INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico en Cómputo

DISEÑO PARAMÉTRICO DE UNA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

Tesis que para obtener el grado de Maestría en Tecnología de Cómputo presenta:

Ing. Paul Octavio Gómez Castro

Directores: Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores

M. en C. María Aurora Molina Vilchis

México, D.F. Enero de 2012

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RESUMEN

El diseño de la bomba de ariete hidráulico ha probado su valía a través del tiempo, no obstante es posible optimizarlo en función de las necesidades del usuario. En este trabajo de tesis se establece un problema de rediseño paramétrico para la obtención de valores óptimos de operación del sistema en

función de los valores de entrada y (caudal de entrada y altura de alimentación). Para la solución de este problema se obtuvo la eficiencia del dispositivo y se utilizaron técnicas de programación matemática y heurísticas que permitieron obtener los valores óptimos. Por último se exponen los resultados obtenidos de la parametrización del sistema que permiten el análisis del funcionamiento del mismo.

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ABSTRACT

The design of the hydraulic ram pump has proven its worth over time, however it is possible to optimize it based on user needs. This thesis provides a parametric redesign problem to obtain optimal values of system operation based on input values Q and H (high inflow and supply). To solve this problem we obtained the efficiency of the device and used mathematical programming techniques and heuristics that allowed us to obtain the optimal values. Finally, we present the results obtained from the parameterization of the system that allow analysis of the operation.

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AGRADECIMIENTOS

Mi más sincero y profundo agradecimiento a Sandra Tovar por las enseñanzas y apoyo brindados, por los momentos de felicidad e inspiración compartidos, parte fundamental para la conclusión de esta etapa… te quiero y amo mucho. Al Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores y a la M. en C. María Aurora Molina Vilchis por la confianza y oportunidad que me brindaron en la realización de este trabajo y a lo largo de mi trayectoria académica en el CIDETEC. A mis revisores, Dr. Juan Carlos Herrera Lozada, M. en C. Juan Carlos González Robles, M. en C. Eduardo Vega Alvarado por sus comentarios, observaciones y el tiempo dedicado a la revisión de esta tesis. Al Dr. Víctor Manuel Silva García por el apoyo y consejos recibidos para la terminación de este trabajo. A todo el personal docente y administrativo del CIDETEC por las atenciones prestadas. Al CONACyT, al IPN y a la SIP por las becas otorgadas, sin ellas terminar esta maestría habría sido imposible. A mis amigos y compañeros del CIDETEC, por los agradables momentos compartidos en estos últimos años. A mis entrañables hermanos Julio César, Carlos Javier, José Felipe, Miriam Verenice y Zahua con quienes cuento en todo momento y circunstancias de mi vida, en especial a la familia Mejía Pérez, quienes me integraron como uno más de ellos.

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Índice general Introducción…………………………………………………………………….. 10

1 Antecedentes............................................................................................... 11 1.1. Heurísticas……………………………………………………………… 11 1.2. Diseño paramétrico……………………………………………………. 12 1.3. Bomba de ariete hidráulico…………………………………………… 13 1.4. Estado del arte…………………………………………………………. 15 1.5. Planteamiento del problema………………………………………….. 19 1.6. Objetivo…………………………………………………………………. 20 1.6.1. Objetivos particulares………………………….…………….. 20 1.7. Recursos………………………………………………………………... 20 1.7.1. Partes mecánicas……………………………………………… 20 1.7.2. Hardware………………………………………………………. 20 1.7.3. Software………………………………………………………… 20 1.7.4. Otros……………………………………………………………. 21 1.8. Organización del documento…………………………………………. 21

2 Modelo de la bomba de ariete hidráulico…………………………………… 23 2.1. Discusión preliminar…………………………………………………… 23 2.2. Principio de funcionamiento………………………………………….. 23 2.3. Desarrollo de la bomba de ariete hidráulico……………………….. 24 2.4. Componentes de la bomba de ariete hidráulico……………………. 25 2.5. Funcionamiento de la bomba de ariete hidráulico…………………. 26 2.6. Sistema de funcionamiento de la bomba de ariete hidráulico……. 28 2.6.1. Bombas de ariete hidráulico en serie y paralelo………….. 30 2.6.2. Bombas de ariete hidráulico multigolpe……………………. 32 2.7. Selección de la bomba de ariete hidráulico………………………… 32 2.7.1. Montaje de la bomba de ariete hidráulico…………………. 33 2.8. Aplicaciones del ariete hidráulico……………………………………. 34

3 Estrategia de optimización……………………………………………………. 35 3.1. Conceptos básicos de optimización…………………………………. 36 3.2. Optimalidad en problemas con restricciones……………………….. 38 3.3. Los teoremas del no free lunch para optimización………………… 41 3.4. Métodos de solución…………………………………………………... 41 3.4.1. Computación evolutiva……………………………………….. 41 3.4.2. Algoritmos evolutivos…………………………………………. 43 3.4.2.1. Componentes de los algoritmos evolutivos………….. 43 3.4.3. Evolución diferencial (ED)...………………………………….. 46 3.4.3.1. Descripción del algoritmo de ED………………………. 48 3.4.3.2. Variantes de ED…………………………………………. 52 3.5. Problema de optimización de la bomba de ariete hidráulico……… 53 3.5.1. Función objetivo de la bomba de ariete hidráulico………… 55

4 Simulación numérica…………………………………………………………… 56 4.1. Resultados……………………………………………………………….. 56 4.2. Puesta a punto del algoritmo…………………………………………… 62

5 Conclusiones……………………………………………………………………. 64 5.1. Trabajos a futuros…………………………………………………….... 65

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Referencias................................................................................................ 66 Anexos…………………………………………………………………………… 71 Código de programación de ED.......................................................... 71 Código de programación de fmincon……………………………………. 74 Tabla de tipos de ariete…………………………………………………… 75

Índice de figuras

1.1. Modelos Secuencial y Concurrente……………………………………….. 12 1.2. Sistema de la bomba de ariete hidráulico……………………………….... 14 2.1. Onda de presión en el cierre instantáneo de una válvula: C es la

velocidad de propagación de la onda y V la velocidad del fluido. La tubería se dilata (o se contrae) al avanzar la onda de presión (o depresión)…………………………………………………………………….. 23

2.2. Ariete hidráulico convencional……………………………………………… 24 2.3. Componentes de la bomba de ariete hidráulico………………………….. 25 2.4. Esquema de funcionamiento del ariete ideado por John Whitehurst…… 28 2.5. Esquema del ariete hidráulico ideado por Joseph Michael Montgolfier,

construido con el mismo principio de funcionamiento de los equipos actuales……………………………………………………………………….. 29

2.6. Configuración clásica de un sistema de bombeo con bomba de ariete hidráulico……………………………………………………………………… 29

2.7. Bombas de ariete hidráulico en serie……………………………………… 30 2.8. Bombas de ariete hidráulico en paralelo………………………………….. 31 2.9. Bombas de ariete hidráulico multigolpe…………………………………… 32 3.1. Óptimo global y óptimos locales………………………………………….. 37 3.2. Restricciones sin influencia en el punto óptimo de la función………….. 38 3.3. Restricciones con influencia en el óptimo de la función………………… 39 3.4. Distancia crowding de la solución i en un problema bi-objetivo………... 41 3.5. Esquema general de un algoritmo evolutivo……………………………… 43 3.6. Cadena binaria (cromosoma)………………………………………………. 44 3.7. Población Inicial……………………………………………………………… 49 3.8. El vector diferencial 𝐹 ∙ (�⃗�𝑟1,𝑔 − �⃗�𝑟2,𝑔) es sumado al vector base �⃗�𝑟0,𝑔,

para producir el vector mutado �⃗�𝑖,𝑔……………………………………….. 50 3.9. Posibles vectores de prueba son: �⃗⃗�′𝑖,𝑔, �⃗⃗�′′𝑖,𝑔, �⃗�′𝑖,𝑔 𝑦 �⃗�′𝑖,𝑔 al realizar

una cruza uniforme………………………………………………………….. 51 3.10. Algoritmo de Evolución Diferencial…………….………………………..… 52 3.11. Grafica de la función objetivo de la bomba donde 𝑥1=𝑞, 𝑥2= ℎ, con

valores para = 30 𝑙𝑡𝑠/𝑚𝑖𝑛. y = 2 𝑚………………………………….. 53

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Índice de tablas

3.1. Relación en la altura de elevación y la altura de alimentación…………. 53 4.1. Parámetros de control utilizados para el algoritmo de ED……………… 56 4.2. Tablas de corridas con diferentes valores de épsilon para ED…………. 57 4.3. Parámetros de control utilizados para la función fmincon………………. 59 4.4. Tablas de corridas con diferentes valores de épsilon para fmincon…… 60 4.5. Tablas de corridas con valor constante del vector de inicio 𝑥0 y con

diferentes valores de épsilon para fmincon………………………………. 62

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INTRODUCCIÓN

El agua es un elemento indispensable para el desarrollo económico-social y en cualquier actividad humana industrial, agrícola y/o urbana. El abastecimiento y distribución de agua de calidad constituye costos físicos (obras de almacenamiento, conducción y bombeo) que pueden hacer la operación económica pero poco recomendable ecológicamente. El surgimiento de las energías verdes o alternativas atiende precisamente esa necesidad. Formalmente, una fuente de energía alternativa es aquella que por su menor efecto contaminante o por su disponibilidad de renovación puede suplir a las energías o fuentes energéticas. Es en este ámbito donde la ciencia y la tecnología tienen un campo de investigación y desarrollo activo, innovando en la creación de nuevas técnicas, materiales y dispositivos, o rediseñando los existentes para su utilización con energías verdes. En este contexto, para el desarrollo del siguiente proyecto de investigación se ha elegido a una bomba de ariete hidráulico, misma que ha sido utilizada desde finales del siglo XVIII y al paso del tiempo se convirtió en la mejor opción para comunidades lejanas carentes de energía eléctrica o de difícil acceso por su situación geográfica. El principio de su funcionamiento se basa en el fenómeno de golpe ariete, por lo que se necesita disponer de una fuente de agua para su activación. La bomba tiene larga durabilidad, poco mantenimiento e inspección, y la opción de poder funcionar las 24 horas del día por varios meses o años, lo que le da una gran ventaja con respecto a las bombas contemporáneas que requieren para su funcionamiento la utilización de energía eléctrica o de combustibles fósiles. Además de la lubricación de algunos de sus componentes, lo anterior tiene un mayor impacto ambiental y económico, éste último reflejado en el costo de operación y mantenimiento.

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CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES

1.1 HEURÍSTICAS

La palabra “heurística” se deriva del griego hueriskein, que significa

“encontrar o descubrir”, a su vez el término ha sido utilizado como un antónimo de “algorítmico”. Colin B. Reeves define a la heurística como una técnica que busca buenas soluciones a un costo computacional aceptable, sin garantizar que dichas soluciones sean óptimas o factibles, por lo que en ocasiones no se puede determinar la cercanía de una solución factible en particular con respecto al óptimo [1]. Cualquier técnica que mejore el desempeño promedio en la solución de un problema se le nombra heurística, a pesar de que ésta no mejore la solución en el peor caso, lo anterior se aprecia en la utilización del término como adjetivo [2]. Desde la segunda mitad del siglo XX y con el surgimiento de las computadoras digitales la utilización de las heurísticas para resolución de problemas es aplicable a cualquier rama del conocimiento y fueron la combinación ideal para el desarrollo de nuevos métodos dentro de la teoría de optimización, marcando así el inicio de la computación evolutiva. El término de optimización puede ser definido como el proceso de obtener las condiciones que producen el máximo o el mínimo valor de una función. Es importante mencionar que no existe un método para resolver eficientemente todos los problemas de optimización. A los métodos de optimización también se les conoce como técnicas de programación matemática y se les suele estudiar en investigación de operaciones, rama de las matemáticas que se ocupa de los métodos y técnicas aplicables a problemas de toma de decisiones, así como al establecimiento de las mejores soluciones posibles, es decir, las óptimas [3]. Las técnicas de programación matemática nos permiten encontrar el mínimo de una función de varias variables sujetas a un conjunto de restricciones. Las técnicas estocásticas pueden servirnos para el análisis de problemas descritos por un conjunto de variables aleatorias con una distribución de probabilidad conocida. Los métodos estadísticos nos ayudan analizar datos experimentales y escribir modelos empíricos para obtener la representación más cercana posible a la realidad [4]. En el capítulo 3 dentro del marco de las heurísticas, se presenta y detalla el algoritmo de evolución diferencial, así como la forma en que éste es utilizado como herramienta para la obtención de un conjunto de soluciones posibles para el problema de diseño resultante de la bomba de ariete hidráulico con la estrategia de optimización propuesta.

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1.2 DISEÑO PARAMÉTRICO

Desde su origen, el hombre ha diseñado y construido una gran variedad herramientas necesarias para su vida. El concepto de diseño o del proceso de diseño en su forma más general se define como una actividad creativo-intelectual de transformación de la información, en la que la entrada establece una necesidad humana y la salida representa el objeto diseñado. En 1962, Morris Asimow define técnicamente al diseño como una actividad iterativa con múltiple toma de decisiones, que utiliza información científica y tecnológica para producir un sistema, dispositivo o proceso, con el objeto de resolver un problema o satisfacer una necesidad. Sin embargo, lo que se llama diseño no es el producto obtenido, sino el modelo del producto que se utiliza para la producción del mismo. La teoría del diseño es una ciencia metodológica que nos proporciona los principios, prácticas y procedimientos para diseñar cualquier tipo de elemento del cual haga uso el ser humano, puede ser aplicada a cualquier rama de la ingeniería [5]. Dentro de los modelos de trabajo comúnmente empleados tenemos a los métodos secuencial y concurrente. El método secuencial se basa en la secuencia de las etapas del diseño y el concurrente en el traslapamiento de las mismas, lo que permite el desarrollo simultaneo de más de una etapa del diseño y conlleva a la reducción de tiempo en el desarrollo y costo de producción como se observa en la Fig. 1.1.

Fig. 1.1. Modelos Secuencial y Concurrente En la figura 1.1 se puede observar que el flujo de información en el modelo concurrente es bidireccional y que las decisiones de diseño están basadas en consideración a todos los niveles, lo cual no ocurre en el modelo secuencial en donde el flujo de la información es unidireccional y la interacción entre las actividades de diseño solo puede ser capturada mediante múltiples iteraciones.

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En el método secuencial se tiene la necesidad de iteración entre etapas debido al desconocimiento de los efectos provocados por una decisión en las etapas posteriores. El modelo concurrente todos los análisis serán ejecutados simultáneamente y cualquier nuevo diseño se basará no en los resultados de un análisis, sino en el análisis total. Se debe enfatizar que la función principal del diseñador es la toma de decisiones tecnológicas, por lo que las etapas iniciales son muy importantes en el desarrollo de un producto, periodo en el que se toman las decisiones más importantes en cuanto a la naturaleza del diseño del mismo, generalmente basadas en información cualitativa. Estas decisiones definen todas las actividades cuantitativas a realizar en las siguientes etapas. A medida que se avanza y se toman nuevas decisiones durante el proceso, la libertad de hacer cambios en el diseño disminuye, mientras que el conocimiento que se adquiere acerca del mismo aumenta. Al mismo tiempo se tiene una progresión de la proporción original de información cualitativa a cuantitativa. En síntesis, en el diseño en ingeniería se deben comprender y aplicar conceptos de diseño óptimo y conocer los métodos necesarios para su adecuada utilización con el objetivo de generar una herramienta computacional útil y así obtener los mejores resultados. 1.3 BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

El ariete hidráulico es una bomba semiautomática que basa su principio de

operación en función a la caída de un cuerpo de agua, utilizando su energía cinética para producir un golpe de ariete, y así, elevar parte de este cuerpo de agua a una altura considerablemente mayor (ver Fig. 1.2.). En 1722, John Whitehurst inventó el motor de pulsaciones, dispositivo de corriente de agua que fue el percusor del ariete hidráulico. Los hermanos Montgolfier, Joseph Michel y Jacques Etienne, nacidos en Annonay Ardéche, Francia, sentaron los principios básicos de la aerostación o navegación aérea, que posteriormente permitiría alcanzar los notables avances en la investigación de la atmósfera que consiguieron fabricar la aeronave en la que se realizó el primer vuelo tripulado en globo. Entre el reconocimiento general, los hermanos Montgolfier recibieron honores en la Academia de Ciencias por sus investigaciones posteriores, tanto en aeronáutica como en otras ramas de la física. De ellos nacieron proyectos tales como un singular modelo de calorímetro, el mejoramiento de la industria del papel, la invención del método stereotyping y la construcción de un ariete de operación semiautomática cuya patente les fue entregada en 1797.

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Fig. 1.2. Sistema de la bomba de ariete hidráulico. A partir de entonces, el uso de los arietes hidráulicos se extendió gradualmente por el mundo, en donde se les ha nombrado como Hydrams (Marca registrada por la fábrica John Blake Limited, Accrington, Inglaterra), Hydraulic rams (Arietes hidráulicos), Hydraulic ram pump (Bomba de ariete hidráulico), Ram pumps (Bombas de ariete) o Rams (Arietes). El Taj Mahal y Government Gardens, en Agra, India, instaló tres Hydrams en 1900, elevando el agua a razón de 2´700,000 litros diarios por más de treinta y cinco años, teniendo un costo anual de operación de 35 rupias, únicamente por cambio de juntas de caucho [6]. En la fabricación de arietes de alta eficiencia destacan países como: Inglaterra:

Green & Carter. Fundada en 1774, hidro arietes Vulcan de varios tamaños. http://www.greenandcarter.com/index.htm Fecha de consulta: noviembre de 2009.

John Blake LTD. Fundada en 1865, ariete Blake Hydram tipo “A” de varios tamaños. http://www.allspeeds.co.uk/blake_hydram/index.htm Fecha de consulta: noviembre de 2009.

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Francia:

Rife Rams. Fundada en 1884, arietes Improved, Everlasting y Universal de varios tamaños. http://www.riferam.com/index.htm Fecha de consulta: noviembre de 2009.

Alemania:

Alto J 26-80B Sano No. 5/65

Estados Unidos de Norte América:

Hydran 2.5 Cabe mencionar que al paso de los años otros países se han sumado a la fabricación de los mismos [7].

1.4 ESTADO DEL ARTE

En el estado del arte del presente trabajo de tesis se exponen dos temas fundamentalmente, el primero acerca de las heurísticas y el segundo sobre la bomba de ariete hidráulico.

Actualmente, estudios e investigaciones recientes emplean heurísticas para la obtención de un conjunto de soluciones a diversos problemas del mundo real, mostrando el potencial de estas técnicas en la solución de los mismos de una enorme complejidad. Tienen una amplia aplicación en diversas disciplinas y sectores industriales, tales como las mejoras al rendimiento de un sistema, el diseño o rediseño en ingeniería y el desarrollo de modelos entre otros. Por otra parte, la metodología del diseño concurrente ha despertado gran interés en el diseño de sistemas mecatrónicos en los últimos años, debido a que integran el diseño, modelado y control de sistemas electromecánicos en un solo proceso que interactúa de forma simultánea con cada etapa del proceso de diseño, lo que permite el desarrollo simultaneo de más de una etapa considerando todos los elementos del objeto a diseñar desde el inicio.

Estos procesos y/o aplicaciones presentan parámetros a minimizar o maximizar con o sin restricciones que se deben satisfacer en problemas de optimización mono-objetivo o multi-objetivo.

Las heurísticas en combinación con la metodología de diseño concurrente (MDC) forman una herramienta versátil en la obtención de soluciones, como se puede apreciar en [8-20] donde se utiliza como base a la MDC, estos trabajos realizan simulaciones numéricas en su mayoría con el algoritmo de evolución diferencial,

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algoritmo genético que forma parte de la computación evolutiva, clasificado dentro de los métodos heurísticos. Esta dupla proporciona una alternativa con respecto a los métodos tradicionales.

En Álvarez-Gallegos et al. [15], se plantea un método alternativo para sistemas mecatrónicos dentro del marco teórico de la MDC, definen un problema de optimización dinámica (DOP) para la obtención de valores óptimos de los parámetros mecánicos de un sistema de transmisión de variación continua (CVT) del tipo piñón-cremallera, además se considera el comportamiento de los modelos cinemático y dinámico de la CVT, con el fin de obtener la máxima eficiencia mecánica se establece al DOP como un problema de programación no lineal (NLP) para el diseño paramétrico óptimo de la CVT que es resuelto por medio del algoritmo de programación cuadrática secuencial (SQR), que tiene una convergencia más rápida con respecto a los algoritmos genéticos y permite establecer restricciones lineales o no lineales en las que se combinan varios parámetros de diseño.

Posteriormente en [19], se presenta un enfoque de optimización dinámica basada en evolución diferencial (ED) aplicando el algoritmo de evolución diferencial con manejo de restricciones (CHDE) en el mismo CVT, la estrategia de ED se compara contra el método secuencial del problema de NLP, obteniendo resultados competitivos que proporcionan menor costo con el enfoque de ED respecto al método secuencial que tiene mayor costo desde el punto de vista de implementación computacional.

En Portilla-Flores et al. [19], se modifica el algoritmo tradicional de ED para resolver el problema de diseño mecatrónico de la CVT presentada en [15,13] que se define como un problema de optimización dinámica multi-objetivo (MODP) ya que los parámetros de rediseño del sistema se logran considerando en forma concurrente los aspectos estructurales y dinámicos del mecanismo por medio de dos funciones objetivo, la primera en relación a la estructura física del sistema de engranajes de la CVT y la segunda a la energía del controlador. Además se consideran restricciones de esfuerzo del sistema de engranajes y del tipo geométricas.

En [18], se presenta un método basado en un algoritmo evolutivo para mejorar la reconfiguración paramétrica del diseño óptimo de una CVT [15] y de un robot paralelo de cinco eslabones planar [20]. La reconfiguración paramétrica es eje importante en el diseño concurrente no iterativo en sistemas mecatrónicos ya que permite elegir entre diferentes soluciones competitivas a las más adecuadas sin perder algunas otras sub-optimas. A través del uso de una memoria acoplada a un mecanismo de diversidad de soluciones, aunada a los criterios de selección de distancia crowding, dominancia de Pareto y el uso eficiente de la técnica de manejo de restricciones, se agrega a la variante de ED que es llamada DE/rand/1/bin.

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En Mezura-Montes et al. [9], se comparan dos propuestas para la resolución al problema de optimización multi-objetivo planteado para la CVT en [19] empleando los algoritmos de satisfacción de metas y la modificación al algoritmo de ED, donde el primero, presentó sensibilidad al punto de inicio de la búsqueda dado por el usuario y debe ser seleccionado de manera cuidadosa, por el contrario, el segundo algoritmo no presentó ninguna sensibilidad en el punto de inicio, por lo que requirió el doble de tiempo computacional para encontrar la solución con respecto al algoritmo de satisfacción de metas. El algoritmo de ED es más fácil de implementar y aunque tiene mayor robustez ambos métodos generan soluciones muy parecidas en su calidad.

En Cruz-Villar et al. [11], se plantea el rediseño paramétrico de un pendubot para posicionamiento en tiempo mínimo como un DOP con el propósito de encontrar la señal de control en lazo abierto y los parámetros estructurales óptimos que mejoren el tiempo de posicionamiento con respecto al estado inicial y final del sistema. El algoritmo numérico de optimización empleado es el método de proyección del gradiente que obtiene el vector de intervalos de conmutación de la señal de control y los parámetros estructurales. La metodología propuesta se compara con una metodología de control en tiempo mínimo, donde la primera obtiene un mejor porcentaje de mejora con respecto a la segunda.

En [20] se propone un diseño dinámico para un sistema mecatrónico llamado: enfoque de diseño de sistemas mecatrónicos basados en tareas (TBMSDA), que se plantea como un DOP no lineal (NLDOP), basando su solución en el uso de técnicas de evolución diferencial. Se realiza el diseño de un robot paralelo de cinco eslabones planar integrando de manera simultánea los parámetros de ganancia del controlador PID y de la estructura mecánica como se realizó [11] y de manera similar en [9,19] con el fin de optimizar el desempeño en los errores de posición y la destreza del robot para ejecutar una tarea específica, mediante la búsqueda de los parámetros óptimos realizados por el algoritmo de CHDE como en [13], mejorando el tiempo del rendimiento deseados y del diseño de un sistema mecatrónico. En Villareal-Cervantes et al. [10], se formula un enfoque de diseño mecatrónico que involucre en conjunto la integración del diseño de la estructura mecánica de robots paralelos no redundantes y el diseño de su controlador en una sola etapa, para lo cual se establece un NLPOD, donde el modelo dinámico completo del robot es incluido. Además se propone un criterio de desempeño que involucra la suma ponderada de dos objetivos de diseño a satisfacer simultáneamente. El primer objetivo de diseño cinemático contempla la lejanía o cercanía de las configuraciones de singularidad, el segundo involucra el error de posicionamiento del efector final con respecto a una referencia, con lo que se obtienen los parámetros óptimos de la estructura mecánica y del controlador apoyados por el algoritmo DE/rand/1/bin [18].

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Posteriormente en [8] se utiliza el algoritmo de CHDE para la resolución de un NLPOD con 51 variables de decisión que involucran tanto los parámetros estructurales de un robot paralelo no redundante y los de control que son diseñados simultáneamente con respecto a un criterio de desempeño, [10,11,18,20] como es la configuración de singularidad de seguimiento de trayectoria. El algoritmo encuentra todas las variables de diseño que mejoran el desempeño dinámico del valor de la función, además le lleva un tiempo razonable para converger en una solución óptima pese a tener un gran número de variables de diseño y un problema muy restringido de optimización dinámica. Tanto los parámetros geométricos como las ganancias de control son encontrados al mismo tiempo en una etapa de diseño.

Por su parte, la bomba de ariete hidráulico a lo largo de los años ha demostrado la valía de su diseño. El esquema de la bomba ideado por los hermanos Montgolfier en 1797 tiene el mismo principio de funcionamiento que los equipos actuales y en general son pocas las innovaciones de las que se pueden hablar al respecto. Sin embargo, una de las innovaciones más importante es la adición de una o más válvulas de entrada al diseño de la bomba, que da origen al tipo de bombas multigolpe. Es incierto donde se originaron este tipo de bombas, aunque existen publicaciones informales que dan a conocer algunos modelos de este tipo [21]. Otra innovación es la sustitución del material de hierro fundido por PVC en la construcción de la estructura de la bomba, que le otorga menor tamaño y ligereza debido a que la estructura de sus componentes generales es creada con materiales de plomería fabricados de PVC, por lo que se obtiene un manejo más ágil y mayor transportabilidad. En T.H. Thomas [22], se describen modelos algebraicos de complejidad variable utilizados tanto por diseñadores de sistemas y bombas como por personas involucradas en el entrenamiento de instaladores y usuarios. En este artículo se puntualiza que la bomba por sí sola no basta para el modelado del sistema, dado que se debe considerar la tubería de entrada como parte integral de la bomba, que es la unidad natural para el modelado y la caracterización del rendimiento en aplicaciones reales. El autor concluye que la suposición de eficiencia constante es irrazonable, ya que su objetivo de describir el rendimiento de una bomba en aislamiento (desde su tubería de entrada) es irreal. En T.D. Jeffery et al. [23], se explican el diseño e instalación del sistema completo de cualquier tipo de ariete, así como los principales factores que afectan su rendimiento. También, se detalla la manufactura y ensamble de las bombas hidráulicas DTU M6 y DTU M8 diseñadas por la Unidad de Desarrollo Tecnológico (DTU) del Departamento de Ingeniería de la Universidad de Warwick, en Coventry, U.K.

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En relación a [23], la DTU ha realizado varios estudios acerca de las bombas de ariete, clasificados en reportes técnicos y documentos de trabajo, disponibles en el sitio web de la universidad. Sin embargo, el repositorio en línea de la universidad solo permite la búsqueda por nombre del archivo. Para una mejor comprensión del tema es recomendable revisar los siguientes reportes técnicos en los archivos tr10a, tr10b, tr11-16 y en los documentos de trabajo de los archivos wp33 y wp41, ubicados en el repositorio antes mencionado.

1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El diseño de una bomba de ariete hidráulico está en función de los siguientes

datos:

1. Estimación de elevación de agua a entregar, es decir, la altura desde el lugar en donde se sitúa el ariete al tanque de almacenamiento de agua.

2. Estimación del caudal de la fuente disponible en litros por minuto. 3. Estimación de la caída de agua, es decir, la altura desde el nivel del

agua en el tanque alimentador al lugar en donde se sitúa el ariete.

