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DISEQUAZIONI•Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado
•Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili•Disequazioni con valori assoluti
•Disequazioni irrazionali
Classe III a.s. 2012/2013
Prof.ssa Rita Schettino
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PREMESSA
• Le slides seguenti danno appunti operativi per risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate nella copertina
• Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività delle disequazioni lineari o delle disequazioni fratte o dei sistemi di disequazioni che sono reperibili in altre presentazioni sulla medesima pagina
prof.ssa R. Schettino 2
Disequazioni
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Segno di un trinomio di 2° grado• Studiare il segno di un trinomio significa determinare
quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un risultato nullo o positivo o negativo
• Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o gli intervalli di per cui il trinomio risulti nullo o positivo o negativo
• Si comprende quindi che questa problematica rientra nel determinare valori di una incognita per cui si verifichi la uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la sua negatività
• Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o disequazioni (nel caso della positività o della negatività)
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Disequazioni
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Segno di un trinomio di 2° grado• Dato quindi un trinomio di 2° grado (scritto ovviamente in forma normale) si tratta di
determinare i valori reali di x per cui:a) Il trinomio sia uguale a zero (equazione di 2° grado)b) Il trinomio sia positivo (disequazione di 2° grado)c) Il trinomio sia negativo (disequazione di 2° grado)N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può
richiedersi anche o il cui significato è noto.prof.ssa R. Schettino 4
cbxax 2
02 cbxax
02 cbxax
02 cbxax
Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Forma normale :
con a > 0• Si risolvono seguendo due passi:a) Risoluzione dell’equazione associatab) Determinazione degli intervalli delle soluzioni
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0 oppure 0 22 cbxaxcbxax
Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• La dimostrazione di quanto segue fa parte del corso in aula, qui ricordiamo le regole:
• L’equazione associata può ammettere1)Due soluzioni reali e distinte x1 x2
2)Due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2
3)Soluzioni non reali (o complesse) x1, x2 C
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Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADOcbxax 2 normale formaa>0
• >0 x1 x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse
• <0 x1 x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
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• Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici x1 e x2
• Soluzioni: tutti i numeri reali tranne x1
• Soluzioni: tutti i numeri reali
• Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici x1 e x2
• Nessuna soluzione• Nessuna soluzione
Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Le regole precedenti valgono nel caso a>0• Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i
coefficienti e il verso della disequazione e riportarsi al caso precedente
• Oppure si determinano comunque le radici dell’equazioni associata e le regole per gli intervalli delle soluzioni della disequazione sono all’incontrario delle precedenti
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Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADOa<0• >0 x1 x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse
• <0 x1 x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse
• Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici: x1<x<x2
• Nessun valore reale
• Nessun valore reale
• Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici: x<x1, x>x2
• Soluzioni: tutti i valori reali tranne x1=x2
• Tutti i numeri reali
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Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO• Notiamo che (da memorizzare benissimo!): Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE
SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONEBisogna guardare sia il segno del primo coefficiente
(a) sia il segno del trinomioBisogna guardare la natura delle radici della
equazione associata: a seconda se sono distinte, coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di soluzioni
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Le regole precedenti si possono riassumere così:• Dopo aver determinato le radici dell’equazione
associata si ha:
Se le radici sono distinte
Se le radici sono coincidenti
Se le radici sono complesse
• N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
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Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori esterni
Discordanza tra a e il segno : valori interni
Concordanza tra a e il segno: sempre verificato tranne x1
Discordanza tra a e il segno: mai verificato
Concordanza tra a e il segno: sempre verificato
Discordanza tra a e il segno: mai verificato
Disequazioni
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DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
• Le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo si risolvono riconducendole a disequazioni di 2° grado
• Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono, sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado.
• Es.
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Disequazioni
012214
0232
02
24
36
24
xx
xx
xx Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema
È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado
È biquadratica quindi si svolge con le regole delle disequazioni di 2° grado, per due volte
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
• Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE (v. a.)
a se a 0 vale a dire: è il numero• a = stesso se questo è 0, è il - a se a < 0 suo opposto se è < 0. Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il
valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento (a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è 0 o < 0.
Ricordiamo inoltre che e che
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Disequazioni
kakka kakaka
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
• Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente l’incognita?
• Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la rappresentazione grafica degli intervalli di positività o negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio)
• Es.
prof.ssa R. Schettino 1402
3
065
23
2
xxx
xx
xx
Disequazioni
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
• I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono più di uno per cui bisogna considerare vari casi.
• Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni: l’una se 5x+60, l’altra se 5x+6<0. Ciò perché nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto cambiato di segno perché l’argomento è negativo.
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Disequazioni
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
• Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo.
• Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea continua per indicare la positività dell’argomento, la linea tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si ha:
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- 3 0
Disequazioni
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
• Quindi si risolvono in questo esempio tre casi:• Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti
sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad entrambi i segni
• Nell’intervallo -3 x < 0 in cui il 1° va sciolto cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo segno
• Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il loro segno
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Disequazioni
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
• Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del 1° es.
• N. B. gli esempi presentano disequazioni; è implicito che per le equazioni valgono le stesse identiche procedure
• Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
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Disequazioni
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RIASSUMIAMODisequazioni
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Disequazioni
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ULTERIORI CONSIDERAZIONI• Quando si devono risolvere disequazioni del
tipo si può procedere più rapidamente risolvendo il sistema di disequazioni
(perché é un sistema?)
• Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere risolvendo
e unire le soluzioni delle due disequazioni
• Le regole precedenti sono generali, queste ultime valgono solo in questi casi
prof.ssa R. Schettino 21
kxA )(
kxAk )(
kxA )(
kxAkxA )(,)(
Disequazioni
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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Una disequazione si dice IRRAZIONALE se l’incognita compare nel radicando di un radicale
• È quindi del tipo • Può anche contenere più di un radicale, può
anche avere un numero reale al 2° membro• Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali:
prof.ssa R. Schettino 22
dispari è se
pari è se 0)()(
n
nxAxAn
)()( o )()( xBxAxBxA nn
Disequazioni
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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con
indice dispari (le più semplici)• Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n
(indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui soluzioni sono quelle della disequazione data
• Ciò perché si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari,
con l’elevamento a potenza• Ricordiamo che• Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il
verso della disequazione solo se le basi sono positive
prof.ssa R. Schettino 23
b e a dispari n con )b(oa)b(oa nn
b e a pari n con )b(oa)b(oa nn
Disequazioni
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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice
è pari• Cominciamo col tipo • È equivalente al sistema• Esaminiamo il sistema:• per l’esistenza del radicale (Dominio)• perché, dovendo essere maggiore del
radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo• elevando al quadrato entrambi i membri della
disequazione (che sono positivi per le condizioni precedenti)• Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
prof.ssa R. Schettino 24
)()( xBxA
)()(
0)(
0)(
2 xBxA
xB
xA
0)( xA0)( xB
)()( 2 xBxA
Disequazioni
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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Esaminiamo il tipo• È equivalente all’unione dei due sistemi
• Esaminiamo il 1° : per l’esistenza del radicale (Dominio)• perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione,
minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0 • Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la
disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo, B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è nella disequazione data
prof.ssa R. Schettino 25
)()( xBxA
)()(
0)(
0)(
0)(2 xBxA
xB
xB
xA
0)( xA
0)( xB
Disequazioni
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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Esaminiamo il 2°: perché B(x) può essere anche positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale
• perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri della disequazione data e non cambia ilverso della disequazione
• Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio perché viene ad essere implicita nella seconda condizione, dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva
• Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
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0)( xB
)()( 2 xBxA
0)( xA
Disequazioni
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ESEMPIÈ di indice dispari (si elevano i due membri alla
terza potenza)È di indice dispari e contiene una disequazione
frattaÈ dello steso tipo del primo esempio
È dello stesso tipo del secondo esempio
È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed è del tipo
È di indice pari ed è del tipo
Sono di indice pari e contengono due radicali: si imposta il sistema formato dalle condizioni dei domini e dall’elevamento alla seconda dei due membri
prof.ssa R. Schettino 27
6
13
1
12
12
1
4
41
0165
21
100
12
11
1
12612
22
42
2
5
3 3
7
3 2
x
x
x
x
xxx
xxx
xxx
x
x
xx
x
x
xxx
)()( xBxA
)()( xBxA
Disequazioni
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CONCLUSIONI • Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di
qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella tipologia giusta
• La risoluzione deve essere logica, secondo le regole di ciascuna tipologia
• Le equazioni e disequazioni possono essere miste, cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno risolte con estrema attenzione procedendo per gradi
• Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro
prof.ssa R. Schettino 28
Disequazioni