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FACULTAD DE INGENIERIA - U.B.A.Departamento de Electronica

66.06 Analisis de Circuitos

Diseno y Sıntesis de un FiltroChebyshev

Albani FranciscoPadron: 84891Codigo del trabajo: BT135

1.er cuatrimestre 2007

Resumen

El informe comienza con una breve introduccion al diseno y sıntesis defiltros orientada a aquellos que, sin haber cursado la materia Analisis deCircuitos, tienen la intencion de leer este trabajo para ver de que se trata.Se pretende cumplir con el enunciado propuesto y a la vez servir de guıapara quienes, en el futuro, deban transitar el mismo camino; es por esoque se ha puesto especial esfuerzo en no dejar cabos sueltos y acompanarcada accion con su justificacion teorica.

El desarrollo comienza por el analisis espectral de todas las senalesinvolucradas, para luego darle paso a la busqueda del objetivo utilizando laAproximacion de Chebyshev. Finalmente, el filtro es sintetizado medianteuna estructura circuital y su funcionamiento es probado con la ayuda delos programas MathCad, para calculo simbolico, y PSpice, para simulacionde circuitos.

2

Indice

I Introduccion 5

1. ¿Que es un filtro? 5

2. Diseno de un filtro 7

3. Sıntesis de un filtro 8

4. Objetivo 94.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Desarrollo 11

5. Analisis de la senal de entrada 115.1. Resolucion del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Descomposicion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Analisis de la senal de salida 196.1. Interpretacion de la senal de AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2. Descomposicion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7. Busqueda de la Transferencia 217.1. Analisis de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2. Busqueda de una aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.3. Aproximacion de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.3.1. Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.3.2. Pasa-bajos Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.3.3. Transformacion pasa-bajos −→ pasa-banda . . . . . . . . 29

7.4. Busqueda de los parametros de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 317.4.1. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4.2. Frecuencia central y ancho de banda relativo . . . . . . . 317.4.3. Factor de ondulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.4.4. Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.5. Hallazgo de la Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.5.1. Extension analıtica jω −→ s . . . . . . . . . . . . . . . . 367.5.2. Reconstruccion a partir de los polos . . . . . . . . . . . . 36

7.6. Verificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.6.1. Espectro de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.6.2. Senal de salida en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.6.3. Armonicos residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

8. Sıntesis circuital del Filtro 438.1. Confeccion de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.1. Sallen-Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.1.2. Infinite Gain Multiple FeedBack . . . . . . . . . . . . . . 448.1.3. Eleccion de las admitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.1.4. Estructura final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.1.5. Normalizacion de los componentes . . . . . . . . . . . . . 47

8.2. Verificacion de la transferencia definitiva . . . . . . . . . . . . . . 508.3. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.3.1. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.4. Respuesta en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.4.1. Impulso δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.4.2. Escalon u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.4.3. Onda cuadrada de 100 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.4.4. Onda cuadrada de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.4.5. Senoidal de 1000 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

III Conclusion 61

IV Bibliografıa 62

4

66.06 Analisis de Circuitos Diseno y Sıntesis de un Filtro Chebyshev

Parte I

Introduccion

1. ¿Que es un filtro?

Filtro(De fieltro)

1. Materia porosa, como el fieltro, el papel, la esponja, el carbon, la piedra, etc., omasa de arena o piedras menudas a traves de la cual se hace pasar un lıquidopara clarificarlo de los materiales que lleva en suspension.

2. Manantial de agua dulce en la costa del mar y a veces hasta en lugares banadospor el mar.

3. Sistema de seleccion en un proceso segun criterios previamente establecidos.

4. Electr. Dispositivo que elimina o selecciona ciertas frecuencias de un espectroelectrico, acustico, optico o mecanico, como las vibraciones.

5. Fıs. Aparato dispuesto para depurar el gas que lo atraviesa.

Como se puede leer en el extracto anterior, tomado del Diccionario de laReal Academia Espanola, la definicion de filtro mas adecuada, a los efectos deeste trabajo, es la no4, correspondiente al campo de la Electricidad.

Puede pensarse un filtro como una transformacion entre una entrada y unasalida. La denominacion de “filtro” tendra sentido si la entrada puede descom-ponerse como la suma de alguna cantidad de partes diferenciables unas de otras,entre las cuales el filtro hara una seleccion y recomposicion para obtener la sal-ida.

En el contexto de este trabajo, tanto la entrada como la salida seran mag-nitudes electricas comunmente llamadas senales. Desde el momento en que,mediante el Analisis de Fourier, se acepta que una senal periodica puede de-scomponerse como una suma infinita de senales senoidales puras, de distintasfrecuencias y amplitudes bien determinadas, queda claro que aquello sobre loque el filtro trabajara seran frecuencias.

Los filtros mas conocidos, simples y relevantes para este trabajo, son cono-cidos como selectores de frecuencia, y su especificacion consiste en definir unrango de frecuencias fuera del cual las senales son rechazadas. Dependiendo lanaturaleza de las frecuencias del rango, se los conoce como pasa-bajos, pasa-altos,pasa-banda o rechaza-banda. En la figura 1 pueden apreciarse algunos ejemplos.

Albani Francisco 5 1.er cuatrimestre 2007


0 20 40 60 80 1000

1

2

Pasa-bajos ideal

Pasa-altos ideal

Pasa-banda ideal

Frecuencia

Ganancia

Figura 1: Algunos filtros ideales.

Como se vera a continuacion, este comportamiento solo se logra aproximaren mejor o peor medida, y esa es una de las incumbencias del diseno de filtros.



2. Diseno de un filtro

Pueden implimentarse filtros mediante una red de componentes electricospasivos y activos (aprovechando las condiciones de resonancia de sus compo-nentes), pensada de forma tal que la transferencia entre dos de sus variableselectricas se aproxime al comportamiento deseado. En estas condiciones, a unade estas variables electricas se la llamara “excitacion” y a la otra “respuesta”, yjugaran el papel de “entrada” y “salida”, respectivamente. Matematicamente,esto se expresa como:

Respuesta = Transferencia · Excitacion

donde cada uno de los factores es la transformada de Laplace correspondiente.

Si se piensa que las funciones de Transferencia sintetizables mediante unacantidad finita de componentes electricos, resultan siempre racionales, se con-cluye rapidamente que existe una limitacion importante en cuanto a los filtrosque pueden representarse mediante redes electricas. En otras palabras, a partirde una especificacion idealizada del comportamiento deseado, solo se podra lo-grar una aproximacion que tanto mejor sera en la medida en que haya mascomponentes reactivos involucrados.

A raız de esto, a lo largo de la historia han surgido distintas aproximacionespensadas con distintos objetivos en mente; comportamiento uniforme dentro dela banda pasante; fuerte atenuacion fuera de banda; poca distorsion de fase, etc.

Estas aproximaciones se representan mediante expresiones racionales cuyoorden esta relacionado, como ya se dijo, con la cantidad de componentes re-activos, y por lo tanto, tambien con la calidad de la aproximacion. En estetrabajo, se intentara encontrar la mejor aproximacion posible que no exceda lacantidad maxima de componentes reactivos permitida, y cumpla con el objetivoestipulado.



3. Sıntesis de un filtro

Una vez terminada la descripcion matematica del filtro mediante algunaaproximacion racional, el proximo paso es sintetizar una estructura circuitalque la lleve al mundo real. Aquı se deben combinar inmitancias y elementosactivos de forma tal que la transferencia entre dos de sus nodos resulte ser lafuncion racional que representa al filtro.

Una estrategia muy comun que suele simplificar mucho la sıntesis, es laseparacion en etapas independientes. Un ejemplo de esto es la combinacion en“cascada” (serie) de estructuras de tal forma que la transferencia total resulteel producto de las transferencias de cada etapa. Para esto se busca expresar latransferencia deseada en el producto de transferencias de estructuras conocidas.

Existen varias estructuras famosas que pueden adaptarse para alcanzar elobjetivo propuesto. Algunas de las mas simples son los divisores de tension,los amplificadores inversores y no inversores, los derivadores y los integradores.Especial mencion merecen las estructuras de realimentacion multiple como porejemplo Sallen-Key, Infinite Gain Multiple FeedBack y KHN 1.

Finalmente, especial cuidado hay que tener con los valores de los compo-nentes utilizados, pues en el mercado no se comercializan todos los valores posi-bles que una ecuacion matematica puede arrojar. Existen distintas series devalores separados discretamente en “saltos” determinados por la tolerancia defabricacion. La eleccion de los valores debe hacerse teniendo en cuenta que luegodeberan ser normalizados a los valores comerciales y esto puede llevar al filtroa no cumplir con las especificaciones para las que originalmente fue disenado.

1Kerwin-Huelsman-Newomb



4. Objetivo

4.1. Enunciado

A continuacion, se expone el enunciado que da nacimiento a este trabajo:

[1] Gate

[2] Source

[3] Drain

Filtro AM

P

P

N

N

0

0 0

0

1k

5

BS170/ZTX

1

32

5 FREQ = 1000

VAMPL = 1

VOFF = 0

3

FREQ = 100

VAMPL = 1

VOFF = 0 TL082/301/TI

3

2

84

1

+

-

V+

V-

OUT

Figura 2: Circuito generador de la senal de entrada.

