt = 105 m/s) e “urtano” gli ioni delreticolo (tempo medio tra gli urti: τ ≈ 10-14 s)
Tra 2 urti successivi l’elettrone subisce gli effetti delcampo elettrico:
F = -e E
Variazione di quantità di moto
∆p = -e E τ
Nell’urto la quantità di moto acquistata viene perduta
Calcoliamo la q. di m. media di N elettroni in ungenerico istante
( )∑=
−=N
1iite
n1
m Ev (ti = tempo trascorso dall’ultimo urto)
Per definizione ∑=
=τN
1iitn
1quindi:
τ−= Ev em ⇒ τ−= Evme
6.12
La velocità media (velocità di deriva) è proporzionalead E
In generale:
Eµ=v (µ mobilità del portatore di carica)
Per gli elettroni:
τ=µme
(τ dipende dal conduttore e dalla
temperatura)
Poichè vj ρ= j = σ E
EvjmeN
Nq2τ==
meN 2τ=σ
Poiché τ dipende dalla temperatura anche σ dipendeda T
Il modello è applicabile per conduttori ohmici e percampi elettrici non molto intensi
La velocità di deriva v– deve essere << vt
6.13
Leggi di Kirchoff
Consentono di calcolare correnti e tensioni in una reteelettrica
Legge dei nodi (I legge di Kirchoff)
∑ =k
k 0i [div j = 0]
La somma algebrica delle correnti che convergono inun nodo è nulla
Legge delle maglie (II legge di Kirchoff)
∑ =∆k
k 0V [rot E = 0]
La somma algebrica delle differenze di potenzialelungo una maglia (linea chiusa in un circuito) è nulla
i1
i2
i3
i4
∆V1
∆V2
∆V3
∆V4
7.1
7. Campo magnetostatico
Aspetti fenomenologici
Interazioni (attrattive e repulsive) tra magneti(magnetite)
In ogni magnete si possono individuare due poli chechiamiamo polo + (nord) e polo - (sud)
Due magneti si respingono se avviciniamo due poliuguali, si attraggono se avviciniamo poli opposti
2mm
r
qqkF 21= qm = carica magnetica
Non si tratta di una forza elettrostatica perché i magnetisono scarichi
È impossibile isolare una carica magnetica
Spezzando un magnete si ricreano 2 poli
Il comportamento è simile a quello di un dielettricopolarizzato
Un sottile ago di magnetite si allinea lungo unmeridiano terrestre indicando la direzione sud-nord
Il comportamento è simile a quello di un dipolo elettricoche si allinea con il campo
Usando della limatura di ferro è possibile mettere inevidenza le linee di un campo (campo magnetico)generato da un magnete
7.2Esiste una relazione tra fenomeni magnetici ed elettrici
Una corrente elettrica in un filo è in grado di modificarel’orientazione di un ago magnetico
⇒ una corrente genera un campo magnetico
Una ago magnetizzato può essere usato per esplorareil campo magnetico generato da una corrente
Due fili percorsi da correnti si attraggono o sirespingono a seconda del verso delle correnti
Non sono forze elettrostatiche, perchénon c’è carica netta nei circuiti
Se arrestiamo la corrente “fermiamo lecariche” e annulliamo le interazioni
Le considerazioni precedenti ci inducono a ritenereche il magnetismo è una manifestazione del motodelle cariche elettriche
Una corrente elettrica genera un campo magnetico eduna carica in moto (corrente) ne risente gli effetti
La magnetite è un materiale in cui esistono dellecorrenti elementari spontanee
Queste correnti “corrispondono” a dipoli elementari
I dipoli “si neutralizzano” all’interno del materiale emanifestano i loro effetti sulle basi di una sottile sbarra(poli magnetici)
In una visione più corretta il campo elettrico ed ilcampo magnetico sono intrinsecamente collegati
7.3Una campo magnetico variabile genera un campoelettrico e viceversa → campo elettromagnetico
Solo in condizioni stazionarie i campi possono esserestudiati separatamente
Forza su una carica elettrica in moto
Una particella di carica q in moto con velocità v èsoggetta alla forza F:
F = qE + qv × B
Le interazioni tra cariche ferme sono descrittemediante il campo elettrico E
Le interazioni tra correnti e cariche in moto sonodescritte mediante il campo magnetico B(induzione magnetica B)
L’espressione della forza consente la definizioneoperativa di B
Con v = 0, si misura E
Con v = v1 e v = v2 (⊥ v1), si misurano 2 forze F1 ed F2