4. Estimación de la necesidad de entrega de agua en litros por día. Con los datos anteriores se obtienen las dimensiones de la caja de válvulas y cámara de aire de la bomba. Al paso de los años y dado que no existe estándar de facto o estandarización, se intentó establecer una tabla de selección de ariete en la que se enumera a la bomba como “ariete no. ”, desde ariete número. 1 al 10, como resultado de los principales fabricantes de dichas bombas. Existen diferencias en los valores contenidos en la tabla de selección de ariete de un fabricante a otro, sin embargo resultan ser parecidas. Esta información regularmente está solo disponible para los vendedores e instaladores, y no así para el usuario final. El problema que se presenta al no contar con los parámetros definidos de entrada en el diseño del ariete se ve reflejado en la elección del mismo de acuerdo a la necesidad del usuario, repercutiendo en su economía. Los parámetros que deben considerarse para el funcionamiento eficiente de la bomba de ariete hidráulico serán los comprendidos dentro de la función objetivo, que se definen después del análisis del sistema completo. Los beneficios obtenidos con la optimización permitirán el dimensionamiento del sistema respecto a los fabricantes y al usuario final a conocer el tipo de ariete que necesita de acuerdo a sus necesidades.

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1.6 OBJETIVO Establecer el rediseño de una bomba de ariete hidráulico (fig. 2.2) como un problema de diseño paramétrico, que se llevará a cabo mediante el análisis de funcionamiento y eficiencia del dispositivo. Al proponer el diseño paramétrico como un problema de optimización, se implementará al menos un algoritmo heurístico, finalmente se evaluarán los resultados obtenidos de la parametrización mediante simulación numérica. 1.6.1 OBJETIVOS PARTICULARES

1. Análisis del funcionamiento del dispositivo con base en las variables de entrada.

2. Obtener la eficiencia de la bomba con base en el análisis del funcionamiento.

3. Proponer el problema de diseño paramétrico para la bomba de ariete hidráulico como un problema de optimización.

4. Utilizar algoritmos heurísticos de solución para el problema de optimización. 5. Evaluar los resultados obtenidos mediante simulación numérica.

1.7 RECURSOS

En esta sección se mencionan los recursos materiales con los que se cuentan para la realización de este trabajo y se han clasificado por su tipo. 1.7.1 PARTES MECÁNICAS

Se cuenta con una caja de válvulas de un ariete de mayor número que el mostrado en la figura 2.2, así como del soporte de la válvula de entrada. 1.7.2 HARDWARE

Se cuenta con una computadora con procesador AMD Phenom II N660 Dual Core 3.0GHz., 3Gb en RAM y 360Gb. en disco duro. 1.7.3 SOFTWARE

La computadora tiene instalado el sistema operativo Microsoft Windows 7 Home Premium 64-bits que nos permiten utilizar el software MatLab R2010a.

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1.7.4 OTROS

Para la construcción de los prototipos experimentales se utilizaran herramientas y materiales de propósito general como son:

Cinta teflón

Desarmadores

Ligas

Llaves españolas estándar y milimétricas

Manómetros

Martillo de goma

Pinzas

Pegamento para PVC

PVC hidráulico y accesorios

Válvulas check 1.8 ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO El presente documento está dividido en cinco capítulos y anexos:

Capítulo 1 Antecedentes En este capítulo se exponen el panorama general, organización, estado del arte, así como el objetivo general y los particulares de este trabajo.

Capítulo 2 Modelo de la Bomba de Ariete Hidráulico En este capítulo se describe el modelo de la bomba de ariete hidráulico en relación a su comportamiento, alcances y limitaciones.

Capítulo 3 Estrategia de Optimización En este capítulo se presentan los parámetros considerados para la optimización de la bomba de ariete hidráulico, así como sus restricciones de diseño y funcionales que son fundamentales en la obtención de la función objetivo propuesta para su programación. Además, se abordan métodos de solución como algoritmos computacionales basados en técnicas heurísticas, dentro del campo de cómputo evolutivo se elige el algoritmo genético de evolución diferencial para la búsqueda de soluciones al problema propuesto.

Capítulo 4 Simulación Numérica En este capítulo se exponen los resultados obtenidos de la simulación y se confrontan con los valores documentados en algunas fuentes bibliográficas, así como en reportes técnicos de varios fabricantes.

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Capítulo 5 Conclusiones Este capítulo contiene las conclusiones del presente documento con base a la experiencia que se obtuvo en la realización del mismo, además se mencionan algunos trabajos a futuro.

Anexos Esta sección contiene el código de programación de ED y fmincon, así como la tabla de tipos de arietes.

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CAPÍTULO 2 MODELO DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

2.1 DISCUSIÓN PRELIMINAR

En esta sección se describirá el fenómeno de golpe de ariete, parte fundamental y principio del funcionamiento de la bomba de ariete hidráulico, así como su desarrollo y configuraciones del sistema. 2.2 PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO

El fenómeno de golpe de ariete se produce en los conductos de líquidos al cerrar o abrir una válvula, al poner en marcha o parar una máquina hidráulica y también al disminuir bruscamente el caudal. En la Fig. 2.1, se muestra una tubería de longitud L, espesor ð y diámetro D, por la que circula agua, termina en su extremo derecho con una válvula. Si ésta se cierra rápidamente, en virtud del principio de conservación de la energía, al disminuir la energía cinética se va transformando en un trabajo de compresión del fluido que llena la tubería, y en la fuerza necesaria para dilatar esta última, lo que produce una sobre presión o un golpe de ariete positivo. Si por el contrario, se abre una válvula en una tubería bruscamente se produce una depresión o golpe de ariete negativo.

Fig. 2.1.

Onda de presión en el cierre instantáneo de una válvula: C es la velocidad de propagación de la onda y V la velocidad del fluido. La tubería se dilata o se contrae al avanzar la onda de presión o depresión [24].

En la bomba de ariete hidráulico se considera un cierre instantáneo de la válvula; a pesar de ser físicamente imposible.

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Al cerrarse por completo una válvula, como en la Fig. 2.1, y sí imaginariamente se divide el fluido en volúmenes infinitesimales de diámetro D, se quedará inmóvil primero el volumen más próximo a la válvula, a continuación el siguiente a la izquierda y así sucesivamente, por lo que se necesitará un cierto tiempo para que todo el fluido se detenga completamente. Es decir, en la válvula se ha originado una onda de presión que se propaga a velocidad C, que en el instante considerado tiene una dirección contraria a la velocidad V del fluido; con lo que se ha creado una onda elástica u onda de presión que se propaga por la tubería, se refleja en el embalse, vuelve a la tubería, de nuevo al embalse, y así sucesivamente, originando sobre presiones y depresiones en la tubería, que se dilata y contrae con el paso de la onda. Siendo C la velocidad de cada onda y L la longitud de la tubería, el tiempo que tarda la onda en recorrer una vez la distancia entre la válvula y la tubería es:

𝑡0 =

(2.1)

2.3 DESARROLLO DE LA BOMBA ARIETE HIDRÁULICO

A lo largo de los años, los arietes hidráulicos han evolucionado poco respecto a su diseño de fabricación y a la configuración de funcionamiento. El cuerpo del ariete es estructuralmente simple como se puede ver en la Fig. 2.2.

Fig. 2.2. Ariete hidráulico convencional.

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El ariete mostrado en la Fig. 2.2 es de fabricación artesanal mexicana, tiene una altura de 63.5 cm desde la base de la caja de válvulas hasta la cámara de aire, un largo de 72.5 cm desde la cámara de aire hasta la tubería de entrada, un ancho de 23 cm de diámetro de la cámara de aire y un peso aproximado a los 80 Kg. La tubería de entrada tiene un diámetro de 2” y la de salida un diámetro de 1”. Su equivalente seria el ariete ingles marca Blake, Hydram tipo “A” No. 2, el cual puede elevar el agua hasta una altura de 150 m dependiendo de la cantidad del caudal de entrada que reciba en lts/min., que está en el rango de 12 a 25 lts/min. para poder lograr dicha altura [6]. 2.4 COMPONENTES DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

Un esquema detallado de la bomba de ariete hidráulico se muestra en la siguiente Fig. 2.3, donde se aprecian los componentes básicos que la constituyen.

Fig. 2.3. Componentes de la bomba de ariete hidráulico [25]. Válvula de impulso o entrada. Constituye la parte móvil más importante y determinante en el funcionamiento del equipo y es la encargada de producir el golpe de ariete debido al cierre brusco que se produce por el efecto del incremento de la velocidad del agua. Esta válvula permite regular la cantidad de agua que penetra en la cámara de aire, lo que se logra al variar el número de golpes por minutos (GPM) o frecuencia, por medio de juegos de contra pesos diseñados y fabricados para tal efecto colocados en el vástago de la válvula. La válvula de entrada está compuesta por: un vástago, una brida, un plato y tornillos con tuercas de sujeción.

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Válvula de descarga o salida. Es la que permite el paso del agua desde la caja de válvulas hasta la cámara de aire e impide su retroceso al cerrarse por los efectos del rebote que se produce con el aire comprimido dentro de la cámara y hace que el agua sea impulsada hasta un nivel superior al de su captación. Debe estar construida de forma tal que se logre una buena hermeticidad que evite pérdidas en la eficiencia y el rendimiento. La válvula de salida está compuesta por una brida, plato de goma, platillo semiesférico y un tornillo de sujeción, y se encuentra en la base de la campana de aire. Caja de válvulas o cuerpo tubular. Es la parte donde se produce la inversión de la onda de presión y se ubican las válvulas de entrada y salida, también es la base de asientos y ubicación de los elementos del ariete. Cámara (Campana) de aire o cuerpo del ariete. Es el dispositivo que regula el flujo de agua hacia la tubería de salida, absorbe la sobrepresión (funciona como amortiguador de los golpes de ariete) e impulsa el agua por la tubería de salida dando de esta forma un flujo casi continuo, y logrando un nivel superior al de captación; va montada sobre su propia base en la caja de válvula mediante tornillos. Válvula de aire. Sirve para regular y renovar el aire absorbido por el agua que se pierde de la cámara. Está ubicada por debajo de la válvula de salida y puede ser regulable, de tal forma que permita abrir y cerrar en casos requeridos.

2.5 FUNCIONAMIENTO DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

La disposición y el funcionamiento se aprecian en la Fig. 2.3, al cuerpo tubular del ariete o caja de válvulas se ensambla la tubería de entrada, en el otro extremo el cuerpo del ariete o cámara de aire, conectada a la tubería de salida (Ts). La caja de válvulas está conformada por la válvula de salida (Vs) y la de entrada (Ve), esta última, dispuesta de distintas maneras a lo largo del cuerpo tubular del ariete. La válvula de entrada (Ve) sirve de retención de platillo, cargada con peso y con la caña vertical dirigida hacia arriba. En su posición extrema inferior deja pasar el agua, mientras que en la extrema superior cierra herméticamente el cuerpo tubular o caja de válvulas, originando un golpe de ariete, y con éste, una sobre presión en la caja de válvulas y tubería de entrada que provoca la apertura de la válvula de salida (Vs).

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Las válvula de entrada (Ve) estará cerrada por efecto de la presión estática debido a la altura del agua entre el plano horizontal que pasa por el asiento de la válvula y el nivel del agua en el tanque de alimentación. La válvula de salida (Vs) estará cerrada por efecto de su propio peso o por un resorte opuesto, mayor que la presión estática h. La válvula de entrada (Ve) está abierta en su posición extrema inferior, por lo que sale agua impulsora (caudal de pérdida) y pone en movimiento todo el cuerpo de agua de la tubería de entrada, mismo que al chocar con la válvula de salida (Vs) cambia de dirección en el interior del cuerpo tubular, donde se comunica con la cámara de aire ejerciendo presión sobre el platillo de la válvula de entrada (Ve), la que crece aproximadamente al cuadrado de la velocidad de la corriente y origina el cierre abrupto o de golpe de la válvula de entrada (Ve). El movimiento del cuerpo de agua continúa por inercia y se produce un retroceso de intensa percusión (debido a la interrupción abrupta de ésta por el conducto o cuerpo tubular del ariete) que origina la apertura de la válvula de salida (Vs), permitiendo así, la entrada en la cámara de aire a una parte del cuerpo de agua y la compresión del aire que contiene. La impulsión ha consumido la energía cinética de la masa de agua por lo que queda en reposo durante un instante, en el cual, la válvula de salida (Vs) aún está abierta por un breve periodo tiempo, lo que indica que parte del cuerpo de agua está en la cámara de aire comprimiéndolo. Entonces retrocede un instante la columna o cuerpo de agua impulsora ocasionando el cierre simultáneo de la válvula de salida (Vs) y retiene en el interior de la cámara de aire casi todo el volumen de agua que ingresó, forzándola a fluir por la tubería de salida (Ts) debido al efecto de descompresión del aire generado en la cámara de aire, lo que eleva el agua contenida hasta una cierta altura. Tanto la entrada del agua a la cámara de aire, como los efectos oscilatorios del golpe de ariete y el retroceso de la masa o cuerpo de agua que no ingresó en la cámara hacia la fuente, provocan una disminución de la presión que durante un instante es inferior a la presión atmosférica, por lo que la válvula de entrada (Ve) cae, quedando abierta nuevamente, generando un comportamiento cíclico. Es decir, se repiten en el mismo orden los procesos descritos anteriormente, en razón de un número de golpes por minuto del ariete, que llega en algunos momentos a ser de 200, valor relacionado con el diseño de la bomba de ariete hidráulico desarrollado por el fabricante. Al iniciarse el funcionamiento el agua por efecto de la primera pulsación o golpe de ariete no alcanza a subir al tanque de almacenamiento, por lo que es necesario accionar manualmente el vástago de la válvula de entrada (Ve) durante algún tiempo hasta obtener el movimiento automático de la bomba de ariete hidráulico. Para interrumpir la marcha basta con interrumpir el flujo de agua impulsora, detener manualmente o por medio de algún mecanismo a la válvula de entrada

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(Ve), manteniéndola en una sola posición por algún instante. El aire que ingresa a la cámara de aire sirve como medio de impulsión y amortiguación de la intensa percusión o golpe de ariete, evitando la ruptura de los componentes, además, regula la velocidad en la tubería de salida (Ts). En estas condiciones como el agua es incompresible, la válvula de salida (Vs) no se levanta y el movimiento ascensorial al tanque de distribución queda interrumpido. Para evitarlo, se pone delante de la válvula de salida una válvula especial, durante el descenso de la presión (al retroceder la columna de agua impulsora), que deja entrar un pequeño volumen de aire y llega a la cámara arrastrado por el agua impulsada, completando sin cesar el contenido de aire de la misma. La ausencia de aire en la cámara (además de suspender el servicio) trae como consecuencia la posible ruptura de la bomba. La acumulación excesiva de aire se evita con una válvula tipo cuenta gotas y el exceso del mismo puede detener el funcionamiento [26]. 2.6 SISTEMA DE FUNCIONAMIENTO DE LA BOMBA DE ARIETE

HIDRÁULICO

Es conveniente recordar la primera configuración que existió (ver Fig. 2.4.), misma que sirvió de base para el surgimiento de los arietes hidráulicos, como se muestra a continuación.

1. Tanque impulsor 2. Tubería inclinada 3. Válvula principal 4. Tubería auxiliar

5. Válvula o grifo 6. Cámara de aire 7. Tubería de subida 8. Tanque de entrega

Fig. 2.4. Esquema de funcionamiento del ariete ideado por John Whitehurst [21].

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Cabe mencionar que este esquema surgió en una cervecería del condado inglés de Cheshire, donde John Whitehurst construyó un artefacto que accionaba manualmente un grifo en una tubería conectada a un tanque de abasto en un nivel superior y provocaba un golpe de ariete, que permitía elevar el líquido a un tanque de almacenamiento ubicado a mayor altura con respecto al tanque de abasto. Niños y adultos se ocupaba de accionar el artefacto que funcionó desde 1772 hasta 1800. Posteriormente los hermanos Montgolfier concibieron una bomba de ariete hidráulico semiautomática, a la que se le nombró “le belier hydraulique”. La configuración de funcionamiento del ariete hidráulico patentado en el año de 1797 se muestra en la Fig. 2.5.

1. Tanque impulsor 2. Tubería inclinada 3. Ariete hidráulico

4. Tubería de subida 5. Tanque de entrega

Fig. 2.5.

Esquema del ariete hidráulico ideado por Joseph Michael Montgolfier, construido con el mismo principio de funcionamiento de los equipos actuales [21].

La configuración clásica de un sistema de bombeo basado en el uso de un ariete hidráulico es la siguiente:

Fig. 2.6. Configuración clásica de un sistema de bombeo con bomba de ariete hidráulico [7].

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2.6.1 BOMBAS DE ARIETE HIDRÁULICO EN SERIE Y PARALELO Para los casos en que se demande un gasto considerable de agua que no pueda ser suministrado por un solo ariete, existe la opción de formar estaciones o arreglos de los mismos, que pueden quedar dispuestos en serio o paralelo. En serie: En esta disposición cada uno de los arietes es colocado de forma escalonada en la misma dirección, ubicándolos en sentido descendente a distintos niveles, de tal forma que el ariete inferior reciba la pérdida de agua del ariete superior. La tubería de salida de cada uno de los arietes va conectada al tanque de almacenamiento, ver Fig. 2.7. En el montaje en serie existe la necesidad de disponer de suficientes caídas de agua que den cabida al número de unidades necesario para que el caudal que proporciona la fuente sea aprovechado casi en su totalidad. Los arietes utilizados para esta configuración pueden o no ser de la misma capacidad en relación al primer ariete, que dependerá de las condiciones del caudal y caída de agua. El segundo ariete dependerá de la pérdida de agua del primer ariete o anterior y de la caída de agua que se pueda instalar, y así sucesivamente para los siguientes arietes.

Fig. 2.7. Bombas de ariete hidráulico en serie [7].

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En paralelo: En esta disposición cada uno de los arietes está alimentado por una tubería independiente, la de entrada se conecta a un conducto único, que generalmente, a fin de hacer más uniforme el movimiento ascendente, está provisto de una cámara complementaria de aire. El montaje en paralelo requiere de una pequeña caída y un considerable caudal de la fuente que se trata de aprovechar, dado que los arietes están localizados en un mismo plano, por lo es necesario un gasto para su funcionamiento y elevación de agua, ver Fig. 2.8. Esta configuración es empleada generalmente cuando no se requiere un gasto constante de almacenamiento o se dispone de un caudal suficientemente grande en la fuente. En este caso, el caudal de la fuente varía y por ello es necesario el funcionamiento en conjunto de los arietes, permitiendo que la estación de arietes opere total o parcialmente. Es importante en este montaje que los arietes sean de la misma capacidad, con la finalidad de obtener una presión y caudal constante de salida.

Fig. 2.8. Bombas de ariete hidráulico en paralelo [7].

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2.6.2 BOMBAS DE ARIETE HIDRÁULICO MULTIGOLPE

Consisten básicamente en la sustitución de la única válvula de entrada por un conjunto adecuado de válvulas en ciertas posiciones dependientes de determinadas condiciones de operación e instalación para aprovechar mejor el caudal disponible, y así aumentar la potencia y rendimiento (ver Fig. 2.9). Lo anterior permite una baja relación entre la velocidad máxima del agua en el sistema y la velocidad del agua al momento del cierre de válvulas, con un mínimo de contra impulso para su apertura automática, que permite reducir el largo y diámetro de la tubería de impulso. Por otro lado, se tiene la ventaja de la reducida necesidad de amortiguación en la magnitud de inyección de agua en la cámara de aire, por lo que puede reducirse el volumen. Por último, aparece la posibilidad de utilizar una sola tubería de entrada con una gran cantidad de unidades multipulsoras, lo que permite aumentar la potencia con unidades livianas estandarizadas y producidas en serie a bajo costo, mientras que con los arietes convencionales se necesita diseñar un aparato en función de un diámetro dado, de gran volumen, peso y por consiguiente, de mayor costo.

Fig. 2.9. Bombas de ariete hidráulico multigolpe [21]. 2.7 SELECCIÓN DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

Se debe tener en cuenta los siguientes datos, ya que la salida está en función de estos:

Altura de elevación o de entrega Capacidad de la fuente o caudal disponible Caída de agua impulsora Demanda de agua diaria

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Con los datos anteriores se procede de la siguiente manera:

a) La demanda diaria calculada se divide entre 24, para obtener la demanda por hora.

b) La altura de elevación se divide entre la altura de caída. Si el cociente no es un número entero, se debe redondear al entero inferior.

Con el cociente obtenido se consulta la tabla de selección del ariete según el fabricante [6]. 2.7.1 MONTAJE DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

Para instalar un ariete hidráulico se debe tener en cuenta una serie de aspectos que pueden garantizar un funcionamiento adecuado y permanente, tales como:

Estimar la necesidad de agua.

Para el consumo normal de personas, animales, riego, uso doméstico, etc., en litros a razón individual por día para obtener el gasto total general.

Estimar el caudal de la fuente disponible.

Puede ser un manantial o quebrada, el gasto mínimo de la fuente podría ser tal que suministre el consumo necesario y el que se requiere por las pérdidas en la conducción y funcionamiento del ariete.

Es necesario disponer obras de derivación y limpieza, como bocatomas, desarenaderos y decantores que garanticen la conducción entre la fuente y el tanque alimentador. El sitio de localización del tanque o tanques alimentadores, se elegirá en base a la menor longitud de conducción entre la fuente y el tanque. Lo anterior y las obras de captación, deben proyectarse para que los cuerpos extraños que las aguas arrastran sean eliminados antes de entrar al ariete.

La caída del agua.

Es la altura desde el nivel del agua en el tanque alimentador hasta el lugar donde se sitúa el ariete, se recomienda no menor a 1 m., ni mayor a 5 m. Lo anterior es resultado del diseño de la bomba de ariete hidráulico, fuera de esos parámetros se ve mermada su eficiencia.

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El conducto alimentador consiste en una tubería metálica que lleva el agua del tanque alimentador o de carga a la caja de válvulas. La tubería debe iniciar por debajo del nivel libre de agua en el tanque, a fin de evitar cualquier posible entrada de aire en el ariete. La instalación de la tubería, excepto casos particulares en que se admiten alineamientos sinuosos, será de un solo alineamiento (recto de perfil, longitudinal, sin contra pendiente) y colocado en terreno firme sobre bloques de mampostería de piedra o ladrillo. Las uniones en tuberías y ariete deben ser totalmente herméticas, así como el diámetro de las tuberías de salida y entrada, que dependerán del número o tipo de ariete seleccionado.

Caja de válvulas y cámara de aire.

Generalmente son de fundición y los accesorios de bronce.

El ariete se debe instalar anclado a una pequeña columna de concreto, a fin de evitar al máximo la vibración, además debe quedar perfectamente nivelado.

2.8 APLICACIONES DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

Las principales aplicaciones de los arietes hidráulicos son en abastecimiento a poblaciones, núcleos de habitantes rurales, propiedades particulares, granjas, ranchos, riegos, etc., en los que se requieren de un caudal pequeño debido a su situación y condiciones topográficas. La conducción del agua por gravedad es imposible ya que con bombas eléctricas es demasiado costoso, por lo que se utiliza el ariete que aprovecha pequeñas caídas de agua en su funcionamiento y sacrifica el volumen de agua elevada. Debido a la sencillez de la construcción, funcionamiento e instalación de este dispositivo, se deriva su importancia como mecanismo elevador de agua. Cabe mencionar que el costo en su explotación o funcionamiento no va más allá de los que provienen de su conservación y vigilancia, los cuales son reducidos. La aplicación de los arietes no solo se limita a los antes mencionados, pueden ser aprovechados en plantas pequeñas de purificación en la que la topografía del terreno ofrezca facilidades para su instalación.

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CAPÍTULO 3 ESTRATEGIA DE OPTIMIZACIÓN

La optimización es el proceso de obtener el mejor resultado posible bajo ciertas

condiciones dadas. Es importante mencionar que no existe ningún método de optimización que pueda resolver eficientemente cualquier tipo de problema, por lo que se han desarrollo diferentes métodos al paso de los años. Los métodos de optimización conocidos también como técnicas de programación matemática, han sido clasificados por Kalyanmoy Deb en:

a) Métodos Tradicionales

Técnicas de variable simple.

Técnicas multivariable.

Técnicas para problemas con restricciones.

Técnicas especializadas.

b) Métodos No tradicionales

Heurísticas En este trabajo nos enfocaremos en los métodos no tradicionales que utilizan conceptos heurísticos para el mejoramiento de la búsqueda de soluciones. Dentro de los métodos no tradicionales, tenemos un grupo que basa su funcionamiento en procesos de selección natural conocidos como algoritmos evolutivos. Sin embargo, es importante señalar que se debe conocer la existencia de las técnicas tradicionales, porque cuando el problema en cuestión se adecua a ellas no tienen ningún sentido utilizar heurísticas para la solución del mismo [4]. Los problemas de optimización pueden clasificarse en dos tipos [28]:

a) Problemas de optimización numérica. Se busca un conjunto de valores para las variables del problema de manera que al sustituirse en la función objetivo se maximice o minimice el valor de esta función. Un ejemplo de lo anterior, es el diseño de estructuras para aviones con un peso mínimo, que busca optimizar las dimensiones de las estructuras y tener un mayor rendimiento de combustible.

b) Problemas de optimización combinatoria. Se busca encontrar el ordenamiento de un conjunto de elementos de manera que se maximice o minimice el valor de la función objetivo. Un ejemplo de lo anterior, es el problema del agente viajero, quien debe recorrer un conjunto de ciudades sin pasar dos veces por la misma ciudad y regresar al punto de partida, con el objetivo de minimizar el costo del recorrido y optimizar la ruta del viaje.

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3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE OPTIMIZACIÓN

Los problemas de optimización se describen matemáticamente, los elementos que los conforman son [4]:

Variables de decisión: Contienen los valores que se modifican para resolver el problema.

Función objetivo: Pueden ser una o varias, se expresan en términos de las variables de decisión y el resultado de su evaluación es el que se desea optimizar (maximizar o minimizar). Si sólo una función es considerada, el problema se denomina optimización mono-objetivo. Si dos o más funciones son consideradas se denomina optimización multi-objetivo.

Restricciones: De manera general se llaman restricciones de diseño a las restricciones que se deben satisfacer para producir un diseño aceptable, y se representan en ecuaciones de igualdad o desigualdad que deben cumplirse o satisfacerse para que la solución sea considerada factible o válida. Si el problema no presenta restricciones, todas las soluciones son válidas. Si las restricciones representan limitaciones en el comportamiento o desempeño del sistema se les denominan restricciones funcionales o de comportamiento. Cuando las restricciones representan limitaciones físicas como disponibilidad, facilidad de fabricación y transportabilidad se denominan restricciones geométricas.

A los problemas de optimización que en su definición contemplen restricciones se les clasifica como optimización con restricciones, aquellos que no las contemplan se les clasifica como optimización sin restricciones. En esta investigación, nos enfocaremos en el primer tipo de problemas, conocidos generalmente como: problemas de programación no lineal (NLP por sus siglas en

inglés), cuyo objetivo es encontrar el vector �⃗�, que optimiza la función:

𝑓(�⃗�) con �⃗� = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝐷) ∈ 𝐹 ⊆ 𝑆 ⊆ 𝐼𝑅𝐷 (3.1)

donde �⃗� está sujeto a:

𝑖(�⃗�) 0 𝑖 = ,2, … , 𝑛 (3.2)

ℎ (�⃗�) = 0 = ,2, … , (3.3)

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𝑥 ∈ ,𝑙 , 𝑢 - con ∈ , , -, siendo 𝑙 y 𝑢 los límites inferior y superior en el que cada variable está definida, es el número de variables del problema. Las funciones 𝑖 y ℎ están definidas en 𝑆 (espacio de búsqueda) y son las funciones

de restricciones de desigualdad e igualdad respectivamente que pueden ser lineales o no lineales. Se clasifica como activa en �⃗� a toda restricción de desigualdad que satisfaga 𝑖(�⃗�) = 0, de lo contrario estará inactiva. Se considera activa en todos los puntos de 𝐹 a cualquier restricción ℎ (�⃗�) = 0 independientemente del valor de �⃗�. La región

factible comprende al conjunto de soluciones 𝐹. Una característica de NLP es que tanto la función objetivo como las restricciones pueden ser no lineales (los problemas de programación lineal sólo pueden incluir ecuaciones lineales).

El óptimo �⃗�∗ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝐷) es un punto del espacio de búsqueda que

corresponde al mejor valor posible de 𝐹 en todo el espacio. El valor correspondiente de 𝑓(�⃗�∗) se denomina el valor óptimo de la función objetivo y el par �⃗�∗ y 𝑓(�⃗�∗) constituye una solución óptima.