En el circuito de la figura 2, un transistor MOS2 BS170/ZTX de canalN se emplea como mezclador alineal, produciendo en el terminal source unapoliarmonica que es empleada como entrada del filtro que debera componer unasenal de AM3, representada por la siguiente expresion:

13

sin(2π · 900Hz · t) + sin(2π · 1000Hz · t) +13

sin(2π · 1100Hz · t)

El transistor se conecta de modo que Vg s = Vd s. En esas condiciones, conerrores menores al 1%, resulta que:

Vd s(id) = 1,824 + 4,0275 ·√

id + 1,5716 · id

La suma de los armonicos residuales contenidos en la senal de AM resultanteno podra superar los 10 mV RMS4.

2Metal-oxide-Semiconductor.3Amplitud modulada.4Root Mean Square (Valor eficaz).



4.2. Restricciones

El circuito:

debera funcionar dentro del rango de frecuencias que va desde 50 Hz hasta20 kHz.

tendra que aceptar senales del rango de amplitudes que va desde 1 mVhasta 10 V.

debera cumplir con las especificaciones sin alejarse mas de 3 dB.

poseera menos de 10 polos.

poseera menos de 10 ceros.

no contendra etapas con ganancias que superen los 40 dB.

no contendra etapas con polos complejos conjugados cuyo Q sea mayor a29.

tendra una entrada de impedancia constante (en frecuencia).

estara compuesto por capacitores de poliester metalizado cuyos valoresestaran entre 1 nF y 470 nF con una tolerancia del 5%.

estara compuesto por resistores cuyos valores estaran entre 4,7 kΩ y 3,3 MΩcon una tolerancia del 2 % o 1 %.5

no contendra mas de 10 capacitores.

no contendra mas de 12 amplificadores operacionales.

5En caso de usar resistencias menores a 4,7 kΩ, debera demostrarse que ello no engen-drara en la salida de los amplificadores operacionales corrientes mayores que 5 mA.



Parte II

Desarrollo

5. Analisis de la senal de entrada

5.1. Resolucion del circuito

[1] Gate[2] Source[3] Drain

Vsg

VdgRi iR d

0

0

0

BS170/ZTX

1

32

3

FREQ = 100

VAMPL = 1

+

-

OUT

FREQ = 1000

VAMPL = 1

Figura 3: Circuito de entrada simplificado

Suponiendo un comportamiento ideal del amplificador operacional6, se puedeplantear la ecuacion de la diferencia de potencial entre el terminal negativo de lafuente constante de 3 Volts y la entrada inversora del amplificador operacional,obteniendo:

3 V + sin(2π · 100Hz · t) V + sin(2π · 1000Hz · t) V− iR(t) ·R = 0

Como la corriente que atraviesa la resistencia R es igual a la corriente queentra por terminal drain del transistor, esta ultima estara descripta por la sigu-iente expresion:

id(t) =3 V + sin(2π · 100Hz · t) V + sin(2π · 1000Hz · t) V

R

El enunciado provee una expresion que vincula id(t) con la tension del ter-minal drain con respecto al terminal source y afirma que, al usarla, se cometeun error menor al 1%. Utilizando esa expresion y teniendo en cuenta queVg s = −Vs g = Vd s, se puede concluir que la tension de salida del circuitode entrada estara descripta por:

Vin(t) = Vs g(t) = −(1,824 + 4,0275 ·√

id(t) + 1,5716 · id(t))6Esto es, en principio: impedancia de entrada infinita, impedancia de salida nula y ganancia

de tension infinita.



A continuacion, se exponen graficos ilustrativos de las expresiones anterioresdonde se las puede apreciar a lo largo de tres perıodos:

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.030

0.0012

0.0024

0.0036

0.0048

0.006

id(t) [A]

Tiempo [s]

Figura 4: Corriente id(t).

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.032.15

2.1

2.05

2

Vin(t) [V]

Tiempo [s]

Figura 5: Senal de entrada.

Finalmente, en la figura 6, se presenta el resultado de la simulacion del cicuitoen PSpice.



Time

100ms 105ms 110ms 115ms 120ms 125ms 130ms

V(IN)

-2.15V

-2.10V

-2.05V

-2.00V

-1.95V

Figura 6: Senal de entrada simulada en PSpice.



5.2. Descomposicion armonica

Aplicando la herramientas matematicas del Analisis de Fourier, se puededescomponer una senal periodica en suma de infinitas senales trigonometricas,y de esta forma confeccionar un mapa de las frecuencias presentes en la senalcon sus respectivos pesos. De las varias formas de expresar esta igualdad, resultaconveniente, en esta oportunidad, utilizar la siguiente:

f(t) =+∞∑

n=−∞cneiωnt

Donde:

f(t) es la senal de perıodo T a descomponer.

cn ∈ C es el enesimo coeficiente de Fourier, definido como1T

∫ T

0

f(t)e−iωnt dt.

ωn es el enesimo armonico de la funcion, equivalente a n2π

T.

eiωnt = cos(ωnt) + i sin(ωnt) es la funcion trigonometrica que genera labase ortonormal del espacio de funciones.

Nunca deja de ser sorprendente7 la aparicion de los numeros Complejos en ladescripcion matematica de los fenomenos del mundo Real. Estos numeros poseennumero sısimas propiedades que los hacen candidatos por excelencia para repre-sentar ciertas magnitudes. En este caso, cada coeficiente cn guarda dentro de sı,codificado, el ADN de una onda senoidal. Una onda senoidal queda completa einequıvocamente definida a partir de su amplitud, su frecuencia y su fase inicial.Como cn corresponde al armonico de frecuencia n 2π

T , solo resta obtener su am-plitud y fase inicial. Estos dos valores no son ni mas ni menos que el modulo y elargumento de cn, respectivamente. Puede probarse que, una forma equivalentede expresar la igualdad mas arriba expuesta es:

f(t) =+∞∑n=0

|cn| cos(ωnt + arg(cn))

donde se hacen explıcitos varios conceptos mas claramente.

En teorıa, este analisis se completarıa al calcular los infinitos coeficientespara describir completamente a f(t). En la practica, esto no es necesario ya quese puede lograr una muy buena aproximacion tomando la cantidad de coefi-cientes que sea necesaria. De todas formas, existen tecnicas numericas, basadasen la Transformada Discreta de Fourier, capaces de resolver este problema apartir de un conjunto finito de muestras de la senal. La precision de los resul-tados sera mayor cuanto mas fino sea el muestreo. La tecnica mas difundida es

7Llegando en algunas personas a ser hasta esoterico.



conocida como Transformada rapida de Fourier, o por su sigla en ingles, FFT.

Para construir el espectro de frecuencias de la senal de entrada utilizandola Transformada rapida de Fourier, es necesario antes, armar una coleccion demuestras de la misma a lo largo de un cierto intervalo de tiempo. Siendo unasenal periodica, lo mas inteligente es realizar dicha coleccion en un perıodo com-pleto. Un intervalo menor, provocarıa una perdida de informacion y los resulta-dos no corresponderıan con la senal tratada. Un intervalo mayor no multiplo delperıodo, provocarıa el mismo problema. En el caso de ser multiplo del perıodo,habrıa informacion redundante y menor precision en los datos para una mismacantidad de muestras.

La coleccion debe expresarse como un arreglo de valores que toma la senala intervalos regulares de tiempo. Esto se logra realizando el cambio de variable

t → i

nT , y definiendo el vector:

mVin[i] = Vin

(i

nT

)Donde:

mVin es el arreglo de muestras de Vin.

n es la cantidad de muestras.

i es la variable discreta que itera entre 0 y (n− 1).

T es el intervalo de tiempo a lo largo del cual se realiza el muestreo.

Este arreglo sera procesado por la funcion FFT, resultando en un segundoarreglo conteniendo los coeficientes de Fourier anteriormente nombrados. Estearreglo representa al espectro de frecuencias discreto de Vin, muestreado a in-tervalos regulares iguales a la frecuencia fundamental, equivalente a la inversade la duracion del muestreo.

Una propiedad importante de la Transformada Discreta de Fourier, es quecuando se aplica a colecciones de numeros reales, se dan ciertas condiciones desimetrıa. Si a esto se suma que la cantidad de muestras es potencia de 2, lamitad de los coeficientes se repite y no necesitan ser calculados. Es por eso quepara este analisis se ha elegido utizar n = 210 = 1024. En estas condiciones, lalongitud del arreglo resultante sera exactamente la mitad que la del arreglo demuestras.

Debido a la normalizacion de la funcion FFT de MathCad, los elementos delvector resultante luego de la primera posicion, guardan una relacion de 1/2 conel valor de la amplitud de la sinusoide que representan. Es por esto que todoslos graficos expuestos en este trabajo, confeccionados con datos provenientes de



la funcion FFT, han sido adaptados para “corregir” este hecho.

Con todas las consideraciones anteriores, se realizo el analisis en MathCady se obtuvo el espectro que puede observarse en la figura 7.

0 500 1000 1500 2000 25000

0.5

1

1.5

2

2.5

Amplitud [V]Frecuencia [Hz]

Figura 7: Espectro de frecuencias de Vin.

Es notable como la gran diferencia de amplitud entre la componente de ten-sion continua (frecuencia nula) y el resto de los armonicos, imposibilita apreciarcorrectamente la informacion en un grafico. Es por esto que en la figura 8 puedeobservarse una version del espectro donde el rango del eje vertical se adapta ala amplitud de los armonicos que apenas se ven en la figura 7.



0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 25000

0.011

0.022

0.033

0.044



En esta nueva imagen, se puede notar la presencia de las frecuencias de100 Hz y 1000 Hz producidas por los generadores del circuito de entrada, y laaparicion de nuevas frecuencias producto del mezclado alineal del transistor.Ante la sospecha de la repeticion de un patron, se presenta una nueva versiondel espectro donde el rango del eje vertical se reduce y el rango del eje horizontalse aumenta:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.0013

0.0025

0.0038





Repitiendo este procedimiento, se pudo verificar que el patron se repite in-definidamente a cada 1000 Hz a lo largo de todo el espectro.

5.3. Conclusiones

La senal de entrada contiene las tres frecuencias necesarias para componerla senal de salida, pero con una relacion de amplitud distinta a la deseada.La amplitud del armonico de 1000 Hz es aproximadamente 11,47 veces masgrande que la amplitud de los armonicos de 900 Hz y 1100 Hz. Existen tambien,frecuencias indeseables de magnitud no despreciable que deberan ser filtradas.



6. Analisis de la senal de salida

6.1. Interpretacion de la senal de AM

La senal de salida objetivo que el filtro debera componer, esta descripta porla siguiente expresion:

Vobj(t) =13

sin(2π · 900Hz · t) + sin(2π · 1000Hz · t) +13

sin(2π · 1100Hz · t)

Como puede verse, se trata de la composicion de tres sinusoides de distintafrecuencia y amplitud. Es sabido que la suma de funciones periodicas da comoresultado otra funcion periodica solo si la relacion de frecuencias es racional. Elperıodo resultante sera el mınimo comun multiplo de los perıodos de cadafuncion, que se traduce en una frecuencia maxima comun divisora de todaslas frecuencias involucradas. Puede verificarse facilmente que la frecuencia deVobj sera 100 Hz. A continuacion, en la figura 10, pueden apreciarse 5 perıodosde Vobj .

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0452

1

0

1

2

Vout(t)Tiempo [s]

Figura 10: Vobj a lo largo de 5 perıodos.

6.2. Descomposicion armonica

Utilizando nuevamente las herramientas del Analisis de Fourier y la funcionFFT, pudo construirse el espectro de frecuencias objetivo que puede verse en lafigura 11, a partir de una coleccion de muestras a lo largo de 10 milisegundos.



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 20000

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5


Figura 11: Espectro de frecuencias de Vobj .

6.3. Conclusiones

Luego de este analisis, se refuerza la idea de que el filtro debera hacer unacorreccion importante en las amplitudes para lograr que el armonico central seatres veces mas grande que los inmediatamente a su lado.

Tambien habra que tener en cuenta que si las tres componentes no se en-cuentran en fase, la senal de AM resultante sufrira cierta distorsion.



7. Busqueda de la Transferencia

7.1. Analisis de los datos

A partir del analisis de la senal de entrada y de la senal de salida objetivo,puede concluirse que el filtro debera, en teorıa:

1. Evitar el paso de las componentes armonicas de frecuencias distintas a900 Hz, 1000 Hz y 1100 Hz.

2. Llevar la relacion de amplitud entre el armonico de 1000 Hz y los armonicosinmediatamente a su lado de 11,47 a 3. Esto puede lograrse atenuando elarmonico de 1000 Hz, amplificando los armonicos de 900 Hz y 1100Hz orealizando una combinacion de ambas acciones.

3. Proveer una amplificacion adecuada que, manteniendo la relacion de am-plitudes, consiga llevar la amplitud del armonico central a 1V.

Existen muchas maneras de alcanzar el objetivo. Una posible solucion po-drıa implicar realizar tres procesos en paralelo, a lo largo de los cuales solo unade las tres frecuencias necesarias pasarıa, siendo amplificada lo suficiente. Otrasolucion, podrıa estar compuesta por dos procesos en serie donde el primero solodeje pasar frecuencias entre 900 Hz y 1100 Hz para luego, en el segundo, recibiruna correccion de amplitud. Lo optimo, serıa encontrar un unico proceso capazde realizar todas las tareas.



7.2. Busqueda de una aproximacion

Como ya se adelanto en la introduccion, una parte del diseno de filtros con-siste en llevar una especificacion ideal a la realidad por medio de un circuito quesolo podra aproximarla. Hasta aquı, las unicas condiciones que debe cumplir latransferencia buscada, han sido establecidas en relacion a su modulo. Este de-bera tener la forma caracterıstica de un pasa-banda pero con una altura mayoren las frecuencias de 900Hz y 1100Hz que en la de 1000 Hz. Esto conduce in-evitablemente a exigir que existan al menos dos maximos locales con un mınimolocal en el medio de ambos. Teniendo en cuenta que no hay condiciones sobre elregimen transitorio y que resulta mas facil pensar en terminos de la atenuacioncomo inversa de la transferencia, el analisis se puede comenzar ası:

|A(jω)| = 1|T (jω)|

= f(ω)

donde f(ω) es una funcion que produce una ondulacion en la banda pasantey tiende a 0 fuera de ella. Esta oscilacion se da alrededor del valor medio deatenuacion que, a efectos cualitativos, puede suponerse que vale 1. De esta forma,se puede transformar lo anterior a:

|A(jω)| = 1 + g(ω)

donde g(ω) oscila alrededor de 0.Debido a que el modulo de un numero complejo implica una raız cuadrada, el

razonamiento se simplifica si se trabaja con el cuadrado del modulo, que resultaracional, y se adapta lo anterior a:

|A(jω)|2 = 1 + k(ω)

Con el objetivo en mente de encontrar una funcion racional en la variable s,se propone expresar a k(ω) como el modulo al cuadrado de una funcion K(s)evaluado en jω:

|A(jω)|2 = 1 + |K(jω)|2

Una propiedad importante de las funciones racionales con coeficientes realeses que f(z) = f(z). Utilizando eso, puede llegarse a:

A(jω) ·A(−jω) = 1 + K(jω) ·K(−jω)

y mediante una extension analıtica, concluir en lo siguiente, en terminos des:

A(s) ·A(−s) = 1 + K(s) ·K(−s)

que se conoce como Ecuacion de Feldtkeller [Miy91].

El procedimiento comienza buscando una funcion racional K(s) cuyo modu-lo al cuadrado evaluado en jω sea igual a k(ω), que define el comportamientobuscado. Luego, se obtiene A(s) · A(−s), que tiene ceros de la forma ±σ ± jω.



Es posible asignar a A(s) los de parte real negativa y a A(−s) los de partereal positiva, para asegurar la estabilidad temporal de la anti-trasformada de

T (s) =1

A(s).

Luego de conocer algunas de las alternativas historicas que existen en eldiseno de filtros, se encontro y selecciono como candidata una conocida comoAproximacion de Chebyshev. La denominacion es en honor a Pafnuty Cheby-shev8, por la estrecha relacion que tiene con los polinomios homonimos.

8Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821 - 1894) es considerado el fundador de lasmatematicas rusas. Su apellido, como el de algunos otros chechenos, ha sufrido el cruel desti-no de ser transliterado de varias formas, entre las que se encuentran Chebychev, Chebyshov,Tchebycheff y Tschebyscheff.



7.3. Aproximacion de Chebyshev

Consiste en proponer a los polinimios de Chebyshev como base para la con-struccion de la funcion k(ω).

7.3.1. Polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev conforman una secuencia de polinomios or-togonales que puede ser definida recursivamente. Si bien existen dos tipos, alos efectos de este trabajo, solo interesan los del primero. Estos emergen comosolucion de la ecuacion diferencial (1−x2)y′′−xy′+n2y = 0 y pueden generarsecon la siguiente relacion recursiva:T0(x) = 1T1(x) = xTn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)

Una definicion alternativa, que no se necesitara usar en este trabajo peromerece ser presentada, es la trigonometrica:

Tn(x) = cos(n arc cos x) = cosh(n arccoshx)

El orden del polinomio esta directamente relacionado con el orden del filtro,y este ultimo, con la cantidad de componentes reactivos que se necesitan paraconstruirlo. Es por eso que, en el diseno de filtros, no suelen considerarse poli-nomios de orden mayor que 4:T1(x) = xT2(x) = 2x2 − 1T3(x) = 4x3 − 3xT4(x) = 8x4 − 8x2 + 1

En la figura 12 pueden observarse algunos de estos polinomios, donde esnotable como todos se cortan en x = 1.



2 1 0 1 22

1

0

1

2

n=2

n=3

n=4

x

Figura 12: Algunos polinomios de Chebyshev.

Si a estos polinomios se los eleva al cuadrado, se logra hacerlos simetricoscon respecto a la recta x = 0 y duplicar la cantidad de maximos y mınimoslocales. En la figura 13 puede verse Tn(x)2 para algunos valores de n.



2 1 0 1 22

1

0

1

2

n=2

n=3

n=4

x

Figura 13: Algunos polinomios de Chebyshev elevados al cuadrado.

Es interesante notar que dentro del intervalo [−1 : 1], Tn(x)2 esta acotadaentre 0 y 1, y fuera de el crece muy rapidamente hacia infinito. Este compor-tamiento fuera de banda se asemeja al de un filtro pasa-banda ideal, que aplicauna atenuacion infinita.

Es evidente que si a esta funcion se le suma 1, se obtiene la expresion de|A(jω)|2 que se presento en la seccion 7.2, donde Tn(x)2 juega el rol de k(ω).En la figura 14 puede observarse el resultado.



2 1 0 1 22

1

0

1

2

n=2

n=3

n=4

x

Figura 14:1

1 + Tn(x)2para algunos valores de n.

La figura 14 devela que, mediante un desplazamiento horizontal de la fun-cion, podrıa obtenerse la forma de un pasa-banda. Esto romperıa la simetrıa conrespecto al eje vertical y, por cuestiones matematicas que exceden (no por mu-cho) a este trabajo, serıa imposible implementar una funcion racional establecuyo modulo respondiera a dicha grafica.

Aun ası, no hay motivos para desilusionarse, pues mediante una trasforma-cion conforme se le puede asignar a un punto de la transferencia de un pasa-bajos, dos puntos de la transferencia de un pasa-banda, y de esta forma lograr elobjetivo sin romper la simetrıa. Es por esto que a continuacion se busca primerola expresion de un pasa-bajos.

7.3.2. Pasa-bajos Chebyshev

Considerando que solo tienen sentido fısico los valores positivos de ω (o x,segun el grafico), puede verse que la expresion encontrada describe muy bien elcomportamiento de un pasa-bajos normalizado. Si, efectivamente, se construyeuno con todas las consideraciones anteriores pero parametrizado, se llega a lasiguiente expresion para el modulo de la transferencia del mismo:

|Hn(jω)| = A√1 +

[ε · Tn

(ωω0

)]2

Donde:



ε es el factor de ondulacion.

ω0 es la frecuencia angular de corte, definida como aquella a partir de lacual termina la ondulacion, dependiendo solo del valor de ε (y no de n).9

Tn es el polinomio de primer tipo de Chebyshev de orden n.

A es la ganancia.

y su grafico normalizado correspondiente puede verse en la figura 15.

0 1 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n=1

n=2

n=3

n=4Fin de la ondulación

Frecuencia angular [1/s]

Figura 15: |Hn(jω)| para algunos valores de n.

Se ve como a medida que aumenta el orden, aumenta la atenuacion fuerade banda. Esta caracterıstica hace que estos filtros sean una buena opcion ensituaciones donde existan armonicos a eliminar muy cerca de la banda pasante.Debido a que este no es el caso, no es esa la razon por la cual este tipo de filtroha sido elegido.

La caracterıstica que lo hace optimo para esta situacion es la ondulaciondentro de la banda pasante, que hace que dentro de ella haya frecuencias sus-tancialmente mas amplificadas que otras. Esta es la clave para poder cumplircon los tres puntos planteados en la seccion 7.1.

Esta ondulacion tiene maximos en A y mınimos enA√

1 + ε2. Queda claro

que este rango solo depende de ε y cuando este valor es igual a 1, se obtienen9Es importante notar que la tıpica definicion de frecuencia de corte como aquella a partir

de la cual la atenuacion vale mas de 3dB no es valida para filtros Chebyshev.



3dB de atenuacion en banda.

Si el objetivo se pudiera lograr con un pasa-bajos, este serıa el momentopara hacer la extension analıtica jω → s y buscar la expresion racional de latransferencia. Como este no es el caso, sera necesario previamente practicar unatransformacion a la expresion del pasa-bajos encontrada.

7.3.3. Transformacion pasa-bajos −→ pasa-banda

Para continuar la busqueda, es necesario valerse de un resultado teorico muyimportante que consiste en aplicar una transformacion conforme adecuada a latransferencia de un pasa-bajos para lograr la transferencia de un pasa-banda.Esta transformacion le asigna a cada punto del pasa-bajos, dos puntos del pasa-banda. Puede expresarse de la siguiente manera:

s −→ 1∆ωr

(s

ω0+

ω0

s

)donde ω0 es la frecuencia angular central de un pasa-banda de ancho relativo∆ωr, que conserva la selectividad y amplitud maxima y mınima del filtro pasa-bajos del cual se partio. La frecuencia central de un filtro pasa-banda se definecomo aquella para la cual el comportamiento resulta simetrico en una escalalogarıtmica. En otras palabras, la atenuacion que sufren senales de frecuenciaαω0 es igual a la atenuacion que las de frecuencia ω0

α . Si la especificacion delfiltro esta dada en funcion de sus frecuencias de corte, ω0 resulta ser la mediageometrica entre ambas

√ω1ω2. El ancho de banda relativo no es ni mas ni

menos queω2 − ω1

ω0.

Esta transformacion conserva la simetrıa y modifica la cantidad de polos yceros de tal forma que se obtiene una transferencia racional correspondiente aun pasa-banda. Sin todavıa realizar la extension analıtica, puede observarse elimpacto sobre la expresion de |Hn(jω)| luego de la transformacion:

|Hn(jω)| = A√1 +

[ε · Tn

(ω

∆ωr·ω0− ω0

∆ωr·ω

)]2

donde el signo negativo de la transformacion se justifica si se piensa que luegodebe ser coherente con la extension analıtica.

La figura 16 muestra algunos de los pasa-banda que se obtiene con paramet-ros normalizados.



0 1 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n=1

n=2

n=3

n=4Fin de la ondulación

Frecuencia angular [1/s]

Figura 16: Filtros Chebyshev pasa-banda para algunos valores de n.

La ultima expresion de |Hn(jω)| es sobre la cual se hara el analisis siguiente.



7.4. Busqueda de los parametros de Chebyshev

En esta secion, se buscaran los valores de A, ε, ∆ωr, ω0 y n que satisfaganlas condiciones deseadas sobre el modulo de la transferencia. Una vez encontra-dos, extension analıtica mediante, se obtendra la funcion racional a implementarmediante un circuito.

7.4.1. Orden

Este es sin duda el parametro mas facil de encontrar ya que, en el caso par-ticular de este trabajo, no requiere ningun tipo de cuenta o desarrollo teorico.Como se puede ver en la figura 16, el mınimo orden que produce dos maximoslocales con un mınimo local en el medio es 2. Si este tipo de filtros se estuvierausando para aprovechar la fuerte atenuacion fuera de banda, el orden deberıabuscarse seguramente realizando calculos con la expresion trigonometrica deChebyshev hasta encontrar el mınimo orden necesario que cumpla la especifi-cacion.

7.4.2. Frecuencia central y ancho de banda relativo

Normalmente, estos dos valores se obtienen de forma inmediata a partir dela especificacion de la banda pasante. La frecuencia central resulta ser la mediageometrica de las frecuencias de corte y el ancho de banda relativo el cocientreentre su diferencia y su media geometrica. Debido a que en el caso particularde este trabajo, la condiciones se establecen sobre las frecuencias a las cualesla transferencia es maxima, en lugar de las frecuencias de corte, habra queencontrar una relacion entre ambas que permita traducir estas condiciones.

En primer lugar, se buscan las frecuencia dentro de la banda pasante quemaximizan la transferencia. La expresion de |Hn(jω)| es maxima cuando su de-nominador es mınimo, y esto sucede cuando el termino que contiene al polinomiode Chebyshev se anula:

Tn

(ω

∆ωr · ω0

− ω0

∆ωr · ω

)= 0

Reemplazando por la definicion del polinomio de orden 2, y acomodando alge-braicamente se obtiene:∣∣∣∣ ω

∆ωr · ω0

− ω0

∆ωr · ω

∣∣∣∣ =1√2

Quitando las barras de modulo pero conservando todas las soluciones, y multi-plicando por ω a ambos miembros, puede concluirse en la siguiente ecuacion desegundo orden:

ω2

ω0± ω · ∆ωr√

2− ω0 = 0



De donde pueden obtenerse las siguientes dos soluciones fısicas:∆ωr

2√

2+

√(∆ωr

2√

2

)2

+ 1

· ω0 para el primer maximo, rebautizado ωm1.

−∆ωr

2√

2+

√(∆ωr

2√

2

)2

+ 1

· ω0 para el segundo maximo, rebautizado

ωm2.

a partir de las cuales se llega a la siguiente conclusion:ω0 ·∆ωr

ωm2 − ωm1=√

2

que establece la relacion que hay entre la distancia entre frecuencias de corte(ω0 ·∆ωr) y la distancia entre frecuencias de maximos, en terminos absolutos.

Puede obtenerse otro resultado interesante si se calcula la media geometricade los maximos:

√ωm2 · ωm1 =

√√√√√ω20

∆ωr

2√

2+

√(∆ωr

2√

2

)2

+ 1

−∆ωr

2√

2+

√(∆ωr

2√

2

)2

+ 1

= . . .

. . . =

√√√√ω20

[−

(∆ωr

2√

2

)2

+(

∆ωr

2√

2

)2

+ 1

]= ω0

Este ultimo resultado permite calcular la frecuencia central como la media ge-ometrica de los maximos, siendo equivalente a la forma en la cual habitualmentees calculalada, en funcion de las frecuencias de corte.

Las conclusiones obtenidas en esta secion, permiten calcular la frecuenciacentral y el ancho de banda relativo en funcion de las frecuencias de los maximosiguiendo las dos siguientes expresiones:

ω0 =√

ωm2 · ωm1

∆ωr =ωm2 − ωm1√

ωm2 · ωm1

·√

2

Como se desea que estos maximos se alcancen en 900Hz y 1100 Hz, reem-plazando los valores en las expresiones anteriores, se concluye que:

ω0 =√

2π · 1100 Hz · 2π · 900 Hz ≈ 6251 1/s

∆ωr =2π · 1100 Hz− 2π · 900 Hz

ω0

·√

2 ≈ 0,28427



7.4.3. Factor de ondulacion

Como se vio anteriormente, dentro de la banda pasante, la transferencia os-

cila entre A yA√

1 + ε2. Esto hace que ε regule el ancho vertical de la ondulacion.

Su trabajo sera el de definir la correccion que se hara a la relacion de amplitudde los armonicos.

Si ro es la relacion original entre la amplitud del armonico de 1000 Hz y lasamplitudes de los armonicos de 900Hz y 1100Hz, rf es la relacion final luegode pasar por el filtro, puede expresarse lo siguiente:

rf = ro ·|Hn(j2π · 1000 Hz)||Hn(j2π · 900 Hz)|

Como en 900 Hz se alcanza un maximo, la transferencia vale A y se cancelacon su aparicion en el numerador de |Hn(j2π · 1000 Hz)|, permitiendo escribirlo anterior como:

rf =ro√

1 + [ε · χ]2

donde, para simplificar, se representa con χ al valor que el polinomio de Cheby-shev de orden 2 toma en la transformacion pasa-bajos −→ pasa-banda paraω = 2π · 1000 Hz. A partir de esta ultima expresion, puede despejarse el valorde ε:

ε =

√√√√(ro

rf

)2

− 1

χ2

que para el juego de valores ro ≈ 11,47, rf = 3, χ = −399400 , da:

ε ≈ 3,69949

Quiza a esta altura sea un tanto apresurado hacerla, pero hay una conclusionque necesita ser urgentemente considerada antes de continuar: por medio de losgraficos, se puede ver que cuanto mas grande sea el parametro ε, mas finas seranlas “campanas” que aparecen en los maximos. Esto esta ıntimamente relaciona-do con el valor de Q del par de polos complejos conjugados que finalmente sera elresponsable de la resonancia a estas frecuencias. Habiendo una restriccion quedice que Q debe ser menor que 29, es evidente que existe un maximo valor deε a partir del cual el filtro deseado no cumple con la especificacion. Encontrarese maximo no es objetivo de este trabajo pero pudo probarse que 3,69949 losupera y exige que Q ≈ 33.

Una forma de rodear este problema, es separar el trabajo en dos etapas,de tal forma que cada una corrija una parte de la relacion de amplitudes. Ası,cada una tendra un valor de ε mas pequeno, que al combinarse dan el mismo



resultado que una unica etapa cuyo ε ≈ 3,69949. Para esto, habra que aplicarmatematicamente el filtro 2 veces para ver como queda la relacion final rf enfuncion de ε. El razonamiento comienza por adaptar el calculo anterior para 2etapas:

rf = ro ·[|Hn(j2π · 1000 Hz)||Hn(j2π · 900 Hz)|

]2

que, con las mismas consideraciones de antes, arroja la siguiente expresion paraε:

ε =

√ro

rf− 1

χ2

Reemplazando, se obtiene ε ≈ 1,68449, valor que, como mas adelante se vera,exige un valor de Q dentro de lo permitido pero exige duplicar completamenteal filtro.

7.4.4. Amplitud

Este parametro es el encargado de dilatar o contraer la forma de amplituddefinida por los parametros anteriores para cumplir con el punto no3 de laseccion 7.1. Conociendo la amplitud inicial ai del armonico de 1000 Hz, y laamplitud final af deseada, puede establecerse la siguiente relacion:

af = ai · |Hn(j2π · 1000 Hz)|2

de donde se obtiene la expresion:

A =√

af

ai· [1 + (ε · χ)2]

que da como resultado 9,81562.

A continuacion, se muestra un grafico fuera de escala que permite compararla forma de la ganancia del filtro con el espectro de frecuencias de la senal deentrada:



0 500 1000 1500 2000 2500

Espectro de la señal de entrada

Ganancia del filtro

Figura 17: Comparacion entre la ganancia del filtro y el espectro de la senal deentrada.



7.5. Hallazgo de la Transferencia

Ha llegado el momento de encontrar una expresion racional en la variables, cuyo modulo evaluado en jω sea el definido en la seccion anterior, y que setranscribe a continuacion:

|H(jω)| = A√1 +

[ε · T2

(ω

∆ωr·ω0− ω0

∆ωr·ω

)]2

donde:

A = 9,81562

ε = 1,68449

ω0 = 6251,7

∆ωr = 0,28427

T2(x) = 2x2 − 1

7.5.1. Extension analıtica jω −→ s

Siguiendo los pasos del proceso de aproximacion que en la seccion 7.2 semostraron, se comienza escribiendo:

|H(jω)|2 = H(jω) ·H(−jω)

que mediante la tan anticipada extension analıtica, se convierte en:

H(s) ·H(−s) =A2

1 + ε2

[2(

sj∆ωr·ω0

− jω0

∆ωr·s

)2

− 1

]2

donde se hizo explıcita la definicion del polinomio de orden 2 de Chebyshev yω fue reemplazado por

s

j. Operando algebraicamente puede verificarse que esta

expresion corresponde a una funcion racional cuyo denominador es de orden 4y su denominador es de orden 8.

7.5.2. Reconstruccion a partir de los polos

Con la asistencia del programa de calculo simbolico MathCad, se obtuvieronlos polos de H(s) ·H(−s), que se listan a continuacion y en figura 18 se muestrala constelacion a la que dan lugar:



p1 −197,99 − j · 6936,6

p2 −197,99 + j · 6936,6

p3 −160,69 − j · 5629,8

p4 −160,69 + j · 5629,8

p5 160,69 − j · 5629,8

p6 160,69 + j · 5629,8

p7 197,99 − j · 6936,6

p8 197,99 + j · 6936,6

Cuadro 1: Polos de H(s) ·H(−s).

250 200 150 100 50 0 50 100 150 200 250

7500

6000

4500

3000

1500

1500

3000

4500

6000

7500

[ ]

4

Figura 18: Constelacion de polos y ceros de H(s) ·H(−s).

Como ya se dijo en la seccion 7.2, es posible asignarle a H(s) los po-los de parte real negativa, para asegurar la estabilidad temporal de su anti-transformada. Tomando los primeros cuatro polos de la tabla, que inevitable-mente conforman dos pares conjugados, se puede “reconstruir ” parcialmentea H(s). Parcialmente pues los polos no contienen toda la informacion; se ha“perdido” el valor de A, que no afecta a la posicion de los mismos. Tenien-do en cuenta que H(s) · H(−s) posee un cero de orden 4 en el origen, y doscorresponden a H(s), puede expresarse dicha reconstruccion como:

s2

(s− p1)(s− p2)(s− p3)(s− p4)

que a su vez puede separarse en el producto de dos estructuras identicas muyconocidas:

s

(s− p1)(s− p2)· s

(s− p3)(s− p4)



Estas estructuras responden a la transferencia generica de un pasa-banda deorden 2:

sω0

Q

s2 + sω0

Q+ ω2

0

Operando algebraicamente, pueden encontrarse los valores de Q y ω0 corre-spondientes a cada uno de los pares de polos conjugados. Esto se resume de lasiguiente manera:

s

(s− p1)(s− p2)−→

s ω1

Q1

s2 + s ω2

Q1+ ω2

1

s

(s− p3)(s− p4)−→

s ω2

Q2

s2 + s ω2

Q2+ ω2

2

Haciendo efectivos los calculos, pueden encontrase los siguientes valores:

ω1 6939,42502

ω2 5632,0928

Q1 17,52469

Q2 17,52469

Para poder reconstruir completamente a H(s), falta recuperar el valor de Aque se perdio al calcular los polos. En otras palabras, las expresiones anterioresnecesitan corregirse con un factor de escala. Encontrar la relacion directa conA requiere muchas cuentas y no es necesario pues el factor puede obtenerse apartir del coeficiente del termino s4 en el numerador de la expresion racional deH(s) ·H(−s), luego de hacer que el termino s8 del denominador sea igual a 1.Ese coeficiente es igual al que debe aparecer junto a s4 en el numerador de latransferencia final cuando el coeficiente del termino s8 de su denominador hasido tambien llevado a 1.

Como todo ha sido calculado para que el objetivo se logre aplicando el filtro

dos veces, la transferencia final resulta:

T (s) = [T1(s) · T2(s)]2 =

[H1 · s ω1

Q1

s2 + s ω2

Q1+ ω2

1·

H2 · s ω2

Q2

s2 + s ω2

Q2+ ω2

2

]2

donde H1 y H2 valen 8,50705 y fueron obtenidos con todas las consideracionesanteriores.

A continuacion, se pueden ver dos graficos ilustrativos sobre T (s).



800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 12000

20

40

60

80

100

T(s)

Frecuencia [Hz]

Figura 19: Transferencia final en escala lineal.

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 200040

30

20

10

0

10

20

30

40

50

T(s) [dB]

Frecuencia [Hz]

Figura 20: Transferencia final en decibeles.



7.6. Verificacion

7.6.1. Espectro de la salida

Teniendo el espectro de la senal de entrada, puede obtenerse el de la senalde salida multiplicandolo por el filtro, frecuencia a frecuencia. En la figura 21puede observarse la comparacion entre el espectro de salida logrado mediante elfiltro y el espectro de la senal de salida objetivo.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

Espectro logrado

Espectro deseado

Frecuencia [Hz]

Figura 21: Espectros de la senal de salida del filtro y de la senal de salidaobjetivo.

7.6.2. Senal de salida en el tiempo

Ası como antes se utilizo el algoritmo de la transformada rapida de Fourierpara construir espectros de frecuencias a partir de senales muestreadas, es elmomento ahora de recorrer el camino inverso: obtener informacion temporal apartir de una muestra del espectro de una senal. Para esto, se dispone de lafuncion IFFT de MathCad.



0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.022

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Salida del filtro [V]

Salida objetivo [V]

Tiempo [s]

Figura 22: Senal de salida del filtro y senal de salida objetivo.

Pudo verificarse que las mınimas diferencias se deben a que los armonicos dela senal de entrada no entran al filtro en fase y este no hace ninguna correccion.Utilizando las tecnicas de animacion de MathCad, pudo “demostrarse” que eraimposible realizar una correccion de fase utilizando un circuito corrector de fasede primer orden, y utilizar mas correctores habrıa llevado a superar la cantidadmaxima de componentes permitidos. Es por esto que en este trabajo no serealizaran correcciones de fase.

7.6.3. Armonicos residuales

Los armonicos residuales son todos aquellos que no deberıan sobrevivir luegodel filtrado. Como la atenuacion no llega a ser nunca infinita, pequenos “rastros”de senales de frecuencias fuera de la banda aparecen en la composicion de la senalde salida. Para poder estudiarlos y conocer su peso, se hace uso de una tecnicaque bien podrıa llamarse notch ideal10, pues consiste en tomar el espectro dela senal de salida logrado y anularlo para los valores de frecuencias de la bandapasante. De esa forma se obtiene el “espectro residual” y mediante la funcionIFFT puede conocerse su forma temporal. Esta forma, puede observarse en lafigura 23.

10Un filtro notch es una aproximacion al filtro ideal rechaza-banda, donde la banda es muyestrecha y centrada en una frecuencia particular que se desea eliminar. Se usa, por ejemplo,para eliminar la interferencia que la senal de 50Hz del tendido electrico introduce en algunosinstrumentos, como por ejemplo los electrocardiografos.



0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180.005

0

0.005

0.01

Armónicos residuales [V]Valor eficaz residual [V]Máximo valor permitido (10mV)

Tiempo [s]

Figura 23: Armonicos residuales.

Pudo verificarse en MathCad, que el valor eficaz residual es ≈ 1,9 mV, y seencuentra muy por debajo del maximo permitido de 10 mV.



8. Sıntesis circuital del Filtro

8.1. Confeccion de la estructura

La seccion 7.5.2 concluyo encontrando la transferencia que definira matematica-mente al filtro y a la que en esta seccion se intentara buscarle un circuito quela lleve a la realidad. El orden de esta transferencia es igual a 8 y la estrategiaelegida consiste en separarla en el producto de cuatro de orden 2.

De las estructuras conocidas, las mas simples y versatiles son las de reali-mentacion multiple. A continuacion, se hace una presentacion de la estructuraSallen-Key, para luego darle paso a la estructura Infinite Gain Multiple Feed-Back, que sera la utilizada finalmente.

8.1.1. Sallen-Key

La estructura Sallen-Key11 se compone por un amplificador de ganancia kcon dos caminos de realimentacion, y seis distintas inmitancias conectadas deforma tal que dan lugar a una gran cantidad de variaciones. Eligiendo ade-cuadamente los tipos de cada una, pueden obtenerse transferencias de distintosordenes y naturaleza.

Vi

Vo

6

1B

5

2

A3

4

k

Figura 24: Estructura Sallen-Key.

La transferencia entre Vi y Vo puede hallarse facilmente mediante el metodode resolucion por nodos para los nodos A y B, aplicado en el espacio de latransformada de Laplace. Si bien en principio no se visualiza ninguna fuente decorriente, pueden imaginarse a Vi y Vo como generadores conectados a tierraque combinados con una admitancia se transforman en tales. A continuacion se

11Propuesta en 1955 por dos investigadores del M.I.T., R. P. Sallen y E. L. Key, estaestructura sustituye al elemento inductivo por un amplificador operacional combinado ade-cuadamente.



presenta el sistema de ecuaciones resultante: ViY1 + VoY2 = VA(Y1 + Y2 + Y3 + Y5) − VBY3

VoY6 = − VAY3 + VB(Y3 + Y4 + Y6)Vo = k · VB

cuya resolucion permite encontrar la transferenciaVo

Vibuscada:

kY1Y3

(Y1 + Y2 + Y3 + Y5)(Y4 + Y6) + Y3(Y1 + Y2 + Y5)− k(Y2Y3 + Y6(Y1 + Y2 + Y3 + Y5))

8.1.2. Infinite Gain Multiple FeedBack

Esta estructura recibe su nombre por reemplazar la ganancia k del amplificadorde la estructura Sallen-Key por una ganancia infinita. La transferencia resul-tante puede obtenerse calculando el lımite:

lımk→∞

Vo

Vi

utilizando la expresion anterior o planteando nuevamente las ecuaciones delmetodo de resolucion por nodos con las nuevas condiciones. La inmitancia no4puede obviarse puesto que queda virtualmente cortocircuitada por los terminalesde control del amplificador operacional ideal.

BA3

Vi Vo

1

5

2 6

+

-

OUT

Figura 25: Estructura Infinite Gain Multiple FeedBack.

El sistema de ecuaciones adaptado a esta nueva situacion queda: ViY1 + VoY2 = VA(Y1 + Y2 + Y3 + Y5) − VBY3

VoY6 = − VAY3 + VB(Y3 + Y6)VB = 0

Y la nueva transferencia resulta:Vo

Vi=

−Y1Y3

Y2Y3 + Y6(Y1 + Y2 + Y3 + Y5)



Es importante notar que esta estructura, por naturaleza, provoca una inver-sion en la senal. Para el caso particular de este trabajo, no resulta un problemapues se utilizara una cantidad par de etapas donde finalmente no habra inver-sion neta.

La inclinacion por esta ultima estructura se debe a que:para implementar un amplificador de ganancia k, debe, por lo menos,considerarse el uso de dos resistores adicionales para combinarlos con unamplificador operacional.

elimina una inmitancia facilitando el analisis siguiente.

es mas estable frente a pequenas variaciones en sus parametros.

8.1.3. Eleccion de las admitancias

Para simplificar este proceso, se decidio que todas las etapas seran pasa-banda de orden 2. De esta forma, habra que hacer solo una eleccion para luego,en cada etapa, asignar los valores necesarios sin modificar los tipos de inmitan-cias.

La transferencia racional generica para un pasa-banda de orden 2, dondeinevitablemente sus dos polos seran complejos conjugados, es:

H0

sω0

Q

s2 + sω0

Q+ ω2

0

donde ω0 es la frecuencia central del filtro y equivalente a la distancia de lospolos al origen, Q es igual al cociente entre ω0 y el doble de la parte real de lospolos y H0 la ganancia.

El objetivo de esta seccion, es encontrar una combinacion de tipos de inmi-tancias Y1, Y2, Y3, Y5 e Y6 que permitan que la expresion siguiente:

−Y1Y3

Y2Y3 + Y6(Y1 + Y2 + Y3 + Y5)

se convierta en la expresion anterior, teniendo en cuenta que Yn solo podra serun capacitor (sCn) o un resistor (Gn).12

Antes de hacer la eleccion, debe decirse algo sobre el comportamiento realde un amplificador operacional. Debido a que se implementan utilizando tran-sistores, y estos necesitan polarizarse, debe haber un camino resistivo entre la

12Si bien no forma parte de las restricciones del trabajo explıcitamente, no se utilizaninductores por su voluminoso tamano y costo.



salida y el terminal de control de tal forma que pueda circular corriente contin-ua. Otra limitacion viene dada por los capacitores, que tambien necesitan uncamino resistivo para poder cargarse inicialmente.

La primera conclusion es que Y1 e Y3 no pueden ser capacitores al mismotiempo, pues situarıan un termino de s al cuadrado en el numerador. Evidente-mente, solo una de ellas debera serlo para situar el termino lineal de s.

Puede verificarse que si las admitancias Y2 e Y3 son capacitores, y las demasresistores, puede alcanzarse el objetivo sin violar las restricciones fısicas. Reem-plazando, se obtiene:

−G1sC3

s2C2C3 + G6(G1 + sC2 + sC3 + G5)

que mediante pases algebraicos puede llevarse a:

−G1

C2

s

s2 + sG6(C2+C3)C2C3

+ G6(G1+G5)C2C3

a partir de donde se puede establecer el siguiente sistema de ecuaciones:H0ω0

Q = −G1

C2

ω0

Q = G6(C2+C3)C2C3

ω20 = G6(G1+G5)

C2C3

que con 5 incognitas (G1, G5, G6, C2 y C3) y 3 ecuaciones queda inevitable-mente indeterminado con dos grados de libertad a la hora de elegir los valores.