Si determina B dai valori delle forze F1 e F2
Nel S.I., B si misura in Tesla (T)
Forza di LorentzUna carica q in moto con velocità v in un campomagnetico B subisce una forza:
BvF ×= q forza di Lorentz
7.4
La forza è in ogni punto ⊥ allo spostamento
La forza magnetica non compie lavoro
0dL =⋅= ∫γsF
Moto di una carica in un campo magnetico uniforme
Per una carica di massa m in moto in un campo B convel. v (⊥ a B):
rv
mamBvqF2
n ===
La particella descrive una circonferenza di raggio
qBp
qBmv
r ==
Proprietà del campo magnetico nel vuoto
Flusso del campo magneticoAnalizzando le linee di campo (ad. es. con un ago) cirendiamo conto che sono linee chiuse
Data una qualunque superficie chiusa il flusso uscentedi B è nullo
∫Σ =⋅ 0nuB
Applicando il Th. della divergenza:
In forma locale
div B = 0 Eq. di Maxwell
7.5Il campo B è solenoidale
Non esistono cariche magnetiche che siano sorgenti (opozzi) delle linee di campo di B
Le linee di forza di B sono chiuse o si estendonoall’infinito
Se due superfici Σ1 ed Σ2 hanno lo stesso orlo γ:
∫ ∫Σ Σ⋅=⋅
1 2 21 nn uBuB
Si considera il flusso di B“concatenato” con la linea γ
Il flusso di B nel S.I. si misura in: weber (Wb)
Circuitazione del campo magnetico
Legge di Ampere: la circuitazione di B lungo γ èproporzionale alla somma delle correnti concatenate
∑∫ µ=µ=⋅γ
Iidl 0otuB
µo = 4π . 10-7 Hm-1 = permeabilitàmagnetica del vuoto
Le correnti concatenate hannosegno positivo quando vedonocome antiorario il verso dipercorrenza di γSe non ci sono correnti concatenate (o la somma ènulla), la circuitazione è nulla
Se γ è una linea di forza di B, la circuitazione è ≠ 0 (B //ut ed equiverso) ⇒ esiste I concatenata
7.6Applicando il Th. del rotore si ha:
∫∫ ΣΣ⋅µ=⋅ dSdSrot non uJuB
⇒ rot B = µoj
Il campo magnetico NON è conservativo
Eq. di Maxwell nel vuoto in regime stazionario
0
divερ=E 0div =B
0rot =E jB 0rot µ=
Forza magnetica su un conduttore concorrente i (II legge di Laplace)
Forza di Lorentz applicata agli elettroni in moto nelconduttore
BvF ×−= de vd = velocità di deriva
Forza su un tratto dl di conduttore
( ) BvF ×−= dedlSnd
Densità di corrente in un conduttore:
den vj −=
⇒ ( ) BjF ×= dlSd BjF ×=τ (unità di volume)
Per un conduttore filiforme:
BlF ×= did II legge di Laplace
7.7Esprime la forza agente su un tratto elementare dicircuito percorso da corrente i
Per un tratto finito di circuito:
∫∫ ×=×=B
A
B
Adidi BlBlF
Per un circuito chiuso
∫γ×= BlF di
In generale la forza su un circuito è ≠ 0
Casi particolari
Tratto di conduttore rettilineo in un campo B uniforme
ϑ=×
= ∫ sinBLidiB
ABlF
La formula vale anche per un filonon rettilineo tra A e B
⇒ se il campo B è uniforme la forza agente su uncircuito chiuso è nulla
Bilancia delle correntiPermette di misurare un campo magnetico
BLF ×= iM gF mp =
Poiché i bracci sono uguali:
mgBLi =Li
mgB =
7.8Azioni meccaniche su un circuito (spira)Consideriamo una spira rettangolarein un campo uniforme
La spira è soggetta ad un momentomeccanico
ϑ=ϑ=ϑ= sinBSisinBbaiFsinbM
Il momento meccanico tende a disporre la spira ⊥ B
La spira si allinea al campo B come un dipolo elettricosi allinea al campo E
Definiamo momento magnetico della spira il vettore:
nSi um = verso un ⇔ corrente antioraria
Il momento meccanico si scrive:
BmM ×=La relazione precedente vale per una spira piana diforma qualsiasi (corrente i ed area S)
Teorema di equivalenza di Ampère (I parte): unaspira elementare di area dS percorsa da corrente i èequivalente ad un dipolo magnetico di momento
ndSid um =L’equivalenza non è completa perchè le carichemagnetiche non esistono
Energia potenziale di una spira in un campo B
ϑ−=ϑ−=⋅−= cosBSicosBmU Bm
⇒ ϑ−=ϑ∂
∂−= sinBmU
M
7.9
Forza magnetica su un conduttore concorrente i (flusso di B)Consideriamo un circuito ed una superficie che siappoggi sul circuito
Dividiamo la sup. in tanti elementi di area dS
L’energia potenziale posseduta da ogni elem. è:
BuBm ⋅−=⋅−= ndSiddU
