Dispensa

di

Geometria

Introduzione alla Geometria

La parola ldquoGeometriardquo deriva dalle parole ldquo geordquo (terra) e ldquometronrdquo (misura)

che significa ldquomisura della terrardquo

La geometria ha origini antichissime Nel 2000 aC gli Egizi avevano

conoscenze geometriche legate piugrave che altro a necessitagrave pratiche come

misurare e costruire

Le periodiche inondazioni del Nilo costringevano infatti gli Egizi a

ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e quindi a misurarle

Anche i Babilonesi abitanti della Mesopotamia(lrsquoattuale Iraq) conoscevano e

utilizzavano la geometria a fini pratici

La Geometria diventava una vera scienza quando lrsquointeresse per la

matematica non egrave piugrave soltanto utilitaristico (cioegrave legato alla necessitagrave di

risolvere problemi pratici ma rispondere a un bisogno di pura conoscenza)

Questo desiderio di pura conoscenza fu una caratteristica del pensiero greco

nel I millennio aC Le conoscenze geometriche di Egizi e Babilonesi furono

introdotte in Grecia da Talete di Mileto e Pitagora di Samo

Nei tre secoli successivi lo studio della geometria continuograve a progredire in

Grecia principalmente grazie ad Euclide il quale nellrsquo 300 aC scrisse ldquoGli

Elementirdquo una delle opere piugrave importanti della matematica Nella prima

parte del trattato che si compone di 13 volumi Euclide fissa gli assiomi della

Geometria che descrivono le relazioni tra punti e linee

Da questa varietagrave Euclide deduce 500 teoremi di Geometria piana I libri

centrali sono dedicati alla teoria dei numeri Qui si trova quello che viene

considerato ldquoIl primo esempiordquo esempio BRILLANTE di ragionamento

matematico ossia la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti Lrsquo ultima

parte dellrsquoopera egrave dedicata allo studio della geometria ldquoSolidardquo Lrsquoopera di

Euclide ha gettato le basi per lo studio egrave lrsquoinsegnamento della Geometria per

tutti i secoli successivi fino ai giorni nostri Non a caso oggi parliamo di

Geometria EUCLIDEA La geometria parte da ldquoENTI PRIMITIVIrdquo e da

ldquoCONCETTI PRIMITIVIrdquo cioegrave che non si possono definire precisamente ma

il significato egrave ldquoINTITUIVAMENTErdquo accettabile

Gli enti primitivi sono

IL PUNTO

LA LINEA

LA RETTA

LA SUPERFICIE

IL PIANO

LO SPAZIO

I concetti primitivi invece sono

IL MOVIMENTO RIGIDO (cioegrave quello per cui una figura puograve muoversi nel

piano o nello spazio senza DEFORMARSI )

Oltre agli enti e ai concetti PRIMITIVI nello studio della Geometria

incontreremo altri termini

GLI ASSIOMI

LE DEFINIZIONI

I TEOREMI

LE DIMOST

RAZIONI

I COROLLARI

La definizione egrave una proposizione che serve a introdurre un concetto nuovo

ricorrendo ad altri concetti giagrave noti

La sioma (o posulato) egrave un affermazione che esprime una proprietagrave evidente ed

intuitivamente accettabile

La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili

mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate

Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni

(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una

proposizione finale(tesi)

Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che

enunciano delle proprietagrave

Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema

sono dette corolari

La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni

che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave

Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche

degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in

architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per

lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo

spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica

conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per

rivestire il pavimento di un locale

Postulati fondamentali

Assiomi di appartenenza

Assioma 1

Per due punti distinti passa una e una sola retta

Assioma 2

Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti

Assioma 3

Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al

piano

Assioma 4

Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano

Assiomi del ordine

Assioma 1( del orientamento)

Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure

A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o

sinistra

Assioma 2(della transitivitagrave)

Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora

C ldquoseguerdquo A

Assioma3(del illimitatezza)

Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A

Assioma4(della densitagrave)

Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente

almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C

(compreso tra A e C )

Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e

densa

Definizioni

Semiretta

Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto

origine della semiretta

Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B

lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B

A B

Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune

A C

B

Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

A B C

Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette

aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave

il vertice dellrsquoangolo

O

vertice lato

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Introduzione alla Geometria

La parola ldquoGeometriardquo deriva dalle parole ldquo geordquo (terra) e ldquometronrdquo (misura)

che significa ldquomisura della terrardquo

La geometria ha origini antichissime Nel 2000 aC gli Egizi avevano

conoscenze geometriche legate piugrave che altro a necessitagrave pratiche come

misurare e costruire

Le periodiche inondazioni del Nilo costringevano infatti gli Egizi a

ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e quindi a misurarle

Anche i Babilonesi abitanti della Mesopotamia(lrsquoattuale Iraq) conoscevano e

utilizzavano la geometria a fini pratici

La Geometria diventava una vera scienza quando lrsquointeresse per la

matematica non egrave piugrave soltanto utilitaristico (cioegrave legato alla necessitagrave di

risolvere problemi pratici ma rispondere a un bisogno di pura conoscenza)

Questo desiderio di pura conoscenza fu una caratteristica del pensiero greco

nel I millennio aC Le conoscenze geometriche di Egizi e Babilonesi furono

introdotte in Grecia da Talete di Mileto e Pitagora di Samo

Nei tre secoli successivi lo studio della geometria continuograve a progredire in

Grecia principalmente grazie ad Euclide il quale nellrsquo 300 aC scrisse ldquoGli

Elementirdquo una delle opere piugrave importanti della matematica Nella prima

parte del trattato che si compone di 13 volumi Euclide fissa gli assiomi della

Geometria che descrivono le relazioni tra punti e linee

Da questa varietagrave Euclide deduce 500 teoremi di Geometria piana I libri

centrali sono dedicati alla teoria dei numeri Qui si trova quello che viene

considerato ldquoIl primo esempiordquo esempio BRILLANTE di ragionamento

matematico ossia la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti Lrsquo ultima

parte dellrsquoopera egrave dedicata allo studio della geometria ldquoSolidardquo Lrsquoopera di

Euclide ha gettato le basi per lo studio egrave lrsquoinsegnamento della Geometria per

tutti i secoli successivi fino ai giorni nostri Non a caso oggi parliamo di

Geometria EUCLIDEA La geometria parte da ldquoENTI PRIMITIVIrdquo e da

ldquoCONCETTI PRIMITIVIrdquo cioegrave che non si possono definire precisamente ma

il significato egrave ldquoINTITUIVAMENTErdquo accettabile

Gli enti primitivi sono

IL PUNTO

LA LINEA

LA RETTA

LA SUPERFICIE

IL PIANO

LO SPAZIO

I concetti primitivi invece sono

IL MOVIMENTO RIGIDO (cioegrave quello per cui una figura puograve muoversi nel

piano o nello spazio senza DEFORMARSI )

Oltre agli enti e ai concetti PRIMITIVI nello studio della Geometria

incontreremo altri termini

GLI ASSIOMI

LE DEFINIZIONI

I TEOREMI

LE DIMOST

RAZIONI

I COROLLARI

La definizione egrave una proposizione che serve a introdurre un concetto nuovo

ricorrendo ad altri concetti giagrave noti

La sioma (o posulato) egrave un affermazione che esprime una proprietagrave evidente ed

intuitivamente accettabile

La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili

mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate

Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni

(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una

proposizione finale(tesi)

Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che

enunciano delle proprietagrave

Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema

sono dette corolari

La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni

che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave

Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche

degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in

architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per

lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo

spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica

conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per

rivestire il pavimento di un locale

Postulati fondamentali

Assiomi di appartenenza

Assioma 1

Per due punti distinti passa una e una sola retta

Assioma 2

Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti

Assioma 3

Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al

piano

Assioma 4

Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano

Assiomi del ordine

Assioma 1( del orientamento)

Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure

A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o

sinistra

Assioma 2(della transitivitagrave)

Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora

C ldquoseguerdquo A

Assioma3(del illimitatezza)

Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A

Assioma4(della densitagrave)

Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente

almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C

(compreso tra A e C )

Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e

densa

Definizioni

Semiretta

Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto

origine della semiretta

Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B

lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B

A B

Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune

A C

B

Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

A B C

Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette

aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave

il vertice dellrsquoangolo

O

vertice lato

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Da questa varietagrave Euclide deduce 500 teoremi di Geometria piana I libri

centrali sono dedicati alla teoria dei numeri Qui si trova quello che viene

considerato ldquoIl primo esempiordquo esempio BRILLANTE di ragionamento

matematico ossia la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti Lrsquo ultima

parte dellrsquoopera egrave dedicata allo studio della geometria ldquoSolidardquo Lrsquoopera di