El mínimo global de una función 𝑓(�⃗�) definida en un conjunto 𝑆 es el punto

�⃗�∗ ∈ 𝑆 sí y sólo sí 𝑓(�⃗�∗) 𝑓(𝑥∗) para todo �⃗� ∈ 𝑆.

El mínimo local de una función 𝑓(�⃗�) definida en un conjunto 𝑆 es el punto

�⃗� ∈ 𝑆 sí y sólo sí 𝑓(�⃗�∗) 𝑓(𝑥∗) para todo �⃗� ∈ 𝑆 que se encuentre a una

distancia 𝜀 > 0 de �⃗�. En la Fig. 3.1, se muestran las definiciones anteriores.

Fig. 3.1. Óptimo global y óptimos locales

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3.2 OPTIMALIDAD EN PROBLEMAS CON RESTRICCIONES

Es preciso diferenciar si las restricciones pueden tener efecto en el punto óptimo o no. Si las restricciones no influencian el hallazgo del óptimo, el proceso de optimización podría llevarse a cabo con cualquier método que maneje problemas sin restricciones. En la figura 3.2 se observa una función 𝑓1(�⃗�) con dos

restricciones 1(�⃗�) y 1(�⃗�) que pueden ser excluidas (problema sin restricciones) porque no influyen en el valor del punto óptimo.

Fig. 3.2. Restricciones sin influencia en el punto óptimo de la función

El caso anterior no ocurre en la mayoría de las funciones, y en la práctica resulta muy difícil diferenciar si las restricciones influyen o no en el punto óptimo. Para la resolución de NLP generales, se asume que las restricciones ejercen influencia sobre el punto óptimo, por lo que éstas deben ser consideradas. En la Fig. 3.3, se observa como el punto óptimo de 𝑓2(�⃗�) se encuentra en el borde

de la zona factible delimitada por tres restricciones 1(�⃗�), 2(�⃗�) y 3(�⃗�). Por las características de la función (las restricciones influyen en el punto óptimo)

se puede apreciar la diferencia entre el valor encontrado optimizando 𝑓2(�⃗�) sin

considerar las restricciones (𝑥𝑏) y el óptimo obtenido considerando las tres

restricciones (𝑥∗).

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Fig. 3.3. Restricciones con influencia en el óptimo de la función.

Se observa que 𝑥𝑏 es menor a 𝑥∗, pero la primera al no encontrarse en la zona factible no es considerada una solución válida. Por ello el análisis de la caracterización del problema en cuestión es importante, ya que nos ayuda con el criterio de selección de la heurística, que deberá ser la que mejor se adapte a la resolución del mismo y estará en función del problema. Algunos ejemplos de criterios de selección son: dominancia de Pareto, satisfacción de metas, reglas de Deb, distancia Crowding. Dominancia de Pareto. Un vector �⃗⃗�= (𝑢1, … , 𝑢𝑘) domina a otro �⃗�= (𝑣1, … , 𝑣𝑘) (denotado mediante �⃗⃗� ≼ �⃗� )

sí y solo sí 𝑢 es parcialmente menor que 𝑣, i.e.;

∀𝑖∈ * , … , 𝑘+, 𝑢𝑖 𝑣𝑖 ∧ ∃𝑖 * , … , 𝑘+ ∶ 𝑢𝑖 < 𝑣𝑖.

Lo que indica que para que un vector de solución �⃗� domine a otro vector de solución �⃗�, el vector �⃗� deberá ser mejor que �⃗�, en al menos una función objetivo. Satisfacción de Metas. Este método propone un vector de coeficientes de ponderación 𝑤 = *𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑘+ que describe la sub-satisfacción o sobre-satisfacción de las metas deseadas 𝑏 = *𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑘+, para las funciones objetivo 𝑓 = *𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑚+. Para encontrar la

mejor solución de �̅�∗ se resuelve:

Minimizar ∝ (3.4)

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sujeta a:

(�̅�) 0 = ,2, … ,𝑚 (3.5)

𝑏𝑖+∝ ⋅ 𝑤𝑖 ≥ 𝑓𝑖(�̅�) 𝑖 = ,2, … , 𝑘

Donde ∝ es una variable escalar sin restricciones en el signo y el vector de coeficientes de ponderación están normalizados de forma que:

∑|𝑤1| =

𝑘

𝑖=1

(3.6)

Si algún peso 𝑤𝑖 = 0 (𝑖 = ,2, … , 𝑘), entonces el límite máximo de los objetivos

𝑓𝑖(�̅�) es 𝑏𝑖. El valor óptimo de ∝ indica si las metas son posibles de satisfacer o no.

Un valor negativo de ∝ implica que la meta es factible de lograrse y se obtendrá una solución mejorada. En caso contrario, si ∝ > 0, entonces la meta no puede lograrse [4]. Reglas de Deb. Kalyanmoy Deb tiene un método en el que los puntos no factibles siempre tienen una peor aptitud que los factibles, porque se agrega la magnitud de las violaciones a la aptitud del peor individuo factible. Para hacer más simple esta asignación de aptitud, Deb utiliza torneos binarios, en los que las reglas son las siguientes:

Si ambos individuos son no factibles, gana el individuo que tenga una magnitud más baja en la violación de restricciones [28].

(∑max (0, 𝑖(�⃗�))

𝑚

𝑖=1

) (3.7)

Si ambos individuos son factibles, gana el que tenga mejor valor en la función de aptitud.

Si un individuo es factible y el otro no es factible, siempre gana el individuo factible.

Distancia Crowding.

Es la distancia de apiñamiento o estimación de densidad que proporciona mayor diversidad a las soluciones del problema planteado cuando se tiene que decidir entre varias soluciones, con base a la distancia en que se encuentra un individuo con respecto a sus vecinos.

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Consiste en la suma de los lados del perímetro de un cuboide que se calcula para cada solución y sus vértices son dos soluciones vecinas de la solución actual, dentro del espacio de las funciones como se observa en la Fig. 3.4.

Fig. 3.4. Distancia crowding de la solución i en un problema bi-objetivo [30].

En las soluciones con valores parecidos de aptitud o de no dominancia es preferible elegir la solución que tenga menos apiñamiento dentro del espacio de la función ya que permite una mejor exploración del mismo [31]. 3.3 LOS TEOREMAS DE NO FREE LUNCH PARA OPTIMIZACIÓN Estos teoremas establecen que por cada algoritmo de búsqueda que se considere utilizar existen problemas en los que el primer algoritmo funciona mejor que en el segundo, al igual que problemas en los que el segundo algoritmo supera al primero. Esto significa que no se puede establecer que algoritmo funciona mejor con todos los tipos de problemas posibles, incluso es probable que uno de los mejores para una determinada función obtenga una peor solución con respecto a una búsqueda aleatoria. Los teoremas proporcionan un marco de investigación en la relación problema-solución dando una interpretación geométrica de la eficacia de un algoritmo para resolver cierto tipo de problema, además exponen información teórica acerca del procedimiento de búsqueda y funciones que varían con el tiempo, así como métricas en la evaluación de algoritmos. En conclusión, considerando todos los posibles problemas y algoritmos, en promedio, se comportan de igual manera [32]. 3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

A continuación se presenta un método de solución dentro del marco de las heurísticas.

3.4.1. COMPUTACIÓN EVOLUTIVA En la primera mitad del siglo XVII, Descartes llegó a la conclusión de que "los cuerpos de los animales y los hombres actúan como máquinas, y se mueven de acuerdo a las leyes mecánicas" (Huxley, 1874). Otros más se dieron a la tarea de tratar de explicar la conducta como una reacción a

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sucesos físicos, químicos o mecánicos. Durante los siguientes tres siglos, el pensamiento científico acerca del comportamiento osciló entre la visión mecanicista, que establecía que los animales son "autómatas" y se mueven por la vida sin conciencia, ni sentido de su propia existencia; y la visión opuesta a la anterior, que considera que los animales tienen pensamientos y sentimientos similares a los de los seres humanos [33]. En el origen de las especies (1859), las ideas de Charles Darwin sobre la evolución comenzaron a despertar serias dudas acerca de la visión mecanicista del comportamiento animal. Darwin observó que los animales comparten muchas características físicas, siendo uno de los primeros en ocuparse de la variación dentro de una misma especie, tanto en el comportamiento como en la apariencia física del mismo. Darwin creía que la selección artificial y la natural estaban íntimamente asociadas (1868), delineando con gran sagacidad la teoría de la evolución sin tener ningún conocimiento de genética. En el origen del hombre (1871), llegó a la conclusión de que los rasgos del temperamento de los animales son heredados. También creía (como muchos otros científicos de su época) que los animales tienen sensaciones subjetivas y que pueden pensar [33,34]. Existen diferentes métodos de solución a problemas del mundo real, entre ellos, la computación evolutiva (o algoritmos evolutivos) que consta de una serie de técnicas inspiradas biológicamente por los principios de la teoría Neo-Darwiniana de la evolución natural propuesta originalmente por Charles Darwin [4]. A la teoría evolutiva en combinación con el seleccionismo (de August Weismann) y la genética (de Gregor Mendel) se le conoce como el paradigma Neo-Darwiniano. El paradigma establece que la historia de la vida en nuestro planeta puede ser explicada a través de cuatro procesos: la reproducción, la mutación, la competencia y la selección. Estos conceptos son la base de los algoritmos evolutivos que actúan sobre y dentro de las especies y poblaciones [35]. Sin embargo, en la actualidad resulta ser cada vez más difícil distinguir las diferencias entre los distintos tipos de algoritmos evolutivos, históricamente se habla de tres paradigmas principales: programación evolutiva, estrategias evolutivas y algoritmos genéticos, cada uno de ellos se originó de manera independiente y con distintas motivaciones. En las técnicas heurísticas se destacan por el tipo de fenómeno natural en que se basan los algoritmos evolutivos (AEs) y los de inteligencia colectiva. El término de inteligencia colectiva (swarm intelligence) fue introducido por Gerardo Beni, Suzanne Hackwood y Jing Wang en 1989.

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3.4.2. ALGORITMOS EVOLUTIVOS

La evolución, desde el punto de vista computacional, es un proceso de optimización que consiste en la evolución de una población de posibles soluciones para un problema dado, utilizando operadores inspirados en la variación genética y la selección natural. Los elementos fundamentales dentro del proceso de optimización de los AE’s que distinguen a unos algoritmos de otros son los operadores de variación, que crean diversidad de individuos y los mecanismos de selección, que a su vez, dirigen la búsqueda hacia zonas comprometedoras en el espacio de búsqueda. La combinación de ambos mejora la calidad de los individuos conforme van pasando a las siguientes generaciones. La Fig. 3.5, muestra el funcionamiento general de un AE.

Figura 3.5. Esquema general de un algoritmo evolutivo.

3.4.2.1. COMPONENTES DE LOS AE’s

Representaciones de soluciones (Individuos)

Se debe tener en cuenta la representación del espacio de soluciones (espacio de búsqueda) al aplicar un AE a determinado tipo de problema. La representación puede hacerse mediante el uso de cromosomas (estructura de datos que representan a un individuo de la población, generalmente es un arreglo de enteros en donde cada posición del mismo se le conoce como gen y al valor que puede tomar cada uno como alelo) que representen las características de cada solución y pueden ser divididos en dos términos genéticos: fenotipo y genotipo.

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Biológicamente, el fenotipo es el conjunto de características físicas y psíquicas de un individuo, y el genotipo es el código genético que contiene la información para que se desarrolle el fenotipo. Entonces, en un AE, el fenotipo es la decodificación del cromosoma, es decir, los valores obtenidos al pasar de la representación (binaria), por un conjunto de valores (números reales), para aplicarse a una función objetivo; y el genotipo es la codificación (transformación) de los parámetros que representan a una solución del problema a resolver [36]. Ver la siguiente figura.

Figura 3.6. Cadena binaria (cromosoma).

Población Los AE’s por lo general parten con una población inicial de individuos, donde cada uno de ellos representa una posible solución al problema y es la primera generación del proceso evolutivo (optimización). Por lo regular, se inicializa a la población de manera aleatoria, aunque se puede tomar como población inicial a las soluciones obtenidas de algún otro algoritmo heurístico que permitan calcular buenas soluciones iniciales aproximadas para el problema.

Función de Aptitud Posterior a la inicialización de la población, se evalúan los individuos mediante una función de aptitud (función objetivo) que retorna un valor para cada uno de los ellos y representa la calidad o capacidad de adaptación que tienen para resolver el problema, por lo que se distinguen a los mejores y los peores de la población. La función de aptitud se aplica a nivel fenotipo. Mecanismo de selección de padres Su objetivo es la elección de los mejores individuos (padres) de la población actual para que tengan descendencia. Dentro del proceso de optimización existen numerosos mecanismos de selección, la mayoría

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de éstos se basan en el valor de aptitud de los individuos, entre los que destacan los siguientes:

Selección aleatoria [37]: Los individuos son elegidos de manera aleatoria sin tener en cuenta su valor de aptitud.

Selección proporcional [38]: Los individuos son elegidos

aleatoriamente utilizando una ruleta sesgada, en la que la probabilidad de ser seleccionado es proporcional al valor de aptitud de cada individuo con respecto al total de aptitudes de la población.

Selección por torneo [39]: Se eligen de manera aleatoria k individuos de la población y se les hace competir, donde k es un parámetro llamado tamaño del torneo. Generalmente solo uno de entre los k individuos es elegido como ganador del torneo. La selección del ganador del torneo se puede realizar de manera determinística o probabilística, en caso de la primera, el individuo que tenga el mejor valor de aptitud es el ganador; en la segunda, se realiza probabilísticamente y el ganador puede ser cada uno de los k individuos con una probabilidad directamente proporcional a su valor de aptitud, es decir, equivale a una mini ruleta de tamaño k.

Selección por jerarquías [40]: Todos los individuos se ordenan

con base al valor de aptitud, el orden puede ser ascendente o descendente, según sea el caso de minimizar o maximizar la función objetivo. Además se realiza un proceso selectivo similar al de la selección proporcional; sin embargo, en este caso la probabilidad de que un individuo sea elegido es directamente proporcional a su jerarquía (posición) y no a su valor de aptitud.