L’energia potenziale totale è:
∫ φ−=⋅−=S Cn )(idSiU BuB
Il flusso NON dipende dalla superficie, ma solo dalcircuito C
Principio dei “lavori virtuali”
)(didUdL C Bφ−=−=
per il cambiamento di configurazione del circuito
[ ])()(iL21 CC BB φ−φ−= (corrente costante)
Casi particolari:
a) Traslazione:
dxx
)(idxFdL C
x ∂φ∂== B
(asse x)
analogamente per gli assi y e z
⇒ )(i)(gradi CC BBF φ⋅∇=φ=
Campo uniforme e circuito rigido ⇒ F = 0
7.10b) Rotazione
ϑ∂φ∂= )(
iM C B
Circuito rettangolare in un campo uniforme
Legge di Laplace:
xBLii uBLF =×=Variazione di flusso
dxBLdxi
dxdSBi
dx)(d
iF Cx ==φ= B
nBLi uF =
Campo magnetico generato da una corrente
I legge di Laplace: campo magnetico generato da untratto infinitesimo di filo dl percorso dalla corrente i
2ro
r
di
4d
ulB
×π
µ=
Per un circuito filiforme:
∫γ
×π
µ=2
ro
r
di
4ul
B
7.11Casi particolari:
a) Campo prodotto da un filo indefinito
20
r
sindyi
4dB
ϑπ
µ=
[ ]Rsinr =ϑ
ϑϑ=⇒=ϑ−
2sin
RddyRtgy
( )ϑπ
µ=ϑϑπ
µ=ϑπ
µ= cosdR4i
Rdsin
4i
R
sindy4
idB 00
2
30
R2i
)1(R2i
cosdR4i2
B 002
0
πµ=−
πµ−=ϑ
πµ−= ∫
π
π
b) Campo prodotto da una spira di raggio R
n0
R2iuB
µ= (centro della spira)
30
r
2R2
mB
µ= (lungo l’asse della spira r >> R)
niSum = momento magnetico
−⋅
πµ=
3r3r0
rr
34
mu
muB a grande distanza
7.12La relazione precedente costituisce la II parte delteorema di equivalenza di Ampère
c) Campo prodotto da un solenoide indefinito
niB 0µ= n = spire per unità di lunghezza
Calcolo del campo magnetico usando la legge diAmpère
Consideriamo il campo prodotto da unfilo indefinito percorso dalla corrente i
Calcoliamo la circuitazione di B
( ) φπ
µ=φπ
µ=⋅π
µ=⋅ φ d2
idr
r2i
dr2i
d 000 lulB
[ ]0,22
id
2i
d 00 π±π
µ=φπ
µ=⋅ ∫∫γlB
Se la linea concatena più correnti
∑∫ µ=⋅γ k0 idlB
Per il teorema di Stokes
∫ ∫∫ Σ Σγ⋅µ=⋅=⋅ dSdSrotd n0n ujuBlB
jB 0rot µ= legge di Ampère
7.13Vale solo in condizioni stazionarie (div j = 0)
Come il Th. di Gauss, anche la legge di Ampère puòessere usata per calcolare B in condizioni di simmetria
a) Filo rettilineo indefinito con corrente i
irB2d 0µ=π=⋅∫ lB
r2i
B 0
πµ= [r > R]
2
2
02
0R
irjrrB2d
ππµ=πµ=π=⋅∫ lB
20
R2
irB
πµ= [r < R]
b) Solenoide indefinito
nhihBd 0µ==⋅∫ lB
inB 0µ=
c) Corrente piana indefinita
hjhB2d s0µ==⋅∫ lB
2j
B s0µ=
Attraversando una superficie percorsa da corrente:
[ ][ ] s0ttt
nnn
jBBB
0BBB
12
12
µ==−
==−
7.14
Forze tra conduttori
Dalle I e II legge di Laplace:
Forza su un elemento dl2 del conduttore 2 per effettodel campo di un elemento dl1 conduttore 1:
( )2,1122210
1221,2 ddr4
iiddid ullBlF ××
πµ=×=
Forza su un elemento dl1 del conduttore 2 per effettodel campo di un elemento dl2 del conduttore 1:
( )1,2212210
2,1 ddr4
iid ullF ××
πµ=
Forza tra circuiti
( )∫ ∫
××π
µ=−=1 2 2
2,1212102,11,2
r
dd
4ii ull
FF
…( )
∫ ∫⋅
πµ=−=
1 2 22,121210
2,11,2r
dd
4ii ull
FF
Forza tra due conduttori rettilinei (x unità di lunghezza)
r2ii
dF 210
πµ=
Definizione dell’ampere:
1 ampere è la corrente che produce una forza di µ0/2π= 10-7 newton/metro quando scorre in due fili indefinitiparalleli a distanza di 1 metro.
7.15
Potenziali del campo magnetico
Per il campo elettrostatico:
0rot =E [ ]0Vgradrot ≡ Vgrad:V −=∃⇒ E
0=×∇ E [ ]0V ≡∇×∇ V:V −∇=∃⇒ E
In questo caso il campo è conservativo e V è ilpotenziale scalare
Potenziale vettore del campo magnetico0rot ≠B ⇒ il campo magnetico non è
conservativo e non ammette potenziale scalare
Per il campo induzione magnetica:
0div =B [ ]0rotdiv ≡A ABA rot: =∃⇒
0=⋅∇ B ( )[ ]0≡×∇⋅∇ A ABA ×∇=∃⇒ :
⇒ Si può definire un potenziale vettore A per il campomagnetico
AB rot=La definizione non è univoca
Consideriamo S∇+=′ AA e calcoliamo B
BAAAB =×∇=∇×∇+×∇=′×∇=′ S
Calcoliamo la divergenza di A’
( ) SS 2∇+⋅∇=∇⋅∇+⋅∇=′⋅∇ AAA
Poniamo S∇+=′ AA con S tale che:
A⋅−∇=∇ S2 ⇒ 0=′⋅∇ A
7.16Dato un qualunque potenziale vettore A per un campoB possiamo trovare un altro pot. vettore A’ tale che:
AB ′= rot 0div =′A
Questa scelta è quella usuale in magnetostatica:
Equazione di Poisson per il campo magnetico:
( ) jAAAB 02 µ=∇−⋅∇∇=×∇×∇=×∇
jA 02 µ−=∇
Nota la distribuzione delle correnti (j) è possibilecalcolare il potenziale vettore
Soluzione dell’equazione di Poisson
( ) ( ) ( )∫τ ′−+′−+′−
′′′′′′π
µ=222
x0x
zzyyxx
zdydxd)z,y,x(j4
A
∫ττ
πµ=
rd
40 j
A
Il potenziale vettore A permette di calcolare il campo Bcome il potenziale V permette di calcolare E
Questo procedimento conveniente come inelettrostatica perché A è un vettore (mentre V è unoscalare)
7.17Potenziale scalareIn una regione (internamente connessa) in cui nonsiano presenti correnti:
0rot =B
Si può definire anche un potenziale scalare:
mV−∇=B 0Vm2 =∇
∫′
⋅=′−P
Pmm d)P(V)P(V lB
In generale il potenziale scalare è una funzionepolidroma
7.18
Auto e mutua induzione
Consideriamo un circuito percorso da corrente i:
Il flusso di B concatenato con ilcircuito è:
∫ γ⋅=φγ S ndS)( uBB
Il campo B è lineare nellacorrente i:
∫γ
×π
µ=2
r0
r
di4
ulB ⇒ i)( =∝φ B
Li)( =φγ B (equivale alla relazione Q = CV)
L si dice coefficiente di autoinduzione
Si misura in henry (H)
1 henry = 1 weber/1 ampere
Consideriamo due circuiti (linee orientate)
Il flusso di B nel circuito 2 prodotto da una corrente nelcircuito 1 è:
1211,2 iM)( =φ B (lineare nella corrente i1)
7.19Analogamente:
2122,1 iM)( =φ B (lineare nella corrente i1)
Si dimostra che M1,2 = M2,1
AB rot=
∫∫ ⋅=⋅=φS nS n dSrotdS)( uAuBB
∫γ⋅=φ lAB d)(
∫∫ γτ πµ=τ
πµ=
1 rdi
4d
r41010
1lj
A
∫ ∫∫ γ γγ=⋅
πµ=⋅=φ
1 2211,2
2110211,2 iM
rdd
4i
d)(ll
lAB
22,12120
121,2 iMrdd
4i
d)(1 21
=⋅π
µ=⋅=φ ∫ ∫∫ γ γγ
lllAB
Esempi di calcolo del coefficiente di autoinduzione
Solenoide lungo (L >> R)
ni0µ=B LSinLSnSN)( 20µ===φ BBB
LSni)(L 20µ=φ= B
7.20Esempi di calcolo del coefficiente di mutua induzione
Solenoidi concentrici di lunghezza L
1101 inµ=B 2202 inµ=B
Flusso di B nel solenoide 2 per una corrente nelsolenoide 1
112101121,2 iLSnnBSLn)( µ==φ B
⇒ LSnniM 121011,21,2 µ=φ=
Flusso di B nel solenoide 1 per una corrente nelsolenoide 2
212102112,1 iSLnnBSLn)( µ==φ B
⇒ MMLSnniM 1,2121022,12,1 ==µ=φ=
8.1
8. Campo magnetico nei mezzi materiali
Aspetti fenomenologici
Ragioni storiche: il magnetismo nei mezzi materiali èmolto importante (magnetite)
Magnetismo nella materia ↔ polarizzazione deidielettrici con importanti differenze
Nei materiali magnetici lineari gli effetti del mezzo sonogeneralmente trascurabili
Nei materiali magnetici non lineari (ferromagnetici) glieffetti sono molto evidenti → numerose applicazioni
Come nei mezzi dielettrici gli effetti del mezzo possonoessere rappresentati da un “continuo” di dipolimagnetici (correnti elementari)
Osservazione sperimentale
Consideriamo un solenoide percorso da corrente eduna bobina sospesa ad un dinamometro
La forza è proporzionale al momento magnetico dellabobina
dxdB
mF ±= 2rNim π=
Sostituiamo la bobina con un volumettoτ di materiale
Forza F ≠ 0 ⇒ materiale si crea un momentomagnetico indotto m
8.2Definiamo il vettore intensità di magnetizzazione pari almomento magnetico per unità di volume
dxdB
F1m
Mτ
=τ
=
A seconda della forza di distinguono 3 casi
a) Forza debole e repulsiva (mat. diamagnetici)
b) Forza debole e attrattiva (mat. paramagnetici)
c) Forza intensa e attrattiva (mat. ferromagnetici)
In generale si definisce intensità di magnetizzazione inun mezzo materiale il vettore:
mm
M Nlim0
=τ∆
∆=→τ∆
La magnetizzazione è associata all’esistenza dicorrenti molecolari jmol
Una sup. dS nel materiale è attraversata dalla correntemol:
dSi nmolmol uj ⋅=
Consideriamo una superficie S che siappoggia ad una linea γ
La corrente che attraversa S è dovutaalle spire concatenate con γ
Ipotesi: tutte le spire sono ugualmente orientata ehanno area A
8.3Un elemento dl di γ attraversa le spire contenute nelvolume
lmm
dAVol ⋅= Ai=m
Se nel materiale ci sono n spire/unità di vol.
lMlmlmm
ddNdANiimol ⋅=⋅=⋅=
⇒ la corrente che attraversa la superficie S è:
∫∫ ∫ ⋅=⋅=⋅γ S nS nmol dSrotddS uMlMuj
molrot jM = (all’interno di un mezzo magnet.)