Euclide ha gettato le basi per lo studio egrave lrsquoinsegnamento della Geometria per

tutti i secoli successivi fino ai giorni nostri Non a caso oggi parliamo di

Geometria EUCLIDEA La geometria parte da ldquoENTI PRIMITIVIrdquo e da

ldquoCONCETTI PRIMITIVIrdquo cioegrave che non si possono definire precisamente ma

il significato egrave ldquoINTITUIVAMENTErdquo accettabile

Gli enti primitivi sono

IL PUNTO

LA LINEA

LA RETTA

LA SUPERFICIE

IL PIANO

LO SPAZIO

I concetti primitivi invece sono

IL MOVIMENTO RIGIDO (cioegrave quello per cui una figura puograve muoversi nel

piano o nello spazio senza DEFORMARSI )

Oltre agli enti e ai concetti PRIMITIVI nello studio della Geometria

incontreremo altri termini

GLI ASSIOMI

LE DEFINIZIONI

I TEOREMI

LE DIMOST

RAZIONI

I COROLLARI

La definizione egrave una proposizione che serve a introdurre un concetto nuovo

ricorrendo ad altri concetti giagrave noti

La sioma (o posulato) egrave un affermazione che esprime una proprietagrave evidente ed

intuitivamente accettabile

La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili

mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate

Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni

(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una

proposizione finale(tesi)

Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che

enunciano delle proprietagrave

Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema

sono dette corolari

La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni

che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave

Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche

degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in

architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per

lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo

spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica

conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per

rivestire il pavimento di un locale

Postulati fondamentali

Assiomi di appartenenza

Assioma 1

Per due punti distinti passa una e una sola retta

Assioma 2

Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti

Assioma 3

Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al

piano

Assioma 4

Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano

Assiomi del ordine

Assioma 1( del orientamento)

Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure

A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o

sinistra

Assioma 2(della transitivitagrave)

Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora

C ldquoseguerdquo A

Assioma3(del illimitatezza)

Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A

Assioma4(della densitagrave)

Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente

almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C

(compreso tra A e C )

Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e

densa

Definizioni

Semiretta

Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto

origine della semiretta

Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B

lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B

A B

Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune

A C

B

Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

A B C

Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette

aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave

il vertice dellrsquoangolo

O

vertice lato

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili

mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate

Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni

(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una

proposizione finale(tesi)

Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che

enunciano delle proprietagrave

Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema

sono dette corolari

La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni

che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave

Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche

degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in

architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per

lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo

spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica

conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per

rivestire il pavimento di un locale

Postulati fondamentali

Assiomi di appartenenza

Assioma 1

Per due punti distinti passa una e una sola retta

Assioma 2

Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti

Assioma 3

Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al

piano

Assioma 4

Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano

Assiomi del ordine

Assioma 1( del orientamento)

Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure

A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o

sinistra

Assioma 2(della transitivitagrave)

Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora

C ldquoseguerdquo A

Assioma3(del illimitatezza)

Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A

Assioma4(della densitagrave)

Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente

almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C

(compreso tra A e C )

Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e

densa

Definizioni

Semiretta

Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto

origine della semiretta

Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B

lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B

A B

Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune

A C

B

Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

A B C

Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette

aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave

il vertice dellrsquoangolo

O

vertice lato

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Postulati fondamentali

Assiomi di appartenenza

Assioma 1

Per due punti distinti passa una e una sola retta

Assioma 2

Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti

Assioma 3

Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al

piano

Assioma 4

Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano

Assiomi del ordine

Assioma 1( del orientamento)

Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure

A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o

sinistra

Assioma 2(della transitivitagrave)

Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora

C ldquoseguerdquo A

Assioma3(del illimitatezza)

Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A

Assioma4(della densitagrave)

Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente

almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C

(compreso tra A e C )

Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e

densa

Definizioni

Semiretta

Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto

origine della semiretta

Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B

lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B

A B

Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune

A C

B

Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

A B C

Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette

aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave

il vertice dellrsquoangolo

O

vertice lato

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Definizioni

Semiretta

Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto

origine della semiretta

Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B

lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B

A B

Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune

A C

B

Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

A B C

Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette

aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave

il vertice dellrsquoangolo

O

vertice lato

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati

O

Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri

due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune

O

Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono

alla stessa retta

O

Un angolo puograve essere

Angolo nullo se le due semirette coincidono

Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono

semirette opposte

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Confronto tra gli angoli

Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un

movimento rigido i lati e il vertice

Confrontare due angoli significa stabilire se due punti

Sono congruenti

Uno egrave maggiore dellrsquoaltro

Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure

uno egrave maggiore dellrsquoaltro

β

a1

o1

b

α

b1

o a

Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi

allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato

Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)

Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il

secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro

congruenti

α

bisettrice

β

Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene

diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)

Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto

Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto

Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto

Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro

Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati

dellrsquoaltro

Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro

a c

b d

aequivb cequivd

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc

c b

a

egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune

ab+bc=abc

La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile

rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido

a a1

b b1

O a O1 a1

Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione

dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore

allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il

lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore

bequivb1 a1

OequivO1

a 119874119886 - O=

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Linea

lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente

immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la

penna dal fogliorsquorsquo

LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono

A

B

AneB

LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono

AequivB

LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto

interno

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo

punto interno

FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non

intrecciata

FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il

segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura

FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il

segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Poligoni

Poligonale

Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una

poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa

intrecciata non intrecciata

Non intrecciata

Intrecciata

Elementi caratteristici di un poligono

Vertici

Angoli (interni ed esterni)

Lati (numero dei lati)

Diagonali (nge4)

Poligono convesso

Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al

poligono il poligono si dice convesso

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Poligono concavo

Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che

contiene punti interni del poligono

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

TRIANGOLI n=3

I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli

Classificazione rispetto ai lati

Equilatero (se ha 3 lati uguali9

Isoscele (se ha 2 lati congruenti)

Scaleno (se ha3 lati disuguali)

Classificazione rispetto agli angoli

Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9

Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)

Rettangolo (se ha un angolo retto)

Proprietagrave dei triangoli

La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo

piatto(cioegrave misura 180deg)

In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore

delle loro differenze

C

A B

Es AC ltAB +BC

AC gtAB -BC

In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si

oppone il lato maggiore

C

A B

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave

equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)

In simboli

C2+c2=i2

Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di

determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un

triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura

di un lato a partire dai altri due

i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa

c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore

C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un

movimento rigido coincidono perfettamente

Criteri di congruenza

1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente

congruente

2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli

sono congruenti

3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono

congruenti

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO

Asse di un lato

Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato

Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati

C

A B

Mediana relativa a un lato

Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice

opposto

Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati

C

A B

Bisettrice di un angolo

Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti

congruenti

Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici

C

A B

Altezza relativa a un lato

Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto

Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al

triangolo

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

C

A B

Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo

C

A B

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

Circocentro(C)

Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo

Circocentro

Puograve essere anche esterno al triangolo

Circocentro

Ortocentro(O)

Egrave il punto di intersezione delle altezza

Ortocentro

Anche esso puograve essere esterno

Ortocentro

Incentro(I)

Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al

triangolo ed egrave equidistante dai lati

Incentro

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

Baricentro(G)

Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al

triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un

estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra

Baricentro (mediana doppia)

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati

corrispondenti in proporzione

La similitudine si indica con il simbolo asymp

C

C

A B A B

AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo

T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime

La proporzione possiamo anche scriverla cosi

119860119861

119860prime119861prime =

119860119862

119860prime119862prime=

119861119862

119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)

Significato di k

Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito

rispetto a T2

Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1

Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

CRITERI DI SIMILITUDINE

Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione

cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3

copie di lati omologhe in proporzione

Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica

Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora

sono simili

Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in

proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili

Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione

allora asse sono simili

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI

Teorema 1

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive

altezze

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime =CH CprimeHprime

Teorema 2

Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi

perimetri

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = PPrsquo

Teorema 3

Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le

rispettive aree

C

Crsquo

A B Arsquo Brsquo

AB AprimeBprime = AArsquo

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

TEOREMI DI EUCLIDE

Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si

chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e

la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa

C

A H B

AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB

HB = Proiezione di BC su AB

AB AC = AC AH

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio

proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa

C

A H B

AHCH = CH HB

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm

ESEMPIO

In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti

sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area

C

A H B

Dati

AH =2 cm

HB =8 cm

2 X = X 8

X2 = 2 8

X2 = 16

X = 4

A = 10cm middot 4 cm

2 = 20 cm2

10cm AC = AC 2cm

AC2 = 20 cm2

AC = 44 cm

10cm BC = BC 8cm

BC2 = 80 cm2

BC = 89 cm

P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm