diskretna1-05

8/6/2019 Diskretna1-05

1/54

Diskretna matematika

1. Skupovi

2. Matemati cka logika

3. Cijeli brojevi

4. Binarne relacije

5. Rekurzivne relacije

6. Kombinatorika

Literatura:

Darko ubrinic, Diskretna matematika, Element,Zagreb 1997.

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika,Algoritam, Zagreb, 2001


2/54

Obveze:

predavanja ( 70%)

vjebe ( 70%)

Provjere znanja:

tri kolokvija:- sva tri pozitivna

- zadaci ( 45%) i teoretska pitanja ( 45%)- pismeni, pismeni i usmeni.

ispit:

- zadaci ( 45%) i teoretska pitanja ( 45%)


3/54


4/54

1. SKUPOVI

1.1 Temeljne oznake i denicije

Skup je osnovni matematicki pojam (ne denira se);

Skup je svaka mnoina (nekih) objekata koje nazi-vamo elementima ili clanovima skupa;

Oznake:- skupove - velikim slovoma A; B; S; X; :::;

- elemente - malim slovoma a; b; s; x; :::;

- cinjenicu da element x pripada skupu A biljeimosa x 2 A;

- cinjenicu da element x ne pripada skupu A bil-jeimo sa x =2 A;

Skupove zadajemo:

- popisivanjem njegovih elemenata (ako je tomoguce);

- opisno, pomocu nekog svojstva.


5/54

1.2 Odnosi (relacije) medu skupovima

Denicija Za skup A kaemo da je podskup skupa

B ako je A sadran u B, tj. ako je svaki element xskupa A; element skupa B: Ili

(8x) (x 2 A =) x 2 B):

Piemo A B:Ako je A B onda kaemo da je B nadskup od A(oznaka B A):

" " - inkluzija (ukljucivanje).

Denicija Kaemo da su skupovi A i B jednaki ako

vrijedi A B i B A: Piemo A = B:Denicija Kaemo da je A pravi podskup od B akovrijedi A B i A 6= B: Piemo A B:

Vrijedi:

A A za svaki skup A;

; A za svaki skup A; gdje je ; oznaka zaprazan skup, tj. skup bez elemenata;


6/54

1.3 Operacije sa skupovima

Primjer

B = fx : x nije prirodan brojg - neprecizno deniran skup

Da bi B bio dobro deniran uvodimo pojamuniverzalnog skupa U: To je skup koji je prozivol-jan, ali unaprijed zadan i svi skupovi koje promatramo

su podskupovi tog skupa.

Denicija Neka je A podskup univerzalnog skupa U.Skup fx 2 U : x =2 Ag nazivamo komplement skupaA i oznacavamo sa A ( ili AC ):

Denicija Neka su skupovi A i B (podskupovi uni-verzalnog skupa U).

Skup fx : x 2 A ili x 2 Bg nazivamo unija skupovaA i B: Oznaka: A [ B:

Skup fx : x 2 A i x 2 Bg nazivamo presjek skupovaA i B: Oznaka: A \ B:

Skup fx : x 2 A i x =2 Bg nazivamo razlika skupovaA i B: Oznaka: AB:


7/54

Denicija Neka je X skup. Skup svih podskupovaod X nazivamo partitivan skup od X i oznacavamosa 2X ( ili

P(X) ).

Na partitivnom skupu 2X dobro su denirane tri os-novne operacije:

- unija [ : (A; B) ! A [ B;

- presjek \ : (A; B) ! A \ B;- komplementiranje : A ! A:

Operacije [ i \ su binarne operacije (dvama elemen-tima iz 2X pridruuju treci iz 2X); a komplementiranjeje unarna (jednom elem. iz

2

X pridruuje drugi iz2

X).

Teorem 1 Neka su A, B, C 2 2X tada vrijedi:1. idempotentnost unije i presjeka:

A [ A = A; A \ A = A;

2. asocijativnost:

(A [ B) [ C = A [ (B [ C) ;(A \ B) \ C = A \ (B \ C) ;


8/54

3. komutativnost:

A [ B = B [ A; A \ B = B \ A;4. distributivnost:

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ;A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) ;

5. De Morganove formule:

A [ B = A \ B A \ B = A [ B;

6. A [ ; = A; A \ X = A;

7. A [ X = X; A \ ; = ;;

8. komplementarnost:

A [ A = X; A \ A = ;;

9. involutivnost komplementiranja: A = A:


9/54

Napomene:

Sva svojstva iz prethodnog teorema imaju

svojstvo dualnosti, tj. zamjenom

[ $ \ i ; $ X

u jednom pravilu dobivamo drugo (valjano) pravilo.

Zbog asocijativnosti opravdano je umjesto(A [ B) [ C pisati A [ B [ C: Slicno za \:Ako imamo (konacan ili beskonacan) niz skupovaA1; A2;:::;An;:::, onda, zbog asocijativnosti, unijuoznacavamo

A1 [ A2[ ::: [An =nS

k=1 Ak (za konacan niz)

A1[ A2[ :::[ An[ ::: =1S

k=1

Ak (za beskonacan niz).

Slicno za presjek.