Operadores de variación Los operadores de variación crean diversidad en la población mediante la exploración de nuevas zonas dentro del espacio de búsqueda. Existen dos tipos de operadores: cruza y mutación, que pueden trabajar a nivel genotipo y/o fenotipo. La cruza o recombinación se aplica a más de un padre con el fin de obtener uno o más individuos hijos por medio del intercambio de información. En cambio, la mutación se aplica sobre un padre y se obtiene un hijo, modificando al primero en una pequeña parte. Existen distintos tipos de cruza y de mutación que dependen de la representación de soluciones que utilice el algoritmo evolutivo.

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Mecanismos de Reemplazo Actualiza a la población actual, es decir, elige a los individuos que formaran parte de la nueva generación. La elección solo puede hacerse entre los individuos hijos o en el conjunto de individuos formado tanto por los hijos como por los padres. Dentro de los métodos de reemplazo se destacan los siguientes [37]:

Selección generacional: Los hijos reemplazan a los padres, sin importar su valor de aptitud.

Selección determinística: Solo los mejores individuos sobreviven.

Selección probabilística: Utiliza elementos aleatorios que permiten que individuos menos aptos puedan sobrevivir y formar parte de la siguiente generación.

Selección de estado uniforme [40]: Los hijos reemplazan a sus padres si son mejores que ellos.

Parámetros de control Son medidas de ajuste, los valores que pueden tomar las variables son: el número de individuos, el número máximo de generaciones, probabilidades de cruza y mutación dentro del algoritmo.

3.4.3. EVOLUCIÓN DIFERENCIAL

Desafortunadamente los algoritmos deterministas tradicionales son insuficientes cuando la función objetivo posee características como: no linealidad, alta dimensionalidad, existencia de múltiples óptimos locales (multimodalidad), no diferenciabilidad o ruido. Es aquí, cuando la evolución diferencial resulta ser un método alternativo a la solución de problemas con estas características, empleando un esquema simple de mutación auto-adaptada. Evolución Diferencial (ED) es un método de búsqueda directa y estocástica, surge en 1994, debido a los intentos de Rainer Storn y Kenneth Price por resolver el problema del ajuste polinomial de Chebyshev. Al siguiente año estos dos autores propusieron ED en [39] para la optimización de funciones no lineales y no diferenciables sobre espacios continuos. El principio de funcionamiento de la ED se basa en utilizar la diferencia entre vectores para perturbar a otro vector de la población. La ED converge más

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rápidamente y con mayor certeza que otros métodos de optimización global, es efectivo, eficiente y robusto [41]. La ED cuenta con un número de características importantes que lo hacen atractivo para resolver problemas de optimización global, entre ellas se destacan las siguientes: [41]:

Manejo de funciones objetivo no lineales, no diferenciables y multimodales.

Facilidad de paralelización del algoritmo.

No se requiere predefinir distribuciones de probabilidad como en el caso de las estrategias evolutivas.

Emplea una codificación real que permite algunas de las siguientes ventajas:

Utilizar dominios más grandes, e inclusive dominios no acotados.

Manejar grados de precisión más exactos.

Explotar la granularidad del paisaje de aptitud.

Eliminar el proceso de codificación-decodificación.

Un nivel de expresividad más alto, que coincide con la intuición de que una representación más expresiva nos provee de un aparato más poderoso de adaptación.

Integrar información del dominio de forma más simple (manejo

de restricciones).

Por lo anterior, las limitaciones de rango y precisión son propias del formato de punto flotante utilizado y no del algoritmo en sí.

Suele converger a un valor óptimo (posiblemente local) de manera consistente a lo largo de una secuencia de ejecuciones independientes.

En su forma original, el algoritmo emplea tres parámetros de control y un criterio de terminación.

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La ED forma parte de los algoritmos evolutivos y como en la mayoría de los algoritmos evolutivos emplea poblaciones de individuos que representan soluciones candidatas al problema en cuestión (vectores de solución). Utiliza dos mecanismos evolutivos para la generación de los descendientes, mutación y cruza; además de un mecanismo de reemplazo que se aplica entre el vector padre y el vector hijo para determinar quién sobrevive en la siguiente generación.

3.4.3.1. DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO DE ED

Población El algoritmo de ED utiliza dos poblaciones diferentes dentro del proceso de optimización, ambas con 𝑁𝑝 individuos. Cada uno de estos individuos es

representado por un vector de N variables, donde N es el número de variables que tiene el problema, cada una de ellas almacena un valor real.

Se ejecuta el algoritmo durante 𝑚𝑎𝑥 evoluciones. La población actual es representada por 𝑃𝑥 y se define de la siguiente manera:

𝑃𝑥,𝑔 = (�⃗�𝑖,𝑔), 𝑖 = 0, , … ,𝑁𝑝 − , = 0, , … , 𝑚𝑎𝑥

�⃗�𝑖,𝑔 = (�⃗� ,𝑖,𝑔), = 0, , … , 𝑁

(3.8)

dónde:

𝑖

= Índice que tiene el individuo en la población.

= Índice de la variable del individuo 𝑖. = Indica el número de generación.

La ED realiza mutaciones a los individuos de la población elegidos de manera aleatoria para generar nuevos y con esto generar una población intermedia que se define de la siguiente forma:

𝑃v,𝑔 = (�⃗�𝑖,𝑔), 𝑖 = 0, , … ,𝑁𝑝 − , = 0, , … , 𝑚𝑎𝑥

�⃗�𝑖,𝑔 = (�⃗� ,𝑖,𝑔), = 0, , … ,𝑁

(3.9)

A continuación se combinan cada individuo de la población actual 𝑃𝑥,𝑔 con

uno de la población 𝑃𝑣,𝑔, con lo que se consigue una nueva población de

prueba denotada como:

𝑃u,𝑔 = (�⃗⃗�𝑖,𝑔), 𝑖 = 0, , … ,𝑁𝑝 − , = 0, , … , 𝑚𝑎𝑥

�⃗⃗�𝑖,𝑔 = (�⃗⃗� ,𝑖,𝑔), = 0, , … ,𝑁

(3.10)

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Población Inicial Es necesario conocer los límites inferiores y superiores de cada variable

del problema para poder generar la población inicial. El vector �⃗⃗�𝐿 contiene

el límite inferior de cada variable y �⃗⃗�𝑈 el superior, con lo que se puede asignar un valor a cada variable de los vectores que representan a los individuos dentro de los límites de cada una de ellas, de la siguiente manera:

�⃗� ,𝑖,0 = 𝒓𝒂𝒏𝒅(0, ) ∙ (𝑏 ,𝑈 − 𝑏 ,𝐿) + 𝑏 ,𝐿 (3.11)

dónde:

rand(0,1) es una función de distribución uniforme que regresa un

número aleatorio entre el rango [0,1]. Se tiene que generar un número aleatorio para cada variable que se desea inicializar, incluso cuando el problema maneje variables discretas es necesario inicializar los vectores con valores reales, dado que el algoritmo trabaja internamente con éstos. En la Fig. 3.7, se muestra un problema con dos variables de decisión.

Fig. 3.7. Población inicial.

La población inicial debe cubrir uniformemente el espacio de búsqueda. Mutación Después de inicializar la población, se muta y recombina la población para generar una nueva población de 𝑁𝑝 vectores de prueba.

Al proceso que consiste en tomar tres vectores aleatoriamente, un factor de escalamiento y genera un nuevo vector se le llama mutación diferencial

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y es representado de la siguiente manera:

�⃗�𝑖,𝑔 = �⃗�𝑟0,𝑔 + 𝐹 ∙ (�⃗�𝑟1,𝑔 − �⃗�𝑟2,𝑔) (3.12)

El factor 𝐹 ∈ (0, +) controla la amplitud en la que la población se desenvuelve, a pesar de que no se tiene un límite superior, por lo general los valores son menores que 1.0.

Para determinar el valor del índice del vector base 𝑟0 se pueden tomar tres

números aleatorios diferentes de 𝑖 para 𝑟0, 𝑟 𝑦 𝑟3 por cada mutación que se realice. En la Fig. 3.8, se muestra el proceso de la mutación diferencial en dos dimensiones.

Fig. 3.8. El vector diferencial 𝐹 ∙ (�⃗�𝑟1,𝑔 − �⃗�𝑟2,𝑔) es sumado al vector base �⃗�𝑟0,𝑔,

para producir el vector mutado �⃗�𝑖,𝑔.

Cruza La ED realiza una cruza uniforme que a veces se lo conoce como recombinación discreta. El proceso consiste en cruzar cada vector de la población actual con un vector mutado, de la siguiente manera:

�⃗⃗�𝑖,𝑔 = 𝑢 ,𝑖,𝑔 = {𝑣 ,𝑖,𝑔 si (𝐫𝐚𝐧𝐝(0, ) 𝑟 ó = 𝑟𝑎𝑛 )

𝑥 ,𝑖,𝑔 en otro caso (3.13)

La probabilidad de cruza 𝑟 ∈ ,0, - es definida por el usuario, controla la fracción de variables que serán copiadas del individuo mutado y las variables que se copiaran del individuo actual.

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En la Fig. 3.9, se muestra en dos dimensiones el proceso de cruza uniforme.

Fig. 3.9. Posibles vectores de prueba son: �⃗⃗�′𝑖,𝑔, �⃗⃗�′′𝑖,𝑔, �⃗�′𝑖,𝑔 𝑦 �⃗�′𝑖,𝑔 al realizar

una cruza uniforme. Selección La decisión acerca de cuáles individuos de la población pasaran a la siguiente generación es de acuerdo al siguiente criterio:

�⃗�𝑖,𝑔+1 = {�⃗⃗�𝑖,𝑔 si 𝑓(�⃗⃗�𝑖,𝑔) 𝑓(�⃗�𝑖,𝑔)

�⃗�𝑖,𝑔 en otro caso (3.14)

Obtenida la nueva población el proceso de mutación, cruza y selección se repiten hasta que se encuentre un óptimo o se cumpla con un criterio de terminación.

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A continuación se presenta en su forma original el algoritmo de Evolución Diferencial (ED):

entrada: D (número de variables que tiene el problema), Np (tamaño de la

población), Cr (probabilidad de cruza y gmax (generaciones máximas) salida : Población final

Generar la población inicial; repeat

/*Se genera la población de prueba */ for i ← 1 to Np do repeat

r0 ← floor(rand(0, 1) ∗ Np); until r0 ≠ i ; repeat r1 ← floor(rand(0, 1) ∗ Np); until r1 ≠ r0 AND r1 ≠ i ; repeat r2 ← floor(rand(0, 1) ∗ Np); until r2 ≠ r1 AND r2 ≠ r0 AND r2 ≠ i ;

jrand ← floor(D ∗ rand(0, 1)); /*Se crea al nuevo individuo, aplicando los operadores de mutación y cruza */ for j ← 1 to D do

if rand(0, 1) ≤ Cr OR j = jrand then

uj,i ← xj,r0 + F ∗ (xj,r1 − xj,r2); else uj,i ← xj,i; end

end /*Se aplica el operador de selección */ if f(ui) ≤ f(xi) then xi ← ui; end

end until No se exceda gmax ;

Figura 3.10. Algoritmo de Evolución Diferencial.

3.4.3.2. VARIANTES DE ED

Existen diferentes variantes de ED y para su clasificación se utiliza la notación:

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DE/x/y/z dónde:

X Indica la forma en que los vectores participan en la mutación.

Y Indica el número de diferencias entre vectores que se utilizan para la mutación.

Z Indica el esquema de cruza que se va a utilizar.

Ejemplos:

DE/rand/1/bin Indica que se realiza una selección aleatoria de los vectores que conforman el vector mutación, así como una sola diferencia de vectores y un proceso de recombinación binomial.

DE/best/1/bin Indica que el mejor individuo de la población participa en el proceso de mutación, se realiza una sola diferencia de vectores y un proceso de recombinación binomial.

DE/rand/2/exp Selecciona aleatoriamente cuatro vectores que componen el vector mutación y son recombinados en un proceso exponencial.

DE/best/2/exp Indica que el mejor individuo de la población participa en el proceso de mutación, cuatro vectores componen el vector mutación y son recombinados en un proceso exponencial.

En [42] se observa que los modelos DE/rand/1/bin y DE/best/1/bin muestran los mejores rendimientos en términos de resultados y de número de evaluaciones de la función objetivo.

3.5 PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO El rendimiento de la bomba de ariete hidráulico representa el porcentaje de agua que se puede bombear en relación al total de la canalizada por el ariete, es

decir, varía en función del cociente ℎ ⁄ que al aumentar el valor resultante el rendimiento disminuye como se observa en la tabla 3.1. 𝒉𝑯⁄ 2 3 4 6 8 10 12

R 0.82 0.81 0.76 0.67 0.57 0.43 0.23

Tabla 3.1. Relación entre la altura de elevación y la de alimentación.

En donde:

ℎ = Altura de elevación.

= Altura de alimentación.

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La relación de la altura de elevación y la de alimentación esta comúnmente en el

rango de 5m a 25m. La proporción ideal para esta relación seria, si ℎ es 20 veces , entonces la bomba trabajará con el 100% de eficiencia. Dado que ningún sistema del mundo real es ideal, en la bomba siempre habrá una fracción de pérdida aceptable con respecto a la potencia de entrada, si ésta es utilizada apropiadamente se tendrá una mayor eficiencia.

Entonces la potencia de entrada 𝑃𝑒 es proporcional al caudal de entrada por la altura de alimentación :

𝑃𝑒 = ∙ (3.15)

La potencia de salida 𝑃𝑠 es proporcional al caudal de salida 𝑞 por la altura de elevación ℎ:

𝑃𝑠 = 𝑞 ∙ ℎ (3.16) En un sistema ideal la transferencia de potencia perfecta seria:

𝑃𝑠 = 𝑃𝑒 𝑞 ∙ ℎ = ∙

(3.17)

Entonces se pude definir a la eficiencia de la bomba de la siguiente manera:

𝜂 =𝑃𝑒𝑃𝑠

(3.18)

Reescribiéndola en términos del sistema de la bomba de ariete hidráulico, la eficiencia seria:

𝜂 =𝑞 ∙ ℎ

∙ (3.19)

donde:

𝑞 = Caudal de salida.

ℎ = Altura de elevación.

= Caudal de entrada.

= Altura de alimentación.

La eficiencia de la bomba la podemos utilizar para calcular el caudal de salida del sistema:

𝑞 = ∙ ∙ 𝜂

ℎ (3.20)

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Para obtener un buen caudal de salida, la eficiencia de la bomba deberá ser alta, al igual que el caudal de entrada.

3.5.1. FUNCIÓN OBJETIVO DE LA BOMBA DE ARIETE HIDRÁULICO

De la ecuación (3.19) y sea el problema de optimización mono-objetivo establecido como:

Encontrar 𝑥∗ ∈ ℝ2 tal que:

𝑚𝑖𝑛 𝑓 = ( − 𝜂)2) (3.21) dónde:

𝜂 = (𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙

) (3.22)

sujeto a:

0. 𝑥1 (3.23)

5 ∙ 𝑥2 25 ∙ sujeto a la restricción:

𝑥1 ∙ 𝑥2 − ( ∙ ) ∙ ( − 𝜀) 0 (3.24) dónde:

𝑥1 = 𝑞

𝑥2 = ℎ 𝜀 = porcentaje de error en la eficiencia.

En la Fig. 3.11 se observa la gráfica de la función objetivo.

Fig. 3.11. Grafica de la función objetivo de la bomba donde 𝑥1=𝑞, 𝑥2= ℎ, con valores para = 30 𝑙𝑡𝑠/𝑚𝑖𝑛. y = 2 𝑚.

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CAPÍTULO 4 SIMULACIÓN NUMÉRICA

Para la realización de la simulación numérica se utilizó el hardware descrito en la sección 1.8.2, así como el software de la sección 1.8.3 y se obtuvieron los resultados siguientes.

4.1. RESULTADOS

a) Con respecto al algoritmo de evolución diferencial, éste se programó

con los siguientes parámetros:

Tabla 4.1. Parámetros de control utilizados para el algoritmo de ED.

Se efectuaron 40 corridas en bloques de 10, cada bloque corresponde a un diferente factor de épsilon en el rango de 0.4 a 0.1. Lo anterior significa que la eficiencia estará en el rango del 60% a 100%, debido a que se considera una eficiencia promedio del 60% en los arietes hidraulicos. La suma de violación de restricciones se utiliza para discriminar a todos aquellos individuos que no cumplan con la restricción de la función objetivo, de esta manera solo se almacenan a individuos factibles y se trabajan con ellos si es que el valor de SVR es igual o menor que cero. La cruza se aplica a los padres para obtener uno o más hijos por medio del intercambio de información. Mientras que la mutación se realiza en un padre para obtener un hijo, el padre como consecuencia es modificado en una pequeña parte. Entre más grande sea el factor de cruza, más elementos mutados adquirirá el hijo, en caso contrario adquirirá menos. El valor de la función de aptitud es la relación entre la eficiencia de la bomba y el individuo. Las corridas se realizaron con 100 individuos y 500 generaciones, el algoritmo empezó a converger a partir de la generación 300, el tiempo de corrida osciló entre 15 a 24 segundos. Se observó que la función objetivo es multimodal.

Nombre Descripción Símbolo Valor

individuos Tamaño de la población NP 100

generaciones Número máximo de generaciones 𝑚𝑎𝑥 500

cruza Probabilidad de cruza Cr rand (.8, 1)

escalamiento Factor de escalamiento F rand (.3, .9)

épsilon Factor de error del % de 𝜂 de la bomba eps .4, …, .1

suma de VR Suma de violación de restricciones SVR = 0

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En la tabla 4.2 se observan los valores obtenidos de las variables 𝑥1 y 𝑥2 que son el caudal de salida 𝑞 y la altura de alimentación ℎ respectivamente, así como el mejor y peor valor de la eficiencia y el tiempo de duración de cada corrida.

Tabla 4.2. Tablas de corridas con diferentes valores de épsilon para ED.

# eps x1 x2 𝒇(x) G SVR Tiempo de corrida ƞ

1 .1 1.9257 28.0411 0.0100 0 0 19.734555 s. 0.89997910 2 .1 3.1393 17.2010 0.0100 -0.0000 0 16.884671 s. 0.89998499 3 .1 1.7636 30.6197 0.0100 -0.0000 0 17.986710 s. 0.90001505 4 .1 2.0842 25.9088 0.0100 -0.0000 0 15.867969 s. 0.89998535 5 .1 3.3169 16.2801 0.0100 0 0 16.897691 s. 0.89999106 6 .1 1.8015 29.9753 0.0100 -0.0000 0 16.354203 s. 0.90000838 7 .1 2.2645 23.8465 0.0100 -0.0000 0 17.337632 s. 0.90000665 8 .1 1.6705 32.3252 0.0100 0 0 16.883989 s. 0.89998744 9 .1 3.1218 17.2975 0.0100 -0.0000 0 17.549703 s. 0.89998893

10 .1 2.6658 20.2565 0.0100 -0.0000 0 16.798318 s. 0.89999630 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

# eps x1 x2 𝒇(x) G SVR Tiempo de corrida ƞ

1 .2 2.9069 16.5122 0.0400 -0.0000 0 15.566488 s. 0.79998857 2 .2 1.6515 29.0646 0.0400 0 0 22.406184 s. 0.80000312 3 .2 3.5099 13.6757 0.0400 -0.0000 0 16.543611 s. 0.80000566 4 .2 1.7391 27.5999 0.0400 0 0 17.948035 s. 0.79998310 5 .2 1.8374 26.1243 0.0400 -0.0000 0 16.636094 s. 0.80001315 6 .2 1.9948 24.0626 0.0400 0 0 16.008311 s. 0.80000124 7 .2 1.4825 32.3788 0.0400 0 0 18.862473 s. 0.80002618 8 .2 3.0206 15.8908 0.0400 -0.0000 0 16.203179 s. 0.79999584 9 .2 2.4488 19.6018 0.0400 -0.0000 0 15.691689 s. 0.80001480

10 .2 1.4740 32.5654 0.0400 -0.0000 0 15.987726 s. 0.80002333 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

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# eps x1 x2 𝒇(x) G SVR Tiempo de corrida ƞ

1 .3 2.4767 16.9583 0.0900 -0.0000 0 18.815101 s. 0.70001036 2 .3 2.3854 17.6072 0.0900 -0.0000 0 20.660858 s. 0.70000358 3 .3 1.6810 24.9853 0.0900 0 0 16.372885 s. 0.70000482 4 .3 1.6117 26.0599 0.0900 -0.0000 0 17.407178 s. 0.70001235 5 .3 1.7396 24.1440 0.0900 -0.0000 0 17.176758 s. 0.70001504 6 .3 1.6815 24.9772 0.0900 0 0 24.302960 s. 0.69998603 7 .3 3.1101 13.5044 0.0900 0 0 16.327132 s. 0.70000057 8 .3 1.7449 24.0706 0.0900 0 0 19.346724 s. 0.70001317 9 .3 2.4043 17.4688 0.0900 0 0 16.036941 s. 0.70000393

10 .3 2.3946 17.5398 0.0900 -0.0000 0 17.343142 s. 0.70001342 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

# eps x1 x2 𝒇(x) g SVR Tiempo de corrida ƞ

1 .4 2.3167 15.5393 0.1600 0 0 15.937284 s. 0.59999827 2 .4 0.8813 40.8479 0.1600 -0.0000 0 16.121364 s. 0.59998757 3 .4 2.4139 14.9138 0.1600 -0.0000 0 15.856121 s. 0.60000703 4 .4 2.0054 17.9511 0.1600 -0.0000 0 21.348467 s. 0.59998560 5 .4 1.8166 19.8171 0.1600 0 0 18.187529 s. 0.59999573 6 .4 1.5438 23.3185 0.1600 -0.0000 0 16.375640 s. 0.59998501 7 .4 1.7506 20.5643 0.1600 0 0 16.086908 s. 0.59999773 8 .4 1.5374 23.4160 0.1600 -0.0000 0 20.204019 s. 0.59999597 9 .4 2.3611 15.2472 0.1600 -0.0000 0 18.398471 s. 0.60000273

10 .4 1.1532 31.2184 0.1600 -0.0000 0 16.489862 s. 0.60001765 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

La columna g representa el valor de la restricción al problema de optimización, en cuanto a la columna de la suma de violación de restricciones es el resultado que se obtiene al sumar el valor de cada restricción evaluada, donde solo las soluciones factibles tendrán un valor igual a cero.

_________________________________________________________________________

59

b) Con respecto a la función fmincon del toolbox de matlab, ésta se programó con los parámetros que se muestran en la tabla 4.3.

Tabla 4.3. Parámetros de control utilizados para la función fmincon.

El propósito de esta función es encontrar el mínimo del valor escalar que devuelve una función de varias variables no lineales, sujeta a una serie de restricciones. Dicho en otras palabras, la función fmincon encuentra el mínimo de una función no lineal con restricciones de igualdad y/o desigualdad. Al igual que con el algoritmo de ED, se efectuaron 40 corridas en bloques de 10, cada bloque corresponde a un diferente factor de épsilon en el rango de 0.4 a 0.1.

El rango de las variables 𝑥1 y 𝑥2 están acotados por medio de los límites inferior 𝑙𝑏 y superior 𝑙𝑏. Sin embargo, una limitante de la función fmincon es que se tiene que

inicializar el vector de inicio de la búsqueda 𝑥0 para cada corrida, lo que provoca una convergencia prematura a un óptimo local, que además es

muy cercano al punto acotado por el vector 𝑥0. Lo anterior significa que el óptimo encontrado por la función fmincon es sensible al vector 𝑥0, situación crítica e importante, ya que como se mencionó en el inciso a), la función objetivo de la bomba de ariete hidráulico es multimodal, por lo que existen muchos óptimos locales que satisfacen a la función objetivo en el espacio

de búsqueda. Por otro lado, y dada la necesidad de inicializar al vector 𝑥0, la búsqueda es superficial y no se alcanza a cubrir de manera satisfactoria todo el espacio de búsqueda, por lo que quedan varias regiones sin explorar. El tiempo de corrida de la función fmincom osciló entre 1.5 a 3.9 segundos, es rápido y justificable, ya que solo se explora una fracción del espacio de búsqueda.

En la siguiente tabla se observan los valores obtenidos de las variables 𝑥1 y 𝑥2 que son el caudal de salida 𝑞 y la altura de alimentación ℎ

respectivamente, así como el valor de inicialización del vector 𝑥0 que corresponde a las columnas 𝑥01 y 𝑥02, el mejor y peor valor de la eficiencia y el tiempo de duración de cada corrida.

Nombre Descripción Símbolo Valor

Límite inferior Vector de límite inferior 𝑥1, 𝑥2 𝑙𝑏 [.1,5*H]

Límite superior Vector de límite superior 𝑥1, 𝑥2 𝑙𝑢 [Q,25*H]

Vector de inicio Punto inicial para 𝑥 𝑥0 [.1,5*H]

épsilon Factor de error del % de 𝜂 de la bomba eps .4, …, .1

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60

Tabla 4.4. Tablas de corridas con diferentes valores de épsilon para fmincon.

# eps x1 x2 𝒇(x) x01 x02 Tiempo de corrida ƞ

1 .1 1.9258 28.0407 0.0100 1 28 2.596078 s. 0.90001300 2 .1 1.1020 28.0020 0.0100 .1 49 2.917354 s. 0.51430340 3 .1 5.3189 10.1524 0.0100 29 11 3.184093 s. 0.89999334 4 .1 4.2481 12.7115 0.0100 5 13 2.695899 s. 0.89999539 5 .1 2.9113 18.5481 0.0100 15 25 2.978863 s. 0.89998473 6 .1 1.9977 27.0311 0.0100 29 49 3.485046 s. 0.90000047 7 .1 4.4296 12.1906 0.0100 .2 12 2.286609 s. 0.89999136 8 .1 5.1485 10.4886 0.0100 .9 10 3.176405 s. 0.90000929 9 .1 3.7813 14.2807 0.0100 2 14 3.135400 s. 0.89999352

10 .1 3.1708 17.0306 0.0100 3 17 3.814299 s. 0.90001044 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

# eps x1 x2 𝒇(x) x01 x02 Tiempo de corrida ƞ

1 .2 1.7125 28.0293 0.0400 1 28 1.771853 s. 0.80000294 2 .2 0.9796 49.0018 0.0400 .1 49 1.867096 s. 0.80003605 3 .2 4.7272 10.1540 0.0400 29 11 2.687785 s. 0.79999981 4 .2 3.8245 12.5506 0.0400 5 13 2.519037 s. 0.79999616 5 .2 2.6054 18.4233 0.0400 15 25 3.154284 s. 0.80000110 6 .2 1.7756 27.0333 0.0400 29 49 3.077588 s. 0.80000546 7 .2 3.9449 12.1677 0.0400 .2 12 1.506445 s. 0.80000600 8 .2 4.6040 10.4257 0.0400 .9 10 2.789727 s. 0.79999871 9 .2 3.3765 14.2161 0.0400 2 14 2.071546 s. 0.80001103

10 .2 2.8286 16.9697 0.0400 3 17 1.892695 s. 0.80000822 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

_________________________________________________________________________

61

# eps x1 x2 𝒇(x) x01 x02 Tiempo de corrida ƞ

1 .3 1.4990 28.0178 0.0900 1 28 2.782330 s. 0.69997804 2 .3 0.8571 49.0015 0.0900 .1 49 1.935666 s. 0.69998643 3 .3 4.1360 10.1547 0.0900 29 11 2.329257 s. 0.69999732 4 .3 3.3904 12.3879 0.0900 5 13 2.998088 s. 0.69999894 5 .3 2.2952 18.2993 0.0900 15 25 3.344856 s. 0.70000922 6 .3 1.5535 27.0355 0.0900 29 49 2.785053 s. 0.69999415 7 .3 3.4583 12.1445 0.0900 .2 12 2.391921 s. 0.69998874 8 .3 4.0533 10.3618 0.0900 .9 10 2.952572 s. 0.69999140 9 .3 2.9680 14.1507 0.0900 2 14 1.862569 s. 0.69998796

10 .3 2.4839 16.9090 0.0900 3 17 2.195568 s. 0.70000442 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

# eps x1 x2 𝒇(x) x01 x02 Tiempo de corrida ƞ

1 .4 1.2852 28.0102 0.1600 1 28 2.006627 s 0.59997848 2 .4 0.7347 49.0013 0.1600 .1 49 2.054087 s. 0.60002092 3 .4 3.5451 10.1550 0.1600 29 11 3.581910 s. 0.60000818 4 .4 2.9451 12.2239 0.1600 5 13 2.189735 s. 0.60001013 5 .4 1.9806 18.1761 0.1600 15 25 3.964022 s. 0.59999306 6 .4 1.3315 27.0377 0.1600 29 49 2.869701 s. 0.60001163 7 .4 2.9700 12.1212 0.1600 .2 12 1.921181 s. 0.59999940 8 .4 3.4962 10.2969 0.1600 .9 10 3.268932 s. 0.60000036 9 .4 2.5560 14.0847 0.1600 2 14 2.763482 s. 0.60000822

10 .4 2.1367 16.8480 0.1600 3 17 2.463636 s. 0.59998536 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

Además, se efectuaron 20 corridas adicionales divididas en bloques de 5,

en las que el valor del vector de inicio de la búsqueda 𝑥0 es constante, únicamente se varía el valor del épsilon en el rango propuesto, lo anterior con el fin de demostrar la convergencia prematura de la función fmincon y la

alta sensibilidad de la misma hacia el vector de inicio 𝑥0. Al igual que en las demás tablas, en la tabla 4.5 se observan los valores obtenidos de las

variables 𝑥1 y 𝑥2 que son el caudal de entrada 𝑞 y la altura de alimentación

ℎ respectivamente, así como el valor de inicialización del vector de

_________________________________________________________________________

62

búsqueda 𝑥0 que corresponde a las columnas 𝑥01 y 𝑥02, el valor de la eficiencia y el tiempo de duración de cada corrida.

Tabla 4.5. Tablas de corridas con valor constante del vector de inicio 𝑥0 y con diferentes valores de épsilon para fmincon.

# eps x1 x2 𝒇(x) x01 x02 Tiempo de corrida ƞ

1 .1 5.2911 10.2059 0.0100 0.1000 10.0000 2.013865 s. 0.90000729 2 .1 5.2911 10.2059 0.0100 0.1000 10.0000 3.422552 s. 0.90000729 3 .1 5.2911 10.2059 0.0100 0.1000 10.0000 2.658702 s. 0.90000729 4 .1 5.2911 10.2059 0.0100 0.1000 10.0000 2.293631 s. 0.90000729 5 .1 5.2911 10.2059 0.0100 0.1000 10.0000 3.472106 s. 0.90000729 6 .2 4.7141 10.1823 0.0400 0.1000 10.0000 2.808951 s. 0.80000634 7 .2 4.7141 10.1823 0.0400 0.1000 10.0000 2.430038 s. 0.80000634 8 .2 4.7141 10.1823 0.0400 0.1000 10.0000 3.018580 s. 0.80000634 9 .2 4.7141 10.1823 0.0400 0.1000 10.0000 2.454141 s. 0.80000634

10 .2 4.7141 10.1823 0.0400 0.1000 10.0000 2.705748 s. 0.80000634 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

# eps x1 x2 𝒇(x) x01 x02 Tiempo de corrida ƞ

1 .3 4.1345 10.1585 0.0900 0.1000 10.0000 2.235905 s. 0.70000530 2 .3 4.1345 10.1585 0.0900 0.1000 10.0000 3.572798 s. 0.70000530 3 .3 4.1345 10.1585 0.0900 0.1000 10.0000 3.112424 s. 0.70000530 4 .3 4.1345 10.1585 0.0900 0.1000 10.0000 2.505680 s. 0.70000530 5 .3 4.1345 10.1585 0.0900 0.1000 10.0000 2.198637 s. 0.70000530 6 .4 3.5523 10.1344 0.1600 0.1000 10.0000 2.081246 s. 0.60000715 7 .4 3.5523 10.1344 0.1600 0.1000 10.0000 2.221740 s. 0.60000715 8 .4 3.5523 10.1344 0.1600 0.1000 10.0000 2.813356 s. 0.60000715 9 .4 3.5523 10.1344 0.1600 0.1000 10.0000 2.586927 s. 0.60000715

10 .4 3.5523 10.1344 0.1600 0.1000 10.0000 3.326847 s. 0.60000715 Q=30lts/min H=2m Mejor ƞ Peor ƞ + Rápida + Lenta

4.2. PUESTA A PUNTO DEL ALGORITMO Para obtener un mejor desempeño del algoritmo de ED se realiza la puesta a punto del mismo, que consiste en ajustar algunos parámetros de control, como es el caso del número de individuos (NP), el número de

generaciones ( 𝑚𝑎𝑥), la cruza (Cr) y el factor de escalamiento (F).

_________________________________________________________________________

63

Inicialmente se consideró una población de 50 individuos con un máximo de 200 generaciones y un valor constante de 0.5 en cruza y escalamiento. Al observar que el algoritmo tiene una mejor convergencia con una población de 100 individuos con máximo de 500 generaciones, se ajusta el valor de cruza y escalamiento por uno aleatorio en cada iteración, obteniendo una mejor búsqueda dentro del espacio de búsqueda y con ello una mejor calidad en los individuos que pasan a la siguiente generación. Es aquí donde el algoritmo de ED contrasta con fmincon, ya que los parámetros de control de la función fmincon no se pueden ajustar, es decir,

el único parámetro “ajustable” sería el vector de inicio 𝑥0. Como se comentó anteriormente en el inciso b) de la sección 4.1, el vector de inicio

𝑥0 se tiene que inicializar manualmente dentro del rango del espacio de búsqueda para cada corrida.

Además el óptimo resultante es muy próximo al vector de inicio 𝑥0, lo que indica cierta sensibilidad a éste último, por tanto la búsqueda es parcial y deja sin explorar una gran porción del espacio de búsqueda, lo que origina una convergencia prematura que se demuestra con los valores mostrados en la tabla 4.5; ya que la función objetivo es multimodal queda de

manifiesto la sensibilidad del óptimo resultante hacia el vector de inicio 𝑥0 y el reducido espacio de búsqueda explorado por la función fmincom en comparación con los resultados del algoritmo de ED, mostrados en la tabla 4.2 de esa misma sección.

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64

CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES

Respecto al análisis del funcionamiento del dispositivo con base en las variables de entrada se concluye que, el diseño de la bomba de ariete hidráulico integra a la tubería de entrada como parte del dispositivo. Una larga tubería da mayor celeridad al fluido que la recorre y provee ciclos de tiempo más largos que brindan una mejor sincronía en la apertura y cierre de las válvulas.

Además el caudal de entrada y la altura de alimentación determinan la potencia de entrada a la bomba, misma que está en relación de la transferencia de la potencia de salida.

La eficiencia de la bomba se obtuvo al relacionar la potencia de entrada ( ∙ ) entre la potencia de salida (𝑞 ∙ ℎ), donde esta última está en función del porcentaje de la eficiencia del dispositivo, que se estimó en un 60%. La

eficiencia de la bomba se utiliza para: calcular el caudal de salida 𝑞, obtener un buen caudal, la eficiencia del ariete y la cantidad de caudal de entrada

, estos dos últimos deberán de ser altos.

El problema de diseño paramétrico para la bomba de ariete hidráulico se plantea como un problema de optimización mono-objetivo con restricciones, considerando los parámetros de la eficiencia en la bomba que forman parte

de la función objetivo, donde las variables de diseño 𝑥1 es el caudal de

salida 𝑞, y 𝑥2 la altura de elevación ℎ, acotados en su rango de operatividad en el sistema. Con lo anterior, se logra maximizar la eficiencia de la bomba, sin afectar el diseño de la misma, únicamente se realiza la puesta a punto

del sistema completo al conocer el valor óptimo para las variables 𝑥1 y 𝑥2, logrando así que el dispositivo trabaje en su nivel máximo de eficiencia con

respecto a los valores de entrada y .

La utilización de evolución diferencial para solución del problema de optimización nos provee de una herramienta efectiva, eficiente y robusta, ya que emplea un esquema de mutación auto-adaptada con tres parámetros de control y uno de terminación: número de individuos (NP), la cruza (Cr), el

factor de escalamiento (F) y número de generaciones ( 𝑚𝑎𝑥). Lo que permite obtener una gran diversidad y granularidad en la aptitud de los individuos en pro de más y mejores soluciones hacia la satisfacción de la función objetivo.

Los resultados obtenidos con ED y fmincon son confrontados en la tabla de selección de arietes, los valores resultantes están dentro de los rangos establecidos por el fabricante y ninguno de ellos infringe la restricción establecida en la función objetivo del problema de optimización.

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65

En las secciones 4.1 y 4.2 se comentan algunas ventajas y desventajas de la utilización de ED y fmincon, se concluye que para este caso, ED resulta ser más robusto en la resolución del problema de optimización.

5.1. TRABAJOS A FUTURO Queda abierto el panorama para la utilización de otros algoritmos de cómputo evolutivo, como los de inteligencia colectiva, eficaces dentro de las heurísticas para la resolución de problemas de optimización en conjunto con la metodología de diseño concurrente. Además, es posible un análisis diferente de la bomba de ariete hidráulico en relación a su funcionamiento, puede ser segmentada por cada elemento que la conforma, con el objetivo de calcular la eficiencia de forma individual, que integre al final todas en una general. Otro caso puede ser para el tipo de bomba multigolpe que tiene un determinado número de válvulas dispuestas en serie o paralelo, lo que cambia radicalmente la eficiencia de la bomba de ariete hidráulico.

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ANEXOS

1. CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN DE ED % ED para problema bomba de ariete hidráulico clear all close all clc %T1=clock; t1=tic; %inicio de tiempo programa. vector=[]; %guardar individuos %cr=0.5; %constante de cruza %f=0.5; %constante factor de escalamiento rand('twister',sum(100*clock)); %semilla del generador de aleatorios var=2; %núm. de variables ind=100; %núm. de individuos en la población genmax=500; %núm. de generaciones restric=1; %núm. de restricciones Q=30; %caudal de entrada H=2; %altura de alimentación eps=0.4; %épsilon rango=[0.1 Q 5*H 25*H]; %rango de las variables a=0.8; %rango b=1; %de cr cr=a+(b-a)*rand(1); %constante de cruza aleatorio for i=1:ind %generar población inicial aleatoria for j=1:var vector(i,j)=rango(j,1)+(rango(j,2)-rango(j,1))*rand(1); end %evaluar individuos en la función vector(i,var+1)=(1-(vector(i,1)*vector(i,2)/(Q*H)))^2; %evaluar restricción vector(i,4)=vector(i,1)* vector(i,2)-(Q*H*(1-eps)); end %Selección de padres for g=1:genmax %máximo de generaciones

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disp('Generación: '); disp(g); a=0.3; %rango b=0.9; %de f f=a+(b-a)*rand(1); %factor de escalamiento aleatorio for i=1:ind %Seleccionar tres individuos diferentes r1=randint(1,1,[1,ind]); while(r1==i) r1=randint(1,1,[1,ind]); end r2=randint(1,1,[1,ind]); while(r2==r1 || (r2==i)) r2=randint(1,1,[1,ind]); end r3=randint(1,1,[1,ind]); while(r3==r1 || (r3==r2) || r3==i) r3=randint(1,1,[1,ind]); end randj=rand(1); %para la cruza ver qué % va a tener de variación jrand=randint(1,1,[1,var]); %garantiza que al menos un elemento %del hijo será diferente que el padre %vector de ruido r3+F(r1-r2) for k=1:var vectRuido(1,k)=vector(r1,k)+f*(vector(r2,k)-vector(r3,k)); %Verificando límites de las variables en el hijo if vectRuido(1,k) < rango(k,1) vectRuido(1,k)=(rango(k,1)*2)-vectRuido(1,k); else if vectRuido(1,k) > rango(k,2) vectRuido(1,k)=(rango(k,2)*2)-vectRuido(1,k); end end end %Generar hijo a partir del target y del vector ruido

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for k=1:var if (randj<cr || jrand==k) hijo(1,k)=vectRuido(1,k); else hijo(1,k)=vector(i,k); end end %evaluar al hijo en la función hijo(1,var+1)=(1-(hijo(1,1)*hijo(1,2)/(Q*H)))^2; %evaluar restricción hijo(1,4)=hijo(1,1)*hijo(1,2)-(Q*H*(1-eps)); %Reemplazo del padre por el hijo si es mejor el hijo %siempre y cuando no viole restricciones sumaSVR=0; if vector(i,4)>0 sumaSVR=sumaSVR+vector(i,4); end vector(i,5)=sumaSVR; sumaSVR=0; if hijo(1,4)>0 sumaSVR=sumaSVR+hijo(1,4); end hijo(1,5)=sumaSVR; %tolerar error for t=1:ind if vector(i,5)> -0.0001 && vector(i,5)<0 vector(i,5)=0; end end if hijo(1,5)> -0.0001 && hijo(1,5)<0 hijo(1,5)=0; end if (vector(i,5)>0) && (hijo(1,5)>0) %si ambos violan restricciones if (vector(i,5) >= hijo(1,5) ) %tomo el que tenga menor suma de SVR vector(i,:)=hijo(1,:); end else

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if (vector(i,5)<=0) && (hijo(1,5)<=0) %si ninguno viola restricciones if (vector(i,var+1)>hijo(1,var+1)) % tomo al que tiene mejor valor f(x) vector(i,:)=hijo(1,:); end end end if vector(i,5)>0 && hijo(1,5)==0 % si el padre viola restricciones y el hijo no, tomo al hijo vector(i,:)=hijo(1,:); end end end disp(' ') disp('Vector final: ') disp(' X1 X2 f(x) g SVR') disp(vector) %e=etime(clock,T1) toc(t1) %fin de tiempo programa

2. CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN DE FMINCON

Bomba.m close all clear all clc t1=tic; %inicio de tiempo programa disp('') disp('Bomba de ariete hidráulico ') disp('----------------------------------------------------------------') disp('Condiciones iniciales') disp('Q= Caudal de entrada (Lts./min.) H= Altura de alimentación (m.)') Q=30 H=6 eps=0.4; %épsilon disp('Límite inferior X1 X2') lb=[.1,5*H] disp('Límite superior X1 X2')

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ub=[Q,25*H] disp('Vector de inicio X0') x0=[.1,5*H] %x0=[3,17]; options=optimset('largescale','on'); %x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) [x,fval]= fmincon(@(x) objfun(x,Q,H),x0,[],[],[],[],lb,ub,@(x) restric(x,Q,H,eps),options) toc(t1) %fin de tiempo programa objfun.m function f=objfun(x,Q,H) f=(1-(x(1)*x(2)/(Q*H)))^2; %función objetivo restric.m function [c,ceq]=restric(x,Q,H,eps) c=[(x(1)*x(2))-((Q*H)*(1-eps))]; %restricción de desigualdad ceq=[]; %restricción de igualdad

3. TABLA DE TIPOS DE ARIETE