8.1.4. Estructura final

Puede observarse la estructura general de las cuatro etapas en la figura 26y las cuatro etapas juntas en cascada en la figura 27.

+

-

OUT

Figura 26: Infinite Gain Multiple FeedBack en configuracion pasa-banda.



+

-

OUT

+

-

OUT

+

-

OUT

+

-

OUT

Figura 27: Las cuatro etapas en cascada.

8.1.5. Normalizacion de los componentes

Siendo quiza la parte mas tediosa de todo el trabajo, y producto de inconta-bles idas y venidas, la busqueda de una combinacion de 5 valores que cumplierancon las ecuaciones deducidas en la seccion anterior y al mismo tiempo estuvier-an dentro de los rangos establecidos por las restricciones, no pudo lograrse porsimple inspeccion, prueba y error.

Hizo falta la creacion de un simple programa que, a partir de pequenasvariaciones, generase todas las posibles combinaciones de valores permitidos.Gracias a esto, pudo “demostrarse” que no existıa combinacion alguna capaz decumplir con todo. Es por esto que se decidio extender el rango de resistores paraque incluyera valores menores a 4,7 kΩ. Luego de esto, el programa fue capaz deencontrar algunas combinaciones, y se pudo evidenciar como a partir de valoresmayores a 2,7 kΩ, no podıa encontrar mas. Solo con propositos anecdoticos, seanexa a continacion el codigo fuente de dicho programa, escrito en el lenguaje deprogramacion funcional Haskell, sin consideraciones de optimizacion o buenaspracticas de programacion en mente:



import IO

execList :: [IO()] -> IO()execList [] = return ()execList (x:xs) = do

execList xscondicion minrx maxrx mincx maxcx (r1,r5,r6,c2,c3) =(r1>=minrx)&&(r1<=maxrx)&&(r5>=minrx)&&(r5<=maxrx)&&(r6>=minrx)&&(r6<=maxrx)&&(c2>=mincx)&&(c2<=maxcx)&&(c3>=mincx)&&(c3<=maxcx)

valores rx cx h q w = (-q/(h*w*cx), rx,q*(rx*h*w*cx-q)/((w*q*q*rx*cx+rx*h*w*cx-q)*(w*cx)),cx, -(w*q*q*rx*cx+rx*h*w*cx-q)/(w*q*q*rx))

candidatos h q w minrx maxrx mincx maxcx saltorx saltocx =[valores rx cx h q w|rx<-[minrx,(minrx+saltorx)..maxrx],

cx<-[mincx,(mincx+saltocx)..maxcx],condicion minrx maxrx mincx maxcx(valores rx cx h q w)]

main = dohSetBuffering stdin LineBufferingputStrLn ("Ingrese H: ")h <- getLineputStrLn ("Ingrese Q: ")q <- getLineputStrLn ("Ingrese w: ")w <- getLineputStrLn ("Ingrese la R minima: ")minrx <- getLineputStrLn ("Ingrese la R maxima: ")maxrx <- getLineputStrLn ("Ingrese el C minimo: ")mincx <- getLineputStrLn ("Ingrese el C maximo: ")maxcx <- getLineputStrLn ("Ingrese el salto de R: ")saltorx <- getLineputStrLn ("Ingrese el salto de C: ")saltocx <- getLineexecList (map print (candidatos (read h) (read q) (read w)(read minrx) (read maxrx) (read mincx) (read maxcx) (read saltorx) (read saltocx)))print (length (candidatos (read h) (read q) (read w) (read minrx) (read maxrx)(read mincx) (read maxcx) (read saltorx) (read saltocx)))



Luego de algunas pruebas en PSpice, finalmente se eligieron las dos siguientescombinaciones de valores de las varias que mostraba la salida del programa:

Componente 1 2

R1 164913,37Ω 203194,2ΩR5 2700Ω 2700ΩR6 3352181,8Ω 3282382,67ΩC2 1,8 nF 1,8 nFC3 1,295503 nF 2,002478 nF

que al normalizarse de la siguiente manera:

Componente 1 2

R1 162 kΩ 205 kΩR5 2700Ω 2700ΩR6 3,32MΩ 3,3ΩC2 1,8 nF 1,8 nFC3 1,3 nF 2 nF

provocan las siguientes alteraciones a los parametros de las transferencias:

Parametros Ideal Normalizado Error relativo

H1 −8,50705 −8,59419 1,02427%ω1 6939,45222 6961,94262 0,32409%Q1 17,52397 17,44708 0,4388%H2 −8,50705 −8,4724 0,4073%ω2 5632,09201 5620,19281 0,21127%Q2 17,52397 17,5705 0,2655%



8.2. Verificacion de la transferencia definitiva

Es necesario volver a realizar la verificacion para asegurar que la normal-izacion no desplazo al filtro fuera de las especificaciones.

Se muestra en la figura 28 una comparacion del modulo de las distintastransferencias:

800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200

10

20

30

40

50

Teórico

Normalizado

Real

Figura 28: Comparacion entre los graficos del modulo de las transferencias ideal,normalizada y real, en decibeles.

La notable diferencia que hay entre las transferencias teoricas y la simulacionen PSpice son producidas, en parte, por las imperfecciones de los amplificadoresoperacionales TL084/301/TI.

A continuacion, en la figura 29, puede observarse el alejamiento que hansufrido las amplitudes. La del armonico de 1000 Hz vale ≈ 0,92 (error relativodel 8 %); la relacion con el armonico de 900 Hz es de 2,87106 y de 2,92851 conel armonico de de 1100 Hz.

En la figura 30, puede observarse una comparacion entre las distintas salidasy en la figura 31 los armonicos residuales calculados a partir de MathCad, cuyovalor eficaz resulta ser de ≈ 2,05 mV. Para averiguar el valor eficaz residuala partir de los datos de PSpice, es necesario aplicar la funcion FFT que esteprograma provee, copiar los datos a algun programa de calculo que permitaconfeccionar una tabla y calcular la raız cuadrada de la suma de los cuadrados



de los valores de cada elemento de la tabla divididos por√

2.13 Esta formulatiene su justificacion en una propiedad que enuncia que el valor eficaz de unasuma de senales senoidales es la suma cuadratica de los valores eficaces. Ladivision por

√2 es porque los datos de la FFT estan expresados en amplitud

maxima. Luego de hacer eso, sorpresivamente se obtuvo un valor de ≈ 1,8 mV.

800 900 1000 1100 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Espectro de la salida

Figura 29: Espectro de la salida del filtro con componentes normalizados.13No es posible utilizar los datos que arroja la funcion FFT de PSpice para aplicarles

IFFT en MathCad pues es practicamente imposible lograr una coleccion de exactamente 2n

muestras, y recortala provoca en la anti-transformacion, el surgimiento de componentes dealta frecuencia que no se condicen con la realidad y aumentan en gran medida el valor eficazresidual.



0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0182

1

0

1

2

Salida del filtro normalizado

Salida del filtro sin normalizar

Salida objetivoSimulada en PSpice

Figura 30: Alejamiento de la senal de salida.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180.005

0

0.005

0.01

Armónicos residuales [V]Valor eficaz residual [V]Máximo valor permitido (10mV)

Tiempo [s]

Figura 31: Armonicos residuales.



8.3. Respuesta en frecuencia

8.3.1. Diagramas de Bode

Los Diagramas de Bode14 asintoticos se construyen a partir de la infor-macion de los polos y ceros y resultan utiles para tener una idea rapida delcomportamiento de un filtro. Para el caso particular de los filtros Chebyshev,no resultan de gran ayuda pues en la zona de la banda pasante, la grafica realse aleja mucho de las asıntotas. Puede apreciarse el diagrama para el modulo enla figura 32, para la fase en la figura 33 y una version con detalle del diagramade fase en la figura 34.

100 1 .103

1 .104

50

40

30

20

10

0

10

20

30

40

50

Real calculado en MathCadAsintóticoReal simulado en PSpice

Frecuencia [Hz]

Ganancia [dB]

Figura 32: Diagrama de Bode para el modulo.14Hendrik Wade Bode (1905-1982) fue un prolıfico investigador e ingeniero nacido en Es-

tados Unidos, pionero en la Teorıa Moderna de Control y las Telecomunicaciones electronicas.



10 100 1 .103

1 .104

1 .105

720

630

540

450

360

270

180

90

0

Real calculado en MathCadAsintóticoReal simulado en PSpice

Frecuencia [Hz]

Fase [º]

Figura 33: Diagrama de Bode para la fase.

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500720

630

540

450

360

270

180

90

0

Real calculado en MathCad

Real simulado en PSpice

Frecuencia [Hz]

Fase [º]

Figura 34: Diagrama de Bode para la fase con detalle en la zona central.



8.4. Respuesta en tiempo

En esta seccion, se podra apreciar el comportamiento del circuito ante dis-tintas excitaciones, calculados utilizando la funcionalidad de anti transforma-cion simbolica de Laplace de MathCad. Para complementar la informacion, sehan confeccionado espectros de frecuencia de las respuestas temporales paraanalizar el contenido armonico, utilizando la Transformada rapida de Fourier.Previamente, debera considerarse el siguiente parrafo, sugerido por el profesorFernando Barreiro:

La transformada rapida de Fourier es un caso especial de la serie trigonometri-ca de Fourier, y fue especıficamente concebida para el analisis de funcionesperiodicas; no obstante, es posible aplicarla a senales no periodicas de duracionlimitada. Aunque los contenidos armonicos de tal clase de senal, pueden obten-erse mediante la Integral de Fourier, en muchos casos esta integral no puedeevaluarse por ser no integrable, de modo tal que se termina por muestrear lasenal para calcularla aproximadamente usando el metodo de trapecios u otro.Sin embargo, tambien pueden evaluarse con el eficiente algoritmo de la trans-formada rapida de Fourier, y en este caso, la envolvente de los armonicos essimilar (salvo cuestiones numericas de normalizacion) a la Integral de Fouri-er. Ello justifica hacer un analisis de contenidos armonicos presentes duranteun transitorio, pero debe interpretase que la presencia de la mayorıa de losarmonicos puede darse en fracciones temporales del muestreo y dejar de existirhacia el final del tiempo de analisis aunque exista regimen permanente.



8.4.1. Impulso δ(t)

La Delta de Dirac15 es sin duda una de las delicias matematicas mas sabrosasde los ultimos tiempos. Puede definirse de muchısimas formas distintas pero lamas simple es sin duda la menos correcta: es nula en todos los puntos menosen 0, donde vale ∞, y su integral a lo largo de toda la recta real es igual a1. Mediante el Analisis de Fourier, puede verificarse que esta funcion contienetodas las frecuencias. Su espectro es constante e igual a 1. La introduccionde una δ(t) en un sistema provoca que el mismo responda con sus frecuenciasnaturales. La respuesta a una δ(t) es igual a la anti-transformada de Laplace dela Transferencia del sistema, por lo que a esta ultima suele llamarsela respuestaimpulsiva.

La figura muestra los resultados obtenidos utilizando MathCad y PSpice.Inmediatamente a continuacion, en la figura 36, puede observarse el espectrode la respuesta al impulso, donde el parecido con la forma del modulo de latransferencia es innegable.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0453 .10

4

2 .104

1 .104

0

1 .104

2 .104

3 .104

Calculada en MathCadObtenida de PSpice derivando la respuesta al escalón

Tiempo [s]

Tensión [V]

Figura 35: Respuesta al impulso.15Paul Dirac (1902 - 1984) fue un fısico teorico britanico y uno de los fundadores de la

Mecanica Cuantica. El fue quien formulo la equacion de Dirac que describe el comportamientode los fermiones y condujo a la prediccion de la existencia de la anti-materia. Fue galardonadoen 1933 junto a Erwin Schrodinger con el premio Nobel en fısica, por el descubrimiento denuevas utilidades de la teorıa atomica.



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

1000

2000

3000

4000

Espectro de la respuesta al impulso

Frecuencia [Hz]

Amplitud [V]

Figura 36: Espectro de la respuesta al impulso.

8.4.2. Escalon u(t)

El escalon simboliza un cambio finito en un instante nulo y permite verel recurso del sistema para alcanzar el nuevo estado. Conocer la respuesta deun sistema al escalon es de gran importancia pues a partir de la misma, comoası tambien a partir de la del impulso, puede deducirse cualquier otra respuesta.Las figuras 37 y 38 muestran la respuesa al escalon y su espectro, respectiva-mente.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

4

2

0

2

4

Calculado en MathCadSimulado en PSpiceEscalón

Tiempo [s]

Tensión [V]

Figura 37: Respuesta al escalon.



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

Espectro de la respuesta al escalónFrecuencia [Hz]

Amplitud [V]

Figura 38: Espectro de la respuesta al escalon.

8.4.3. Onda cuadrada de 100Hz

La descomposicion armonica de una onda cuadrada de 100Hz, devela lapresencia de infinitas componentes de frecuencias multiplos de 100 y de amplituddecreciente. Si una senal de tales caracterısticas atraviesa el filtro, la salidadeberıa componerse escencialmente de los armonicos de 900 Hz y 1100 Hz. Lafigura 39 deja vislumbrar la respuesta del filtro a una senal cuadrada y la figura40 su correspondiente espectro.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

10

5

0

5

10

Calculado en MathCadSimulada en PSpiceCuadrada

Tiempo [s]

Tensión [V]

Figura 39: Respuesta a una onda cuadrada de 100 Hz.



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

2

4

6

Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 100 Hz

Frecuencia [Hz]

Amplitud [V]

Figura 40: Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 100 Hz.

8.4.4. Onda cuadrada de 300Hz

Siguiendo el mismo razonamiento anterior, puede verificarse que una ondacuadrada de 300 Hz contiene infinitas componentes de frecuencias multiplos de300 y de amplitud decreciente. Si una senal de tales caracterısticas atraviesael filtro, la salida deberıa componerse escencialmente del armonico de 900 Hz,pues es el unico multiplo que cae dentro de la banda pasante. La figura 41deja vislumbrar la respuesta del filtro a una senal cuadrada y la figura 42 sucorrespondiente espectro.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

0.05

0

0.05

Calculado en MathCadSimulada en PSpiceCuadrada

Tiempo [s]

Tensión [V]

Figura 41: Respuesta a una onda cuadrada de 300 Hz.



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.05

0.1

0.15

Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 300 Hz

Frecuencia [Hz]

Amplitud [V]

Figura 42: Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 300 Hz.

8.4.5. Senoidal de 1000Hz

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

5

0

5

Calculada en MathCadSimulada en PSpiceSenoidal de 1000 Hz

Tiempo [s]

Tensión [V]

Figura 43: Respuesta a una onda senoidal de 1000 Hz.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

Espectro de la respuesta a una onda senoidal de 1000 Hz

Frecuencia [Hz]

Amplitud [V]

Figura 44: Espectro de la respuesta a una onda senoidal de 1000 Hz.



Parte III

ConclusionAquı concluye la redaccion del informe sobre el Diseno y Sıntesis de un

Filtro Chebyshev, asignatura obligatoria para aprobar la materia Analisis deCircuitos, el primer cuatrimestre del ano 2007.

Muchos fueron los dıas invertidos en su realizacion, y muchos han sido losconocimientos que necesite adquirir para lograr el producto final. El cumplim-iento del objetivo hubiera podido lograrse en mucho menos tiempo y con muchamenos profundidad, pero no era mi voluntad dejar pasar la oportunidad deaprender sobre un tema tan atrapante.

Espero que este trabajo pueda servir como guıa a quienes en el futuro tenganque transitar el mismo camino, pues esa fue una de las intenciones principalesal darme cuenta las muchas cosas que nadie me habıa explicado y tuve que salira buscar.

La realizacion de este trabajo me llevo a concluir que practicamente toda lamateria fue construyendose como una piramide que apuntaba hacia el Disenode Filtros, pero terminando sin poner el bloque final, accion que solo tendrıalugar con la realizacion de este trabajo.

No puedo terminar sin antes agradecer a Ariel Burman, por ayudarme aencontrar una estrategia adecuada con filtros Chebyshev, en los momentos enlos que yo todavıa poco entendıa; a Santiago Gonzalez Zerbo, por las muchashoras de divague matematico que mas de una vez me salvaron de perecer entrelos numeros; a Gonzalo Figueroa, por la creacion del logotipo para la caratulaa altas horas de la noche; a Mercedes Lucero y Nicolas Tempone por servirde revisores; y, finalmente, al profesor Fernando Barreiro, por la dedicacionextracurricular para con sus alumnos a la hora de responder consultas, el conta-gio de entusiasmo, y porque bien sabıa a lo que se referıa cuando en la entregadel enunciado, con una palmada en la espalda, me dijo: ¡Como te vas a divertir!

Francisco AlbaniBuenos Aires,

3 de Agosto de 2007.



Parte IV

Bibliografıa

Referencias

[Miy91] Federico Miyara.“Filtros Activos” (1991)http://www.fceia.unr.edu.ar/enica3/filtros-t.pdf.

[Hue72] Lawrence P. Huelsman.“Basic Circuit Theory” (1972)

[Pue82] Hector Pueyo & Carlos Marco.“Analisis de modelos circuitales”

[Per91] Antonio Pertence Junior.“Amplificadores Operacionales y Filtros Activos” (1991)

[AN779] Kerry Lacanette.“National Semiconductor - Application Note 779 - A Basic Introductionto Filters: Active, Passive, and Switched-Capacitor” (1991)http://www.national.com/an/AN/AN-779.pdf.

[Hsu70] Hwei P. Hsu.“Analisis de Fourier” (1970)

[Man06] Margarita Manterola.“Apuntes de Analisis de Circuitos” (2006)http://www.marga.com.ar/~marga/6606/teoricas.pdf.

[WP1] Comunidad de usuarios de Wikipedia.“Wikipedia”http://en.wikipedia.org/.


diseno˜ y s´ıntesis de un filtro chebyshevweb.fi.uba.ar/~falbani/6606/bt-135.informe.pdf ·...

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