Skup ; moemo shvatiti kao najmanji, a skup Xkao najveci element skupa 2X (u smislu relacije"biti podskup"), tj. za svaki skup A 2 2X vrijedi:; A X


10/54

1.4 Kartezijev produkt

Denicija Neka su A1; A2; :::An neprazni skupovi,

onda deniramo Kartezijev produkt

A1 A2 ::: Ankao skup svih uredenih ntorki (a1; a2;:::;an) takvihda je ak 2 Ak za sve k = 1; 2;:::;n:

Kraca oznaka

nQk=1 A

k:

Alternativna denicija

Uo cimo: ako je (a1; a2;:::;an) 2 A1 A2 ::: An;onda ntorku (a1; a2;:::;an) moemo promatrati kaofunkciju

f : f1; 2;:::;ng ! nSk=1

Ak

danu sa f(k) = ak 2 Ak za sve k = 1; 2;:::;n; tj.(a1; a2;:::;an) (f(1) ; f(2) ;:::;f(n)) :

Vrijedi i obrnuto.


11/54

Dakle, Kartezijev produktnQ

k=1

Ak moemo denirati i

kao skup svih funkcija f : f1; 2;:::;ng !n

Sk=1 Ak tako

da je f(k) = ak 2 Ak za sve k = 1; 2;:::;n:

1.5 Ekvipotentnost skupova. Kardinani broj.

Denicija Kaemo da je skup A ekvipotentan

(jednakobrojan) sa skupom B ako postoji bijekcijaf : A ! B: Oznaka A B:

Teorem 2 Ekvipotentnost ima ova svojstva:

reeksivnost: A A za svaki skup A;

simetricnost: ako je A B; onda je B A; tranzitivnost: ako je A B i B C; onda je A C;

Dakle, ekvipotentnost je relacija ekvivalencije meduskupovima.

Denicija Za skupove A i B kaemo da imaju istikardinalni broj ako su ekvipotentni. Piemo jAj = jBj(ili cardA = cardB):


12/54

Denicija Za skup kaemo da je beskona can ako jeekvipotentan sa svojim pravim podskupom. Za skupkaemo da je konacan ako nije beskonacan.

Tvrdnja Skup prirodnih brojeva N je beskonacan, askup f1; 2;:::;ng je konacan. Skup realnih brojeva Rje beskonacan.

Denicija Kardinalni broj skupa N oznacavamo sa @0(alef nula) i piemo cardN = @0.Kardinalni broj skupa f1; 2;:::;ng oznacavamo sa n ipiemo card f1; 2;:::;ng = n:Svaki skup S za koji je cardS = @0, tj. koji je ekvipo-tentan sa N kaemo da je prebrojivo beskonacan.

Svaki skup S za koji je cardS = n, tj. koji je ekvipo-tentan sa f1; 2;:::;ng kaemo da ima n elemenata.

Primjer cardZ =cardQ = @0; tj. N; Z; Q suprebrojivo beskonacni (sve elemente moemo pore-dati u beskonacni niz).

Teorem 3 Svaki beskonacan podskup prebrojivogskupa je prebrojiv.


13/54

Teorem 4 Neka je A beskonacan skup i K njegovkonacan podskup, onda su skupovi A i AK ekvipo-tentni, tj. card A = card (A

nK) :

Teorem 5 (Cantor) Skup realnih brojeva R jeneprebrojiv, tj. nije ekvipotentan sa N. Dakle, vrijedi@0 < cardR =c (kontinum).

Dokaz: Kontradikcijom. (Cantorov dijagonalni postu-

pak).

Pitanje: Postoji li skup S, N S R koji nije ekvipo-tentan ni sa N ni sa R, tj. tako da je @0 < cardS < c?

Odgovor: Neodluciv. Pokazano je da se ne moe

se odgovoriti na to pitanje pomocu aksioma teorijeskupova (Choen 1964.). Uz pretpostavku da takavskup ne postoji (Cantorova hipoteza kontinuma)imamo jednu teoriju skupova, a uz pretpostavku datakav skup postoji, drugu.


14/54

Dodatak: Gdelizacija

Teorem 6 Neka je Nk = N

N

:::

N skup svih

uredenih ktorki prirodnih brojeva, tada je skupA =

1Sk=1

Nk prebrojiv. Drugim rijecima, skup svih kon-

acnih nizova prirodnih brojeva je prebrojiv.

Denicija Funkcija f :1

Sk=1

Nk

!N denirana sa

f(n1; n2;:::;nk) = pn11 p

n22 ::: pnkk ;

gdje je p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; :::; niz prostih brojeva,

se naziva gdelizacija skupa A =1S

k=1

Nk:

Posljedica 1 Skup svih konacnih nizova sastavljenihod 0 i 1 je prebrojiv.

Posljedica 2 Qje prebrojiv.


15/54

Denicija Za realan broj a kaemo da je algebarski brojako postoji polinom P(x) s cjelobrojnim koecijen-tima takav da je P(a) = 0:

Propozicija Skup svih algebarskih brojeva brojeva jeprebrojiv.

Denicija Realni brojevi koji nisu algebarski nazivajuse transcedentni.

Posljedica Skup svih transcendentnih brojeva jeneprebrojiv.


16/54

2. MATEMATI CKA LOGIKA

2.1 Temeljne oznake i denicije

Denicija Sud je svaka smislena izjavna recenicakoja moe biti samo istinita ili lana.;

Oznake:

sudove - (obicno) velikim slovoma A; B; C; :::; svakom sudu A pridruujemo vrijednost > ("istina")

ako je istinit, a vrijednost ? ("la") ako je laan;

vrijednost istinitosti suda A oznacavamo sa (A) inazivamo semanticka ili istinitosna vrijednost.Dakle, (A) = > znaci: sud A je istinit, a (A) = ?znaci: sud A je laan;

ponekad se umjesto > i ? koristi 1 ("istina") i 0("la");

matematicku logiku ne zanima sadraj suda vecsamo njegova istinitost, pa se ponekad se umjesto(A) = > pie A >, a umjesto (A) = ? pieA ?; tj. identiciramo sud s njegovom istinitocu.


17/54

2.2 Operacije sa sudovima

Skup svih sudova moemo identicirati sa skupom

f>; ?g : Uz tu identikaciju na skupu f>; ?g imamo: 4 razlicite unarne logicke operacije (jednom sudu

pridruuje drugi - samo jedna varijabla),

16 razlicitih binarnih logickih operacija (dvamasudovima (uredenom paru) pridruuje treci - dvijevarijable).

Sve te operacije opisane su pomocu tzv. semantickih(istinitnosnih) tablica. Najvanije operacije su:

Denicija Neka je A sud. Negacija suda A je sud

kojeg oznacavamo sa eA ("non A", "ne A") : Sud eAje istinit ako je A laan, a laan ako je A istinit. Pri-padna tablica istinitosti je

A eA

> ?? >


18/54

Sve unarne operacije fi, i = 1; 2; 3; 4; na f>; ?g sudane tablicom:

A f1 (A) f2 (A) f3 (A) f4 (A)> ? > ? >? ? ? > >

Vidimo da je f3 (A) =eA:

Denicija Neka su A i B sudovi.

Sud A ^ B ("A iB" ili "A etB") nazivamokonjunkcija sudova A i B: Sud A^ B je istinitsamo onda ako je istinit sud A i ako je istinit sud B:Pripadna tablica istinitosti je

A B A ^ B> > >> ? ?? > ?? ? ?

:

Sud A _ B ("A iliB", "A velB") nazivamoinkluzivna (ukljuciva) disjunkcija sudova A i B:Sud A _ B je laan samo onda ako je laan sud Ai ako je laan sud B: Pripadna tablica istinitosti je


19/54

A B A _ B> > >> ? >? > >? ? ?

Napomena: Veznik "ili" ovdje se shvaca uinkluzivnom (ukljucivom) smislu, tj. on doputatakoder "A i B".

Sud A Y B ("iliA iliB", "autA autB") nazivamoekskluzivna (iskljuciva) disjunkcija sudova A i B:Sud A Y B je istinit samo onda ako je jedan odsudova A i B istinit, a drugi laan: Pripadna tablicaistinitosti je

A B A Y B

> > ?> ? >? > >

? ? ?Napomena: Veznik "ili" ovdje se shvaca u ek-skluzivnom (iskljucivom) smislu, tj. on ne doputa"A i B".


20/54

Sud A =) B ("izA slijediB", "B je posljedica odA")nazivamo implikacija: Sud A =) B je laan ako jesud A istinit, a B laan: Pripadna tablica istinitosti je

A B A =) B> > >> ? ?? > >? ? >

Napomena: A =) B se jo cita: "ako je A onda jeB", "A je dovoljan uvjet za B", "B je nuan uvjet zaA".

Sud A () B (" A je ekvivalentan sa B") nazivamoekvivalencija (jednakovrijednost): Sud A () Bje istinit ako su vrijednosti istinitosti sudova A i Bjednake: Pripadna tablica istinitosti je

A B A () B> > >

> ? ?? > ?? ? >

Napomena: A () B se jo cita: " A je onda i smoonda ako je B", "A je nuan i dovoljan uvjet za B",


21/54

Sve binarne operacije fi, i = 1; 2; :::; 16 na f>; ?g sudane tablicom:

A B f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14> > > > > > ? > > ? > ? ? > ? ?> ? > > > ? > > ? > ? > ? ? > ?? > > > ? > > ? > > ? ? > ? ? >? ? > ? > > > ? ? ? > > > ? ? ?

Vidimo da je:

f12 (A; B) = A ^ B; f2 (A; B) = A _ B; f8 (A; B) = A Y B;

f4 (A; B) = A =

)B;

f9 (A; B) = A () B


22/54

Na slican nacin, mogu se denirati narne logicke operacnarna logicka operacija f svakoj uredenoj n torcisudova (A1;:::;An) pridruuje novi sud f(A1;:::;An) :

Ukupan broj razlicitih narnih operacija je 22n:

narna operacija se moe zadati dvojako: tablicom istinitosti

formulom algebre sudova, tj. kao sloeni sud.

Denicija Kaemo da su dvije formule P i Q algebresudova logicki ekvivalentne ako imaju isti broj vari-jabli i iste tablice istinitosti. Piemo P Q:

Poredak logickih operacija po padaju coj snazi vezivanja

dogovorno je:

e ; ^ ; _ ; =) ; ()


23/54

Teorem 1 Neka su A, B, C sudovi tada vrijedi:

1. idempotentnost disjunkcije i konjunkcije:

A _ A A; A ^ A A;

2. asocijativnost:

(A _ B) _ C A _ (B _ C) ;(A ^ B) ^ C A ^ (B ^ C) ;

3. komutativnost:

A _ B B _ A; A ^ B B ^ A;

4. distributivnost:

A ^ (B _ C) (A ^ B) _ (A ^ C) ;A _ (B ^ C) (A _ B) ^ (A _ C) ;


e(A

_B)

eA

^eB

e(A

^B)

eA

_eB;

6. A _ ? A; A ^ > A;

7. A _ > >; A ^ ? ?;


24/54

8. komplementarnost:

A_ eA >; A^ eA ?;9. pravilo dvostruke negacije: ee A A:

Napomene:

Sva svojstva iz prethodnog teorema imajusvojstvo dualnosti, tj. zamjenom

_ $ i ? $ >

u jednom pravilu dobivamo drugo (valjano) pravilo.

Zbog asocijativnosti opravdano je umjesto(A _ B) _ C pisati A _ B _ C: Slicno za ^:Ako imamo (konacan ili beskonacan) niz sudova A1;A2;:::;An;:::, onda, zbog asocijativnosti, piemo

A1 _ A2_ ::: _An = _ni=1Ak (za konacan niz )A1 _ A2 _ ::: _ An_ ::: = _ni=1Ak (za besk. niz).Slicno za ^.


25/54

2.3 Tautologije, pravila zaklju civanja

Denicija Za neku formulu P algebre sudova kaemo

da je tautologija ako je identicki istinita, tj. P >:Piemo j= P (citamo: P je tautologija).Formulu F algebre sudova koja identicki lana, tj.F ?; nazivamo kontradikcija (protuslovlje) .

Dakle, formula F je kontradikcija onda i samo onda

ako je eF tautologija.Primijedba Za dvije formule algebre sudova P i Qvrijedi P Q onda i samo onda ako je P () Q tau-tologija.

Neke vane tautologije:

j= A_ eA (zakon isklju cenja treceg, tj. svakatvrdnja je ili istinita ili lana (nema treceg));

j= (A =) B) ^ (B =) C) =) (A =) C) (pravilosilogizma ili tranzivnost implikacije);

j= e (A^eA) (zakon neproturje cnosti);


26/54

j= eeA A (zakon dvostruke negacije);

j= (A =

)B)

()(

eB =

)eA) (pravilo kontrapozi-

cije);

j= A _ (A ^ B) () A i j= A ^ (A _ B) () A(zakon apsorpcije ili upijanja).

Denicija Kaemo da je sud Q logicka posljedica(zakljucak) sudova P1; P2;:::;Pn ako iz pretpostavkeda su svi sudovi istiniti slijedi da je i sud Q istinit.Piemo:

P1; P2;:::;Pn j= Q:

Sudovi P1; P2;:::;Pn se nazivajupremise (pretpostavke),a sud Q kozekvenca (posljedica, zakljucak).

Teorem 2 Ako vrijedi P1; P2;:::;Pn j= Q onda jej= P1 ^ P2 ^ ::: ^ Pn =) Q i obrnuto.

Teorem 3 Za sudove A i B vrijedi

A; A =) B j= B:Ovo pravilo zakljucivanja nazivamo modus ponensili pravilo otkidanja.


27/54

Teorem 4 Za sud A vrijedi

eA =)? j= A

Ovo pravilo zakljucivanja nazivamo pravilo kon-tradikcije ili protuslovlja.

Po pravilu kontrapozicije iz modus poensa dobivamopravilo zakljucivanja koje nazivamo modus tollens(utvrduje neto to nije): Za sudove A i B vrijedi

A =) B; eB j= eA:Primjer:

P1: Ako se Ana kandidira na izborima (A), ona ce bitiizabrana (B).

P2 : Ako Ana dode na sastanak (C), ona ce se kan-didirati na izborima (A).

P3 : Ana ce doci na sastanak (C) ili ce ici u Italiju (D).

P4 : Ana nece ici u Italiju (eD).

Q : (Dakle,) Ana ce biti izabrana (B).


28/54

2.4 Dokazi u matematici

Pocetkom 20 st. uvidjelo se da treba dati stroge kri-

terije kada ce se dokaz neke tvrdnje prihvatiti ili neprihvatiti kao valjan. Ti kriteriji koriste pravila matem-aticke logike.

Mnoge tvrdnje u matematici imaju jedan od oblika:

j= P =

)Q, tj.

j= P1

^P2

^:::

^Pn =

)Q

j= Q () P:Neke vrste dokaza:

Direktni dokaz

Krenemo od pretpostavki teorema, pa koristecipravila zakljucivanja (te denicije i poznate (vecdokazane) tvrdnje) dolazimo do zakljucka teorema.Kod ovakvih dokaza najcece koristimo pravilo silo-gizma (tranzitivnost implikacije).

Teorem P1 Ako je x paran broj onda je i x2 paranbroj.


29/54

Dokaz po kontrapoziciji

Ako je tvrdnja oblika j= P =) Q onda je cesto lake

pokazati tvrdnju koja je ekvivalentna (po pravilu kon-trapozicije) a to je j= eQ =)eP:Teorem P2 Neka je x prirodan broj. Ako je x2 paranbroj, onda je x paran broj.