Sulla superficie del mezzo M è discontinuo:
nsup uMj ×=
Sulla superficie di separazione tra 2 mezzi
( ) n21sup uMMj ×−= un = norm 1→2
Leggi della magnetostatica nei mezzi materiali
0div =B
( )molcond0rot jjB +µ= ( )molcond0 IId +µ=⋅∫γ lB
Usando il vettore M
cond0
rot jMB =
−
µ
8.4Definiamo vettore intensità di campo magnetico H
MB
H −µ
=0
Si ha allora:
condrot jH = condId =⋅∫γ lH
Unità di misura di H: A/m (amperespire/metro)
Attenzione: non è vero che H dipende solo dallecorrenti di conduzione perché:
MMB
H divdivdiv0
−=
−
µ=
H non è solenoidale ma ha delle sorgenti (in generesulle superfici di discontinuità dei mezzi)
Legame tra B ed H:
Consideriamo un solenoide toroidale
iNHr2 =π ⇒r2
NiH
π=
Nei materiali lineari HHB r0µµ=µ=
MHB 00 µ+µ= BM
µ
−µ
= 11
0
8.5Diamagnetici µ < µ0 µr < 1 µr ≈ 1-10-5 M ↑↓ B
Paramagnetici µ > µ0 µr > 1 µr ≈ 1+10-4 M ↑↑ B
Ferromagnetici µ >> µ0 µr >>1 µr >> 1 B=B(H)
Condizioni al contorno per B ed H
Alla superficie di separazione tra 2 mezzi:
0div =B ⇒ 2n1n BB = 2n2r1n1r HH µ=µ
0rot =H ⇒ 2t1t BH = 2t1r1t2r BB µ=µ
2r
1r
2n2t
1n1t
2
1
HHHH
tgtg
µµ==
αα
Campo B prodotto da un corpo unif. magnetizzato
a) Magnete permanente cilindrico
Densità di corrente superficiale
ostcM = nsup uMj ×=
8.6Il campo B è ≈ a quello prodotto da un solenoide
Campo H:
esterno: 0µ
= BH interno: M
BH −
µ=
0
Il campo H si inverte entro il magnete
Sulle basi div H ≠ 0 ⇒ sorgenti del campo
b) Magnete permanente indefinito
lMljlB 0s0 µ=µ=
=µ=0
0
H
MB
c) Disco sottile magnetizzato
0B =
−==
MH
B 0
Campi B ed H in un mezzo materiale
Misura di B → disco sottile ⊥ linee di campo
−µ
=
=
MB
H
BB
0cav
cav
Misura di H → cilindro stretto || linee di campo
=µ−=
HH
MBB
cav
0cav
8.7
Interpretazione microscopica del magnetismo
Diamagnetismo
Atomi o molecole che non hanno un momentomagnetico proprio
Consideriamo una spira di corrente atomica percorsada un elettrone
Equilibrio delle forze
20
22
r4
erm
πε=ω
Applicando un campo B ⊥ alla spira l’elettrone subisceuna forza (f.e.m. ← induzione elettromagnetica)
dtdB
reF
r2 2π=π ⇒dtdB
2re
F =
riceve un impulso
∫ ∫ ===2Bre
dtdtdB
2re
FdtI
e subisce una variazione di quantità di m.
2Bre
rme =ω∆ ⇒ Bm2e
e
=ω∆
a cui corrisponde una variazione di corrente i e dimomento magnetico m
πω∆=∆
2ei ⇒ B
m4re
irme
222 =∆π=
8.8Il momento magnetico è opposto a B
Bme
22
m4re−=
Le spire atomiche elementari creano un campomagnetico (debole) che si oppone a B
Questo fenomeno (precessione di Larmor) giustifica ildiamagnetismo (µr < 1)
Paramagnetismo
Simile alla polarizzazione per orientamento deidielettrici
Gli atomi o le molecole di alcuni materiali hanno unmomento magnetico proprio
Può essere dovuto alle correnti elettroniche o agli“spin” degli elettroni
In un campo magnetico esterno i momenti magnetici(spire elementari) tendono ad allinearsi
BmTk3
m2
= mM N=
Questo rafforza il campo magnetico (µr > 1)
L’allineamento dipende dalla temperatura T
8.9Ferromagnetismo
Il ferromagnetismo è concettualmente simile alparamagnetismo
Nei materiali ferromagnetici l’orientazione dei dipoli nonè prodotta solo dal campo B esterno, ma anche da uneffetto legato all’allineamento degli “spin” elettronici
Si hanno regioni microscopiche (domini di Weiss) incui i dipoli sono naturalmente allineati
Senza campo B esterno I domini sono orientaticasualmente ⇒ effetto nullo
Con campo B i domini ruotano e si espandono ⇒polarizzazione
Nei magneti permanenti i domini restano orientatianche in assenza di campo esterno
Sopra una temperatura caratteristica (temperatura diCurie) il ferromagnetismo scompare
ferromagnetismo → paramagnetismo
9.1
9. Il campo elettromagnetico
Aspetti fenomenologici
Spira conduttrice in moto in un campomagnetico costante
Spira conduttrice ferma in un campomagnetico variabile
In entrambi i casi si ha una corrente indotta nella spira ⇒deve esistere una f.e.m. indotta
Legge di Faraday
In entrambi i casi si ha una variazione del flusso di Bentro la spira
dt)(d
.m.e.fBφ−= Legge di Faraday
Il segno (-) nella Legge di Faraday è legato allaconservazione dell’energia (Legge di Lenz)
Se la spira è chiusa circola una corrente:
dt)(d
R1
R.m.e.f
)t(iBφ−==
Se la spira è aperta si ha comunque una f.e.m.misurabile come d.d.p. (voltmetro)
9.2
∫∫ ⋅−=⋅=γ S nm dS
dtd
dE.m.e.f uBl
Flusso tagliato
Moto di un circuito in un campo magnetico costante
La f.e.m. ha origine nella forza diLorentz F = qv x B
BvE ×=m
Integrando lungo tutto il circuito
BvllBvlE ⋅×=⋅×=⋅= ∫∫∫ γγγddd.m.e.f m
dtdr
v = per il moto del circuito
∫γ ⋅×= Br
ldtd
d.m.e.f
rl dd × è pari all’area di un elemento della superficie“spazzata” dal circuito in dt
nSddd url ′=× ⇒ φ′=⋅× ddd Brl
Per tutto il circuito:
∫∫ ′⋅=⋅×=φγ dS ntagl Sdddd uBBrl
Per la solenoidalità di B
9.3
)()(d)( inizialetaglfinale BBB φ=φ+φ
)(d)()()(d taglinizialefinale BBBB φ−=φ−φ=φ
dt)(d
dt
)(dd.m.e.f tagl BB
lBvφ−=
φ=⋅×= ∫γ
Esempio
Circuito con un lato mobile
Forza di Lorentz
hBvdd.m.e.fB
A−=⋅×=⋅×= ∫∫γ
lBvlBv
Variazione di flusso
hBvdtdx
hBdSdtd
dt)(d
.m.e.fS n −=−=⋅−=φ−= ∫ uB
B
Corrente nel circuito
RhBv
R.m.e.f
i −==
9.4
Flusso concatenato
Variazione del flusso concatenato con un circuito fermo
La f.e.m. ha origine in un campo elettrico nonconservativo che dipende dalla variazione di B
∫∫ ⋅−=⋅=γ S nm dS
dtd
d.m.e.f uBlE
Applicando il teorema del rotore
∫∫∫ ⋅∂−=⋅−=⋅S nS nS n dS
dtdS
dtd
dSrot uB
uBuE
⇒ t
rot∂∂−= B
E
Il campo elettrico in regime non stazionario NON èconservativo
In ogni regione in cui si ha una variazione temporale delcampo B si genera un campo E non conservativo
NON è necessaria la presenza di un mezzo materiale(conduttore) come nel caso della forza di Lorentz
9.5
Considerazioni energetiche
Consideriamo la seguente configurazione:
Potenza elettrica dissipata nel circuito
i.)m.e.f(Pe =R
.m.e.fi =
R.)m.e.f(
P2
e =
dt)B(d
m.e.fφ−= vhB
dt)B(d =φ
⇒ ( )2
e RvhB
P =
Potenza meccanica necessaria per muovere il tratto AB
BhR
vhBBhiF ==
⇒ ( )e
2
m PR
vhBP ==
9.6
La potenza meccanica viene dissipata per effetto Joulesulla resistenza del circuito
Generatori di corrente alternata
Una spira di area S ruota con velocità angolare ω in uncampo magnetico B costante ed uniforme
ϑ=φ cosBS)B( tω=ϑ
( )tsinBSdtd
sinBSdt
)B(d.m.e.f ωω−=ϑϑ−=φ−=
Circuiti elettrici in regime variabile
Consideriamo un circuito con coefficiente diautoinduzione L
Li)B( =φ
Se la corrente cambia nel tempo i = i (t) → φ = φ (t)
( )dtdi
Ldt
)B(d.m.e.f L −=φ−=
9.7
Quando la corrente in un circuito varia nasce una f.e.m.che tende ad opporsi alla sua variazione
Transitorio di accensionea) Circuito con resistenza R
iR.m.e.f =R
.m.e.f)t(i =
b) Circuito con resistenza R e coeff. di autoinduzione (oinduttanza) L
( ) iR.m.e.f.m.e.f L =+
dtdi
LiR.m.e.f +=
( )τ−−= te1R
.m.e.f)t(i
RL=τ
La presenza dell’induttanza “ritarda” la crescita dellacorrente (e la diminuzione della corrente)
9.8
Aspetti energeticiDalla legge di Ohm, moltiplicando per i
( )dtdi
LiiRi.m.e.f 2 +=
a) potenza erogata dal generatore
b) potenza dissipata per effetto Joule sulla resistenza
c) potenza “spesa” per aumentare la corrente da i →i+di
In un intervallo di tempo dt:
( ) diLidtiRdti.m.e.f 2 +=
Il termine Li di rappresenta l’energia “accumulata”nell’induttore
Per una variazione della corrente 0 → ifinale
∫
=== finalei
0
22finaleL R
.m.e.fL
21
iL21
diiLU
L’energia precedente è associata al campo magneticogenerato dalla corrente e viene “restituita” quando lacorrente ifinale → 0
a) b) c)
9.9
Solenoide indefinito (tratto di lunghezza h)
hSnL 20µ= niB 0µ=
hSB
21
ihSn21
Li21
U0
222
02
L µ=µ==
Detta u la densità di energia del campo magnetico:
0
2B21
uµ
=
∫∫ ∞∞τ
µ=τ== d
B21
duLi21
U0
22
L
In un mezzo materiale l’energia viene spesa sia percreare il campo che per magnetizzare il materiale
µ=µ=⋅=
22 B
21
H21
21
u HB
In un mezzo non lineare
∫=B
0dBHu
A causa del ciclo di isteresi la trasformazione NON èreversibile
9.10
Corrente di spostamento
Dalle legge di Ampère:
jB 0rot µ=
⇒ 0divrotdiv 0 =µ= jB (a)
Dalla legge di continuità della corrente
tdiv
∂ρ∂−=j (b)
(a) e (b) sono compatibili solo in regime stazionario
Carica di un condensatore:Considerando la superficie S1
id1S n =⋅=⋅∫ ∫γ
ujlB
Considerando la superficie S2
0d2S n =⋅=⋅∫ ∫γ
ujlB
Le equazioni precedenti sono incompatibili in regimevariabile
⇒ La legge di Ampère deve essere modificata
Dal teorema di Gauss (vale anche in regime variabile)
0
divερ=E ( )
t1
tdivdiv
t 0 ∂ρ∂
ε=
∂∂=
∂∂ E
E
9.11
⇒ t
divt 0 ∂
∂ε=∂ρ∂ E
Si ha quindi:
0t
div 0 =
∂∂ε+ E
j
il vettore
∂∂ε+
t0cE
j è solenoidale e rappresenta una
densità di corrente “generalizzata”
jc = densità di corrente di conduzione
t0 ∂∂ε E
= densità di corrente di spostamento
Legge di Ampère – Maxwell
∂∂ε+µ=
trot 0c0
EjB
N.B: la corrente di spostamento NON corrisponde almoto delle cariche elettriche, ma rappresenta un legametra la variazione del campo elettrico ed il campomagnetico
In presenza di dielettrici:
libdiv ρ=Dtctot ∂
∂+= Djj
9.12
Se si hanno materiali magnetici
trot c ∂
∂+= DjH
Equazioni del campo elettromagnetico
In regime stazionario le equazioni del campo elettrico emagnetico sono disaccoppiate
0n
QdS
ε=⋅∫Σ uE
0
divερ=E
0d =⋅∫γ lE 0rot =E
0dSn =⋅∫Σ uB 0div =B
∑∫ µ=⋅γ
id 0lB jB 0rot µ=
L’unico elemento comune è la carica elettrica (Q,ρ; i,j)
In regime variabile, la variazione di un campo magneticoproduce un campo elettrico e viceversa
trot
∂∂−= B
E Legge di Faraday
trot 000 ∂
∂εµ+µ= EjB Legge di Ampère - Maxwell
Le equazioni di Maxwell permettono di spiegarequalunque fenomeno elettromagnetico
9.13
Onde elettromagnetiche
Nel vuoto (j = 0, ρ = 0) le equazioni di Maxwell sonosimmetriche:
HBED 00 µ=ε=
0div0divt
rott
rot 0
==∂∂ε=
∂∂−=
HE
EH
BE
Applicando il rotore alla I equazione:
( ) ( )
( ) ( )
( )2
2
0000
22
tttrot
t
divgradrotrot
rottt
rotrotrot
∂∂εµ−=
∂∂εµ
∂∂−=
∂∂−
−∇=∇−=
∂∂−=
∂∂−=
EEB
EEEE
BB
E
Quindi:
2
2
002
t∂∂εµ−=∇− E
E
Ponendo 200 c1=εµ si ha infine:
0tc
12
2
22 =
∂∂−∇ E
E Equazione delle onde
Analogamente per H si ottiene:
9.14
0tc
12
2
22 =
∂∂−∇ H
H
Le equazioni precedenti corrispondono a 6 equazioniscalari:
0tc
12
2
22 =
∂φ∂−φ∇
Onde pianeSupponiamo che:
0zy
=∂φ∂=
∂φ∂
Corrisponde a supporre che φ abbia lo stesso valore intutti i piani ⊥ all’asse x → si ottiene:
0tc
1
x 2
2
22
2
=∂
φ∂−∂
φ∂
L’eq. precedente ammette soluzioni del tipo:
++
−=φ
cx
tgcx
tf
Corrisponde a due perturbazioni che si propagano indirezione (x+) e (x-)
9.15
Verifica: consideriamo
−
cx
tf e poniamo cx
t −=ξ
2
2
22
2
d
fd
c
1ddf
c1
xx
f
ddf
c1
xddf
xf
ξ=
ξ−
∂∂=
∂∂
ξ−=
∂ξ∂
ξ=