Napomena: Neke sloenije tvrdnje oblikaj= P =

)Q

se dokazuju u konacno me dukoraka. Npr. ako jeP P1 ^ P2 ^ ::: ^ Pn, onda se najprije dokae

j= P1 ^ P2 ^ ::: ^ Pn =) Q1iz toga

j= P1

^P2

^:::

^Pn

^Q1 =

)Q2

i nakon konacno koraka

j= P1 ^ P2 ^ ::: ^ Pn ^ Q1 ^ ::: ^ Qk =) Q


30/54

Dokaz kontradikcijom

Neku tvrdnju Q moemo dokazati kontradikcijom, tj.

tako da pretpostavimo da je tvrdnja eQ tocna.Koristeci pravila zakljucivanja (te denicije i poznate(vec dokazane) tvrdnje) dolazimo do zakljucka da jetvrdnja Q tocna. Sada je Q^ eQ > u suprotnosti(kontradikciji) s cinjenicom Q^ eQ ?.Zakljucijemo pretpostavka eQ nije tocna, dakle Q jetocna. (

eQ =

)? j= Q:)

Teorem P3 Ne postoji racionalan broj x ciji je kvadratjednak 2.

Dokaz ekvivalencije

Ako je tvrdnja oblikaj= P

()Q onda tvrdnju

dokazujemo tako da dokaemo j= P =) Q ij= Q =) P:Teorem P4 Neka je x prirodan broj. Tada je x paranbroj ako i samo ako je x2 paran broj.

Dokaz kontraprimjerom

Tvrdnje oblika: Za svaki x vrijedi..., pokazujemo danisu tocne kontraprimjerom, tj. nademo x0 za kojitvrdnja ne vrijedi.


31/54

Tvrdnja P5 Svi viekratnici od 3 su neparni.

Kontraprimjer: 6 je viekratnik od 3; a nije neparan.

Tvrdnja P6 Produkt svaka dva iracionalna broja jeiracionalan.

Kontraprimjer: x =p

12 i y =p

3 su iracionalni, aliprodukt x y = p36 = 6 nije iracionalan.

Dokaz indukcijom

Matmatickom indukcijom se dokazuju tvrdnje oblika:Za sve prirodne brojeve n n0 vrijedi da je (tvrdnja)P(n) istina.

Dokaz ima tri koraka:

Baza indukcije (dokazujemo da je P(n0) istina) Pretpostavka indukcije (pretpostavljamo da P(k)

istina za neki k n0) Korak indukcije (dokazujemo da je P(k + 1) istina

koristeci pretpostavku indukcije)


32/54

Primjer: Treba pokazati da formulanX

i=1

i = 1 + 2 + 3 + ::: + (n 1) + n = n (n + 1)2

(F(n))

vrijedi za svaki prirodan broj n 2 N; tj. za n 1:Dokaz:

Baza indukcije. (Dokazujemo da je F (n) istina zan = 1)

1

Xi=1

i = 1 =1

(1 + 1)

2

Pretpostavka indukcije. (Pretpostavimo da je F(n)istina za n = k)

kX

i=1

i = 1 + 2 + ::: + (k

1) + k =

k (k + 1)

2

:

Korak indukcije. (Pokazujemo da je F(n) istina zan = k + 1)

k+1Xi=1

i = 1 + 2 + ::: + k + (k + 1)P:I:=

= k (k + 1)2

+ (k + 1) = k2 + 3k + 2

2

=(k + 1) (k + 2)

2=

(k + 1) ((k + 1) + 1)

2


33/54

Dokaz postojanja (egzistencije)

Tvrdnja je oblika: Postoji x tako da je.....Ove tvrdnje dokazujemo tako da konstruiramo objektx koji zadovoljava traeno svojstvo.

Tvrdnja P6 Neka je matrica A 2 Mn: Ako jedet A 6= 0 onda je A regularna (postoji A1).

Dokaz: (skica) Deniramo (konstruiramo) matricu

B =1

det(A)~AT (dobro def. jer je det A 6= 0)

i pokaemo da vrijedi AB = BA = I; pa je B = A1:

Dokaz jedinstvenosti

Tvrdnja je oblika: Ako objekt x sa svojstvom P(x)postoji onda je jedinstven.Ove tvrdnje dokazujemo tako da pretpostavimoda postoje dva objekta sa svojstvom P(x) i ondapokaemo da su oni nuno jednaki.

Tvrdnja P7 Neka je matrica A 2 Mn. Ako postojimatrica B 2 Mn za koju vrijedi AB = BA = I ondaje ona jedinstvena.

Dokaz: Sami


34/54

2.5 Skupovni prikaz algebre sudova

Denicija Algebra sudova je skup svih sudova S

zajedno sa tri operacije na S: dvije binarne ^ i _ ijednom unarnom e: Svojstva te algebre navedena suu Teoremu 1 (poglavlje 2.2).

Neka je X univerzalni skup. Operacije na pod-skupovima od X mogu se opisati pomocu logickih

operacija.Neka su skupovi A i B (podskupovi univerzalnogskupa X), tada je:

A\B = fx 2 X : x 2 A ^ x 2 Bg ;

A

[B =

fx

2X : x

2A

_x

2B

g;

A = fx 2 X : e (x 2 A)g; AB za sve x 2 X vrijedi x 2 A =) x 2 B; A=B za sve x 2 X vrijedi x 2 A () x 2 B; A4B = (A [ B)n(A \ B) = fx 2 X : x 2 A Y x 2 Bg

simetricna razlika:


35/54

Dakle, imamo analogiju (usporedba Teorema 1(poglavlje 1.3) i Teorema 1 (poglavlje 2.2):

Sudovi A ^ B A _ B eA A =) B A () BSkupovi A \ B A [ B A A B A = BSudovi A Y B ? >

Skupovi A 4 B ; XOvo motivira sljedecu apstraktnu deniciju:


36/54

2.6 Booleove algebre

Denicija Neka je B skup u kojem su istaknuta

dva razlicita elementa 0 (nula) i 1 (jedan), teneka su zadane tri operacije na B: dvije bina-rne + (zbrajanje) i (mnoenje) i jedna unarna(komplementiranje): Skup B s ove tri operacije nazivase Booleova algebra ako su zadovoljena svojstva:

1. idempotentnost zbrajanja i mnoenja:

a + a = a; a a = a;

2. asocijativnost:

(a + b) + c = a + (b + c) ;

(a b) c = a (b c) ;3. komutativnost: a + b = b + a; a b = b a;

4. distributivnost:

a

(b + c) = (a

b) + (a

c) ;

a + (b c) = (a + b) (a + c) ;


a + b = a b a b = a + b;


37/54

6. a + 0 = a; a 1 = a;

7. a + 1 = 1; a 0 = 0;

8. komplementarnost: a+ a = 1; a a = 0;

9. involutivnost komplementarnosti: a = a:

Napomene:

Sva svojstva iz prethodnog teorema imajusvojstvo dualnosti, tj. zamjenom

+ $ i 0 $ 1u jednom pravilu dobivamo drugo (valjano) pravilo.

Booleovu algebru obicno deniramo kao uredenuestorku (B; +;

; ; 0; 1) koja zadovoljava svojstva

1: 9:: Moe se pokazati da je dovoljno zahtjevatida su zadovoljena svojstva 3:; 4:, 6:, 8:, jer svaostala slijede iz njih.


38/54

Propozicija

a) Elementi 0 i 1 u Booleovoj algebri B odredeni su

jednoznacno.b) U svakoj Booleovoj algebri vrijedepravila apsorpcije:

a + ab = a; a (a + b) = a

koja su jedno drugom dualna.

U svakoj Booleovoj algebri vrijedi:

1 + 1 = 1; 1 + 0 = 0 + 1 = 1; 0 + 0 = 0 i dualno0 0 = 0; 0 1 = 1 0 = 0; 1 1 = 1;

0 = 1 i 1 = 0

Primjeri Boolovih algebri

Ako je B = f>; ?g onda je (B; _; ^; e; ?; >)Boolova algebra;

Ako je S = fxg i B = 2A

= f;; Sg onda je(B; [; \; ; ;; S) Boolova algebra;

Ako je S bilo koji skup i B = 2S onda je(B; [; \; ; ;; S) Boolova algebra;


39/54

Denicija Neka su zadane dvije Booleove algebre(B1; +1; 1; 1; 01; 11) i (B2; +2; 2; 2; 02; 12) : Za funkcijuf : B1

!B2 kaemo da je izomorzam Booleovih

algebri B1 i B2 ako je bijekcija i ako za sve a; b 2 B1vrijedi

f(a 1 b) = f(a) 2 f(b) (i1)f(a) = f(a) (i2)

Propozicija Neka je f : B1 ! B2 izomorzamBooleovih algebri, onda vrijedi

f(a + b) = f(a) + f(b)

f(01) = 02 i f(11) = 12:

Za dvije Booleove algebre B1 i B2 kaemo da suizomorfne ako postoji izomorzam f : B1 ! B2: Utom slucaju kaemo da su B1 i B2 jednake do naizomorzam (identikacija - a f(a)).Primjer Svake dvije dvoclane Booleove algebre su

izomorfne, pa kaemo da, gledano do na izomor-zam, postoji samo jedna dvoclana Booleova algebra.Ta je (f0; 1g ; +; ; ) ; i sve ostale dvoclane identici-ramo s ovom.


40/54

Primjer Neka je B1 = D30 skup svih djelitelja broja30; tj. D30 = f1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30g : Denirajmo zaa; b

2D30

a b = M(a; b) - najveca zajednicka mjera od a i b;a + b = v (a; b) - najveci zajednicki viekratnik od a i b;

a =30

a;

tada je (D30; +; ; ; 1; 30) Booleova algebra.Neka je S = fx;y;zg tada je 2S; [; \; e; ;; SBooleova algebra. Uocimo 2S = B2 ima 8 elemenata

2S = f;; fxg ; fyg ; fzg ; fx; yg ; fx; zg ; fy; zg ; fx;y;zgg

Deniramof : D30 ! 2

S tako da je

f(1)= ;; f(30)= fx;y;zg = S;f(2)= fxg ; f(3)= fyg ; f(5)= fzg ;

f(6)= fx; yg ; (f(6) = f(2 + 3) = f(2) [f(3)= fx; yg );f(10)=

fx; z

g; (f(10)= f(2 + 5) = f(2)

[f(5)=

fx; z

g)

f(15)= fy; zg ; (f(15) = f(3 + 5) = f(3) [f(5)= fy; zg )

Lako se provjeri da je f : D30 ! 2S izomorzamBooleovih algebri (nije jedini- ukupno ih ima 6).


41/54

Moe se pokazati da je svaka konacna Booleova al-gebra izomorfna nekoj algebri skupova

2S; [; \; e; ;; S :

Denicija Kaemo da je B1 podalgebra Booleovealgebre (B; +; ; ; 0; 1) ; ako je B1 B i ako je B1Booleova algebra s obzirom na operacije nasljedeneiz B.

Da bi B1 B bila podalgebra dovoljno je provjeriti daza sve a; b

2B1 vrijedi

a b 2 B1; a 2 B1:

Primjer Svaka Booleova algebra (B; +; ; ; 0; 1) imaza trivijalnu podalgebru B1 = f0; 1g :

Primjer Podalgebra Booleove algebre D30 =f1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30g je npr. B1 = f1; 2; 15; 30g(ima ih ukupno 5 razlicitih).


42/54

2.7 Booleove funkcije

Neka je (B; +; ; ; 0; 1) dvoclana Booleova algebra,tj. B = f0; 1g : Zbog lakeg racunanja (pamcenja)denirajmo: 0 < 1: Sada operacije na B moemodenirati

a b = min fa; bg i a + b = max fa; bg .

Denicija Booleova funkcija (ili n

arna logicka operacija)

je bilo koja funkcija F : Bn ! B, gdje je B = f0; 1g :Dakle,

(x1; x2;:::;xn) 2 Bn F! F (x1; x2;:::;xn) 2 B:

x1; x2;:::;xn su varijable Booleove funkcije.

Teorem 1 Broj svih Booleovih funkcija od n varijabliiznosi 22

n

:

Svih Booleovih funkcija jedne varijable ima 221

= 4 adane su tablicom:

x F1

F2

F3

F4

1 0 1 0 10 0 0 1 1

Vidimo da je F3 (x) = x:


43/54

Svih Booleovih funkcija dvije varijable ima 222

= 16 adane su tablicom:

x1 x2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F111 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 01 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 00 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

x1 x2 F12 F13 F14 F15 F16

1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0

Vidimo da je:

F12 (x1; x2) = x1 x2 (= x1 ^ x2); F2 (x1; x2) = x1 + x2 (= x1 _ x2); F8 (x1; x2) (= x1 Y x2);

F4 (x1; x2) (= x1 =

)x2);

F9 (x1; x2) (= x1 () x2) F1 (x1; x2) = 1 (tautologija)


44/54

PrimjerSkup svih Booleovih funkcija od n varijabli

B0 =f

F

jF : Bn

!B; F Booleova fja

gje Booleova algebra uz operacije F + G; F G i Fdane sa

(F + G) (x1;:::;xn) = F (x1;:::;xn) +G (x1;:::;xn)

(F G) (x1;:::;xn) = F (x1;:::;xn) G (x1;:::;xn)F (x1;:::;xn) = F (x1;:::;xn)

B0 ima 22n

elemenata (Teorem 1).

2.8 Disjunktivna i konjuktivna normalna forma

Svaku Booleovih funkcija moemo zadati tablicom.Pokaimo, na primjeru, da se Booleova funkcija moeopisati i pomocu operacija +; ; :


45/54

PrimjerNeka je F : B3 ! B dana tablicom:

x1 x2 x3 F

1 1 1 01 1 0 11 0 1 00 1 1 01 0 0 10 1 0 1

0 0 1 00 0 0 1

Pogledajmo retke kojima odgovara vrijednost 1;

U svakom takvom retku 0 pridruimo odgovarajucixi; a 1 pridruimo xi;

Sada uredenoj trojci, npr. (x1; x2; x3) = (1; 1; 0) ;pridruimo x1 x2 x3;

Vrijedi: x1 x2 x3 = 1 ako i samo ako je (x1; x2; x3) =(1; 1; 0) ;


46/54

Zbrojimo sve te izraze

(x1

x2

x3) + (x1

x2

x3) + (x1

x2

x3) + ( x1

x2

x3)

Vrijednost ovog izraza je 1 ako je barem jedan od"pribrojnika" 1: Isto tako ako je jedan "pribrojnika"1; svi ostali su 0: Dakle, imamo samo 4 mogucnosti(od 8). Prema tome ovaj izraz ima istu tablicu kaoF; tj.

F (x1; x2; x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

Produkt varijabli poput x1 x2 x3 koji odgovara ure-denoj trojci (x1; x2; x3) (opcenito ntorci) za koju

je F = 1 nazivamo minterm funkcije F: Dakle,svaka Booleova funkcija F jednaka je zbroju svojihminterma.

Neka je x 2 B = f0; 1g ; onda deniramo: x0 = x;x1 = x: Dakle, 10 = 0; 00 = 1; 11 = 1; 01 = 0:

Koristeci ovaj zapis imamo:


47/54

Teorem 2 Neka je F : Bn ! B Booleovih funkcija iJ skup svih elemenata (e1; e2;:::;en) 2 Bn za koje jeF (e1; e2;:::;en) = 1: Onda je

F(x1; x2;:::;xn) =P

(e1;e2;:::;en)2J(xe11 xe22 ::: xenn ) : (*)

Izraz (*) se naziva disjunktivna normalna forma Booleovefunkcije F.

Slicno, ako gledamo retke za koje je F = 0; ondaprvom retku pridruimo x1 + x2 + x3, itd.Vrijedi: x1+ x2+ x3 = 0 ako i samo ako je (x1; x2; x3) =(1; 1; 1) ;Pomnoimo sve te izraze

(x1 + x2 + x3)(x1 + x2 + x3)(x1 + x2 + x3)(x1 + x2 + x3)

Vrijednost ovog izraza je 0 ako je barem jedna odzagrada 0: Isto tako ako je jedna zagrada 0; sve os-tale su 1: Dakle, imamo samo 4 mogucnosti (od 8).