∂∂
Quindi la funzione f soddisfa l’eq. di partenza:
0t
f
c
1
x
f2
2
22
2
=∂∂−
∂∂
Consideriamo f0 = f(t0, x0) e f1=f(t0 + ∆t, x0 + ∆x):
∆−−∆+=
−=
cx
cx
ttffcx
tff 001
000
Se ctx
tcx =∆∆→∆=∆ ⇒ f1 = f0
La funzione f è invariante per un osservatore che simuove con velocità c ⇒ si propaga con velocità c
f rappresenta un’onda
f
xx0 x0 + ∆x
c
9.16
Onde elettromagnetiche piane
Consideriamo un’onda elettromagnetica descritta dalledue equazioni
Supponiamo che i campi E e B siano costanti lungo piani⊥ all’asse z
0yxyx
=∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂ BBEE
L’onda è descritta dalle equazioni:
0tc
1
z0
tc
1
z 2
2
22
2
2
2
22
2
=∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂ BBEE
Poiché:
zB
y
B
xB
div
0z
Ey
E
xE
div
zyx
zyx
∂∂+
∂∂
+∂
∂=
=∂
∂+∂
∂+
∂∂=
B
E
0z
Bz
E zz =∂
∂=∂
∂
cioè le componenti Ez e Bz sono costanti rispetto a z
0tc
12
2
22 =
∂∂−∇ E
E 0tc
12
2
22 =
∂∂−∇ B
B
9.17
Poiché:
( )
( )t
Ex
B
yB
rot
tB
x
E
yE
rot
zyxz
zyxz
∂∂=
∂∂
−∂
∂=
∂∂−=
∂∂
−∂
∂=
B
E
⇒ 0t
Bt
E zz =∂
∂=∂
∂
Poichè Ez e Bz sono costanti sia rispetto a z che a t, noncontribuiscono all’onda → assumiamo Ez = Bz = 0
E e B hanno solo componenti secondo x e y e risultanosempre ortogonali alla direzione di propagazione z
Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali
Usando le altre componenti di rot E e rot B risulta:
0BEBE yyxx =+=⋅BE BE c=
E e B sono sempre ortogonali tra di loro e ortogonali alladirezione di propagazione
E, B e z formano una terna ortogonale
x)tkzsin( uE ω−=
y0
)tkzsin(Z1
uH ω−=
o
00Z
εµ=
9.18
Teorema di Poynting
Al campo elettromagnetico è associata un’energia
⇒ le onde e.m. trasportano energia
Dalle equazioni di Maxwell:
trot
trot
∂∂+=
∂∂−= D
jHB
E
Moltiplichiamo a) per H e b) per E
trot
trot
∂∂⋅+⋅=⋅
∂∂⋅−=⋅ D
EjEHEB
HEH
Sottraiamo d) da c):
ttrotrot
∂∂⋅−⋅−
∂∂⋅−=⋅−⋅ D
EjEB
HHEEH
Per ogni coppia R,S di vettori:
SRSRRS ×=⋅−⋅ divrotrot
⇒ tt
div∂∂⋅−⋅−
∂∂⋅−=× D
EjEB
HHE
Per i mezzi leneari:
EDHB ε=µ=
a) b)
c) d)
9.19
tB
B2t
B2
∂∂=
∂∂ ⇒
tB
21
t
2
∂∂
µ=
∂∂⋅ B
H
tD
D2t
D2
∂∂=
∂∂ ⇒
tE
21
t
2
∂∂ε=
∂∂⋅ D
E
Quindi:
jEHE ⋅−
ε∂∂−
µ∂
∂−=×2E
t2B
tdiv
22
Integrando su un volume τ:
∫∫∫ ττττ⋅−τ
ε+µ∂
∂−=τ× dd2E
2B
tddiv
22
jEHE
Applicando il teorema della divergenza:
( ) ∫∫∫ ττΣτ⋅−τ
ε+µ∂
∂−=⋅× dd2E
2B
tdS
22
n jEuHE
Per la legge di Ohm:
jEE σ=+ m ⇒ mEjE −σ=
jEjE ⋅+σ=⋅ m2j
Definiamo vettore di Poynting il vettore:
HEP ×=
9.20
Sostituendo si ottiene:
∫∫∫∫ τττΣτσ−τ⋅+τ
ε+µ∂
∂−=⋅ djdd2E
2B
tdS 2
m
22
n jEuP
Il flusso di P attraverso una superficie chiusa Σ è pari allapotenza uscente dal volume racchiuso dalla superficie
τ
ε+µ∫τ d
2E
2B 22
Energia elettromagnetica
∫τ τ⋅ dm jE Potenza sviluppata dai generatori
∫τ τσ dj2 Potenza dissipata per effetto Joule
Esempio:Conduttore cilindrico di lunghezza L, raggio r econducibilità σ
jE σ=
2jr
r2rj
)r(B 0
2
0 µ=π
πµ=
2r
jB
E)r(P 2
0
σ=µ
=
2222n iRjLrLr2
2r
jdS)P( −=πσ−=πσ=⋅=φ ∫Σ uP
9.21
La potenza elettrica sviluppata dal generatore entra nelresistore attraverso la sup. laterale e viene dissipata pereffetto Joule
Energia e quantità di moto di un’onda e.m.Un’onda elettromagnetica trasporta energia
La potenza e.m. che attraversa una superficie S siottiene come flusso del vettore P attraverso la sup.
∫ ⋅=S ndSPot uP
Intensità di un’onda
nI uP ⋅= potenza per unità di sup. ⊥ alladirezione di propagazione
Un’onda elettromagnetica trasporta anche una quantitàdi moto:
∫∞ τµε= d00 PQ
⇒ quando un’onda e.m. incide su una superficie esercitauna pressione (pressione di radiazione)