Prema tome ovaj izraz ima istu tablicu kao F; tj.

F(x1; x2; x3) =

= (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3)


48/54

Zbroj varijabli poput x1 + x2 + x3 koji odgovara ure-denoj trojci (x1; x2; x3) (opcenito ntorci) za koju jeF = 0 nazivamo maksterm funkcije F:

Dakle, svaka Booleova funkcija F jednaka je umnokusvojih maksterma.

Teorem 2 Neka je F : Bn ! B Booleovih funkcija iK skup svih elemenata (k1; k2;:::;kn) 2 Bn za koje jeF (k1; k2;:::;kn) = 0: Onda je

F(x1; x2;:::;xn) =Q

(k1;k2;:::;kn)2K

xk11 +x

k22 ::: + x

knn

:

(**)

Izraz (**) se naziva konjunktivna normalna forma Booleovefunkcije F.

Denicija Neka je F : Bn ! B Booleovihfunkcija. Dualna Booleovih funkcija od F je funkcijaF : Bn ! B denirana sa

F (x1; x2;:::;xn) =F(x1; x2; :::; xn):


49/54

Propozicija Operacija dualnosti je involutivna, tj.(F) = F:

Propozicijaa) Operacije zbrajanja + i mnoenja u Booleovoj al-gebri su dualne.

b) Operacija komplementiranja je involutivna.

Problem ispunjivosti

Postoji li barem jedna n torka (x1; x2;:::;xn) 2 Bnza koju je Booleova funkcija F : Bn ! B jednaka 1?

PrimjerKae ena nakon vjencanja svom muu: "Bit

ce mir za vrijeme rucka ako ispuni tri uvjeta":

1. Ako ne stavi kruh (A) na stol, mora staviti sladoled(B).

2. Ako stavi kruh (A) i sladoled (B), ne smije stavitikrastavce (C).

3. Ako stavi krastavce (C) ili (inkl.) ne stavi kruha(A), onda ne smije staviti sladoled (B)."

2.8 Logi cki sklopovi Knjiga str. 31.


50/54

2.8 Predikatni ra cun

Recenice kao:

P1 (x) : " x je bio trener "Hajduka" 1971."; P2 (x; y) : "x + y = 1";nisu sudovi dok simbole x i y smatramo varijablama,ali postaju sudovi (ili istiniti ili lani) kad x i y poprimekonkretne vrijednosti.

Denicija Izjavna recenica koja sadri jednu ili vievarijabla, i koja za konkretne vrijednosti varijabla izzadanog skupa D postaje sud, naziva se predikat.

Kaemo da je predikat:

jednomjesni ako ima samo jednu varijablu x 2 D;

dvomjesni ako ima dvije varijable x 2 D1; y 2 D2;

n

mjesni ako ima n varijabli xk2

Dk; k = 1;:::;n:

Skup D = D1:::Dn nazivamo domena predikata.


51/54

Napomena

Za svaku varijablu danog predikata pretpostavljase da je poznat skup (domena) iz kojeg varijablapoprima svoje vrijednosti.

Ako semanticka (istinitosna) vrijednost nekogpredikata ne ovisi o nekoj od varijabla, onda se tavarijabla naziva ktivna varijabla.

Iz jednostavnijih predikata, koristeci logicke op-eracije, gradimo formule predikatnog racuna, kojesu opet predikati;

Denicija Neka je P(x) predikat i x iz zadane

domene D.

Tada je 8xP(x) sud koji je istinit onda i samo ondaako je sud P(a) istinit za svaki a 2 D: Sud 8xP(x)citamo: " za svaki x je P (x)" ili " za svaki x vrijediP(x)".

Simbol 8 nazivamo univerzalni kvantikator.


52/54

Tada je 9xP(x) sud koji je istinit onda i samoonda ako postoji barem jedan a 2 D za koji jesud P (a) istinit. Sud

9xP(x) citamo: " pos-

toji x tako da je P(x)". Simbol 9 nazivamoegzistencijalni kvantikator.

Napomena

Od svakog nmjesnog predikata P(x1;:::;xi;:::;xn)

s domenom D = D1 ::: Dn moemo dobiti jed-nomjesni tako da varijablu xi 2 Di ostavimoslobodnu, a ostale ksiramo. Dakle,

P(a1;:::;ai1; xi; ai+1;:::;an)

je jednomjesni predikat, a

8xiP(a1;:::;ai1; xi; ai+1;:::;an) i9xiP(a1;:::;ai1; xi; ai+1;:::;an)

sudovi. Prema tome, izrazi

8xiP(x1;:::;xi1; xi; xi+1;:::;xn) i9xiP(x1;:::;xi1; xi; xi+1;:::;xn)

su (n 1) mjesni predikati koji ne ovise o varijablixi; tj. xi je vezana kvantikatorom.


53/54


54/54

Teorem

a) 8x8yR (x; y) 8y8xR (x; y) ;

b) 9x9yR (x; y) 9y9xR (x; y) ;

c) 9x8yR (x; y) j= 8x9yR (x; y) ;

1.

8x

9yR (x; y)

j=

9x

9yR (x; y) :

Pomocu predikata zadajemo skupove. Ako je zadanpredikat P(x) s domenom D, onda on denira skupA kao skup svih elemenata iz D za koji je P(x) istinit,tj.

A = fx 2 D : P(x) >g ;ili krace A = fx 2 D : P(x)g :

diskretna1-05

Documents